(完整word版)一维势垒问题总结

一维势垒中的透射系数

利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数，主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结,推出了对于任意势垒中透射系数, 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系。

一维方势垒

势垒模型

在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方.在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程, 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中,波函数的形式应该

怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。

在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E 大于势垒高度0u 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于0u 的粒子也会有部分穿过势垒,这在经典力学中是不会发生的。

下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射,重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于)(x U 是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程.

定态薛定谔方程通式：

ψψψE U m

=+∇-2

22h 在量子力学里， 必须知道波函数ψ， 因此必须要解薛定谔方程

t

i U x

m ∂∂=+∂∂-ψ

ψψh h 2

222 一维散射问题是一个非束缚态问题（()U x 与时间无关， 而E 是正的)。因此令

t E

i e

x t x h

-=)(),(ψψ

由此得到

ψψψ

E U dx

d m =+-2

222h 按照势能()U x 的形式， 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式

022

2=+ψψ

k dx

d

⎩⎨

⎧><<<=.

,0,0;

0,)(0a x x a x u x U 先讨论0u E >的情形

粒子满足薛定谔方程分解为三个区域：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧>=-<<=+-<=-a x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(2332

2

222022

2

2112

2

2ψψψψψψψh h h （1） ⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎧>=+<<=-+<=+a x x m E

x dx

d a x x u E x dx d x x m E

x dx

d ,0)(2)(0,0)()()(0,0)(2)(32

32220222

12

122ψψψψψψh h

注: 0=+''qy y 的通解：特征方程02=+q r ,当0

q x

q e

C e C y ---+=21，

当0>q 时，通解x

q i

q i

e C e C y -+=

方程(1）的解可以表示为：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>+=<<+=<+=-----a x de te x a x ce be x x re ae x x mE

i

x mE i x u E m i x u E m i x mE i x mE i ,)(0,)(0,)(223)

(2)(2222100h h h

h h

h ψψψ （2）

定态波函数321,,ψψψ再分别乘上一个含时间的因子Et i e

h

-，可以看到式子（2）的三式，第一项是

左向右传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波，即入射波和反射波。在a x >区域内，只有入射波，无反射波,故0=d 。利用波函数及其一阶导数在a x x ==,0连续的边界条件，可得如下:这里的h

h )(2,2021

u E m k mE k

-==

； 由 ()()()()⎪⎩⎪⎨

⎧======020

10

201x x x x dx x d dx x d x x ψψψψ

得 ⎩⎨

⎧-=-+=+c k b k r k a k c

b r a 2211

（3）

由 ()()()()⎪⎩⎪

⎨⎧=

=====a x a

x a x a x dx x d dx x d x x 3232ψψψψ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--a

ik a ik a ik a

ik a ik a ik e tk e

ck e bk te ce be 1221

22122 (4） 可以写成： ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b k k k k r a 1212111111 (5） a ik a ik a

ik a ik a

ik te k k c b e e e e 12222211⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--- (6） 由式（5）和式(6)得:

a ik a ik a ik a ik a ik te

e k k k k e k k k k e k k k k e

k k k k r a 1222221122112211221121111111141⎪

⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （7） 化解得： a

ik te a k k k k k i a k k k k k i a k r a 122112221122sin )(2sin (2cos ⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 注：概率流密度的定义()

ψψψψ∇-∇=

**2m

i J h

； 此处入射波x ik ae 1

，透射波x ik te 1

，反射波x ik re 1

-，分别代入概率流密度

()()

[21111**dx

e a d e a dx e a d ae m i J x ik x ik x

ik x ik a ---=h ; 化简得：2a m i J a h =

，同理2t m i J t h =，2

r m

i J r h =； 注：透射概率流密度与入射概率流密度之比称为透射系数，即a x >区域粒子在单位时间内流过垂直与x 方向的单位面积的数目,与入射粒子在0

从得出反射系数22

a

r J J

R a r ==。

a

k k k

k k a k a k k k k k R 2222

1122222

22

112sin )(41cos sin )(41++-=

化简的 ()()2

1222

22

21

22

2

22

2

1

4sin

sin

k k a k k k a

k k k

R +--= (8） 同理透射系数T ， ()2

122

2

22

2

1

22

2

14sin

4k k a k k k

k k T +-=

（9）

由上式R 和T 之和等于1,证实了入射粒子一部分透射到x 〉a 区域，另一部分被势垒反射。