多目标优化hv指标 -回复
局部紧拓扑线性空间多目标最优化问题的灵敏度分析
的图在（ ， ） ０ 的切锥 Ｔ ｈ （ ， ） 脚 Ｆ ０ 。称 Ｄ ０ Ｆ（ ， ） Ｆ在（ ， 的切导数。换句话说， 为 ０ ） ∈Ｄ （ Ｆ ， ）口当且仅当（ ， ∈Ｔ ｈ （ ， 。 （） 口 ） 脚 Ｆ０ ）
由 定 义 １ １知 ： ∈ ＤＦ（ ， ） 口） 且 仅 当 存 ． （ 当
集合。
的 忌都 成 立 。
由 （ ） 可 以说 ： １也
∈ＤＦ（ ， ） 口 当 且 仅 当 存 在 网 ｛＾ Ｃ Ｒ ＋ （） ｔ｝ ， ｛ ｝ Ｖ， ∈ Ｆ（ ） 使 得 ｃ ＾ ，
（ ＾ 一 （ ， ） 口， ） ｔ（ 口 ， ） ， ） 一 （ ） ＾ （ ＾ ＾ 一（ ） 口， （ ａ ３） （ｂ ３）
１ 预 备 知 识 与 定 义
在 这 部 分 ， 绍 集 值 映 射 的 切 导 数 的 概 念 。 以 介 下 ， 假 设 Ｖ 和 Ｚ 是 两 个 局 部 凸 拓 扑 线 性 空 间且 是 总 Ｈ ｕｄ ｒｆ的 ， 为 Ｖ 到 Ｚ 的 集值 映 射 ， 为 Ｚ 中 的 ａ ｓ ｏｆ Ｆ Ｐ
合
砷Ｆ ， ） Ｖ ×Ｚ 定 义 为 ： （ ｃ 了 ’ ｈ （ ， ）＝ ｛ ， ） Ｖ × Ｚ ｌ 在 网 Ｐ脚 Ｆ （ ∈ 存
｛＾ Ｃ Ｒ ＋ ｛ ｝ Ｖ， ∈ Ｆ（ ） 使 得 ＂ 一 ， ＾ ｔ｝ ， ｃ ＾ ， Ｏ ｋ ｔ
（ 口 ， ） ， ）一 （ ｚ ｝ （＾ ＾ 一 拓 扑 线 性 空 间 Ｖ 的 一 个 非 ． 空 子 集 且 ∈ Ｖ。称 集 合 Ｔｃ ） ｖ 为 Ｃ 在 处 （ ｃ 的 切 锥 ， 的 是 口∈ Ｔ （ ） 且 仅 当 存 在 一 个 网 指 ｃ 当 ｛ ＾ Ｃ Ｒ ＋ 网 ｛ ｝ Ｖ 满 足 ｈ 一 ０ ｔ 一 口， ｈ｝ 和 ｃ ＾ ，产 且 ＋
Python遗传和进化算法框架（一）Geatpy快速入门
Python遗传和进化算法框架（⼀）Geatpy快速⼊门 Geatpy是⼀个⾼性能实⽤型的Python遗传算法⼯具箱，提供⼀个⾯向对象的进化算法框架，经过全⾯改版后，新版Geatpy2⽬前由华南农业⼤学、暨南⼤学、华南理⼯等本硕博学⽣联合团队开发及维护。
Website (including documentation):Demo :Pypi page :Contact us:Bug reports:Notice:FAQ: Geatpy提供了许多已实现的遗传和进化算法相关算⼦的库函数，如初始化种群、选择、交叉、变异、重插⼊、多⽬标优化⾮⽀配排序等，并且提供诸多已实现的进化算法模板来实现多样化的进化算法。
其执⾏效率⾼于Matlab、Java和Python编写的⼀些知名⼯具箱、平台或框架等，学习成本低、模块⾼度脱耦、扩展性⾼。
Geatpy⽀持⼆进制/格雷码编码种群、实数值种群、整数值种群、排列编码种群。
⽀持轮盘赌选择、随机抽样选择、锦标赛选择。
提供单点交叉、两点交叉、洗牌交叉、部分匹配交叉(PMX)、顺序交叉(OX)、线性重组、离散重组、中间重组等重组算⼦。
提供简单离散变异、实数值变异、整数值变异、互换变异等变异算⼦。
⽀持随机重插⼊、精英重插⼊。
⽀持awGA、rwGA、nsga2、快速⾮⽀配排序等多⽬标优化的库函数、提供进化算法框架下的常⽤进化算法模板等。
关于遗传算法、进化算法的学习资料，在官⽹中有详细讲解以及相关的学术论⽂链接。
同时⽹上也有很多资料。
闲话少说……下⾯讲⼀下怎么安装和使⽤： 先说⼀下安装⽅法： ⾸先是要windows系统，Python要是3.5，3.6或3.7版本，并且安装了pip。
只需在控制台执⾏pip install geatpy 即可安装成功。
或者到github上下载源码进⾏编译安装：。
推荐是直接⽤pip的⽅式安装。
因为这样⽅便后续的更新。
我为了⽅便运⾏demo代码以及查看源码和官⽅教程⽂档，因此另外在github上也下载了（但仍⽤pip⽅式安装）。
优化设计的问题
混合法： 增广拉格朗日乘子法的原问题、新目标函数构造如下所示：
3.6多目标函数的优化方法
比之单目标函数通过比较函数值大小的优化方法，多目标函 数的优化问题要复杂得多，求解难度也较大。目前仍没有最 好的普适的多目标函数优化方法，实际运用中应根据具体的 优化问题，有选择地采用下面介绍的各类方法。 1.统一目标法
引入案例 外啮合齿轮泵的齿轮设计
案例：对处于不同应用环境下的外啮合齿轮泵，其 设计的侧重点是不同的，现在输出压力、输出流量、转
速分别为 25 MPa、100 L/min和 1500 rad/min的情况下，
要求确定一台具有流量均匀性好、体积小、寿命长的外 啮合齿轮泵齿轮的几何设计参数。
3.1 优化设计概述
其优化模型为：
2.主要目标法
在每个实际的具体优化问题中，其实各分目标函数的重要 程度肯定是不一样的，例如对于在性能和利润的两目标函 数的优化问题中，性能指标想当然要比利润指标重要，没 有优良的性能，产品卖不出去，又何来利润。也就是说多 目标函数优化问题的各个分目标函数是有主次之分的。
3.3 一维探索优化方法
• 一、探索区间的确定 • 一维问题的探索方向是确定的，因此，一维探索实际就是
求可性域内的最优步长 (k )，使目标函数达到极小。 • 首先要确定出包含最优点的可性域 [s ,e ] ，主要有外
推法和进退法。
1.外推法
2.进退法
1.Fibonacci法
3）按照下面的迭代公式进入下一轮的迭代，并进行完全雷 同于第2)步的判断和操作。
例3-8 解：
三、二阶梯度法 二阶梯度法又叫牛顿法。
图 3-14 二阶梯度法的求优过程
四、共轭梯度法
图 3-15 同心椭圆族属性和共轭梯度法的探索路线
污水处理厂三维立体模型选址初探
等 ； 境效 益 ， 环 既要 考 虑 污水 整 治 的最 大 化 ， 要 也 考 虑治理 污 水 中产生 的环境 负 面影 响最小 化 。这 些 目标 都是 考虑 的核 心 。 目标 之 间又 相互矛 盾 。 一 但
●
／一■ 广，． ｛＾ ～ ．
一
厂 —— —— ——— 一
根据 （ ） （ ） 将指 标特 征值 矩阵 变换 为 ５和 ６，
指 标 笠 Ａ ２ ２ ｒ Ｉ
②建立数学模型：
ｍ ∑ Ｘ＋ ， ｉｃ ｎ ＝ （）∑６ 】） ｉ （
ｊＮ Ｅ （√ “ ）
（） １
２１ ．． 稳 定 性 ２
对 于一 个 拟建 的城 市污水 处理 厂 ，根据 建设 可行 性文 本可 知 ，其处 理污 水量 是一 个近 似 于确 定 的值 ，同时污水 水 质也可 根据 污水 来 源确定 其 范 围 。 活污 水水 质可 根据监 测 资料获 得 ， 生 工业废
， ● ● ●● ● Ｃ ● ●● ● 【 ● ● ● ● ● ● ● ●
ｂ Ｏ Ｐ为距 离参 数 ，＝ ｉ ， ＝ ｐ ｌ为海 明距 离 ，＝ ｐ ２为 欧 氏距 离 。 为表 达 决 策 的 距 优 距 离 ， 作 为
权重 ， ： 有
一
化 。也要 考 虑职工 的个 人 收益 、就业 与社 会稳 定
Ｘ＝
● ● ● ● ● ●
一
（ ）
（） ４
法 国学 者 波 吕墨 瑞 斯 １７ ９ ８年 提 出 了最 小 费 用法 。９ ４年该 方法 被 引 入我 国。其 具体 步 骤 如 １８
下：
ｍ１
Ａ 阿
对 越大 越优 指标 ， 其相 对隶 属度 公式 为 ：
转贴：多目标进化算法的性能指标总结（一）
转贴：多⽬标进化算法的性能指标总结（⼀）⼀、指标的常见分类⽅法：1.考虑指标同时能评估的解集数⽬（1个或2个解集），可将指标分为⼀元和⼆元指标。
⼀元指标：接受⼀个解集作为参数进⾏评估。
⼆元指标：接受两个解集作为参数，通过⽐较两个解集的⽀配关系或其他⽅⾯，给出哪个解集更好的判断。
2.多⽬标进化算法解集的性能评价指标主要分为三个⽅⾯：1）解集的收敛性评价(convergence), 反映解集与真实Pareto前沿之间的逼近程度（距离）。
⼀般我们希望所得解集距离PF尽可能近。
2）解集的均匀性评价(uniformity / evenness), 体现解集中个体分布的均匀程度。
⼀般我们希望所得解集在PF上分布尽可能均匀。
3）解集的⼴泛性评价(spread), 反映整个解集在⽬标空间中分布的⼴泛程度。
⼀般我们希望所得解集在PF上分布尽可能⼴、尽可能完整地表达PF。
也有⼀些学者，不这样分类，分为基数指标，收敛性指标，和多样性/分布性指标，认为多样性包括均匀性（evenness）和⼴泛性/范围（spread）,具体如下：1）基数指标：评估解集中存在的解的个数。
2）收敛性指标（精确度指标）：评估解集到理论帕累托最优前沿的距离（逼近程度）。
3）多样性指标：包括评估解集分布的均匀性（evenness）和⼴泛性/范围（spread）。
均匀性体现解集中个体分布的均匀程度；⼴泛性反映整个解集在⽬标空间中分布的⼴泛程度。
⼆、常⽤性能评价指标回顾:解集P中的每个点到参考集P *中的平均最⼩距离表⽰。
GD值越⼩，表⽰收敛性越好。
其中P是算法求得的解集，P _是从PF上采样的⼀组均匀分布的参考点，⽽dis（x，y）表⽰解集P中的点y和参考集P_中的点x之间的欧式距离。
优点：相⽐HV，计算代价是轻量级的。
缺点：1）仅度量解集的收敛性，⽆法评估多样性；2）需要参考集，使得这个测度很容易不客观；2.convergence metric γ:解集P中的每个点到参考集P *中的最⼩距离的平均值。
一种基于PBI指标支配的多目标优化算法
2022年 2月 February 2022Digital Technology &Application 第40卷 第2期Vol.40 No.2数字技术与应用23中图分类号:TP181 文献标识码:A 文章编号:1007-9416(2022)02-0023-03DOI:10.19695/12-1369.2022.02.08一种基于PBI指标支配的多目标优化算法南宁师范大学计算机与信息工程学院 郭华利用支配和指标度量结合的方式提出一种新的支配关系，通过该支配关系构造出新的多目标优化算法MOEA-PBI，该算法对多目标优化问题进行有效优化，从而得出一组可供选择的折中解。
新算法与其他三种代表性的多目标进化算法一同在3，5和8目标的DTLZ基准测试问题上进行测试，结果表明MOEA-PBI 算法具有较为优秀的收敛性和多样性。
因此得出结论，MOEA-PBI算法是一种可以选择的多目标进化算法。
现实中存在着很多需要同时优化多个目标的优化问题，这类问题统称为多目标优化问题（Multi-objective Optimization Problems，MOPs [1]），MOPs 的解方案通常并非单个解，而是一组折中解。
为解决这些MOP问题，研究者们提出了一些有效的多目标进化算法（Multi-objective Evolutionary Algorithms，MOEAs [2]）。
目前常见的MOEAs主要分为三大类：(1)基于分解的多目标进化算法，张青富等人在2007年提出的MOEA/D [3]算法开创了分解策略应用于解决MOP问题的先河，该算法通过在目标空间生成均匀分布的权重向量来引导解个体的收敛。
(2)基于支配关系的多目标进化算法，Deb等人提出的NSGA-II [4]算法在NSGA 算法的基础上增加了快速非支配排序策略，使得基于Pareto的NSGA-II算法在解决MOP问题时不仅具有良好的收敛性和分布性，而且大大降低了时间复杂度。
多目标优化方法讲义
a1, a(2单, a3位:t);现要将这些物资运往四个销售
点 B1, B2 , B。3, 其B4 需要量分别为
b1, b2 , b3, b4
且
3
ai
，4 b已j 知
到
i
j
的A距i 离和B单j 位运价分别为
(km)和 (元di)j ,现要决定如cij何调运多少,才能使总的
吨,公里数和总运费都尽量少?
min F ( X ) f1( X ), f2 ( X ), , fm ( X )T
VOP
s.t. gu ( X ) 0 u 1, 2, , p
hv ( X ) 0 v 1, 2, , q
简记为
V- min F ( X ) X D Rn
多目标优化问题(Multi-Objective Optimization Problem)又称为向量优化问题(Vector Optimization Problem) 。
g(x) (g1(x) g p (x))
h(x) (h1(x) hq (x))
多目标优化设计几何描述
注意，这里以及 之后的所有讲述 同时适合于线性 和非线性的多目 标优化
为满足所有目标G
的
i
参数x组成的参数空间
为根据按照目标函数F映射的
y组成的目标函数空间
3. 多目标优化问题解的特点
在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，这是 因为单目标优化问题是完全有序的；而在多目标优化设计中， 任何两个解不一定都可以比较出其优劣，这是因为多目标优化 问题是半有序的。
示例2
min F ( X ) f1( X ), f2 ( X )T
f1 (
X
)
4
x1(D22
优化设计总结最终版
15.参数选择的原则？ ①先易后难的原则：先粗后细、精度先低后高，步长先大后小。尤其工程问题，要根据实际 情况判断，合理、适用即可。②参数选择建议通过试算，再确定。 16.表格数据和图像数据的处理？ ①数据是根据公式计算值列成表格的， 则找出原计算公式； ②数据是根据实验测试值列成表 格的，数据有变化规律，则找拟合曲线，转化成公式；③无规律可循的数据，用数组处理。 求图线的拟合方程，步骤如下：①先等间隔等分，按曲线等分点取值，得离散数据； ②拟合曲线，确定多项式方程，尚有代定系数；③代入离散数据求方程系数，最后得到拟合 方程的公式。 17.程序运行过程中出现死机情况的分析及处理 可能出现分母近似为零的现象；可能超出函数可行域，计算溢出；可能有矛盾约束； 可能 模型有不合理的情况等等 运行出现 “无限循环” ：若设计点来回变化，目标函数值忽大忽小，无规律 ，则属于不 收敛。需要更换算法，或完善数学模型。若计算时间很长，仍未收敛，但目标函数还是在下 降，变化极小，几乎不变。则可能步长太小，或精度太高，需要调整 灵敏度问题：有的参数稍一改变，目标函数值发生很大变化，而有的参数怎么改变，目标函 数几乎不变。运行计算中，有的方向需要作规范化 18.确认最优解？ 1、校核和精确性运算：将未列入约束的设计限制条件 ，作校核；试算后的精确性运算：对 初步运算时，未达到的精度或还不很合理的参数，作进一步调整，再次作精确性优化运算。 2、根据工程实际情况，判断确认最优解：3、根据实用性和合理性，判断确认最优解：4、 复核性运算：(变换初始点，作复核性的优化运算;变换参数，再次作复核性的优化运算；变 换算法，再次作复核性的优化运算。) 19.对不合理运行解的处理? ①可能是局部最优解（改变初始点） ；②可能算法运用不当（变化算法的相关参数） ；③可能 算法选择不合适(重新选择算法)④可能数学模型不完全合适(改善、 完善， 甚至重建数学模型)。 三、各种算法逻辑关系 随机方向 直 统 功 协 接 一 效 调 复合形法 解 多目标 目 系 曲 标 数 线 内点惩罚函数 间 函 法 接 数 有约束转化成无约束 外点惩罚函数 解 数 学 混合惩罚函数 解析法 模 单 有约束 型 维 数值迭代 黄金分割 变 量 插值法 单目标 · 坐标 轮 换 无约束 多 维 变 量 共轭 方 向 梯度法 共轭 梯度 牛顿法 变尺度法
多目标模糊优选理论在深基坑工程方案优选中的应用
Ａｐ ｌ ａｏ ｆｈ ｌ—ｂｅｔ ｅｆｚｙｏ ｔ ｚｔ ｎｔｅ ｒ ｅｐｆｕ ｄｔ ｎｐｏｒｍ ｐｉ ｚｔ ｎ ｐｉ ｔ ｎｏ ｅ ｔｏｊｃｉ ｚ ｐｉ ａｉ ｏｙｉ ｄ ｅ ｎ ａｉ ｒｇａ ｏ ｔ ａ ｏ ｃｉ ｔ ｍｕ ｉ ｖ ｕ ｍｉ ｏ ｈ ｎ ｏ ｏ ｍｉ ｉ
ｈ ｐｔ ｚ ｔ ｎｏ ｅ ｐｅ ｃ ｖ ｔｏ ｒ ｇ ａ ｔ ｅｏ ｉ ｉａ ｏ ｆｄ ｅ ｘ ａ ａｉｎｐ ｏ ｒ ｍ ． ｍ ｉ
Ｋ ｙ ｏ￣： ｄｅ ｕ ｄ ｔ ｎ ｍｕ ｉ ｂ ｃ ｖ ， ｆ ｚ ） ｏ ｔ ｉ ｔ ｎ ｅｗ ｒ ｅｐ ｏ ａ ｏ ， ｆｎ ｉ ｌ－ ｊ ｔ ｅ ｕ ｙ ｐ ｍ ｚｉ ｔｏ ｅ ｉ ｚ ｉ ａｏ
Ａｂ ｔ ｃ ： ｏ ｎ ａｉｎｐ ｏ ｒｍｓ ｉ ｃｌ ｆ ｅ ｃ ｅｉｖ ｓｍｅ ｔ ｃ ｌ ｘ ａ ａｉｎ ｏ ｅｄ ｓｇ ， ｅｌｖ ｌ ｆ ｒ ｄ ｃｉｎ ｃ ｓ ｎ ｃ ｎ ｍｉ ｂ ｎ ｆｓ ｓｒ ｔ Ｆ ｕ ｄ ｔ ｒ ｇ ａ ｒ ｔ ｉ ｌ ｎ ｅｔ ｅｔ ｎ ａｅｅ ｃ ｖ ｔ ｆ ｅ ｉｎ ｔ ｅ ｏ ｏ ｕ ｔ ｏ ｔ ａ ｄｅ ｏ ｏ ｃ ｅ ｅ ｔ， ａ ｏ ｄ ｅ ｙｎ ｕ ｈ ｎ ｓ ｏ ｈ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｓ ｉ ｂ ｔ ｌ ｆｅ ｔ ｔ ｅ ｏ ｓｒ ｃｉｎｍａ ａ ｅ ｎ ｒ ｇ ａ ｄ ｖ ｌｐ ｎ ． ｕ ｔ ｅｍｏｅ ｔ ｅ ｐ ｍｕ ｄ ｓｇ ｆ ｅｆ ｕ ｄ ｔ ｎｉ ｔｅｍｏ ｔ ｍｐ ｒ ｎ ａ ｔ ｆ ｅ ｐ ｕ ｓ ａ ｃｓ ｈ ｎ ｔ ｔ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｏ ｒ ｍ ｅ ｅｏ ｍｅ ｔ Ｆ ｒ ｒ ｒ ， ｔ ｍ ｅ ｉｎｏ ｎ ａｉ ｓ ｉ ｏｔ ｔ ｒ ｏ ｅ ａｏ ｃ ｕ ｏ ｐ ｈ ｈ ｏｉ ｈ ｔ ｏ ｏ ｓ ｈ ａ ｐ ｄ
最优化_第7章 多目标及离散变量优化方法
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
优化设计和可靠性设计
失效率 表示产品工作到某一时刻后，在单 位时间内发生故障的概率λ (t)，失效率愈 低，产品愈可靠,能决定每一时刻的可靠度。 由此可知，失效率是个条件概率。
t时刻附近单位时间失效的产品数 (t ) t时刻附近仍正常工作的产品数 F (t t ) F (T ) lim t 0 R (t )t F (t ) R (t )
最优化设计
最优化设计是借助最优化数值计算方法和计算机 技术，求取工程问题的最优设计方案。 即：进行最优化设计时，首先必须将实际问 题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的 数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和 计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最 佳的设计参数。
1）优化设计的数学模型 实例1： 有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去 一个小的方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁 去的四个小方块的边长，以使做成的盒子具有最 大的容积。 解：设裁去的四个小方块的边长为x，则 盒子的容积可表示成x的函数 f(x)＝x(6-2x)2
直接法
有约束 非线性 规划算 法
直接法
拉格郎日乘子法
间接法
罚函数法 可变容差法
2.3.2 可靠性设计
（1）可靠性的概念及其发展 产品的可靠性：在规定的条件和规定的时间内， 完成规定功能的能力。 二次大战美国空军由于故障而损失飞机达21000架， 比被击落的飞机多1.5倍。 可靠性是由美国航空部门提出，到了50年代电子 产品平均使用失效率达到了1×10-10-1×10-12 （1/h）水平。 60年代末建立了以强度－应力为基础的机械产品 可靠性模型。 目前，机械产品的可靠性设计已趋成熟。
于是，上述问题可描述为
x—设计变量 f(x)＝x(6-2x)2—目标函数 g(x)＝x>0 —约束条件 使函数 f(x)＝x(6-2x)2 极大化 即对 f(x)= 6x-2x3 求导 f’(x)=1-x2=0 得出：x=1, -1 ∵ x>0 ∴ x=1 为所求解。
基于Pareto_支配的两阶段多目标优化算法
文章编号：1006-3080(2022)06-0806-10DOI: 10.14135/ki.1006-3080.20210530001基于Pareto 支配的两阶段多目标优化算法王学武， 高 进， 陈三燕， 顾幸生（华东理工大学能源化工过程智能制造教育部重点实验室，上海 200237）摘要：针对二维和三维的多目标优化问题，提出了一种基于Pareto 支配的两阶段多目标优化算法(MOEA-PT)。
全局搜索阶段根据Pareto 支配关系将种群进行排序，依据临界层子集的排序等级执行相应的选择策略；局部调整阶段对种群中的个体进行微调，将新产生的个体与距离其最近的个体进行支配关系、分布性、收敛性的对比，替换较差的个体。
分析了两个阶段对算法性能的影响，同时对引入局部调整策略后的种群进行了对比，结果表明局部调整策略能有效增强算法性能。
通过对标准测试函数的求解，并与其他经典的多目标算法进行对比，验证了本文算法在收敛性和分布性等方面具有一定的优越性。
关键词：多目标优化；Pareto 支配；全局搜索；局部调整；选择策略中图分类号：TP301文献标志码：A实际生产生活中经常出现需求多个目标的问题，这些目标需要同时进行优化处理，但往往又是相互冲突的，这类问题称为多目标优化问题(MOP)。
为了获得良好的最优解集(Pareto 解集)，一次学习中获得一组解的多目标进化算法备受关注。
多目标问题的优化过程主要追求两个目标：解的分布性和收敛性。
在解决MOP 问题的过程中，众多学者提出了不同的算法。
Zhang 等[1]提出了基于分解的多目标优化算法(MOEAD)，通过一系列均匀分布的参考向量和聚合函数，采取邻域替换的策略，使得到的解在空间保持良好的分布性和收敛性。
Deb 等[2]提出了基于Pareto 支配与参考点相结合的多目标优化算法(NSGA -III)，在保证解的收敛速度的同时，使解的分布性得到很好提高。
王学武等[3]提出了一种基于超体积的多目标优化算法(MOEA -HV)，通过提前删除支配个体来提升运行效率，同时以空间中均匀分布的参考点来优化解的分布性。
多目标优化hv指标
多目标优化hv指标
HV指标（Hypervolume Indicator）是一种在多目标优化中使用的评估指标，用于衡量优化算法产生的解集在目标空间中所覆盖的超体积。
在多目标优化中，我们通常面临的是在多个目标之间存在冲突或竞争的情况。
优化算法旨在寻找一组解，即所谓的Pareto 前沿，这些解在每个目标上都没有相应解更好，即无法同时改善所有目标。
HV指标提供了一种方式来衡量这些Pareto前沿的质量和多样性。
HV指标通过计算Pareto前沿和一个参考点之间的超体积来量化解集的质量。
参考点是一个位于目标空间中的某个点，它代表了我们希望在所有目标上达到的最优值。
HV指标越大，表示解集的质量越好，即解集更好地覆盖了目标空间。
使用HV指标有助于评估不同优化算法在多目标优化问题上的性能，并进行比较和选择。
它提供了一种客观的标准来评估算法的优劣，可以在实践中帮助研究人员和决策者做出更好的决策。
需要注意的是，HV指标在使用过程中可能存在一些局限性，
如对目标空间的维度和参考点的选择敏感性等。
因此，在使用HV指标时应考虑到具体问题的特点，并结合其他评估指标和技术进行综合评估和分析。
机械优化设计教案第一章
宽容分层序列法可解决上述分层序列法中出现的问题。 该方法即对各目标函数的最优值放宽要求。即在求后一 个目标函数的最优值时，对其前一个目标函数不再严格 限制在最优解内，而是在前一目标函数最优值附近的某 一范围进行优化，因而避免了计算过程的中断。
23
就目前的研究来看，多目标优化问题较单目 标优化问题，在理论上和计算方法还很不完善， 也不够系统。故本课程仅就单目标优化问题的优 化方法加以介绍。
g2 ( X ) 0
g3 ( X ) x1 0 g4 ( X ) x2 0
g3 ( X ) 0 D
g1 (X ) 0
o
CB
A
x1
可行区域 g4 ( X ) 0 14
目标函数
目标函数或评价函数是优化变量（x1, x2, …, xn） 的数学函数。
如：例1-1中箱盒用量最省; 例1-2中建筑公司如何建造甲乙两种住房可 获得最大利润。
代表着n维优化空间Rn的一个点（即一个 方案）。
优化问题的最优方案或最优解可记作： X* = [ x1*, x2*, …, xn*]T
12
约束条件
即对优化变量的取值加以某些限制的条件。 根据有无பைடு நூலகம்束，优化问题可分为：
➢约束优化问题 ➢无约束优化问题。 约束条件的类型 ➢按约束形式分：
不等式约束 等式约束 ➢按约束函数的形式分： 显函数约束 隐函数约束
主要包括： ➢机械零部件的优化设计； ➢机构优化设计； ➢机构动力学优化设计； ➢工艺装备参数的优化设计等。
8
1.2 优化模型
优化模型的三要素：优化变量（在设计领域 称设计变量）、约束条件、目标函数。
优化变量
指在最优化问题中可进行调整和优选的独立参数。
多目标优化
7.3.1多目标优化设计数学模型
优化设计中，若有m个设计指标表达的目标函数要求同时 达到最优，则表示为
m F ( x ) f 1 i ( x ) n f 2 ( x ) f m ( x ) T
7.2.1数学模型中的尺度变换
数学模型中的尺度变换问题，是指用过改变在设计空间中 个坐标分量的比例，以改善数学性态的一种办法。
7.2.1设计变量的尺度变换
7.2.2约束条件的尺度变换
7.2.3目标函数的尺度变换
7.3多目标函数优化问题
在设计中，优化设计方案的好坏仅依赖于一项设计指标， 即所建立的目标函数仅含一个目标的函数，这样的目标函数 称为单目标函数，属于单目标优化设计问题。
其中l4=a为已知，是设计常 量；又l1=l3，l3为非独立变
量，；l2是又l1与l2a的0函2l1 数c，o 故0ls 2也
为非独立变量。所以只有两 个参数是独立变量
x l1 0 T x 1x 2
设计变量愈多,维数愈高，设计的自由度越大，容易得到 较理想的优化结果；但维数越高，会使目标函数，约束函 数所包含的变量增多，导致计算量增大，并使优化过程更 为复杂及降低解题的效率。所以，在建立目标函数时，确 定设计变量的原则是在满足设计要求得前提下，将尽可能减 少设计变量的个数，即降低维数。
j
1
f
* j
（j=1，2，……m）
行其域中内，的f最j*优目m x标Di函fnj(数x)值（。j=1式，中2的…… j，反m映）了即各分分目目标标在函可数
多目标优化方法简介
k s1
显然，求 min f (X) 可 得最优解。
（5）极大极小法
对于多目标函数最优化问题，考虑对各个目标 最不利情况下求出最有利的解。就是对多目标极小 化问题采用各个目标fi中的最大值作为评价函数。
即 m U f( X i) n m m i f i( X n a ) x 或 m U f ( X i ) n m m W i if i ( n X a ) x
那么，这种先在第一优先层次极大化总利润，然 后在此基础上再在第二优先层次同等地极小化工人加 班时间的问题就是分层多目标优化问题。
多目标约束优化问题的数学模型为
X { x1, x2 , , xn}T R n min f 1 ( X ) min f 2 ( X ) min f q ( X ) s .t. g u ( X ) 0 (u 1,2 , m )
mx in
f2 D1
x
x
f
* 2
f1x
f1* 1
3
min f3 x D2
x
x
f
* 3
fi x
f
* i
i
i 1,2
4
mxin
fl x
Dl 1
x fix
f
* i
i
i 1,2, , l 1
所以，解决多目标优化设计问题也是一个复杂 的问题。近年来国内外学者虽然作了许多研究， 也提出了一些解决的方法，但比起单目标优化设 计问题来，在理论上和计算方法，都还很不完善， 也不够系统。
从上述有关多目标优化问题的数学模型可见，
改善系统动态特性的HVDC与SVC多目标非线性协调控制
中 图分 类 号 ：Ｍ ６ 文 献标 识码 ： 文 章 编 号 ：０３ ９４２ｏ ） 一Ｏ４ Ｔ ７３ Ａ １０ —６５ （ｏ６ 增 Ｏ６—０ ４
近 年来 ， 随着 电 力工 业 的 迅 速 发展 ， 网规 模 日 电
能更 好 地 稳 定 直 流 系 统 逆 变 侧 的 电 压 ， 提 出 了 故 ＨＤ Ｖ Ｃ与 Ｓ Ｃ的多 目标 非线 性 协 调控 制 ， Ｖ 通过 综 合建 模 ， 究 了单机 交直 流混合 系统 中 Ｉ Ｄ 研 － Ｃ和 Ｓ Ｃ的协 Ｉ Ｖ ｖ 调控制 。通过状 态反馈精确反馈线 性化 方法设 计 了以 提高系统暂态稳定性 和改善交 流母 线 电压 为 目标 的协
ｏ ｔ Ｃ Ｉ ｓｓｍ ｎｂ ｆｈ Ａ ／￣ ｙｔ ｃ ｅ￣ ｒ， ｆｃｖｌ． ｅ ｅ ａ ｏｅ ｅｅｔｅ ，ｄ ｉ ｙ
ｉ ｃｕ ｉｇ ｂ ｔ ＤＣ ａ ｄ Ｓ Ｃ，ｔｅ ｅ ａ ｔ ｉ ｅ ｒ ａｉｎ ｔｅ ｒ ｙ ｓ ｔ ｅ ｂ ｃ ｔ ｉ ｅ ｕ ｅ ｔｅ ｎ ｎ—ｌ ｅ ｒｃ ｎ ｒｌ ｔ ｔｇ ｎ ｌｄ ｎ ｏｈ ＨＶ ｎ Ｖ ｈ ｘ ｃ ｎ ａ ｉ ｔ ｏｙ ｂ ｔ ｅｆ ｄ ａ ｋ ｉ ｉ Ｔ ｔ ｄ ｄ ｃ ｏ ｌ ｚ ｏ ｈ ａ ｅ ｓ． ｌ ｍｔ ｏ ｈ ｉ ａ ｏ ｔ ｒ ｅ ｙ ｎ ｏ ｓａ
维普资讯
第 ２ 卷增 刊 ９
２０ 年 ｌ ０６Ｓｃｕ ｎ Ｅｅｔｉ ｏ ｅ ｉｈ ａ ｌｃｒｃＰ ｗ ｒＴｅｈ ｄｅ ｙ ｃｎ ｇ
Ｖｄ． ９． ６ ２ ｂ． Ｄｅ ．Ｉ ６ ｃ．２ ０ Ｄ
改 善 系 统 动 态 特性 的 Ｈ Ｄ Ｖ Ｃ与 Ｓ Ｃ多 目标 Ｖ 非线 性 协 调 控 制
益增大 ，西电东送” “ “ 、南北互供 ” 工程将构成公共电 网发 展 的基本 格局 ， 流输 电将 以其 高度 可 控 、 速 直 快
多目标下的自动化立体仓库拣选作业路径优化
口 陆 园 口 洪 跃
上海 ２ ０ ７ ００ ２ 上海 大 学 机 电 工程 与 自动 化 学 院
摘
要 ： 自动化 立体 仓 库 系统是 在 计 算机 直接 控 制 和 管理 下 自动 存 取 并 实现 综 合 自动 化 管 理 货 物 的 多层 仓 库存 储
系统 ， 中 ， 垛 机 作 业 时 间 长短 直 接 影 响仓 库 存 储 效 率 的 高低 。针 对 堆垛 机拣 选作 业模 式 ， 出 了 自动 化 立 体 仓 库 拣 选 其 堆 提
作 业 的 新 型数 学模 型 ， 对 遗 传 算 法初 始 种 群 进 行 改进 ， 改进 后 的遗 传 算 法对 该 模 型 进 行 了求解 。 并 用
行 、 取 货 物 ， 称 巷 道 堆 垛 机 。 巷 道 堆 垛 机 是 随 着 立 存 又
行 人 工 拣 选 ． 有 待 拣 选 货 位 拣 选 完 后 回巷 道 口 。 所
以 堆 垛 机 一 次进 出巷 道遍 历 ５
个 货 位 点 为例 ， 堆
垛 机 运 行 路 线 如
图 １所 示 。
式 中 ： １６ ；２ｈｖ 。 ｋ＝ ｋ＝ ｌ
（） ２
的总 路程 最 短 ； （ 是 保 证 每个 货 位被 访 问一次 ， 式 ９） 回 到 巷 道 口 ｍ 次 ； （ ０） 要 求 访 问 某 货 位 和 离 开 某 货 式 １ 是 位 在 同 一 次 作 业 ； （ １是 要 求 每 次 作 业 拣 选 的 货 物 式 １）
程 ； ＝１为 如 果 拣 选 完 货 位 ｉ 货 物 后 立 即 拣 选 货 位 的
个 货 位 点 为 例 ， 垛 机 运 行 路 线 如 图 ２所 示 。 堆 考 虑 到 周 转 货 箱 的 容 量 限 制 ．重 新 对 堆 垛 机 拣 选 作业 的路径 优化 ， 式 （） 基础 上可 改为 ： 在 １的
多目标优化模型在艾滋病疗法的疗效预测上的应用
ｍａ （ ｃ ｔ ） ｘ Ｖ 阱（） ｌ‘ ｍｉ（ Ｉ ｔ ） ｎ Ｈ Ｖ（）
此 处 Ｃ ４ ｔ ： 试 时刻 为 ｔ Ｃ ４浓度 ； ｃ ｔ ： Ｄ （）测 的 Ｄ Ｖ （） 测试 时刻 为 ｔ Ｃ ４浓 度 变化速 率 ； Ｉ ｔ ： 试时 刻为 ｔ 的 Ｄ Ｈ Ｖ（） 测
的 Ｈ Ｖ浓度 。 Ｉ
一
一
Ｉ Ｉ ‘
０． ０ ４ｔ ０ ２４ ３＋０
Ａ Ｔ ３０ 表 １ 是 同时服用 ｚ ｏｕ ｉ （ Ｃ Ｇ２（ ） ｉ ｖｄ ｅ 齐多夫 ｄ ｎ 定 ）ｌ ｉ ｄ ｅ 拉美夫定 ） ｉ ｉａｉ 茚地那 韦） ， ｍｖ ｉ （ ａ ｕｎ 和 ｎ ｎｖ （ ｄ ｒ ３ 种药物的 ３０多名病人每隔几周测试 的 Ｃ ４ 免疫细 ０ Ｄ（
胞 ） Ｈ Ｖ的浓度 （ 和 Ｉ 每毫升血液里的数量） 。
２５ ０
Ⅳ 类
２ ８
Ｖ类
１
百分率（ ％）
抽样个数
６４ ． ６
６
２． ７８
２ ８
５ ． ７６
５ ８
７ ８ ．６
８
０２ ．８
０
容易看出， Ｖ类偏离大多数病人的检测情况 ， 故可
最佳 治 疗终止 时 间的确 定
忽略不予考虑； 另外在整体 中，、 类 中的病人 均偏 ＩⅣ
ｉ ４） ｃ ￡面 ｊ ｃ （，附 ） Ｄ ￡Ｖ （ ，
（ ２ ）
Ｖ （） ［ Ｄ Ⅱ ｆ］ ｏ １４ ４ ｔ— ．５５ ｔ ｔ ＝ Ｃ ４ （） ＝ ．１９２ ２９８６ ３
＋１． ７ １ ７３５６ （） ８
为 了求解模 型 （ ）建 立病 况 函数如 下 ： ２ ，
：
江苏省高校 自然科学项 目（７ Ｂ １０ ０ 南通大学校级 自然科 学 ０ ＫＪ １ ０９ ）；
多目标优化算法中的hv指标的计算
多目标优化算法中的hv指标的计算多目标优化算法是一种用于解决具有多个冲突目标的优化问题的方法。
在多目标优化问题中，通常存在多个目标函数，这些目标函数之间可能存在相互矛盾的关系，即改善一个目标往往会导致其他目标的恶化。
因此，多目标优化算法的目标是找到一组解，这些解能够在多个目标函数上取得较好的性能，而不是仅仅寻找一个最优解。
为了评估多目标优化算法的性能，需要引入一种指标来度量其在多个目标函数上的表现。
HV（Hypervolume）指标是一种常用的多目标优化算法性能评估指标。
它可以用来度量算法生成的解集的多样性和收敛性。
具体来说，HV指标通过计算解集所构成的超体积来评估算法的性能。
超体积是指解集所覆盖的目标空间中的区域的体积大小。
计算HV指标的关键是确定参考点。
参考点是一个向量，其中的每个元素都是目标函数在已知最优解上的最大值。
通过将解集中的每个解与参考点进行比较，可以确定解集所构成的超体积。
具体计算HV指标的方法是，首先将解集中的每个解的目标函数值与参考点进行比较，得到一个相对值。
然后，根据相对值计算每个解的贡献值，即解对超体积的贡献程度。
最后，将解的贡献值相加，即可得到解集的HV指标值。
HV指标的计算过程需要对解集中的每个解进行比较和计算，因此计算复杂度较高。
为了提高计算效率，可以使用一些近似计算方法，如快速非支配排序算法（Fast Non-dominated Sorting，FNS）和快速计算HV指标的算法。
这些算法通过对解集进行排序和划分，可以减少比较和计算的次数，从而加快计算速度。
HV指标的值越大，表示解集的多样性和收敛性越好。
因此，对于多目标优化算法的性能评估来说，HV指标是一个重要的参考指标。
通过比较不同算法在HV指标上的表现，可以评估它们的优劣。
在实际应用中，HV指标可以用于选择最佳的多目标优化算法，并对算法进行参数调优。
此外，还可以将HV指标与其他指标结合使用，进一步评估算法在多个方面的性能。
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多目标优化hv指标-回复
多目标优化(HV指标)是一种用于评估多目标优化问题解决方案的效果的指标。
在本文中，我们将逐步解答有关HV指标的问题，包括它的定义、如何计算以及它在多目标优化中的应用。
1. 什么是多目标优化(HV指标)？
多目标优化是一类具有多个相互独立目标的优化问题。
与传统的单目标优化不同，多目标优化旨在找到一组解决方案，这些解决方案在多个目标之间具有平衡性，无法通过单一目标优化来得出最优解。
HV指标是用于评估多目标优化解决方案的一种方式。
2. HV指标是如何计算的？
HV(Hypervolume)指标是通过计算解决方案集合在目标空间中所包围的体积来评估解决方案的效果。
其计算方式如下：
a. 首先，确定目标空间中的参考点，该参考点应该能够覆盖到所有可能的解决方案。
b. 然后，计算每个解决方案到参考点的距离，可以使用欧式距离等距离度量方法。
c. 计算每个解决方案的HV值，即该解决方案支配的面积或体积。
d. 最后，对所有解决方案的HV值求和，即可得到HV指标的值。
3. HV指标在多目标优化中的应用
HV指标在多目标优化中有广泛的应用，包括以下几个方面：
a. 解决方案评估：HV指标可以衡量解决方案集合的整体效果，帮助研究者或决策者判断一组解决方案的优劣。
b. 算法比较：HV指标可以用于比较不同优化算法生成的解决方案集合，从而评估算法的性能。
c. Pareto前沿识别：HV指标可以帮助识别Pareto前沿，即一组非支配解决方案中的最优解决方案集合。
d. 算法改进：HV指标可以作为优化算法改进的目标，研究者可以通过提升HV值来改进算法的性能。
4. HV指标的优势和局限性
HV指标具有以下优势：
a. 可解释性：HV指标提供了一种直观的方式来评估多目标优化解决方案的效果。
b. 通用性：HV指标适用于各种多目标优化问题，不受具体目标函数形式的限制。
c. 动态性：HV指标可以通过动态更新的方式进行计算，以适应随时间变化的解决方案集合。
然而，HV指标也存在一些局限性：
a. 维度灾难：随着目标数量增加，HV指标的计算复杂度会急剧增加，导致在高维问题中不易应用。
b. 参考点选择：HV指标的计算依赖于参考点的选择，不同的参考点可能导致不同的评估结果。
c. 解决方案密度：HV指标对解决方案的密度敏感，可能无法准确评估分布较为稀疏的解决方案集合。
综上所述，HV指标是一种用于评估多目标优化问题解决方案的有效工具。
我们介绍了它的定义、计算方法以及在多目标优化中的应用。
尽管HV指标具有一些优势和局限性，但它仍然是一种重要的评估指标，有助于研究者和决策者进行多目标优化问题的决策和比较。