全国大学生数学建模优秀论文(A题) 国家一等奖
2008年数学建模A题全国一等奖论文
2008年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文数码相机定位摘要本文通过对数码相机的靶标和像平面相互之间关系的分析，利用选取相关对应点和坐标转换的方法，确定靶标圆心在像平面的投影位置，进而完成了系统标定模型，解决了相机的单目定位问题。
对于问题1，为确定靶标上圆的圆心在一个相机像平面的像坐标，需要得到相机像平面中点与靶标上点的对应关系。
通过将相机外部参数和内部参数联立可以建立模型1。
对于问题2，内部参数通过焦距可以得到，而外部参数的获得则需要事先确定一组特殊点。
由于靶标上两条线的交点在像平面上的投影点即为这两条线在像平面上的投影图线的交点，因此我们首先对图像进行边缘提取和椭圆拟合，然后利用程序选择靶标上A 、C 两个圆的外公共切线的切点作为特殊点。
将对应特殊点带入（1）式，就可以求得外部参数。
最后利用几何关系得出靶标上圆心的坐标，带入得到它们在该相机像平面的坐标。
结果为：vA O （-4.4324，-6.7785，0）、vB O （-2.3，-6.4456，0）、vC O （3.39，-5.9757，0）、vD O （-4.5471，3.7096，0）、vE O （2.1965，3.2275，0）。
见图3。
对于问题3，为了检验模型，本文通过计算机模拟数据，可以得到一个内外参数都已知的图像。
进而可以确定这四个顶点在像平面的准确坐标。
根据（1）式可以得到这四个顶点的计算坐标，把计算坐标与准确坐标的距离为对角线的矩形面积称为误差面积，误差率=误差面积/相纸面积。
计算误差率分别为：0.017591%、0.01777%、0.01532%、0.01557%。
从而可知用此模型精确度高，稳定性强。
对于问题4，类似于问题3，进行计算机模拟，得到空间两不同角度拍摄图像，进而得到在此数码相机坐标系下的特殊点坐标。
由于在求像坐标时考虑到了数码相机的透视效应，也就是内部参数，而两个数码相机的空间位置关系仅仅是外部参数的关系，因此可以求得仅考虑外部参数时两个像平面上的坐标，进而做差求出两个数码相机的相对位置坐标。
全国大学生数学建模大赛A题全国一等奖论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分析摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出，城市土壤表层的重金属污染问题日益严重。
本文采用克里格插值法绘制污染物空间分布图，内梅罗评价法对污染状况进行评价，相关分析和主成分分析去探究污染原因，建立二维传播模型确定污染源位置。
针对问题1，为了解决污染物空间分布问题，我们首先采用统计分析的方法大致分析了污染物在各个研究区的分布离散度等情况，然后根据克里格插值法用MAPGIS 软件绘制了重金属污染物的空间等值线图并对其进行分析。
为了解决污染程度问题，我们采用尼罗德评价法，分析出生活区Zn 污染最为严重，整体一般清洁，工业区和交通区污染较为严重，山区和公园绿地大体环境清洁。
针对问题2，为分析重金属污染主要原因，我们首先对重金属污染进行Pearson 相关分析，相关系数表明大部分重金属污染物之间都有较强的正相关关系，又因信息的重叠度较高，我们采用主成分分析法解读污染来源，发现Cd 、Cr 、Cu 、Pb 、Zn 这几种重金属污染元素很可能来自农药施用，工业“三废”排放，As 、Ni 主要来自工业区的污染物排放。
2021年国赛数学建模A题优秀论文
2021年国赛数学建模A题优秀论文本文基于FAST的工作原理，通过机理分析、坐标変换、非线性最小二乘优化等方法，建立了反射面板谟节优化模型・并利用BFGS 算法、蒙特卡洛积分算法等算法，对不同条件下反射光线吸收比率进行了研究。
问题一中，首先基于固定的仰角观测目标S、圆心C和焦点P・利用旋转抛物面的中心对祢性，选取焦距作为自由度控制变量，构建在极坐标系下开口竖直向上的二维抛物线方程.得到不同偏转角度下原点到抛物线的距离.进而导出三维下的旋转掀物面方程。
其次，以焦距为决策变量，将口径300米的拋物面作为积分域•将理想抛物面到原点的距离与基准球面半径差值平方作为被积函数进行积分作为最小化目标函数.建立了确定理想抛物面的优化模型。
最后，使用二分法求得目标函数导函数在定义区间上的零点.得到理想抛物面焦距的精确值为280.854,误差平方积分的最小偵为10.112o此时对应理想抛物面的解析式为z=Q+#)2/561.708300.841,问题二中，首先利用球坐标下不同轴线方向抛物面的旋转不变性.在原坐标系和问题一的坐标系之间建立了双向可逆的变换关系.得到了不同方位角下理想抛物面到原点的距离。
其次.以主索节点的工作坐标和促动器的伸缩长度为决策变量:.以积分域覆盖的主索节点到原点的距离与理想抛物面到原点的距厲之差的平方和为最小化目标函数.分别考虑下拉索长度固定、相邻节点的距离变化幅度不超过0.07%.促动器的伸缩范围在±0.6m为约束条件.建立反射面板调节优化模型。
最后，使用拉格朗日乗子法和BFGS算法进行求解.得到误差平方在抛物面口径上的积分的最小值为5.1353X109.理想抛物线的顶点坐标为(-49.392,-36.943,-294.450).调节后反射面300米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果见文件result.xlsxe问题三中，首先通过旋转变换.将反肘问题的倾斜入射光线转化为垂直入射光线。
数学建模国家一等奖优秀论文
２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。
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以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
)日期： 20１4 年 9 月15日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:创意平板折叠桌摘要目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。
某公司设计制作了一款折叠桌以满足市场需要。
以此折叠桌为背景提出了三个问题,本文运用几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决了这三个问题，得到了折叠桌动态过程的描述方程以及在给定条件下怎样选择最优设计加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们的设计。
数学建模全国赛07年A题一等奖论文
关于中国人口增长趋势的研究【摘要】本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。
首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。
在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。
然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。
与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。
为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。
在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。
在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。
此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。
接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。
在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。
全国大学生数学建模大赛国家一等奖论文A题
=
− − ( − 1)′
, = 1, 2, · · ·, 210
当逐渐增大，锚链受到的竖直向下方向的合力与支持力之差先逐渐接近于0，
再等于0，直至小于0。当合力小于0时，锚链以海床接触，此时海床提供向上的支持
力，其大小与′ 相等。因此可将小于0 的值都作零处理，故锚链接触海床时，
对于问题二，首先考虑第一个子问题，将风速36/直接代入问题一的模型中，
得出此条件下的吃水深度为0.723，各钢管倾斜角度(度)依次为8.960、9.014、9.068
、9.123，钢桶倾斜角(度)为9.179，锚链链接处的切线方向与海床的夹角(度)为18.414，
游动区域半径为18.80。发现此条件下，水声通讯系统设备的工作效果较差,且锚被
计与应用对海上科学发展有重要意义。
1.2 问题的提出
已知某近浅海传输节点(如图1所示)，将浮标视作底面直径2为、高为2、质量
为1000的圆柱体，锚的质量为600，钢管共4节，每节长度为1，直径为50，
每节钢管的质量为10。水声通讯系统安装在一个长为1、外径为30的密封圆
柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100。
Step1: 遍历求解
令吃水深度ℎ的初始值为0.1，以0.0005为单位逐步增加至2。( 浮标高度为2，
完全浸没时吃水深度ℎ则为2 )，记录对应的数据，选取水下物体竖直方向高度和
与海域水深最接近的组别，进一步进行计算，结果如下表所示(具体程序见附录)：
表 1: 不同风速的相关结果表
以风速24/的情况为例，绘制游动区域图：
题意的变量临界值。以水深16、系统各部分递推关系式和钢桶与竖直方向夹角小
于5°为约束条件，将多目标优化转化为单目标优化。通过调节决策变量中锚链的型
2016年数学建模国赛A题一等奖论文
摘要
近海系泊系统作为气象监控、海洋探测的主要载体工具，对工程的实际应用 有一定的积极作用[1]，研究系泊系统在不同环境状况下的内在关系，进而给出适 应不同情况的设计方案，并编写相应的应用软件，有着不能忽视的现实意义[2]。
针对问题一，在整个系泊系统处于最终平衡状态下，从系统的上部钢管开始 受力分析计算，建立不同方向上力的平衡方程和以下部链结点为取距中心的力矩 平衡方程，求得钢管倾斜角度以及下部单元间相互作用拉力，进而计算出钢管的 相对位置改变量。继续分析下部单元的受力情况，建立相同的平衡方程组并求解， 通过反复迭代计算，建立以浮标吃水深度为自变量的迭代代数模型，可求得河道 底部的链环倾斜角度以及整个系泊系统的垂悬高度。进而利用粒子群算法优化上 部浮标的吃水深度，并经过多次迭代优化，最终得到水深 18 米并且风速为 12m/s 和 24m/s 时，浮标吃水深度分别为 0.7348 米和 0.7489 米，同时算出各节钢管的 倾斜角度和各单元的位置坐标（附录及支撑材料），以及浮标游动区域半径 14.2005 米和 17.3203 米。结合理想状态下的锚链悬链线方程拟合位置坐标数据 得出良好的锚链形状曲线方程（式 1.16-1.17），并利用 CAD 软件绘制了所得结 果下的系泊系统 3-维立体分布示意图（图 10）。
在系泊系统中，锚的质量为600kg ，锚链选用无档普通链环。锚与锚链末端 链接，要求链接处的切线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致 使节点移位丢失。钢管共 4 节，每节长度 1m ，直径为 50mm ，每节钢管的质量 为10kg。钢桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的 工作效果最佳，钢桶的倾斜角度超过 5 度时，设备的工作效果较差。为了控制钢 球桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链接处可悬挂重物球。
2017全国大学生数学建模比赛a题国一优秀论文doc
2017全国大学生数学建模比赛a题国一优秀论文.doc2017全国大学生数学建模比赛a题国一优秀论文.doc制动器试验台的控制方法分析摘要汽车制动性能的检测是机动车安全技术检验的重要内容之一，制动器的设计也成为车辆设计中重要的环节，在车辆设计阶段需要在制动试验台上对路试制动情况进行模拟，本文主要对制动试验台上的一系列问题进行了研究。
对问题1，我们利用能量守恒定律，把车辆平动时具有的动能等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的转动动能，以此求得等效的转动惯量为。
对问题2，根据刚体转动知识建立了飞轮转动的积分模型，求得3个飞轮的转动惯量，进而可以组合成8种机械惯量。
由电动机补偿惯量的范围及问题1等效的转动惯量，可以计算出需要电动机补偿的惯量为，或，考虑节能时，取补偿惯量为。
对问题3，由机械动力学知识建立刚体转动的微分模型，可以得到电动机驱动电流依赖于可观测量（主轴的扭矩）的数学模型表达式为，代入已知数据可以计算出驱动电流为。
对问题4，通过固定机械惯量与路试时的转动惯量进行比较，确定电惯量的补偿量，进而确立了混合惯量模拟方法，建立微分方程模型，求出主轴扭矩为恒定值，又对实验的数据与理论值进行比较，用隔项逐差法分析了相对误差的大小分别为，可以得知该控制方法是切实可行的。
对问题5，我们可以根据自动控制原理建立单闭环反馈系统，通过传感器检测出主轴的扭矩，通过线性关系建立差分模型，可依据前一时间段观测到的瞬时扭矩，求出前段时间的电流值，并可预测出本时段驱动电流的值。
将能量误差等效为预测电流值与理论值的相对误差，利用问题4的数据，分析处理得到的相对误差为，此控制方法比较合理。
对问题6，我们分析了上个模型在实际模拟时要受到转速的影响，可在模型5的系统上再加上一个转速反馈，建立双闭环反馈系统，反应了转速与扭矩的关系（常数），可预测出下段时间的电流。
由问题4求出扭矩和转速的相对误差的倒数的比重等效为预测的电流、的权重，对其加权求和后计算出与其理论值的相对误差为，此系统的控制方法较问题5更加合理一些。
数学建模全国赛07年A题一等奖论文
数函 ztrepmoC
拟模态动
测预色灰
型模 citsigoL�字键关
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2010年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文
4012.74L V12 abL1
Ⅴ：当油面在图五中⑤线以下，即 H 0 mm 时，由于显示油面高度为 0 ，所以只能得到 此时储油罐内燃油体积的上限，此上限可在第Ⅰ种情况中得到。得
§2
问题分析
储油罐是根据无变位情况下油面高度 H 与燃油体积 V 的关系进行标定的， 若要实现 储油罐的变位识别和罐容表标定，就需要建立燃油体积 V 与油面高度 H 的数学模型。 问题一： 若要探究发生纵向变位对罐容表的影响，应首先建立无变位和发生纵向变位时，罐 容表标定值与油面高度 H 分别满足的关系。由变量 H 计算发生纵向变位后的实际燃油 体积，将其与罐容表的标定值进行比较，分析变位对罐容表的影响。由此，需要分别建 立无变位情况下和发生纵向变位情况下，储油罐内燃油体积 V 与油面测量高度 H 的模 型。利用几何知识和微积分的理论，可以很容易建立无变位情况下的模型。对于发生纵 向变位，可以用微元分析法，分情况计算储油罐内的实际燃油体积。得出模型后，对模 型计算所得数据与题目所给数据进行比较，分析误差，加以改进。 问题二： 问题二要求对这种两边是球冠体， 中间为柱体的实际储油罐建立燃油体积 V 与油面 测量高度 H 的数学模型。 由于这种储油罐的形状比椭圆型储油罐复杂， 而且又发生了 、
的纵向倾斜和横向偏转，处理起来比较麻烦。可以将这种实际储油罐分为左球冠、中
间圆柱体和右球冠三个部分，对油面测量高度为 H 的情况下，分别计算三个部分内燃油 的体积，然后将其求和即为储油罐内燃油体积。可以采用微元法分别建立三部分内燃油 体积与油面测量高度 H 的模型，不过要考虑 H 取不同范围内的值时，体积求解方法可 能不同。如果积分形式过于复杂，可以考虑采用积分的数值算法，用和逼近。考虑到模 型建立时，参数 和 是未知的，可以用回归分析的方法，求得使理论计算值与实际值
数学建模国家一等奖优秀论文---2005A
2004年全国大学生数学建模竞赛全国二等奖
1
重庆通信学院：郑丽莉、叶淑香、李立埔，指导教师：刘忠敏
一．问题的提出
我国电力市场采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，
必须遵循电网“安全第一”的原则，并制定电力市场交易规则，按照购电费用最小的经 济目标来运作。此电力市场交易规则为：①以十五分钟为一个时段组织交易，每台机组
下一个时段预报负荷需求是982.4MW，给出下一个时段各机组的出力分配预案。我们通
过对表四段价的排序，结合表3巧妙地解决了此问题。问题4是检查得到的出力分配预
案是否会引起输电阻塞，并在发生输电阻塞时，根据安全且经济的原则，调整各机组出
力分配方案，并给出相应的阻塞费用，我们将此问题转化为非线性规划，利用lingo且
请你们研究下列问题： （1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区? （3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去 10 年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展 趋势做出预测分析，比如研究未来 10 年的情况。 （4）根据你的预测分析，如果未来 10 年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在 20% 以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？ （5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
可不用拉闸限电。更详细的结果如下：
W=982.4MW时阻塞费用
J0=303
F=58∆0X5=元[0.492 9 48 -9.42 27 -43.27 -34.9 3.1]
X 0=[150.0 79.0 180.0 99.5 125.0 140.0 95.0 113.9 ]
数学建模国家一等奖优秀论文---2004A
个商区内不同类型 MS 的个数），以满足上述三个基本要求。 4． 阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。 说明 1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲 望。 2．为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为 10 万人，国家体育馆容量为 6 万人，国家游泳中 心（水立方）容量为 4 万人。三个场馆的每个看台容量均为 1 万人，出口对准一个商区，各商区面 积相同。 附录 对观众发放的问卷调查，收回率为 33%，三次共收回 10000 多份。具体数据请在 access 数据库中索 取，其中年龄分 4 档：1）20 岁以下，2）20—30 岁，3）30—50 岁，4）50 岁以上；出行方式分 4 种： 出租、公交、地铁、私车；餐饮方式分 3 种：中餐、西餐、商场(餐饮)；消费额（非餐饮）分 6 档：1） 0—100，2）100—200，3）200—300，4）300—400，5）400—500，6）500 以上（元）。
求解产量最大问题时，我们利用卡车数量与总运量之间的正相关性，将总运量（吨 公里）作为约束条件放入线性规划模型中求解，利用优选法得到分别以总产量和岩石产 量为目标的流量规划，同样利用计算机仿真完成车辆的优化调度。
本文的主要结论： 运输成本最小问题 铲位选择：1,2,3,4,8,9,10；出动卡车：14 辆；最小总运量：8.8205 万吨公里；平均每车次的等待时间：9.2 秒；车辆调用见模型建立与求解部分； 产量最大问题 铲位选择：1，2，3，7，8，9，10；出动卡车：20 辆：最大产量： 8.7538万吨；最大岩石产量：4.9280 万吨；总运量（万吨公里）：11.6882；平均每车 次的等待时间：33.5秒；车辆调用见模型建立与求解部分。
数学建模全国赛 A题一等奖论文
【摘要】
本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发�针对中国未来人口的老龄化、出生 人口性别比以及乡村人口城镇化等�提出了 Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行 建模型�在最简单的假设下�依照中国人口的历 史数据�运用线形最小二乘法对其进行拟合�对 2007 至 2020 年的人口数目进行了预测� 得出在 2015 年时�中国人口有 13.59 亿。在此模型中�由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素�只是粗略的进行了预测�所以只对中短期人口做了预测�理 论上很好�实用性不强�有一定的局限性。
在灵敏度分析中�首先针对死亡率发展因子 θ 进行了灵敏度分析�发现人口数量对 于 θ 的灵敏度并不高�然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为 0.8850�最后对妇女生育率进行了灵敏度分析�发现在生育率在由低到高的变化过程中� 其灵敏度在不断增大。
最后�本文对模型进行了评价�特别指出了各个模型的优缺点�同时也对模型进行了合理性分 析�针对我国的人口情况给政府提出了建议。
为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究�本文利用动态模拟的方法 建立模型三�并对数据作了如下处理�取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年 市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。在此基础上�预测出人口的峰值�适婚 年龄的男女数量的差值�人口老龄化程度�城镇化水平�人口抚养比以及我国 “人口 红利”时期。在模型求解的过程中�还对政府部门提出了一些有针对性的建议。此模型 可以对未来人口做出细致的预测�但是需要处理的数据量较大�并且对初始数据的准确 性要求较高。接着�我们对对模型三进行了改进�考虑人为因素的作用�加入控制因子� 使得所预测的结果更具有实际意义。
根据附录 2 的数据进行建模�同时要参考中国的实际情况以及人口增长的上述特点� 对中国人口增长的中短期和长期的趋势做出预测�比如未来的人口数目、性别比例、人 口结构等�特别要指出模型的优点和不足。
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地下储油罐的变位分析与罐容表标定摘要加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。
本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。
首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。
在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。
将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在3.5%以内。
纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。
通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。
把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球冠体分别求解。
中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为三种情况。
在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。
根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系：测量的油位高度0h 实际的油位高度h 计算体积所需的高度H于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
再利用附表2中的数据列方程组寻找α与β最准确的取值。
αβ一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
并给出了罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位的截面示意图。
请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）示意图，分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
二、问题分析本题是一个在罐体变位后重新标定罐容表的问题，就是需要得出变位后油位高度与油料体积的关系，然后在油料高度间隔为1cm 或10cm 的情况下，算出所有高度所对应的体积值，即可得到新的罐容表标定值。
第一问中共做了两次实验，分别为罐体无变位与纵向变位。
对于无变位的情况，可以选择合适的体积微元，在油位高度方向积分即可算出油体积与油位高度的关系；对于倾斜角为α=4.1º的纵向变位，我们采用二重积分的方法，分三种情况进行计算。
先在油位高度方向积分得到任意处油截面的面积，再积分得到体积公式。
最后利用附件1中的实际数据对公式的准确度进行检验，并对比变位前后储油量与油位高度关系的差别。
第二问中，将储油罐分成三部分进行计算：中间的圆柱体和两端的球冠体。
对于α与β的处理问题，对α、β已经确定的静态储油罐建立空间直角坐标系，根据几何关系得出测得的油位高度0h 与实际油位高度h 的关系（含有参数β），实际油位高度h 与计算体积所需的高度1H 、2H 的关系（含有参数α），并计算得到储油量关于1H 、2H 的表达式，于是便得到了储油量与测量油位高度0h 及变位参数α、β的关系式，代入若干组附表2中的实际数据，即可确定α与β，之后用实际检测数据检验所建模型的正确性与方法的可行性。
三、模型假设（1）忽略油罐厚度对油罐容积的影响，认为由图中数据得到的容积即为油罐的标准容积；（2）忽略油罐内各种管道如进出油管道，油位探针所占的体积；（3）不计油浮子的厚度、大小等，认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到油面的距离；（4）假设油浮子到达最高处时便不再加油。
四、符号说明h：储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度；x ：问题一中建立空间直角坐标系后X 轴方向上油料宽度的一半； y ：建立空间直角坐标系后Y 轴方向上的油料长度；z ：建立空间直角坐标系后Z 轴方向上的变量；i V ：问题一纵向变位第i 种情况下相应某一高度时的油的体积； 0h ：问题一中变位后测得的油料高度；H：问题一变位时油料平行于罐底方向的最大高度；S ：问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积； g V ：实际储油罐球冠内储油量；0V ：实际储油罐中间圆柱部储油量； i m ：附表2中编号为i 的流水号所对应的出油量。
五、模型的建立与求解5.1小椭圆型储油罐 5.1.1无变位情况首先以一侧罐底中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中下部阴影部分为油料：x YZ图1 无变位情况下建立空间直角坐标系y X h从侧面观察得到如下示意图：根据题目中的已知数据，得到椭圆截面的方程式为：222210.890.6xz+=于是有22220.890.890.6z x =-取从上到下叠加的矩形薄片为体积微元，得到体积微元公式：22220.89d 2 2.450.89d 0.6z v z =⨯⨯-体积微元在z 轴方向进行积分，得到体积公式：()220.6220.620.892 2.450.89d 0.62.180250.6 1.3083arcsin 10.30.360.62h z V zhhh h π--=⨯⨯-⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯-+⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图，得到如下曲线：图2 截面椭圆示意图xXZh0.20.40.60.811.21.450010001500200025003000350040004500油位高度 / m储油量 / L储油量与油位高度关系图计算得到数据实际测量数据图3 计算曲线与实际数据对比图从图像上可以看出，计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。
5.1.2 4.1α=º纵向变位以椭圆罐底中心为原点，X 轴，Z 轴平行于罐底，Y 轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：由图4可知：0400tan H h α-=图4 纵向变位情况下建立空间直角坐标系 Z X Y H油位探针h 0接下来分三种情况进行讨论，通过二重积分即可求得油料体积。
第一种情况：当400tan 2450tan H αα≤≤（单位：mm ）时，只有一端罐底接触油面，如图5：先在Z 轴方向上定积分，得到任意位置油料截面面积：()22600226002528902890d 600890600 5.3410arcsin 130********h z S zh h h h π--=⨯-⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+⨯⨯-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎰再将h 视为变量，在Y 轴方向上定积分：()tan 10d HV S h y α=⎰其中tan h H y α=-，代入后解得：()()344238916393628.622101.2421020.69 1.17107.021107.4510arcsin 1.667101 4.4710arcsin 1.6671017.45101200V H H H H H HH H H---=-⨯-⨯++⨯-⨯+⨯⨯⨯--⨯⨯⨯-+⨯⨯-第二种情况：当2450tan 1200H α≤≤ （单位：mm ）时，两端罐底都接触油面，如图6：图5 第一种情况Z XYH油位探针h 0()245020d V S h y =⎰代入tan h H y α=-得：()()964232639325676226562.55810 6.46210 1.25010 6.057 7.45010arcsin 1.667101.2927 +5.77810arcsin 1.667101.29277.450102.416101101.551107.4510V H H HH H H H H ---=⨯-⨯+⨯--⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯--⨯⨯-⨯-⨯+⨯+⨯()()393632arcsin 1.667101 4.4710arcsin 1.667101 7.4510 1.210H H H H H--⨯⨯--⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-第三种情况：当01200H >，其中00400tan H h α-= （单位：mm ）时，一端罐底已经完全被油浸没，如图7：图6 第二种情况ZXYH油位探针h 0图7 第三种情况Z X YH 0 油位探针h 0()'tan 302450890600d H V S h y απ=⨯⨯-⎰且'tan h H y α=-，其中0'2450tan 1200H H α=-+，代入上式解得：()9311.308310'V V H π=⨯-将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中，并与实际测量的数据做对比，得到如下关系图（图8）：2004006008001000120050010001500200025003000350040004500测量油位高度 / mm罐内储油量 / L纵向变位后储油量与测量油位高度关系图第一阶段第二阶段第三阶段实际数据图8 变位后储油量与油位高度关系图从图8可以看出，计算得到的公式基本符合实际检测数据。
通过代入数据，误差保持在3%以内。
因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。
将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标系中，得到图9：2004006008001000120050010001500200025003000350040004500测量油位高度 / mm罐内储油量纵向变位前后储油量与测量油位高度关系对比图图9 变位前后储油量与油位高度关系曲线对比结合公式以及图9可以看出罐体变位对罐容表产生如下影响：变位后在油位液面到达探针之前，测量高度始终为0，刚好接触油浮子时，将数据代入公式可计算得此时储油量约为1.75L ；在变位后的第一阶段内，曲线斜率小于变位前，这个阶段内储油量变化较慢；第二阶段内，曲线增长趋势与变位前基本一致，即上升相同的高度，储油量增加值基本相等，但由于第一阶段储油量较少，这是储油量比变位前小220L 左右；第三阶段曲线变化率逐渐降低，当油浮子的高度为1200mm 时，油罐还没有装满，此时的储油量比变位前少约100L 。