高中数学常见结论

高中数学常见结论

三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零，

即cos

cos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+>

2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⨯⨯

3、三角形中，sin sin A B A B >⇔>,其他同理

4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值，

即sin

cos ,sin cos A B A C >>,其他同理

5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。 即

sin cos ,sin cos A B B A <>

6、直角三角形中的结论都有逆定理

7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=

++，特别地，直角三角形中：2

a b c

r +-=

8、三角形中的射影定理：在△ABC 中，

A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…

函数中的结论

1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增

⇔对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >

⇔对任意的12,,

x x D ∈1212()(()())0x x f x f x -->

⇔对任意的12,,

x x D ∈1212

()()

0f x f x x x ->- ⇔对任意的,

x D ∈/()0f x ≥恒成立

⇔对任意的,x D ∈总存在t>0，使

()()f x t f x +>

2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？

3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方） （1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，

（2）()k f x ⨯与()f x 的单调性的关系是 （3）1

()

f x 与()f x 的单调性的关系是 （4

()f x 的单调性的关系是

4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是：

（1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)↔x=a 是y=f(x)的一条对称轴.

函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ↔ x=a 是y=f(x)的一条对称轴.

函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ↔ x=2

a b

+是y=f(x)的一条对称轴.

（2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.

函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(b-x) ↔A(

2

a b

+,0)是y=f(x)的一个对称中心 （3）函数y=f(x)满足:f(x+T)=f(x) ↔T 是y=f(x)的一个周期

函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(x+b) ↔T=a-b 是y=f(x)的一个周期(a ＞b ) 函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(x) ,则T=2a 是y=f(x)的一个周期

（4）若x=a,x=b 是函数y=f(x)的两条对称轴，则T=2(a-b) (a ＞b ) ，反之也成立

若A(a,0),B(b,0)是函数y=f(x)的两个对称中心，则T=2(a-b) (a ＞b )， 反之也成立 若x=a,B(b,0)分别是函数y=f(x)的对称轴和对称中心，则T=4(a-b) (a ＞b )

5、若两个函数

()y f x a =+，()y f b x =-有对称轴，则对称轴是2

b a x -=

6、函数奇偶性：

函数y=f(x)是定义域D 上的偶函数⇔对任意的,

x D ∈()()0f x f x --=恒成立

⇔对任意的,x D ∈()

1()

f x f x -=恒成立

7、函数y=f(x)是定义域D 上的奇函数

⇔对任意的,

x D ∈()()0f x f x -+=恒成立

⇔对任意的,

x D ∈()

1()

f x f x -=-恒成立

8、函数奇偶性的运算性质：

加减乘除：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶

奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇 偶⨯偶=偶，偶⨯奇=奇，奇⨯奇=偶 除法运算结论依然 9、奇偶性与单调性的关系：

奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性相反 10、奇函数定义域中若有0，则(0)0f =

11、奇函数定义域中若有最大值M 和最小值N ，则M+N=0 12、奇偶性与导数的关系：

奇函数的导函数是偶函数 偶函数的导函数是奇函数 13、若函数y=f(x)是偶函数，则

()()f x f x =

14、若函数y=f(x)是D 上的上凸函数⇔对12,,x x D ∈有

1212

()()()22

f x f x x x f ++<

15、若函数y=f(x)是D 上的上凹函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22

f x f x x x

f ++>

16、二次函数

2y ax bx c =++是偶函数⇔b=0

三次函数32

y ax bx cx d

=+++是奇函数⇔b=d=0

17、二次函数在限定区间上的最值问题：讨论对称轴与区间的位置关系----大大小小

（1）当a>0时，求最小值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最大值讨论对称轴与区间中点的位置关系

（2）当a<0时，求最大值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最小值讨论对称轴与区间中点的位置关