北京市2020-2021年高一数学第二学期期中考试试卷及答案
2020-2021学年北京市101中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年北京市101中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设α∈（0，π），且，则α＝（）A．B．C．D．2．已知复数z满足z（1+i）＝1，则z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．一组数据的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以a（a＞0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均数为B．这组新数据的平均数为C．这组新数据的方差为as2D．这组新数据的标准差为as4．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，则P（A+B）＝（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.95．已知单位向量，满足•＝0，若向量＝+，则sin＜，＞＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，a＝1，，A＝30°，则c＝（）A．1B．2C．1或2D．无解7．已知z1，z2都是复数，则“z1﹣z2＞0”是“z1＞z2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件8．函数f（x）＝2sin x﹣cos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．59．下列结论正确的是（）A．若α+β+γ＝π，则tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγB．设α∈（π，2π），则C．设，且，那么的值为D．存在实数α，β，使等式sin（α+β）＝sinα+sinβ成立10．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ．则sin（）﹣cos（）＝（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11．五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是．12．已知复数z1＝1﹣i，z2＝2i﹣1，则复数的虚部等于．13．暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是．14．某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．则男生成绩的75%分位数为；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．16．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数图象上的任意两点，角φ的终边经过点，且当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．若，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，则实数m 的取值范围是．三、解答题共4小题，共50分。
2021学年北京市高一(下)期中考试数学试卷(有答案)
2021学年北京市高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1. 在复平面内，复数i (1+2)对应的点的坐标为（ ）A.(1,2)B.(−1,2)C.(2,1)D.(2,−1)2. 如果a →，b →是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）A.a →=b →B.a →⋅b →=1C.a →2≠b →2D.|a →|2=|b →|23. 下列命题正确的是（ ）A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行4. 已知平面向量a →=(2,−1)，b →=(1,x )．若a →//b →，则x =（ ）A.−12B.−2C.12D.25. 已知复数z 满足(3+4i )z =−4+3i ，则z =（ ）A.z =−24+25i 7 B.z =257i C.z =i D.z =−i6. 在△ABC 中，已知a =2，sin (A +B )=13，sin A =14，则c =（ ）A.4B.3C.83D.437. 在四边形ABCD 中，若AC →=AB →+AD →且AC →⋅(AB →−AD →)=0，则（ ）A.四边形ABCD 是矩形B.四边形ABCD 是菱形C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形8. 在正方体AC 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是（ ）A.相交B.异面C.平行D.垂直9. 下列命题中，正确命题的个数是（ ）①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l//α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A.0B.1C.2D.310. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③AF 与平面BDM 平行；④平面CAN 与平面BEM 平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④11. 如图，|OA →|=|OB →|=1,OA →与OB →的夹角为120∘，OC →与OA →的夹角为30∘，若OC →=λOA →+μOB →(λ,μ∈R )，则λμ等于（ ）A.√32B.2√33C.12D.212. 设m→，n→为非零向量，则“存在负数λ，使得m→=λn→”是“m→⋅n→<0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13. 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，则下列关于截面的说法正确的是（）A.满足条件的截面不存在B.截面是一个梯形C.截面是一个菱形D.截面是一个三角形14. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ二、解答题如图，在复平面内，复数，对应的向量为OA →，则复数|z|=________；z ⋅i =________．设向量a →，b →满足|a →|=2,|b →|=3，a 与b 的夹角为60∘，则a →⋅(a →+b →)=________．设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE →=mAB →+nAC →，则m +n =________．能说明“在△ABC 中，若sin 2A =sin 2B ，则A =B ”为假命题的一组A ，B 的值是________．已知点P 在以原点为圆心的单位圆上，点A 的坐标为(−2,0)，则AO →⋅AP →的最大值为________.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为________.甲、乙两楼相距20√3m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60∘，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30∘，则乙楼的高是________m ．如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =3, AA 1=4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为________；PC 的长为________．．在△ABC中，a=3，c=5，cos B=−12（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sin(B+C)的值．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．(1)求证：E，F，B，D四点共面；(2)求证：平面AMN//平面EFDB；(3)画出平面BNF与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）．在△ABC中，已知cos C+(cos A−√3sin A)cos B=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围；（Ⅲ）求sin A⋅sin C的最大值．参考答案与试题解析2021学年北京市高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量的坐标运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】棱柱的结构特征空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】D【考点】向量在几何中的应用数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断平面向量数量积【解析】本题考查平面向量的计算与充分必要条件的判断．【解答】解：设m →，n →的夹角为θ，若m →，n →是非零向量，且存在负数λ，使得m →=λn →，则由λ<0得m →⋅n →=λn →2=λ|n →|2<0，充分性成立；反之，若m →⋅n →=|m →||n →|cos θ<0，则cos θ<0，即π2<θ≤π，当π2<θ<π时，不存在负数λ，使得m →=λn →，必要性不成立． 综上所述，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →⋅n →<0”的充分不必要条件．故选A ．13.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】B【考点】三角函数模型的应用【解析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2⋅2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为12⋅2β⋅4＝4β，△ABQ的面积为12(2+2cosβ)⋅4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β−12⋅2⋅2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ，故选B．二、解答题【答案】【考点】复数的模复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−1 2【考点】平面向量的基本定理及其意义向量加减混合运算及其几何意义【解析】BE →=BA →+AE →=−AB →+12AC →，对比系数即可得到答案．【解答】解：如图:因为BE →=BA →+AE →=−AB →+12AC →， 所以m =−1,n =12,m +n =−12故答案为： −12.【答案】【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】解三角形的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(1)证明：∵F，E分别是C1D1,B1C1的中点，∴EF为△B1D1C1的中位线，∴EF//B1D1，又四边形BDD1B1是矩形，∴BD//B1D1，∴EF//BD，故E，F，B，D四点共面.(2)证明：由已知，MN为△B1D1A1的中位线，∴MN//B1D1，∴MN//EF，又MN⊄平面EFDB，EF⊂平面EFDB，∴MN//平面EFDB，同理NE//A1B1//AB，且NE=A1B1=AB，∴四边形NEBA为平行四边形，∴AN//BE，又AN⊄平面EFDB，BE⊂平面EFDB，∴AN//平面EFDB，又AN∩NM=N，∴平面AMN//平面EFDB.(3)解：过B作NF的平行线交DA，DC分别于G，H，连接NG，FH分别交A1A,C1C于I，J，连接IB，JB，如图，理由如下：∵NF//A1C1//AC，∴NF//平面ABCD，NF⊂平面BNF，设平面ABCD∩平面BNF=l，由线面平行的性质定理知NF//l，∴过B作NF的平行线交DA，DC分别于G，H．连接NG，FH分别交A1A,C1C于I，J，连接IB，JB，即可得到平面BNF与正方体侧面的交线．【考点】两条直线平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的性质【解析】(1)证明EF//BD，即可得到E，F，B，D四点共面；(2)利用美面面平行的判定进行证明；(3)由线面平行的性质定理进行做图即可.【解答】(1)证明：∵F，E分别是C1D1,B1C1的中点，∴EF为△B1D1C1的中位线，∴EF//B1D1，又四边形BDD1B1是矩形，∴BD//B1D1，∴EF//BD，故E，F，B，D四点共面.(2)证明：由已知，MN为△B1D1A1的中位线，∴MN//B1D1，∴MN//EF，又MN⊄平面EFDB，EF⊂平面EFDB，∴MN//平面EFDB，同理NE//A1B1//AB，且NE=A1B1=AB，∴四边形NEBA为平行四边形，∴AN//BE，又AN⊄平面EFDB，BE⊂平面EFDB，∴AN//平面EFDB，又AN∩NM=N，∴平面AMN//平面EFDB.(3)解：过B作NF的平行线交DA，DC分别于G，H，连接NG，FH分别交A1A,C1C于I，J，连接IB，JB，如图，理由如下：∵NF//A1C1//AC，∴NF//平面ABCD，NF⊂平面BNF，设平面ABCD∩平面BNF=l，由线面平行的性质定理知NF//l，∴过B作NF的平行线交DA，DC分别于G，H．连接NG，FH分别交A1A,C1C于I，J，连接IB，JB，即可得到平面BNF与正方体侧面的交线．【答案】【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021北京市高一数学下期中一模试卷(含答案)
2020-2021北京市高一数学下期中一模试卷(含答案)一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．22．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．643．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+4．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个 B ．有有限多个 C ．有无限多个 D ．不存在 6．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小值为3，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．92π B ．92πC ．18πD ．40π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1010．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶211．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 12．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 14．已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________. 15．已知,m n 为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//m n m nαα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．16．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．17．圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．18．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．19．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC 的边BC 所在直线的方程.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．23．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ． (1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 24．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程． 25．如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥． 26．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点． （1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则2OA =,1PO ⊥ 平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为4031---=﹣1，PB的斜率为2031--=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=，所以外接球的表面积为：246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.6．D【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积． 【详解】 解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3 则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值， 由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=， 解得：1AM =， 所以：3BM =， 则：60BAM ∠=︒， 由于：120BAC ∠=︒， 所以：60MAC ∠=︒ 则：ABC V 为等腰三角形． 所以：23BC =，在ABC V 中，设外接圆的直径为2324r ==，则：2r =，所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．8．D解析：D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为,选D.9．D解析：D 【解析】 【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦，即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．12．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案解析：3【解析】【分析】棱11111,,A A AB A D与平面11AB D所成的角相等，所以平面11AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sinθ.【详解】因为棱11111,,A A AB A D与平面11AB D所成的角相等，所以平面11AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AOθ∠=，设棱长为：1，126,22AO AO==，易知232sin6θ==3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.14．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：163,32⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦;故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.15．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④ 解析：③④【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.16．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状 解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法17．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60o ，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可.【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60o ，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803，所以()46332k k k +=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12.所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=.故答案为：360π【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.18．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答. 【解析】分析：设圆锥底面半径为r ，则高为2r ，由圆锥侧面积为π，可得25r =，结合a =，利用三角形面积公式可得结果.详解：设圆锥底面半径为r ，则高为2h r =，因为圆锥侧面积为π，r ππ∴⨯=，2r =设正方形边长为a ，则2224,a r a ==，=，∴正四棱锥的侧面积为21462a r ⨯⨯==，. 点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.19．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析：【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方可得CD 的长．【详解】 Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=， CD ∴的长||68217CD ==u u u r ．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：)1,2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。
2020-2021北京市高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021北京市高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 2．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-=3．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π5．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．3-6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．12π8．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．3010．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10C ．25D ．21011．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________14．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是______． 15．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．17．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．20．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥； （2）E 是侧棱PC 上一点，记PEPCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +--=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1-（1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥，求m 的取值范围； ②若OM ⊥ON ，求m 的值.24．已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=． （1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且45||5MN =，求m 的值．25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ． （2）求M 到平面BEFD 的距离．26．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A 6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
北京市第八中学2020_2021学年高一数学下学期期中练习试题含解析
市第八中学2020-2021学年高一数学下学期期中练习试题〔含解析〕一、选择题〔共8小题，每一小题5分，共40分〕.1．假如sinα＜0，且cosα＞0，如此角α是〔〕A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．角α终边经过点P〔﹣4a，3a〕〔a＜0〕，如此2sinα+cosα的值为〔〕A．B．C．0D．或3．假如向量＝〔1，2〕，＝〔1，﹣1〕，如此2+与﹣的夹角等于〔〕A．﹣B．C．D．4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持〔〕A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．异面5．tan〔﹣40°〕，tan38°，tan56°的大小关系是〔〕A．tan〔﹣40°〕＞tan38°＞tan56°B．tan38°＞tan〔﹣40°〕＞tan56°C．tan56°＞tan38°＞tan〔﹣40°〕D．tan56°＞tan〔﹣40°〕＞tan38°6．使sin x＞cos x成立的x的一个变化区间是〔〕A．〔﹣π，﹣〕B．〔﹣，0〕C．〔﹣，〕D．〔，〕7．α∈〔0，π〕，且，如此α＝〔〕A．B．C．D．8．函数〔其中ω＞0，0＜φ＜π〕的图象的一局部如下列图，如此〔〕A．B．C．D．9．在锐角△ABC中，设x＝sin A•sin B，y＝cos A•cos B．如此x，y的大小关系为〔〕A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y10．sinα+sinβ＝1，如此函数y＝sinα﹣cos2β的值域是〔〕A．[﹣，0]B．[﹣，2]C．[0，2]D．[﹣，+∞〕二、填空题〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上〕11．＝．12．sinα﹣cosα＝，如此sin2α＝．13．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，如此AB的长是．14．向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，如此|+2|＝．15．对于函数f〔x〕＝cos x+sin x，给出如下四个命题：①函数f〔x〕为奇函数；②存在α∈〔0，〕，使f〔α〕＝；③存在α∈〔0，〕，使f〔x+α〕＝f〔x+3α〕恒成立；④存在θ∈R．使函数f〔x+θ〕的图象关于y轴对称；其中正确的命题序号是．三、解答题〔本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕16．α∈〔，π〕，且sinα＝．〔Ⅰ〕求tan〔α﹣〕的值；〔Ⅱ〕求的值．17．函数f〔x〕＝sin22x+sin2x•cos2x．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期与单调递增区间；〔Ⅱ〕假如x∈[，]，求f〔x〕的最大值与最小值．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C〔a cos B+b cos A〕＝c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假如c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．如下列图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：〔1〕BF∥HD1；〔2〕EG∥平面BB1D1D；〔3〕平面BDF∥平面B1D1H．20．函数，且满足_______．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式与最小正周期；〔Ⅱ〕假如关于x的方程f〔x〕＝1在区间[0，m]上有两个不同解，某某数m的取值X 围．从①f〔x〕的最大值为1，②f〔x〕的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f〔x〕的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．21．对于定义域分别是D f，D g的函数y＝f〔x〕，y＝g〔x〕，规定：函数h〔x〕＝．〔Ⅰ〕假如函数f〔x〕＝，g〔x〕＝sin x，x∈R，写出函数h〔x〕的解析式并求函数h〔x〕值域；〔Ⅱ〕假如g〔x〕＝f〔x+α〕，其中a是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y＝f〔x〕与一个α的值，使得h〔x〕＝cos4x，并予以证明．参考答案一、选择题〔共8小题，每一小题5分，共40分〕.1．假如sinα＜0，且cosα＞0，如此角α是〔〕A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：∵sinα＜0，∴α是第三或第四象限或y轴的非正半轴，∵cosα＞0，∴α是第一或第四象限或x轴的非负半轴，综上α是第四象限的角．应当选：D．2．角α终边经过点P〔﹣4a，3a〕〔a＜0〕，如此2sinα+cosα的值为〔〕A．B．C．0D．或解：∵角α的终边经过点〔﹣4a，3a〕，a＜0；∴x＝﹣4a，y＝3a，r＝＝﹣5a∴sinα＝＝﹣，cosα＝＝，∴2sinα+cosα＝2×＝；应当选：A．3．假如向量＝〔1，2〕，＝〔1，﹣1〕，如此2+与﹣的夹角等于〔〕A．﹣B．C．D．解：∵＝〔1，2〕，＝〔1，﹣1〕，∴2+＝2〔1，2〕+〔1，﹣1〕＝〔3，3〕，﹣＝〔1，2〕﹣〔1，﹣1〕＝〔0，3〕，∴〔2+〕〔﹣〕＝0×3+3×9＝9，|2+|＝＝3，|﹣|＝3，∴cosθ＝＝，∵0≤θ≤π，∴θ＝应当选：C．4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持〔〕A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．异面解：①直尺所在直线与地面垂直时，地面上的所有直线都与直尺垂直，如此底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②直尺所在直线与地面不垂直时，直尺所在的直线必在地面上有一条投影线〔直尺在底面上时投影线为直尺本身〕，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，如此地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．综上，直尺无论怎样放置，在地面总有与直尺所在直线垂直的直线．应当选：B．5．tan〔﹣40°〕，tan38°，tan56°的大小关系是〔〕A．tan〔﹣40°〕＞tan38°＞tan56°B．tan38°＞tan〔﹣40°〕＞tan56°C．tan56°＞tan38°＞tan〔﹣40°〕D．tan56°＞tan〔﹣40°〕＞tan38°解：∵正切函数y＝tan x在区间〔﹣90°，90°〕上单调递增，又﹣40°＜38°＜56°，∴tan56°＞tan38°＞tan〔﹣40°〕应当选：C．6．使sin x＞cos x成立的x的一个变化区间是〔〕A．〔﹣π，﹣〕B．〔﹣，0〕C．〔﹣，〕D．〔，〕解：如图角x的正弦线，余弦线分别是MP，OM，当角x的终边与弧ABCD相交时，MP＞OM，∴此时sin x＞cos x，∴不等式sin x＞cos x的解集为〔2kπ+，2kπ+〕，k∈Z．应当选：A．7．α∈〔0，π〕，且，如此α＝〔〕A．B．C．D．解：∵，sin＝cos〔﹣〕＝cos，∴cosα＝﹣cos＝cos，∵α∈〔0，π〕，如此α＝，应当选：D．8．函数〔其中ω＞0，0＜φ＜π〕的图象的一局部如下列图，如此〔〕A．B．C．D．解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为〔6﹣2〕×4＝16，又∵ω＞0，∴ω＝＝，当x＝2时取最大值，即2sin〔2×+φ〕＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，k ∈Z，∴φ＝2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ＝，应当选：B．9．在锐角△ABC中，设x＝sin A•sin B，y＝cos A•cos B．如此x，y的大小关系为〔〕A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y解：令A＝60°，B＝45°x＝sin A•sin B＝×＝，y＝cos A•cos B＝×＝，∴x＞y．应当选：B．10．sinα+sinβ＝1，如此函数y＝sinα﹣cos2β的值域是〔〕A．[﹣，0]B．[﹣，2]C．[0，2]D．[﹣，+∞〕解：∵sinα+sinβ＝1，∴sinα＝1﹣sinβ，∴y＝1﹣sinβ﹣cos2β＝1﹣sinβ﹣1+sin2β＝sin2β﹣sinβ＝〔sinβ﹣〕2﹣．∵sinα+sinβ＝1，∴0≤sinβ≤1，∴﹣≤sinβ﹣≤，∴0≤〔sinβ﹣〕2≤，∴﹣≤〔sinβ﹣〕2﹣≤0．应当选：A．二、填空题〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上〕11．＝．解：sin故答案为：12．sinα﹣cosα＝，如此sin2α＝﹣1 ．解：将sinα﹣cosα＝两边平方得：〔sinα﹣cosα〕2＝sin2α﹣2sinαcosα+cos2α＝1﹣sin2α＝2，∴sin2α＝﹣1．故答案为：﹣113．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，如此AB的长是5．解：在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，∴sin B＝，解得AB＝5．故答案为：5．14．向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，如此|+2|＝2．解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴＝+4•+4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|+2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如下列图；结合图形＝+＝+2；在△OAC中，由余弦定理得||＝＝2，即|+2|＝2．故答案为：2．15．对于函数f〔x〕＝cos x+sin x，给出如下四个命题：①函数f〔x〕为奇函数；②存在α∈〔0，〕，使f〔α〕＝；③存在α∈〔0，〕，使f〔x+α〕＝f〔x+3α〕恒成立；④存在θ∈R．使函数f〔x+θ〕的图象关于y轴对称；其中正确的命题序号是②④．解：函数f〔x〕＝cos x+sin x＝，对于①，函数f〔﹣x〕≠﹣f〔x〕，故函数f〔x〕不为奇函数，故①错误；对于②，由于f〔x〕＝，由于x∈〔0，〕，所以，故f〔x〕，由于f〔α〕＝，故②正确；对于③，f〔x+α〕＝f〔x+3α〕，所以f〔x〕＝f〔x+2α〕，故函数的最小正周期为2α，由于α∈〔0，〕，所以2α∈〔0，π〕，所以函数f〔x〕的周期为2π，故③错误．对于④，存在θ＝，f〔x+θ〕＝，函数f〔x〕的图象关于y轴对称，故④正确；故答案为：②④．三、解答题〔本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕16．α∈〔，π〕，且sinα＝．〔Ⅰ〕求tan〔α﹣〕的值；〔Ⅱ〕求的值．解：〔Ⅰ〕∵α∈〔，π〕，且sinα＝．∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣，∴tan〔α﹣〕＝＝＝﹣7．〔Ⅱ〕＝＝＝﹣．17．函数f〔x〕＝sin22x+sin2x•cos2x．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期与单调递增区间；〔Ⅱ〕假如x∈[，]，求f〔x〕的最大值与最小值．解：〔I〕f〔x〕＝sin22x+sin2x•cos2x＝sin4x﹣cos4x+＝sin〔4x﹣〕+；所以T＝，令﹣≤4x﹣≤，k∈Z，解得≤x≤，故函数f〔x〕的单调递增区间为[﹣]，k∈Z；〔II〕由x∈[，]得4x﹣∈[]，所以sin〔4x﹣〕∈[，1]，所以f〔x〕∈[1，]即函数f〔x〕的值域[1，]．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C〔a cos B+b cos A〕＝c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假如c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0等式利用正弦定理化简得：2cos C〔sin A cos B+sin B cos A〕＝sin C，整理得：2cos C sin〔A+B〕＝sin C，即2cos C sin〔π﹣〔A+B〕〕＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；〔Ⅱ〕由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴〔a+b〕2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴〔a+b〕2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．19．如下列图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：〔1〕BF∥HD1；〔2〕EG∥平面BB1D1D；〔3〕平面BDF∥平面B1D1H．【解答】证明：〔1〕取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边如此HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．〔2〕取B1D1的中点O，连接EO、D1O，如此OE∥DC，OE＝DC．又D1G∥DC，D1G＝DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．〔3〕由〔1〕知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．20．函数，且满足_______．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式与最小正周期；〔Ⅱ〕假如关于x的方程f〔x〕＝1在区间[0，m]上有两个不同解，某某数m的取值X 围．从①f〔x〕的最大值为1，②f〔x〕的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f〔x〕的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕＝a sin〔2x﹣〕﹣2cos2〔x+〕＝a sin〔2x﹣〕﹣cos〔2x+〕﹣1＝a sin〔2x﹣〕﹣sin〔﹣2x+〕﹣1＝〔a+1〕sin〔2x﹣〕﹣1，假如满足①f〔x〕的最大值为1，如此a+1＝2，解得a＝1，所以f〔x〕＝2sin〔2x﹣〕﹣1；f〔x〕的最小正周期为T＝＝π；〔Ⅱ〕令f〔x〕＝1，得sin〔2x﹣〕＝1，解得2x﹣＝+2kπ，k∈Z；即x＝+kπ，k∈Z；假如关于x的方程f〔x〕＝1在区间[0，m]上有两个不同解，如此x＝或；所以实数m的取值X围是[，〕．假如满足②f〔x〕的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f〔x〕的最小正周期为T＝＝π，所以﹣〔a+1〕﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均一样．假如满足③f〔x〕的图象过点，如此f〔〕＝〔a+1〕sin﹣1＝0，解得a＝1；以下解法均一样．21．对于定义域分别是D f，D g的函数y＝f〔x〕，y＝g〔x〕，规定：函数h〔x〕＝．〔Ⅰ〕假如函数f〔x〕＝，g〔x〕＝sin x，x∈R，写出函数h〔x〕的解析式并求函数h〔x〕值域；〔Ⅱ〕假如g〔x〕＝f〔x+α〕，其中a是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y＝f〔x〕与一个α的值，使得h〔x〕＝cos4x，并予以证明．解：〔I〕，如此，当时，；当时，h〔x〕＝sin x．所以．当时，sin x∈[﹣1，1〕，此时；当时，sin x＝1，此时h〔x〕＝sin x＝1，所以函数h〔x〕的值域为．〔Ⅱ〕令，如此g〔x〕＝f〔x+α〕＝＝cos2x﹣sin2x，于是h〔x〕＝f〔x〕⋅f〔x+α〕＝〔sin2x+cos2x〕〔cos2x﹣sin2x〕＝cos4x．。
2021学年北京市高一(下)期中数学试卷(A卷)(有答案)
2021学年北京市高一（下）期中数学试卷（A 卷）一、单选题1. 已知α∈R ，2sin α−cos α=√102，则tan (2α−π4)=( ) A.43B.−7C.−34D.172. 已知x >0，y >0，2x +y =2，则xy 的最大值为( )A.12B.1C.√22D.143. 设U ＝{1, 2, 3, 4, 5}，A ＝{2, 5}，B ＝{2, 3, 4}，A ∪(∁U B)＝（ ）A.{5}B.{1, 2, 3, 4, 5}C.{1, 2, 5}D.⌀4. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)，3x (x ≤0)，则f[f(14)]的值是( ) A.19 B.14 C.4 D.95. 已知a 、b 为实数，则2a >2b 是log 2a >log 2b 的（ ）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知集合M ＝{x|x 2−x −12>0}，N ＝{x|−4<x <5}，则M ∩N ＝（ ）A.RB.(−3, 4)C.(4, 5)D.(−4, −3)∪(4, 5)7. 高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A.x 1，x 2，…x n 的平均数B.x 1，x 2，…x n 的标准差C.x 1，x 2，…x n 的最大值D.x 1，x 2，…x n 的中位数8. 集合A ＝{x|x 2−2x −3≥0}，B ＝{x|x 2−4>0}，则A ∩(∁R B)＝（ ）A.[−2, −1]B.[−1, 2)C.[−1, 1]D.[1, 2)9. 某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60∘，小高层底部的俯角为45∘，那么这栋小高层的高度为（）A.20(1+√33)m B.20(1+√3)m C.10(√2+√6)m D.20(√2+√6)m10. 关于函数f(x)＝x+sin x，下列说法错误的是（）A.f(x)是奇函数B.f(x)是周期函数C.f(x)有零点D.f(x)在(0,π2)上单调递增二、填空题设函数f(x)是定义在R上的偶函数，记g(x)＝f(x)−x2，且函数g(x)在区间[0, +∞)上是增函数，则不等式f(x+2)−f(2)>x2+4x的解集为________设sinα+sinβ=13，不等式sinα−cos2β−m≤0对满足条件的α，β恒成立，则实数m 的最小值为________．在平面直角坐标系xOy中，a→在x轴、y轴正方向上的投影分别是−3、4，则与a→平行的单位向量是________．为了了解家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y=0.3x−0.4，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为________千元．已知函数f(x)={2x−1x≥0−x2−2xx<0，若f(a)＝1，则实数a的值是________．三、解答题我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15，请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；(Ⅲ)若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a cos C +c cos A ＝a（1）求证：A ＝B（2）若A =π6，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．如图，在等腰直角三角形OPQ 中，∠POQ ＝90∘，OP ＝2√2，点M 在线段PQ 上．（1）若OM =√5，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝∠POM ＝30∘，求△OMN 的面积．已知tan α=−13，cos β=√55，α，β∈(0, π)（1）求tan (α+β)的值；（2）求函数f(x)=√2sin (x −α)+cos (x +β)的最大值．已知定义在R 上的偶函数f(x)满足：当x ≥0时，f(x)=2x +a 2x ,f(1)=52．（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明f(x)在(0, +∞)上是增函数；（3）求函数f(x)在[−1, 2]上的值域．已知函数f(x)＝log a(ax2−(a+1)x+1)（1）求函数f(x)的定义域；（2）若对任意x∈[2, +∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．参考答案与试题解析2021学年北京市高一（下）期中数学试卷（A卷）一、单选题1.【答案】B【考点】求二倍角的余弦求二倍角的正弦【解析】首先把已知等式两边平方，然后化弦为切，求得tanα，进而求得tan2α，从而求出tan(2α−π4)的值．【解答】解：已知等式两边平方得4sin2α−4sinαcosα+cos2α=52，即3sin2α−4sinαcosα=32(sin2α+cos2α)，即3tan2α−8tanα−3=0，解得tanα=3或tanα=−13，所以tan2α=−34，从而tan(2α−π4)=−7．故选B.2.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x>0，y>0，且2x+y=2，∴xy=12(2x⋅y)≤12(2x+y2)2=12，当且仅当x=12，y=1时取等号，故xy的最大值为12.故选A.3.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、并集的运算即可．【解答】∁U B ＝{1, 5}；∴ A ∪(∁U B)＝{1, 2, 5}．4.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】利用分段函数，先求f(14)的值，然后求f[f(14)]的值即可．【解答】解：由分段函数可知f(14)=log 214=log 22−2=−2，所以f[f(14)]=f(−2)=3−2=19．故选A .5.【答案】A【考点】对数函数的单调性与特殊点充分条件、必要条件、充要条件【解析】分别解出2a >2b ，log 2a >log 2b 中a ，b 的关系，然后根据a ，b 的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】2a >2b ⇒a >b ，当a <0或b <0时，不能得到log 2a >log 2b ，反之由log 2a >log 2b 即：a >b >0可得2a >2b 成立．6.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出集合M ，N ，由此能求出M ∩N ．【解答】集合M＝{x|x2−x−12>0}＝{x|x<−3或x>4}，N＝{x|−4<x<5}，∴M∩N＝(−4, −3)∪(4, 5)．7.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数【解析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度．【解答】表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．8.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】解一元二次不等式得集合A，B，再求∁R B＝[−2, 2]，进而求交集．【解答】∵集合A＝{x|x2−2x−3≥0}＝{x|x≤−1或x≥3}，又B＝{x|x2−4>0}＝{x|x<−2或x>2}，则∁R B＝[−2, 2]，则A∩(∁R B)＝[−2, −1]，9.【答案】B【考点】解三角形【解析】由题意作出图形，解三角形即可得出所求．【解答】依题意作图如下：AB＝20m，仰角∠DAE＝60∘，俯角∠EAC＝45∘，在等腰直角△ACE中，AE＝EC＝20m，在直角△DAE中，∠DAE＝60∘，∴DE＝AE tan60∘＝20√3m，∴小高层的高度为CD＝(20+20√3)＝20(1+√3)m．10.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝x+sin x，依次分析选项：对于A，f(x)的定义域为R，且f(−x)＝−x−sin x＝−f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；对于B，根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B错误；对于C，因为f(0)＝0+sin0＝0，f(x)在(−π2,π2)上有零点，故C正确；对于D，由于f′(x)＝1+cos x≥0，故f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，故D正确；二、填空题【答案】(−∞, −4)∪(0, +∞)【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，分析可得g(x)为偶函数，进而分析可得f(x+2)−f(2)>x2+4x⇒f(x+ 2)−(x+2)2>f(2)−4⇒g(x+2)>g(2)，结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|>2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，g(x)＝f(x)−x2，且f(x)是定义在R上的偶函数，则g(−x)＝f(−x)−(−x)2＝f(x)−x2＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，f(x+2)−f(2)>x2+4x⇒f(x+2)−(x+2)2>f(2)−4⇒g(x+2)>g(2)，又由g(x)为增函数且在区间[0, +∞)上是增函数，则|x+2|>2，解可得：x<−4或x>0，即x的取值范围为(−∞, −4)∪(0, +∞)；【答案】49【考点】函数恒成立问题【解析】等式sinα−cos2β−m≤0对满足条件的α，β恒成立，可得m≥sinα−cos2β的最大值，根据所给的函数式，整理出sinα=13−sinβ，求得sinβ的范围，代入要求的三角函数式，整理出关于sinβ的二次函数形式，根据正弦函数的值域，得到函数的最大值，可得所求范围．【解答】∵sinα+sinβ=13，sinα=13−sinβ，由{−1≤sin β≤1−1≤13−sin β≤1 ，可得−23≤sin β≤1， sin α−cos 2β=13−sin β−(1−sin 2β)＝(sin β−12)2−1112，当sin β=−23时，上式取得最大值，且为49， 等式sin α−cos 2β−m ≤0对满足条件的α，β恒成立，可得m ≥sin α−cos 2β的最大值，可得m ≥49，即m 的最小值为49．【答案】±(−35,45) 【考点】向量的投影【解析】首先由题意可得a →=(−3, 4)，再除以向量的模，再考虑反向的情况即可．【解答】∵ a →在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是−3、4，∴ a →=(−3, 4)，|a →|=√32+42=5． 则a →的单位向量±a→|a →|=±(−35,45)． 【答案】1.7【考点】求解线性回归方程【解析】直接把x ＝7代入线性回归方程得答案．【解答】由y =0.3x −0.4，取x ＝7，得y =0.3×7−0.4=1.7．∴ 估计该家庭的月储蓄为1.7千元．【答案】±1【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】因为函数f(x)为分段函数，所以须分a ≥0以及a <0两种情况分别代入对应的解析式来求出a ，最后综合即可．【解答】因为f(a)＝1，且f(x)={2x −1x ≥0−x 2−2xx <0． 所以当a ≥0时，有f(a)＝2a −1＝1⇒2a ＝2⇒a ＝1；当a <0时，有f(a)＝−a 2−2a ＝1⇒(a +1)2＝0⇒a ＝−1．综上得：a＝±1．三、解答题【答案】=0.15，∴a＝15，（1）由题意得a100又35+25+a+10+b＝100，解得b＝15．（2）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，∴P(A)=C31×0.1×0.92=0.243．(Ⅲ)记分期付款的期数为ξ，依题意得P(ξ＝1)＝0.35，P(ξ＝2)＝0.25，P(ξ＝3)＝0.15，P(ξ＝4)＝0.1，P(ξ＝5)＝0.15，∵X的可能取值为1000元，1500元，2000元，P(X＝1000)＝P(ξ＝1)＝0.35，P(X＝1500)＝P(ξ＝2)+P(ξ＝3)＝0.4，P(X＝2000)＝P(ξ＝4)+P(ξ＝5)＝0.25，∴X的分布列为：∴EX＝1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25＝1450．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)由题意得a=0.15，由此能求出a，b．100(Ⅱ)设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，由此能求出“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率．(Ⅲ)记分期付款的期数为ξ，依题意得P(ξ＝1)＝0.35，P(ξ＝2)＝0.25，P(ξ＝3)＝0.15，P(ξ＝4)＝0.1，P(ξ＝5)＝0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】=0.15，∴a＝15，（1）由题意得a100又35+25+a+10+b＝100，解得b＝15．（2）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，∴P(A)=C31×0.1×0.92=0.243．(Ⅲ)记分期付款的期数为ξ，依题意得P(ξ＝1)＝0.35，P(ξ＝2)＝0.25，P(ξ＝3)＝0.15，P(ξ＝4)＝0.1，P(ξ＝5)＝0.15，∵X的可能取值为1000元，1500元，2000元，P(X＝1000)＝P(ξ＝1)＝0.35，P(X＝1500)＝P(ξ＝2)+P(ξ＝3)＝0.4，P(X＝2000)＝P(ξ＝4)+P(ξ＝5)＝0.25，∴X的分布列为：∴EX＝1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25＝1450．【答案】法一：∵a cos C+c cos A＝a，∴由正弦定理，可得sin A cos C+cos A sin C＝sin A，即sin(A+C)＝sin A，又∵A+C＝π−B，∴sin B＝sin A，又∵A，B∈(0, π)，∴A＝B或A+B＝π（舍去），∴A＝B．法二：∵a cos C+c cos A＝a，∴由余弦定理可得a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=a，整理可得2b2＝2ab，∴a＝b，∴A＝B．∵A=π6，由（1）可知C＝π−(A+B)=2π3，又∵△ABC的面积为√3=12ab sin C，且a＝b，∴12×√32a2=√3，∴a＝b＝2，∵由余弦定理可得c2＝a2+b2−2ab cos C＝4+4−2×2×2×(−12)＝12，∴c＝2√3，∴△ABC的周长为4+2√3．【考点】正弦定理【解析】（1）法一：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式可得sin B＝sin A，结合范围A，B∈(0, π)，可证A＝B．法二：由余弦定理化简已知等式即可证明A＝B．（2）由已知及（1）可知C=2π3，利用三角形的面积公式可求a，b的值，利用余弦定理可求c的值，即可得解三角形的周长．【解答】法一：∵a cos C+c cos A＝a，∴由正弦定理，可得sin A cos C+cos A sin C＝sin A，即sin(A+C)＝sin A，又∵A+C＝π−B，∴sin B＝sin A，又∵A，B∈(0, π)，∴A＝B或A+B＝π（舍去），∴A＝B．法二：∵a cos C+c cos A＝a，∴由余弦定理可得a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=a，整理可得2b2＝2ab，∴a＝b，∴A＝B．∵A=π6，由（1）可知C＝π−(A+B)=2π3，又∵△ABC的面积为√3=12ab sin C，且a＝b，∴12×√32a2=√3，∴a＝b＝2，∵由余弦定理可得c2＝a2+b2−2ab cos C＝4+4−2×2×2×(−12)＝12，∴c＝2√3，∴△ABC的周长为4+2√3．【答案】在△OMP中，∠OPM＝45∘，OM=√5，OP＝2√2，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP2−2OP⋅MP⋅cos45∘，得MP2−4MP+3＝0，解得MP＝1或MP＝3．设∠POM＝α，0∘≤α≤60∘，在△OMP中，由正弦定理，得：OMsin∠OPM =OPsin∠OMP，…所以OM=OP⋅sin45sin75=2√6−2√2，同理ON＝2√6−2√2，…故S△OMN=12OM⋅ON⋅sin∠MON=8−4√3，即∠POM＝30∘时，△OMN的面积的最小值为8−4√3．【考点】三角形的面积公式解三角形【解析】（1）在△OPQ中，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP2−2⋅OP⋅MP cos45∘，解得MP 即可．(2)∠POM＝α，0∘≤α≤60∘，在△OMP中，由正弦定理求出OM，同理求出ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过α的范围求出面积的最大值．【解答】在△OMP中，∠OPM＝45∘，OM=√5，OP＝2√2，由余弦定理得，OM2＝OP2+MP2−2OP⋅MP⋅cos45∘，得MP2−4MP+3＝0，解得MP＝1或MP＝3．设∠POM＝α，0∘≤α≤60∘，在△OMP中，由正弦定理，得：OMsin∠OPM =OPsin∠OMP，…所以OM=OP⋅sin45sin75=2√6−2√2，同理ON＝2√6−2√2，…故S△OMN=12OM⋅ON⋅sin∠MON=8−4√3，即∠POM＝30∘时，△OMN的面积的最小值为8−4√3．【答案】由cosβ=√55，β∈(0, π)得sinβ=2√55，所以tanβ＝2，于是tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−13+21+23=1．因为tanα=−13,α∈(0,π)所以sinα=√10cosα=√10=−3√55sin x−√55cos x+√55cos x−2√55sin x=−√5sin x故f(x)的最大值为√5．【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）先由cosβ求sinβ，进而求tanβ，再利用公式tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ解之；（2）先由tanα求出sinα、cosα，再利用公式sin(α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ与cos(α+β)＝cosαcosβ−sinαsinβ化简函数f(x)，最后根据−1≤sin x≤1求出f(x)的最大值．【解答】由cosβ=√55，β∈(0, π)得sinβ=2√55，所以tanβ＝2，于是tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−13+21+23=1．因为tanα=−13,α∈(0,π)所以sinα=√10cosα=√10=−3√55sin x−√55cos x+√55cos x−2√55sin x=−√5sin x故f(x)的最大值为√5．【答案】∵当x≥0时，f(x)=2x+a2x ,f(1)=52即f(1)＝2+a2=25，∴a＝1−−−−−−−−−−−−−−．任取0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=(2x1+12x1)−(2x2+12x2)=(2x1−2x2)+2x2−2x12x1⋅2x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2．--------------∵0<x1<x2，∴1<2x1<2x2，2x1+x2>1，得：f(x1)−f(x2)<0∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上是增函数．--------------由（1）得：当x≥0时，f(x)=2x+12x故f(0)=2,f(2)=174，f(−1)=52，由（2）得：(x)在[−1, 0]为减函数，在[0, 2]为增函数，∴f(x)的值域为[2, 174]−−−−−−−−−−−−−−【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）由当x≥0时，f(x)=2x+a2x ,f(1)=52，解得实数a的值；（2）任取0<x1<x2，作差判断f(x1)−f(x2)的符号，进而由定义，中得f(x)在(0, +∞)上是增函数；（3）由（1）（2）中的结论，可得函数f(x)在[−1, 2]上的值域．【解答】∵当x≥0时，f(x)=2x+a2x ,f(1)=52即f(1)＝2+a2=25，∴a＝1−−−−−−−−−−−−−−．任取0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=(2x1+12x1)−(2x2+12x2)=(2x1−2x2)+2x2−2x12x1⋅2x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2．--------------∵0<x1<x2，∴1<2x1<2x2，2x1+x2>1，得：f(x1)−f(x2)<0∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上是增函数．--------------由（1）得：当x≥0时，f(x)=2x+12x故f(0)=2,f(2)=174，f(−1)=52，由（2）得：(x)在[−1, 0]为减函数，在[0, 2]为增函数，∴f(x)的值域为[2, 174]−−−−−−−−−−−−−−【答案】ax2−(a+1)x+1>0得，(ax−1)(x−1)>0，或x>1}，解得，a>1时，定义域为{x|x<1a}；当0<a<1时，定义域为{x|x<1或x>1a①当a>1时，f(x)>0，即ax2−(a+1)x+1>1，即ax2−(a+1)x>0，又对任意x∈[2, +∞)恒有ax2−(a+1)x>0，)max，故a>1；故a>(1x−1②当0<a<1时，由f(x)>0得，ax2−(a+1)x+1<1，)min，故a≤0；即a<(1x−1综上所述，a>1．【考点】对数函数的图象与性质【解析】（1）化简ax2−(a+1)x+1>0为(ax−1)(x−1)>0，从而求函数的定义域；（2）讨论a>1与0<a<1，从而化恒成立问题为最值问题．【解答】ax2−(a+1)x+1>0得，(ax−1)(x−1)>0，或x>1}，解得，a>1时，定义域为{x|x<1a}；当0<a<1时，定义域为{x|x<1或x>1a①当a>1时，f(x)>0，即ax2−(a+1)x+1>1，即ax2−(a+1)x>0，又对任意x∈[2, +∞)恒有ax2−(a+1)x>0，)max，故a>1；故a>(1x−1②当0<a<1时，由f(x)>0得，ax2−(a+1)x+1<1，)min，故a≤0；即a<(1x−1综上所述，a>1．。
北京市2020-2021学年高一数学下学期期中试题(含解析)
8.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形
是某几何体的表面展开图，对于
该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表
示），下列结论中正确的是
（）
A. 平面
B. 平面 平面
C. 平面
平面
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，得到该几何体表示一个正八面体,此时 GHIJ 分别与 CDEF 重合，利用正八面体的性
17.已知四棱锥
的底面 是菱形.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
求证：
；
（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分 4 分，第（2）问满分 5 分）
① 分别是
上的点，若
,
，求 的值.
②若
，
，
，判断△ 是否为等腰三角形？并说
明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由四边形 是菱形，所以
【详解】在 中，因为
，由正弦定理得 ，
又由余弦定理得
，
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6
又因为
，所以 .
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中解答中熟练应用正弦 定理的边角互化和合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于 基础题.
11.已知正方形 的边长为 1，将
的体积为：
，则
和 都为定值，所以四棱锥
的体积恒为定值；
②中，连接 和 ，当
时，利用三垂线定理可得
,又由
，所
以
，利用线面垂直的判定定理，即可得到
平面 ，所以是正确的；
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
北京市2020-2021年高一数学下册期中试卷
第二学期期中试卷高一数学一. 选择题（本大题共10小题，共40分）1.已知θ为第三象限角，则下列判断正确的是()A. tanθ<0B. sinθ⋅cosθ<0C. cosθ⋅tanθ>0D. sinθ⋅tanθ<02.sin330°=()A. −12B. 12C. −√32D. √323.函数y=sin(2x+π4)的最小正周期是()A. πB. 2πC. π2D. π44.函数y=cos(x+π2),x∈[−π,π]是()A. 增函数B. 减函数C. 偶函数D. 奇函数5.“θ=π6+2kπ,k∈Z”是“sinθ=12”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件6.为了得到函数f(x)=2sin(2x+π6)的图像，可以把函数y=2sinx的图像()A. 每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12(纵坐标不变)D. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变) 7.函数f(x)=x−sinx零点的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图所示，函数y =cosx|tanx|(0≤x <3π2且x ≠π2)的图像是( )A. B. C.D.9. 已知函数f(x)={sinxsinx >cosxcosxsinx ≤cosx(x ∈R)，关于函数f(x)的性质给出下面三个判断：①函数f(x)是周期函数，最小正周期为2π； ②函数f(x)的值域为[−1,1]；③函数f(x)在区间[−π+2kπ,2kπ](k ∈Z)上单调递增． 其中判断正确的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 010. 已知α，β都是锐角，若sinα>cosβ，则下列结论正确的是( )A. α+β>π2 B. α+β<π2C. α−β>π2D. α−β与π2大小关系不确定二. 填空题（本大题共8小题，共32分）11. 如果角α的终边经过点(−1,2)，那么cosα=______．12. 在平面直角坐标系x O y 中，角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若角α的终边与单位圆交于点P(m,35)，则sinβ=______． 13. 已知tanα=2，则sinα−3cosαsinα+cosα=______，sin 2α+2sinαcosα=______．14. 已知sinx −cosx =15，则sinxcosx = ______ ．15. 下列函数中：①y =−sin2x ；②y =cos2x ；③y =3sin(2x +π4)，其图像仅通过向左(或向右)平移就能与函数f(x)=sin2x 的图像重合的是______.(填上符合要求的函数对应的序号) 16. 已知函数f(x)=1sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则ω=_______，φ=_______．17. 若角α的终边落在直线x +y =0上，则√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα= __________．18. 已知集合0{|01}A x x =<<. 给定一个函数()y f x =，定义集合1{(),}n n A y y f x x A -==∈,若1n n A A -=∅I 对任意的n *∈N 成立，则称函数()y f x =具有性质“P ”. （Ⅰ）具有性质“P”的一个一次函数的解析式可以是 _____； （Ⅰ）给出下列函数：①1y x=； ②2+1y x =； ③πcos()22y x =+ ，其中具有性质“P”的函数的序号是_____.(写出所有正确答案的序号)三、解答题（本大题共3小题，共28分） 19. （本小题7分）已知函数f (x )=cos 2x −2sin x +a ，且f (0)=3. (Ⅰ)求实数a 的值； (Ⅱ)求函数f(x)的值域.20. （本小题12分）)．已知函数f(x)=2sin(2x+π3(Ⅰ)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图像(先列表，再画图)；(Ⅱ)求．函数f(x)的单调递增区间；]上的最小值，并写出相应x的值．(Ⅲ)求函数f(x)在区间[0,π221.（本小题9分）定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f(x+T)=f(x)+T恒成立，则称f(x)为线周期函数，T为f(x)的线周期．(Ⅰ)下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，(其中[x]表示不超过x的最大整数)，是线周期函数的是______ (直接填写序号)；(Ⅱ)若g(x)为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G(x)=g(x)−x为周期函数；(Ⅲ)若φ(x)=sinx+kx为线周期函数，求k的值．。
2020-2021北京市高中必修二数学下期中试题(附答案)
2020-2021北京市高中必修二数学下期中试题(附答案)一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在5．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．3 6．已知三棱锥S ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，ABC ∆是边长为43角形，SA ⊥平面ABC ，且SB 与平面ABC 所成的角为6π，则球O 的表面积为（ ） A ．20πB ．40πC ．80πD ．160π7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3P ABC -的外接球的表面积是（ ） A ．92π B ．92πC ．18πD ．40π8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5C 26D ．429．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2510．已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ） A ．3B ．22C ．23D ．2511．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．15 B ．5 C ．64D ．10 12．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________15．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为_________.16．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ． 17．过点(1,2)-且与直线2390x y -+=垂直的直线方程为____________．18．如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .19．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________20．直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________． 三、解答题21．已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，14AA AC ==，2BC =.（1）求证；//PF 平面BDE ； （2）求直线PF 与直线BE 所成的角.23．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点． （1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．24．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥1B DBE -的体积．25．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ． （2）求M 到平面BEFD 的距离．26．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标； （2）求ABC ∆面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222d == 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221. 故选B. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+，此直线与曲线相切，此时有23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P . 【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个. 故选：A 【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.5．A解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面夹角得到4SA =，计算ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得答案.【详解】SA ⊥平面ABC ，则SB 与平面ABC 所成的角为6SBA π∠=，故4SA =. ABC ∆的外接圆半径为42sin ar A==，设球O 的半径为R ， 则2222SA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得25R =，故球O 的表面积为2480R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积． 【详解】 解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3 则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值， 由于：PA ⊥平面ABC ， 所以：222PA AM PM +=， 解得：1AM =， 所以：3BM =， 则：60BAM ∠=︒， 由于：120BAC ∠=︒， 所以：60MAC ∠=︒则：ABC V 为等腰三角形．所以：BC =在ABC V 中，设外接圆的直径为24r ==，则：2r =，所以：外接球的半径R ==， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．8．A解析：A 【解析】 【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴= 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．D解析：D 【解析】 【分析】求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为10 过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE 22(32)[11]5=-+--=（）， 则|AB |222(10)(5)25=-=， 故选D ． 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．11．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 2522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径2DE =2432S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.二、填空题13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π【解析】【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．【详解】先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为2，所以球的表面积为24π3π⨯=⎝⎭．【点睛】 本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．14．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④【解析】【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错；对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错；对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．15．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取∵平面ABC∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答解析：【解析】【分析】取正ABC 的外心为M ，过M 作平面ABC 的垂线，在上取点O ，使得12OM AD =，即得O 是三棱锥A BCD -外接球球心，求出球半径可得体积．【详解】如图，M 是ABC ∆外心，AM 延长线与BC 交于点E ，E 是BC 中点，过M 作MO ⊥平面ABC ，取12OM AD =， ∵AD ⊥平面ABC ，∴//MO AD ，O 到,A D 的距离相等，∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，233AM ==3OM =，∴OA ===，所以2344()33V OA ππ==⨯=．故答案为：．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．16．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60解析：3【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O．在三角形ABD中，因为∠A＝120°，AB＝2．可得AO＝1．过A作面BCD的垂线，垂足E，则AE即为所求．由题得，∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°．在RT△AOE中，AE＝AO•sin∠AOE＝32．17．【解析】【分析】因为直线l与已知直线垂直根据两直线垂直时斜率的乘积为-1由已知直线的斜率求出直线l的斜率然后根据（-12）和求出的斜率写出直线l的方程即可【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为所解析：3210x y +-=【解析】【分析】因为直线l 与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l 的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l 的方程即可．【详解】因为直线2x-3y+9=0的斜率为23 ，所以直线l 的斜率为32- ， 则直线l 的方程为：3212y x -=-+（） ，化简得3210x y +-=.即答案为3210x y +-=．【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．18．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因 解析：12【解析】 ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=o ，所以30BAD BCA ∠==o .由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=o ，所以AC =设AD x =，则0t <<DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅o 24x =-+.故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅， 所以30BPD ∠=o .过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅o ， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 303)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+ 设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤. 则231x t -=-（1）当03x ≤≤时，有2331x x t ==- 故231x t =- 此时，221(31)[23(31)]t t V -----= 21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤， 所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2323x <≤2331x x t =-=- 故231x t =-此时，V = 21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 19．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正 解析：13- 【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ，2AM MC ==P ABCD -中，AC =在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-. 【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.20．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题解析：1-【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可.【详解】因为直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，所以110a ⨯+=解得1a =-.故填1-.【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件，属于中档题.三、解答题21．（1）35100x y -+=；（2）()2215x y -+=.【解析】【分析】（1）联立方程组，求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）设出圆的标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．【详解】 （1）联立方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩， ∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P ，又∵直线5360x y +-=的斜率为53-，∴直线l 的斜率为35， ∴直线l 的方程为()3205y x -=-，化为一般式可得35100x y -+=. （2）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，2222(3)(1)a b r ∴-+-==，1a \=，0b =，∴圆的方程为22(1)5x y -+=．【点睛】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（1）证明见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，可证P 为CD 中点，可证//PG BD ，////FG AC ED ，证明平面PFG P 平面BED ，从而得证；（2）以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，表示出PF u u u r 和BE u u u r ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，因为F 为AB 中点，G 为BC 中点，所以FG AC P ，又因为E 为1AC 中点，D 为1CC 中点，所以ED AC P ，所以FG ED ∥，又因为1CP =，14AA =，所以P 为CD 中点，所以PG BD P ，又因为FG PG G ⋂=，所以平面PFG P 平面BED ，FP ⊂平面PFG ，所以//PF 平面BDE ；（2）因为90ACB ∠=︒，三棱柱为直三棱柱，故以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,1,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2F B P E ，故()()2,1,1,2,2,2PF BE =-=-u u u r u u u r ，cos ,0PF BE PF BE PF BE⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故直线PF 与直线BE 所成的角为90°【点睛】本题考查线面平行的证法，异面直线夹角的求法，属于中档题23．(1) 13+24y x =(2) 462【解析】【分析】(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x = 圆心C 到直线l的距离为1104d -+==，又∵圆的半径为2，∴弦AB的长为=. 【点睛】 本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.24．(1)4π (2) 92 【解析】【分析】（1）连接AC ，11A C ，由11AC AC P 知11FC A ∠ （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角，由余弦定理解三角形即可（2）根据11B DBE D BEB V V --=，且三棱锥1D BEB -的高为DC ，底面积为1BEB ∆的面积.【详解】（1）连接AC ，11A C ，∵1111,AC AC FC A ∴∠P （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角在11FC A ∆中，111192A C A F C F ===222119()(22cos 922FC A +-∠==⨯∴异面直线1C F 与AC 所成角为4π．（2）由题意得， 1111119333=3322B DBE D BEB BEB V V S DC --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅． 【点睛】 本题主要考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，属于中档题.25．（1）见解析（2）23 【解析】【分析】（1）连接BF ，证明四边形1BMD F 是平行四边形即可得出1//D M BF ，故1//MD 平面BEFD ；（2）根据M BDE E BDM V V --=求出M 到平面BEFD 的距离．【详解】解：（1）证明：连接BF ，∵111111111111////22D F A B D F A B BM A B BM A B ==，，，， ∴11//D F BM D F BM =，，∴四边形1BMD F 是平行四边形，∴1//D M BF ，又1D M ⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ，∴1//MD 平面BEFD ．（2）解：连接ED EM DM ，，，则112122323E BDM V -=⨯⨯⨯⨯=， 又22221111122253BD AB BE BB B E DE D C C E ===+==+=，，，∴22210cos 210BD BE DE DBE BD BE +-∠==⋅，∴310sin 10DBE ∠=． ∴131********BDE S =⨯⨯⨯=V ， 设M 到平面BEFD 的距离为d ，则12333M BDE V d -=⨯⨯=， ∴23d =．即M 到平面BEFD 的距离为23．【点睛】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．26．(1) ()5,0B ; (2)6【解析】【分析】(1)根据AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=求得AB 的斜率,再设B 点坐标利用斜率求解即可.(2)求得直线AC 的方程,再计算B 点到直线AC 的距离与线段AC 的长度即可.【详解】(1)由AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=,其斜率为2,故直线AB 的斜率为1122k -==-.设()0,0B x 则00201512x x -=-⇒=-.故()5,0B (2)因为()1,2A ,()3,4C ,故42:131AC k -=-,故:2110AC l y x x y -=-⇒-+=. 又AC ==又B 点到直线AC的距离d == .故11622ABC S AC d ∆=⋅=⨯=. 【点睛】 本题主要考查了直线方程的表达式与解析几何中的距离公式等,需要根据题意选取公式求解即可.属于中等题型.。
北京市2020-2021年高一数学第二学期期中考试试卷及答案
高一年级数学期中试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题纸上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共75分）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( )A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2．在区间[1,3]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式||2x ≤成立的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．34 3． 已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90° C．45° D．30°4．△ABC 中, ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3,4a b ==，∠C=ο60， 则c 的值等于（ ）A. 5B. 13C.13D.37 5．△ABC 中, 如果cos A cos B cosCa b c==, 那么△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形6．已知A 船在灯塔C 北偏东70°方向2km 处，B 船在灯塔C 北偏西50°方向3km 处，则A ，B 两船的距离为( )A ．19 kmB ．7 kmC ．(6＋1) kmD ．(6－1) km7． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A. 1:2:3B.2：3：4C.3:2:4D.3:1:2 8．正三棱锥的底面边长为a ，高为a 66，则此棱锥的侧面积等于（ ） A. 432a B. 232a C. 4332a D.233 2a9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （ ）A ．3B ．2C ．2D ．210．下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（ ） A ．2，5，8，5 B ．2，5，9，4 C ．4，10，4，2 D ．4，10，3，311．以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m 表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ） A ．35B ．45C ．710D ．91012．为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库. 几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（ ）A ．20000B ．6000C ．12000D ．200013．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ） A ．3，8，13 B ．2，7，12 C ．3，9，15 D ．2，6，1214．一个正三棱柱的每一条棱长都是a ，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面面积为 （ ） A. 27a B. 27a C. 26a D. 27a分组频数 频率 [10,15) 12 0.10[15,20) 30a[20,25) m0.40 [25,30)n 0.25 合计1201.0015．在ABC ∆中，角,,A B C 对边的边长分别为,,a b c ，给出下列四个结论：○1 以111,,a b c 为边长的三角形一定存在； ○2 以,,a b c 为边长的三角形一定存在；○3 以222,,a b c 为边长的三角形一定存在； ○4 以,,222a b b c c a+++为边长的三角形一定存在. 那么，正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷 （非选择题，共75分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 16．一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为_________.17．已知正方体外接球的表面积是12π，那么正方体的棱长等于___＿＿__．18．随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .19．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_______．20．设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，a ＝1.则△ABC 的周长的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）21．（本大题12分）随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.（Ⅰ）判断哪个班的平均身高较高, 并说明理由； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于175cm 的学生被抽中的概率.22．（本大题12分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.23．（本大题13分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ． （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若a＝3，cosC ＝33，求c 的长．24．（本大题13分）在中，角的对边分别为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积．ABC ∆,,A B C ,,,4a b c B π=4cos ,35A b ==sin C ABC ∆ 48610 14 2吨0.075 0.0250.2250.10012 a高一年级数学期中试卷21、解析 (1)b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝2222b c a bc+-＝12.…………………………………………3分∵0<∠A <π，∴∠A ＝π3.…………………………………………5分(2)∵在△ABC 中，∠A ＝π3，a ＝3，cosC ＝33，∴sinC ＝1－cos 2C ＝1－13＝63.…………………………………7分由正弦定理，知a sinA ＝csinC.∴c ＝asinCsinA＝3×6332＝263.…………………………………………13分22、解：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且， ∴，…………………………………………3分 ∴。
北京市顺义一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷(word版,含答案)
（3）由x的范围，求出 的范围，再利用正弦函数的性质求解最值即可.
【详解】（1）分别令 ，可得：
x
0
0
1
0
-1
0
画出在一个周期的图像如图所示：
（2）要求 的单调递增区间，
只需令 ，
解得： ，
所以函数 的单调递增区间为 ;
(3)因为 ,所以 ，所以当 ,即 时, 取最小值0；当 ,即 时, 取最大值1.
北京市顺义一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷
参考答案
一、选择题（每题4分）
1.【答案】B
【解析】
【分析】先计算复数 ,再结合几何意义求解即可.
【详解】因为复数 ，
所以复数 对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B
2.【答案】C
【解析】
【分析】所求平方 代值可得.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.
（2）由题意 ， ，所以 ；
（3）由已知 ，
所以 ，所以 时， 取得最小值3，此时 ．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，数量积的性质，向量垂直与向量数量积的关系，求向量的夹角、向量的模．掌握平面向量数量积的坐标运算是解题关键，本题属于中档题．
18.【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】结合正弦定理和 可得 .
【详解】解：（1） , ,
, ,
；
（2）①当 且 时, ,
所以 ．所以 ,
所以 ,
②当 且 时, , ,
所以 ．所以 ,
所以 ,
③当 且 时 , ．
所以 ．所以 ．
所以 ．
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高一数学下学期期中试题含解析
北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．已知i是虚数单位，＝（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．33．如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，则＝（）A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．+4．已知函数，则（）A．y'＝e x B．C．D．5．已知，是平面向量，“是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，f'（x）是函数f（x）的导函数，记a＝2f'（2），b＝2f'（4），c＝f（4）﹣f（2），则a，b，c数值排序正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b7．已知平面向量，满足，，＜，＞＝120°，则＝（）A．2 B．C．4 D．128．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．9．在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，则的最大值为（）A．B．C．D．4二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）11．若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a＝．12．已知，，．若，则实数λ的值为．13．小明用A＝（a1，a2，⋯，a30）记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记a k＝1，当第k天不能半小时内到家时，记a k＝﹣1（1≤k≤30）；用B＝（b1，b2，⋯，b30）记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第k天半小时内到家时，记b k＝1，当预测第k天不能半小时内到家时，记b k＝﹣1（1≤k≤30）；记录完毕后，小明计算出A⋅B＝22，其中A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30，那么该交通软件预测准确的总天数是．14．若函数在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是．15．定义域为R的函数y＝f（x），如果存在x0∈R，使得f（x）在（﹣∞，x0]上单调递增，在[x0，+∞）上单调递减，则称f（x）为单峰函数．那么下列函数是单峰函数的有．①y＝2x﹣e x；②；③；④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3）．三、解答题：（共6小题，共85分）16．已知，，是同一平面内的三个向量，，．（Ⅰ）若与的方向相反，求的坐标；（Ⅱ）若，求与的夹角θ．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x的值．18．已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝a仅有一个公共点，直接写出实数a的取值范围．19．如图，在四边形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．20．已知函数f（x）＝x+b﹣alnx在x＝1处的极值为2，其中a＞0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对任意的x∈[1，+∞），证明恒有x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．21．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}均为正整数集的子集，若满足：①a1+a2+⋯+a n＝b1+b2+⋯+b n，②a12+a22+⋯+a n2＝b12+b22+⋯+b n2，③A∩B＝∅，则称A，B互为等矩集．（Ⅰ）若集合A＝{1，5，6}与B＝{2，x，y}互为等矩集，求x，y的值；（Ⅱ）证明：如果集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}互为等矩集，那么对于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，⋯，a n+k}，B'＝{b1+k，b2+k，⋯，b n+k}也互为等矩集；（Ⅲ）对于任意给定的正整数n≥4，是否存在两个n元正整数集A，B互为等矩集？请说明理由．参考答案一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）1．已知i是虚数单位，＝（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1+i D．﹣1﹣i 解：＝，故选：C．2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．3 解：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，所以△ABC的面积S＝CB•CA•sin C＝3×2×＝．故选：A．3．如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，则＝（）A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．+解：∵在△ABC中，D为AB的中点，∴＝＝﹣＝﹣＝﹣，故选：B．4．已知函数，则（）A．y'＝e x B．C．D．解：，则＝．故选：C．5．已知，是平面向量，“是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若||＝|+|，则＝+2•+，∴2||•||•cos＜，＞+＝0，∴2||•cos＜，＞+||＝0或||＝0，∴||＝|+|是||＝0的必要不充分条件，故选：B．6．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，f'（x）是函数f（x）的导函数，记a＝2f'（2），b＝2f'（4），c＝f（4）﹣f（2），则a，b，c数值排序正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b解：结合图像：f′（2）＜＜f′（4），故2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4），即a＜c＜b，故选：D．7．已知平面向量，满足，，＜，＞＝120°，则＝（）A．2 B．C．4 D．12解：平面向量，满足，，＜，＞＝120°，则＝＝＝2．故选：A．8．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．解：因为∠BAD＝30°，AB＝30，BD＝20，在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝；由∠ADB＝∠C+∠DAC＝90°+∠DAC，所以sin∠ADB＝sin（90°+∠DAC）＝cos∠DAC＝，所以大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为．故选：D．9．在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）解：若x＝0时，不等式x•f′（x）＜0不成立．若x＞0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．若x＜0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，故不等式x•f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．10．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，则的最大值为（）A．B．C．D．4解：∵，∴⊥，又∵|OA|＝|OB|＝1，∴|+|＝．|+|＝|﹣+﹣|＝|+﹣（+）|，当、与+反向时，|+|取得最大值2+，故选：B．二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）11．若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a＝ 2 ．解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，所以即得a＝2故答案为：212．已知，，．若，则实数λ的值为﹣1 ．解：∵，，且，∴2（λ+3）﹣（3﹣λ）＝0，解得λ＝﹣1．故答案为：﹣1．13．小明用A＝（a1，a2，⋯，a30）记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记a k＝1，当第k天不能半小时内到家时，记a k＝﹣1（1≤k≤30）；用B＝（b1，b2，⋯，b30）记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第k天半小时内到家时，记b k＝1，当预测第k天不能半小时内到家时，记b k＝﹣1（1≤k≤30）；记录完毕后，小明计算出A⋅B＝22，其中A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30，那么该交通软件预测准确的总天数是26 ．解：依题意，若a k b k＝1（1≤k≤30），则表示第k天预报正确，若a k b k＝﹣1（1≤k≤30），则表示第k天预报不正确，由A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30＝22，假设其中有x天预报正确，则等式左边有x个1，30﹣x个（﹣1），则x+（30﹣x）×（﹣1）＝22，解得x＝26．∴该交通软件预测准确的总天数是26．故答案为：26．14．若函数在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，e] ．解：∵，x∈[1，2]，∴f′（x）＝e x﹣，∵f（x）在[1，2]单调递增，∴f′（x）≥0在x∈[1，2]恒成立，即e x﹣≥0恒成立，即a≤x2e x，令g（x）＝x2e x，x∈[1，2]，则g′（x）＝（x2+2x）e x＞0在[1，2]上恒成立，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）min＝g（1）＝e，故a≤e，故答案为：（﹣∞，e]．15．定义域为R的函数y＝f（x），如果存在x0∈R，使得f（x）在（﹣∞，x0]上单调递增，在[x0，+∞）上单调递减，则称f（x）为单峰函数．那么下列函数是单峰函数的有①④．①y＝2x﹣e x；②；③；④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3）．解：根据题意，单峰函数的概念可知，若f（x）为单峰函数，则它只有一个极值点，且是极大值点，对于①y＝2x﹣e x，其导数为y′＝2﹣e x，在区间（﹣∞，ln2），y′＞0，函数为增函数，在区间（ln2，+∞）上，y′＜0，函数为减函数，则f（x）为单峰函数；②，其导数为y′＝sin x﹣，令g（x）＝sin x﹣，则g（）＝1﹣＞0，g（2）＝sin2﹣1＜0，∴∃x0∈（，2），使得g（x0）＝sin x0﹣0＝0，又g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）为R上的奇函数，又g（0）＝0，∴的极值点有3个，故f（x）不是单峰函数；③，其导数为y′＝＝，令y′＝0，可得x＝±，故f（x）不是单峰函数；④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3），其导数为y′＝3x2﹣12x3+15x4﹣6x5＝﹣3x2（x﹣1）2（2x﹣1），当x≤时，y′≥0，当x＞时，y′≤0，∴f（x）在（﹣∞，]上单调递增，在[，+∞）上单调递减，故f（x）为单峰函数；故答案为：①④．三、解答题：（共6小题，共85分）16．已知，，是同一平面内的三个向量，，．（Ⅰ）若与的方向相反，求的坐标；（Ⅱ）若，求与的夹角θ．解：（Ⅰ）根据题意，，若与的方向相反则＝t，t＜0，即＝（2t，4t），又||＝，则4t2+16t2＝5，解可得t＝﹣，则＝（﹣1，﹣2）．（Ⅱ）由，可得||＝＝2，若，则•（﹣4）＝2﹣4•＝20﹣4×2××cosθ＝0，解得cosθ＝，又由0≤θ≤π，则θ＝．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x的值．解：（Ⅰ）函数＝＝．故函数的最小正周期为．（Ⅱ）由于，所以，故．故即当x＝时，函数的最小值为，当x＝时，函数的最大值为2．18．已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝a仅有一个公共点，直接写出实数a的取值范围．解：（I）f′（x）＝3x2+2x﹣1，所以f′（1）＝4，f（1）＝2，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2；（II）f′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），易得当x或x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣1＜x＜时，f′（x）＜0，函数单调递减，故函数的单调递增区间（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间（﹣1，），当x＝﹣1时函数取得极大值f（﹣1）＝2，当x＝时，函数取得极小值；（III）由（II）知，a＞2或a＜时，y＝a与y＝f（x）只有一个交点．故a的范围{a|a＞2或a＜}．19．如图，在四边形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．解：（I）CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，，由正弦定理得，即，所以sin∠DBC＝；（II）由题意得∠DBC为锐角，结合（I）得cos∠DBC＝，因为，所以sin∠ABC＝，cos∠ABD＝cos（∠ABC﹣∠DBC）＝﹣＝，由余弦定理得，cos∠BDC＝＝＝，解得BD＝3，由余弦定理得cos∠ABD＝＝＝，所以AD＝．20．已知函数f（x）＝x+b﹣alnx在x＝1处的极值为2，其中a＞0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对任意的x∈[1，+∞），证明恒有x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．解：（I），由题意得，，解得a＝1，b＝1；证明：（II）x[2﹣f（x）]﹣x2+2x﹣1＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，令g（x）＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，x≥1，则g′（x）＝﹣4x+lnx+4，＜0恒成立，所以g′（x）在[1，+∞）上单调递减且g′（1）＝0，所以x≥1时，g（x）≤g（1）＝0，所以x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．21．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}均为正整数集的子集，若满足：①a1+a2+⋯+a n＝b1+b2+⋯+b n，②a12+a22+⋯+a n2＝b12+b22+⋯+b n2，③A∩B＝∅，则称A，B互为等矩集．（Ⅰ）若集合A＝{1，5，6}与B＝{2，x，y}互为等矩集，求x，y的值；（Ⅱ）证明：如果集合A＝{a1，a2，⋯，a n}，B＝{b1，b2，⋯，b n}互为等矩集，那么对于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，⋯，a n+k}，B'＝{b1+k，b2+k，⋯，b n+k}也互为等矩集；（Ⅲ）对于任意给定的正整数n≥4，是否存在两个n元正整数集A，B互为等矩集？请说明理由．【解答】（Ⅰ）解：由等矩集定义，则，①2﹣②2，可得xy＝21③，由①③可知，x，y为方程t2﹣10t+21＝0的两个根，解得或；（Ⅱ）证明：只需证明A'和B'满足等矩集的三条定义即可，（a1+k）+（a2+k）+⋯+（a n+k）＝a1+a2+•••+a n+nk＝b1+b2+•••+b n+nk＝（a b+k）+（b2+k）+⋯+（b n+k），故满足定义①；（a1+k）2+（a2+k）2+⋯+（a n+k）2＝（a12+a22+•••+a n2）+2k（a1+a2+•••+a n）+nk2＝（b12+b22+•••+b n2）+2k（b1+b2+•••+b n）+nk2＝（b1+k）2+（b2+k）2+⋯+（b n+k）2，故满足定义②；假设A'∩B'≠∅，则存在p，q∈N*，a1+k＝bq+k，可得ap＝bq，与A∩B＝∅矛盾，所以A'∩B'＝∅，故满足定义③．综上所述，A'和B'也互为等矩集；（Ⅲ）解：①对于m元等矩集组A m和B m和n元等矩集组A n和B n，可以发现只需要A m，B m，A n，B n两两交集为空集，则A m∪A n和B m∪B n互为m+n等矩集组，此结论可以推广到的形式；②可以发现，若A＝{a1，a2，•••，a n}和B＝{b1，b2，•••，b n}互为等矩集，则有A'＝{ka1，ka2，•••，ka n}和B'＝{kb1，kb2，•••，kb n}，k∈N*互为等矩集，因此我们可以构造3元，4元，5元的等矩集组，从而能够证明3k，3k+1，3k+2元等矩集组的存在，即对任意n≥4，n∈N*，存在n元正整数集A和B互为等矩集，3元等矩集：{1，5，6}和{2，3，7}，4元等矩集：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，对于5元等矩集，可以利用两组4元等矩集的并集，其中去除一个3元等矩集进行构造，两组4元等矩集：A：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，B：{2，8，12，14}和{4，6，10，16}，并集为{1，2，4，6，7，8，12，14}和{2，3，4，5，6，8，10，16}，其中存在3元等矩集：{2，6，7}和{3，4，8}，删除后得到5元等矩集：{1，4，8，12，14}和{2，5，6，10，16}，根据上述构造方法可以总结n元等矩集的构造：①若n＝3k，则可以由k个3元等矩集组并得；②若n＝3k+1，则可以由（k﹣1）个3元等矩集组合一个4元等矩集组并得；③若n＝3k+2，则可以由（k﹣1）个3元等矩集组合一个5元等矩集组并得．因此，对于任意给定的正整数n≥4，必存在两个n元正整数集A，B互为等矩集．。
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高一年级数学期中试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题纸上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共75分）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( )A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台2．在区间[1,3]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式||2x ≤成立的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．34 3． 已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90° C．45° D．30°4．△ABC 中, ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3,4a b ==，∠C=ο60， 则c 的值等于（ ）A. 5B. 13C.13D.37 5．△ABC 中, 如果cos A cos B cosCa b c==, 那么△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形6．已知A 船在灯塔C 北偏东70°方向2km 处，B 船在灯塔C 北偏西50°方向3km 处，则A ，B 两船的距离为( )A ．19 kmB ．7 kmC ．(6＋1) kmD ．(6－1) km7． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A. 1:2:3B.2：3：4C.3:2:4D.3:1:2 8．正三棱锥的底面边长为a ，高为a 66，则此棱锥的侧面积等于（ ） A. 432a B. 232a C. 4332a D.233 2a9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （ ）A ．3B ．2C ．2D ．210．下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（ ） A ．2，5，8，5 B ．2，5，9，4 C ．4，10，4，2 D ．4，10，3，311．以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m 表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ） A ．35B ．45C ．710D ．91012．为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库. 几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（ ）A ．20000B ．6000C ．12000D ．200013．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ） A ．3，8，13 B ．2，7，12 C ．3，9，15 D ．2，6，1214．一个正三棱柱的每一条棱长都是a ，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面面积为 （ ） A. 27a B. 27a C. 26a D. 27a分组频数 频率 [10,15) 12 0.10[15,20) 30a[20,25) m0.40 [25,30)n 0.25 合计1201.0015．在ABC ∆中，角,,A B C 对边的边长分别为,,a b c ，给出下列四个结论：○1 以111,,a b c 为边长的三角形一定存在； ○2 以,,a b c 为边长的三角形一定存在；○3 以222,,a b c 为边长的三角形一定存在； ○4 以,,222a b b c c a+++为边长的三角形一定存在. 那么，正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷 （非选择题，共75分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 16．一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为_________.17．已知正方体外接球的表面积是12π，那么正方体的棱长等于___＿＿__．18．随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .19．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_______．20．设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝ab (sin C ＋2sin B )，a ＝1.则△ABC 的周长的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）21．（本大题12分）随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.（Ⅰ）判断哪个班的平均身高较高, 并说明理由； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于175cm 的学生被抽中的概率.22．（本大题12分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.23．（本大题13分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ． （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若a＝3，cosC ＝33，求c 的长．24．（本大题13分）在中，角的对边分别为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积．ABC ∆,,A B C ,,,4a b c B π=4cos ,35A b ==sin C ABC ∆ 48610 14 2吨0.075 0.0250.2250.10012 a高一年级数学期中试卷21、解析 (1)b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝2222b c a bc+-＝12.…………………………………………3分∵0<∠A <π，∴∠A ＝π3.…………………………………………5分(2)∵在△ABC 中，∠A ＝π3，a ＝3，cosC ＝33，∴sinC ＝1－cos 2C ＝1－13＝63.…………………………………7分由正弦定理，知a sinA ＝csinC.∴c ＝asinCsinA＝3×6332＝263.…………………………………………13分22、解：（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且， ∴，…………………………………………3分 ∴。
……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 4,cos 45B A π==33,sin 45C A A π=-=3sin sin 4C A A A π⎛⎫=-==⎪⎝⎭3sin ,sin 5A C ==又∵ABC 中，由正弦定理，得∴。
…………………………………………7分 ∴△ABC 的面积。
……13分 23、（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………4分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………8分 （Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分 事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种，…11分所以8()15P A =. ………………………12分 24、解：（Ⅰ）由茎叶图可知：甲班样本平均身高 (单位：cm) 为：162+168+170+171+179+182==1726x 甲；-------------------------2分 乙班样本平均身高 (单位：cm) 为：163+170+171+174+177+180==172.56x 乙.由x x <甲乙可以估计乙班平均身高高于甲班. -------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 =172x 甲， 所以，甲班的样本方差为：,4B b π==sin sin b A a B ==1163sin 2250S ab C ===2= s甲222222 1[(162172)+(168172)+(170172)+(171172)+(179172)+(182172)] 6------45=. -------------------------8分（Ⅲ）设“至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中”的事件为A.------9分从乙班6名学生中抽中两名学生有：（180，177），（180，174），（180，171），（180，170），（180，163），（177，174），（177，171），（177，170），（177，163），(174, 171)，（174，170），（174，163），（171，170），（171，163），（170，163），共15个基本事件，而事件A含有9个基本事件，-------------------------11分所以93 ()155 P A==.答：至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中的概率为35. --------------------12分。