数学不定式
不定式方程
不定式方程不定式方程是数学中的一种重要的方程形式，它的一般形式为"to + 动词原形= 目标"。
不定式方程的解可以是实数、复数或特殊数，因此在数学问题中具有广泛的应用。
下面将介绍不定式方程的定义、性质和解题方法。
一、不定式方程的定义不定式方程是指以不定式作为未知数的方程，其中不定式是指一个以"to + 动词原形"形式出现的词或短语。
不定式方程可以是一元方程，也可以是多元方程。
例如，"to be = 5"是一个一元的不定式方程，"to eat + to sleep = 10"是一个多元的不定式方程。
1. 不定式方程的解可以是实数、复数或特殊数。
因此，在解不定式方程时，需要根据具体的问题确定解的范围。
2. 不定式方程的解可能有一个或多个，也可能没有解。
要判断一个不定式方程是否有解，可以通过代入法、消元法等方法进行求解。
3. 不定式方程的解可以通过图像的交点、方程的根、方程的系数等途径来确定。
因此，在解不定式方程时，可以灵活运用代数、几何等多种方法。
三、不定式方程的解题方法1. 代入法：将不定式方程中的不定式部分用具体的数值代入，然后求解方程。
这种方法适用于简单的不定式方程，可以快速求解出解。
2. 消元法：通过变形、化简等方法，将不定式方程转化为其他形式的方程，然后求解方程。
这种方法适用于复杂的不定式方程，可以通过变形简化问题，进而求解出解。
3. 图像法：将不定式方程转化为函数的图像问题，通过观察图像的交点、斜率等特征，来确定方程的解。
这种方法适用于几何问题和函数图像问题，可以直观地找到方程的解。
不定式方程是数学中一种重要的方程形式，它的解可以是实数、复数或特殊数。
解不定式方程的方法有代入法、消元法和图像法等，通过灵活运用这些方法，我们可以解决各种不定式方程问题。
在解题过程中，需要注意问题的理解和分析，合理选择解题方法，准确求解方程，最终得到正确的解答。
中考数学试题分类分析汇编专题3：方程(组)和不定式(组)
中考数学试题分类分析汇编（12专题） 专题3：方程（组）和不定式（组）一．选择题1. （2001年福建福州4分）随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低。
某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为【 】 A. 4(n m )5+元B. 5(n m )4+元 C. (5m n)+元D. (5n m)+元【答案】B 。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】设电脑的原售价为x 元，则()()x m 120%n --=，∴x=5n m 4+。
故选B 。
2. （2003年福建福州4分）不等式组2x 4x 30≥⎧⎨+>⎩的解集是【 】（A ） x>－3 （B ）x≥2 （C ）－3<x≤2 （D ） x<－3 【答案】B 。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
因此，2x 4x 2x 2x 30x 2≥≥⎧⎧⇒⇒≥⎨⎨+>>-⎩⎩。
故选B 。
3.（2003年福建福州4分）已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是【 】（A ）2x 5x 60++= （B ）2x 5x 60-+= （C ）2x 5x 60--= （D ）2x 5x 60+-=【答案】B 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵所求一元二次方程的两根是α、β，且α、β满足α+β=5、αβ=6，∴这个方程的系数应满足两根之和是b 5a-=，两根之积是c 6a =。
当二次项系数a=1时，一次项系数b=－5，常数项c=6。
故选B 。
4. （2005年福建福州大纲卷3分）如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10度．设∠AOC 和∠BOC 的度数分别为x ，y ，则下列正确的方程组为【 】A 、x+y=180x=y+10⎧⎨⎩错误！未找到引用源。
不定式和动名词的区别
不定式和动名词的区别和联系1）动名词与不定式的区别：动名词表达的是：状态，性质，心境，抽象，经常性，已发生的不定式表达的是：目的，结果，原因，具体，一次性，将发生的不定式与动名词都可以在句中作主语、宾语、表语和定语,但用法不尽相同。
一、作主语一般情况下,不定式与动名词作主语可以互换,也常常可以用it充当形式主语,而把不定式和动名词放在句子的后半部分。
但二者也有区别,不定式常常指某次具体的、将要发生的行为;而动名词则表示一般的、抽象的行为。
例如:To save money now is not easy. 现在攒钱不容易。
Saving money is a good habit. 攒钱是个好习惯。
[真题回放]1. ________ to sunlight for too much time will do harm to one’s skin.A. ExposedB. Having exposedC. Being exposedD. After being exposed二、作宾语有些动词后只能跟不定式作宾语,不能跟动名词作宾语;有些动词后常跟动名词作宾语,不能跟不定式作宾语;有些动词后跟不定式和动名词作宾语皆可,但意思不同，另外还要熟记下面几点:1)下列短语中的to是介词,其后跟动名词,不跟不定式。
be(get) used to习惯于;look forward to盼望;pay attention to注意;get down to开始认真做;lead to通向、导致;prefer doing ... to doing ...宁愿做……而不愿做……;stick to坚持;devote one’s life(time, oneself) to献身于、致力于;object to反对;in addition to ...除……之外;on the way to ...在去……的路上、正要成为……;等等。
2)不定式除可用在except, but, besides等后作宾语之外,一般不用作介词宾语。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲 不定方程
第十二讲 不定方程趣题引路】暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次．解析 设胜x 场，平y 场，则有 3x ＋y ＝17， 即3x ＝17－y ． ∵x ，y ∈N ，∴0≤3x ≤17，∴0≤x ≤5，可得⎩⎨⎧==170y x ，⎩⎨⎧==141y x ，⎩⎨⎧==112y x ，⎩⎨⎧==83y x ，⎩⎨⎧==54y x ，⎩⎨⎧==25y x ．点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数，一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不定方程，但上面的问题中隐含了条件x ，y ∈N ，我们对其进行分析，得出了x ，y 的有限解，也就说明了不定方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行研究．知识延伸】一、不定方程的整数解求不定方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知数的取值范围，再在这个范围中取值求解．1．构造不等式缩小取值范围求解 例1 求21x ＋15y ＝123的正整数解．解析 原方程可以化为7x ＋5y ＝41， 7x ＝41－5y ， ∵x ，y ∈N ＋， ∴7≤7x ≤36， ∴1≤x ≤5．∵5｜5y ，∴5｜(41－7x )， ∴7x 的个位数必是1或6， ∴⎩⎨⎧==43y x ．点评：通常先确定系数较大的未知数的范围，本题求出1≤x ≤5后，本可以使x 分别取1~5五个整数代入求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便．2．利用通解定理求解定理：如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax ＋by ＝c 有一组解⎩⎨⎧==00y y x x ，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=at y y btx x 00，(其中t 为整数)例2 (198年“希望杯”试题)篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是 ．解析 设足球x 个，排球y 个，则篮球7x 个． 依题意有 8x ＋y ＝25．∵x ，y ∈N ＋，易知⎩⎨⎧==13y x 是方程的解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+=t y t x 813(t ∈N ＋)又∵x ≥1，y ≥1，⎩⎨⎧≥-≥+18113t t ，可解得－2≤t ≤0 当t ＝－2时，⎩⎨⎧==171y x ；当t ＝－1时，⎩⎨⎧==92y x ；当t ＝0时，⎩⎨⎧==13y x ．所以，排球数为1个、9个或17个．点评：对于一些系数比较简单的不定式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由定理得出通解，然后根据题意求出t 的取值范围，再代入求出未知数的值．3．分离整系数求解例3 (2002年新加坡数学竞赛题)正整数m 、n 满足8m ＋9n ＝mn ＋6，则m 的最大值为 ． 解析 8m －mn ＝－9n ＋6；即(8－n )m ＝－9n ＋6． 当n ＝8时，原方程无解； 当n ≠8时，m ＝869+-+-n n ＝866729+--+-n n ＝9＋866-n ．当n －8＝1，即n ＝9时，m 有最大值9＋66＝75，满足题意． 所以，m 的最大值为75．二、不定方程组一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求n 个未知数需要n 个独立的关于它的方程．当未知数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组．例4 已知x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=++=++143715452z y x z y x ，则x ＋y ＋z ＝ ．解析 要求出x ＋y ＋z 的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1︰1︰1． ①×k 得 2kx ＋5ky ＋4kz ＝15k ，③ ③＋②得(2k ＋7)x ＋(5k ＋1)y ＋(4k ＋3)z ＝15k ＋14，④ 依题意得 2k ＋7＝5k ＋1＝4k ＋3， 解之得 k ＝2． 将k ＝2代人④式得 11x ＋11y ＋11z ＝44， ∴x ＋y ＋z ＝4．点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来，否则是求不出来的．如本题求x ＋y ＋2z 是求不出来的，因为由2k ＋7＝5k ＋1得出k ＝2，代入2(4k ＋3)不能等于5k ＋1．例5 已知4330 30 x y z x y z --=⎧⎨--=⎩①②且xyz ≠0，求2222xy yzx y z ++-的值.解析： ①－②得3x －2z ＝0，即x ＝23z . 将x ＝23z 代人②得 y ＝19-z . 再将x ＝23z ，y ＝19-z 代人所求代数式222222211()()2()263992111()()39z z z zxy yz x y z z z z -+-+==+-+--z 点评：同例4一样，本题也求不出x 、y 、x 的具体值，但方程组和求出的代数式是关于x 、y 、z 的齐次式，所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出.三、不定方程组的整数解不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将其化为不定方程求解.例6 中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？解析：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x 、y 、z ，则有 100 53=100 3x y z zx y ++=⎧⎪⎨++⎪⎩①② 消去x 得7x ＋4y ＝100 ③ ①②∴0≤7x ＝100－4y ≤100， ∴0≤x ≤14，∵4 | (100－4y )，∴4 | 7x ，∴4 | x ， ∴x ＝0，4，8，12，代入③式得y ＝25，18，11，4， 代人①式得z ＝75，78，81，840 2575x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴，41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩点评：本题转化成求7x ＋4y ＝100的非负整数问题后，也可以用通解方法求解，易知x ＝0，y ＝25是特解.好题妙解】佳题新题品味例 不定方程4x ＋7y ＝2001有_____组正整数解. 解析： 4x ＋7y ＝3×667易知667667x y =-⎧⎨=⎩是其一组特解，∴其通解为66776674x t y t=-+⎧⎨=-⎩，t ∈Z∵x ，y ∈N *，∴6677166741t t -+⎧⎨-⎩≥≥解之得 96≤t ≤166∴t 可取整数值共71个∴4x ＋7y ＝2001有71组正整数解.点评：将常数项分解，结合未知数系数的特点，使找特解变得容易，像这类解的组数较多的问题，一般用通解定理解决.中考真题欣赏例 (广州市中考题)在车站开始检票时，有a (a ＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定速度增加，检票口检票速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10min 方可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5min 内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客随到随检，至少要同时开放几个检票口？解析：题中有几个未知量，不妨设旅客增加的速度为b 名/分钟，每个窗口检票的速度为c 人/分钟，需要开x 个窗口.依据题意，有3030 10=20c 55 a b c a b a b cx +=⎧⎪+⎨⎪+⎩①②≤③ 则①、②式，得1c2=15cb a ⎧=⎪⎨⎪⎩， 代入③式得x ≥3.5，∵x ∈N *，∴x min ＝4，即最少需要开4个窗口.点评：检票进站涉及原有旅客、新增旅客、检票速度、需开检票口等多个未知量，依据题中的相等关系竞赛样题展示例(1999年湖南省竟赛题)一个盒子里装有不多于200粒棋子，若每次2粒、3粒、4粒、6粒的取出，最终盒内都剩一粒棋子；若每次11粒取出，那么刚好取完.求盒子里共有多少粒棋子？解析：设盒子中有棋子y粒，则易知12| (y－1)，11 | y，不妨设12 111y my n=+⎧⎨=⎩(m，n∈N*)，则有11n－12m＝1.易知001 1n m =-⎧⎨=-⎩，是其一组特解，故有1+12111n tm t=-⎧⎨=-+⎩(t∈Z )，由m≤16，n≤18，又m≥1，n≥1，∴11+1218 11+1116tt-⎧⎨-⎩≤≤≤≤解之得t＝1，∴n＝11，m＝10，y＝121.故盒子里共有121粒棋子.点评：由2 | (y－1)，3 | (y－1)，4 | (y－1)，6 | (y－1)，可得12 | (y－1).过关检测】A级1.求方程13x＋5y＝8的整数解.2.求方程7x＋19y＝213的所有正整数解.3.求方程5x－15y＝22的所有整数解.4.用2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同凑法？5.一个六位数，若将它们的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为原来的六位数的6倍.求此六位数.6.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少套中了一次，共得61分，问小鸡至少被套中了几次？7.李林在银行兑换了一张面值100元以内的支票，兑换员不小心将支票上的元数与角、分数字看倒置了(如：把12.34元看成了34.12元)，并按看错的数字支付，李林将其款花去了3.50元，发现其余数恰为支票面额的2倍，于是急忙到银行退钱，那么李林应退回多少元？B级1.求所有可使得19m＋90＋8n＝1998的正整数对(m，n)的对数.2.某校一学期举行了20次数学测试，共出题347道，每次出题16、21或24道.问有多少次测试出题21道？3.求所有被29整除余7、被41整除余28的正整数中，能被7整除的最小正整数.4.求不定方程x＋2y＋3z＝18的非负整数解的组数.5.证明：存在无穷多组正整数(x、y、x)使得x、y、z两两不等，且x、y、z中任意两个数之积是另一个数的倍数，并且x＋y－x＝1.6.在0～1之间，将所有分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与1776相邻的两个数.。
数论洛必达法则
数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。
洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。
这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。
在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。
我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。
同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。
引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。
正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。
结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。
每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。
1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。
通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。
同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。
2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。
它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。
不定式省略to的10种情况
不定式省略to的几种情况一、使役动词与to的省略当不定式用于let, make, have等使役动词后作宾语补足语，不定式必须省略to。
如：Let me have another cup of tea.给我再来一杯茶。
She had him dig away the snow.她让他把雪挖走。
They made him tell them everything.他们强迫他把一切全告诉他们。
但是，当使役动词用于被动语态时，其后的不定式则必须要带to。
如：他被迫一天工作20小时。
误：He was made work twenty hours a day.正：He was made to work twenty hours a day.注意，表示使役意义的let和have很少用于被动语态。
另外注意，force, oblige等虽然也表示“使”，但它们后用作宾语补足语的不定式必须带to。
如：They forced her to sign the paper.他们强迫她在文件上签字。
The law obliged parents to send their children to school.法律要求父母送子女上学。
二、感觉动词与to的省略当不定式用于表示感觉的动词feel, hear, notice, observe, see, watch, look at, listen to等作宾语补足语时，不定式必须省略to。
如：We all felt the house shake.我们都感觉这房子在震动。
I heard him go down the stairs.我听见他下楼了。
Did you notice her leave the house?她离开屋子你注意到了吗?I watched her get into the car.我看着她上了车。
但是，当feel后用作宾语补足语的不定式为to be时，则不能省略to。
高中数学不定式
Why not have a rest?
•关于不定式中的小品词to
(1).不定式中的动词上文已出现过,下文要 省略该动词. eg: Would you like to go with me ? I’d like to . (2). 不定式是to be 结构, be 不可省.
eg: Would you like to be a teacher? I’d like to be.
8. 与疑问词等连用
三. 用法/ 功能
(1). 主语
To see is to believe. It’s important to learn English well . •单个不定式作主语时,谓语动词用单数 •若不定式太长,往往用it作形式主语,不定式置后.
(2). 表语
My job is to help the patient. Your task is to clean the classroom.
3) “stop + V-ing”表示停止做某事,
“stop + 不定式”表示停下来做某事。
Stop smoking, please.
请不要抽烟 。
Let's stop to have a rest.
咱们停下来休息一下吧。
4) mean to do 打算做某事 mean doing 意味着……
I meant to catch up with
forget, regret, try, deserve, start
Bear them in your mind!
warn, tell, allow, help, ask, force等 The teacher told me to clean the blackboard. I expect you to give me some help. watch let 五看 see 三使 make look at have observe listen to notice
2015年新课标A版高中数学必修五课件：3-4 基本不定式
几何平均数．
第十页，编辑于星期五：十点 三十九分。
②定理的证明可以用作差比较法：
a＋b 2
－
ab ＝
a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
第十一页，编辑于星期五：十点 三十九分。
第四页，编辑于星期五：十点 三十九分。
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab______a＋2 b，当 且仅当________时，等号成立．
第五页，编辑于星期五：十点 三十九分。
【解】 (1)∵x>0，y>0，xy＝3，
∴2x＋5y≥2
2x·5y＝2
30，当2x＝5y，即x＝
230，y＝
30 5
时，等号成立，即x＝ 230，y＝ 530时，(2x＋5y)min＝2 30.
第十八页，编辑于星期五：十点 三十九分。
(2)∵21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当2x＝y＝32，
2．应用基本不等式求最值． 已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大 值________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小 值________.
第六页，编辑于星期五：十点 三十九分。
谈不定式极限的求法.doc
谈不定式极限的求法[摘要]：函数求极限是数学分析的基本计算，不定式极限是最常见和最重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷。
本文对各种常见不定式极限进行了分类，并结合一些具体的例子分析和归纳各类不定式极限的求法，主要讨论00与∞∞型的基本不定式及其所派生的∞1、00、0∞、∞⋅0、∞-∞型不定式的极限计算技巧，能有效的提高对数学学习效率。
[关键词]： 极限 不定式 运算 方法第1章 不定式0型求极限方法型是不定式极限中最常见、最基本和最重要的类型，其它类型不定式极限往往可以转换为00型不定式极限来求解，因此，0型是其它不定式类型的基础，是不定式极限的主要内容，全面掌握00型不定式极限的各种求法是学习不定式极限的关键.1.1 相约无穷小方法当型的分子、分母含有相同的无穷小因式，如果可以进行因式分解或有 理化等恒定变换方法，约去相同的无穷小，从而求出不定式的极限.称此求法为相约无穷小的方法。
当0x x →，即0x x -0→时，函数极限成 0型，其分子、分母所含有相同的无穷小因式就是0x x -，约去它就可能得到极限。
例1． 求极限 2lim→x 31422-+-x x解： 2lim→x 31422-+-x x=2lim→x )22)(314)(314()314)(22)(22(+++-++++-x x x x x x=2lim→x )22)(84()314)(42(+-++-x x x x =2lim→x 43)22(2314=+++x x1.2 极限公式0lim→x 1sin =xx方法 在求含有三角函数或反三角函数的0型不定式的极限，通常利用三角函数恒等变化转换成公式0lim→x 1sin =xx及公式的推广形式来求极限. 例2． 求极限 1lim →x ()11sin 2--x x解： 1lim →x ()11sin 2--x x=1lim→x ()()()()()111sin 12-+-+x x x x=1lim →x ()()11sin 122--⋅+x x x =2 1.3 洛必达法则方法洛必达法则是求解0型不定式极限的主要方法，针对一些分子、分母的导数较易求得，且经若干次后求出极限，通常都是应用洛必达法则来求解，这是一种常用且十分有效的方法.例3． 求极限 0lim→x )1ln()21(221x x e x++-（00型） 解： 0lim→x )1ln()21(221x x e x++-=0lim →x ))1(ln())21((221'+'+-x x e x=0lim→x 22112)21(x x x e x++--=0lim→x )12())21((221'+'+--xx x e x=0lim →x 22223)1(26)21(x x x e x ++++-=11.4 等价无穷小代换方法当型不定式的分子、分母为因式的积或商时，可用等价无穷小代换这些因式，能达到简化运算步骤，快速求出极限的目的.但须注意：分子、分母中的和、差的项不可用等价无穷小代换.例4． 求极限 0lim →x 3sin sin tan xxx - 解： 由).cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-而当0→x 时，有,~sin x x ,2~cos 12x x - 3sin 3~x 故有 0lim →x 3sin sin tan x x x - = 0lim→x 322cos 1x x x x ⋅⋅=21 例5． 求极限 0lim →x xx cos 1112--+解： 利用112-+x 221~x 221~cos 1x x - 0lim→x xx cos 1112--+=0lim →x 22221)11)(11(x x x ++-+=0lim →x 1122++x =1即0→x 时， 112-+x 221~x 221~cos 1x x - 所以 0lim →x xx cos 1112--+= 0lim →x 222121x x = 1由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如常见等价无穷小公式○2有： 当0→x 时, x x sin ~, x x tan ~, x x arcsin ~, x x arctan ~)1ln(~x x +, ~x 1e x -, 221~cos 1x x -, ()abx ax b~11-+以上几例题说明在求函数极限时，恰当地进行等价替换，如将表达式中的根式函数、三角函数、反三角函数、对数函数、指数函数等变换为幂函数，然后再求极限，往往可以使计算过程大大简化。
洛必达法则的基本形式
洛必达法则的基本形式洛必达法则是微积分中非常重要的概念，它可以帮助人们求得在某一点附近的函数极限值。
起初，洛必达法则可能会让人感到困惑，因为它涉及到许多复杂的公式和概念。
但实际上，如果掌握了它的基本形式，就能轻松地理解和运用。
基本形式：0/0在洛必达法则中，一个重要的概念是不定式。
不定式是一个数学式子，它具有形式“函数f(x)除以函数g(x)”。
不定式的值可以是一个具体的数字，也可以是无穷大、无穷小或无极限。
在洛必达法则中，我们通常关注的是不定式的极限值。
在探究洛必达法则的基本形式之前，先来看一下不定式的一些例子。
例如：f(x) = x² - x，g(x) = x - 1，则不定式为f(x)/g(x) = (x² - x) / (x - 1)。
如果我们想求不定式在x = 1处的极限，即lim[x→1](x² - x) / (x - 1)，这个问题根本无法回答。
因为当x趋近于1时，分母趋近于0，分子也趋近于0，我们无法得出确切的答案。
这个时候，洛必达法则就派上用场了。
洛必达法则的基本形式为0/0。
当不定式的分子和分母在某一点附近同时趋近于0时，就可以使用洛必达法则来求得不定式的极限。
举个例子，如果让f(x) = sin(x)和g(x) = x，那么不定式为f(x)/g(x) = sin(x) / x。
我们可以发现，当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0。
而此时，不定式的极限值就可以通过洛必达法则求得：lim[x→0]sin(x)/x = lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0)/1 = 1在这个例子中，我们使用了洛必达法则来求解不定式的极限。
由于不定式的极限是0/0型的，所以我们对分子和分母同时求导数，并将所得的结果代入原式重新求解。
在这里，我们得到了不定式的导数为cos(x)/1，再求导一次就得到了极限值。
需要注意的是，只有当不定式满足基本形式0/0时，我们才可以采用这样的方法进行求解。
§6.2 柯西中值定理和不定式极限 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*定理6.6（柯西中值定理）设函数在区间(),f x )(x g ],[b a 上满足:(i) f (x ) , g (x ) 在闭区间[a , b ] 上连续;(iii);0)()(22>'+'x g x f (iv).)()(b g a g ≠则在开区间内必定(至少) 存在一点),(b a ,ξ柯西中值定理(ii) f (x ) , g (x ) 在开区间(a , b ) 上可导;'-='-()()().()()()f f b f ag g b g a ξξ后退前进目录退出使得几何意义首先将f , g 这两个函数视为以x 为参数的方程,)(x g u =.)(x f v =它在O -uv 平面上表示一段曲线. 恰好等于曲线d d x v u ξ=存在一点( 对应于参数)的导数ξ()().()()ABf b f a kg b g a -=-由拉格朗日定理的几何意义,))(,)((ξξf g P ))(,)((b f b g B ((),())A g a f a O uv ∙∙∙端点弦AB 的斜率:证作辅助函数()()()()()(()()).()()f b f a F x f x f ag x g a g b g a -=----显然,满足罗尔定理的条件, )(x F ),,(b a ∈ξ使得, 0)(='ξF 0()()()().()()f b f a fg g b g a ξξ-''-=-()0(()(iii)),g f ξξ''≠因为否则也为零,与条件矛盾()()().()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-从而所以存在点即例1 设函数 f 在区间[a , b ](a > 0) 上连续, 在(a , b ).ln )()()(abf a f b f ξξ'=-显然f (x ),g (x ) 在[a , b ] 上满足,ln )(x x g =于是存在, 使得),(b a ∈ξ1()()(),ln ln f b f a f b aξξ'-=-变形后即得所需的等式.),(b a ∈ξ上可导, 则存在, 使得证设柯西中值定理的条件,例2 设 f 在区间(0, 1] 上可导, ().x f x M '≤得(0,1]则f 在上一致连续.||1,M A =+证设0lim ()x x f x A +→'=因为0lim (),x x f x A +→'=当10,x δ<<时1[,](0,]x y δ⊂在上，()x f x 运用柯西中值定理，(,),x y ξ∈知存在()()f x f y x y--2()f ξξ'=2.M ≤2|()()|.f x f y Mx y -≤-11(01)δδ∃<<从而f 在1(0,]δ上一致连续.1(0,]x δ在上一致连续，又f 在1[,1] δ上一致连续，因此f 在(0,1]上一致连续.在极限的四则运算中, 往往遇到分子,分母均为无不定式极限究这类极限,这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限.比较复杂，各种结果均会发生.穷小量(无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限我们将这类极限统现在我们将用柯西中值定理来研定理6.7满足：和若函数g f 00(i)lim ()lim ();x x x x f x g x →→==00(ii)()x U x 在点的某空心邻域内两者均可导，0();g x '≠且()0()(iii)lim ,.()x x f x A A g x →'=±∞∞'可以为实数，则00()()lim lim .()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='01.0型不定式极限),(0x U x∈任取应用柯西中值定理，有000()()()()(.()()()()f x f x f x f x xg x g x g x g ξξξ'-=='-介于与之间)0()lim()x x f x g x →00,,x x x ξ→→令则于是有证00()()0,f x g x ==补充定义,f g 所以.0连续在点x 00[,]([,])x x x x 则在区间或上0()lim ()x x f g ξξ→'='0()lim .()x x f x A g x →'=='只要修正相应的邻域，的情形,,-∞→+∞→x x 结论同样成立.注，，改为中的将定理-+→→→0001x x x x x x例１π41tan lim .sin4求x xx →-解0.容易验证：这是一个型不定式000()lim ,()x x f x g x 如果仍是型不定式极限只要满足洛→''41tan lim sin4x x x π→-.2142=--=24sec lim 4cos4x x x π→-=0()lim()x x f x g x →''考察必达法则的条件,可再用该法则.存在性.例2.)1ln()21(e lim 2210x x xx ++-→求解2201ln()~,x x x →+因为当时，所以11222200e (12)e (12)lim lim ln(1)x xx x x x x x→→-+-+=+x x xx 2)21(e lim 210-→+-=2)21(e lim 230-→++=x xx .1=这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些.00型例301lim .e求+→-xx x解可直接利用洛必达型不定式极限这显然是,00法则. 00,t x x t ++=→→令当时有01lim exx x +→-01lim e t t t +→=-于是011lim .et t +→==--但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些.例410(1)e lim .xx x x→+-求解1100(1)(1)e limlim 1xxx x x x x →→'⎡⎤++-⎣⎦=120ln(1)1lim(1)x x xx xx x→-++=+12000(1)ln(1)1lim(1)lim lim 1xx x x x x x x xx →→→-++=++xx 21)1ln(1lim e 0x -+-=→.2e -=对数求求导法定理6.8.2.∞型不定式极限满足：和若函数g f 0(i)lim ()x x g x +→=∞；00(ii)()x U x +在点的某右邻域内二者均可导，0();g x '≠且()0()(iii)lim ,,.()x x f x A A g x →'=±∞∞'可以为实数则00()()lim lim .()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'=='证01,x x x x <<满足不等式的每一个(),()f x Ag x ε'-<'1(,),x x ξ∈由柯西中值定理，存在使11()()().()()()f x f x fg x g x g ξξ'-='-从而有11()()(),(1)()()()2f x f x f A Ag x g x g ξεξ'--=-<'-.为实数设A ,0>ε对于任意的),(01x U x+∈∃从而112()()()()()()()f x f x g x A g x g x g x g x ε⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭11()()()(2)()()()2f x f x f A g x g x g ξεξ'-==<+'-()2由式得,1)()()(lim 10=-→x g x g x g xx 因为所以由保号性，存在正数110()x x δ<-，001x x x δ<<+使得当时，1()0,()()g x g x g x >-→=∞0lim (),x x g x 因为所以)()()()(2)()(111x g x f x g x f A x g x g <+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-ε)3( )()(2)()(111x g x f A x g x g +⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<ε110()()lim 1()2()x x g x f x A g x g x ε→⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;2ε-=A 110()()lim 1()2()x x g x f x A g x g x ε→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;2ε+=A再由保号性得知，().()f x A A g x εε-<<++→=0()lim .()x x f x A g x 这就证明了,A =+∞-∞∞思：若，或考应该如何证明？<<<+100(),x x x δδδ存在正数当时注00x x x x x x +-→→→这里的可以用，，件要作相应的改变..x x →-∞→∞，来替换当然定理的条,x →+∞例5.ln limxxx +∞→求解.型不定式这是一个∞∞1ln lim lim 0.1x x x x x→+∞→+∞==例6.e lim 3x xx +∞→求解233e lim e lim x x x x x x +∞→+∞→=x x x 6e lim +∞→=6e lim x x +∞→=.+∞=例72sin lim .2sin x x xx x →∞+-求极限解,.如果用洛必达法则型不定式这是一个∞∞22322sin cos lim lim .()sin cos x x x x x x x x →∞→∞++=--22cos lim ,cos x xx→∞+-而极限不存在但是原极限sin sin 22sin lim lim 1.2sin 2x x xx x xx xx x →∞→∞++==--→∞→∞'∴'()()lim lim .()()x x f x f x g x g x 不存在时,不能推出不存在例8lim .arctan2xx A x→+∞=求极限解ππlim arctan ,lim arctan2,22x x x x →+∞→+∞==因为所以A = 1. →+∞arctan lim arctan2x x x 这就产生了错误的结果. 这说明: 在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是0.0∞或型若错误使用洛必达法则：→+∞+=⋅=+22114lim 2,12x x x3. 其他类型的不定式极限00010,∞⋅∞∞∞±∞不定式极限还有，，，，等类型它0.0∞∞们一般均可化为型或者型.下面我们举例加以说明解1ln ln ,xx x x =注意到则但若采用不同的转化方式:很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果.例90lim ln .x x x +→求0()⋅∞型,=x x x x x x ln 1lim ln lim 00++→→=021lim 1ln x x x +→=-220lim ln x x x +→=-00ln lim ln lim 1x x x x x x++→→=021lim 1x x x +→=-.0)(lim 0=--=+→x x解221lncos 20lncos 0(cos )e,lim .0xx x x x x x →=而是型由于20lncos lim x x x →因此2112lim(cos )e .x x x -→=例1021lim(cos ).x x x →求(1)∞型0sin 1lim ,2cos 2x x x x →-==-解πln arctan2limkxxx→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭()121limπarctan12x kx kx x →+∞--=⎛⎫-⋅+⎪⎝⎭12 11limπarctan(1)2xkkx x x→+∞-=-⎛⎫-⋅+⎪⎝⎭例1112πlim arctan().kxxx k→+∞⎛⎫->⎪⎝⎭求0()型1211(1)limarctan 2k x x x k xπ-+-→+∞+=--2112221(1)(1)(1)2lim11kk x k x x x x x k x---+-→+∞-+++=-+所以，原式=e 0=1.,0=2211lim((1)2(1))k k x k x x x k --+-→+∞=--++解201lim 2cot 1cos x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭()22320sin 2cos 2cos lim 1cos sin x x x x x x→-+=-22340sin 2cos 2cos 2lim x x x x x→-+=2306sin cos 6sin cos 2lim 4x x x x x x→-=22012cos lim 1cos sin x x x x →⎛⎫=- ⎪-⎝⎭例12201lim 2cot .1cos x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭求()∞-∞型等价无穷小代换300sin sin cos 3lim limcos x x x x x x x→→-=2220cos cos sin 3lim 3x x x x x →-+=222001cos sin lim cos lim x x x x x x x→→-=+131.22=+=30sin sin cos 3lim x x x x x→-=300sin sin cos 3lim limcos x x x x x x x →→-=例13(),0().0,0g x x x f x x ≠⎧=⎨=⎩设(0)(0)0,(0)3,(0).g g g f ''''===已知求解(0)0,g '==()0.f x x =所以在处连续x xg x f x x )(lim )(lim 00→→=因为0)0()(lim 0--=→x g x g x ()0)0()(lim 00--='→x f x f f x x x f x )(lim 0→=20)(lim xx g x →=x x g x 2)(lim 0'=→0)0()(lim 210-'-'=→x g x g x )0(21g ''=.23=证根据洛必达法则，有例14()[,)f x a +∞设在上连续可微，lim (()()).lim ().x x f x f x A f x A →+∞→+∞'+==证明x xx x x f x f e)(e lim )(lim +∞→+∞→=[])()(lim x f x f x '+=+∞→.A =复习思考题数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社例13 中的条件(0)0g =用在何处？为什么在0()lim 2x g x x→'==1(0)2g ''时不用洛必达法则？。
考研高数不定式求极限解题方法
考研高数不定式求极限解题方法不定式求极限问题的方法2018考研数学高数里要牢记的知识点1.函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3.一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4.向量代数与空间解析几何(数一)主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5.多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6.多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7.无穷级数(数一、数三)重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8.常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
初中数学不定式用法总结
初中数学不定式用法总结
不定式是数学中一个非常重要的概念，也是初中数学中常见的题型之一。
在研究和应用不定式时，我们需要掌握以下几个基本要点：
1. 不定式的定义：
不定式是表示不确定或未定量的数学符号，通常用字母或符号表示。
例如，常见的不定式有∞和n。
2. 不定式的性质：
不定式具有以下几个重要性质：
- 不定式与特定数值无关，表示没有确定的具体数值。
- 不定式可以参与基本的数学运算，例如加减乘除。
- 不定式的值可能是有限的，也可能是无限的。
3. 不定式的应用：
不定式在解决实际问题时发挥重要作用。
以下是一些常见的不定式应用场景：
- 解方程：在解方程的过程中，常常会遇到不定式，需要通过运算找到其具体的值。
- 极限求解：在计算极限的过程中，不定式经常出现，需要通过适当的变换和运算来求解。
- 集合论运算：在集合的交、并、补等运算中，不定式常常用来表示未知的集合。
4. 不定式的常见误区：
在研究和应用不定式时，需要注意以下一些常见的误区：
- 不要将不定式与无穷大混淆，虽然不定式可能表示无限大的概念，但不等同于无穷大。
- 不要将不定式用于比较大小，不定式本身没有具体的数值大小，不适合进行大小比较。
以上是初中数学不定式用法的总结。
希望这份文档能够帮助你更好地理解和应用不定式，在解决数学问题时更加得心应手。
参考资料：
- 《数学辞典》
- 《初中数学教程》。
浅谈不定式极限
Science &Technology Vision科技视界100型不定式极限定义1.1若极限lim α(x )β(x )满足条件:limα(x )=limβ(x )=0.则称该极限为00型不定式极限。
对于这种类型的未定式是非常重要的一种极限,求该类型的极限,通常用到洛必达法则。
定理1.1(洛必达法则)若函数α(x )与β(x )满足条件:lim x→a α(x )=lim x→a β(x )=0;(2)在点a 的某去心领域内α(x )与β(x )可导,且β'(x )≠0;(3)lim x→a α'(x )β'(x )存在(或为∞)则lim x→a α(x )β(x )=lim x→a α'(x )β'(x ).注:(1)极限过程改为x →a +,x →a -,x →∞,x →-∞,x →+∞有类似的结论。
(2)若lim x→a α'(x )β'(x )仍然满足洛必达法则的条件,则可连续运用该法则,即:lim x→a α'(x )β'(x )=lim x →a α'(x )β'(x ).(3)若lim x →a α'(x )β'(x )不存在(不含∞),不能断言lim x →a α(x )β(x )不存在。
在实际计算中,常常把该法则与等价变形、重要极限及等价无穷小代换等其他求极限的重要方法一起使用。
例1求lim x →2x 4-16x -12(00型)分析:通过简单计算不难发现这是一个00型的未定式极限,且在2这个点的某个领域内x 4-16、x -12两个函数都可导,x -12=1≠0,lim x →24x 31=32,故该极限可以运用洛必达法则。
解:lim x →2x 4-16x -12=lim x →24x 31=32.例2lim x →0x 2cos 1x ln(1+x )解:若用洛必达法则,分子分母分别求导得lim x →02x cos 1x +sin 1x 11+x,该极限为振荡不存在,故洛必达法则失效。
微积分不定式
微积分不定式
微积分中的不定式，是微积分学中的一个重要概念，也是许多初学者容易感到困惑的地方。
不定式，顾名思义，就是形式不定的意思，它表示的是某种变化趋势的不确定性。
在微积分中，不定式常常出现在极限的计算中，尤其是当分子和分母的极限都不存在或者都为0时。
不定式有多种类型，如0/0型，∞/∞型，0×∞型，∞-∞型，1^∞型，0^0型和∞^0型等。
这些类型的不定式都不能直接通过极限的四则运算法则来求解，而需要借助一些特殊的技巧和方法，如洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒公式等。
以0/0型不定式为例，这是最常见的一种不定式。
当我们在求解某个函数的极限时，如果发现分子和分母的极限都为0，那么就不能直接得出极限的结果，而需要将其转化为其他形式。
这时，我们可以尝试使用洛必达法则，即对分子和分母同时求导，然后再求极限。
如果求导后的极限存在，那么原极限就等于这个求导后的极限。
不定式的存在，使得微积分的计算变得更加复杂和多变。
但是，正是这些复杂和多变的问题，激发了数学家们的探索欲望，推动了微积分学的不断发展。
通过学习和掌握不定式的求解方法，我们可以更深入地理解微积分的本质，更好地应用微积分解决实际问题。
总的来说，不定式是微积分中的一个重要概念，它反映了变化趋势的不确定性。
掌握不定式的求解方法，对于深入理解微积分学具有重要意义。
不定式数学
不定式数学不定式数学是一门重要的数学分类，它与现代分析几乎相互依存，因而得到了广泛的重视。
不定式数学的出现改变了许多数学研究的方法，在影响现代数学和科学研究中发挥着重要作用。
不定式数学的理论及其应用衍生了许多分支，包括基本不定式理论、变量不定式理论、控制系统不定式理论、拓扑不定式理论、解析不定式理论等等。
基本不定式理论是不定式数学的基础，它的目的是解决定积分、积分外的几何、简单泛函方程组等问题，采用现代高精度数值分析方法，研究不定式积分的非线性条件，从而获得解决问题的数学模型和结果。
变量不定式理论是不定式数学的重要部分，它解决的问题主要是求解线性泛函方程组和非线性泛函方程组，以及其伴随的初值问题和边值问题。
它主要是通过采用不定式和变量重构的方法，将复杂的不定式方程组转换为更简单的极大似然估计不定式，从而获得模型的精确解决方案。
控制系统不定式理论是一门重要的不定式研究，其目的是研究不定式控制系统的动力学，以及通过设计恰当的不定式控制策略，解决各种现实中的相关问题。
控制系统不定式理论的研究主要是利用不定式动力学的分析方法来提出控制策略，从而实现系统的最优控制，解决工程中的实际应用问题。
拓扑不定式理论是不定式数学中的一个主要分支，它主要是指利用不定式研究和计算对有穷集被拓扑结构组织的拓扑数据结构的分析，以及由此分析推出的结果，以解决一些拓扑结构的问题。
典型的拓扑不定式问题包括网络划分问题、连通性问题、社交网络分析问题等等。
解析不定式理论是不定式数学中开发最快的一个分支，它主要是指利用不定式研究和计算，研究函数的不定式表示，分析函数的性质，以及这些函数的应用，以求解相关问题。
典型的解析不定式应用可以包括复杂常微分方程的解决，复杂函数的极值研究，特殊向量场的研究以及数值计算及模拟等等。
不定式数学的研究不仅影响到传统的数学理论和应用，而且还影响到许多科学研究领域，如物理、天文、地质学、化学等等。
此外，不定式数学还可以用于社会科学领域，如社会研究、经济学、心理学等等。
不定式数学
不定式数学不定式数学被称为“无限数学”，因为它涉及的研究范围不受限制，它的研究主要是无穷流程中的不确定性，对于一些现实问题提供了解决办法。
它能够应用于多种学科领域，从而发展出自己特有的理论和方法。
不定式数学与其他几何或代数学习不一样，因为它研究的是无穷流程，它就像一条河，河里的水会不断的流入，因此，它的变化是无穷的，它不受时间的限制。
不定式数学可以被视为经典数学的一种拓展，它被用来处理不断发展的问题，不仅要求学生掌握常见的经典数学概念，还要求他们掌握不定式数学概念。
它不仅与经典数学有着一定的联系，而且它还将经典数学发展到了一个新的境界，解决了一些过去没有解决的问题。
不定式数学作为一门研究无限性质的学科，无论在理论还是应用方面都有着广泛的应用。
十九世纪末，德国数学家哈泽尔（Hazewell）发明了不定式数学，此后不定式数学持续发展，又被称为“哈泽尔数学”或“统计数学”。
在现代应用方面，不定式数学主要应用于信息技术，运筹学，量子计算，统计学和模型学等领域。
在信息技术方面，不定式数学可以用于解决数据结构、算法和复杂性等问题，这些都是计算机科学和信息技术研究中重要的课题。
在运筹学方面，不定式数学可以用于解决最优化问题，比如沿曲线拟合、泊松因子分析和参数估计等。
在量子计算方面，不定式数学可以用于解决量子计算技术的一些相关问题，比如量子密码学、量子编码、量子非线性系统和量子编程等。
在统计学方面，不定式数学可以用于解决概率统计、概率模型和抽样理论等问题。
在模型学方面，不定式数学可以用于建模和验证，比如模拟和仿真等。
近年来，不定式数学也被广泛应用于生物信息学，即利用不定式数学对生物物种的行为和特性进行建模和预测，从而为社会和科学研究提供有效的参考和指导。
第六讲 柯西中值定理
x− y
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§2 柯西中值定理和不定式极限
柯西中值定理
不定式极限
于是得
| f ( x) − f ( y) |≤ 2M x − y .
x在[0,δ1]上一致连续，从而 f 在 (0,δ1]上一致连续. 又 f 在 [δ1,1]上一致连续，因此 f 在 (0,1]上一致连续.
端点弦 AB 的斜率:
kAB
=
f (b) − f (a) . g(b) − g(a)
•
A(g(a) , f (a))
O
u
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§2 柯西中值定理和不定式极限
柯西中值定理
不定式极限
证 作辅助函数 F ( x) = f ( x) − f (a) − f (b) − f (a) ( g( x) − g(a)). g(b) − g(a)
(iv) g(a) ≠ g(b) .
则在开区间 (a , b)内必定 (至少) 存在一点 ξ , 使得 f ′(ξ ) = f (b) − f (a) . g′(ξ ) g(b) − g(a)
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§2 柯西中值定理和不定式极限
柯西中值定理
不定式极限
几何意义
首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程 u = g(x), v = f (x).
它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理
的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数 ) ξ 的导数
dv
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学中的不定式指的是含有未知数（通常用x表示）的数学表达式，其值在整个定义域范围内均可变化。
不定式通常形式为f(x)，其中f(x)是一个关于x的函数，而函数则可以是多项式、分式、指数函数、对数函数等。
求解不定式的方法取决于具体的函数类型和题目要求。
一般来说，可以使用代数方法、图像法、极值法等求解。
以下是一些常见的不定式及其解法：
1. 一次不等式：ax + b > 0（a≠0），其中a、b均为实数，x为自变量。
解法是将不等式移项，得到x > -b/a，即x的取值范围是所有大于-b/a的实数。
2. 二次不等式：ax^2 + bx + c > 0（a≠0），其中a、b、c 均为实数，x为自变量。
解法可以使用配方法、公式法或图像法，其中最常用的方法是配方法，即通过将不等式两边同乘以a，将二次项化为平方后，再通过完全平方式将不等式化为(x + m)^2 > n的形式，其中m、n为实数，然后根据n 的符号和(m, +∞)的交集、(−∞, m)的交集确定x的取值范围。
3. 绝对值不等式：|f(x)| < a，其中a为正实数，f(x)是
一个含有绝对值符号的函数。
解法可以根据f(x)的形式分情况讨论，例如如果f(x)是一个一次函数，则可以通过判断其在x轴上与y=0的交点位置来确定x的取值范围。
4. 分式不等式：f(x)/g(x) > 0，其中f(x)和g(x)均为含有未知数的多项式函数。
解法可以将分母的根作为分界点，在每个区间内讨论f(x)/g(x)的正负性，从而确定x的取值范围。
这些是不定式的一些基本类型和求解方法，当然还有更复杂的不定式类型和解法，需要具体问题具体分析。