全等三角形经典模型总结

全等三角形相关模型总结

一、角平分线模型

（一）角平分线的性质模型

辅助线：过点G作GE1射线AC

A、例题

1、如图，在△ ABC中，/ C=90° AD 平分/ CAB, BC=6cm, BD=4cm，那么点D 到直线AB 的距离是cm.

2、如图，已知，/ 1 = Z 2，/ 3=7 4,求证：AP平分/ BAC.

B、模型巩固

1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB, AD= CD, BD平分/ ABC,求证：7 A+7 C= 180°

(二)角平分线+垂线，等腰三角形必呈现 A 、例题

求证：

BE J(AC _AB).

2

例2、如图，在△ ABC 中，/ BAC 的角平分线 AD 交BC 于点D ,且AB = AD,作CM

丄AD 交 AD 的延长线于 M.求证：AM =-(AB AC).

辅助线：延长 ED 交射线OB 于F 例 1、如

图，在△ ABC 中，/ ABC = 3/ C,

辅助线：过点E 作EF//射线OB

AD 是/ BAC 的平分线，BE X AD 于F .

（三）角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B= 0A,从而使△ OAW A OBC .

A、例题

1、如图，在△ ABC 中，/ BAC=60°,Z 0=40°, AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/ ABC 交AC 于Q,求证：AB+ BP= BQ+ AQ .

2、如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+ PC与AB+ AC的大小，并说明理由.

B、模型巩固

1、在厶ABC中，AB> AC, AD是/ BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）求证：AB-AC> PB— PC .

2、如图，△ ABC 中，AB= AC,/ A= 100。，/ B 的平分线交AC 于D, 求证：AD+ BD= BC .

3、如图，△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,/ A的平分线交BC于D, 求证：AC+ CD= AB .

:■、等腰直角三角形模型

（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等:

操作过程：

（1）将厶ABD逆时针旋转90°,得厶ACM也△ ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形（2）辅助线作法：过点C作MC丄BC,使CM= BD,连结AM.

（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等:

操作过程：连结AD.

(1 )使BF= AE (或AF= CE ,导出△ BDF 也△ ADE. (2)使/ EDF+Z BAC= 180°,导出△ BDF 也△ ADE.

A、例题

1、如图，在等腰直角△ ABC中，/ BAC= 90°,点M、N在斜边BC上滑动，且/ MAN = 45 试探究BM、MN、CN之间的数量关系.

2、两个全等的含有30°, 60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M，连接ME、MC.

试判断△ EMC的形状，并证明你的结论•

B、模型巩固

1、已知，如图所示，Rt A ABC中，AB= AC, / BAC= 90°, O为BC中点，若M、N分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持AN= CM.

(1)试判断△ OMN的形状，并证明你的结论.

(2)当M、N分别在线段AC AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

2、在正方形ABCD中，BE= 3，EF= 5，DF= 4，求/ BAE+Z DCF为多少度.

（三）构造等腰直角三角形

（1 ）禾9用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）（2 ）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形•

（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:

A、例题应用

1、如图，在等腰直角△ ABC中，AC= BC,/ ACB= 90°, P为三角形ABC内部一点, 满足PB= PC, AP= AC,求证：/ BCP= 15° .

A、例题

已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC,/ BAC= 90°, D为AC中点，AF丄BD于点E,交

BC于F,连接DF . 求证：/ ADB=/ CDF .

变式1、已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC, AM = CN, AF丄BM于E,交BC于F,连接NF .求证：(1)/ AMB=/ CNF; (2) BM = AF+ FN .

三、三垂直模型（弦图模

型）

①

.

由厶ABE^ABCD导出

ED=AE

由公ABE^ABCD甘

出EC=AB-CD

由厶ABE^ABCD

BC=BE+ED=AB+CD

变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将

BM和FN分别延长交于点P,

求证：（1）PM= PN; （2）PB= PF+ AF .

四、手拉手模型

1 >△ ABE和厶ACF均为等边三角形

结论：(〔)△ ABF^A AEC .

(2)Z BOE=Z BAE= 60 °

(3)OA平分/ EOF •(四点共圆证)

拓展：△ ABC和厶CDE均为等边三角形

结论：(1) AD= BE;

(2)Z ACB=Z AOB;

(3) A PCQ为等边三角形；

(4)PQ// AE;

(5)AP= BQ;

(6)CO平分/ AOE;(四点共圆证)

(7)OA= OB+ OC;

(8)OE= OC+ OD .

((7), ( 8)需构造等边三角形证明)