排队论及其应用

排队系统的符号表述

描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥

各符号的意义：

①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用以下符号：

M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；

D——表示定长输入；

EK——表示K阶爱尔朗分布；

G——表示一般相互独立的随机分布。

②——表示效劳时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布一样。

③——表示效劳台(员)个数：“1〞表示单个效劳台，“s〞(s>1)表示多个效劳台。

④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，那么，0

⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。

⑥——表示效劳规那么，常用以下符号

FCFS：表示先到先效劳的排队规那么；

LCFS：表示后到先效劳的排队规那么；

PR：表示优先权效劳的排队规那么。

二、排队系统的主要数量指标

描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：

1．队长和排队长(队列长)

队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在承受效劳的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待效劳的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。2．等待时间和逗留时间

从顾客到达时刻起到他开场承受效劳止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。从顾客到达时刻起到他承受效劳完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。

3. 忙期和闲期

忙期是指从顾客到达空闲着的效劳机构起，到效劳机构再次成为空闲止的这段时间，即效劳机构连续忙的时间。这是个随机变量，是效劳员最为关心的指标，因

为它关系到效劳员的效劳强度。与忙期相对的是闲期,即效劳机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。

4．数量指标的常用记号

(1)主要数量指标

L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；

L q——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待效劳的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；W q——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

(2)其他常用数量指标

s——系统中并联效劳台的数目；

λ——平均到达率；

1／λ——平均到达间隔；

μ——平均效劳率；

1/μ——平均效劳时间；

N――稳态系统任一时刻的状态〔即系统中所有顾客数〕；

U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间；

Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间；

ρ——效劳强度，即每个效劳台单位时间的平均效劳时间，—般有ρ=λ／(sμ)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，说明对期望效劳的数量来说，效劳能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，效劳台有大量的空闲时间；如效劳强度ρ趋近于1，那么效劳台空闲时间较少而顾客等待时间较多。我们一般都假定平均效劳率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否那么排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。

特尔公式

在系统到达稳态时，假定平均到达率为常数λ，平均效劳时间为常数1/μ，那么有下面的特尔公式：

L=λ W

Lq=λ Wq

W= Wq +1/μ

L= Lq +λ/μ

排队系统运行情况的分析

排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与效劳条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进展计算其主要的运行指标：

①系统中顾客数(队长)的期望值L；

②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq；

③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；

④顾客排队等待时间的期望值Wq。

第三节M／M／1模型

模型的条件是：

1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；

2、排队规那么――单队，且队长没有限制，先到先效劳；

3、效劳机构――单效劳台，效劳时间的长短是随机的，服从一样的指数分布。

第四节M / M / S 模型

●此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个效劳台，各效劳台的工作相互独立，效劳

率相等，如果顾客到达时，S个效劳台都忙着，那么排成一队等待，先到先效劳的单队模型。

●整个系统的平均效劳率为sμ，ρ*＝λ/sμ，〔ρ*<1〕为该系统的效劳强度。

几个连续型分布—定长

●定长分布〔记为D〕

假设顾客到达间隔时间〔或效劳时间〕为一常量a，此时称输入〔效劳〕分布为定长分布，用T表示此时间，那么

P(T=a) = 1

用分布函数表示有

F(t) = P(T≤t) = 0 t

1 t≥a

●概率特征：方差为0

●主要应用：

周期性到达事件

定长效劳系统〔例如ATM网络〕

几个连续型分布—负指数

几个连续型分布—负指数

●无记忆性

P(T>t+x| T>t) = P(T>x)

●定理1.1

负指数分布具有无记忆性.即设T是随机变量,服从负指数分布,参数为λ >0,设t,x>0,那么

P(T>t +x| T>t) = P(T>x) = e-λx

●定理1.2

设随机变量T是非负的连续型变量，它的分布具有无记忆性，那么T服从负指数分布

●连续型随机变量分布中，只有负指数分布具有无记忆特性

几个连续型分布—爱尔兰

●定理1.3