高中数学选修知识点考点典型例题
2023年人教版高中数学选修一经典大题例题
(名师选题)2023年人教版高中数学选修一经典大题例题单选题1、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（）A．y＋√2=√33(x－2)B．y＋2＝√3(x－√2)C．y－2=√33(x＋√2)D．y－2＝√3(x＋√2)答案：C分析：根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.直线的斜率k=tan30°=√33，由直线的点斜式方程可得y－2＝√33(x＋√2)，故选：C．2、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因为C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2，则p=（）A．1B．2C．2√2D．4答案：B分析：首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.抛物线的焦点坐标为(p2,0)，其到直线x−y+1=0的距离：d=|p2−0+1|√1+1=√2，解得：p=2(p=−6舍去).故选：B.4、已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0外，则实数m的取值范围为（）A．(−3,−2)∪(2,+∞)B．(−3,−2)∪(3,+∞)C．(−2,+∞)D．(−3,+∞)答案：A分析：由x2+y2+mx−2y+2=0表示圆可得m2+(−2)2−4×2>0，点A（1，2）在圆C外可得12+22+ m−2×2+2>0，求解即可由题意，x2+y2+mx−2y+2=0表示圆故m2+(−2)2−4×2>0，即m>2或m<−2点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx−2y+2=0外故12+22+m−2×2+2>0，即m>−3故实数m的取值范围为m>2或−3<m<−2即m∈(−3,−2)∪(2,+∞)故选：A5、已知边长为2的等边三角形ABC，D是平面ABC内一点，且满足DB:DC=2:1，则三角形ABD面积的最小值是（）A．43(√3−1)B．43(√3+1)C．4√33D．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C的坐标，利用DB:DC=2:1列式得关于x,y的等式，可得点D的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB的方程，计算|AB|和点D距离直线AB的最小距离d−r，代入三角形面积公式计算.以BC的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B(−1,0)，C(1,0)，设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A6、设x 、y ∈R ，向量a ⃑=(x,1,1)，b ⃑⃑=(1,y,1)，c ⃑=(3,−6,3)且a ⃑⊥c ⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则|a ⃑+b ⃑⃑|=（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．3 答案：D分析：利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a ⃑+b ⃑⃑的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.因为a ⃑⊥c ⃑，则a ⃑⋅c ⃑=3x −6+3=0，解得x =1，则a ⃑=(1,1,1)，因为b ⃑⃑//c ⃑，则13=y−6，解得y =−2，即b⃑⃑=(1,−2,1)， 所以，a ⃑+b ⃑⃑=(2,−1,2)，因此，|a ⃑+b ⃑⃑|=√4+1+4=3. 故选：D.7、若点P 在曲线C 1:x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2:(x −5)2+y 2=1上，点R 在曲线C 3:(x +5)2+y 2=1上，则|PQ|−|PR|的最大值是（）A．9B．10C．11D．12答案：B分析：分析可知两圆圆心为双曲线C1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得|PQ|−|PR|的最大值.在双曲线C1中，a=4，b=3，c=5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，记点F1(−5,0)、F2(5,0)，当|PQ|−|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，所以，|PQ|−|PR|≤|PF2|+1−(|PF1|−1)=|PF2|−|PF1|+2=2a+2=10.故选：B.8、“a=1”是“直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直得到a∈R，再利用充分必要条件的定义判断得解.因为直线x+ay−1=0与直线ax−y+1=0相互垂直，所以1×(a)+a×(−1)=0，所以a∈R.所以a =1时，直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分条件；当直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直时，a =1不一定成立，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.9、已知空间向量a ⃑，b ⃑⃑，c ⃑满足a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=0⃑⃑，|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=2，|c ⃑|=√7，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：C分析：将a ⃑+b ⃑⃑=−c ⃑，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a ⃑与b ⃑⃑的夹角为θ．由a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=0，得a ⃑+b ⃑⃑=−c ⃑，两边平方，得a ⃑2+2a ⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=c ⃑2， 所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘， 故选：C ．10、已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别是F 1，F 2，直线y =kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，且∠F 1AF 2=60°，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．716B ．√74C ．916D ．34答案：B分析：根据椭圆的对称性可知，|AF 2|=|BF 1|，设|AF 2|=m ，由|AF 1|=3|BF 1|以及椭圆定义可得|AF 1|=3a 2，|AF 2|=a2，在△AF 1F 2中再根据余弦定理即可得到4c 2=7a 24，从而可求出椭圆C 的离心率．由椭圆的对称性，得|AF2|=|BF1|.设|AF2|=m，则|AF1|=3m.由椭圆的定义，知|AF1|+|AF2|=2a，即m+3m=2a，解得m=a2，故|AF1|=3a2，|AF2|=a2.在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2−2|AF1||AF2|cos∠F1AF2，即4c2=9a24+a24−2×3a2×a 2×12=7a24，则e2=c2a2=716，故e=√74.故选：B.11、直线y=k(x−1)+2恒过定点（）A．(−1,2)B．(1,2)C．(2,−1)D．(2,1)答案：B分析：由x=1时，y=2可得到定点坐标.当x−1=0，即x=1时，y=2，∴直线y=k(x−1)+2恒过定点(1,2).故选：B.12、已知从点(−5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x−3y+1=0B．2x−3y−1=0C．3x−2y+1=0D．3x−2y−1=0答案：A分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点A的坐标为(−5,3)，圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆心坐标为B(1,1)，设C(x,0)是x 轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(x −1)2+(y −1)2=5的圆周， 所以反射光线经过点B(1,1)， 由反射的性质可知：k AC +k BC =0⇒3−0−5−x+1−01−x=0⇒x =−12，于是k BC =1−01−(−12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：y =23(x +12)⇒2x −3y +1=0， 故选：A 双空题13、历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l ′表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)(c >0)，由F 1发出的光经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：（1）椭圆C 的离心率为__________．（2）点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l,F 2在l 上的射影H 在圆x 2+y 2=8上，则椭圆C 的方程为__________． 答案： 12##0.5x 28+y 26=1分析：(1)由题意得到关于a,c 的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率; (2)由题意利用几何关系求得a,b 的值即可求得椭圆方程.设椭圆C 的长轴长为2a (a >0),则由F 1发出的光经椭圆两次反射后回到F 1，经过的路程为2a +2a =4a =8c ，从而e =12；如图示：延长F 2H,F 1P ,交于点F 0.在△PF 2F 0中,PH ⊥F 0F 2,由反射角等于入射角，可得：∠F 2PH =∠F 0PH ,则|PF 2|=|PF 0|且H 为F 2F 0中点. 在△F 1F 2F 0中OH =12|F 1F 0|=12(|PF 1|+|PF 0|)=12(|PF 1|+|PF 2|),则|PF 1|+|PF 2|=4√2=2a ,∴a =2√2,c =√2,b 2=a 2−c 2=8−2=6, 所以椭圆方程为x 28+y 26=1.所以答案是：12；x 28+y 26=1.14、过直线l:y =x −2上任意点P 作圆C:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A,B ，当切线长最小时，切线长为_________；同时△PAB 的面积为_______． 答案： 1 12##0.5分析：依据题意，作出图形，如图，由于PA =√OP 2−1,所以当OP 取最小值时，PA 最小，此时OP 与直线l 垂直，利用点到直线的距离公式可求出OP 的长，从而可得PA 的值，由圆的对称性和切线长定理可知PA =PB ，∠BPA =90°，从而可求出△PAB 的面积 解：依据题意，作出图形，如下图：因为直线l过点P且与圆x2+y2=1相切于点A，所以PA⊥OA，所以PA=√OP2−OA2=√OP2−1，要使得PA最小，则OP要最小，由题可得：OP的最小值就是点O到直线l:y=x−2的距离d=√12+12=√2．此时，PA min=√(OP min)2−1=√(√2)2−1=1，所以∠OPA=π4由切线的对称性可得：∠BPA=π2,PB=1所以△PAB的面积为S△PAB=12×1×1=12，所以答案是：1；12.15、在标准正交基{i⃑,j⃑,k⃑⃑}下，已知向量a⃑=−2i⃑+8j⃑+3k⃑⃑，b⃑⃑=−5i⃑+2k⃑⃑，则向量a⃑+2b⃑⃑在i⃑上的投影为______，在j⃑,k⃑⃑上的投影之积为______．答案： -12 56分析：根据向量的加法求得a⃑+2b⃑⃑=−12i⃑+8j⃑+7k⃑⃑，即可得a⃑+2b⃑⃑在i⃑，j⃑，k⃑⃑上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.解：易得a⃑+2b⃑⃑=−12i⃑+8j⃑+7k⃑⃑，所以a⃑+2b⃑⃑在i⃑，j⃑，k⃑⃑上的投影分别为-12，8，7，其在j⃑，k⃑⃑上的投影之积为8×7=56．所以答案是：-12；56.16、已知空间向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G 为△ABC 的重心，若PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xPA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yPB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+zPC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，x ，y ，z ∈R ，则x +y +z =__________；|PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=__________. 答案： 1; 53.解析：（1）把BG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=23BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)代入PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑化简整理即可（2）|PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√(13PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2代入计算 解：取AC 的中点D ，PG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BG ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23×(PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23×[12(PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑)−PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑]=13PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又PG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xPA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yPB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+zPC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，空间向量PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60° x =13，y =13，z =13，x +y +z =1 x +y +z =1|PG⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|13PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+13PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=13√(PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=13√PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13√12+22+32+2×1×2×12+2×3×2×12+2×1×3×12=53所以答案是：1 ；53小提示：考查空间向量的基本运算，基础题. 17、已知O 为坐标原点，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1且斜率为k 的直线与圆x 2+y 2=a 2交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段F 1B 与椭圆交于点M ，MF 2延长线与椭圆交于点N ，且|AF 1|=|MB|,|MF 2|=2|F 2N |，则椭圆的离心率为___________，直线AF 1的斜率为___________． 答案： √5312分析：根据几何关系及椭圆的定义即可求解. 过原点O 作OH ⊥AB 于点H ,则H 为AB 的中点， 又∵|AF 1|=|MB |, ∴|F 1H |=|MH |, 即MF 1的中点， ∴OH ∥MF 2, ∴MF 1⊥MF 2,连接F 1N , 设|F 2N |=m ，则|MF 2|=2m ，|MF 1|=2a −2m ，|F 1N |=2a −m ， 在Rt △MF 1N 中，(2a −2m )2+(3m )2=(2a −m )2，解得m =a3，在Rt △MF 1F 2中，(2a −2a 3)2+(2a 3)2=(2c )2，整理得5a 29=c 2，解得e =√53， k AF 1=tan∠MF 1F 2=|MF 2||MF 1|=2a34a 3=12.所以答案是：√53；12.解答题18、已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为√154，A，B分别为C的左、右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．答案：（1）x 225+16y225=1；（2）52.分析：（1）因为C:x 225+y2m2=1(0<m<5)，可得a=5，b=m，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）方法一：过点P作x轴垂线，垂足为M，设x=6与x轴交点为N，可得△PMB≅△BNQ，可求得P点坐标，从而求出直线AQ的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得△APQ的面积.（1）∵C:x 225+y2m2=1(0<m<5)∴a=5，b=m，根据离心率e=ca =√1−(ba)2=√1−(m5)2=√154，解得m=54或m=−54(舍)，∴C的方程为：x225+y2(54)2=1，即x225+16y225=1．（2）［方法一］：通性通法不妨设P,Q在x轴上方，过点P作x轴垂线，垂足为M，设直线x=6与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又∵∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，∴∠PBM=∠BQN，根据三角形全等条件“AAS”，可得：△PMB≅△BNQ，∵x2 25+16y225=1，∴B(5,0)，∴|PM|=|BN|=6−5=1，设P点为(x P,y P)，可得P点纵坐标为y P=1，将其代入x225+16y225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P=3或x P=−3，∴P点为(3,1)或(−3,1)，①当P点为(3,1)时，故|MB|=5−3=2，∵△PMB≅△BNQ，∴|MB|=|NQ|=2，可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图∵A(−5,0), Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x−11y+10=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d=√22+112=√125=√55，根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(2−0)2=5√5，∴△APQ面积为：12×5√5×√55=52；②当P点为(−3,1)时，故|MB|=5+3=8，∵△PMB≅△BNQ，∴|MB|=|NQ|=8，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图∵A(−5,0), Q(6,8)，可求得直线AQ的直线方程为：8x−11y+40=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为d=√82+112=√185=√185，根据两点间距离公式可得：|AQ|=√(6+5)2+(8−0)2=√185，∴△APQ面积为：12×√185×√185=52，综上所述，△APQ面积为：52.［方法二］【最优解】：由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作PE⊥x轴，垂足为E．设D(6,0)，由题知，△PEB≌△BDQ．故BPQB =PEBD=PE1⇒PE=1⇒x p=±3，①因为P(3,1),A(−5,0),Q(6,2)，如图，所以，S△APQ=S△AQD−S PEDQ−S△PEA=52．②因为P(−3,1),A(−5,0),Q(6,8)，如图，所以S△APQ=S△AQD−S PEDQ−S△PEA=52．综上有S △APQ =52 ［方法三］：由已知可得B (5,0)，直线BP,BQ 的斜率一定存在，设直线BP 的方程为y =k (x −5)，由对称性可设k <0，联立方程{y =k(x −5),x 225+16y 225=1, 消去y 得(1+16k 2)x 2−160k 2x +16×25k 2−25=0， 由韦达定理得5x P =16×25k 2−251+16k 2，所以x P =80k 2−51+16k 2，将其代入直线BP 的方程得y P =−10k1+16k 2，所以P (80k 2−51+16k 2,−10k1+16k 2)， 则|BP|=√(80k 2−51+16k 2−5)2+(−10k1+16k 2)2=10√1+k 21+16k 2．因为BP ⊥BQ ，则直线BQ 的方程为y =−1k (x −5)， 则Q (6,−1k ),|BQ|=√1+(−1k )2=√1+k 2k 2．因为|BP|=|BQ|，所10√1+k 21+16k 2=√1+k 2k 2，256k 4−68k 2+1=0，即(64k 2−1)(4k 2−1)=0，故k 2=164或k 2=14，即k =−18或k =−12． 当k =−18时，点P ，Q 的坐标分别为P(−3,1),Q(6,8),|PQ|=√130， 直线PQ 的方程为y =79x +103，点A 到直线PQ 的距离为√13026，故△APQ 的面积为12×√13026×√130=52．当k =−12时，点P ，Q 的坐标分别为P(3,1),Q(6,2),|PQ|=√10，直线PQ 的方程为y =13x ，点A(−5,0)到直线PQ 的距离为√102， 故△APQ 的面积为12×√102×√10=52．综上所述，△APQ 的面积为52． ［方法四］：由（1）知椭圆的方程为x 225+16y 225=1，A(−5,0),B(5,0)．不妨设P (x 0,y 0)在x 轴上方，如图．设直线AP:y =k(x +5)(k >0)．因为|BP|=|BQ|,BP ⊥BQ ，所以y 0=|BN|=1,y Q =|BM|=5−x 0．由点P 在椭圆上得x 0225+1625=1，所以x 02=9．由点P 在直线AP 上得1=k (x 0+5)，所以x 0=1−5k k．所以(1−5k k)2=9，化简得16k 2=10k −1．所以5−x 0=5−(1k −5)=10k−1k=16k ，即Q(6,16k)．所以，点Q 到直线AP 的距离d =√k 2+1=√k 2+1．又|AP|=√(x 0+5)2+y 02=√k 2+1(x 0+5)=√k 2+1k．故S △APQ =12AP ⋅d =12⋅√k 2+1k√k 2+1=52．即△APQ 的面积为52．［方法五］：由对称性，不妨设P ，Q 在x 轴上方，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设D(6,0)， 由题知△PCB ≌△BDQ ，所以BPQB=PC BD=PC 1⇒PC =1⇒x p =±3．（1）P(3,1),A(−5,0),Q(6,2)．则S △APQ =12√(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|)2−(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|)2=12|x 1y 2−x 2y 1|=12|8×2−11×1|=52． （其中AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 1,y 1),AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 2,y 2)）． （2）P(−3,1),A(−5,0),Q(6,8)．同理，S △APQ =12√(|AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|)2−(AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)2=12|x 1y 2−x 2y 1|=12|2×8−11×1|=52． （其中AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 1,y 1),AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(x 2,y 2)） 综上，△APQ 的面积为52．【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点P 的坐标，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求△APQ 的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线BP 的方程y =k (x −5)与椭圆的方程联立，求出点P 的坐标，再根据题目等量关系求出k 的值，从而得出点Q 的坐标以及直线AQ 的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线AP 的方程AP:y =k(x +5)(k >0)，通过平面知识求出点P 的坐标，表示出点Q ，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出． 19、已知直线l:(m +2)x +(1−2m )y +4m −2=0与圆C:x 2−2x +y 2=0交于M,N 两点． （1）求出直线l 恒过定点的坐标 （2）求直线l 的斜率的取值范围（3）若O 为坐标原点，直线OM,ON 的斜率分别为k 1,k 2，试问k 1+k 2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．答案：（1）(0,2)；（2）(−∞,−34)；（3）k 1+k 2为定值1.分析：（1）将直线方程整理后可得方程组{x −2y +4=02x +y −2=0，解方程组可求得定点坐标；（2）设直线l 方程y −2=k (x −0)，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果； （3）可设直线l 方程y =kx +2，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由k 1+k 2=y 1x 1+y2x 2=(kx 1+2)x 2+(kx 2+2)x 1x 1x 2整理可得定值.（1）将直线l 方程整理为：(x −2y +4)m +(2x +y −2)=0， 令{x −2y +4=02x +y −2=0，解得：{x =0y =2 ，∴直线l 恒过定点(0,2)；（2）设直线l 斜率为k ，由（1）可知：直线l 方程可设为：y −2=k (x −0)，即kx −y +2=0； 圆C 方程可整理为(x −1)2+y 2=1，则其圆心C (1,0)，半径r =1， ∵直线l 与圆C 交于M,N 两点，∴圆心C 到直线l 距离d <r ， 即√k 2+1<1，解得：k <−34，即直线l 斜率的取值范围为(−∞,−34)； （3）设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)当m =12时，l:x =0与圆C 仅有一个交点，不合题意，∴m ≠12，则直线l:y =m+22m−1x +2，∴可设直线l 方程为y =kx +2，由{y =kx +2x 2−2x +y 2=0 得：(1+k 2)x 2+(4k −2)x +4=0，由（2）知：k <−34； ∴x 1+x 2=2−4k 1+k2，x 1x 2=41+k 2，∴k 1+k 2=y 1x 1+y 2x 2=y 1x 2+y 2x 1x 1x 2=(kx 1+2)x 2+(kx 2+2)x 1x 1x 2=2kx 1x 2+2(x 1+x 2)x 1x 2=2k +2×2−4k 1+k 241+k 2=2k +1−2k =1，∴k 1+k 2为定值1.小提示：思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值.20、已知圆C 1：x 2+y 2=10与圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0． (1)求证：圆C 1与圆C 2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x +y −6=0上的圆的方程． 答案：(1)证明见解析 (2)x +y −2=0(3)x 2+y 2−6x −6y +2=0分析：（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明； （2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为P (6−n,n )，根据|AP |=|BP |得到方程，即可求出n ，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.（1）证明：圆C 2：x 2+y 2+2x +2y −14=0化为标准方程为(x +1)2+(y +1)2=16， ∴C 2(−1,−1)，r =4∵圆C 1:x 2+y 2=10的圆心坐标为C 1(0,0)，半径为R =√10， ∴|C 1C 2|=√2，∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；（2）解：由圆C 1:x 2+y 2=10与圆C 2:x 2+y 2+2x +2y −14=0， 将两圆方程相减，可得2x +2y −4=0， 即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；（3）解：由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10 ，解得{x =3y =−1 或{x =−1y =3，则交点为A (3,−1)，B (−1,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P (6−n,n )，则|AP |=|BP |，即√(6−n −3)2+(n +1)2=√(6−n +1)2+(n −3)2，解得n =3， 故圆心P (3,3)，半径r =|AP |=4， ∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．。
高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例
高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例汤阴一中 苏永鹏一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率.2.例1. F 121212(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )(A)2 (B)32 (D)3例5. P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23，经过点(2，0); .例7. 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (e >1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。
(精选试题附答案)高中数学选修一知识集锦
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识集锦单选题1、如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，从F 2发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且cos∠BAC =−35，AB ⊥BD ，则E 的离心率为（ ）A ．√52B ．√173C ．√102D ．√5 答案：B分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|BF 2|表示|BF 1|,|AF 1|,|AB|，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线CA,DB 都过点F 1，如图，有AB ⊥BF 1，cos∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan∠BAF 1=43，|AB|=34|BF 1|=34(2a +m)，|AF 2|=32a −14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a −14m ，在Rt △ABF 1，|AB|2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m)2+(2a +m)2=(72a −14m)2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即(23a)2+(83a)2=(2c)2，解得ca =√173， 所以E 的离心率为√173. 故选：B小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2、平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)，则平面α与平面β的关系是（ ） A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直 答案：C分析：由题设知m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. ∵平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)， ∴ m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合． 故选：C ．3、已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为（ ） A ．√2a B ．√3a C ．√23a D ．√33a 答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB 1∥DC 1,D 1B 1∥DB ，AB 1∩D 1B 1=B 1，DC 1∩DB =D ，易得平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,a )，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a,a )，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， 则两平面间的距离d =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |n ⃗ ||=√3=√33a ． 故选：D4、已知圆C ：x 2+y 2=4，直线L ：y =kx +m ，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ）A ．±2B ．±√2C ．±√3D ．±3 答案：C分析：由直线L 过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.直线L ：y =kx +m 恒过点M(0,m)，由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，即当直线L 与直线OM 垂直时（O 为原点），弦长取得最小值，于是22=(12×2)2+|OM|2=1+m 2，解得m =±√3.故选：C5、若直线l 的斜率k =−2，又过一点(3，2)，则直线l 经过点（ ） A ．(0，4)B ．(4，0) C ．(0，−4)D ．(−2，1) 答案：B分析：利用斜率公式逐个验证即可 对于A ，k =4−20−3=−23≠−2，不符合题意；对于B ，k =2−03−4=−2，所以B 正确； 对于C ，k =2−(−4)3−0=2≠−2，不符合题意； 对于D ，k =2−13−(−2)=15≠−2，不符合题意，故选：B6、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（ ） A ．12B ．23C ．1D ．32答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ， 由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1， 因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32， 故选：D7、已知F 1，F 2是椭圆x 236+y 29=1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2答案：C分析：由|PM|＝|PF1|可知|MF2|＝|PM|+|PF2|，又已知OQ是△F1F2M的中位线，点Q与y轴重合时，Q与短轴端点距离最近.解：设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知|PM|＝|PF1|∵|PF1|+|PF2|＝2a＝12∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝12由题意知OQ是△F1F2M的中位线∴|OQ|＝a＝6∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a−b＝6−3＝3故选：C．8、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3 C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.9、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18， 又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23， 所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B10、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（ ） A ．3x −y −4√3=0B ．x −y −√3=0 C ．x +y −√3=0D ．x +y +√3=0 答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k =tan135°=−1， 所以直线方程为y +2√3=−(x −√3)，即x +y +√3=0，故选：D填空题11、若三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线，则a的值为_________．答案：3分析：由三点共线得k AB=k BC，即可求出答案.由三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线故k AB=k BC2−0 2−a =6−20−2⇒a=3所以答案是：3.12、已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−8x+6y+m=0外切，此时直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长_________．答案：√34分析：将圆C2的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m，接着计算C2到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.由题可知：C1:x2+y2=4C2:x2+y2−8x+6y+m=0，即(x−4)2+(y+3)2=25−m且25−m>0⇒m<25由两圆向外切可知√(4−0)2+(−3−0)2=2+√25−m，解得m=16所以C2:(x−4)2+(y+3)2=9C2到直线的距离为d=√12+12=√2，设圆C2的半径为R则直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长为2√R2−d2=2√9−12=√34所以答案是：√3413、如图，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF 2与椭圆交于点Q ，若|PF 1|=4|QF 2|，则直线PF 2的斜率为_______．答案：−2分析：连接QF 1，设|QF 2|=x （x >0），则|PF 1|=4x .利用椭圆的定义表示出|PF 1|,|PQ|,|QF 1|，由勾股定理求出a =3x ，即可得到tan∠PF 2F 1=|PF 1||PF 2|=2，进而求出直线PF 2的斜率.如图，连接QF 1.设|QF 2|=x （x >0），则|PF 1|=4x .因为|PF 1|+|PF 2|=2a ，|QF 1|+|QF 2|=2a ，所以|PF 2|=2a −4x ，|QF 1|=2a −x .在△PF 1Q 中，∠F 1PQ =90°，所以|PF 1|2+|PQ|2=|QF 1|2，即(4x)2+(2a −4x +x)2=(2a −x)2，整理得a =3x ，所以tan∠PF 2F 1=|PF 1||PF 2|=4x 2a−4x=4x 6x−4x=2，所以直线PF 2的斜率为k =tan (180°−∠PF 2F 1)=−2．所以答案是：-2. 14、已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若双曲线上一点P 使∠PF 2F 1=60°，则F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 答案：3分析：在△PF 1F 2中，设PF 2=x ，则PF 1=x +2或PF 1=x −2．分别运用余弦定理可求得答案. 解：由已知得F 2F 1=2c =4．在△PF 1F 2中，设PF 2=x ，则PF 1=x +2或PF 1=x −2．当PF 1=x +2时，由余弦定理，得(x +2)2=x 2+42−2×4x ×12，解得x =32，所以F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32×4×12=3．当PF 1=x −2时，由余弦定理，得(x −2)2=x 2+42−2×4x ×12，无解． 故F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3． 所以答案是：3.15、如图，在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点Р到直线CC 1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,4)， 因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上投影长为d =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4λ，而|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”， 所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√55 解答题16、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程. 答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c 4. 由题设得12|−c 3|⋅|−c 4|=12.解得c =±12√2，因此直线l 1的方程为3x +4y ±12√2=0. 17、已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶 点A(0,−2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．答案：（1）x 25+y 24=1；（2）[−3,−1)∪(1,3]．分析：（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a,b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，求出直线AB,AC 的方程后可得M,N 的横坐标，从而可得|PM |+|PN |，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简|PM |+|PN |，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.（1）因为椭圆过A (0,−2)，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a ×2b =4√5，即a =√5，故椭圆的标准方程为：x 25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.18、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6√3m，行车道总宽度BC为2√11m，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1m 为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m .分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案.（1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0），∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上，∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r 2，解得{b =−3r 2=36 . ∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36，得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ).故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .19、已知圆C：x2+y2−4x=0，直线l恒过点P(4,1).(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2√3时，求l的方程.答案：(1)x=4或3x+4y−16=0(2)y=1或4x−3y−13=0分析：(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可. （1）由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r=2，①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x=4时，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，∴直线l的方程为y−1=k(x−4)，化为一般式：kx−y+1−4k=0，若直线l与圆相切，则d=√k2+1=2，即1−4k+4k2=4k2+4，解得k=−34，∴l：−34x−y+4=0，即l：3x+4y−16=0，综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为x=4或3x+4y−16=0；（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，∴直线l的方程为y−1=k(x−4)，即kx−y+1−4k=0，设圆心到直线l的距离为d，则d=√k2+1，由垂径定理可得，d2+(|AB|2)2=4，即(2k−1)2k2+1+3=4，整理得，3k2−4k=0，解得k=0或k=43，则直线l的方程为y=1或4x−3y−13=0.。
高中数学选修1-2知识点、考点、附典型例题
选修1-2数学知识点第一部分 统计案例 知识点：1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：∑=-ni iy y12)(⑵残差：∧∧-=i i i y y e ；⑶残差平方和：21)(∑=∧-ni yi yi ；⑷回归平方和：∑=-ni iy y12)(－21)(∑=∧-ni yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧---=ni i ini i iy yy y R 12122)()(1 。
注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
考点：无第二部分 推理与证明 知识点：一．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题
高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第n 个数。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。
通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。
3. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。
递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。
4. 常见数列的通项公式和递推公式- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d （递推公式）- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q （递推公式）- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）二、2-3数列的求和、数列的性质及应用1. 数列的求和- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 12. 数列的性质- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。
- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。
- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。
- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。
- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。
- 正项数列：数列中的每一项都是正数。
- 负项数列：数列中的每一项都是负数。
3. 数列的应用- 利用数列的递推关系，求解实际问题中的特定数值。
- 利用数列的性质，进行数学推理和证明。
- 利用数列的规律，设计算法解决问题。
典型例题：1. 已知等差数列的前三项分别为 1，5，9，求数列的通项公式和第 n 项的值。
解：设数列的首项为 a，公差为 d，则有以下等差数列的递推公式：a2 = a1 + d = 1 + da3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d将 a1，a2，a3 分别代入等差数列的通项公式，可得：a1 = a = 1a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3第 n 项的值为：an = 4n - 32. 求等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和。
(精选试题附答案)高中数学选修一易错知识点总结
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一易错知识点总结单选题1、已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A．±2B．±√2C．±√3D．±3答案：C分析：由直线L过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.直线L：y=kx+m恒过点M(0,m)，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是22=(12×2)2+|OM|2=1+m2，解得m=±√3.故选：C2、若直线l的斜率k=−2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（）A．(0，4)B．(4，0)C．(0，−4)D．(−2，1)答案：B分析：利用斜率公式逐个验证即可对于A，k=4−20−3=−23≠−2，不符合题意；对于B，k=2−03−4=−2，所以B正确；对于C，k=2−(−4)3−0=2≠−2，不符合题意；对于D，k=2−13−(−2)=15≠−2，不符合题意，故选：B3、双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过焦点F1的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m答案：C分析：由双曲线定义得到|BF2|−|BF1|=2a，|AF2|−|AF1|=2a，两式相加得到|BF2|+|AF2|=4a+m，进而求出周长.由双曲线的定义得：|BF2|−|BF1|=2a①，|AF2|−|AF1|=2a②，两式相加得：|BF2|−|BF1|+|AF2|−|AF1|=4a，即|BF2|+|AF2|−|AB|=|BF2|+|AF2|−m=4a，所以|BF2|+|AF2|=4a+m，故△ABF2的周长为|BF2|+|AF2|+|AB|=4a+2m.故选：C4、下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．y=x−2B．x−y+2=0C．x2+y4=1D．x+y+2=0答案：B分析：纵截距就是令x=0是y的值，令每一个选项中的x为0，解出y，最后选出符合题意的.直线x+y+2=0的纵截距为−2，直线x2+y4=1的纵截距为4，直线x−y+2=0的纵截距为2，直线y=x−2的纵截距为−2. 故选：B.5、已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．9B．8C．7D．6 答案：A分析：由双曲线方程求出a ，再根据点A 在双曲线的两支之间，结合|PA |+|PF ′|≥|AF ′|=5可求得答案 由x 24−y 212=1，得a 2=4,b 2=12，则a =2,b =2√3,c =√a 2+b 2=4，所以左焦点为F(−4,0)，右焦点F ′(4,0)，则由双曲线的定义得|PF |−|PF ′|=2a =4，因为点A(1,4)在双曲线的两支之间，所以|PA |+|PF ′|≥|AF ′|=√32+42=5，所以|PF |+|PA |≥9，当且仅当A,P,F ′三点共线时取等号，所以|PF|+|PA|的最小值为9，故选：A6、美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24答案：B分析：建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (12,4),B (-32,2)，直线AB : y -42-4=x -12-32-12，整理为x -y +72=0， 原点O 到直线距离为|72|√1+17√24，故选：B 7、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点和上顶点分别为点F (c,0)(b >c )和点A ，直线l:6x −5y −28=0交椭圆于P,Q 两点，若F 恰好为△APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．√22B ．√33C ．√55D ．2√55 答案：C分析：由题设F (c,0),A (0,b )，利用F 为△APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为B (3c 2,−b 2)，将B 代入直线方程得9c +5b2−28=0，再利用点差法可得2a 2=5bc ，结合a 2=b 2+c 2，可求出a, b, c ，进而求出离心率.由题设F (c,0),A (0,b ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则线段PQ 的中点为B (x 0,y 0)，由三角形重心的性质知AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即(c,−b)=2(x 0−c,y 0)，解得：x 0=3c 2,y 0=−b 2即B (3c 2,−b 2)代入直线l:6x −5y −28=0，得9c +5b2−28=0①.又B 为线段PQ 的中点，则x 1+x 2=3c,y 1+y 2=−b ，又P,Q为椭圆上两点，∴x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1，以上两式相减得(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，所以k PQ=y1−y2x1−x2=−b2a2⋅x1+x2y1+y2=−b2a2×3c−b=65，化简得2a2=5bc②由①②及a2=b2+c2，解得：{a=2√5b=4c=2，即离心率e=√55.故选：C.小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c，从而求出e；②构造a,c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．8、动点P，Q分别在抛物线x2=4y和圆x2+y2−8y+13=0上，则|PQ|的最小值为（）A．2√3B．√3C．12√3D．32√3答案：B分析：设P(x0,14x02)，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.设P(x0,14x02)，圆化简为x2+(y−4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P到圆心的距离d=√(x0−0)2+(14x02−4)2=√116(x02)2−x02+16，令t=x02，则t≥0，令f(t)=116t2−t+16，t≥0，为开口向上，对称轴为t=8的抛物线，所以f(t)的最小值为f(8)=12，所以d min=√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min−√3=2√3−√3=√3.故选：B9、若直线y=3x−1与双曲线C:x2−my2=1的一条渐近线平行，则实数m的值为（）A ．19B ．9C ．13D ．3 答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.C:x 2−my 2=1的渐近线方程满足x =±√my ，所以渐进线与y =3x −1平行，所以渐近线方程为y =±3x ，故m =19 故选：A10、已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =±12xB ．y =±2xC ．y =±4xD ．y =±14x答案：A分析：首先根据题意得到d =√b 2+a 2=b =12a ，从而得到b a =12，即可得到答案.由题知：设F (−c,0)，一条渐近线方程为y =b ax ，即bx −ay =0. 因为d =√b 2+a 2=b =12a ，所以b a =12， 故渐近线方程为y =±12x .故选：A填空题11、已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．答案：8分析：根据已知可得PF 1⊥PF 2，设|PF 1|=m,|PF 2|=n ，利用勾股定理结合m +n =8，求出mn ，四边形PF 1QF 2面积等于mn ，即可求解.因为P,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|=m,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48，所以64=(m +n)2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ，mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8.所以答案是：8.12、已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，点Q 的坐标是______答案：(43,43,83) 分析：先利用向量共线定理设出Q 点坐标(t ,t ,2t )，再利用向量的数量积运算得到QA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QB ⃑⃑⃑⃑⃑ 关于t 的函数式，利用二次函数求最值即可得到答案.因为点Q 在直线OP 上运动，所以存在t ⋅R ，使得OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =tOP ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,2)，所以OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =tOP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(t ,t ,2t )，所以点Q 的坐标为(t ,t ,2t ). 所以QA⃑⃑⃑⃑⃑ =(1-t ,2-t ,3-2t)，QB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2-t ,1-t ,2-2t)， 所以QA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t)=6t 2-16t +10，所以当t =--162×6=43时，QA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅QB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值，此时点Q 的坐标为(43,43,83).所以答案是：(43,43,83).13、已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若双曲线上一点P 使∠PF 2F 1=60°，则F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2F 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值为______．答案：3分析：在△PF 1F 2中，设PF 2=x ，则PF 1=x +2或PF 1=x −2．分别运用余弦定理可求得答案.解：由已知得F 2F 1=2c =4．在△PF 1F 2中，设PF 2=x ，则PF 1=x +2或PF 1=x −2．当PF 1=x +2时，由余弦定理，得(x +2)2=x 2+42−2×4x ×12，解得x =32，所以F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2F 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =32×4×12=3． 当PF 1=x −2时，由余弦定理，得(x −2)2=x 2+42−2×4x ×12，无解．故F 2P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2F 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3．所以答案是：3.14、在平面内，一只蚂蚁从点A(−2,−3)出发，爬到y 轴后又爬到圆C:(x +3)2+(y −2)2=2上，则它爬到的最短路程是______．答案：4√2分析：求得点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A ′(2,−3)，结合圆的性质，即可求解.由圆C:(x +3)2+(y −2)2=2，得圆心坐标C(−3,2)，半径为√2，求得点A(−2,−3)关于y 轴的对称点为A ′(2,−3)，可得|A ′P |=|A ′C |−r =√(−3−2)2+(2+3)2−√2=4√2.如图所示，可得爬到的最短路程为4√2.所以答案是：4√215、已知圆x 2+y 2+2x −4y −5=0与x 2+y 2+2x −1=0相交于A ､B 两点，则公共弦AB 的长是___________. 答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB 所在的直线方程为：(x 2+y 2+2x −4y −5)−(x 2+y 2+2x −1)=0，即y =−1， 因为圆x 2+y 2+2x −1=0的圆心O (−1,0)，半径为r =√2，所以，圆心O (−1,0)到直线y =−1的距离为1，所以|AB |=2√2−12=2.所以答案是：2解答题16、已知F 1（－√6，0），F 2（√6，0）为双曲线C 的焦点，点P （2，－1）在C 上．(1)求C 的方程；(2)点A ，B 在C 上，直线PA ，PB 与y 轴分别相交于M ，N 两点，点Q 在直线AB 上，若OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＋ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ ，PQ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0，证明：存在定点T ，使得|QT |为定值．答案：(1)x 23−y 23=1(2)证明见解析分析：（1）待定系数法列方程组求得a 、b 的值，即可得到双曲线C 的方程；（2）设出直线AB 的方程并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法得到M 、N 的坐标，利用题给条件OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＋ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ 求得直线AB 的过定点，再由PQ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0可得使|QT |为定值的定点T . （1）设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，(a >0,b >0)由题意知{c =√64a 2−1b 2=1a 2+b 2=6 ，解之得{a =√3b =√3 ， ∴双曲线C 的方程为x 23−y 23=1（2） 设直线AB 的方程为y =kx +m ，A （x 1、y 1），B （x 2，y 2），P （2，－1）{y =kx +m x 2−y 2=3，整理得(1−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则1−k 2≠0，Δ>0，x 1+x 2=2km 1−k 2，x 1x 2=−m 2−31−k 2 ∴直线PA 方程为y =y 1+1x 1−2(x −2)−1，令x =0，则M (0,x 1+2y 12−x 1)，同理N （0，x 2+2y 22−x 2），由OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0⃑ ，可得x 2+2y 12−x 1+x 2+2y 22−x 2=0 ∴x 1+2(kx 1+m )2−x 1+x 2+2(kx 2+m )2−x 2=0[(2k +1)x 1+2m ](2−x 2)+[(2k +1)x 2+2m ](2−x 1)=0∴(4k +2−2m )(x 1+x 2)−(4k +2)x 1x 2+8m =0∴(4k −2m +2)⋅2km 1−k 2−(4k +2)−m 2−31−k 2+8m =0∴(2k −m +1)⋅2km +(2k +1)(m 2+3)+4m (1−k 2)=0∴4k 2m −2km 2+2km +2km 2+6k +m 2+3+4m −4mk 2=0 ∴m 2+(2k +4)m +6k +3=0，(m +3)(m +2k +1)=0当m +2k +1=0时，m =−2k −1，此时直线AB 方程为y =k (x −2)−1恒过定点P （2，－1），显然不可能 ∴m =−3，直线AB 方程为y =kx −3恒过定点E （0，－3）∵PQ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴PQ ⊥AB ，取PE 中点T ，∴T （1，－2） ∴|QT |=12|PE |=√2为定值，∴存在T （1，－2）使|QT |为定值√2． 小提示：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．17、已知直线l:x −y −1=0，l 1:x −y +3=0，l 2:2x −y −1=0．（1）求直线l 1关于直线l 的对称直线l 1′的方程； （2）求直线l 2关于直线l 的对称直线l 2′的方程． 答案：（1）x −y −5=0 ；（2） x −2y −2=0．分析：（1）由于l 1//l ，所以l 1′//l ，可设l 1′的方程为x −y +c =0，在直线l 1上取点M(0,3)，求出点M 关于直线l 的对称点(4,−1)，代入方程，即得解；（2）l 2与l 的交点坐标为A(0,−1)也在l 2′上，另取l 2上不同于A 的一点B(1,1)，求出B(1,1)关于l 的对称点为(2,0)，利用两个点坐标求出直线方程，即得解（1）因为l 1//l ，所以l 1′//l ． 设直线l 1′的方程为x −y +c =0（c ≠3，且c ≠−1）．在直线l 1上取点M(0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a,b)，则{b−3a×1=−1a+02−b+32−1=0，解得{a =4b =−1， 即点M ′的坐标为(4,−1)．把点M ′的坐标代入直线l 1′的方程，得4−(−1)+c =0，解得c =−5， 所以直线l 1′的方程为x −y −5=0．（2）由{2x −y −1=0x −y −1=0，得{x =0y =−1， 所以l 2与l 的交点坐标为A(0,−1)．另取l 2上不同于A 的一点B(1,1)，设B(1,1)关于l 的对称点为B ′(m,n)，则{m+12−n+12−1=0n−1m−1=−1，得{m =2n =0， 即点B ′的坐标为(2,0)．所以过A(0,−1)与B ′(2,0)的直线l 2′的方程为y =−1−00−2×(x −2)，即x−2y−2=0．18、如图，在多面体ABCDEF中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AD⊥底面ABC，AD//BE//CF，AD=4，CF=3，∠DAE=45°.(1)证明：AE⊥DF；(2)求二面角B−AF−E的余弦值.答案：(1)证明见解析(2)3√3020分析：（1）利用勾股定理可证AE⊥DE，AE⊥EF，可得线面垂直，进而可证线线垂直；（2）取BC中点为O，建立空间直角坐标系，利用坐标法求二面角余弦值.(1)由已知AD⊥平面ABC，得AD⊥AB，又∠DAE=45°，∴∠EAB=45°，又AD//BE//CF，则BE⊥AB，∴BE=2，AE=2√2，=8，在△ADE中，由余弦定理DE2=AD2+AE2−2AD⋅AE⋅cos∠DAE=42+(2√2)2−2×4×2√2×√22DE=2√2，故DE2+AE2=AD2，∴AE ⊥DE ，如图所示，过点E 作EG //BC ，设EG ∩CF =G ，则四边形BCGE 为矩形，∴CG =BE =2，GF =CF −CG =3−2=1，EF =√EG 2+FG 2=√22+12=√5， 又AF =√AC 2+CF 2=√22+32=√13，故AF 2=AE 2+EF 2，∴AE ⊥EF ，又DE ∩EF =E ，且DE ，EF ⊂平面DEF ，∴AE ⊥平面DEF ，∴AE ⊥DF ；(2)取BC 中点O ，以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A (0,−1,0)，B(−√3,0,0)，E(−√3,0,2)，F (0,1,3)，所以AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√3,1,0)，AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,3)，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√3,1,2)， 设平面ABF 的法向量n ⃑ 1=(x 1,y 1,z 1)，则{AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ 1=0AF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ 1=0 ，即{−√3x 1+y 1=02y 1+3z 1=0 ，令x 1=√3，则n ⃑ 1=(√3,3,−2)， 设平面AEF 的法向量n ⃑ 2=(x 2,y 2,z 2)，则{AF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ 2=0AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ 2=0，即{2y 2+3z 2=0−√3x 2+y 2+2z 2=0 ，令y 2=3，则n ⃑ 2=(−√33,3,−2)， 所以cos ⟨n ⃑ ,n ⃑ ⟩=√3×(−√33)+3×3+(−2)×(−2)√(√3)2+32+(−2)2⋅√(−√33)+32+(−2)2=3√3020， 由图可知二面角B −AF −E 为锐二面角，所以二面角B −AF −E 的余弦值为3√3020.19、已知双曲线：C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)与y 24−x 22=1有相同的渐近线，且经过点M(√2,−√2).（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线x −y +m =0与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆x 2+y 2=20上，求实数m 的值.答案：（1）x 2−y 22=1；（2）m =±2.解析：（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M(√2,−√2)计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.（1）由题意，设双曲线的方程为y 24−x 22=λ(λ≠0)，又因为双曲线过点M(√2,−√2)，λ=24−22=−12，所以双曲线的方程为：x 2−y 22=1 （2）由{y =x +m x 2−y 22=1得x 2−2mx −m 2−2=0 设A (x 1,y 1) B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2m ，x 1⋅x 2=−2−m 2，所以y 1+y 2=4m 则AB 中点坐标为(m,2m )，代入圆x 2+y 2=20得5m2=20，所以m=±2.。
2020年高中数学选修 极坐标方程 知识点总结+经典题型汇总 学生版
极坐标方程【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴． 要点诠释：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2. 点的极坐标在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 轴旋转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值． 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）（其中n 为整数）．一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标（1）同一个点：如极坐标系中点4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4,26k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）都表示点4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+）（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示．这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的． （2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、4,6π⎛⎫⎪⎝⎭、4,3π⎛⎫⎪⎝⎭、4,2π⎛⎫⎪⎝⎭，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（ρ，θ）{这里ρ为定值，[0,2)θπ∈}点的轨迹就是以极点为圆心，以ρ为半径的圆．（3）对称点：（ρ，θ）关于极轴的对称点为（ρ，2πθ-），关于极点的对称点为（ρ，πθ+），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（ρ，πθ-）．（4）共线的点：如果极坐标为（ρ，θ），其中θ为常数，ρ＞0，则表示与极轴成θ角的射线． 4．极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点111(,)P ρθ，222(,)P ρθ，则2212121212||2cos()PP ρρρρθθ=+--． 特例：当12θθ=，1212||||P P ρρ-=-． 要点二、极坐标与直角坐标的互化1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则①极坐标化直角坐标：cos ,sin x y ρθρθ== ②直角坐标化极坐标：222,tan (0)yx y x xρθ=+=≠这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释：由222x y ρ=+求ρ时，ρ不取负值；由tan (0)yx xθ=≠确定θ时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，θ角才能由tan yxθ=按上述方法确定．当x=0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，θ可取任何值； （2）当x=0，y ＞0时，可取2πθ=；（3）当x=0，y ＜0时，可取32πθ=．要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=称为曲线C 的极坐标方程． 在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程(,)0f ρθ=来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρθ=，设点P 的一极坐标为,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭，那么点P 适合方程ρθ=，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标9,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭就不适合方程ρθ=了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可． 2. 求曲线极坐标方程的步骤．①建立适当的极坐标系，设(,)P ρθ是曲线上任意一点．②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略． 要点诠释：（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）今后我们遇到的极坐标方程多是()ρρθ=的形式，即ρ是θ的一个函数．（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()ρρθ=的图形的对称性：若()()ρθρθ=-，则相应图形关于极轴对称；若()()ρθρπθ=-，则图形关于射线2πθ=所在的直线对称；若()()ρθρπθ=+，则图形关于极点O 对称． 3．圆的极坐标方程（1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，(,)M ρθ为圆上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得2cos a ρθ=．坐标(,)ρθ满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为2cos a ρθ=． 也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ， 故圆的直角坐标方程为 (x －a)2+y 2=a 2，即 x 2+y 2=2ax ． 由坐标变换公式得 22cos a ρρθ=，即2cos a ρθ=． 这样就得到前面推导出的极坐标方程．所以，方程2cos a ρθ=就是圆上任意一点极坐标(,)ρθ所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程2cos a ρθ=的点都在这个圆上． （2）圆心在极点的圆如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为r ρ=（ρ∈R ）． 4．直线的极坐标方程（1）过极点的直线的极坐标方程．如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为α，即直线AA ＇的极坐标方程为 θα=（ρ≥0）和θπα=+（ρ≥0）．特别地，我们规定ρ为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为θα=（ρ∈R ），或θαπ=+（ρ∈R ）．（2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程．如图所示，设(,)M ρθ为直线l 上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=θ，|OA|=a ，|OM|=ρ，所以有||cos ||OM OA θ=． 即cos a ρθ=，化为直角坐标方程为x=a ．（3）过点,2A a π⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程． 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为(,)M ρθ，连接OM ， 则有|OA|=a ，|OM|=ρ，2AOM πθ∠=-，在直角三角形AOM 中，我们有||cos ||2OM OA πθ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭． ∴cos 2a πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即sin a ρθ=，化为直角坐标方程为y=a ． 【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．【总结升华】本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标． 举一反三：【变式1】下列各点中与2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭不表示极坐标中同一个点的是（ ）． A ．112,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．132,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．232,6π⎛⎫-⎪⎝⎭【变式2】 设点2,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标（限定0ρ>，πθπ-<≤）．【变式3】．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
高中数学选修1-1知识点及课本例题
第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。
2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。
（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。
（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。
3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。
>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。
例4证明：若022=x，则0=+yx。
-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。
这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。
高中数学选修知识点、考点、典型例题
高中数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆知识点：二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙考点：导数的求导及运算 ★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2 B. 3 C. 4D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
高中数学选修1-1命题知识点、考点、典型例题
高二数学选修 1－1 知识点第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题 . 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则 q ”，它的逆命题为“若q ，则 p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则 q ”，则它的否命题为“若p ，则q ”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则 q ”，则它的逆否命题为“若q ，则p ”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中（）A ．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数一定是奇数D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数答案（找作业答案 --->>上魔方格）一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，∴真命题的若有事成对出现的，四种命题的真假性之间的关系：1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 都是真命题时，p q 是真命题；当p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q 是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ．当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p 、q两个命题都是假命题时，p q是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ．若 p 是真命题，则p 必是假命题；若p 是假命题，则p 必是真命题．9、短语“对所有的” 、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个 x ，有 p x 成立”，记作“x，p x ”．短语“存在一个” 、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个 x ，使 p x 成立”，记作“x，p x”．10、全称命题p ：x，p x ，它的否定p ：x，p x ．全称命题的否定是特称命题．考点： 1、充要条件的判定2 、命题之间的关系★ 1．命题“对任意的x R，x3 x2 1≤ 0 ”的否定是（）A ．不存在x R， x3 x2 1≤ 0B ．存在x R， x3 x2 1≤ 0C．存在x R， x3 x2 1 0 D ．对任意的x R， x3 x2 1 0★2、给出命题：若函数 y=f(x)是幂函数，则函数 y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0★ 3.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“ m”的() A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第二章：圆锥曲线知识点：1、平面内与两个定点F1， F 2的距离之和等于常数（大于F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2 y21 a b 0y2 x21 a b 0 a2 b2 a2 b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a1a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a 顶点10, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0 轴长短轴的长2b 长轴的长2a焦点F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0, c 焦距F1F2 2c c2 a2 b2对称性关于 x 轴、y轴、原点对称c1 b20 e 1离心率 e 2a a准线方程x a2ya2 c c3、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2 对应准线的距离为d2，则F1 F2e．d1 d2线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程x2 y21 a 0,b 0y2 x21 a 0, b 0 a2 b2 a2 b2范围x a 或 x a ， y R y a 或 y a ， x R 顶点 1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a 轴长虚轴的长2b 实轴的长2a焦点F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0, c 焦距F1 F2 2c c2 a2 b2对称性关于 x 轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率e c1b2e 1 a a2准线方程x a2ya2 c c渐近线方程y b x y a xa b6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2对应准线的距离为d2，则F1 F2 e．d2d18、平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．9、抛物线的几何性质：y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py 标准方程p 0 p 0 p 0 p 0 图形顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点 F p, 0 Fp, 0 F 0,pF 0, p2 2 2 2准线方程x pxpypyp 2 2 2 2离心率 e 1范围x 0 x 0 y 0 y 010、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径” ，即 2 p ．考点： 1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：★★ 1．设O是坐标原点， F 是抛物线y2 2px( p 0) 的焦点，A是抛物线上的一xA ．21 pB ．21p C．13 p D ．13 p4 2 6 36★★ 2．与直线x y 2 0 和曲线x2 y2 12x 12y 54 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是．★★★ 3．（本小题满分 14 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1．（ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A， B 两点（ A， B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．第三章：导数及其应用知识点：1、若某个问题中的函数关系用 f x 表示，问题中的变化率用式子f x2 f x1x2 x1f表示，则式子 f x2 f x1 称为函数 f x 从x1到 x2的平均变化率．x x2 x12、函数f x 在 x x0 处的瞬时变化率是lim f x2 f x1limfx2 x1，则称它为函数 y f xx 0 x 0 x在 x x0处的导数，记作 f x0 或yx x0 ，即f x0 lim f x0 x f x0 ．x 0 x3、函数y f x 在点 x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点x0 , f x0处的切线的斜率．曲线 y f x 在点x0 , f x0 处的切线的斜率是 f x0 ，切线的方程为y f x f x x x．若函数在x0处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0 0 0x x0．4、若当x变化时，f x 是x的函数，则称它为 f x 的导函数（导数），记作 f x 或y，即f x yf x x f x lim ．5、基本初等函数的导数公式：1 若 f x c ，则 f x 0 ；2 若f x x n x Q* ，则 f x nx n 1；3 若 f x sin x ，则 f x cosx ；4 若 f x cosx ，则 f x sin x ；5 若 f x a x，则 f x a x ln a ；6 若 f x e x，则 f x e x；7 若 f x log a x ，则 f x18 若 f x ln x ，则 f x1 ；．x ln a x6、导数运算法则：1 f x g x f x g x ；2 f x g x f x g x f x g x ；3 f x f x g x f x g xx 0g x g x 2g ．7、对于两个函数y f u 和 u g x ，若通过变量 u ，y可以表示成 x 的函数，则称这个函数为函数 y f u 和 u f x 的复合函数，记作y f g x ．复合函数 y f g x 的导数与函数y f u ， u g x 的导数间的关系是y x y u u x．8、在某个区间a, b 内，若 f x 0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递增；若 f x 0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递减．9 、点a称为函数y f x 的极小值点， f a 称为函数y f x 的极小值；点 b 称为函数y f x 的极大值点， f b 称为函数 y f x 的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．10、求函数y f x 的极值的方法是：解方程 f x 0 ．当 f x0 0 时：1 如果在 x0附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极大值；2 如果在 x0附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极小值．11、求函数y f x 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤是：2 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a ， f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点： 1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题★ 1.（ 05 全国卷Ⅰ） 函数f ( x)x 3 ax 23x 9，已知f ( x)在 x3时取得极值， 则 a=（ ）A ． 2 B. 3C. 4D.5★ 2．函数33 x 2 x上的最大值与最小值分别是（ ）212 5 在 [0,3]A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16★★★ 3（. 根据 04 年天津卷文 21 改编）已知函数 f ( x)ax3cx d ( a0)是 R 上的奇函数，当 x1时f ( x)取得极值－ 2.（ 1）试求 a 、 c 、 d 的值；（ 2）求f (x)的单调区间和极大值；★★★ 4. （根据山东 2008 年文 21 改编）设函数f ( x)x 2e x 1ax 3 bx 2 ，已知x2和 x 1为f ( x)的极值点。
高中数学选修1-2知识点及典型题
选 修 1-2 知 识 点 总 结第一章：统计案例一．回归分析的基本思想及其初步应用1.正相关：如果点散布在从左下角到右上角的区域，则称这两个变量的关系为正相关。
2.负相关：如果点散布在从左上角到右下角的区域，则称这两个变量的关系为负相关。
3.回归直线方程的斜率和截距公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a xn x yx n yx x x y yx x b n i i ni ii n i i ini i1221121)()()(（此公式不要求记忆）。
4.最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法。
e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。
随机误差a bx y e i i i --=eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=， 所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。
2R ：∑∑==---=ni ini iy yyy R 12122)()ˆ(1，2R 的表达式中21)(∑=-ni i y y 确定，（1）2R 越大,残差平方和21)ˆ(∑=-ni i yy 越小,即模型的拟合效果越好； （2）2R 越小,残差平方和21)ˆ(∑=-ni i yy 越大,即模型的拟合效果越差。
2R 越接近1,表示回归效果越好。
二．独立性检验的基本思想及其初步应用1.分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。
2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。
22⨯列联表：2K 的观测值：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=。
0k 表：如果0k k ≥，就推断“Y X ,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α； 否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“Y X ,有关系”。
(精选试题附答案)高中数学选修一知识点总结(超全)
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点总结(超全) 单选题1、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左､右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．(0,√63)B．(√63,1)C．(√23,1)D．(0,√23).答案：B分析：由题设以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C 的离心率的范围.由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2，与直线bx−ay+2ab=0相交，所以√a2+b2<a，可得3b2=3(a2−c2)<a2，即e2>23，又0<e<1，所以√63<e<1.故选：B2、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离． ∵|CM|=√32+22=√13． ∴|z −2+i|的最大值是√13+2． 故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2． 3、动点P ，Q 分别在抛物线x 2=4y 和圆x 2+y 2−8y +13=0上，则|PQ|的最小值为（ ） A ．2√3B ．√3C ．12√3D ．32√3答案：B分析：设P (x 0,14x 02)，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.设P (x 0,14x 02)，圆化简为x 2+(y −4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P 到圆心的距离d =√(x 0−0)2+(14x 02−4)2=√116(x 02)2−x 02+16，令t =x 02，则t ≥0，令f(t)=116t 2−t +16，t ≥0，为开口向上，对称轴为t =8的抛物线， 所以f(t)的最小值为f (8)=12， 所以d min =√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min −√3=2√3−√3=√3. 故选：B4、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1， 所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1， 所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D5、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB=13，PN =ND ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则向量MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 用{a ,b ⃑ ,c }为基底表示为（ ）A ．a +13b ⃑ +12c B ．−a +16b ⃑ +12c C ．a −13b ⃑ +12c D ．−a −16b ⃑ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，根据比例关系可得MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量减法DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −16AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AP⃑⃑⃑⃑⃑ 即MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −16b ⃑ +12c 故选：D ． 6、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18， 又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23， 所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B7、已知点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx −2y +2=0外，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−3,−2)∪(2,+∞)B ．(−3,−2)∪(3,+∞)C ．(−2,+∞)D ．(−3,+∞) 答案：A分析：由x 2+y 2+mx −2y +2=0表示圆可得m 2+(−2)2−4×2>0，点A （1，2）在圆C 外可得12+22+m −2×2+2>0，求解即可由题意，x 2+y 2+mx −2y +2=0表示圆 故m 2+(−2)2−4×2>0，即m >2或m <−2 点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx −2y +2=0外 故12+22+m −2×2+2>0，即m >−3 故实数m 的取值范围为m >2或−3<m <−2 即m ∈(−3,−2)∪(2,+∞) 故选：A8、已知动点P 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1(不含端点)上.设D 1PD 1B=λ，若∠APC 为钝角，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(0,13)B ．(0,12)C ．(13,1)D ．(12,1) 答案：C分析：建立空间直角坐标系，由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，用坐标法计算，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0，即PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0，即可求出实数λ的取值范围.设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 则有A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),D (0,0,1) ∴D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,−1)，∴设D 1P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(λ,λ,−λ)，∴PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1A ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(1,0,−1)=(1−λ,−λ,λ−1)， PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =PD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +D 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−λ,−λ,λ)+(0,1,−1)=(−λ,1−λ,λ−1)， 由图知∠APC 不是平角，∴∠APC 为钝角等价于cos∠APC <0， ∴PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ <0， ∴(1−λ)(−λ)+(−λ)(1−λ)+(λ−1)2=(λ−1)(3λ−1)<0， 解得13<λ<1∴λ的取值范围是(13,1)故选：C.9、已知抛物线C ：y 2=8x ，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆D ：x 2+y 2−4x +3=0作切线，切点分别为A ，B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．√3D ．√5 答案：C分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=√|PD|2−1，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果如图，连接PD，圆D：(x−2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=√|PD|2−1，所以当四边形PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．故(S四边形PADB )min=(√|PD|2−1)min=√3．故选：C10、直线y=k(x−1)+2恒过定点（）A．(−1,2)B．(1,2)C．(2,−1)D．(2,1)答案：B分析：由x=1时，y=2可得到定点坐标.当x−1=0，即x=1时，y=2，∴直线y=k(x−1)+2恒过定点(1,2). 故选：B.填空题11、如图，在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点Р到直线CC 1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0),CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4),ED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4,4)， 因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =CE ⃑⃑⃑⃑⃑ +EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上投影长为d =|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4λ，而|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”， 所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55.所以答案是：4√5512、在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，点P 为底面ABCD 上一点，则PA →⋅PC 1→的最小值为________. 答案：−12分析：根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 解：如图，以AD,AB,AA 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0),C 1(1,1,2)，设P (x,y,0)，所以PA →=(−x,−y,0),PC 1→=(1−x,1−y,2)，所以PA →⋅PC 1→=−x (1−x )−y (1−y )=x 2+y 2−x −y =(x −12)2+(y −12)2−12， 所以当x =y =12时，PA →⋅PC 1→有最小值−12. 所以答案是：−1213、在平面内，一只蚂蚁从点A(−2,−3)出发，爬到y 轴后又爬到圆C:(x +3)2+(y −2)2=2上，则它爬到的最短路程是______．答案：4√2分析：求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3)，结合圆的性质，即可求解.由圆C:(x+3)2+(y−2)2=2，得圆心坐标C(−3,2)，半径为√2，求得点A(−2,−3)关于y轴的对称点为A′(2,−3)，可得|A′P|=|A′C|−r=√(−3−2)2+(2+3)2−√2=4√2.如图所示，可得爬到的最短路程为4√2.所以答案是：4√214、设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．答案：(x−1)2+(y+1)2=5分析：设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.[方法一]：三点共圆∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(a−3)2+(1−2a)2=√a2+(−2a)2=R，a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=5[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y−1=0的交点(1,-1).R=√5, ⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=515、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________.答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.解答题16、如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =1，BC =√2，M 为BC 的中点．（1）求证：PB ⊥AM ；（2）求平面PAM 与平面PDC 所成的角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）√147． 分析：（1）以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出 PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM 与平面PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．解：（1）依题意，棱DA ，DC ，DP 两两互相垂直.以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系.则B(√2,1,0)，P(0,0,1)，A(√2,0,0)，M (√22,1,0). 可得PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√2,1,−1)，AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,1,0).所以PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2×(−√22)+1−0=0， 所以PB ⊥AM（2）由（1）得到A(√2,0,0)，M (√22,1,0)， 因此可得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√22,1,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√2,0,1). 设平面PAM 的一个法向量为n 1⃑⃑⃑⃑ =(x,y,z)，则由{n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0,n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0, 得{−√22x +y =0,−√2x +z =0,令z =2√2，解得n 1⃑⃑⃑⃑ =(2,√2,2√2).同理，可求平面PDC 的一个法向量n 2⃑⃑⃑⃑ =(1,0,0).所以，平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角θ满足：cosθ=n 1⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n 2⃑⃑⃑⃑⃑ |n 1⃑⃑⃑⃑⃑ ||n 2⃑⃑⃑⃑⃑ |=√14×1=√147. 即平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角的余弦值为√147.17、已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0)，C(0，2)．（1）若过P(1，2)的直线y =ax +b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从E(1，0)点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．答案：（1）b =2−23√3；（2）证明见解析，(−1，−4)．分析：（1）结合图形分析可得直线y =ax +b 的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设F(m ，0)，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.（1）直线BC 的方程为：x +y―2=0，直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由{y =ax +b x +y =2得y Q =b+2a 1+a ，y Q >0， 直线y =ax +b 与x 轴交点为R (−b a，0)，−2<b a <2，由|BR ||BQ ||BA ||CB |=12，即√2|2+b a ||b+2a 1+a |4×2√2=12， 化简得：(b +2a)2=4a (a +1)，又b +a =2， ∴3b 2−12b +8=0，解得：b =2±23√3， 而a =2−b >0，∴b =2−23√3．（2）设F(m ，0)，直线AC 的方程为：x −y +2=0，直线BC 的方程为：x +y −2=0，设F(m ，0)关于直线AC 的对称点为F 1(x 1，y 1)，则{m+x 12−y 12+2=0y 1x 1−m =−1 ，解得F 1(−2，m +2)，同理可得F 1关于直线BC 的对称点为F 2(−m ，4)，则F 2在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为4−m−1，∴l 的斜率为4m+1，l 方程为y =4m+1(x −m )，即m (y +4)=4x −y ，∴l 过定点(−1，−4)．18、已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x −2)2+(y −3)2=1交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12，其中O 为坐标原点，求△OMN 的面积． 答案：（1）(4−√73,4+√73)；（2）√22. 分析：（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；（2）直线y =kx +1与圆的方程联立，利用韦达定理表示OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12，求得k =1，再利用弦长求△OMN 的面积．（1）设直线l 的方程为y =kx +1．因为直线l 与圆C 交于两点，所以√1+k 2<1，解得4−√73<k <4+√73．所以k 的取值范围为(4−√73,4+√73)． （2）设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)．将y =kx +1代入方程(x −2)2+(y −3)2=1，整理得(1+k 2)x 2−4(1+k )x +7=0，所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2，x 1x 2=71+k 2，所以OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k 2+8． 由题设得4k (1+k )1+k 2+8=12，解得k =1，所以直线l 的方程为y =x +1，所以圆心C 在直线l 上，所以|MN |=2．又原点O 到直线l 的距离d =√2=√22， 所以△OMN 的面积S =12|MN |⋅d =12×2×√22=√22． 19、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆N 过点(−1,0),(1,0),且圆心N 在直线l:x +y −1=0上；圆M ：(x −3)2+(y −4)2=8．(1)求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系；(2)直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T,S （不重合），满足BS =2BT ，若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由.答案：(1)x 2+(y −1)2=2，相外切(2)存在，B (7,8)分析：（1）、先确定两圆圆心和半径，再计算圆心距与半径和进行比较即得结果；（2）、设直线MN 上存在点B 满足题意，设出B 点坐标，由BS =2BT 及其与切线长和半径之间的关系得到|BN |2=4|BM |2−30，再利用距离公式解得a ，经检验即得答案．（1）∵圆N 过点(−1,0),(1,0),∴圆N 的圆心N 在直线x =0上，∵圆心N 在直线l:x +y −1=0上，∴{x +y −1=0x =0 ，∴{x =0y =1 ，∴N (0,1)， 设A (−1,0),∴半径为r N =|NA |=√2，∴圆N 的标准方程为x 2+(y −1)2=2，∵圆M ：(x −3)2+(y −4)2=8．∴M (3,4),r M =2√2又∵|MN |=√(3−0)2+(4−1)2=3√2,且r M +r N =√2+2√2=3√2 ∴|MN |=r M +r N =3√2∴圆M 与圆N 相外切．（2）∵N (0,1) ，M (3,4)，∴直线MN 的方程为x −y +1=0，设直线MN 上存在点B 满足题意，B (a,a +1)∵|BS |=2|BT |,∴|BS |2=4|BT |2,∴|BN |2−r N 2=4(|BM |2−r M 2),∴|BN |2−2=4(|BM |2−8),∴|BN |2=4|BM |2−30∵B(a,a+1),N(0,1),M(3,4),|BN|2=a2+(a+1−1)2,|BM|2=(a−3)2+(a+1−4)2,∴a2+(a+1−1)2=4[(a−3)2+(a+1−4)2]−30,∴a2−8a+7=0，∴a=1或a=7，∴B(1,2)或B(7,8)当B(1,2)时，点B为圆N与圆M的公切点，不符合题意;当B(7,8)时，满足BS=2BT.综上所述，存在点B(7,8)，满足BS=2BT.。
(精选试题附答案)高中数学选修一总结(重点)超详细
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一总结(重点)超详细单选题1、已知直线斜率为k，且−1≤k≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（）A．[0,π3]∪[π2,3π4)B．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.2、已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，则AB的中点M到C的准线l的距离的最小值为（）A．2B．4C．5D．6答案：B分析：设出直线AB的方程x=my+2，联立后利用弦长公式表达出AB，求出AB长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到AB的中点M到C的准线l的距离为AB的一半，进而求出点M到C的准线l的距离的最小值. 如图，分别过点A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，E ， 则|MD |=|AC |+|BE |2=|AF |+|BF |2=|AB |2设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立{x =my +2y 2=8x ，整理得y 2−8my −16=0，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16.|AB |=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m 2)⩾8∴|MD |⩾4. 故选：B.3、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6 答案：C分析：本题通过利用椭圆定义得到|MF 1|+|MF 2|=2a =6，借助基本不等式|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2即可得到答案．由题，a 2=9,b 2=4，则|MF 1|+|MF 2|=2a =6， 所以|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9（当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立）．小提示：4、椭圆x2100+y264=1的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°，则点P到x轴的距离为（）A．64√33B．91√33C．32√39D．643答案：C分析：利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得|PF1|⋅|PF2|，一方面S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin60°，另一方面设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2=12×|F1F2|×d，所以12|PF1|⋅|PF2|sin60°=12×|F1F2|×d，即可求解易得c=√a2−b2=6．设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r1+r2=20．在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=r12+r22−2r1r2cos60°，即144=r12+r22−r1r2=(r1+r2)2−3r1r2=400−3r1r2，则r1r2=2563，所以S△PF1F2=12r1r2sin60°=12×2563×√32=64√33．设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2=12×|F1F2|×d=6d，故6d=64√33，解得d=32√39．故选：C．5、已知从点(−5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x−3y+1=0B．2x−3y−1=0C．3x−2y+1=0D．3x−2y−1=0答案：A分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点A的坐标为(−5,3)，圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆心坐标为B(1,1)，设C(x,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，所以反射光线经过点B(1,1)，于是k BC =1−01−(−12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：y =23(x +12)⇒2x −3y +1=0， 故选：A6、已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A(72，4)，则|PA |+|PM |的最小值是（ ） A ．5B ．92C ．4D ．32 答案：B分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM 交准线于H 点推断出|PA |＝|PH |，进而表示出|PM |，问题转化为求|PF |+|PA |的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF |+|PA |的最小值，则|PA |+|PM |的最小值可得．依题意可知焦点F (12,0)，准线 x =−12，延长PM 交准线于H 点．则|PF |＝|PH |，∴|PM |＝|PH |−12=|PF |−12∴|PM |+|PA |＝|PF |+|PA |−12，∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小． 由三角形两边长大于第三边可知，|PF |+|PA |≥|FA |，① 当P 与线段AF 与抛物线的交点P 0重合时取到最小值，． 由A (72,4),可得|FA |=√(72−12)2+42=5． 则所求为(|PM |+|PA |)min =5−12=92．故选：B ．7、已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）与双曲线C2:x2a22−y2b22=1（a2>0，b2>0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P．若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，曲线C1，C2的离心率分别为e1和e2，则1 e1−1e2=（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：设曲线C1，C2的焦距为2c，则可得|PF2|=|F1F2|=2c，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出a1,a2,c的关系，变形后可得结果.设曲线C1，C2的焦距为2c．△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则|PF2|=|F1F2|=2c．由点P在第一象限，知|PF1|=2a1−|PF2|=2a2+|PF2|，即2a1−2c=2a2+2c，即a1−a2=2c，即1e1−1e2=2．故选：B8、直线y=x−1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=（）A．6B．8C．2D．4分析：联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 因为抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点坐标为F (p2,0)，又直线y =x −1过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F ，所以p =2，抛物线C 的方程为y 2=4x ，由{y =x −1y 2=4x，得x 2−6x +1=0，所以x A +x B =6，所以|AB |=x A +x B +p =6+2=8． 故选：B9、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号； 令x =0，得y =−CB >0；令y =0，得x =−CA >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选：C.10、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则a ⋅(b ⃑ +c )的值为（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．-2 答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 两两垂直，从而对a ⋅(b ⃑ +c )化简可得答案 由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃑ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃑ =0,a ⋅c =0， 所以a ⋅(b ⃑ +c )=a ⋅b ⃑ +a ⋅c =0， 故选：B11、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x1,y1)，Q(－x1,−y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，|QF1PF1|≥√33，则椭圆C的离心率的取值范围为_____．答案：(√22，√3−1]分析：设PF1=n，PF2=m，由已知得到mn的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e 的范围.设PF1=n，PF2=m，由x1>0，y1>0，知m<n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|=2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1=PF2；由|QF1||PF1|≥√33，可得√33≤mn<1，由椭圆的定义可得m+n=2a，n2+m2=4c2①，平方相减可得mn=2(a2－c2)②，由①②得4c 22(a2−c2)=m2+n2mn=mn+nm；令t=mn +nm，令v=mn ∈[√33，1)，所以t=v+1v ∈(2，4√33]，即2<4c22(a2−c2)≤4√33，所以a2－c2<c2≤2√33(a2－c2)，所以1－e2<e2≤2√33(1－e2)，所以12<e2≤4−2√3，解得√22<e≤√3−1.所以答案是：(√22，√3−1] .12、过点(2,3)，且斜率为2的直线l的斜截式方程为________．分析：利用点斜式可求得直线方程，整理可得斜截式方程.直线l 的点斜式方程为：y −3=2(x −2)，整理可得其斜截式方程为y =2x −1. 所以答案是：y =2x −1.13、已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1,F 2，点P 为椭圆上一点，且tanPF 1F 2=13，tanPF 2F 1=3，则椭圆E 的离心率为 __．答案：√104分析：由题意得到tanPF 1F 2(−tanPF 2F 1)=−1，即PF 1⊥PF 2，进而求得|PF 1|=√10|PF 2|=√10，结合|PF 1|+|PF 2|=2a ，得到√10=2a ，即可求得椭圆的离心率.因为tanPF 1F 2=13，tanPF 2F 1=3，则tanPF 1F 2(−tanPF 2F 1)=−1， 所以PF 1⊥PF 2, 且cosPF 1F 2=√10sinPF 1F 2=√10，所以|PF 1|=|F 1F 2|cos∠PF 1F 2=√10|PF 2|=|F 1F 2|sin∠PF 1F 2=√10，又由|PF 1|+|PF 2|=2a ，即√10√10=2a ，即√10=2a ，所以e =ca =√104. 所以答案是：√104. 14、已知e 1，e 2分别是具有公共焦点F 1，F 2的椭圆和双曲线的离心率，点P 是两曲线的一个公共点，O 是F 1F 2的中点，且PO =F 2O ，则12√e 1+e 2=______．答案：√22分析：连接PF 1，PF 2．设PF 1=x ，PF 2=y ，在△F 1PF 2中，PO =F 2O =F 1O ，得到F 1P ⊥F 2P ，设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，焦距为2c ，由{x 2+y 2=4c 2x +y =2a 1x −y =2a 2 求解.连接PF 1，PF 2．设PF 1=x ，PF 2=y ， ∵在△F 1PF 2中，PO =F 2O =F 1O ，∴F 1P ⊥F 2P ．记椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，焦距为2c ， 则{x 2+y 2=4c 2x +y =2a 1x −y =2a 2 ，∴(x+y )2+(x−y )2x 2+y 2=a 12+a 22c 2=2，∴2=a 12c 2+a 22c 2=1e 12+1e 22=e 12+e 22e 12e 22，∴12√e 1+e 2=√22． 所以答案是：√2215、过圆C:(x −1)2+y 2=1外一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B .若△PAB 为等边三角形，则过D (2，1)的直线l 被P 点轨迹所截得的最短弦长为________. 答案：2√2分析：先根据∠APC ＝30°，可得P 点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l 与CD 垂直时，l 被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可由题意知C (1,0)，连接PC ，因为△PAB 为等边三角形，所以∠APC ＝30°，所以|CP |=1sin30∘=2，所以P 点轨迹的方程为(x −1)2+y 2=4.因为(2−1)2+12=2<4，所以点D (2，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部.连接CD ，结合图形可知，当l 与CD 垂直时，l 被圆(x −1)2+y 2=4所截得的弦长最短，最短弦长为2√4−CD 2=2√4−2=所以答案是：2√2解答题16、求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(√6,0)，(3,2)；(2)焦点为(0,−5)，(0,5)，经过点(4√33,2√3)；(3)a=b，经过点(3,−1)；(4)经过(3,−4√2)和(94,5)两点．答案：(1)x 26−y28=1；(2)y29−x216=1；(3)x28−y28=1；(4)y216−x29=1.分析：(1)根据题意，由双曲线经过点(√6，0)，分析可得双曲线的焦点为x轴上，且a=√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y2b2=1，将点(3,2)代入计算可得b2的值，将b2的值代入双曲线的方程，即可得答案；(2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在y轴上，且c=5，由双曲线的定义计算可得a的值，结合双曲线的几何性质可得b2的值，将a2、b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．(3)根据题意，设双曲线的方程为：x2−y2=t，将点(3,−1)代入其中计算可得t的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；(4)根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1，将(3,−4√2)和(94，5)两点坐标代入双曲线方程可得{9m −32n =18116m −25n =1 ，解可得：m 、n 的值，将m 、n 的值代入双曲线方程即可得答案． （1）根据题意，双曲线经过点(√6，0)，则双曲线的焦点在x 轴上，且a =√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y 2b 2=1，双曲线经过(3,2)，则有96−4b 2=1，解可得b 2=8，则双曲线的标准方程为：x 26−y 28=1；（2）根据题意，焦点为(0,−5)，(0,5)，则双曲线的焦点在y 轴上，且c =5，∵双曲线过点(4√33,2√3)，故根据双曲线的定义可知： 2a =|√(4√33)2+(2√3+5)2−√(4√33)2+(2√3−5)2|=6，则a =3，则b 2=c 2−a 2=16，则双曲线的标准方程为：y 29−x 216=1；（3）根据题意，双曲线中a =b ，设双曲线的方程为：x 2−y 2=t ，又由双曲线经过点(3,−1)，则有t = 32−(−1)2=8，则双曲线的方程为x 2−y 2=8，则双曲线的标准方程为：x 28−y 28=1；（4）根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1(mn >0)，双曲线经过(3,−4√2)和(94，5)两点，则有{9m −32n =18116m −25n =1 ， 解可得：m =−19，n =−116，则双曲线的标准方程为：y 216−x 29=1．17、如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，BD 的中点，点G 在CD 上，且CG =14CD ．（1）求证：EF ⊥B 1C ；（2）求EF 与C 1G 所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）√33．分析：（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明EF ⊥B 1C ；（2）直接利用向量法求EF 与CG 所成角的余弦值（1）建立以D 点为坐标原点，DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则E(0,0,12)，F(12,12,0)，B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，则EF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,12,−12)，B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,−1)， 所以EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12×(−1)+0+(−12)×(−1)=0，即EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以EF ⊥B 1C .（2）由（1）知，G(0,34,0)，CG ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−14,0)， 则cos <EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CG ⃑⃑⃑⃑⃑ >=EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CG⃑⃑⃑⃑⃑ |EF ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|CG ⃑⃑⃑⃑⃑ |=0+12×(−14)+0√32×14=−√33， 因为EF 与CG 所成角的范围为[0,π2]，所以其夹角余弦值为√33. 18、已知定圆A:(x +1)2+y 2=16，动圆M 过点B (1,0)，且和圆A 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)若过点B 的直线l 交轨迹E 于P,Q 两点，与y 轴于点N ，且NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λPB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,NQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =μQB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值；否则，请说明理由.答案：(1)x 24+y 23=1；(2)是，−83. 分析：（1）利用椭圆的定义即求；（2）利用韦达定理及向量的共线定理可得，λ+μ=x 11−x 1+x 21−x 2=x 1+x 2−2x 1x 21−(x 1+x 2)+x 1x 2，即得. （1）由题可知圆A 的圆心为A (−1,0)，半径r 1=4，设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2=|MB |，由|AB |=2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |=r 1−r 2，即|MA |+|MB |=4>2=|AB |，所以动点M 的轨迹E 是以A ､B 为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则a =2,c =1,b =√a 2−c 2=√3，∴圆心M 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1；（2）直线l 与y 轴相交于N ，故斜率存在，又B (1,0)，设直线l 方程为y =k (x −1)，则N (0,−k )，设l 交椭圆P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由{y =k (x −1)x 24+y 23=1 ，消去y 得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， ∴x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2−123+4k 2， 又NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λPB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴(x 1,y 1+k )=λ(1−x 1,−y 1)，∴λ=x 11−x 1，同理μ=x21−x 2， ∴λ+μ=x 11−x 1+x 21−x 2=x 1+x 2−2x 1x 21−(x 1+x 2)+x 1x 2=8k 23+4k 2−2(4k 2−12)3+4k 21−8k 23+4k 2+4k 2−123+4k 2=−83. ∴当直线l 的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值−83. 19、抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：x =1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M (2,0)，且⊙M 与l 相切．（1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1,A 2,A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．答案：（1）抛物线C:y 2=x ，⊙M 方程为(x −2)2+y 2=1；（2）相切，理由见解析分析：（1）根据已知抛物线与x =1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,Q 坐标，由OP ⊥OQ ，即可求出p ；由圆M 与直线x =1相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑A 1A 2斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3斜率存在，由A 1,A 2,A 3三点在抛物线上，将直线A 1A 2,A 1A 2,A 2A 3斜率分别用纵坐标表示，再由A 1A 2,A 1A 2与圆M 相切，得出y 2+y 3,y 2⋅y 3与y 1的关系，最后求出M 点到直线A 2A 3的距离，即可得出结论.（1）依题意设抛物线C:y 2=2px(p >0),P(1,y 0),Q(1,−y 0)，∵OP ⊥OQ,∴OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1−y 02=1−2p =0,∴2p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=x ，M(2,0),⊙M 与x =1相切，所以半径为1，所以⊙M 的方程为(x −2)2+y 2=1；（2）[方法一]：设A 1(x 1y 1),A 2(x 2,y 2),A 3(x 3,y 3)若A 1A 2斜率不存在，则A 1A 2方程为x =1或x =3，若A 1A 2方程为x =1，根据对称性不妨设A 1(1,1)，则过A 1与圆M 相切的另一条直线方程为y =1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A 3，不合题意；若A 1A 2方程为x =3，根据对称性不妨设A 1(3,√3),A 2(3,−√3),则过A 1与圆M 相切的直线A 1A 3为y −√3=√33(x −3)， 又k A 1A 3=y 1−y 3x 1−x 3=1y 1+y 3=√3+y =√33,∴y 3=0，x 3=0,A 3(0,0)，此时直线A 1A 3,A 2A 3关于x 轴对称，所以直线A 2A 3与圆M 相切；若直线A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3斜率均存在，则k A 1A 2=1y 1+y 2,k A 1A 3=1y 1+y 3,k A 2A 3=1y2+y 3， 所以直线A 1A 2方程为y −y 1=1y 1+y 2(x −x 1)，整理得x −(y 1+y 2)y +y 1y 2=0，同理直线A 1A 3的方程为x −(y 1+y 3)y +y 1y 3=0，直线A 2A 3的方程为x −(y 2+y 3)y +y 2y 3=0，∵A1A2与圆M相切，∴12√1+(y1+y2)2=1整理得(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0，A1A3与圆M相切，同理(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0所以y2,y3为方程(y12−1)y2+2y1y+3−y12=0的两根，y2+y3=−2y1y12−1,y2⋅y3=3−y12y12−1，M到直线A2A3的距离为：23√1+(y2+y3)2=|2+3−y12y12−1|√1+(−2y1y12−1)2=12√(y1−1)2+4y1=y12+1y12+1=1，所以直线A2A3与圆M相切；综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.[方法二]【最优解】：设A1(x1,y1),y12=x1,A3(x3,y3),y32=x3,A2(x2,y2),y22=x2．当x1=x2时，同解法1．当x1≠x2时，直线A1A2的方程为y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)，即y=xy1+y2+y1y2y1+y2．由直线A1A2与⊙M相切得|2+y1y2 y1+y2|√(y1+y2)2+1=1，化简得2y1y2+(x1−1)x2−x1+3=0，同理，由直线A1A3与⊙M相切得2y1y3+(x1−1)x3−x1+3=0．因为方程2y1y+(x1−1)x−x1+3=0同时经过点A2,A3，所以A2A3的直线方程为2y1y+(x1−1)x−x1+3=0，点M到直线A2A3距离为11√4y1+(x1−1)2=1√(x1+1)2=1．所以直线A2A3与⊙M相切．综上所述，若直线A1A2,A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切．【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用A1A2,A1A3的对称性，抽象出y2+y3,y2⋅y3与y1关系，把y2,y3的关系转化为用y1表示，法二是利用相切等条件得到A2A3的直线方程为2y1y+(x1−1)x−x1+3=0，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路。
数学必刷题选修一
数学必刷题选修一数学作为一门理科学科，是我们学习和应用的基础。
在学习数学的过程中，做题是非常重要的环节，可以帮助我们巩固知识、理解概念、培养逻辑思维和解决问题的能力。
为了帮助大家更好地学习数学，我整理了一些必刷的题目，这些题目涵盖了数学选修一的各个知识点，希望对大家的学习有所帮助。
1. 函数的定义与性质题目一：已知函数f(x)的定义域为R，f(x) = 2x + 3，求f(5)的值。
题目二：函数f(x) = 3x - 1与g(x) = 2x + 5的图像是否相交？若相交，求交点的坐标。
2. 二次函数与图像题目一：已知二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3的图像的顶点坐标为（1，-1），求f(x)的解析式。
题目二：已知二次函数f(x)的图像经平移后的顶点坐标为（-2，3），求平移后f(x)的解析式。
3. 三角函数题目一：已知sinx = 1/2，求x的解。
题目二：已知tanx = -√3，求x的解。
4. 数列与数学归纳法题目一：已知数列{an}满足an = 3n - 1，求a1、a2和a3的值。
题目二：已知数列{an}满足an = 2^(n-1)，求a1 + a2 + a3 + ... + a10的值。
5. 概率与统计题目一：某班级有30个学生，其中10个学生学习数学，20个学生学习英语，5个学生既学习数学又学习英语。
随机选择一个学生，求该学生学习数学或英语的概率。
题目二：某城市每天发生的交通事故数满足泊松分布，已知平均每天发生2起事故的概率为0.135，求该城市每天发生1起事故的概率。
以上是数学选修一中的一些重要知识点及相关题目，希望对大家的学习有所帮助。
通过刷题，可以巩固知识、提高解题能力，为学习数学打下坚实的基础。
在解题的过程中，要注重思路的清晰、方法的灵活运用，不断总结归纳，不断提高自己的数学素养。
祝大家学习进步，取得好成绩！。
(精选试题附答案)高中数学选修一知识点归纳超级精简版
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点归纳超级精简版单选题1、已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为s ⃑=(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为（ ）A ．3√22B ．√22C ．√102D ．√2 答案：A分析：本题首先可根据题意得出AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，然后求出|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|与|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果. 因为A (2,3,1)，P (4,3,2)，所以AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(2,0,1)， 则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√5，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||=√22， 由点到直线的距离公式得d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅s ⃑|s ⃑||2=3√22， 故选：A.2、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（）A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF 1|=3|PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2|PF 2|=2a ，所以|PF 2|=a ，|PF 1|=3a ；因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理可得4c 2=9a 2+a 2−2×3a ⋅a ⋅cos60°，整理可得4c 2=7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c 间的等量关系是求解的关键.4、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝a ⃑,OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑,OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=c ⃑，点M 在OA 上，且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，N 为BC 中点，则MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑（ ）A ．12a ⃑−23b ⃑⃑+12c ⃑B ．−23a ⃑+12b ⃑⃑+12c ⃑ C ．12a ⃑+12b ⃑⃑−12c ⃑D ．−23a ⃑+23b ⃑⃑−12c ⃑ 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23a ⃑+12b ⃑⃑+12c ⃑ 故选：B5、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，又∵|PF 1|=3|PF 2|，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=12a ，而|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|=2c ，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立，即32a −12a ≤2c ，即a ≤2c ，则e =c a ≥12，即12≤e <1.故选：D ．6、如图，下列各正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为顶点，P 为所在棱的中点，则满足MN ⊥OP 的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)，对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ⊥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33 答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)，设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169， 所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD面积的最小值为S△ABD=12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A8、已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C．√3D．√5答案：C分析：由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=√|PD|2−1，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果如图，连接PD，圆D：(x−2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=√|PD|2−1，所以当四边形PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．故(S四边形PADB )min=(√|PD|2−1)min=√3．故选：C9、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．10、动点P，Q分别在抛物线x2=4y和圆x2+y2−8y+13=0上，则|PQ|的最小值为（）A．2√3B．√3C．12√3D．32√3答案：B分析：设P(x0,14x02)，根据两点间距离公式，先求得P到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.设P(x0,14x02)，圆化简为x2+(y−4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P到圆心的距离d=√(x0−0)2+(14x02−4)2=√116(x02)2−x02+16，令t=x02，则t≥0，令f(t)=116t2−t+16，t≥0，为开口向上，对称轴为t=8的抛物线，所以f(t)的最小值为f(8)=12，所以d min=√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min−√3=2√3−√3=√3.故选：B填空题11、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________. 答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：212、与双曲线x29−y216=1有共同渐近线，且经过点A(−3,2√3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.答案：2分析：由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.解：根据题意，设双曲线方程为x 29−y216=λ，将点(−3,2√3)代入双曲线方程，解得λ=14.所以，经过点A(−3,2√3)的双曲线方程为：4x 29−y24=1，故4x 29−y24=1的一个焦点坐标为(52,0),一条渐近线方程为y=43x，即4x−3y=0，所以，焦点到一条渐近线的距离是√9+16=2，所以答案是：213、设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．答案：(x−1)2+(y+1)2=5分析：设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.[方法一]：三点共圆∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(a−3)2+(1−2a)2=√a2+(−2a)2=R，a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=5[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y−1=0的交点(1,-1).R=√5, ⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.所以答案是：(x−1)2+(y+1)2=514、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________.答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.15、如图，已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l 与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为______．答案：(4,+∞)分析：设A, B 坐标和直线AB 的方程，让直线AB 方程与抛物线进行联立可得x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，接着利用弦长公式求出|AB |，再求出点D 到直线AB 的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案由抛物线C:y 2=4x 可得焦点F (1,0)，准线方程为x =−1，D (−1,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =k (x −1)(k ≠0)，由{y =k (x −1)y 2=4x，可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，则x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1， 所以|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(2+4k 2)2−4=4(1+k 2)k 2， 直线AB 的一般方程为kx −y −k =0，点D (−1,0)到直线AB 的距离d =√k 2+1，所以S =12d ⋅|AB |=√1+k 2⋅4(1+k 2)k 2=4√1k 2+1>4， 所以△DAB 的面积S 的取值范围为(4,+∞)，所以答案是：(4,+∞)解答题16、已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0)，C(0，2)．（1）若过P(1，2)的直线y =ax +b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从E(1，0)点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．答案：（1）b =2−23√3；（2）证明见解析，(−1，−4)． 分析：（1）结合图形分析可得直线y =ax +b 的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设F(m ，0)，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.（1）直线BC 的方程为：x +y―2=0，直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由{y =ax +b x +y =2得y Q =b+2a 1+a ，y Q >0， 直线y =ax +b 与x 轴交点为R (−b a ，0)，−2<b a <2，由|BR ||BQ ||BA ||CB |=12，即√2|2+b a ||b+2a 1+a |4×2√2=12， 化简得：(b +2a)2=4a (a +1)，又b +a =2， ∴3b 2−12b +8=0，解得：b =2±23√3， 而a =2−b >0，∴b =2−23√3．（2）设F(m ，0)，直线AC 的方程为：x −y +2=0，直线BC 的方程为：x +y −2=0，设F(m ，0)关于直线AC 的对称点为F 1(x 1，y 1)，则{m+x 12−y 12+2=0y 1x 1−m =−1 ，解得F 1(−2，m +2)，同理可得F 1关于直线BC 的对称点为F 2(−m ，4)，则F 2在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为4−m−1，∴l 的斜率为4m+1，l 方程为y =4m+1(x −m )，即m (y +4)=4x −y ，∴l 过定点(−1，−4)．17、如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =BC =BB 1，D 为AB 的中点．试用向量的方法证明：(1)BC 1⊥AB 1；(2)BC 1//平面A 1CD ．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.（2）利用向量的方法证得结论成立.（1）建立如图所示空间直角坐标系，设AC =BC =BB 1=2，则B (0,2,2),C 1(0,0,0),A (2,0,2),B 1(0,2,0)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,−2,−2),AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,2,−2),BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，所以BC 1⊥AB 1.（2）BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,−2,−2)，D (1,1,2),A 1(2,0,0),C (0,0,2),DA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,−1,−2),A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−2,0,2)，设平面A 1CD 的法向量为n ⃑⃑=(x,y,z )，则{n ⃑⃑⋅DA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x −y −2z =0n ⃑⃑⋅A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2x +2z =0，故可令n ⃑⃑=(1,−1,1)， BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅n⃑⃑=0，所以BC 1//平面A 1CD .18、已知抛物线T ：y 2=2px （p ∈N +）和椭圆C ：x 25+y 2=1，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点.(1)若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；(2)若MN 恰好被AB 平分，求△OAB 面积的最大值答案：(1)4(2)3√22．分析：（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得p 的值；（2）设直线l 方程为x =my +p 2，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．（1）在椭圆中，c =√a 2−b 2=2， 所以p 2=2，p =4； （2）设直线l 方程为x =my +p 2，代入抛物线方程得y 2−2mpy −p 2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点为G(x 0,y 0)，则y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=−p 2，y 0=y 1+y 22=mp ，x 0=m 2p +p 2，设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4)，则{x 325+y 32=1x 425+y 42=1 ，两式相减得(x 3+x 4)(x 3−x 4)5+(y 3+y 4)(y 3−y 4)=0， 所以2x 0(x 3−x 4)5+2y 0(y 3−y 4)=0，k MN =y 3−y 4x 3−x 4=−x 05y 0，k MN =−1m ， 所以−15×m 2p+p 2mp =−1m ，解得m 2=18，点G 在椭圆内部，所以(m 2p+p 2)25+(mp)2<1，得p 2<6413， 因为p ∈N +，所以p =1或p =2，S △OAB =12×p 2|y 1−y 2|=p 4√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=p 4√4m 2p 2+4p 2=3√28p 2， p =1时，S △OAB =3√28，p =2时，S △OAB =3√22， 所以△OAB 面积的最大值为3√22． 小提示：本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．19、已知直线l 1与直线l 2:3x +4y −5=0平行，直线l 1与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线l 1的方程. 答案：3x +4y ±12√2=0分析：设直线的方程为3x +4y +c =0，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.设直线l 1的方程为3x +4y +c =0.令y =0，得x =−c 3；令x =0，得y =−c 4.由题设得12|−c 3|⋅|−c 4|=12.解得c =±12√2，因此直线l 1的方程为3x +4y ±12√2=0.。
(精选试题附答案)高中数学选修一重点归纳笔记
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一重点归纳笔记单选题1、已知A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等，则a =（ ） A ．2B ． 92C ．2或−8D ．2或92答案：D分析：利用点到直线距离公式进行求解即可.因为A(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x −4y +1=0的距离相等， 所以有√32+(−4)2=√32+(−4)2⇒|13−4a |=5⇒a =2，或a =92，故选：D2、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13 答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案. 因为|PF 1|=3|PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=2|PF 2|=2a ， 所以|PF 2|=a ，|PF 1|=3a ；因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理可得4c 2=9a 2+a 2−2×3a ⋅a ⋅cos60°， 整理可得4c 2=7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72. 故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c 间的等量关系是求解的关键.3、抛物线y 2=2px(p >0)的焦点到直线y =x +1的距离为√2，则p =（ ） A ．1B ．2C ．2√2D ．4 答案：B分析：首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 抛物线的焦点坐标为(p2,0)，其到直线x −y +1=0的距离：d =|p 2−0+1|√1+1=√2，解得：p =2(p =−6舍去). 故选：B.4、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，又∵|PF 1|=3|PF 2|，∴|PF 1|=32a ，|PF 2|=12a ， 而|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|=2c ，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立， 即32a −12a ≤2c ，即a ≤2c ，则e =ca ≥12，即12≤e <1. 故选：D ． 5、已知椭圆x 24+y 23=1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，若△F 1MN 的周长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：D分析：运用椭圆的定义进行求解即可.由x 24+y 23=1⇒a =2.因为M ，N 是椭圆的上的点，F 1、F 2是椭圆的焦点， 所以MF 1+MF 2=2a,NF 1+NF 2=2a ，因此△F 1MN 的周长为MF 1+MN +NF 1=MF 1+MF 2+NF 2+NF 1=2a +2a =4a =8， 故选：D6、直线2x +3y −6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3x −2y +2=0B ．2x +3y +7=0 C ．3x −2y −12=0D ．2x +3y −4=0 答案：D分析：设对称的直线方程上的一点的坐标为(x ，y),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2−x,2−y),代入已知直线即可求得结果.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x ，y),则其关于点(1,1)对称的点的坐标为(2−x,2−y)，以(2−x,2−y)代换原直线方程中的(x,y)得2(2−x )+3(2−y )−6=0，即2x +3y −4=0. 故选：D.7、已知点P(x ，y)在直线x −y −1=0上的运动，则(x −2)2+(y −2)2的最小值是（ ） A ．12B ．√22C ．14D ．√34 答案：A分析：(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2，2)距离的平方，求出(2，2)到直线x −y −1=0的距离，即可得到答案.(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2,2)距离的平方， 因为点(2,2)到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22， 所以(2,2)的最小值为d 2=12．故选：A8、已知F 1､F 2是椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B分析：根据△PF 1F 2的面积以及该三角形为直角三角形可得|PF 1|⋅|PF 2|=18，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，然后结合|PF 1|+|PF 2|=2a ，简单计算即可.依题意有|PF 1|+|PF 2|=2a ，所以|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2又PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，S △PF 1F 2=12|PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=9，所以|PF 1|⋅|PF 2|=18，又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，可得4c 2+36=4a 2， 即a 2−c 2=9，则b =3， 故选：B.9、已知直线l 1:√3x +y =0与直线l 2:kx −y +1=0，若直线l 1与直线l 2的夹角是60°，则k 的值为（ ） A ．√3或0B ．−√3或0 C ．√3D ．−√3 答案：A分析：先求出l 1的倾斜角为120°，再求出直线l 2的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k . 直线l 1:√3x +y =0的斜率为k 1=−√3，所以倾斜角为120°. 要使直线l 1与直线l 2的夹角是60°， 只需直线l 2的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0或√3. 故选：A10、设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D,E 两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因为C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 填空题11、如图所示，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩B 1D 1=F ，若AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +zAA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则x +y +z =___________.答案：2分析：题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，AF=AB+BB 1+B 1F=AB+BB 1+12B 1D 1,再将A 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 转化为AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，以及将A 1B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 转化为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,BB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,总之等式右边为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,从而得出x =y =12，z =1.解：因为AF=AB+BB 1+B 1F=AB+BB 1+12B 1D 1=AB +BB 1 +12(A 1D 1−A 1B 1 )=AB +BB 1 +12AD −12AB=12AB+12AD+AA 1， 又AF=xAB+AD+zAA1， 所以x =y =12，z =1， 则x +y +z =2. 所以答案是：2.小提示：要充分利用几何体的几何特征，以及将AF=xAB+AD+zAA1作为转化的目标，从而得解.12、已知点P是x轴上的任意一点，A(0,−2)，B(−3,0)，则2|AP|+|BP|的最小值为_________. 答案：3+2√3##2√3+3分析：如图，过B点作倾斜角为π6的直线BM，过点P作PE⊥BM，则|PE|=12|PB|，从而得|AP|+12|BP|=|AP|+|PE|≥|AE|，然后利用点到直线的距离公式求出A到直线BM的距离，进而可求出2|AP|+|BP|的最小值，如图，过B点作倾斜角为π6的一条直线BM:y=√33(x+3)，过点P作PE⊥BM于E，则|PE||PB|=12，即|PE|=12|PB|，所以|AP|+12|BP|=|AP|+|PE|≥|AE|，A到直线BM的距离d=3+2√32，因此2|AP|+|BP|的最小值为3+2√3.所以答案是：3+2√313、过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线的方程是______．答案：x=1或3x−4y+5=0分析：当直线斜率不存在时，可得直线l:x=1，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离d=√k2+1=r=1，即可求得k值，综合即可得答案. 当直线l的斜率不存在时，因为过点(1,2)，所以直线l:x=1，此时圆心(0,0)到直线x=1的距离为1=r，此时直线l:x =1与圆x 2+y 2=1相切，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以l: y −2=k(x −1)，即kx −y −k +2=0， 因为直线l 与圆相切， 所以圆心到直线的距离d =√k 2+1=r =1，解得k =34，所以直线l 的方程为3x −4y +5=0. 综上：直线的方程为x =1或3x −4y +5=0 所以答案是：x =1或3x −4y +5=014、已知抛物线y 2=2px (p >0)，圆(x −p 2)2+y 2=1与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，λ∈[2,4]，则k 2的取值范围为___________. 答案：[8,16+12√2]分析：先求出p ，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出x A ,x D ，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.由圆的方程可知，其圆心坐标为(p2,0)，当圆与y 轴相切可知p2=1，得p =2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，抛物线方程为y 2=4x ，设斜率为k 的直线方程为y =k(x −1)，设A(x A ,y A ),D(x D ,y D )，直线与抛物线联立， {y =k(x −1)y 2=4x，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以x A +x D =2k 2+4k 2①，x A x D =1②所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x A +1−1=x A ，|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x D +1−1=x D ， 而AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则有|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=λ|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |，λ∈[2,4]， 所以x A =λx D ③，由①，③解得x A =λ(2k 2+4)(λ+1)k 2,x D =2k 2+4(λ+1)k 2，代入②有λ(λ+1)2⋅(2k 2+4)2k 4=1，变形得(2k 2+4)2k 4=(λ+1)2λ，因为λ∈[2,4]，所以(λ+1)2λ=λ+1λ+2∈[92,254]，所以92≤(2k 2+4)2k 4≤254，变形得√2≤2k 2+4k 2≤52，解得8≤k 2≤16+12√2. 所以答案是：[8,16+12√2].小提示：关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式.15、数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与√(x −a )2+(y −b )2相关的代数问题，可以转化为点A (x,y )与点B (a,b )之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数f (x )=√x 2+2x +2+√x 2−2x +2，f (x )的最小值为______． 答案：2√2分析：根据题意得f (x )=√(x +1)2+1+√(x −1)2+1，表示点P (x,0)与点E (−1,1)与F (1,1)距离之和的最小值，再找对称点求解即可.函数f (x )=√x 2+2x +2+√x 2−2x +2=√(x +1)2+1+√(x −1)2+1， 表示点P (x,0)与点E (−1,1)与F (1,1)距离之和的最小值，则点P 在x 轴上， 点E 关于x 轴的对称点E ′(−1,−1)，所以PE +PF =PE ′+PF ≥E ′F =√(1+1)2+(1+1)2=2√2， 所以f (x )的最小值为：2√2. 所以答案是：2√2. 解答题16、如图，在四棱锥P −ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直且长度分别为1，2，2，AB //CD ，AB =12DC ．（1）若PC中点为M，证明：BM//平面PAD；（2）求点A到平面PCD的距离．答案：（1）证明见解析；（2）√2．⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和平面PAD的法向量n⃑，证分析：（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线BM的方向向量BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑=0即可；明BM⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．（2）利用待定系数法求出平面PDC的法向量，求出AD解：（1）证明：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，DC，因为AB，AD，AP的长度分别为1，2，2，且AB=12则A(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，又M是PC的中点，所以M(1,1,1)，⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,1)，由已知可得平面PAD的一个法向量为n⃑=(1,0,0)，所以BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑=0×1+1×0+1×0=0，则BM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥n⃑，又BM⊄平面PAD，所以BM所以BM//平面PAD；（2）解：设平面PDC 的法向量为m ⃑⃑⃑ =(x ,y ,z )，因为CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,0,0)，PD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,−2)， 则有{m →⋅CD =0m →⋅PD =0，即{−2x =02y −2z =0 ， 令y =1，则x =0，z =1，故m ⃑⃑⃑ =(0,1,1)，又AD⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,0)， 所以点A 到平面PCD 的距离d =|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑⃑ |m ⃑⃑⃑ ||=|√2|=√2．小提示：方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.17、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为PA ，BC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PCD(2)若PD ⊥平面ABCD ，∠ADC =120∘，且PD =2AD =4，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值．答案：(1)证明见解析(2)4√3535分析：（1）取PD 的中点G ，连接CG ，EG ，则由三角形中位线定理可得EG//AD,EG =12AD ，再结合底面四边形为菱形，可得四边形EGCF 为平行四边形，从而得EF//CG.然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得DF,DA,DP两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，然后利用空间向量求解即可（1）证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，AD，所以EG//AD,EG=12AD，又底面ABCD为菱形，所以CF//AD,CF=12所以EG//CF,EG=CF，所以四边形EGCF为平行四边形，所以EF//CG.又CG⊂平面PCD．EF⊄平面PCD，所以EF//平面PCD．（2）解：连接BD，因为PD⊥平面ABCD，DF,DA⊂平面ABCD，所以PD⊥DF,PD⊥DA，因为四边形ABCD为菱形，∠ADC=120∘，所以△BCD为等边三角形，因为F为BC的中点，所以DF⊥BC，因为BC∥DA，所以DF⊥DA，所以DF,DA,DP两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为AD=PD=2，所以D（0，0，0），F(√3，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则DE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,2),DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√3,0,0),AF⃑⃑⃑⃑⃑ =(√3,−2,0)． 设平面DEF 的法向量m ⃑⃑ =(x,y,z)，则{m ⃑⃑ ⋅DE ⃑⃑⃑⃑⃑ =y +2z =0m ⃑⃑ ⋅DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =√3x =0 ，令z =1，得m ⃑⃑ =(0,−2,1)． 设直线AF 与平面DEF 所成的角为θ，则sinθ=|cos⟨m ⃑⃑ ,AF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩|=|m⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑ ||m ⃑⃑⃑ ||AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5×√7=4√3535， 所以直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值为4√353518、过点P(0,−1)的直线l 与以A(3,2)、B(2,−3)为端点的线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角α的取值范围． 答案：[0,π4]∪[3π4,π)分析：作出图形，利用斜率公式分别求得k l 1=1，k l 1=−1，根据题意得到tanα≤1或tanα≥−1，即可求解.如图所示，因为P(0,−1)，A(3,2)，B(2,−3)， 可得k l 1=2−(−1)3−0=1，k l 1=−3−(−1)2−0=−1，要使得直线l 与以A(3,2)、B(2,−3)为端点的线段AB 有交点，设直线l 的倾斜角为α，其中[0,π)，则满足tanα≤1或tanα≥−1， 解得0≤α≤π4或3π4≤α<π，即直线l 的倾斜角α的取值范围α∈[0,π4]∪[3π4,π).19、已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y−14=0．(1)求证：圆C1与圆C2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y−6=0上的圆的方程．答案：(1)证明见解析(2)x+y−2=0(3)x2+y2−6x−6y+2=0分析：（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为P(6−n,n)，根据|AP|=|BP|得到方程，即可求出n，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.（1）证明：圆C2：x2+y2+2x+2y−14=0化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16，∴C2(−1,−1)，r=4∵圆C1:x2+y2=10的圆心坐标为C1(0,0)，半径为R=√10，∴|C1C2|=√2，∵4−√10<√2<4+√10，∴两圆相交；（2）解：由圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y−14=0，将两圆方程相减，可得2x+2y−4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y −2=0；（3）解：由{x 2+y 2+2x +2y −14=0x 2+y 2=10，解得{x =3y =−1 或{x =−1y =3 ， 则交点为A (3,−1)，B (−1,3)，∵圆心在直线x +y −6=0上，设圆心为P (6−n,n )，则|AP |=|BP |，即√(6−n −3)2+(n +1)2=√(6−n +1)2+(n −3)2，解得n =3， 故圆心P (3,3)，半径r =|AP |=4，∴所求圆的方程为(x −3)2+(y −3)2=16．。
(精选试题附答案)高中数学选修一知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD|=√2|AB|．则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3答案：A分析：设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x =−c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a 2=12c 2，再由双曲线离心率公式即可得解. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−c ，令x =−c ，则c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a ，所以|AB|=2b 2a , 又因为双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，所以|CD|=2bc a ， 所以2bc a =2√2b 2a ，即c =√2b ，所以a 2=c 2−b 2=12c 2，所以双曲线的离心率e =c a =√2.故选：A. 2、已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，CM CB =13，PN =ND ，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则向量MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 用{a ,b ⃑ ,c }为基底表示为（ ）A ．a +13b ⃑ +12cB ．−a +16b ⃑ +12c C ．a −13b ⃑ +12c D ．−a −16b ⃑ +12c 答案：D分析：由图形可得MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，根据比例关系可得MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量减法DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，代入整理并代换为基底向量．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AP ⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −16AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 即MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−a −16b ⃑ +12c 故选：D ．3、已知直线l 的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线l 的方程为（ ）A ．y =√3xB ．y =√3x −2C ．y =√3x +1D ．y =√3x +3答案：C分析：先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.由题意知：直线l 的斜率为√3，则直线l 的方程为y =√3x +1.故选：C.4、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225 答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值.在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ；在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F .由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ，设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5， 同理可得CF =√5OF =2√5， 以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−√510,2√50)，设AO 与CD 所成角为θ，则cosθ=|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=320√52×12=3√525.故选：C5、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号；令x =0，得y =−C B >0；令y =0，得x =−C A >0；所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限.故选：C.6、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，则a ⋅(b ⃑ +c )的值为（）A ．1B ．0C ．-1D ．-2答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 两两垂直，从而对a ⋅(b ⃑ +c )化简可得答案由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃑ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃑ =0,a ⋅c =0，所以a ⋅(b ⃑ +c )=a ⋅b ⃑ +a ⋅c =0，故选：B7、动点P 在抛物线x 2=4y 上，则点P 到点C (0,4)的距离的最小值为（ ）A ．√3B ．2√3C ．12√3D ．12答案：B分析：设出点P 坐标，用两点间距离公式表达出点P 到点C (0,4)的距离，配方后求出最小值.设P (x,x 24)，则|PC |=√x 2+(x 24−4)2=√116(x 2−8)2+12，当x 2=8时，|PC |取得最小值，最小值为2√3 故选：B8、如图，在直三棱柱ABC −AB 1C 1中，AC =3,BC =4,CC 1=3,∠ACB =90∘ ，则BC 1与A 1C 所成的角的余弦值为（ ）A ． 3√210B ． √33C ． √24D ． √55答案：A分析：建立空间直角坐标系，写出CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A 1(3,0,3)，B (0,4,0)，C 1(0,0,3)，所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,0,3)，BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−4,3)，所以cos⟨CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3√2×5=3√210， 所以直线BC 1与A 1C 所成角的余弦值为3√210．故选：A.9、如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝a ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑ ,OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ，点M 在OA 上，且OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，N 为BC 中点，则MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ （ ）A ．12a −23b ⃑ +12cB ．−23a +12b ⃑ +12c C ．12a +12b ⃑ −12c D ．−23a +23b ⃑ −12c 答案：B分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )−23OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−23a +12b ⃑ +12c 故选：B10、若圆x 2+y 2=1上总存在两个点到点(a,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2√2,0)∪(0,2√2)B ．(−2√2,2√2)C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−1,1)答案：A分析：将问题转化为圆(x−a)2+(y−1)2=4与x2+y2=1相交，从而可得2−1<√a2+12<2+1，进而可求出实数a的取值范围.到点(a,1)的距离为2的点在圆(x−a)2+(y−1)2=4上，所以问题等价于圆(x−a)2+(y−1)2=4上总存在两个点也在圆x2+y2=1上，即两圆相交，故2−1<√a2+12<2+1，解得−2√2<a<0或0<a<2√2，所以实数a的取值范围为(−2√2,0)∪(0,2√2)，故选：A．填空题11、过圆C:(x−1)2+y2=1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.答案：2√2分析：先根据∠APC＝30°，可得P点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可=2，所以P点轨迹的由题意知C(1,0)，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以|CP|=1sin30∘方程为(x−1)2+y2=4.因为(2−1)2+12=2<4，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆(x−1)2+y2=4所截得的弦长最短，最短弦长为2√4−CD2=2√4−2=2√2所以答案是：2√212、已知集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，则实数a的值为___________.答案：1分析：利用已知条件可得直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，利用线线平行的结论，代入求解即可.∵集合A={(x,y)|2x−(a+1)y−1=0}，B={(x,y)|ax−y+1=0}，且A∩B=∅，∴直线2x−(a+1)y−1=0与直线ax−y+1=0平行，即−2=−a(a+1)，且2≠−a，解得a=1.所以答案是：1.13、点P为直线3x−4y+2=0上任意一个动点，则P到点(3,−1)的距离的最小值为___________.答案：3分析：先判断出当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，再由点(3,−1)到直线的距离求解即可.由题意得当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，此时距离等于点(3,−1)到直线3x−4y+2=0的=3，故P到点(3,−1)的距离的最小值为3.距离√32+(−4)2所以答案是：3.14、如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Р到直线CC1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0),CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4),ED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4,4)，因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =CE ⃑⃑⃑⃑⃑ +EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上投影长为d =|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4λ， 而|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”， 所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√55 15、在直角坐标系中，若A (2,1)、B (1,2)、C (0,y )(y ∈R )，则|AC |+|BC |的最小值是______．答案：√10分析：作点A 关于y 轴的对称点M (−2,1)，由对称性可得|AC |=|MC |，再利用当点C 为线段BM 与y 轴的交点时，|AC |+|BC |取最小值可得结果.由题意可知，点C 在y 轴上，点A 关于y 轴的对称点为M (−2,1)，由对称性可得|AC |=|MC |，所以，|AC |+|BC |=|MC |+|BC |≥|MB |=√(1+2)2+(2−1)2=√10，当且仅当点C 为线段BM 与y 轴的交点时，等号成立，故|AC |+|BC |的最小值为√10.所以答案是：√10.解答题16、如图，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD ，B 1C 的中点，利用向量法证明：（1）MN ∥平面CC 1D 1D ；（2）平面MNP ∥平面CC 1D 1D ．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）建立空间直角坐标系，设出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0进行证明；（2）证明两个平面有相同的一个法向量即可..（1）证明：以D 为坐标原点，DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，DD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1).由正方体的性质，知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量.由于MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，1，－1)， 则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DA ⃑⃑⃑⃑⃑ . 又MN ⊄平面CC 1D 1D ，所以MN ∥平面CC 1D 1D.（2）证明：因为DA⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量， 由于MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，2，0)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(0，1，－1)， 则{MP →·DA →=0MN →·DA →=0，即DA⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(2，0，0)也是平面MNP 的一个法向量， 所以平面MNP ∥平面CC 1D 1D.17、已知x 21−k −y 2|k|−3=−1，当k 为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x 轴上的双曲线；(3)表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：(1)k ＜－3或1＜k ＜3；(2)1＜k ＜3；(3)k ＜－3.分析：利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．（1）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，方程表示双曲线，∴(k －1)(|k |－3)＜0，可得k ＜－3或1＜k ＜3；（2）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在x 轴上的双曲线，则{k −1＞03−|k|＞0， ∴1＜k ＜3；（3）∵x 21−k −y 2|k|−3=−1，即x 2k−1+y 2|k |−3=1，焦点在y 轴上的双曲线，则{|k|−3＞01−k ＞0， ∴k ＜－3．18、已知圆C 过点A (3,1),B (5,3)，圆心在直线y =x 上.（1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系答案：（1）(x −3)2+(y −3)2=4；（2）P 在圆C 内部.分析：(1)由给定条件设出圆心C (a,a )、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解(2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解.（1）由题意设圆心为C (a,a )，半径为r ，则圆的标准方程为(x −a)2+(y −a )2=r 2，由题意得{(3−a)2+(1−a )2=r 2(5−a)2+(3−a )2=r2 ，解得{a =3r =2 ， 所以圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4；（2）由(1)知|PC |=√(3−2)2+(3−4)2=√2<rP (2，4)在圆C 内.19、如图，四边形ABCD 中，满足AB //CD ，∠ABC =90°，AB =1，BC =√3，CD =2，将△BAC 沿AC 翻折至△PAC ，使得PD =2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√155. 分析：（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，易得PO ⊥AC ，通过勾股定理可得PO ⊥OD ，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果.（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO ⊥AC ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE =√3，OE =12，DO =√132所以PO 2+DO 2=PD 2，即PO ⊥OD又AC ∩DO =O ，所以PO ⊥平面ACD ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系 则A (−12,0,0)，C (32,0,0)，D (12,√3,0)，P (0,0,√32)， AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,0,√32) 设平面PAD 的法向量为n ⃑ =(a,b,c)，则{AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =12a +√32c =0AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =a +√3b =0 取法向量n ⃑ =(√3,−1,−1)，CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√3,0) 设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则sinθ=|cos <CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >|=√155.。
(精选试题附答案)高中数学选修一知识汇总大全
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识汇总大全单选题1、已知直线斜率为k，且−1≤k≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（）A．[0,π3]∪[π2,3π4)B．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.2、圆(x−1)2+y2=3的圆心坐标和半径分别是（）A．(-1，0)，3B．(1，0)，3C．(−1,0),√3D．(1,0),√3答案：D分析：根据圆的标准方程，直接进行判断即可.根据圆的标准方程可得，(x−1)2+y2=3的圆心坐标为(1,0)，半径为√3，故选：D.3、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号； 令x =0，得y =−CB >0；令y =0，得x =−CA >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选：C.4、点P(2,0)关于直线l:x +y +1=0的对称点Q 的坐标为（ ） A ．(−1,−3)B ．(−1,−4)C ．(4,1)D ．(2,3) 答案：A分析：根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x +y +1=0的对称点的坐标为(a,b)， 则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0，解得{a =−1b =−3. 所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选：A.5、已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ） A ．16B ．23C ．√2121D ．4√2121答案：B分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 设该正面体的棱长为1，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点，所以|BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√12−(12×1)2=√32， 因为M 为BC 中点，N 为AD 中点， 所以有BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ， DM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC⃑⃑⃑⃑⃑ , BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )(−AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =1×1×12−12×12−12×1×1×12−12×12+14×1×1×12+14×1×1×12=−12,cos〈BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 〉=BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |BN⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=−12√32×√32=−23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为23， 故选：B 6、椭圆x 2100+y 264=1的焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=60°，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．64√33B ．91√33C ．32√39D ．643答案：C分析：利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得|PF 1|⋅|PF 2|，一方面S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅|PF 2|sin60°，另一方面设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2=12×|F 1F 2|×d ，所以12|PF 1|⋅|PF 2|sin60° =12×|F 1F 2|×d ，即可求解 易得c =√a 2−b 2=6．设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则r 1+r 2=20．在△PF 1F 2中，由余弦定理得(2c )2=r 12+r 22−2r 1r 2cos60°，即144=r 12+r 22−r 1r 2=(r 1+r 2)2−3r 1r 2=400−3r 1r 2，则r 1r 2=2563，所以S △PF 1F 2=12r 1r 2sin60°=12×2563×√32=64√33．设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2=12×|F 1F 2|×d =6d ，故6d =64√33，解得d =32√39． 故选：C ．7、已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为s =(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为（ ） A ．3√22B ．√22C ．√102D ．√2 答案：A分析：本题首先可根据题意得出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，然后求出|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |与|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s|s ||，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果. 因为A (2,3,1)，P (4,3,2)，所以AP⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,1)， 则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s |s||=√22， 由点到直线的距离公式得d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅s|s||2=3√22， 故选：A.8、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1， 所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1， 所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D9、已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A(72，4)，则|PA |+|PM |的最小值是（ ） A ．5B ．92C ．4D ．32 答案：B分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM 交准线于H 点推断出|PA |＝|PH |，进而表示出|PM |，问题转化为求|PF |+|PA |的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF |+|PA |的最小值，则|PA |+|PM |的最小值可得．依题意可知焦点F (12,0)，准线 x =−12，延长PM 交准线于H 点．则|PF |＝|PH |，∴|PM |＝|PH |−12=|PF |−12∴|PM |+|PA |＝|PF |+|PA |−12，∴要使|PM |+|PA |当且仅当|PF |+|PA |最小． 由三角形两边长大于第三边可知，|PF |+|PA |≥|FA |，① 当P 与线段AF 与抛物线的交点P 0重合时取到最小值，． 由A (72,4),可得|FA |=√(72−12)2+42=5． 则所求为(|PM |+|PA |)min =5−12=92．故选：B ．10、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.填空题11、点P为直线3x−4y+2=0上任意一个动点，则P到点(3,−1)的距离的最小值为___________.答案：3分析：先判断出当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，再由点(3,−1)到直线的距离求解即可.由题意得当点P和点(3,−1)的连线和直线3x−4y+2=0垂直时距离最小，此时距离等于点(3,−1)到直线3x−4y+2=0的距离√32+(−4)2=3，故P到点(3,−1)的距离的最小值为3.所以答案是：3.12、如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Р到直线CC1的距离的最小值为_______.答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0),CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,4),ED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−4,4)， 因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λED 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =CE ⃑⃑⃑⃑⃑ +EP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 上投影长为d =|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4λ， 而|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”，所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√5513、在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)满足：x 2+y 2+z 2=16，平面α过点M(1,2,3)，且平面α的一个法向量n ⃑ =(1,1,1)，则点P 在平面α上所围成的封闭图形的面积等于__________.答案：4π分析：由题意，点P在球面上，所以点P在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，根据球的截面性质求出截面圆的半径r即可求解.解：由题意，点P在以(0,0,0)为球心，半径为4的球面上，所以点P在平面α上所围成的封闭图形即为平面α截球面所得的截面圆，因为平面α的方程为1×(x−1)+1×(y−2)+1×(z−3)=0，即x+y+z−6=0，=2√3，所以球心(0,0,0)到平面α的距离为d=√12+12+12所以截面圆的半径r=√42−(2√3)2=2，截面圆的面积为S=πr2=4π，所以点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于4π.所以答案是：4π.14、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．答案：1##0.52分析：建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，所以AC⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,1)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,0)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,−1). 设平面APC 的法向量为n 1⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1,z 1) {n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，∴{z 1=0x 1+y 1=0不妨设y 1=1，则x 1=−1，n 1⃑⃑⃑⃑ =(−1,1,0) 设平面PBC 的法向量为n 2⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2,z 2) {n 2⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n 2⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，∴{y 2=0x 2−z 2=0 不妨设x 2=1，则z 2=1，y 2=0，n 2⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)设A −PC −B 为α，则cosα=|cos ⟨n ⃑ 1,n ⃑ 2⟩|=|n ⃑ 1⋅n ⃑ 2||n ⃑ 1||n ⃑ 2|=√2⋅√2=12. 所以答案是：1215、已知圆O 1:x 2+y 2−2x +6y +2=0和圆O 2:x 2+y 2+4x −2y −4=0，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________. 答案：4x +3y +5=0分析：若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.圆O 1:x 2+y 2−2x +6y +2=0和圆O 2:x 2+y 2+4x −2y −4=0的圆心分别为：(1,−3)和(−2,1)，垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，所以直线方程为y =−3−11−(−2)(x −1)−3，整理可得：4x +3y +5=0.所以答案是：4x +3y +5=0.解答题16、已知圆C 过点A (3,1),B (5,3)，圆心在直线y =x 上.（1）求圆C 的方程.（2）判断点P (2，4)与圆C 的关系答案：（1）(x −3)2+(y −3)2=4；（2）P 在圆C 内部.分析：(1)由给定条件设出圆心C (a,a )、半径r ，进而写出圆的标准方程，再列出关于a ，r 的方程组即可得解(2)求出点P 与点C 的距离，再将它与r 比较即可得解.（1）由题意设圆心为C (a,a )，半径为r ，则圆的标准方程为(x −a)2+(y −a )2=r 2，由题意得{(3−a)2+(1−a )2=r 2(5−a)2+(3−a )2=r 2，解得{a =3r =2 ， 所以圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4；（2）由(1)知|PC |=√(3−2)2+(3−4)2=√2<rP (2，4)在圆C 内.17、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3).（Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)，从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)．设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306． 所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)． 由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33． 所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18、如图，四边形ABCD 中，满足AB //CD ，∠ABC =90°，AB =1，BC =√3，CD =2，将△BAC 沿AC 翻折至△PAC ，使得PD =2.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值.答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√155. 分析：（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，易得PO ⊥AC ，通过勾股定理可得PO ⊥OD ，即可得PO ⊥平面ACD ，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD 的法向量，利用向量法即可得结果.（Ⅰ）过B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO ⊥AC ，作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE =√3，OE =12，DO =√132 所以PO 2+DO 2=PD 2，即PO ⊥OD又AC ∩DO =O ，所以PO ⊥平面ACD ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系则A (−12,0,0)，C (32,0,0)，D (12,√3,0)，P (0,0,√32)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,0)，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,0,√32) 设平面PAD 的法向量为n ⃑ =(a,b,c)，则{AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =12a +√32c =0AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ =a +√3b =0取法向量n ⃑ =(√3,−1,−1)，CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√3,0) 设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则sinθ=|cos <CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >|=√155.19、已知△ABC 的三个顶点分别为A(−2，0)，B(2，0)，C(0，2)．（1）若过P(1，2)的直线y =ax +b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从E(1，0)点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．答案：（1）b =2−23√3；（2）证明见解析，(−1，−4)．分析：（1）结合图形分析可得直线y =ax +b 的斜率大于直线PA 的斜率，由此可得直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，设其与BC 的交点为Q 点，与x 轴的交点为R ，根据题设条件得到比例关系，列方程求b ；（2）设F(m ，0)，结合光线反射的性质求出直线ED 的斜率，由此可得直线l 的方程，进而可得定点坐标.（1）直线BC 的方程为：x +y―2=0，直线y =ax +b 只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由{y =ax +b x +y =2得y Q =b+2a 1+a ，y Q >0， 直线y =ax +b 与x 轴交点为R (−b a ，0)，−2<b a <2，由|BR ||BQ ||BA ||CB |=12，即√2|2+b a ||b+2a 1+a |4×2√2=12， 化简得：(b +2a)2=4a (a +1)，又b +a =2， ∴3b 2−12b +8=0，解得：b =2±23√3， 而a =2−b >0，∴b =2−23√3．（2）设F(m ，0)，直线AC 的方程为：x −y +2=0，直线BC 的方程为：x +y −2=0，设F(m ，0)关于直线AC 的对称点为F 1(x 1，y 1)，则{m+x 12−y 12+2=0y 1x 1−m =−1 ，解得F 1(−2，m +2)，同理可得F 1关于直线BC 的对称点为F 2(−m ，4)，则F 2在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为4−m−1， ∴l 的斜率为4m+1，l 方程为y =4m+1(x −m )，即m (y +4)=4x −y ，∴l 过定点(−1，−4)．。
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高中数学选修2----2知识点第一章 导数及其应用 知识点：一． 导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆知识点： 二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数考点：导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f = ★2、若()sin x f x e x =，则()'f x =★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ） ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =三.导数在研究函数中的应用 知识点：1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一：导数在切线方程中的运用★1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）★2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）A.6πB.4πC.3πD.π43二、题型二：导数在单调性中的运用★1.(05广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)★2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数★★3．(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a =-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．三、导数在最值、极值中的运用：★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =AB C D（ ）A ．2 B. 3 C. 4D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2. （1）试求a 、c 、d 的值； （2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
（1）求b a ,的值；（2）讨论)(x f 的单调性； 第二章 推理与证明 知识点： 1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：•通过观察个别情况发现某些相同的性质；•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； •证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；•检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立； (4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立； （2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点：无第三章 数系的扩充与复数的引入 知识点： 一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2．相关公式⑴d c b a di c bi a ==⇔+=+且, ⑵00==⇔=+b a bi a ⑶22b a bi a z +=+= ⑷z a bi =-z z ，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.3．复数运算⑴复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+； ⑵复数的乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++；⑶复数的除法：()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- （类似于无理数除法的分母有理化→虚数除法的分母实数化） 4.常见的运算规律)9(设231i+-=ω是1的立方虚根，则012=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω 考点：复数的运算★山东理科1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（A ）6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2π★山东文科1．复数43i1+2i+的实部是（ ）A ．2-B ．2C ．3D ．4★山东理科（2）设z 的共轭复数是z ，若z +z =4, z ·z ＝8，则zz 等于 （A ）i （B ）-i (C)±1 (D) ±i高中数学 选修2－3知识点第一章 计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。