第四章-曲线坐标系下张量分析
张量分析
g = g gj
i ij
式中 gij 是对偶基矢量在 gj 方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量， 或共轭度量张量
B) 相伴（共轭）度量张量
gi ⋅ g j = gik gk ⋅ g j = gikδkj = gij
g = g ⋅gj
ij i
gi ⋅ g j = δ ij ⇒ gik gk ⋅ g j = δ ij
gik gkj = δ ij ⇒
类似
gi = gij g j
gi = gij g j gi = gij g j
协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换， 提升或下降指标。
C) 矢量的逆变分量和协变分量
任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
可知：若坐标系由xi 变换为yi ，则基矢量gi按上述变换法则变换。基矢 量gi也称为协变基矢量。
三、基本度量张量
对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。 在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。
ds2 = dr ⋅ dr =gi dxi ⋅ g j dx j = gi ⋅ g j dxi dx j
i j k a = aij = eijka1a2 a3
aeilm = e a a a
i ijk l
j k m n
E) 克罗内克符号与置换符号的关系
1 δ1 δi j = δ12 3 δ1 1 δ2 2 δ2 3 δ2 1 1 0 0 δ3 2 δ3 = 0 1 0 =1 3 δ3 0 0 1
δli δl j δlk
y j = y j (x1, x2 , x3 )
逆变换为：
( j =1 2,3) ,
第4章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
ij,k ilj glk glk ilj
定义式：
ij ,k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F;
i j
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
g
i
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
dxi
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f (r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
第四章-曲线坐标系下张量分析
对开口曲面S1取一平面面积微元，则沿面元边界的积分 所以
然而 所以，对平面微元： 由于两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的曲面微元依然成立； 而任意曲面可以看作是平面微元的组合，所以上式对一般的曲面成立。 设 其中 是张量
然而
所以 例：在极坐标系中
矢量
而 极坐标系下的线性应变 由于 极坐标系下质点的速度
第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数： 笛卡尔坐标系下 坐标线：只变化一个曲线坐标时，矢径的轨迹。 直线坐标系下，坐标线都是直线。 当，，，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基： 所以： 基矢量的导数 基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示： 其中称为第二类Christoffel符号，称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上：
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直 线坐标使Christoffel符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率 张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面 可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张 曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线 段的长度）。如圆柱面、锥面。 通过将R-C张量表达为度量张量的函 数，可以证明： ①关于前两个指标反对称
质点的加速度 其中
所以 相对加速度 向心加速度 切向加速度 柯氏加速度
先缩并后求导（自由指标减少2个）
4. 设 则有： 因此：
Riemann-Christoffel 张量
（二阶张量） 互换k,j指标，可得： 可以证明：
（后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标）
张量与连续介质力学基本公式总结
第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
张量分析
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
张量分析
附录弹性力学数学基础目录附录1 张量基础附录2 复变函数数学基础附录3 变分法概要§i1 张量1附录1 张量基础张量特征笛卡儿张量下标求和定约偏导数下标记法特殊张量张量——简化缩写记号表达物理量的集合显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关分量需要通过适当的坐标系定义笛卡儿（Descartes）张量定义一般张量——曲线坐标系定义三维Descartes 坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
位移分量u ，v ，w 缩写记为u i （i =1, 2, 3）表示为u 1, u 2, u 39个独立变量的集合，两个下标来表示s ij 和e ij ——9个应力分量或应变分量s ij,k——27个独立变量的集合用三个下标表示i ——下标求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。
=A ji ij a ηζ=k k k a ζ∑=31∑∑ijjiij a ηζkk a ζ=哑标：出现两次的下标——求和后消失=A jij i y c x =32322212123132121111y c y c y c x y c y c y c x ++=++=自由标：非重复下标自由标个数表示张量表达式代表的方程数§i1 张量3偏导数的下标记法缩写张量对坐标x i 偏导数的表达式逗号约定逗号后面紧跟一个下标i 时，表示某物理量对x i 求偏导数。
)()(,iix ∂∂=利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为j i ji x u u ∂∂=,k ij k ij x ∂∂=e e ,k ij k ij x ∂∂=s s ,i iki u u ∂=,ij kl ij ∂=s s ,ij kl ij ∂=e e ,张量的偏导数集合仍然是张量证明：u i ，j 如果作坐标变换','j i u ∑∑∑∂∂==l j l k l k k i l x x u n ',')(∑=kj k k i u n ',')(∑∑∂∂=l j lklk k i x x u n ',')(''j i j i x n x =ij j in x x ''=∂∂∑∑=llj k i kl k j i n n u u '',','由此可证，u i , j 服从二阶张量的变换规律由于因此特殊的张量符号克罗内克尔（Kronecker Delta ）记号d ijji j i ij ≠==1d 显然⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001333231232221131111d d d d d d d d d d ij 克罗内克尔记号是二阶张量运算规律i m im ii T T a a ===++=d d d d d d 3332211§i1 张量6置换符号e ijk有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，032113211k j i k j i e ijk -=偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列11213321132312231123-======e e e e e e二阶对称张量反对称张量ji ijT T=ji ijT T-=任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。
张量分析第四章
的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等 得
2 α
不是张量
α′
Γ
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标 变换时的变换规则. 变换时的变换规则
定义 则
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之 将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
正好是逆变张量指标α和协变 的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系 的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =
张量分析
引言张量是一个数学概念。
我们知道，可以由一个实数值完全确定的物理量（如长度、温度、密度等）称为标量；可以用一个实数值（模值）和空间一定方向来表征的物理量（如力、速度、加速度等）称为矢量。
有许多物理量既不是标量，也不是矢量，它们具有更复杂的性质，需要用更复杂的数学实体—张量来描述。
例如，连续体内一点的应力状态和一点的应变状态需要更分别用应力张量σ和应变张量∈来描述，xx xy xz yx yyyz zx yxzz σττστστττσ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 112211221122xxxy xz yxyyyz zx yx zz εγγγεγγγε⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭又如，质点对于某定点的转动惯量需要用惯性张量来描述⋅⋅⋅。
事实上，标量和矢量都是张量的特例，它们分别为零阶张量和一阶张量。
这是两种最简单的张量。
在处理物理学和力学问题中，张量理论是一种有效的数学工具。
它有许多突出的优点，例如：(1)张量方程的一个重要特性是与坐标系的选择无关。
这一特性使它能够很好地反映物理定律和各物理量之间的关系。
张量方程对于任何坐标系都具有统一的形式，因此，当坐标系不确定时，照样可以将物理现象用数学方程表达出来。
(2)张量方程的上述特性使我们能够从某种特殊坐标系中建立起适用于一切坐标系的方程。
(3)属于某阶张量的某种物理量所具有的张量特性，对于所有这类张量（不管它们表达何种物理现象）来说，必定也都具有这些特性。
（例如应力张量是二阶对称张量，倘若我们掌握了应力的张量特性，便可以断定所有二阶对称张量，如应变张量、惯性张量以及平板曲率张量等，也都具有这些特性。
） (4)张量表述和张量算法具有十分清晰、简捷的特点。
张量理论是数学中的一个分支。
张量的普遍概念是十九世纪中叶对连续介质力学有了深入研究之后建立起来的。
（在法文中，张量tension 一词具有“应力”的意思；也就是说，张量是像应力那样具有某些特定性质的量。
张量分析及场论
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
附录：张量解析
【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用， 右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内 遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。 用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标 二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号） 即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证： ＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
曲面的积分几何与张量分析
曲面的积分几何与张量分析积分几何和张量分析是数学中重要的研究领域，其在曲面理论中的应用尤为广泛。
本文将讨论曲面的积分几何和张量分析的基本概念、原理以及在实际问题中的应用。
一、曲面的参数化表示曲面的参数化表示是理解曲面积分几何和张量分析的基础。
对于一个光滑曲面S，可以用参数化方程来表示：\[ \vec{r}(u,v) = x(u,v)\vec{i} + y(u,v)\vec{j} + z(u,v)\vec{k} \]其中，\( \vec{r}(u,v) \)是曲面上的一点，\( \vec{i} \)、\( \vec{j} \)、\( \vec{k} \)是空间坐标的单位向量，\( x(u,v) \)、\( y(u,v) \)、\( z(u,v) \)是曲面上的函数，而\( u \)、\( v \)是曲面参数。
二、曲面元素的计算曲面上的积分需要对曲面元素进行计算。
在参数化表示下，曲面元素可以通过计算向量的偏导数来得到：\[ d\vec{S} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} du dv \]其中，\( \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \)和\( \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \)分别是曲面上两个方向的偏导数，\( du \)和\( dv \)是曲面参数的微小增量。
三、曲面积分的定义曲面积分是对曲面上某一量的积分运算。
对于一个光滑曲面S上的标量函数\( f(x, y, z) \)，其曲面积分可以表示为：\[ \iint_S f(u,v) dS = \iint_D f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right| du dv \]其中，\( D \)是曲面S在参数空间上的投影区域。
张量分析(最后附题目)
x2
5
２ 常用总体坐标系（正交系）
z
O
（x0 y0 z0）
·
z （ρ0 ϕ0 z0）
·
θ
O
·（r r
0
θ0 ϕ0 ）
y
x
x
ϕ
O
ρ
y
x
ϕ
直角坐标系
柱坐标系
v e v A
v v v e x , e y , ez v v v Ax , Ay , Az
v v v e ρ , eϕ , e z 曲线 v v v 正交 Aρ , Aϕ , Az
●
矢量微分元
Байду номын сангаас
线元，面元，体元v v v v 例： ∫ F ⋅ dl , ∫ B ⋅ dS , ∫ ρ dV
v v 其中：dl , dS dV 称为微分元。
v dl
v dS
A.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 v v r r 线元： dlx = dxa x 面元： dS x = dydzax v v r r dS y = dxdza y dl y = dya y v r v r dS z = dxdyaz dlz = dzaz v r r r 体元： dV = dxdydz dl = dxax + dya y + dzaz
（对各向同性、线性电介质） 电极化率，表征了电介质的性质 r r 对各向异性、非线性电介质， 并不和 E 简单成正比， P 其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P 当 E 不太强时， 和 E 的对应关系仍然是线性关系， 可以用分量表示为：
r r ∑ pi 单位体积内所有分子 电极化强度矢量：P = 的电偶极矩矢量和 ΔV r r P = αE
第四章-曲线坐标系下张量分析
第四章：曲线坐标系张量分析张量场函数：()=T f r 在空间中每一点定义一个张量T 曲线坐标系回顾：笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 123123x x x =++r e e ei x 坐标线：只变化一个坐标i x 时，矢径的轨迹。
直线坐标系下，坐标线都是直线。
当()i i 123x x ,,=ξξξ，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系协变基：i i ∂=∂ξrg所以：ki k i x ∂=∂ξg e '''k i i i i i k i i x ∂ξ∂ξ==∂ξ∂∂∂ξξe g gjj mm x∂ξ=∂g e '''j j j j j m m j jx ∂ξ∂∂ξ∂ξ==∂ξ∂ξg e g 原因：k j m jj j m m i i ji ii k m x x x x ∂ξ∂∂ξ⋅=⋅=∂==δ∂∂ξ∂∂ξ∂ξξ∂e e g g 曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数 基矢量的导数基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：j k k ij k ij,k i∂=Γ=Γ∂ξg g g其中组合系数kijΓ 称为第二类Christoffel 符号 ij,k Γ称为第一类Christoffel 符号Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。
事实上：j k k iji ∂Γ=⋅∂ξg g jij,k k i∂Γ=⋅∂ξg g① 指标对称性第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。
然而，根据协变基矢量的定义：j j ∂=∂ξrg 可得：2jk k k i i kk ij ji i j j ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓ∂ξΓg r g g g g2ji k k k i i j ij,kji,j k ∂∂∂=⋅=⋅=⋅=∂ξ∂ξ∂ξΓΓ∂ξg r gg g g 说明Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。
张量分析与应用
张量分析与应用张量分析是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
张量在物理学中具有向量和矩阵所没有的更高维度的特性，能够更好地描述物质在空间中的运动和变形。
本文将介绍张量的基本概念、性质和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用。
一、张量的基本概念张量是一个多维数组，其元素在坐标系中按照多维坐标进行索引。
在数学上，张量可以表示为一个多维矩阵，其元素用一个或多个下标进行标记。
例如，二阶张量可以表示为一个矩阵，三阶张量可以表示为一个立体矩阵。
张量的阶数取决于其所在空间的维度，通常用字母T进行表示。
二、张量的性质1. 张量的坐标变换规律：张量的坐标变换是其重要性质之一。
当坐标系发生变换时，张量的分量也会相应发生变化，但其物理性质不变。
这使得张量成为描述物体运动和形变的有力工具。
2. 张量的对称性：张量的对称性是其另一个重要性质。
对称张量在坐标变换时具有特殊的变换规律，可以简化计算，提高效率。
例如，应力张量和应变张量在固体力学中具有重要应用。
三、张量在物理学中的应用1. 应力张量：在固体力学中，应力张量描述了物体内部受力情况，并对物体的变形产生影响。
应力张量的各向同性、各向异性等性质在材料研究和工程设计中具有重要意义。
2. 电磁场张量：在电磁学中，电磁场可以用张量形式表示，统一了电场和磁场的描述。
电磁场张量的不变性在相对论中有着重要的物理意义。
四、张量在工程学中的应用1. 应变张量：在工程力学中，应变张量描述了物体的变形情况，对结构强度和稳定性具有重要意义。
工程师通过对应变张量的分析，可以有效设计和优化结构。
2. 热传导张量：在热传导领域，热传导张量描述了物体内部的热传导性能。
研究热传导张量可以帮助工程师设计更高效的散热系统。
五、张量在计算机科学中的应用1. 神经网络中的张量：在深度学习领域，张量被广泛应用于神经网络的表示和计算。
神经网络中的权重和输入输出都可以表示为张量，通过张量运算可以实现各种复杂的模型。
北航张量讲义4
第四章 一般张量一般张量定义在一般坐标系上。
一般坐标系包括了直线坐标系和曲线坐标系， 笛卡儿直角坐标系是基为标准基的直线坐标系。
所以，在一般坐标系中，基不一定是标准基，其坐标变换不一定是正交变换。
为了维持张量式的不变性，需引进两组基——协变基和逆变基，从而产生不同类型的张量——协变张量、逆变张量和混变张量。
（一般坐标系下的指标约定：为了区别不同类型的基和张量，需同时采用上标与下标，并修改求和约定：✧ 除自然坐标系外，坐标采用上标变量==(,,)(,,)i 123i 123y y y y z z z z 老系新系（4.1）✧ 自然坐标系下的，上标变量与下标变量有相同的含义===⋯(,,)(,,)i 123i i 223i x x x x x x x x 自然系＝e e （4.2）✧ 哑标必须在上下标中各取一个=++i i i i i i i i u u u u 粒子速度e e e e （4.3）✧ 偏导数分母中的上下标与分子指标相同时，构成哑标ϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∇===++∂∂∂∂∂123ii 123i x x x x xi e e e e e （4.4） ✧ 用括号来区分指数与上标x i 的平方为(x i )2)4.1一般坐标系中的基向量第一章已说明，一般坐标系中，空间点P 的位置由坐标y i 通过变换T : 确定()i i j T x x y : =（4.5）i x ,物理空间中自然坐标系坐标，j y 变换空间中一般坐标系坐标，T :，j y 到i x 的变换（正变换）。
几何上（如图）T : 把变换空间的点P '变换为物理空间点P ，把变换空间坐标面（垂直于坐标轴，面上一个坐标保持常数）组成的六面体变换为物理空间坐标面组成的曲面六面体。
六面体上坐标面的交线即为坐标线。
P 点有三条坐标线，其向量方程为()()()123y y y r r r r r r ===（4.6）据向量导数的几何意义知，坐标线的切向量为,,i i i r r r g e g e g e r g e ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂========= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂==∂∂111123i2i2i2123111222333333123j i jii x x x y y y x x x x x x y y yy y yy y yx x x yyyx y y（4.7） 另一方面，T : 的Jacobi 矩阵为()∂∂∂⎛⎫⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭ij J g g g 111123i 222123j 123333123x x x y y y x x x x y yy y x x x yy y （4.8）可见i j J 的列向量即为切线向量i g 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章：曲线坐标系张量分析张量场函数：笛卡尔坐标系下 123123x x x =++r e e ei x 坐标线：只变化一个曲线坐标i x 时，矢径的轨迹。
直线坐标系下，坐标线都是直线。
当()123i i x x ,,ξξξ=，1ξ，2ξ，3ξ坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系协变基：i i ξ∂=∂rg所以：''''''k k i ii k k ii i i i i jj jj j j jm m m j m jx x ;;x x ξξξξξξξξξξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂g e g e g g e g e gj k j m j jji k m i m i m i ix x x x ξξξδξξξ∂∂∂∂∂⋅=⋅===∂∂∂∂∂g g e e 基矢量的导数基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：j kk ij k ij ,k iξ∂=Γ=Γ∂g g g其中kij Γ称为第二类Christoffel 符号，ij ,k Γ称为第一类Christoffel 符号。
Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。
事实上：j kk iji ξ∂Γ=⋅∂g g jij ,k k iξ∂Γ=⋅∂g g① 指标对称性第二类Christoffel 符号的两个协变指标用于指示哪一个基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。
2jk kk k k i ijji i i j j ξξξξ∂∂∂Γ=⋅=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂g g rg g g2ji ij ,kk k k ji,k i i j j ξξξξ∂∂∂Γ=⋅=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂g r gg g g 由此可见，Christoffel 符号相对它的两个协变指标是对称的。
②不是张量在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel 符号全部为零。
如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。
③与第一类Christoffel 符号之间的联系由于Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升降。
k jjk kkm km ijm ij ,mi ij jm mij ,kkm km ij i i g g g g ξξξξ∂∂Γ=⋅=⋅=Γ∂∂∂∂Γ=⋅=⋅=Γ∂∂g g g g g g g g④逆变基矢量的导数iij jδ⋅=g g0i j i j k k ξξ∂∂⋅+⋅=∂∂g g g g i i j kj k ξ∂⋅=-Γ∂g g i i jkj =-Γ⋅g ⑤与度量张量分量导数之间的关系ijj ij i ki,j kj ,i kk k g ξξξ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+Γ∂∂∂g g g g (a)jk ij ,k ik ,j ig ξ∂=Γ+Γ∂(b) kijk ,i ij ,k jg ξ∂=Γ+Γ∂(c)(b)+(c)-(a) ,1()2jk ij ki ij ki j k g g g ξξξ∂∂∂Γ=+-∂∂∂123123231312123213312123123123[()]()()()()()()()()ii i i k k k i k i k i k i i i k ik ξξξξ∂⋅⨯=∂∂∂∂=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯∂∂∂=Γ⋅⨯+Γ⋅⨯+Γ⋅⨯=Γ+Γ+Γ⋅⨯=Γg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g gkikΓ==Hamilton 算子∇ 定义 iiξ∂∇=⊗∂它的涵义是：i i i i i ξξξ∇∇∂∂∇⋅=⋅⋅∇∂∂∇⨯=⨯⨯∂T T T g T T T g T Hamilton 算子是一种具有坐标不变性微分算子，计算结果与坐标系的无关： 例如：''''''i i k k k k ki k i i i ξξξξξξξξ∂∂∂∂∇==⊗=⊗=∂∂⊗⊗∂∂∂∂∂∂T T g g T T T g g 设张量 ijk l ..kl i j T =⊗⊗⊗T g g g g ，则有：......................()ij k l kli jsij k l im k li m kl j kl is sm mij l ij kml i j k s ij mj i im j ij m ij m k lkl kl ms kl ms m i ml ks km ls i js s sj sk T T T T T T T T T T T ξξξξξξξ∂=∂∂+Γ+Γ-∂⊗⊗⊗∂∂∂+⊗⊗⊗+⊗⊗⊗∂∂∂∂+⊗⊗Γ-Γ⊗⊗=⊗∇+⊗⊗⊗∂∂=⊗∂g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g T ..;ij k ll i j ij k l kl i js T ⊗⊗⊗=⊗⊗⊗g g g g g g g g其中： 张量分量的协变导数。
..kl s sT Tξ∂∇∂由于：''k i k i ξξ=∂∂⊗⊗∂∂T T g gij s k l i'j's'k'l's ..kl i j s'..k'l'i'j'T T ∇⊗⊗⊗⊗=∇⊗⊗⊗⊗g g g g g g g g g g 可见张量分量的协变导数ijs ..kl T ∇是张量。
1. 度量张量的协变导数为零00.j.j .m j .j mi s i i ms m iss j jis isg δδδξ∂∇=+Γ-Γ∂=+Γ-Γ=2. 置换张量的协变导数为零ijk i j k ()ε=⋅⨯g g gmi is m sξ∂=Γ⋅∂g g mi j k is mjk s ()εξ∂⋅⨯=Γ∂g g g ijk m m m is mjk js imk ks ijm sεεεεξ∂=Γ+Γ+Γ∂0ijk m m ms ijk mjk is imk js ijm ks sεεεεεξ∂∇=-Γ-Γ-Γ=∂3. 张量分量的缩并与求协变导数次序可交换：缩并 i,k 指标：先缩并后求导（自由指标减少2个）kj kj km j ..k s ..k ..k ms sT T T ξ∂∇=+Γ∂ 4. ij ij ij s mn s mn s mn (A B )(A )B A (B )∇=∇+∇ 设 =⊗C A B 则有： s s sξξξ∂∂∂=⊗+⊗∂∂∂C A BB A 因此：()ij m ns mn i j ij m n ij m n s mn i j s mn i j ij ij m ns mn s mn i j (A B )(A )B A (B )(A )B A (B )∇⊗⊗⊗=∇⊗⊗⊗+∇⊗⊗⊗=∇+∇⊗⊗⊗g g g g g g g g g g g g g g g g kj kj mj k km j kj m ..k s ..k ..k ms ..k ms ..m ks skjkj m km j kj m..k ..m ks ..k ms ..m ks skj km j ..k ..k ms sT T T T T T T T T T T ξξξ∂∇=+Γ+Γ-Γ∂∂=+Γ+Γ-Γ∂∂=+Γ∂Riemann-Christoffel 张量mi j i m ij ju u u ξ∂∇=-Γ∂ （二阶张量） mij m m n m ni m n i k j i ij m m nj ik m in jkj k k k j n mij m n m n m ni m n i m nj ik ij ik m in jkk j k k j n u u u u u u u u u u u u u u ξξξξξξξξξξξξ⎛⎫∂Γ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∇∇=-Γ---ΓΓ--ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂Γ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=ΓΓ-+-Γ-Γ--ΓΓ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭互换k,j 指标，可得：()m mij n m n mik k j i j k i m ik nj ij nk j k u u u ξξ∂Γ∂Γ∇∇-∇∇=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂可以证明：m mij mn m n mik .ijkik nj ij nk j kR ξξ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂ （后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标） 是张量，称为藜曼曲率张量（Riemann-Christoffel ）（构成法：将Christoffel 符号mik Γ的m 指标看作张量指标求协变导数，将Christoffel 符号m ij Γ的m 指标看作张量指标求协变导数，两者相减）藜曼曲率张量描述的是空间的性质。
欧式空间中我们中可以选取全局直线坐标使Christoffel 符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。
三维空间中的曲面可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线段的长度）。
如圆柱面、锥面。
通过将R-C 张量表达为度量张量的函数，可以证明： ①关于前两个指标反对称ijkl jikl R R =- （233327C ⨯⨯=）② 关于后两个指标反对称ijkl ijlk R R =- （22339C C ⨯=） ③ 前两个指标可以和后两个指标互换ijkl klij R R = （21336C C +=）三维空间中，只有6个独立分量：121223233131122312312331R ,R ,R ,R ,R ,R 二维空间中，只有1212R 是独立分量积分定理=0i ki i k ik ik k i k i ik ik =+=Γ-=Γ-=g g g 0互换i,k 哑指标注：123123231312123213312123123123[()]()()()()()()()()ii i i k k k i k i k i k i i i k ik ξξξξ∂⋅⨯=∂∂∂∂=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯∂∂∂=Γ⋅⨯+Γ⋅⨯+Γ⋅⨯=Γ+Γ+Γ⋅⨯=Γg g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g在一个曲面上，定义d da a n线方向矢量（单位向量） 取一个六面体，如图所示。
六面体左侧的面积矢量232323d d d d ξξξξ=-⨯=-a g g g 左3d g六面体底面的面积矢量212112d d d d ξξξξ=-⨯=-a g g g 下六面体前面的面积矢量313113d d d d ξξξξ=⨯=-a g g g 前(1231d d d d d ξξξξ∂=-+∂g a a 右左左侧的面积矢量与右侧的面积矢量方向不同；右侧的面积矢量可以看作是左侧面积矢量函数的负值仅仅改变第一个曲线坐标而得到。