2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题4：幂与指数常考题专练(解析版)
沪教版(第4章_幂函数、指数函数和对数函数(下)_本章复习题(有答案)
沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）本章复习题一、单选题1. 将指数式转化为对数式，其中正确的是()A. B. C. D.2. 方程的解集为A，方程的解集为B，那么()A. B. C. D.3. 已知，，和的图像只可能是()A. B.C. D.4. 如果函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么的解析式是().A. B. C. D.5. 函数（且）的反函数所过定点的坐标为()A. B. C. D.6. 方程的解是()A. B.100 C.10 D.10或100二、填空题________．函数的定义域为________.函数的单调递减区间是________ ．函数的反函数是________.函数的值域是________．若和分别是方程的两个根，则的值为________. 设，则________.函数在的最大值为，那么________.已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.三、解答题解不等式：.已知，求证：.解方程。
求实数a满足什么条件时，关于x的方程有解.讨论a取不同值时，关于x的方程的解的个数.已知，其中且.（1）求函数的解析式；（2）解关于x的方程.已知.（1）如果，求x，y的值；（2）当x，y为何值时，取得最小值，最小值是多少？已知函数.（1）当时，在上都有意义，求实数k的取值范围；（2）当时，的反函数就是它自身，求实数k的值；（3）在（2）的条件下，解关于x的方程.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）本章复习题一、单选题1.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化【解析】直接利用对数指数的定义得到答案【解答】a x(a x)5=N，则b=loga Na3x=(a b)′=N，则c=logaN故选：C．2.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】解对数方程得到A={2}，解指数方程得到B={1，求并集得到答案【解答】lg(x2−2)=lg x，则x2−2=x，解得x=2或x=−1（舍去），故A={2}4x+2x−1−5=0，即(22)2+12⋅2x−5=0，解得2x=2或2x=−52（舍去），即x=1B={1}，故A∪B={1,2}故选：B．3.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用【解析】由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像．【解答】函数y=loga(−x)的定义域为(−∞,0)，据此可排除选项A.C函数y=a x与y=loga(−x)的单调性相反，据此可排除选项D，故选B．4.B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】y=2x−1，则log2y=x−1x=log2y+1，计算反函数得到答案【解答】函数y=f(x)的图像与函数y=2−1的图像关于直线y=x对称，即f(x)为y=2−1的反函数，y=2−1，则log2y=x−1x=log2y+1故f(x)=log2x+1故选：B．5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域由三视图求体积函数的概念及其构成要素【解析】f(x)=a1−1过定点(−1,1)，再根据反函数性质得到答案【解答】f(x)=a x−1过定点(−1.1)，故反函数y=f−1(x)所过定点的坐标为(1,−1)故选：B．6.【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】在x2=x3100两端同时取对数，得到(lg x)2−3lg x+2=0，解方程即可得到答案【解答】因为x=x 3100，所以.(gx)2=lg x3100=3lg x−2，即(lg x−1)(lg x−2)=0所以lg x=1或lg x=2，解得x=10或x=100故选：D二、填空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。
2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题5：对数常考题专练(原卷版)
【期末宝典】专题5：对数常考题专练（原卷版）一、单选题1．（2021·上海·复旦附中高一期末）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg 20.3010≈）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 2．（2021·上海徐汇·高一期末）人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级()d x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足13()9lg 110x d x -=⨯ ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB ，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ）A ．36dB B ．63 dBC ．72 dBD ．81 dB 3．（2020·上海·高一单元测试）设lg 6a =，lg 20b =，则2log 3=A ．11a b b +-+B ．11a b b +--C ．11a b b -++D ．11a b b -+- 4．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m>0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( )A ．160B ．60C ．2003D ．3200 5．（2020·上海市控江中学高一期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110- 6．（2020·上海·高一单元测试）已知2480,0,log log log (43)m n k m n m n >>===+，则k =（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．12 7．（2020·上海市市西中学高一期中）若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则试卷第2页，共5页A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =8．（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a b m 的值为（ ）ABC．D．9．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）已知m >0，设函数f (x )=m 的图像与函数g (x )=|log 2x |的图像从左至右相交于点A ．B ，函数h (x )=821m +的图像与函数g (x )=|log 2x |的图像从左至右相交于点C ．D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a.b ，当m 变化时，b a的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．10．（2020·上海·高一专题练习）设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+D ．212c a b =+二、填空题11．（2021·上海市建平中学高一期末）如图所示，已知函数2()log 4f x x =图象上的两点A 、B 和函数2()log g x x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时，设点B 的坐标为(,)p q ，则2qp的值为________．12．（2021·上海市川沙中学高一期末）已知0a >且1a ≠，若log 2a m =，log 3a n =，则m n a +=_______________.13．（2021·上海市建平中学高一期末）已知31log 5a=，57=b ，则用a 、b 的代数式表示63log 105=________． 14．（2021·上海闵行·高一期末）已知()()log 0,1a f x x a a =>≠，若函数()y f x =的图象经过点()4,2，则(f =________.15．（2021·上海·位育中学高一期末）设0a >且1a ≠，0b >，若5log log 3a b a ⋅=，则b =________16．（2021·上海·格致中学高一期末）已知6log 2a =，用a 表示4log 12=_____. 17．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知x b a =，y c a =，bc a =，其中a ，b ，,()1c ∈+∞，则11x y+=___________. 18．（2021·上海市进才中学高一期末）若lg 2a =，lg3b =，则5log 24=________.19．（2020·上海师大附中高一期末）设22a b m ==，且112a b+=，则m =_________. 20．（2021·上海市行知中学高一期末）设平行于x 轴的直线l 分别与函数2x y =和12x y +=的图像相交于点A ，B ，若在函数2x y =的图像上存在点C ，使得ABC 为等边三角形，则C 点的纵坐标为_________.三、解答题21．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）3－2＝19； （2）-31=1255⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）13log 27＝－3； （4）＝－6(x >0，且x ≠1)．22．（1（2）计算1111200.253473(0.0081)3()81(3)88-----⎡⎤⎡⎤-⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （3）log 86x =，则x 的值为多少？23．（2021·上海·高一课时练习）设30x y >>，且满足3332log (3)log (3)log x y x y y -=++，试卷第4页，共5页 求x y的值． 24．（2021·上海·高一课时练习）一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，现在这种物质1克，试写出其剩留质量随时间变化的函数关系式；你能算出大约经过多少年，剩留的质量是原质量的一半吗？（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈，lg 70.85≈）25．计算下列各式的值：（1）12lg 3249−43（2）lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg 2)2. 26．计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.（2）57log 43log lg 25-5+lg 4； （3）5log 3333322log 2-log +log 8-25.927．已知函数2()log (41)x f x ax =+-.（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；（2）若4a =，求函数()f x 的零点．28．（2021·上海·高一期末）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立．（1）函数1()f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数2()lg,1a f x M x =∈+求a 的取值范围； （3）设函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a ，证明：函数2()2x f x x M =+∈，并求出对应的0x （结果用a 表示出来）．29．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）（1）设α，β是方程2lg lg 30x x --=的两根，求log log αββα+的值．（2）已知23a b c ==，且111a b+=-，求c 的值． 30．（2020·上海交大附中高一期末）已知函数()(log a f x x =，()1,x ∈+∞，0a >且1a ≠.（1）若a 为整数，且2222a a f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，试确定一个满足条件的a 的值；（2）设()y f x =的反函数为()1y fx -=，若()()1*442n n f n n N --+<∈，试确定a 的取值范围； （3）若2a =，此时()y f x =的反函数为()1y f x -=，令()()()11221f x k g x f x --+=+，若对一切实数1x ，2x ，3x ，不等式()()()123g x g x g x +>恒成立，试确定实数k 的取值范围.试卷第6页，共1页。
上海市2021-2022高一数学下学期期末考试复习卷(含解析)
【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的相关内容，属于中档题.
16.有穷数列(shùliè) 中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个(yīɡè)数， ，且 ，则有穷数列(shùliè) 中值为0的项数是（）
A.1000B.1010C.1015D.1030
（1）求 值：
（2）将函数 的图像向右平移 单位后，得到函数 的图像，求函数 在 上的最值，并求取得最值时的 的值.
【答案】（1）1；（2） 此时 ， 此时
【解析】
【分析】
（1）由条件利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（0）＝0求出 的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（ ）的值．
故选：B．
【点睛】本题考查了乘法公式化简求值、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17.已知等比数列 满足 ， ，等差数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
【答案(dá àn)】
【解析(jiě xī)】
分析(fēnxī)】
由等比数列(děnɡ bǐ shù liè)易得公比q和a2，进而(jìn ér)可得等差数列的首项和公差，代入求和公式计算可得．
3.在等比数列 中， ， 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由等比中项，结合(jiéhé) 得 ，化简 即可.
【详解(xiánɡ jiě)】由等比中项得 ，得 ，设等比数列(děnɡ bǐ shù liè) 的公比(ɡōnɡ bǐ)为 ，
化简 .
故答案(dá àn)为：4
【点睛】本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题.
沪教版(上海)高中数学高一下册第4章幂函数、指数函数和对数函数(下)复习课件
2.指数函数、对数函数
(1)要熟记这二个函数在不同条件下的图象，并能熟练地
由图象“读”出该函数的主要性质；
(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成
轴对称图形。由图可“读”出指数函数和对数函数的主
要性质：
指数函数
对数函数
(1)定义域：R
(1)定义域：R＋
(2)值域：R＋
(2)值域：R
1
3 2
1
3
1
3
1
3 2
2b ＋2a b ＋a
1
3
1
a a－8b 13
3
3
3
＝
×a ×a b ＝a b.
a－8b
1
×
a
1
3
1
3
a －2b
1
3
1
3
×a b
1
3
32
(2)计算：2log32－log3 9 ＋log38－25log53.
32
解 原式＝log34－log3 ＋log38－52log53
C.log23＜log32＜log25
D.log23＜log25＜log32
解析 由于log31＜log32＜log33，
log22＜log23＜log25，
即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，
所以log32＜log23＜log25.故选A.
1
(2)已知 0＜a＜1，x＝loga 2＋loga 3，y＝ loga5，z＝loga 21
2
－loga 3，则( C )
A.x＞y＞z
B.z＞y＞x
C.y＞x＞z
D.z＞x＞y
解析 依题意，得 x＝loga 6，y＝loga 5，z＝loga 7.
沪教版(上海) 高一第二学期 新高考辅导与训练 第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下) 本章复习题
沪教版(上海) 高一第二学期新高考辅导与训练第4章幂函数、指数函数和对数函数（下）本章复习题一、单选题(★★) 1. 将指数式转化为对数式，其中正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 2. 方程的解集为A，方程的解集为B，那么（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知，，和的图像只可能是（）A．B．C．D．(★★) 4. 如果函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么的解析式是（）.A．B．C．D．(★★) 5. 函数（且）的反函数所过定点的坐标为（）A．B．C．D．(★★) 6. 方程的解是（）A．B．100C．10D．10或100二、填空题(★★★) 7. _________ .(★) 8. 函数的定义域为_________.(★★★) 9. 函数的单调递减区间是 _____ ．(★★★) 10. 函数的反函数是 ___________ .(★★★) 11. 函数的值域是__．(★) 12. 若和分别是方程的两个根，则的值为_________.(★★★) 13. 设，则________.(★★★) 14. 函数在的最大值为，那么________.(★★) 15. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是___________________.三、解答题(★★) 16. 解不等式：.(★★) 17. 已知，求证：.(★★★) 18. 解方程：.(★★★) 19. 求实数 a满足什么条件时，关于 x的方程有解. (★★★) 20. 讨论 a取不同值时，关于 x的方程的解的个数.(★★★) 21. 已知，其中且.（1）求函数的解析式；（2）解关于 x的方程.(★★★) 22. 已知.（1）如果，求 x， y的值；（2）当 x， y为何值时，取得最小值，最小值是多少？(★★★) 23. 已知函数.（1）当时，在上都有意义，求实数 k的取值范围；（2）当时，的反函数就是它自身，求实数 k的值；（3）在（2）的条件下，解关于 x的方程.。
上海市2021-2022学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
一、填空题
1.方程 的解为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
计算出 的值，再转化在 对应的余弦值，结合周期性质，即可解决。
【详解】因为方程 ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数的周期性。常用三角函数值需记忆。
【答案】①③④
【解析】
分析：根据题中所给的条件，将数列的项逐个写出，可以求得 ，将数列的各项求出，可以发现其为等差数列，故不是等比数列，利用求和公式求得结果，结合条件，去挖掘条件，最后得到正确的结果.
详解：对于①，前24项构成的数列是 ，所以 ，故①正确；
对于②，数列 是 ，可知其为等差数列，不是等比数列，故②不正确；
详解：当 时，左边 ，
当 时，左边 ，
观察可知，增加的项数是 ，故答案是 .
点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.
7.若 在区间 （ 且 ）上至少含有30个零点，则 的最小值为_____．
【答案】
【解析】
10.对于正项数列 ，定义 为 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为 ，则数列 的通项公式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 的定义把 带入 即可。
【详解】∵
∴
∵
∴ ①
∴ ②
①-②得
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。
2.设 为等差数列，若 ，则 _____．
2021年上海新高一数学--第四章幂函数、指数函数与对数函数【过关测试】（学生版）
2021年上海新高一数学--第四章幂函数、指数函数与对数函数【过关测试】（学生版）第四章幂函数、指数函数与对数函数【过关测试】一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若幂函数()y f x =的图像经过点1(,2)8，则1()8f -的值为_________. 2．已知幂函数()()257m f x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______． 3．幂函数()y f x =的图像经过点142?，，则1()16f 的值为__________. 4．幂函数()a f x x =的图像经过点12,2?? ???，则()3f =______. 5．函数13x y a -=+恒过定点______.6．已知log 21a ＜(其中0a ＞且1a ≠),则a 的取值范围是________.7．已知112112322α?∈---，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．8．设11,,1,2,332α??∈--，若()f x x α=为偶函数，则α=______． 9．若0,m n k Q <<∈且k 0<，则1k m ?? ???与1k n ?? ???的大小关系是_________． 10．设m R ∈，若()()43 11f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是__________.11．已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为________（结果用数值表示）12．幂函数21(237)35()(1)()m m f x m m x m -++=-+∈Z 是偶函数，则m =________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（）A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数14．已知实数x ，y 满足()01x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++ B ．22()ln 1l 1)n(x y +>+ C ．sin sin x y > D ．33x y >15．已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( )A ．1,0a b ≥≥B ．0,1a b >≥C ． 2log 0b a +≥D ．20b a +≥16．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．（1）2y x ；（2）53y x -=；（3）13y x =；（4）32y x =．18．已知函数22()log (23)f x x x =-++（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()f x 的最值，并求此时x 的值.19．已知函数a y x =、b y x =、c y x =在第一象限的函数图象如图，试比较a b c ，，的大小；20．已知函数1()(0x f x a a -=>且1)a ≠（1）若函数()y f x =的图象经过P （3，4）点，求a 的值；（2）若(lg )100f a =，求a 的值21．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，且点A 又在函数())f x x a =+的图像上.（1）求实数a 的值；（2）解不等式()f x a <；（3）(2)22g x b +-=有两个不等实根时，求b 的取值范围.。
2021-22学年上海高一下沪教新版期末重难点复习专题6：幂函数常考题专练(原卷版)
【期末宝典】专题6：幂函数常考题专练（原卷版）一、单选题1．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．1133<a b2．（2021·上海市延安中学高一期末）在下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0-∞上是严格增函数的是（ ） A ．45y x -=B ．35y x -=C ．53y x =D ．45y x =3．（2021·上海闵行·高一期末）下列函数中，值域为(0,)+∞的是（ ） A ．2yxB ．2x y =C ．ln y x =D ．1y x x=+4．（2021·上海徐汇·高一期末）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ．III, VII5．（2020·上海·华师大二附中高一期末）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数6．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭.若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3试卷第2页，共4页7．已知实数a ，b ，c 满足136a =，756log 8log 49b =+，72425b b c +=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >>D ．c a b >>8．（2020·上海·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ） A ．当m =0时，函数m y x =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C ．幂函数m y x =图象不可能在第四象限内D ．若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数9．（2020·上海市洋泾中学高一期末）现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ） ①幂函数()k y x k Q =∈的图象与函数1y x=的图象至少有两个交点；①函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3x y =的图象经过平移得到；①函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ①函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2021·上海市进才中学高一期末）已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是 A ．1,3- B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332二、填空题11．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知幂函数()f x的图象过点⎛ ⎝⎭，则()3f =______.12．（2020·上海嘉定·高一期末）已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(,0)-∞上单调递增，则α=________．13．（2021·上海市控江中学高一期末）已知幂函数235()(1)m m f x m x --=-的图像不经过原点，则实数m =_________.14．（2021·上海·复旦附中高一期末）不等式()()2233131x x ->+的解集为____. 15．（2021·上海市川沙中学高一期末）幂函数12y x =的定义域为________________. 16．（2021·上海·格致中学高一期末）已知124{2,1,,,,2},333a ∈--当x ①(-1，0)①(0，1)时，不等式||a x x >恒成立，则满足条件的a 形成的集合为_____. 17．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）已知幂函数()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________．18．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）幂函数()f x 的图象过点(，则函数()()()31,0g x af x a R a =-+∈≠的图象经过定点__________．19．（2020·上海·复旦附中高一期末）幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．20．（2021·上海市第二中学高一期末）设12{21 2}33k ∈--，，，，，若(1 0)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则k 取值的集合是___________.三、解答题21．已知函数253()(1)m f x m m x --=--，当m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是(0,)+∞上的增函数； （3）是正比例函数； （4）是反比例函数； （5）是二次函数.22．（2020·上海·华东师范大学第三附属中学高一期中）若幂函数()243251m m y m m x ++=+-的定义域为R ． （1）求实数m 的值；（2）作出此幂函数的大致图象．23．（2021·上海·位育中学高一期末）设m 为实数，22()(1)m f x m m x -=--，已知幂函数()y f x =在区间(0,)+∞上是严格增函数，试求满足13()f x x >的x 的取值范围．24．（2020·上海·高一课时练习）已知幂函数(1)n ypy x-⋅=（其中*,,n p q N ∈，且p ，q 互素）试卷第4页，共4页试研究当n ，p ，q 分别取奇数和偶数时的图像特征． 25．若()()2233132--+>-a a ，求实数a 的取值范围.26．（2020·上海·高一专题练习）若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 27．（2020·上海·高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式. 28．比例下列各组数的大小.（1）788--和781()9-；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）2253(4.1)(3.8)-，和35( 1.9)-.29．（2021·上海·高一期末）已知函数13()f x x =，函数2133()23g x a x x =⋅-⋅-， （1）将()f x 的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）；（2）如果()g x 在区间[1,5]上严格单调递减，求实数a 的取值范围. 30．（2021·上海市第二中学高一期末）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数. （1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.。
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知直线l 、m 与平面α，其中m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】举出反例得到充分性不成立，由线面垂直的定义得到必要性成立. 【详解】如图1，满足l m ⊥，但,l α不垂直，充分性不成立，当l α⊥时，因为m α⊂，由线面垂直的定义可知：l m ⊥，必要性成立， 故“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件. 故选：B2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱BC 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积（ ）A ．与,x y 都有关B ．与x 有关，与y 无关C ．与y 有关，与x 无关D ．与,x y 都无关【答案】B【分析】作出辅助线，求出()14AOESa a x =-，点F 到平面ABCD 的距离为定值a ，故四面体O AEF -体积为()214V a a x =-，得到体积与x 有关，与y 无关. 【详解】连接AC ，BD 相交于点O ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ， 设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，则22AO BO a ==， 因为平面1111D C B A //平面ABCD ，11A C ⊂平面1111D C B A ， 所以11//A C 平面ABCD ，因为动点F 在线段11A C 上，所以点F 到平面ABCD 的距离为定值a ， 因为BE x =，故CE a x =-，由相似知识可知：GE CEBO BC=，即22GE a xa a -=， 所以()22GE a x =-， ()()1122122224AOESAO EG a a x a a x =⋅=⨯⨯-=-， 故四面体O AEF -的体积为()211312AOE V S a a a x =⋅=-，故体积与x 有关，与y 无关.故选：B3．已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若tan tan 1tan tan 3C C A B +=，则222a b c +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】C 【分析】先化为11tan tan 31tan A B C+=，将切化弦，结合正弦定理得到c cos c s 3o os A B a b c C +=，再利用余弦定理求出2227a b c +=，得到答案. 【详解】因为tan tan 1tan tan 3C C A B +=，所以11tan tan 31tan A B C +=即cos cos sin sin 3sin cos A B A B CC+=， 由正弦定理得：c cos c s 3o os A B a b cC+=， 由余弦定理得：222222222226b c a a c b a b c abc abc abc+-+-+-+=，整理得：2227a b c +=， 所以2227a b c +=故选：C4．如图，一张4A 纸的长122PP a =，宽1422P P a =，,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体，下列关于该多面体的命题：①该多面体是三棱锥；②平面⊥BAD 平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ；④该多面体外接球的表面积为24πa ； 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】将该多面体放入长方体中，利用题干条件求出长方体的长、宽、高，从而得到该多面体是三棱锥，①正确；求出各边长，求出222AP CP AC +=，得到AP ⊥CP ，再由AP ⊥BD 即可证明线面垂直，从而得到面面垂直，②正确；同理可证明出平面BAC ⊥平面ACD ，③正确；长方体的外接球即为该几何体的外接球，求出长方体的体对角线，从而求出外接球半径和表面积. 【详解】将该多面体放入长方体中，如图，设长、宽、高分别为,,x y z ， 则222222222433x y a x z a y z a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：22x a y a z a ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，满足题意，从而该多面体是三棱锥，①正确；由勾股定理得：2232AP CP a a a ==-，而AC 2a =，所以222AP CP AC +=， 由勾股定理逆定理得AP ⊥CP ，因为3AB AD a ==，P 为BD 中点，所以AP ⊥BD ， 因为BD CP P =，,BD CP ⊂平面BCD ，所以AP ⊥平面BCD ， 因为AP ⊂平面BAD ，所以平面⊥BAD 平面BCD ，②正确；取AC 的中点H ，连接HB ，HD ，因为3AB BC DA DC a ====，故BH ⊥AC ，DH ⊥AC ， 且2232BH DH a a a =-=，又2BD a =，故222BH DH BD +=，所以BH ⊥DH ， 因为,DH AC ⊂平面ACD ，且DH AC H ⋂=，所以BH ⊥平面ACD ，又因为BH ⊂平面BAC ，所以平面BAC ⊥平面ACD ，③正确； 从图形可知，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，2225x y z a ++5a， 故该多面体外接球的表面积为2245π5πa a =⎝⎭，④错误. 故选：D【点睛】在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解.二、填空题5．已知复数z 满足i 1z =-(i 是虚数单位)，则复数z =______．【答案】i【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得. 【详解】解：因为i 1z =-，所以211ii i iz --⨯===. 故答案为：i6．已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面α的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l α，则实数x =_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】因为//l α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直， 即(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=，解得：10x =. 故答案为：107．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______． 【答案】8π【分析】圆柱的侧面展开为矩形，求出矩形的长和宽，得到侧面积.【详解】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π24π⨯=，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为24π8π⨯=. 故答案为：8π8．已知向量(2,1),(1,1)a b ==-，且a 与a b λ+的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_____． 【答案】(),5-∞-【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数λ的取值范围.【详解】()()()2,11,12,1a b λλλλ+=+-=+-， 因为a 与a b λ+的夹角为钝角，所以所以()()()2,12,142150a a b λλλλλλ⋅+=⋅+-=++-=+<，解得：5λ<-， 且a 与a b λ+不反向共线，即()()2120λλ--+≠，解得：0λ≠， 综上：5λ<-，故答案为：(),5-∞-.9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则直线1BB 与平面11ACC A 的距离是__． 【答案】2【分析】先证明出1//B B 平面11ACC A ，得到B 到平面11ACC A 的距离即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离，作出辅助线，证明出BD ⊥平面11ACC A ，BO 即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离，求出2BO =即为答案.【详解】因为11//B B A A ，1A A ⊂平面11ACC A ，1B B ⊄平面11ACC A ， 所以1//B B 平面11ACC A ，故点B 到平面11ACC A 的距离即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离， 连接BD 交AC 于点O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， 又因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A A ⊥BD ， 因为1A AAC A =，,1A A AC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，故BO 即为直线1BB 与平面11ACC A 的距离， 因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以221122222BO BD ==⨯+=， 故直线1BB 与平面11ACC A 的距离为2.210．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，点E 和F 分别为线段1CC 和1CD 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为__．【答案】16【分析】作出辅助线，找到1PQD ∠或其补角为异面直线AE 与BF 所成角，再求出1PQD 的三边长，利用余弦定理求出答案.【详解】取AB 的中点Q ，连接1D Q ， 因为点F 为1CD 的中点，所以1D F QB =， 又1//D F QB ，故四边形1D FBQ 为平行四边形， 所以1//D Q FB ，连接BE ，取BE 的中点P ，连接PQ ， 因为Q 为AB 的中点，所以PQ //AE ，所以1PQD ∠或其补角为异面直线AE 与BF 所成角，过点P 作PG ⊥1CC 于点G ，PM ⊥BC 于点M ，连接11,,D G QM D A ， 因为12,1AB AA AD ===，所以22115D A AD DD =+2211516D Q AD AQ ++ 因为点E 为线段1CC 中点，则1122PM CE ==，1122PG BC ==，113222C G =-=，12BM =，由勾股定理得：22111195442D G D C C G =+=+=， 22112512644D P D G PG =++，221514MQ BQ BM =+=+=， 2215644PQ MQ PM =++=在1PQD 中，由余弦定理得：22211116266144cos 266262PQ D Q PD PQD PQ D Q +-+-∠===⋅⨯⨯，异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为16.故答案为：1611．已知P 是二面角l αβ--内的一点，PA 垂直于α于,A PB 垂直于β于,83,8B AB PA PB ===，则二面角l αβ--的大小为__． 【答案】3π 【分析】设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，可证得AOB ∠即二面角l αβ--的平面角，在APB △由余弦定理求出APB ∠，即可求出二面角l αβ--的大小．【详解】解：设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，由于PA α⊥，PB β⊥，l ⊂α，l β⊂，故PA l ⊥，PB l ⊥，又PA PB P =，,PA PB ⊂平面PAB ， 故l ⊥平面PAB ，又OA ，OB ⊂平面PAB ，故l OA ⊥，l OB ⊥， 所以AOB ∠为二面角l αβ--的平面角，由于PA α⊥，PB β⊥，OA α⊂，OB β⊂，故PA OA ⊥，PB OB ⊥， 故在四边形PAOB 中，APB ∠与AOB ∠互补， 又3AB =8PA PB ==，在APB △中由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-⋅∠， 即()2228388288cos APB =+-⨯⨯∠，解得1cos 2APB ∠=-， 又0APB π<∠<，所以23APB ∠=π， 故233AOB πππ∠=-=，则二面角l αβ--的大小为3π． 故答案为：3π． 12．已知球O 的半径为1，球面上有三点A ，B ，C 且2AB BC AC ===，则球面上的点到平面ABC 的距离的最大值为__． 【答案】333+ 【分析】求出等边三角形ABC 外接圆半径，进而求出圆心O 到平面ABC 的距离，从而延长EO 交球与点D ，则点D 到平面ABC 的距离最大，求出最大距离.【详解】显然三角形ABC 为等边三角形，设点E 为三角形ABC 的中心， 则OE ⊥平面ABC ，连接BO ，BE ，则1BO =，BE 为三角形ABC 的外接圆半径， 因为2AB BC AC ===，由正弦定理得：262sin 603BE ==︒， 由勾股定理得：2233OE OB BE =-=， 延长EO 交球与点D ，则点D 到平面ABC 的距离最大，最大距离为333OD OE ++=.33+13．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先由余弦定理求出3BD AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得： 2212cos 14432BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠+-⨯因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥， 直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面1AB =为平行四边形， 故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧BC 上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影， 设BC 与AD 相交于点M ，11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ， 则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒， 故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===， 即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点， 连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大， 如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =， 由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =； 如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ， 其中2211112A N A B B N =+=， 设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：()2221122AO A N ON h =+=+-，2221OC OE EC h =+=+， 故()22221h h +-=+，解得：54h =， 此时外接球半径为25411164OC =+=，故外接球表面积为41414ππ164⨯=，但因为点P 是半圆弧11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：2541π,π44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.14．ABC 中，π,1,2A AB AC ==A 的直线l 在平面ABC 上，且ABC 在直线l 的同一侧，将ABC 绕直线l 旋转一周所得的几何体的体积的最大值为______．【分析】作出图形，得到将ABC 绕直线l 旋转一周所得的几何体体积为台体OD 的体积减去上下两个圆锥的体积，设出角度，表达出台体体积及两个圆锥体积，从而表达出旋转一周所得的几何体的体积πsin 3V θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，正弦函数图象，求出最大值.【详解】因为π,1,2A AB AC ===2BC =，将ABC 绕直线l 旋转一周所得的几何体体积为台体OD 的体积减去上下两个圆锥的体积， 设π0,2BAD θ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则OCA θ∠=，sin sin ,sin BD BA AO CA θθθθ====，cos cos ,cos AD AB CO AC θθθθ====，所以台体OD 的体积为(221ππ3BD OC OD ⋅+⋅⋅ ()()221πsin 3πcos sin cos cos 3θθθθθθ=⋅+⋅⋅⋅， 圆锥AD 的体积为2211ππsin cos 33BD AD θθ⋅⋅=⋅⋅，圆锥AO 的体积为221πcos sin 3OC AO θθ⋅⋅=⋅，故旋转一周所得的几何体的体积为()()222211πsin 3πcos sin cos cos πsin cos cos sin 33V θθθθθθθθθθ=⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅)33221π3cos cos 3sin cos 3θθθθθθ=++()()22221πsin cos 3cos cos sin 3θθθθθθ⎤=+++⎦)1ππ3cos sin 33θθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π,336θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin 3V θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最大值，.23.三、解答题15．已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥．(1)求tan α和sin 2α的值； (2)若5sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值． 【答案】(1)13-；35(2)π4【分析】（1）由m n ⊥得0m n ⋅=，化简可求tan α，结合万能公式可求sin 2α； （2）采用整体法，由()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，结合角度范围，分别求出()cos ,sin ,cos αβαα+，进而得解. 【详解】（1）因为m n ⊥，所以3sin cos 0αα--=，即1tan 3α=-；222122sin cos 2tan 33sin 22sin cos 1sin cos 1tan 519ααααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=====-+++； （2）由（1）得10sin α=，310cos α=，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π,22⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭αβ，因为()5sin 5αβ+=-，所以3ππ,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()25cos 5+=-αβ，所以()()531025102sin sin cos cos sin 5105102βαβααβα⎛⎫⎛⎫=+-+=-⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4β=. 16．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，π2BAD BCD ∠=∠=，1,2AB BC PA BD ====．过点C 作直线AB 的平行线交AD 于,F G 为线段PD 上一点．(1)求证：平面PAD ⊥平面CFG ；(2)求平面PBC 与平面PDC 所成二面角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)357π-【分析】（1）证明出AB ⊥平面P AD ，由CF //AB ，得到CF ⊥平面P AD ，故证明面面垂直； （2）作出辅助线，找到∠BED 为平面PBC 与平面PDC 所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ， 因为π2BAD ∠=， 所以AB ⊥AD ，因为P A AD =A ，,PA AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，因为CF //AB ，所以CF ⊥平面P AD ， 因为CF ⊂平面CFG ，所以平面CFG⊥平面P AD；（2）PA⊥平面ABCD，AD，AC⊂平面ABCD，所以P A⊥AD，P A⊥AC，因为π2BAD BCD∠=∠=，1,2AB BC PA BD====，由勾股定理得：AD=∠ADB=30°，同理可得CD=∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，AC CD==故PBPCPD过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，在△BCP中，由余弦定理得：222cos2BC CP PBBCPBC CP+-∠==⋅则cosCE BC BCP=∠=BE=在△CDP中，由余弦定理得：222cos2PC CD DPPCDPC CD+-∠==⋅在△CDE中，2229752cos322828 DE CE CD CE CD PCD=+-⋅∠=+-=，因为2223CE DE CD+==，所以DE⊥PC，所以∠BED为平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角，由余弦定理得：22219754cos2BE DE BDBEDBE DE+-+-∠===⋅故平面PBC与平面PDC所成二面角的大小为π-.17．如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸ABCDE ，其中3cm DE =，2π1cm,3BC CD BCD CDE ==∠=∠=，π3BAE ∠=．现将彩纸沿BE 向内进行折叠．(1)求线段BE 的长度；(2)若ABE 是等边三角形，折叠后使AB ⊥BC ，求直线AB 与平面BCDE 的所成角的大小； (3)将折叠后得到的四棱锥记为四棱锥A BCDE -，求该四棱锥的体积的最大值． 【答案】(1)23cm BE = (2)π3373【分析】（1）作出辅助线，得到CDF 为等边三角形，求出2cm BF =，4cm EF =，利用余弦定理求出答案；（2）作出辅助线，证明线面垂直，得到ABQ ∠即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，显然π3ABE ∠=，从而求出答案；（3）先求出四边形BCDE 的面积，要想折叠后得到的四棱锥A BCDE -体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面ABE ⊥平面BCDE ，且需要△ABE 边BE 上的高最大， 再利用余弦定理及基本不等式得到BE 上的高最大值，从而求出体积的最大值. 【详解】（1）延长BC ，ED 相交于点F ， 因为2π3BCD CDE ∠=∠=，所以π3FCD FDC ∠=∠=， 故CDF 为等边三角形，所以1cm CF DF ==，π3F ∠=因为3cm DE =，1cm BC =，所以112cm BF =+=，134cm EF =+=，在BEF △中，由余弦定理得：22212cos 416224122BE BF EF BF EF F =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以23cm BE =；（2）由（1）知：2cm BF =，4cm EF =，23cm BE =， 所以222BF BE EF +=，由勾股定理逆定理得：BC ⊥BE ， 因为AB ⊥BC ，AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面ABE ，取BE 的中点Q ，连接AQ ，CQ ， 因为AQ ⊂平面ABE ， 所以BC ⊥AQ ，因为ABE 是等边三角形， 由三线合一得：AQ ⊥BE ，因为BE ，BC ⊂平面BCDE ，BE BC B =， 所以AQ ⊥平面BCDE ，所以ABQ ∠即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，显然π3ABE ∠=， 故直线AB 与平面BCDE 的所成角大小为π3.（3）延长BC ，ED 相交于点F ，由（1）（2）得：BF ⊥BE ，且CDF 为等边三角形， 故21122323cm 22BEFSBF BE =⋅=⨯⨯，21π3sin 23CDFS CF DF =⋅=， 故四边形BCDE 的面积为237323BEFCDFS S-==， 要想折叠后得到的四棱锥A BCDE -体积最大，则要四棱锥的高最大， 故要使平面ABE ⊥平面BCDE ，且需要△ABE 边BE 上的高最大， 因为π3BAE ∠=，3cm BE =，故只需使△ABE 的面积最大， 由余弦定理得：22222121cos 222AB AE BE AB AE BAE AB AE AB AE +-+-∠===⋅⋅，故2212AB AE AB AE +=⋅+，由基本不等式得：222AB AE AB AE +≥⋅，即122AB AE AB AE ⋅+≥⋅， 所以12AB AE ⋅≤，当且仅当AB AE =时，等号成立， △ABE 的面积最大值为21πsin c 3323m AB AE ⋅=，2333cm 23⨯=，该四棱锥的体积的最大值为3173733=cm 344⨯⨯.18．如图，斜三棱柱111ABC A B C 中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．(1)求证：直线1//A D 平面11BC D ；(2)设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱17AA =且异面直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角； (3)若122,2,tan AB AC BC A AB ===∠=111ABC A B C 内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C 的高． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)23θ= 236+【分析】（1）证明出四边形11A D BD 为平行四边形，从而11//A D BD ，得到线面平行； （2）先证明出E 为三等分点，然后运用余弦定理求出1AB 可得；（3）因为在三棱柱111ABC A B C 内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.【详解】（1）斜三棱柱111ABC A B C 中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点， 所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //， 所以四边形11A D BD 为平行四边形， 所以11//A D BD ，因为1BD ⊂平面11BC D ，1A D ⊄平面11BC D ， 所以1//A D 平面11BC D ；（2）因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ， 因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ， 所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ， 所以111C D AB ⊥,又1BC 与1AB 互相垂直，故1AB ⊥面11BC D ,得11⊥AB BD .即11B D E 为直角三角形，在11ABB A 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =， 由余弦定理可得：()2222221111111111132cos 21232t B E AB A B AA t A B A B D AB A B t +-+-⎝⎭∠====⋅⨯⨯解之：t =，所以11π,6A B A ∠=故112D E =1111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB ∴==∴=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD ∴⊥在11BD C △中，11tan D BC ∠=.1111,,A D BC BD BC == （3）过B 作1BP AA ⊥于E ，过P 作1FP CC ⊥于F ，连BPBPF ∴为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,AB AC BC ===222AC BC AB +=， 故AC ⊥BC ，则112CD AB ==设,BE =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得t =第 21 页 共 21 页 2326,33BP AP ==； 由最小角定理11221cos cos cos 263A AC A AB BAC ∠=∠∠=⨯= 12sin 3EF AC A AC =∠= 由CD ⊥面11ABB A ,易知1BE CC ⊥，23BF PF BF ∴===内切圆半径为：13r = 则12362sin .9h r r r A AB +=++∠=【点睛】定义法求解二面角，需要先作出辅助线，找到二面角的平面角，再求出各边长，利用余弦定理求解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.。
2023-2024学年上海高一第一学期数学期中期末考试 专题03 第4章 幂指对(函数)(原卷版)
专题03第3-4章幂、指数与对数（函数）幂、指数与对数1．（2023上·上海普陀·高一校考期末）已知lg 2a =，则lg50=（用a 表示）．2．（2022上·上海杨浦·高一统考期末）设0a >，下列计算中正确的是（）A ．4334a a a⋅=B ．4334a a a÷=C ．4334a a⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4334a a-⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2023上·上海金山·高一统考期末）将53a a ⋅化为有理数指数幂的形式为．4．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知32a =，35b =，若用a 、b 表示6log 5，则6log 5=．5．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）已知正数a 和b 满足1223,1a b a b =+=，用a 及b 表示18log 12=.6．（2021上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）23()ln(1)1004(,,)f x ax b x c x x a b c =+⋅++++∈R 且3(lglog 10)1f =，则(lglg3)f 的值为．幂函数7．（2023下·上海宝山·高一统考期末）若幂函数()()2151m f x m m x +=-+为奇函数，则该函数的表达式()f x =.8．（2021上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）若幂函数22m m y x -++=（m 为整数）的定义域为R ，则m 的值为．9．（2023上·上海普陀·高一校考期末）已知函数22()kk f x x -++=在区间(0,)+∞上是严格增函数，则实数k 的取值范围是．10．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数()y f x =的表达式为()1,111,122x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <且()()f m f n =，则n m -的取值范围是．11．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知()2f x x =和()kg x x =，其中{}2,1,1,2,3k ∈--，若()()f x g x >对任意的()1,x ∈+∞成立，则所有的k 的值为．12．（2023下·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）若关于x 的不等式3843843833833843833843832xx a xx a +++--≥的解集为R ，则实数a 的最小值为.指数函数13．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）若指数函数的图像经过点3,272⎛⎫⎪⎝⎭，则其解析式为()f x =．14．（2023下·上海宝山·高一统考期末）无论a 为何值，函数()310,1x y a a a -=+>≠的图象恒经过一个定点，该定点坐标为.15．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数55x y x =+的单调增区间是.16．（2023上·上海静安·高一校考期末）若关于x 的方程34xa ⎛⎫= ⎪⎝⎭有负根，则实数a 的取值范围．17．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）若()()8,728,7x a x f x a x x -⎧≤⎪=⎨-->⎪⎩在(),∞∞-上是严格增函数，则实数a 的取值范围是．18．（2022下·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期末）已知函数()4f x x x=+，()21xg x a =+-，若对于任意11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是.对数函数19．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）设()0,1a ∈，则函数()log 1a y x =-的定义域是．20．（2022·北京顺义·校考模拟预测）已知函数()2lg 1f x x x =+-，则不等式()0f x >的解集是.21．（2022上·上海松江·高一统考期末）设平行于y 轴的直线l 分别与函数2log y x =和2log 1y x =-的图像相交于点A 、B ，若在函数2log y x =的图像上存在点C ，使得ABC 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点C 的横坐标为.22．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若不等式2log 69a x x x <+-在[]2,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为．23．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是严格增函数，()10f -=，则不等式()2log 0f x <的解集为．24．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知函数()()220232023log 120232x x f x x x -=+++-+，若()()2564f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是.第3-4章综合解答题25．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）解答下列问题：(1)用ln ,ln ,ln x y z 表示43ln x y z；(2)已知23x y M ==，且231x yxy+=，求M 的值．26．（2022上·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）已知幂函数()()24Z m mf x x m -+=∈的图象关于y 轴对称，且在区间()0,+∞上是严格增函数．(1)求m 的值；(2)求满足不等式()()211f a f a -<+的实数a 的取值范围．27．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数()33x xaf x =+.(1)讨论函数()f x 的奇偶性，说明理由；(2)若函数()f x 在(],2x ∈-∞上为减函数，求实数a 的取值范围.28．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()1lg 1xf x x+=-.(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)判断并证明()f x 的单调性：(3)求解不等式()()()lg 20f f x f +>.1．（2021上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）23()ln(1)1004(,,)f x ax b x c x x a b c =+⋅++++∈R 且3(lglog 10)1f =，则(lglg3)f 的值为．2．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数222833x x my x x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，的值域为(,2m⎤-∞⎦，则实数m 的取值范围是．3．（2022上·上海黄浦·高一格致中学校考期末）设函数()()221202120211-++-=+x xx f x x 在区间[]2022,2022-上的最大值和最小值分别为M ､m ，则M m +=.4．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得()()12f x f x C =，则称常数C 是函数()f x 在D 上的“倍几何平均数”.已知函数()2xf x -=，[]1,2x ∈，则()f x 在[]1,2上的“倍几何平均数”是.5．（2021上·湖北宜昌·高三校联考期末）某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是．二、单选题6．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）若18log 9185b a ，==，则36log 45等于A ．2a ba++B ．2a b a+-C ．2a b a+D ．2a b a +7．（2022上·上海松江·高一统考期末）已知函数13,0()3,0x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩，若123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，则2123()x f x x x ⋅+的取值范围是（）A ．10,8⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3(0,)2D ．30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦8．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数(),1e ln 1,ea m x x f x x x x ⎧--<<⎪=⎨⎪-≥⎩（e是自然对数的底数）的最小值为0，关于()f x 有如下4个命题：①若()1,0a ∈-，则e ea m ≥+；②若()2,e a ∈-∞-，则22e e a m <--；③若()0,1a ∈，则e ea m ≥+；④若()2e ,a ∞∈+，则1m a ≥+.其中真命题的个数为（）个A ．1B ．2C ．3D ．49．（2021上·上海·高一校考期末）（1）设α，β是方程2lg lg 30x x --=的两根，求log log αββα+的值．（2）已知23a b c ==，且111a b+=-，求c 的值．10．（2023上·上海金山·高一统考期末）某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI ））与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足下图连续曲线，并测得当天AQI 的最大值为103．当[]0,14x ∈时，曲线是二次函数图像的部分；当(]14,24x ∈时，曲线是函数()2102log 13y x =--图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．(1)求当[]0,14x ∈时，函数()y f x =的表达式；(2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．11．（2022上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知x ∈R ，定义：()f x 表示不小于x 的最小整数，例如：(1.4)2f =，(3.8)3f -=-.(1)若0x <，且满足(2021)2022f x -=，求实数x 的取值范围；(2)若0x >，且满足1(6)(3())3xf f x f x +=+，求实数x 的取值范围.12．（2022上·湖北·高三校联考开学考试）已知函数()()2log 41xf x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20xg x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.13．（2021上·上海青浦·高一统考期末）已知函数()y f x =，若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =是定义域D 上的“k -利普希兹条件函数”.(1)判断函数21y x =+是否为定义域11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“1-利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；(2)若函数y x =是定义域[]1,4上的“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得1my x =-是定义域[)2,+∞上的“1-利普希兹条件函数”，若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.。
2021-2022学年上海市上海师范大学附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市上海师范大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知方程240x x ++=的两个根在复平面上对应的点分别为A 、B ，则AOB 的面积为（ ）A B C ．2 D ．4【答案】B【分析】解方程240x x ++=求出两个复数根，从而可得A 、B 两点的坐标，再求出,,OA OB AOB ∠，进而可得三角形的面积【详解】解：方程240x x ++=的根为12x -±==即112x =-，212x =-，所以11,,22A B ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，所以2OA ==，2OB =， 115744cos 228AOB -∠==-⨯，所以sin AOB ∠==所以11sin 2222AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=， 故选：B2．在下列各式中，正确的是（ ） A ．a b a b ⋅=⋅B ．()222a ba b ⋅=⋅C ．若a b a b +=-，则0a b ⋅=D ．若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c ≠【答案】C【分析】通过平面向量数量积的定义可判断A,B 错误；对a b a b +=-两边平方可判断C 正确；对a b a c ⋅=⋅进行移项、提公因式可判断D 错误．【详解】对A ，cos ,a b a b a b ⋅=〈〉，所以a b a b ⋅=⋅不一定成立，A ∴错； 对B ，()2222cos ,a ba b a b ⋅=〈〉，()2a b ⋅不一定等于22a b ⋅，B ∴错；对C ，由a b a b +=-两边平方，得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，∴0a b ⋅=，C ∴对； 对D ，由a b a c ⋅=⋅，得0a b a c ⋅-⋅=，∴()0a b c ⋅-=， 又0a ≠，∴0b c -=或()a cb ⊥-，∴bc =可能成立，D ∴错．故选：C ．3．如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断. 【详解】由正方体性质，选项A ，B ，C 中，A ，B ，C ，D 四点显然不共面． 对于D 选项，如下图取E ，F 为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF ，易知ADCEBF 为平面正六边形，所以A ，B ，C ，D 四点共面． 故选：D4．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为12,θθ，若αβ⊥，则（ ） A ．12sin cos θθ≤ B ．12sin cos θθ≥C ．12sin 1sin θθ≥-D ．12sin 1sin θθ≤-【答案】A【分析】讨论直线l 与平面,αβ的位置，根据线面角的定义确定12,θθ，再分别求1sin θ，2cos θ，2sin θ的表达式，由此确定结论.【详解】如图，不妨设l B α⋂=，l A β⋂=，设m αβ=，过点A 作AC m ⊥，垂足为C ，因为αβ⊥，AC β⊂，AC m ⊥，m αβ=，所以AC α⊥，所以ABC ∠为直线l 与平面α所成的角的平面角，即1ABC θ∠=，过点B 作BD m ⊥，垂足为D ，作//BE DC 且BE DC =，连接CE ，同理可得BD β⊥，2BAD θ∠=，因为//BD EC ，BD EC =，所以四边形BDCE 为平行四边形，所以BD EC =，因为AC α⊥，BC α⊂，所以BD AD ⊥，所以ABC 为直角三角形，ACB ∠为直角，所以1sin ACAB θ=， 因为BD β⊥，AD β⊂，所以AC BC ⊥，所以ADB 为直角三角形，ADB ∠为直角，所以2cos ADABθ=，2sin BDABθ=， 因为AC AD ≤，所以12sin cos θθ≤，当且仅当,C D 重合时取等号，B 错误， 12sin sin 1AC BD AC BD AC CEAB AB AB ABθθ+++=+==>，D 错误，若取直线BC 为l ，则10θ=，2BCD θ=∠，则1sin 0θ=，20sin 1θ<<， C 错误， 故选：A.二、填空题 5．若复数2i2iz +=，(i 表示虚数单位），则Im z =___________. 【答案】1-【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后可直接判断出z 的虚部. 【详解】因为()()()2i i 2i 12i 1i 2i 2i i 22z +⋅-+-====-⋅-，所以z 的虚部为1-， 所以Im 1z =-，故答案为：1-.6．若cos()13πθ+=，则cos θ=__________．【答案】12【分析】根据cos cos()33ππθθ=+-，利用两角差的余弦公式可求出结果. 【详解】因为cos()13πθ+=，所以sin()03πθ+=，所以cos cos()cos()cos sin()sin 333333ππππππθθθθ=+-=+++1102=⨯+12=. 故答案为：12．7．已知点A 的坐标为()1,1,0A ，向量()14,0,22AB =，则点B 的坐标为______． 【答案】()9,1,4【分析】设(,,)B x y z ，则(1,1,)AB x y z =--，再由()14,0,22AB =可求出,,x y z 的值，从而可求出点B 的坐标【详解】设(,,)B x y z ，则(1,1,)AB x y z =--， 因为()14,0,22AB =，所以()()24,0,28,0,4AB ==， 所以18104x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，得914x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为()9,1,4， 故答案为：()9,1,48．若点P 在直线b 上，b 在平面β内，则用符号表示P ､b ､β之间的关系可记作___________. 【答案】P b ∈，b β⊂，P β∈【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.【详解】点P 在直线b 上，b 在平面β内，则P b ∈，b β⊂， 故P ､b ､β之间的关系可记作P b ∈，b β⊂，P β∈. 故答案为：P b ∈，b β⊂，P β∈9．若a b b c A ⋂=，，则a c 、的位置关系是_______. 【答案】相交或异面【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果． 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//AB DC ，AB AD D =，DC 与AD 相交，//AB DC ，1ABAA A =，DC 与1AA 异面，∴直线//a b ，b c A =，则a 与c 的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．P 为ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 上的射影.若PA ､PB ､PC 与平面ABC 所成的角相等，则O 是ABC 的___________心. 【答案】外【分析】由条件证明OA OB OC ==，由此判断O 是ABC 的外心.【详解】如图，因为O 为P 在平面ABC 上的射影，所以PO ⊥平面ABC ，又,,OA OB OC ⊂平面ABC ， 所以PO OA ⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，即POA POB POC ∠=∠=∠，因为PO ⊥平面ABC ，所以,,PAO PBO PCO ∠∠∠分别为PA ，PB ，PC 与平面ABC 所成的角的平面角，由已知可得PAO PBO PCO ∠=∠=∠，又PO PO PO ==，所以PAO PBO PCO ==，所以OA OB OC ==，所以O 是ABC 的外心， 故答案为：外.11．下列3个函数：①|sin |y x =；②22cos sin y x x =-；③tan 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________. 【答案】①②【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符合要求的函数的编号.【详解】记()sin f x x =，则函数()sin f x x =的定义域为R ，且 ()()()sin sin sin f x x x x f x -=-==-=，所以()sin f x x =为偶函数，因为()()()πsin πsin sin f x x x x f x +=+=-==，所以π为函数()f x 的周期，若0πT <<为函数的周期，则()()00f T f ==，()sin 0f T T =≠，矛盾，所以π为函数()f x 的最小正周期，所以函数|sin |y x =满足要求，记()22cos sin g x x x =-，则()cos2g x x =，函数()g x 的定义域为R ，因为()()()cos 2cos2g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为偶函数，又函数()g x 的最小正周期为2π=π2，所以函数22cos sin y x x =-满足要求，记()tan 2h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()sin cos 2sin cos 2x x h x x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以函数()h x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，且()()()()cos cos sin sin x x h x h x x x --=-==--，函数tan 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足要求，故答案为：①②.12．如图，定点A 和B 都在平面α内，2AB =，定点P α∉，PB α⊥，C 是α内一动点，且0AC PC ⋅=.那么，动点C 在平面α内的轨迹所围成图形的面积为___________．【答案】π【分析】连接BC ，证明AC ⊥平面PBC 得AC ⊥BC ，从而得到C 的轨迹形状及其围成图形的面积． 【详解】连接B C ．∵0AC PC ⋅=，∴AC ⊥P C ． ∵PB ⊥α，AC ⊂α，∴PB ⊥A C ﹒ 又PB ∩PC ＝P ，PB 、PC ⊂平面PBC ， ∴AC ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ，故C 的轨迹是平面α内以AB 为直径的圆(去掉A 、B 两点)，故动点C 在平面α内的轨迹所围成图形的面积为22ππ2⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：π13．已知,m n 是两条不同直线，α､β是两个不同平面，对下列命题： ①若//,//m n αα，则//m n .②若,//n m n αβ⋂=，则//m α且//m β. ③若,m n αβ⊥⊥，//m n ，则//αβ. ④若//,//,//m n αβαβ，则//m n . ⑤若//,m m αβ⊥，则αβ⊥.其中正确的命题是___________（填序号）. 【答案】③⑤【分析】由给定条件，举例说明判断命题①②④，利用线面垂直的性质判断③，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断⑤作答.【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，记平面ABCD 为α，对于①，记直线11A B 为m ，直线11B C 为n ，则//,//m n αα，但m 与n 相交，①不正确；对于②，记平面11ABB A 为平面β，直线AB 为直线n ，直线CD 为直线m ，满足,//n m n αβ⋂=，而m α⊂，②不正确；对于③，因为m α⊥，//m n ，所以n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，③正确，对于④，记平面1111D C B A 为平面β，直线11A B 为直线m ，直线BC 为直线n ，满足//,//,//m n αβαβ，而m 与n 是异面直线，④不正确；对于⑤，因//m α，则过直线m 作平面γ，令l γα⋂=，如图，于是得//l m ，而m β⊥，则有l β⊥，由l ⊂α，所以αβ⊥，⑤正确. 故答案为：③⑤14．如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,()1,2,i P i =是上底面上其余的八个点,则()1,2,i AB AP i ⋅=的不同值的个数为___________.【答案】1【分析】由于几何体是由四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,则i AB BP ,即0i AB BP ⋅=,将i AP写为i AB BP ⋅,利用数量积的运算律展开计算出结果即可.【详解】解:由题知几何体是由四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, 则有i ABBP ,0i AB BP ∴⋅=,()i i AB AP AB AB BP ∴⋅=⋅+2i AB AB BP =+⋅ 21AB ==,()1,2,i AB AP i ∴⋅=的不同值的个数为1.故答案为:115．边长为2的正方形ABCD 沿BD 折成60︒的二面角，则BC 中点与A 的距离是___________. 【答案】1【分析】取BD 中点为O ，BC 中点为M ，中线定理，数形结合即可解决. 【详解】由题知，边长为2的正方形ABCD 沿BD 折成60︒的二面角， 取BD 中点为O ，由正方形的性质可知,OA BD OC BD ⊥⊥ 所以二面角的平面角为60AOC ︒∠=，又1OA OC ==，所以AOC 为等边三角形， 所以1AC =， 设BC 中点为M ，所以ABC 中，由中线定理可知 22211()24=+-AM AC AB BC 1 故答案为：116．已知平面向量,a b ，且2,2a b a b ==⋅=，向量c 满足22c a b a b --=-，则当(R)c λb λ-∈成最小值时λ=___________. 【答案】3【分析】先根据平面向量数量积的定义求出,a b 夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出a b →→-和2a b →→+，进而根据图形得出点C 的几何意义，最后确定取最小值时的λ. 【详解】∵2a b ==，2a b ，而cos ,2a b a b a b →→→→→→⋅=⋅=，1cos ,2a b →→∴=， 又[],0,πa b →→∈∴π,3a b →→=，∴22222a b a b a a b b →→→→→→→→⎛⎫-=-=-⋅+= ⎪⎝⎭，222223a b a b a a b b →→→→→→→→⎛⎫+=+=+⋅+= ⎪⎝⎭，2||43a b →→+=，因为向量c 满足22c a b a b --=-，所以222c a b --= 如图所示，若OA a →=，OB b →=，2OE a b →→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，OC c →=，则BA a b →→=-，2EC c a b →→→⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22EC c a b →→→⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以C 在以E 为圆心，2为半径的圆上，若OD b λ→=，则DC c b λ→→=-，由图象可得当且仅当E ，C ，D 三点共线且ED OD ⊥时，DC 最小，即(R)c λb λ-∈取最小值，此时6EOD =π∠，πcos66OD OE ==，又||2b →=，OD b λ→=，所以.3λ=， 故答案为：3.三、解答题17．已知复数21(i)z a =+，243i z =-，其中a 是实数.(1)若在复平面内表示复数1z 的点位于第二象限，求a 的取值范围；(2)若2a =，求23202211112222()()()z z z z z z z z ++++. 【答案】(1)a 的取值范围为()0,1；(2)1i -+.【分析】(1)由复数的几何意义列不等式求a 的取值范围；(2)先求12z z ，结合等比数列求和公式求23202211112222()()()z z z z z z z z ++++即可. 【详解】（1）因为2121(2i)i z a a a +-+==，所以复数1z 在复平面内的对应的点的坐标为()21,2a a -，由已知21020a a ⎧-<⎨>⎩，所以01a <<，故a 的取值范围为()0,1； （2）因为2a =，所以()()()()21234i 19i 1i 43i 314i 43i 436i 432i i 52z z -++++====--++， 所以23202223111120222222i (i)i (i)z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝⎭⎝ ()()()()()2022i 1i i 112i 1i 2i 1i 1i 1i 1i 1i ---⎡⎤+⎣⎦=====----+ 1i =-+.18．已知函数()sin ,f x x x =∈R .(1)求解方程:()13f x =; (2)设()()2π222gx x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,求函数()g x 的单调递增区间; (3)在ABC 中,角,,A B C 所对应的边为,,a b c .若()4,f A b ABC ==的面积为求sin C 的值. 【答案】(1)1(1)arcsin ,3k x k k Zπ=+-∈(2)πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 【分析】(1)将()f x 代入方程,用反三角函数解出即可;(2) 将()f x 代入()g x 用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可;(3)先求出sin A 的值,再根据面积公式求出c 的值,根据sin A 的值求出角A 的值,再用余弦定理求出a ,再根据正弦定理即可求出sin A .【详解】（1）解:由题知()13f x =, 即1sin 3x =, 解得12arcsin ,3x k k Z π=+∈或12arcsin ,3x k k Z ππ=+-∈; 即1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈（2）由题()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,即()()2π22sin 2g x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ()222cos x x =+()()2cos 21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, ()g x ∴的单调递增区间为:πππ2π22π262k x k -+≤+≤+,Z k ∈, 解得:ππππ36k x k -+≤≤+,Z k ∈, 故()g x 的单调递增区间为πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;（3）由()f A =sin A ∴=, π3A ∴=或2π3A =, 14,sin 2ABC b S bc A ===3c ∴=, 当π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===⋅⋅,解得a =,此时在ABC 中由正弦定理得: sin sin a c A C =, 解得sin 339sin 26c A C a ==, 当2π3A =时, 在ABC 中由余弦定理得: 22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===-⋅⋅, 解得37a =,此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=, 解得sin 3111sin 74c A C a ==, 综上:339sin 26C =或3111sin 74C =. 19．在梯形ABCD 中，//,2,1,120AB CD AB BC CD BCD ︒===∠=，,P Q 分别为直线,BC CD 上的动点.(1)当,P Q 为线段,BC CD 上的中点，试用AB 和AD 来表示QP ；(2)若14BP BC =，求||AP ； (3)若,,0,0,BP BC DQ DC G μλλμ==>>为APQ ∆的重心，若,,D G B 在同一条直线上，求λμ的最大值.【答案】(1)1122QP AB AD =-； (2)132AP =(3)1.【分析】(1)结合条件证明12QP DB =，再用AB 和AD 来表示DB 即可； (2)利用,AB BC 表示AP ，根据模的性质和数量积的性质求||AP ；(3)由条件确定,λμ的关系，结合基本不等式求λμ的最大值.【详解】（1）因为,P Q 为线段,BC CD 上的中点，所以12QP DB =，//QP DB ，又QP DB ，方向相同， 所以12QP DB =，所以()11112222QP DB AB AD AB AD ==-=-；（2）因为14BP BC =，所以14AP AB BP AB BC =+=+，因为//AB CD ，120BCD ︒∠=，所以60ABC ∠=，所以,120AB BC =，又2AB BC ==，所以1cos ,2222AB BC AB AC AB BC ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭又222111144216AP AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以113414AP =-+； （3）设线段PQ 的中点为E ，连接AE ，交BD 与点G ，由已知G 为APQ △的重心，由重心性质可得23AG AE =， 又()11112222AE AQ QE AQ QP AQ AP AQ AP AQ =+=+=+-=+， ()12AP AB BP AB BC AB BA AD DC AB AD μμμμ⎛⎫=+=+=+++=-+ ⎪⎝⎭， 2AQ AD DQ AD DC AD AB λλ=+=+=+，所以11213363AG AP AQ AB AD μλμ-++=+=+， 设BG tBD =，()()1AG AB BG AB tBD AB t AD AB t AB t AD =+=+=+-=-+，所以211,63t t μλμ-++=-=，2λμ+=，由基本不等式可得2λμλμ+≥，所以1λμ≤，当且仅当1λμ==时等号成立，所以λμ的最大值为1.20．如图，四面体ABCD 中，AD CD ⊥，AD CD =，ADB BDC ∠=∠，E 为AC 的中点.(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2AB BD ==，60ACB ∠=︒，点F 在BD 上；①点F 为BD 中点，求CF 与AB 所成的角的大小；②当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值.【答案】(1)详见解析；(2)①CF 与AB 所成的角的大小2； ②CF 与平面ABD 43【分析】（1）根据已知关系有ABD CBD ≅得到AB CB =，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明面面垂直；（2）①取BF 的中点M ，BC 的中点N ，则MNE ∠（或其补角）为CF 与AB 所成的角，在MNE 中求解.②先证平面ABD ⊥平面ACF ，可得CFA ∠（或其补角）为CF 与平面ABD 所成的角，在AFC △中求解.【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥，在ABD △和CBD △中,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≅，所以AB CB =，又E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又,DE BE ⊂平面BDE ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD ；（2）①取BF 的中点M ，BC 的中点N ，连接,,MN ME NE ，则//AB NE ，//CF MN ，所以MNE ∠（或其补角）为CF 与AB 所成的角，由60ACB ∠=︒且AB CB =，所以ABC 是等边三角形，则2,3AB BC BE ===由AD CD ⊥且AD CD =，E 为AC 的中点，所以，在等腰直角ADC △中DE =1AE EC ==， 2CD ，在BDE △中，1,3,2DE BE BD ===，由勾股定理知为直角三角形，所以30EBM ∠= ， 在BEM △中，由余弦定理得2222cos EM BE BM BE BM EBM =+-⋅⋅∠ ，2117323cos30424EM =+-=，所以7EM = 在BCD △中，2,2BD BC CD ===，由余弦定理得4423cos 2224CBD +-∠==⨯⨯， 在BCF △中，2222cos CF BC BF BC BF CBF =+-⋅⋅∠， 234122124CF =+-⨯⨯⨯=，所以2CF 2MN =， 在MNE 中，71EM EN ==，2MN =171224cos 2212ENM +-∠==⨯⨯ ， 所以CF 与AB 所成的角的大小2. ②连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，则1=2AFC S AC EF ⋅△， 当EF BD ⊥时EF 最小，即AFC △的面积最小.因为AC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以AC ⊥BD ，又因为AC ⊂平面ACF ，EF ⊂平面ACF ，ACEF E =， 所以BD ⊥平面ACF ，又因为BD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACF ，作CQ AF ⊥于Q （或交AF 延长线），因为平面ABD ⋂平面ACF AF =，CQ ⊂平面ACF ， 所以CQ ⊥平面ABD ，所以CFA ∠（或其补角）为CF 与平面ABD 所成的角，由ABD CBD ≅知AF CF ＝，所以EF AC ⊥ ，在直角BED 中，33,1,2,BE DE BD EF ====， 在直角FEA 中，31,AE EF ==，所以7AF ， 在等腰AFC △中，72AF CF AC ===， 所以774144cos 777222AFC +-∠==⨯⨯ ， 所以43sin AFC ∠= 所以CF 与平面ABD 43【点睛】线面角的几何作法：直接法：即定义法，作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形,根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.垂面法：找一个过斜线且与平面垂直的面，根据面面垂直的性质知这两个面的交线即为斜线在平面内的射影，根据直角三角形或余弦定理求解.。
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【期末宝典】专题4：幂与指数常考题专练（解析版）一、单选题1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C ()34x y =+ D =【标准答案】D 【思路点拨】利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误. 【精准解析】对于A 选项，()7177n n m n m m --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 1431233===≠B 选项错误；对于C 选项，()34x y =+≠C 选项错误；对于D 12123333⎛⎫= ⎪⎝⎭D 选项正确. 故选：D.2．141681-⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．23【标准答案】C 【思路点拨】试卷第2页，共18页根据指数幂的运算性质可解得结果. 【精准解析】1141441622381332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.30)x >的结果是（ ）A ．xB ．2xC ．1 D【标准答案】A 【思路点拨】将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解. 【精准解析】2112132123616x x x x x x +-⋅====， 故选：A4．计算：2332(27)9--⨯=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【标准答案】D 【思路点拨】利用指数运算化简求得表达式的值. 【精准解析】 原式()()()233223323113333933--⎡⎤=-⨯=-⨯=⨯=⎣⎦.故选：D5．在n ①N *，a ①R 时各式子有意义的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【标准答案】B 【思路点拨】由21(4)n +-<0知②无意义；当a <0时，a 5<0，②无意义，即可得出选项. 【精准解析】由2(4)n ->0知②有意义；由21(4)n +-<0知②无意义；②中开奇数次方根，所以有意义；当a <0时，a 5<0，此时②无意义. 故选:B .63,x=则x =（ ）A ．279 B ．273C ．239D ．233【标准答案】A 【思路点拨】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解. 【精准解析】3x ，得343x x =，即743x =，所以427739x ==.故选：A7⋅=（ ）AB ．5C ．D ．25【标准答案】C【思路点拨】利用指数幂的运算性质求解即可【精准解析】⋅2⎡⎢⎥⎣⎦==故选：C8．将85-化成分数指数幂为（）A．415x B．415x-C．13x-D．25x 【标准答案】A【思路点拨】直接根据根式和指数幂的关系计算即可.【精准解析】8818()551425315x x--⨯--⎛⎫=⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，故选：A.9．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为（）A．15730B．25 730C．1573012⎛⎫⎪⎝⎭D．1573014【标准答案】C【思路点拨】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则 5 73012m=，解方程即可得答案.试卷第4页，共18页【精准解析】设碳14的年衰变率为m ，原有量为1，则 5 73012m=，解得1573012m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以碳14的年衰变率为1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.10．若14a <）A B C ．D ．【标准答案】B 【思路点拨】由题知410a -<,进而根据指数幂化简即可. 【精准解析】因为14a <，所以410a -<= 故选:B.二、填空题11．（2021·上海·高一期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为__________. 【标准答案】78a 【思路点拨】将根式转化为有理数指数幂，应用指数幂的运算性质，即可得有理指数幂的形式.【精准解析】71118222[()]a a a a=⋅⋅=.故答案为：78a12．（2021·()0pa a=>，则p=___________.【标准答案】524【思路点拨】利用根式与指数幂的运算可求得p的值.【精准解析】a >，则111542324pa a a+⎛⎫==⎪⎝⎭，因此，524p=.故答案为：524.13．（2021·上海宝山·高一期末）代数式x⎛⎪⎪⎝⎭x＞0）可化简为________．【标准答案】x【思路点拨】利用分数指数幂与根式的运算性质求解【精准解析】解：因为0x>，所以35352222x x x x x--+⎛⋅==⎪⎪⎝⎭，故答案为：x试卷第6页，共18页14．（2021·上海金山·高一期末）已知0x >，化简(3x ________.【标准答案】7x 【思路点拨】由幂的运算法则即可求解. 【精准解析】 解：因为0x >，所以由幂的运算法则得((33927=x xx x -==，故答案为：7x .15=a 的取值范围为________.【标准答案】12a ≤【思路点拨】根据根式的性质进行化简，判断即可． 【精准解析】2112a a =-=-，因为2112a a -=-，故210a -≤，所以12a ≤． 故答案为：12a ≤． 16．下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是________（只填序号）.①()()120;x x =->()130;y y =<试卷第8页，共18页①)340;x x ->①)13=0.x x -> 【标准答案】② 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化即可求解. 【精准解析】对于②，()120x x ->，故②错误； 对于②，当y <0130,0y <，故②错误；对于②，)340x x -=>，故②正确；对于②，13x -，故②错误. 故答案为：②.17．化简：2132111136251528x y x y x y --=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 【标准答案】2316x 【思路点拨】按照指数的运算性质计算即可. 【精准解析】原式2121111133322668525x y -+-+--+=⨯⨯02316x y =2316x =. 故答案为：2316x .180=，则()2019yx =__________.【标准答案】-1 【思路点拨】根据题目条件推出1x =-，3y =-，再计算()2019yx 的值.【精准解析】0，130x y +++=，因为10x +≥，30+≥y ，所以由130x y +++=，得10x +=，30y +=， 解得1x =-，3y =-. 所以()2019201911x =-=-，()()3201911yx -=-=-.故答案为：1-.19．（2021·上海闵行·高一期末）已知0a >，0b >，化简：22315166242()()3a b a b a b =-________ 【标准答案】166b - 【思路点拨】直接利用指数幂的运算性质化简求值即可. 【精准解析】0a >，0b >，则22115112321036266615166243466223a b a b a b b a b a b ----⎛⎫=⨯-⋅⋅=-=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.试卷第10页，共18页故答案为：166b -.20．（2020·上海南汇中学高一期末）已知函数()2x g x =，若0a >，0b >，且()()2g a g b =，则ab 的取值范围是________． 【标准答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【思路点拨】根据()()2g a g b =可得1a b +=，再将ab 化为关于a 的二次函数，利用二次函数知识可求得结果. 【精准解析】依题意可得222a b ⋅=，即22a b +=，所以1a b +=， 所以10b a =->，所以01a <<，所以2211(1)()24ab a a a a a =-=-+=--+1(0,]4∈.故答案为：10,4⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题 21．化简下列各式： （15；（26；（3【标准答案】（1）-4；（2）4；（3）当x ≥-2时，原式=x +2，当x <-2时，原式=-x -2. 【思路点拨】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（2利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（3）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化分情况化简即可求解. 【精准解析】（1）原式=（-2）+（-2）=-4. （2）原式=|-2|+2=2+2=4.（3）原式=|x +2|=2,2,2, 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩22．用有理数指数幂的形式表示下列各式（a >0，b >0）.（1）a（2（3）2（42；（5；（6【标准答案】（1）52a ；（2）136a ；（3）7362a b ；（4）76a ；（5）23a -；（6）11463a b -. 【思路点拨】将根式转化为分数指数幂结合指数的运算性质逐一计算即可. 【精准解析】（1）原式=11522222a a a a +⋅==. （2）原式=22313333262a a a a +⋅==.试卷第12页，共18页（3）原式=2217133333262222a a b a b a b +⋅==. （4）原式=557-2-2666a a a a ⋅==. （5）原式=23a -.（6）原式11463a b -.23．（2020·上海市洋泾中学高一期中）已知实数x 满足210x mx -+=，求： （1）22x x -+（用m 表示）； （2）1x x --（用m 表示）.【标准答案】（1）22m-；（2）【思路点拨】（1）由210x mx -+=得211x m x x x+==+，再两边平方可得结果；（2）根据1x x--=.【精准解析】（1）由210x mx -+=知0x ≠，所以211x m x x x +==+，所以221m x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212x x =++，所以2222x x m -+=-.（2）由（1）2222x x m -+=-， 所以1x x--===【名师指导】关键点点睛：第（2）问根据1xx --=.24．（2020·上海·高一单元测试）(1)计算：013134210.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；(2)已知13x x -+=，求44x x --的值. 【标准答案】(1)10；(2) ± 【思路点拨】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）由13x x -+=平方得227x x -+=，进而得4447x x -=+，再利用()22244245xx x x ---=-+=即可得出．【精准解析】 (1)原式511181022==-++= (2)由13x x -+= 得227x x -+= ②4447x x -=+②()22244245x x x x ---=-+=即22x x --=±【名师指导】本题考查了指数运算性质、乘法公式及其变形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2020·上海·高一单元测试）（①）计算：()162164200849-⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭（①111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫⎪⎝⎭试卷第14页，共18页【标准答案】（②）100；（②）ab【思路点拨】（I ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【精准解析】（②）原式1222372341427711004⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （②）原式11123223323111111212633311233a b a b a a b ab b ab a b +-++----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====. 【名师指导】本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题. 26．化简下列各式（1）()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2)11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭【标准答案】（1）98；（2）ab.【思路点拨】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【精准解析】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281 =⨯--⨯-10872198=---=；（2）原式()1110812232233354331127272333333a ba b aba b ab ab b a a b a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅【名师指导】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式.27(3a=-成立的实数a的取值范围.【标准答案】[-3，3]【思路点拨】a==-成立，即可得出3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得即可．【精准解析】a==-要使(3a a--成立，需3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得a②[-3，3]．【名师指导】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28．计算下列各式：试卷第16页，共18页（1）()1020.52312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （322.551030.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）)0x ⎛> ⎪ ⎪⎝⎭；（5）()21113322156630,0.13a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>> 【标准答案】(1)1615；(2)100；(3)3；(4)2x ；(5)9a -. 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值. 【精准解析】(1)原式()1122221412116110129431015-⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪⎝⎭. (2)原式()12232125273710396448--⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100331648=++-+100=. (3)原式()1315270.4128-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5350.51222=-++-3=.(4)原式31222x x x =⋅=. (5)原式21111532623699a b a +-+-=-=-.29．将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2（x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【标准答案】（1）34a ；（2）35x -；（3）19b . 【思路点拨】（1）原式=1322a ⎛⎫⎪⎝⎭=34a .（2）原式19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=19b . 【精准解析】（1）原式1322a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=34a . （2）原式=19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=351x =35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=212343b ⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭=19b . 30．已知x+x -1=4，其中0<x <1，求221x x --的值. 【标准答案】-试卷第18页，共18页【思路点拨】由题求出x -x -1=-12x +12x -. 【精准解析】因为x+x -1=4，所以12()x x -+=x 2+x -2+2=16，即x 2+x -2=14，则12()x x --=x 2+x -2-2=12.因为0<x <1，所以x<x -1，所以x -x -1=-21122x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭x+x -1+2=6， 故12x +12x -，所以()()112211224=1x x x xx x x x ----⨯-+--==-+。