冲刺2022年上海中考数学压轴题第7讲 相似三角形的存在性 解法分析与经典变式(解析版)

第7讲相似三角形的存在性

在很多与相似三角形相关的压轴题中，其中常见的一种题型就是相似三角形的存在性讨论。对于相似三角形的存在性问题，一般来说，会有一组等角，然后从边或从角的角度进行分类讨论：

通常，我们还可以借助基本图形分析法，找到边与角的数量关系，从而完成上述问题的讨论。

例1.（2022金山一模25题）.已知：如图 11，AD⊥直线MN，垂足为D，AD=8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC=90°，边

AC 交射线DN 于点C，∠ABC 的平分线分别与AD、AC 相交于点E、F.

（1）求证：△ABE∽△CBF；

（2）如果AE=x，FC=y，求y 关于x 的函数关系式；

（3）联结DF，如果以点D、E、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长.

2022金山一模25题的图形背景是母子型+角平分线，解题路径围绕着相似三角形的性质定理、判定定理以及射影定理展开。题型主要围绕证明三角相似，函数关系的建立以及相似三角形的存在性讨论。

本题的关键是根据三角形的相似或角平分线的性质标出图形中的等角，然后再根据

角的等量关系确定线段间的数量关系。

解法分析：本题的第一问是相似三角形的判定。利用角平分线和平行线得到等角，继而再射影定理模型中的等角关系，利用A.A判定相似即可。

解法分析：本题的第二问是函数关系的确立。利用第一问中相似三角形对应线段成比例以及等角的三角比相等可以顺利地建立函数关系。

解法分析：本题的第三问是相似三角形的存在性讨论。由第一问中角的数量关系可得∠BFC=∠DEF ，因此由角进行分类讨论。在分类讨论的过程中，善于运用斜X 型和射影定理模型即可快速得到结论，对于不存在的情况要能够排除。

解：（1）∵AD ⊥直线MN ，∠BAC =90°，∴∠BAD +∠ABD = 90°， ∠BCF +∠ABD = 90°，

∴∠BAD =∠BCF ……………………………………………………………………………（1分）

∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBF ………………………………………………………（1分） ∴△ABE ∽△CBF . …………………………………………………………………………（

1

分）

（2）作FH ⊥BC 垂足为点H .

∵△ABE ∽△CBF ，∴∠AEB =∠CFB ，∵∠AEB+∠AEF =180°，∠CFB+∠CFE =180°

∴∠AEF =∠CFE ，∴AE =AF=x ；…………………………………………………………（1分） ∵BF 平分∠ABC ，FH ⊥BC ，∠BAC =90°，∴AF=FH=x .

∵FH ⊥BC ，AD ⊥直线MN ，∴FH∥AD ，∴FH FC AD AC

=，即8x y y x =+，…………（2分） 解得：2

8x y x

=-（48x <<）……………………………………………………………（2分）

（3）设AE=x ，由△ABE ∽△CBF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，即以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△ABE 相似.

∵∠AEB =∠DEF ，

如果∠BAE =∠FDE ，得DF∥AB ，∴∠ABE =∠DFE ，

∵∠ABE =∠DBE , ∴∠DBE =∠DFE ，∴BD=DF , ………………………………………（1分） 由DF∥AB ，得∠DFC=∠BAC =90°，∴∠DFC=∠ABD =90°，

又∠BAD =∠BCF ，∴△ABD ≌△CDF ，…………………………………………………（1分）

CF=AD=8，即2

=88x x

-，

解得：4x =-±

（舍去负值），∴4AE x ==-+…………………………（1分）

如果∠BAE =∠DFE ，得AE BE EF DE

=，∵∠ABF =∠BED ，∴△AEF ∽△BED ，∴∠AFE =∠BDE ， 因为∠AFE 是锐角，∠BDE 是直角，所以这种情况不成立。…………………………（2分） 综上所述，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，AE

的长为

4-+.（1分）

例2.（2022杨浦一模25题） 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝5，点D 为

射线AB 上一动点，且BD ＜AD ，点B 关于直线CD 的对称点为点E ，射线AE 与射线CD 交于点F ．

（1）当点D 在边AB 上时，

①求证：∠AFC ＝45°；

②延长AF 与边CB 的延长线相交于点G ，如果△EBG 与△BDC 相似，求线段BD 的长；

（2）联结CE 、BE ，如果S △ACE ＝12，求S △ABE 的值．

2022

杨浦一模25

题的图形背景是等腰直角三角+轴对称，解题路径围绕轴对称的性质以及角的和差关系等。题型主要围绕证明某个角为45°，三角形相似的存在性以及求三角形的面积。2021杨浦一模的25题的图形背景也是等腰直角三角形。 本题的关键是根据等腰直角三角形的性质以及轴对称的性质，寻找等线段以及等角。

解法分析：本题的第一问通过联结CE ，通过对称性，得到CF 平分∠BCE ，利用角的和差关系证明∠AFC=45°。

解法分析：本题的第二问是相似三角形的存在性讨论。首先两个三角形有一组等角：45°，其次确定一组相等的钝角，得到∠G=22.5°。利用22.5°特殊角的性

质，计算出BD的长度。

解法分析：本题的第三问是求三角形的面积。需要分类讨论：即点D在线段AB或线段AB的延长线上。依据面积的和差关系计算。