函数的周期性和对称性

函数的周期性和对称性

一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、函数的轴对称：

定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2

b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.

推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.

2、函数的点对称：

定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.

推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.

推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

3、函数周期性的性质：

二、 两个函数的图象对称性

1、轴对称

①)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

②)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

③)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。

④)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。

⑤)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2

b a x +=对称 2、关于点的对称

)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

推论：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称