第四章-曲线坐标系下张量分析

第四章：曲线坐标系张量分析

张量场函数：

笛卡尔坐标系下 123123x x x =++r e e e

i x 坐标线：只变化一个曲线坐标i x 时，矢径的轨迹。

直线坐标系下，坐标线都是直线。

当()123i i x x ,,ξξξ=，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系

协变基：i i ξ∂=∂r

g

所以：

''''

'

'k k i i

i k k i

i i i i i j

j j

j j j j

m m m j m j

x x ;;x x ξξξξξξξξξξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂∂∂=

==∂∂∂∂g e g e g g e g e g

j k j m j j

j

i k m i m i m i i

x x x x ξξξδξξξ

∂∂∂∂∂⋅=⋅===∂∂∂∂∂g g e e 基矢量的导数

基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：

j k

k ij k ij ,k i

ξ∂=Γ=Γ∂g g g

其中k

ij Γ称为第二类Christoffel 符号，ij ,k Γ称为第一类Christoffel 符号。Christoffel 符号

是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上：

j k

k ij

i ξ∂Γ=

⋅∂g g j

ij ,k k i

ξ

∂Γ=

⋅∂g g

① 指标对称性

第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量（第二个协变指标）对

哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。

2j

k k

k k k i ij

ji i i j j ξξξξ

∂∂∂Γ=⋅=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂g g r

g g g

2j

i ij ,k

k k k ji,k i i j j ξξξξ

∂∂∂Γ=⋅=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂g r g

g g g 由此可见，Christoffel 符号相对它的两个协变指标是对称的。 ②不是张量

在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel 符号全部为零。如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。 ③与第一类Christoffel 符号之间的联系

由于Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升降。

k j

j

k k

km km ij

m ij ,m

i i

j j

m m

ij ,k

km km ij i i g g g g ξξξξ

∂∂Γ=

⋅=

⋅=Γ∂∂∂∂Γ=⋅=⋅=Γ∂∂g g g g g g g g

④逆变基矢量的导数

i

i

j j

δ⋅=g g

0i j i j k k ξξ∂∂⋅+⋅=∂∂g g g g i i j kj k ξ∂⋅=-Γ∂g g i i j

kj =-Γ⋅g ⑤与度量张量分量导数之间的关系

ij

j i

j i ki,j kj ,i k

k k g ξξξ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+Γ∂∂∂g g g g (a)

jk ij ,k ik ,j i

g ξ

∂=Γ+Γ∂

(b) ki

jk ,i ij ,k j

g ξ

∂=Γ+Γ∂

(c)

(b)+(c)-(a) ,1()2jk ij ki ij k

i j k g g g ξξξ

∂∂∂Γ=+-∂∂∂

123123231312123213312123123123[()]

()()()()()()()()i

i i i k k k i k i k i k i i i k ik ξξξξ

∂⋅⨯=∂∂∂∂=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯∂∂∂=Γ⋅⨯+Γ⋅⨯+Γ⋅⨯=Γ+Γ+Γ⋅⨯=Γg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g

k

ik

Γ==

Hamilton 算子∇ 定义 i

i

ξ

∂∇=

⊗∂

它的涵义是：

i i i i i ξξξ∇∇∂∂∇⋅=⋅⋅∇∂∂∇⨯=⨯⨯∂T T T g T T T g T Hamilton 算子是一种具有坐标不变性微分算子，计算结果与坐标系的无关： 例如：

''

''

'

'i i k k k k k

i k i i i ξξξξξξ

ξξ∂∂∂∂∇==⊗=⊗=∂∂⊗⊗∂∂∂∂∂∂T T g g T T T g g 设张量 ij

k l ..kl i j T =⊗⊗⊗T g g g g ，则有：

......................()ij k l kl

i j

s

ij k l im k l

i m kl j kl i

s s

m m

ij l ij k

ml i j k s ij mj i im j ij m ij m k l

kl kl ms kl ms m i ml ks km ls i j

s s s

j s

k T T T T T T T T T T T ξξξξξξξ

∂=∂∂+Γ+Γ-∂⊗⊗⊗∂∂∂+⊗⊗⊗+⊗⊗⊗∂∂∂∂+⊗⊗Γ-Γ⊗⊗=⊗∇+⊗⊗⊗∂∂=⊗∂g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g T ..;ij k l

l i j ij k l kl i j

s T ⊗⊗⊗=⊗⊗⊗g g g g g g g g

其中： 张量分量的协变导数。

..kl s s

T T

ξ∂∇∂

由于：'

'

k i k i ξξ

=∂∂⊗⊗∂∂T T g g

ij s k l i'j's'k'l'

s ..kl i j s'..k'l'i'j'

T T ∇⊗⊗⊗⊗=∇⊗⊗⊗⊗g g g g g g g g g g 可见张量分量的协变导数ij

s ..kl T ∇是张量。

1. 度量张量的协变导数为零

00

.j

.j .m j .j m

i s i i ms m is

s j j

is is

g δδδξ

∂∇=+Γ-Γ∂=+Γ-Γ=

2. 置换张量的协变导数为零