大学数学学科考研历年真题试卷

大学数学学科考研历年真题试卷导言：

大学数学学科考研是众多数学爱好者和研究生考生的关注焦点。通过历年真题试卷的学习和分析，可以帮助考生更好地了解考试要求、提高解题能力和应对考试压力。

第一部分：选择题

本部分共包括50道选择题，每题5分，满分为250分。本部分考察考生对基础数学知识的掌握和运用能力。

第一节：代数

1. 如果函数 f(x) = x^2 + bx + c 在 x = 1 处取得最小值 6, 则 b + c 等于多少？

2. 已知复数z = 2 + √3 i，下列哪个式子成立？

A. (1 + i)z = 3√3 + i

B. z^2 = 7 + 4√3 i

C. |z| = 2√3

D. arg(z) = π/3

3. 设 a 为正整数，函数 y = ae^x 在 x = 0 处的切线与 y 轴交于点 P，与 x 轴交于点 Q，若 PQ 的长度为 4，则 a 的值为多少？

4. 已知复数 z = a + ib，且 |2z + 3i| = |4 - 5z|，则 a + b 的值为多少？

5. 函数 y = a(x - α)(x - β) 在 x 轴上的两个交点到 x 轴的距离之和为 3，且两个交点到直线 x = 1 的距离之差为 2，那么a + α + β 的值为多少？

第二节：微积分

1. 设函数f(x) = ∫[0,x] (t^2 - 1)e^t dt，其中 a < x < b，f(a) = f(b) = 0，

若存在 c∈(a,b) 使得 f''(c) = ln2，求（b - a）的值。

2. 函数 f(x) = x + 2sinx - π 的周期为2π，那么 f'(x) = 0 的解的个数为

多少？

3. 函数 y = f(x) 在 x = a 处可导，当 x > a 时，f(x) 的二阶导数为 f''(x) = 2e^x + ax + b，其中 a, b 为常数，且满足 f(0) = 0，f(e) = e^2，求 f(x)

在 x = a 处的切线方程。

4. 设 y = f(x) 是由 x^2 + y^2 = 1 的参数方程x = 1/2 (cosθ + sinθ)，y

= 1/2 (cosθ - sinθ) 所确定的隐函数 y = f(x)，求 f'(1/2) 的值。

5. 函数 f(x) = |x^2 - x - 2| 的极值点个数为多少？

第二部分：计算题

本部分共包括5道计算题，每题12分，满分为60分。本部分考察

考生对数学知识的综合运用和解题能力。

1. 计算极限

lim(x→0) (sqrt(1 + x) - 1) / x

2. 若方程 ax^2 + 2bx + c = 0 有两个不等实数根 x1 和 x2，且满足

x1^2 + x2^2 = 18, x1 - x2 = 2，则 a + b + c 的值为多少？

3. 设函数 f(x) = x^3 - 3x + 2，在区间 [0, 3] 上是否存在介于 f(x) 和 x 的图像之间的零点？请说明理由。

4. 设函数 f(x) = sinx / x，若 f'(x) 在(α, β) 上恒大于 0，求函数 f(x) 在(α, β) 上是否单调增加，并说明理由。

5. 设函数 f(x) = e^x (x - 1)，在区间 [a, b] 上的最大值为 e，求 a + b 的值。

第三部分：解答题

本部分共包括5道解答题，每题20分，满分为100分。本部分考察考生对数学知识的深入理解和解决问题的能力。

1. 证明：若 g(x) 在区间 [a,b] 上连续，且存在一个数 L 使得对任意的 x∈[a,b] 都有|g(x)| ≤ L，那么存在一个数 c∈[a,b] 满足 g(c) = 0.

2. 设函数 f(x) 在(0,+∞) 内连续，且满足 f(x) = xf(1/x)，求证：对于任意的正整数 n，都有 f^(n)(1) = 0（其中 f^(n)(1) 表示函数 f(x) 的 n 阶导数在 x = 1 处的值）。

3. 求函数 y = x^3 - 3x + 2 的驻点、拐点及其对应的函数值。

4. 设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，该区间上有一个数 M，使得对任意的 x ∈ [a,b] 都有|f(x)| ≤ M，求证：函数在该区间上必存在一个最小值和最大值。

5. 设函数 f(x) 在区间 [0,1] 内连续，且满足f(x) = ∫[0,x] (t^2 -

x^2)^(3/2) dt，求 f(x) 在 x = 1/2 处的最小值。

结尾：

通过对大学数学学科考研历年真题试卷的学习和分析，我们可以更好地了解考试内容和要求，提高数学解题能力和应试能力。希望以上内容对考生们有所帮助，祝愿大家考试顺利！