中考数学《二次函数中的新定义问题》专项训练含答案解析

专题22.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道） 【人教版】 考卷信息：

本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！

1．（2021•雅安）定义：min {a ，b }={

a(a ≤b)b(a ＞b)，若函数y ＝min {x +1，﹣x 2+2x +3}，则该函数的最大值为（ ）

A ．0

B ．2

C ．3

D ．4 【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．

【解答过程】解：x +1＝﹣x 2+2x +3，

解得x ＝﹣1或x ＝2．

∴y ={x +1(−1≤x ≤2)−x 2+2x +3(x ＜−1或x ＞2)， 把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，

∴函数最大值为y ＝3．

故选：C ．

2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），若存在自变量x 0，使得函数值等于x 0成立，则称x 0为该函数的不动点，对于任意实数b ，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．0＜a ＜2

B ．0＜a ≤2

C ．﹣2＜a ＜0

D ．﹣2≤a ＜0

【解题思路】设x 为不动点，使y ＝x ，可得关系式ax 2+bx +b ﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知Δ＞0，

即得a 的取值范围．

【解答过程】由题意可知方程x ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），恒有两个不相等的实数解，

则△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab +8a ＞0，对任意实数b 恒成立，

把b 2﹣4ab +8a 看作关于b 的二次函数，

则有△1＝（4a ）2﹣4×8a ＝16a 2﹣32a ＝16a （a ﹣2）＜0，令16a （a ﹣2）＝0，

解得a ＝0或a ＝2，

①当a ≥2时，16a ＞0，a ﹣2≥0，即16a （a ﹣2）≥0，

②当a ≤0时，16a ≤0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）≥0，

③0＜a ＜2时，16a ＞0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）＜0，

即16a （a ﹣2）＜0的解集，

解得0＜a ＜2，

故选：A ．

3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）

A ．4，﹣1

B ．5−√17

2，﹣1 C ．4，0 D ．5+√172

，﹣1 【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．

【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 的顶点（m ，﹣m ）在直线y ＝﹣x 上运动，

在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），

∴B （2，2），

从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ， ∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．

当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点A （0，2）时，m ＝2，或m ＝﹣1；

当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点B （2，2）时，m =5−√172或m =5+√172． ∴互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是5+√172

，﹣1． 故选：D ．

4．（2020•宁乡市一模）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，m +1，﹣2m ]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）

A ．当m ＝2时，函数图象的顶点坐标为（−32，−254）

B ．当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长大于3

C ．当m ＜0时，函数在x ＜12时，y 随x 的增大而增大

D ．不论m 取何值，函数图象经过两个定点

【解题思路】A 、把m ＝2代入[m ﹣1，1+m ，﹣2m ]，求得[a ，b ，c ]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；

B 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；

C 、当x 大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y 随x 增大而减小正确；

B 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．

【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；

A、当m＝2时，y＝x2+3x﹣4＝（x+3

2）

2−25

4，顶点坐标是（−

3

2，−

25

4）；此结论正确；

B、当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，

解得，x1＝1，x2=−

2m

m−1，

|x2﹣x1|=3m−1

m−1＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；

C、当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=−

m+1

2(m−1)，

在对称轴的左边y随x的增大而增大，

因为当m＜0时，−

m+1

2(m−1)

=−m−1+2

2(m−1)

=−12−1

m−1＞−

1

2，即对称轴在x=−

1

2右边，可能大于

1

2

，所

以在x＞1

2时，y随x的增大而减小，此结论错误；

D、因为y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，

当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2，

∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确，

故选：C．

5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）

A．m≤1

3B．m＜

1

3C．

1

3

＜m≤

1

2

D．m≤

1

2

【解题思路】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．

【解答过程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，

∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，

∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，

解得m≤1 2，

∵m＜n，

∴m＜﹣2m+1．