排队论及其应用

排队系统的符号表述描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥各符号的意义：①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用以下符号：M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；D——表示定长输入；EK——表示K阶爱尔朗分布；G——表示一般相互独立的随机分布。

②——表示效劳时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布一样。

③——表示效劳台(员)个数：“1〞表示单个效劳台，“s〞(s>1)表示多个效劳台。

④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。

如系统有K个等待位子，那么，0<K<∞，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。

K=∞时为等待制系统，此时一般∞省略不写。

K为有限整数时，表示为混合制系统。

⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。

⑥——表示效劳规那么，常用以下符号FCFS：表示先到先效劳的排队规那么；LCFS：表示后到先效劳的排队规那么；PR：表示优先权效劳的排队规那么。

二、排队系统的主要数量指标描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：1．队长和排队长(队列长)队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在承受效劳的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待效劳的顾客数。

队长和排队长一般都是随机变量。

2．等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开场承受效劳止这段时间称为等待时间。

等待时间是个随机变量。

从顾客到达时刻起到他承受效劳完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。

3. 忙期和闲期忙期是指从顾客到达空闲着的效劳机构起，到效劳机构再次成为空闲止的这段时间，即效劳机构连续忙的时间。

这是个随机变量，是效劳员最为关心的指标，因为它关系到效劳员的效劳强度。

与忙期相对的是闲期,即效劳机构连续保持空闲的时间。

在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。

4．数量指标的常用记号(1)主要数量指标L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；L q——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待效劳的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；W q——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

(2)其他常用数量指标s——系统中并联效劳台的数目；λ——平均到达率；1／λ——平均到达间隔；μ——平均效劳率；1/μ——平均效劳时间；N――稳态系统任一时刻的状态〔即系统中所有顾客数〕；U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间；Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间；ρ——效劳强度，即每个效劳台单位时间的平均效劳时间，—般有ρ=λ／(sμ)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，说明对期望效劳的数量来说，效劳能力相对地说是很大的。

这时，等待时间一定很短，效劳台有大量的空闲时间；如效劳强度ρ趋近于1，那么效劳台空闲时间较少而顾客等待时间较多。

我们一般都假定平均效劳率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否那么排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。

特尔公式在系统到达稳态时，假定平均到达率为常数λ，平均效劳时间为常数1/μ，那么有下面的特尔公式：L=λ WLq=λ WqW= Wq +1/μL= Lq +λ/μ排队系统运行情况的分析排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与效劳条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进展计算其主要的运行指标：①系统中顾客数(队长)的期望值L；②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；④顾客排队等待时间的期望值Wq。

第三节M／M／1模型模型的条件是：1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；2、排队规那么――单队，且队长没有限制，先到先效劳；3、效劳机构――单效劳台，效劳时间的长短是随机的，服从一样的指数分布。

第四节M / M / S 模型●此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个效劳台，各效劳台的工作相互独立，效劳率相等，如果顾客到达时，S个效劳台都忙着，那么排成一队等待，先到先效劳的单队模型。

●整个系统的平均效劳率为sμ，ρ*＝λ/sμ，〔ρ*<1〕为该系统的效劳强度。

几个连续型分布—定长●定长分布〔记为D〕假设顾客到达间隔时间〔或效劳时间〕为一常量a，此时称输入〔效劳〕分布为定长分布，用T表示此时间，那么P(T=a) = 1用分布函数表示有F(t) = P(T≤t) = 0 t<a1 t≥a●概率特征：方差为0●主要应用：周期性到达事件定长效劳系统〔例如ATM网络〕几个连续型分布—负指数几个连续型分布—负指数●无记忆性P(T>t+x| T>t) = P(T>x)●定理1.1负指数分布具有无记忆性.即设T是随机变量,服从负指数分布,参数为λ >0,设t,x>0,那么P(T>t +x| T>t) = P(T>x) = e-λx●定理1.2设随机变量T是非负的连续型变量，它的分布具有无记忆性，那么T服从负指数分布●连续型随机变量分布中，只有负指数分布具有无记忆特性几个连续型分布—爱尔兰●定理1.3爱尔兰分布和负指数分布的关系设T1,T2,…,T k,是独立同负指数分布的随机变量，参数为 ，那么T =T1+T2+…+T k,服从k 阶爱尔兰分布●主要应用描述多级效劳系统描述平滑〔规那么〕随机事件流几个离散型分布●离散时间的排队理论在计算机通讯中有着广泛的应用。

因为机械动作是连续的，用离散理论可以得到更准确的结果。

●排队论中常用的最重要的离散分布是几何分布和负二项分布，实际上可以把它们看作是负指数分布、爱尔兰分布离散化而得到的分布，因此它们也应具有负指数分布、爱尔兰分布的类似性质。

几个离散型分布—几何●几何分布可以用来描述某一顾客的到达间隔或效劳持续时间每单位时间执行一次贝努力试验，“失败〞那么继续，成功那么完成首次“成功〞之前需要持续的时间就可以看成是相应的到达间隔或效劳持续时间几个离散型分布—几何●定理1.4几何分布具有无记忆性，即P(T>n+m | T>n)=P(T>m)或P( T=n+m | T>n )=P( T=m )●定理1.5在离散型分布中，几何分布是唯一具有无记忆性的分布几个离散型分布—负二项●定理1.5负二项分布与几何分布的关系设T1，T2，…，Tk是独立同几何分布的离散型随机变量，那么T=T1+T2…+…Tk服从负二项分布〔参数为k〕二项分布二项分布即重复n次独立的伯努利试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，那么这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

概念二项分布〔Binomial Distribution〕，即重复n次的伯努利试验〔Bernoulli Experiment〕，用ξ表示随机试验的结果。

二项分布公式如果事件发生的概率是P,那么不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是应用条件1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。

2．发生某一结果〔阳性〕的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比拟稳定的数值。

二项分布公式3．n次试验在一样条件下进展，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。

如要求疾病无传染性、无家族性等。

泊松分布命名原因泊松分布实例泊松分布〔Poisson distribution〕，台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布〔discrete probability distribution〕。

泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松〔Siméon-Denis Poisson〕命名的，他在1838年时发表。

但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

就像当代科学史专家斯蒂芬·施蒂格勒〔Stephen Stigler〕所说的误称定律〔the Law of Misonomy〕，数学中根本没有以其创造者命名的东西。

2分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)随机事件的平均发生率。

泊松分布适合于描述单位时间随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为3关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关局部。

4应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ〔或称密度〕随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间〔面积或体积〕出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

5应用例如泊松分布适合于描述单位时间〔或空间〕随机事件发生的次数。

如某一效劳设施在一定时间到达的人数，交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区的细菌分布数等等。

[1]观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P〔x〕可用下式表示：称为泊松分布。

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组〔～4×106核苷酸对〕平均产生3个嘧啶二体。

实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：……是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株〔除去既不能修复又不能重组修复的二重突变〕的生存率是一致的。

由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。

[2]指数分布的分布函数为：数学期望E(X)=1/λ，方差为D(X)=1/λ2。

指数分布的分布函数图象如以下图所示：。