(完整word版)高一数学之分离参数法(含答案)

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高考文科数学-分离(常数)参数法(练)-专题练习(五)有答案

高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）一．练高考1．已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，1e ，2e 别为1C ，2C 的离心率，则（）A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A +=+．（Ⅰ）证明：2a b c +=；（Ⅱ）求cos C 的最小值．二．练模拟1．设函数3()f x x x =+，x ∈R ．若当π02θ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞2．若函数()2x f x a =-与()41x g x a =++的图像有交点，则a 的取值范围是（）A．2a ≤-2a ≥+B ．1a <- C．12a -≤≤- D．2a ≤-3．已知实数,,a b c 满足22211a b c a b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b +的取值范围是（）A ．35,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭4．在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线210mx y m ---=相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_____________．5．已知数列{}n a 的首项11a =，且14()2n n n a a n a *+=∈+N ．（Ⅰ）证明：数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列．（Ⅱ）设2n n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．三．练原创1．已知函数,0,()0.x x f x x ≥-<⎧⎪=，若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．(0,)+∞ C ．(0,1) D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭2．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:e x C y =存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2e ,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2e 0,8⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．2e 0,4⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数()5f x x =-，当19x ≤≤时，()1f x >有解，则实数m 的取值范围为（） A ．133m < B ．5m < C ．4m < D ．5m ≤4．方程12log (2)2xa x -=+有解，则a 的最小值为_________．5．已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++，则5522f f ⎛⎛-++--= ⎝⎝_________．高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）答案一．练高考1．A2．解：（Ⅰ）由题意知：sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=，即()2sin sin sin A B A B +=+因为=πA B C ++，()()sin sin πsin A B C C +=-=．从而sin sin 2sin A B C +=由正弦定理得：2a b c +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a b c +=，所以： 222223112cos 22842a b a b a b c b a C ab ab a b +⎛⎫+- ⎪+-⎛⎫⎝⎭===+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．故cos C 的最小值为12．二．练模拟1．D2．D3．C4．22(1)2x y -+=5．解：（Ⅰ）证明：142n n n a a a +=+， 12111442n n n n a a a a ++∴==+，111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭又11a =，111122a ∴-= 所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1111112222n n n a -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即11122n n a =+ ∴22n nn n n b a =-= 于是231232222n n n S =++++…，① 2321112122222n n n n S +-=++++…，② 由①-②得，211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---…，即11222222n n n nn n S -+=--=-， ∴数列{}n b 的前项和222n n n S +=- 三．练原创1．D2．C3．B4．15．8n高考数学（文）专题练习（五）分离（常数）参数法（练）解析1．练高考1．【解析】由题意知，即，，代入，得．故选A ．2．由正弦定理得．由知，所以，当且仅当时，等号成立．故的最小值为． 2．练模拟1．2211-=+m n 222=+m n 2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n 222=+m n 12,1>>m n ee 2a b c +=()∏()I 2a b c +=2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭a b =cos C 12【解析】易得是奇函数，在上是增函数，又，故选D ． 2．3．4．【解析】由题意得：，当且仅当时取等号，所以半径最大为5．()f x 2()310()f x x f x '=+>⇒R 11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--=≤1m =r =22(1) 2.x y -+=（II ）解：由（I ）知，，即．………………8分 ∴．………………9分于是，① ，② 由①-②得，，………………11分即， ∴数列的前项和．………………12分 3．练原创1 111111()2222n n n a --==11122n n a =+22n n n n n n b a =-=231232222n n n S =++++231112122222n n n n n S +-=++++211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---11222222n n n nn n S -+=--=-{}n b n 222n n n S +=-2．【解析】根据题意，函数与函数在()0+∞，上有公共点，令2xax e =得：2xe a x =，设()2x ef x x = 则()222x xx e xe f x x -'=，由()0f x '= 得：2x =，当02x << 时，()0f x '<，函数()2xe f x x=在区间()0,2上是减函数，当2x > 时，()0f x '>，函数()2xe f x x=在区间()2,+∞上是增函数， ∴当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+∞，上有最小值()224e f =，∴24e a ≥ ，故选C ． 3．【解析】令t =则13t ≤≤时，2(t)51g t mt =-+>有解，即4m t t<+在13t ≤≤时成立；而函数4u t t =+在[1,2]是减函数，在[2,3]是增函数，4[4,5]u t t=+∈，所以只需5<m ，故选B ． 4．所以8)25()25(=--++-x f x f ，从而令3=x ，得8)325()325(=--++-f f ．。

专题17 参变分离法解决导数问题(解析版)

专题17参变分离法解决导数问题1.分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；（2）解题过程中可能遇到的问题：①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2.分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！一、单选题1．已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】1()0f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，即1a x≥在区间()1,2上恒成立，显然1y x=在区间()1,2的最小值为12，所以12a ≤．故选：B ．2．若函数()5ln f x x a x x=--在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．-⎡⎣B ．(,-∞C ．(],6-∞D ．(]0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2510a f x x x '=+-≥，即5a x x≤+恒成立，又5x x +≥=x =a ≤，故选：B 3．已知函数()e xf x mx x=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],e -∞D ．2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则2ex m x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，令()()2e0xh x x x =>，则()()()3e 20x x x h x x-'>=，令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<，故()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()()2e 24minh x h ==，故2e 4m <.故选：B.4．关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解，则实数m 的取值范围（）A ．(],2-∞-B ．[)2,+∞C ．5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x =时，可得10=显然不成立；当(]0,2x ∈时，由于方程210x mx ++=可转化为1m x x =--，(]0,2,x ∈令1y x x =--，可得222111x y x x-=-='，当01x <<时，0y '>，函数单调递增；当12x <<时，0y '<，函数单调递减，所以当1x =时，函数1y x x=--取唯一的极大值，也是最大值，所以2max y =-，所以2y ≤-，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选：A.5．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即1ln xxa e +-=没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令1ln ()x x g x e+=，0x >，则1ln 1()xx x g x e --'=，令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故当1x =时，()g x 取得最大值1(1)g e=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，结合图象可知，1a e -≥即1a e≤-.故选：C.6．若对任意正实数x ，不等式()21xe a x -≤恒成立，则实数a 的范围是（）A ．ln 2122a ≤+B ．ln 212a ≤+C ．1ln 22a ≤+D ．ln 2122a ≥+【解析】因为不等式()2e 1xa x -≤恒成立，2e 0x >，所以21e xa x ≤+恒成立，设()21ex f x x =+，则()min a f x ≤，因为()221e x f x '=-+，令()0f x '=，则ln 22x =，所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎝⎭上单调递减，在ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以ln 2122a ≤+，故选：A 7．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立，所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立，令()()1x x xe h x x -=>-，则()()11xx h x e -+'=，令()()11x x x e m =-+，则()()02x x m x e +'=-<，所以()()11xx x e m =-+在()1,-+∞上单调递减，且()()000110e m -+⨯==，即()00h '=，因此()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()max 00h x h ==，所以0a ≤，故选：B.8．当0x >时，11e 2x a x->-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()e,∞+C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【解析】由11121e2e x x x a a x x --->-⇒>，设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e ex x x x x x f x x x --+-+-++'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >.故选：A.9．对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（）A BC ．1eD ．e【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥．∵()e (0)xf x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即ex a x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==．∴实数a 的最大值为e ．故选：D 10．已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >，不等式转化成2(1)1tt e mt -£-在0t >时有解，则2(1)1t t e m t -+³有解，记2(1)1()t t e h t t-+=，则322(1)1()tt t t e h t t+-+-¢=，再令32()(1)1t g t t t t e =+-+-，则32()(4)0t g t t t t e ¢=++>，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()h t 在0t >时递增，故20(1)1()lim t t t e h t t ®-+>，记()()21t t t e ϕ=-，0()(0)()lim (0)10t t h t t j j j ®-¢>==--，于是2(1)1tt e m t-+³有解，只需要1m >-.故选：C 二、多选题11．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（）A ．10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,)e 上单调递增C ．126x x +>D ．若221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【解析】令()0f x =得ln x a x=，记ln ()xg x x =21ln ()xg x x -'=，令()0g x '=得x e =当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0x →时，()g x →-∞，1(e)g e=，x →+∞时，()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点，且交点的横坐标为1x ，2x ，所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；因为11()'-=-=ax f x a x x ，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 递增，因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(0,)0,e a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；当1a e →时，1e a→，10f a ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以12,x e x e →→，所以1226x x e +→<，所以C 选项错误；因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，且221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，因为()1(1)0f a f x =-<=，所以11x >因为()2222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，所以22x a <所以21221a x x a a--<-=，故D 选项正确故选：ABD.12．已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-，上只有一个零点，则实数k 可取的值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】由题意可知，()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根，等价于1xk x e =+在区间[1,1]-上只有一个根，等价于y k =与1()xg x x e =+的图像有唯一一个公共点，由1()x g x x e =+得1()1x g x e=-'，令()0g x '=得0x =，当10x -≤<时，()0g x '<，则()g x 在[1,0)-上单调递减，当01x <≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,1]上单调递增，∴在区间[1,1]-内，当0x =时()g x 取极小值也是最小值，∴当()(0)1g x g ≥=，又1(1)1g e =+，(1)1g e -=-，且111e e ->+，则满足条件的k 的取值范围是{}11(1,1]e e⋃+-，所以k 可取的值为1、2.故选:CD.13．设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】易知()f x 在定义域内单调递增，若()f b b >，则()()()f f b f b b >>，若()f b b <，则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则()f b b =，即()f x x =在[]0,1上有解.故[]2e ,0,1x x a x x x ⇔=+∈=-，设[]2e ,0,1()x g x x x x +∈-=，则e 1(2)x g x x =-+'，令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=，在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减，在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增，故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>，()g x 在[]0,1上单增，又(0)1,(1)e g g ==，故1e a ≤≤.故选：BC.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（）A ．1a e-≤<B ．4312a e e≤<C ．3211a e e ≤<D ．1a ee≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数；222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln xae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()xx x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e-------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e --≤===，故若使22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.三、填空题15．若函数21()e 2x f x x a =-是R 上的减函数，则实数a 的最小值为_______【解析】由题意得，()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立，即e xxa ≥在R 上恒成立，令1()=,()=e ex x x xg x g x -'，当1x <时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，故max 1()=g(1)=eg x ，故1e a ≥，即函数a 的最小值为1e ，16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【解析】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->-令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-，∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥-令()()1exh x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．17．已知函数()333sin x x x f x =+-，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【解析】因为()()()()()()3333sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-，所以()f x 为奇函数，因为()()22333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥，所以()f x 为R 上的增函数，由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-，则ln 2x ax -≤-，因为,()0x ∈+∞，所以ln 2x a x--≥．令ln 2()(0)x g x x x-=>，则()23ln xg x x -'=，令()0g x '=，得3e x =，当30e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当3e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()()33max 1e e g x g ==，所以31e a -≥，即31e a ≤-，所以实数a 的取值范围为31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18．已知(0,2)x ∈，若关于x 的不等式21e 2x k x x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围是________．【解析】依题意，知220+->k x x ，即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立，从而0k ≥，因此由原不等式，得2e 2<+-x k x x x 恒成立．令2e ()2=+-xf x x x x ，则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ．令()0f x '=，得1x =．当(1,2)x ∈时，()0f x '>．函数()f x 在(1,2)上单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)e 1<==-k f x f ，故实数k 的取值范围是[0,e 1)-．四、解答题19．已知函数21()ln 2f x x x =-.（1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）求导得：211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得12x <<，于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在(1,2)单调递减，于是当1x =时，()f x 取最大值为12-，又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-综上：当1x =时，()f x 取最大值为12-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-（2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x ->-，可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得：312ln ()xg x x '-=，于是函数()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减于是：()max 11g22g x e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e>-.20．已知函数()2()ln f x x ax x =+，a R ∈.（1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值；（2）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.又()(2)ln f x x a x x a '=+++，则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =，所以切点为(1,0).所以02110a +=+-，解得1a =.（2）当21x e <<时，0ln 2x <<.当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，即不等式ln xa x x<-，()2x e ∈1,恒成立.设()ln x g x x x=-，()2x e ∈1,，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '--+=-=-.因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '<.所以()g x 在()21,e 上单调递减，从而()22()2eg x g e >=-.要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22ea ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21．已知函数()()212ln f x x ax x a R =-+∈，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.(1)求切线l 的方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >，12()2f x x a x'=-+，由题意知，(1)144f a '=-=，所以10a =，故2()1012ln f x x x x =-+，所以(1)9f =-，切点坐标为(1,9)-故切线l 的方程为413y x =-．(2)由（1）知，2()1012ln (0)f x x x x x =-+>，所以2()f x x bx ≤+，可化为：12ln 10x x bx -≤，即12ln 10xb x≥-在(0,)+∞上恒成立，令12ln ()10x g x x =-，则212(1ln )()x g x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(e,)+∞上单调递减，所以当e x =时，函数()g x 取得最大值12(e)10eg =-，故当1210e b ≥-时，12ln 10x b x≥-在(0,)+∞上恒成立，所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()ln 1f x x mx =--．(1)若0x ∀>，不等式()0f x <恒成立，求m 的取值范围；(2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线，求证：1m ≥-．【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立，即代表ln 10x mx --<恒成立，因为0x >，故ln 1x m x->恒成立，令ln 1()x g x x -=()0x >，故22ln ()xg x x -'=，令()0g x '>，解得：20x e <<，故()g x 在()20,e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，故()g x 在()0,+∞的最大值为221()g e e =，故21m e >，所以m 的取值范围是21e ⎫+∞⎪⎝⎭；(2)：设切点为000(,ln 1)x x mx --，又因为1()f x m x'=-，所以函数在0x x =处的切线斜率01k m x =-，所以函数在0x x =处的切线方程为：0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫---=- ⎪⎝-⎭，又切线经过点(1,0).故可得：00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭-，化简整理可得：0001ln 2(0)m x x x =+->，令1()ln 2(0)h x x x x=+->，21()x h x x-'=，令()0h x '>，解得1x >，故()h x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞单调递增，故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-，故：1m ≥-，得证．23．已知函数()()()x x f x e sinx ax a R g x e cosx=-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+sin()4x x π+，当224k x k ππππ<+<+，即32244k x k ππππ-<<+时，()0f x '>，当2224k x k πππππ+<+<+，即372244k x k ππππ+<<+时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ．(2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--，()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-，由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，即2e sin x a x =有两个实根，设()2e sin x h x x =，则()2e (sin cos )sin()4x x h x x x x π'=+=+，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以324x ππ<<时，()0h x '>，()h x 单调递增，34x ππ<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中22e 2h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h π=，所以当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根，即当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点.24．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=，所以(1)1f a '=+，又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行，所以11e a +=-，解得a e =-，所以2()ln e f x x x x =-.(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立，因为0x >，所以22ln e e ln x x x k x x x+<=+.令e ()ln g x x x =+，则221e e ()x g x x x x-=-='.当(0,e)x ∈时，()0g x '<；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以函数e ()ln g x x x=+在(0,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，所以()(e)2g x g ≥=，故2k <，即实数k 的取值范围是(,2)-∞.25．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈.(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间；(2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）2a =-时，()221e x x x f x --+=，()()()212e xx x f x +-'=，令()1102f x x '=⇒=-，22x =.∴()f x的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）法一：常规求导讨论()()()()221212e ex x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时，令()02f x x '=⇒=且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意.②当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a aa a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立.④当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()2,+∞上 .此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤.综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦.法二：参变分离①0x =时，不等式显然成立.②当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=，()()()33e 12e 2e 2x x x x x g x x x ----+'==.令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，∴()()2min e 124g x g +==，∴2e 14a +≤.26．已知函数()ln a f x x x x=++，a ∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()()g x f x x '=-有一个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）因为()ln a f x x x x =++，则2221()1a x x a f x x x x +-'=-+=，由于()'10f =，则221101a +-=，∴2a =，当2a =时，()()222221212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+==因为()f x 的定义域为()0,∞+，则()0f x '=时，1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，所以2a =符合题意，故2a =.（2）()22'x x a f x x+-=，∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立，即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立，∴a 的取值范围为(],2-∞.（3）220x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根，令32()h x x x x =--，0x >，则()()2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，且(0)0h =，(1)1h =-，x →+∞时，()h x →+∞，当0a -≥即0a ≤时，1个根；当1a -=-即1a =时，1个根，综上：a 的取值范围为(]{},01-∞U .27．已知函数()ln x f x x=.（I ）求函数()f x 的单调区间和极值；（II ）若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）因为()()21ln 0x f x x x -'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；且()()1e ef x f ==极大，无极小值；（II ）因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，设()()2ln 0xg x x x =>，则()max k g x ≥，因为()()432ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>，当(x ∈时，()0g x '>，()g x单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 1e 2e g x g ===，所以12e k ≥.28．已知函数()()e e 0x f x x x=>．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)求导：1e e 1e e ()x xf x x x ++'=-，即e 1e ()(e)x f x x x+'=-当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得ex >()f x 的单调递减区间为()0,e ；单调递增区间为()e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1f =(2)由（1）得()(e)1f x f ≥=，所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立，必须满足：(e)e ln e 1ef a a ≥++⇒≤-，下面证明：当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤ e eln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-，∴只需证明e e eln 10xx x x -+-≥，设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号，∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．解法二：（变量分离）整理得：e1l e n xx x a x--≤只需m e in 1()l e n xx x a x --≤，先证明：e 1x x ≥+，构造()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '≥，()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=，从而证明得e 1x x ≥+e ln e 11l e e e e n 11ln xx x x x x x x x x---=--≥-+--=- ，当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln xx x x x x ---∴≥=-，∴e a -≤.，解法三：（不分离）l e e n ()ln 1ln 10(ln )10e e x x x f x x a x x a x x a x x-≥++⇒---≥⇒-+-≥eln (ln )1e e e ln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得ea -≤下面证明当e a -≤时，e ln 10e xx a x x---≥e a ≤ e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x∴---≥-+-∴只需证明e e eln 10x x x x-+-≥设e ()n 1e el x x x x xϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．29．已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.(1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-，所以1(1)2'=-f ，又(1)0f =，所以切线方程为1(1)2y x =--，即210x y +-=(2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，因为1≥x 所以13ln (ln 2)24x x x a x -≥-，当2e x =时，R a ∈，当2e x >时，13ln 24ln 2x x x a x -≤-，当21e x ≤<时，13ln 24ln 2x x x a x -≥-构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-，2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=-当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2e <e x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，故21e x ≤<时，max e ()(e)4h x h ==，因此e 4a ≥当522e e ,()0x h x '<<<，()h x 单调递减，当52e x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故2e x >时，5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，因此52e a ≤，综上：52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦30．已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.【解析】(1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =-(2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立，等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令(ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=，令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0x x a x--=，令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=，设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x x y x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷，所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==，所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭2222222222221ln ln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >.。

(完整版)高一数学之分离参数法(含答案),推荐文档

高中重要解题方法——分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围，求的范围：x a 定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不()()f x g a ≥⇔[]min ()()f x g a ≥()f x 等式恒成立（求解的最大值）.()()f x g a ≤⇔[]max ()()f x g a ≤()f x 定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不()()f x g a ≥⇔[]max ()()f x g a ≥()f x 等式存在解（即求解的最小值）.()()f x g a ≤⇔[]min ()()f x g a ≤()f x 定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）.()()f x g a =⇔()g a =()f x ()f x 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围。

∈224sin cos sin 5x x x a +-<-+2.若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

233x x --[1,4]x ∈-()21f x x a ≥+-3,、若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

高考数学常用的解题技巧第05讲分离参数法(含答案)

第05讲：分离参数法【知识要点】一、参数在数学问题中经常出现，特别是在最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题中，经常出现，这时可以考虑是否可以利用分离参数法来解答，即整理成()()k f x k f x 或的形式，再解答.二、分离参数时，一定要判断清楚参数的系数的符号，再除以其系数，如果不能确定其符号，可以分类讨论，也可以寻找其它方法.【方法讲评】【例1】已知函数xx x f ln 1)(（1）求曲线)(x f y 在点))2(,2(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值；（3）对(0,),()2x f x bx 恒成立，求实数b 的取值范围．列表：x )1,0(1),1()('x f - 0 +)(x f ↘0↗函数)(x f y 的极小值为0)1(f , 无极大值。

（3）依题意对(0,),()2x f x bx 恒成立等价于2ln 1bx x x 在(0,)上恒成立可得x xx b ln 11在(0,)上恒成立，令21ln ln 2()1()xx g x g x x x x【点评】本题第（2）问是恒成立问题，刚好b 的系数x 是一个正数，知道参数的系数的符号，分离参数很方便，所以可以分离参数求最值,比较简洁. 【反馈检测1】已知函数()ln a f x x x . （1）若0a ,试判断()f x 在定义域内的单调性；（2）若()f x 在1,e 上的最小值为32,求a 的值；（3）若2()f x x 在1,上恒成立,求a 的取值范围.【反馈检测2】已知函数()sin cos f x a x b x (,a b R,且0)的部分图象如图所示．(1) 求,,a b 的值；(2) 若方程23()()0f x f x m 在2(,)33x 内有两个不同的解,求实数m 的取值范围．高中数学常用解题技巧第05讲：分离参数法参考答案【反馈检测1答案】(1) f x 在0,上是单调递增函数；（2）a=-e ；（3）1a .【反馈检测1详细解析】（1）由题意知f x 的定义域为0,,且221f '(x)=+=, a>0,a xax x x ,x2376yO 1。

分离参数法求解高考压轴题

分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题分离参数法解高考压轴题一洛必达法则介绍如果当0x x ®(或¥®x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(limx g x f x x ®或)()(lim x g x f x ¥®可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分别简记为00或¥¥．1．（洛必达法则1）型不定式型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）0)(lim )(lim 0==®®x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3） A x g x f x x =¢¢®)()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim )()(lim 0（或为无穷大）．（或为无穷大）．把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．时，结论也成立．2（洛必达法则2）¥¥型不定式设函数)(x f 与)(x g 满足条件满足条件（1）¥=¥=®®)(lim ,)(lim 0x g x f x x x x（2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(¹¢x g ；（3）A x g x f x x =¢¢®)()(lim（或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =¢¢=®®)()(lim)()(lim（或为无穷大）把0x x ®换为¥®x 时，结论也成立．，结论也成立．，结论也成立．二典型例题: （2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0³x ，都有ax x f ³)(成立，求实数a 的取值范围．的取值范围．解：分离变量法解：分离变量法 ①若①若0=x ，则R a Î. ②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++£，则m in ])1ln()1([xx x a ++£。

第6讲分离参数法在解题中的应用

第6讲分离参数法在解题中的应用[方法精要] 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决．分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到，解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域的问题．题型一用分离参数法解决函数有零点问题例1 已知函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，求a 的取值范围．破题切入点函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，等价于方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，把方程x 2－ax ＋4＝0中的变量a 分离，转化为求函数的值域问题即可求出a 的取值范围．解 ∵函数g (x )＝x 2－ax ＋4在[2,4]上有零点，∴方程x 2－ax ＋4＝0在[2,4]上有实根，即方程a ＝x ＋4x在[2,4]上有实根．令f (x )＝x ＋4x，则a 的取值范围等价于函数f (x )在[2,4]上的值域．又f ′(x )＝1－4x 2＝(x ＋2)(x －2)x 2≥0在x ∈[2,4]上恒成立， ∴f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (2)≤f (x )≤f (4)，即4≤f (x )≤5.∴4≤a ≤5.题型二用分离参数法解决不等式恒成立问题例2 已知函数f (x )＝ln x －a x， (1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．破题切入点 (1)通过判断导数的符号解决．(2)由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解 (1)由题意：f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x，当x ≥1时，h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上是减函数，∴h (x )<h (1)＝－2，即g ′(x )<0，∴g (x )在[1，＋∞)上也是减函数，∴g (x )<g (1)＝－1.令a ≥－1得a >g (x )，∴当f (x )<x 2在(1，＋∞)恒成立时，a ≥－1.题型三用分离参数法解决方程中的参数问题例3 若关于x 的方程22x ＋2x ·a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．破题切入点解决方程中的参数问题，需要把方程等价变形，称为一个含参数的函数，将其转化为函数的最值问题．解原方程变形为a ＝－22x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＋22x ＋1＝－(2x ＋1＋22x ＋1－2)，因为2x ＋1>1，所以2x ＋1＋22x ＋1－2≥2(2x ＋1)·22x ＋1－2＝22－2， (当且仅当x ＝log 2(2－1)时取等号)，所以a ≤2－2 2.总结提高分离参数法常用于求参数的取值范围，这是目前新课标高考中常涉及的问题，主要涉及函数、方程、不等式等部分的内容，最终都是转化为函数在给定区间上的最值问题，求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性即可求参数取值范围．1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，m ∈R ，则直线l 恒过定点________．答案 (3,1)解析直线l 的方程可化为x ＋y －4＋m (2x ＋y －7)＝0.设直线l 恒过定点M (x ，y )．由m ∈R ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0⇒M (3,1)．所以直线l 恒过定点(3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)是增函数，则a 的取值范围是________．答案 [3，＋∞)解析由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈(12，＋∞)恒成立，分离参数得a ≥1x 2－2x ，若满足题意，须a ≥(1x 2－2x )max ，令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈(12，＋∞)，因为h ′(x )＝－2x 3－2，所以当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )<0，即h (x )在x ∈(12，＋∞)上单调递减，所以h (x )<h (12)＝3，故a ≥3. 3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值是________．答案－52解析由x 2＋ax ＋1≥0，x ∈(0，12]，所以ax ≥－1－x 2，所以a ≥－1x－x ，又因为－1x －x ＝－(1x ＋x )≤－52，所以a ≥－52. 4．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，22－1)解析由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [－83，＋∞) 解析对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立， 2m ≥－(1x )2＋2x，令g (x )＝－(1x )2＋2x，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故2m ≥1，即m ≥12. 7．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是________________．答案 (－1＋72，1＋32) 解析原不等式可化为(x 2－1)m －2x ＋1<0，此不等式对－2≤m ≤2恒成立．构造函数f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，－2≤m ≤2，其图象是一条线段．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＝－2(x 2－1)－2x ＋1<0，f (2)＝2(x 2－1)－2x ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0. 解得－1＋72<x <1＋32. 8．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a 2x在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )＝x －a x ＋a 2，∴f ′(x )＝1＋a x2. 又f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0.于是可得不等式a ≥－x 2对于x ≥1恒成立．∴a ≥(－x 2)max .由x ≥1，得－x 2≤－1.∴a ≥－1.9．设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·a 3，其中a ∈R ，如果x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围．解根据题意1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，设t ＝2x ，则有at 2＋t ＋1>0在t ∈(0,2]上恒成立，分离参数可得a >－1t 2－1t，即a >(－1t 2－1t)max ，令μ＝1t ，则μ∈[12，＋∞)，易得二次函数f (μ)＝－μ2－μ在μ∈[12，＋∞)上的最大值是f (12)＝－34，所以a 的取值范围是a >－34. 10．设0≤θ≤π2，不等式cos 2θ＋2m sin θ－2m －2<0恒成立，求m 的取值范围．解将已知不等式化为(1－sin θ)2＋2(m －1)(1－sin θ)＋2>0，①当θ＝π2时，不等式显然成立； ②当0≤θ<π2，即1－sin θ>0有2(1－m )<1－sin θ＋21－sin θ，设t ＝1－sin θ，则f (t )＝t ＋2t，其中0<t ≤1，则f (t )＝t ＋2t在0<t ≤1上是减函数，所以f (t )≥f (1)＝3，即f (t )的最小值是3，所以2(1－m )<3，解得m >－12. 综上知，m 的取值范围是m >－12.11．(2014·南京模拟)已知函数f (x )＝e x－x 22－ax －1，其中a 为实数． (1)若a ＝－12时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，试求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－12时， f (x )＝e x －x 22＋12x －1，f ′(x )＝e x －x ＋12，从而得f (1)＝e －1，f ′(1)＝e －12，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e －12)(x －1)，即(e －12)x －y －12＝0. (2)由f (x )≥0，得ax ≤e x －12x 2－1， ∵x ≥12，∴a ≤e x －12x 2－1x ，令g (x )＝e x －12x 2－1x，则g ′(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1x 2，令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x －1)，∵x ≥12，∴φ′(x )>0，即φ(x )在[12，＋∞)上单调递增．所以φ(x )≥φ(12)＝78－e 2>0，因此g ′(x )>0，故g (x )在[12，＋∞)单调递增．则g (x )≥g (12)＝e 12－12×(12)2－112＝2e －94，因此a 的取值范围是a ≤2e －94. 12.已知函数f (x )＝a (x 2＋1)＋ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]，恒有ma －f (x )>a 2成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x(x >0)． ①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当a <0时，若0<x <－12a，则f′(x)>0，故f(x)在(0, －12a]上是增函数；若x>－12a，则f′(x)<0，故f(x)在[ －12a，＋∞)上是减函数．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0, －12a]上是增函数，在[ －12a，＋∞)上是减函数．(2)由题意，知对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成立，等价于ma－a2>f(x)max.因为a∈(－4，－2)，所以24<－12a<12<1.由(1)，知当a∈(－4，－2)时，f(x)在[1,3]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝2a，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0.所以实数m的取值范围为m≤－2.。

高考数学复习压轴题归类解析02 分离参数之全分离,半分离,换元分离

高考数学复习压轴题归类解析第02讲分离参数之全分离讲分离参数之全分离，，半分离半分离，，换元分离【典型例题典型例题】】例1．已知函数2()x f x e ax x =+−．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，31()12f x x +…，求a 的取值范围．【解析】解：（1）当1a =时，2()x f x e x x =+−，()21x f x e x ′=+−，设()()g x f x =′，因为()20x g x e ′=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x ′在R 上递增，因为(0)0f ′=，所以当0x >时，()0f x ′>；当0x <时，()0f x ′<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)−∞上单调递减；（2）当0x …时，31()12f x x +…恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++−…恒成立，设32112()x x x e h x x ++−=，则33223311(2)(2)(2)()(2)22()x x x e x x x e x x x x h x x x −+−−−+−+−−′== 223311(2)(2)(2)(1)(2)(1)22x x x e x x x x x e x x x x−+−+−+−−−−==，可设21()12x m x e x x =−−−，可得()1x m x e x ′=−−，设()1x k x e x =−−，()1x k x e ′=−，由0x >，可得()0k x ′>恒成立，可得()k x 在(0,)+∞递增，()m x ′在(0,)+∞递增，所以()(0)0m x m ′>′=，即()0m x ′>恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以()(0)0m x m >=，再令()0h x ′=，可得2x =，当02x <<时，()0h x ′>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x ′<，()h x 在(2,)+∞递减，所以()maxh x h =（2）274e −=，所以274e a −…，综上可得a 的取值范围是27[4e −，)+∞．例2．已知函数42()(1)1f x x x a x =++−+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，4()x f x x e +…，求a 的取值范围．【解析】解：（1）当1a =时，42()1f x x x =++，所以32()422(21)f x x x x x ′=+=+，当0x >时，()0f x ′>，函数单调递增，当0x <时，()0f x ′<，函数单调递减，所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，函数的单调递减区间为(,0)−∞；（2）由题意得，0x >时，424(1)1x x x a x x e ++−++…恒成立，即2(1)1x x a x e +−+…恒成立，所以211x e x a x−−−…，令21()x e x g x x−−=，0x >，由重要不等式可知，当0x >时，1x e x >+，则222(2)(1)(1)(1)()x x x e x x e x x e x g x x x−−−−−−−′==，当1x >时，()0g x ′>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()g x g …（1）2e =−，所以12a e −−…，即1a e −…，所以a 的范围为{|1}a a e −…．例3．已知函数2()1x f x e ax x =−−−．（Ⅰ）当1a =−时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x …时，321()22f x x ax −…恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：()I 当1a =−时，2()1x f x e x x =+−−，则()21x f x e x ′=+−在R 上单调递增，又(0)0f ′=，故当0x >时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当0x <时，()0f x ′>，函数()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)−∞上单调递减；()II 当0x =时，不等式321()22f x x ax −…恒成立，当0x >时，由321()22f x x ax −…恒成立可得32112xx x e a x ++−…恒成立，令32112()xx x e g x x ++−=，0x >，则323311(2)2(2)(1)22()x x x e x x x e x x g x x x−+−−−−−−′==，令21()12x m x e x x =−−−，则()1x m x e x ′=−−，令()1x h x e x =−−，0x >，则()10x h x e ′=−>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h >=，所以()0m x ′>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0m x m >=，所以当02x <<时，()0g x ′>，()g x 单调递增，当2x >时，()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()maxg x g =（2）274e −=，所以274e a −…，故a 的取值范围为27{|}4e a a −…．例4．已知函数2()f x alnx x x =+−，其中a R ∈．（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x …时，()0f x …恒成立，求a 的取值范围．【解析】解：（1）22()21a x x af x x x x−+′=+−=，(0)x >，令2211()22()48g x x x a x a =−+=−+−，(0)x >，18a …时，()0g x …，即()0f x ′…， ()f x 在(0,)+∞递增，108a <<时，令()0g x ′>，解得：x >或0x <<令()0g x ′<x <<，故()f x 在递增，在递减，在，)+∞递增；（2）1x =时，显然成立，1x >时，问题转化为2x xa lnx −+…在(1,)+∞恒成立，令2()x x h x lnx−+=，则2(21)1()()x lnx x h x lnx −++−′=，令()(21)1m x x lnx x =−++−，(1)x >，则1()20xm x lnx x−′=−+<，故()m x m <（1）0=，故()h x 在(1,)+∞递减，而21121lim lim 11x x x x x lnxx→→−+−+==−，故1a −…．【同步练习同步练习】】1．设1()(x e f x ax b a x−=−−、b R ∈，e 为自然对数的底数）．（1）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为240x y ++=，求a 、b 的值；（2）当1b =时，若总存在负实数m ，使得当(,0)x m ∈时，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）21()x x xe e f x a x−+′=−，f ∴′（1）1a =−．∵曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为240x y ++=，f （1）52=−． f ∴′（1）112a =−=−，f （1）512e a b =−−−=−．联立解得：32a =，b e =．（2）1b =时，(,0)x m ∈，0m <，()0f x <，可得：21()x e xa g x x −−<=． 3(2)2()x x e x g x x −++′=，令()(2)2x h x x e x =−++，(0)0h =，()(1)1x h x x e ′=−+，(0)0h ′=， ()0x h x xe ′′=<，()(0)0h x h ∴′<′=， ()(0)0h x h ∴<=， ()0g x ∴′>，∴函数()g x 在(x m ∈，0)(0)m <上单调递增，21()()m e mg x g m m −−∴>=．21(0)m e m a m m −−∴<…．∴实数a 的取值范围是21(,]m e mm −−−∞． 2．设2()()2f x a lnx lnx =−−．（1）若f （e ）2=−，求()0f x =时x 的值；（2）若x ∈，]e 时()0f x <，求a 的取值范围．【解析】解：（1）f ∵（e ）2=−，2()22a lne lne ∴−−=−，即1a =，2()()2f x lnx lnx ∴=−−．由2()()20f x lnx lnx =−−=得(2)(1)0lnx lnx −+=，即2lnx =，或1lnx =−，即2x e =，或1x e −=．（2）∵]x e ∈时，()0f x <，∴]x e ∈时，有2()20a lnx lnx −−<，即222112()()lnx a lnx lnx lnx+<=+．设1t lnx=，则22a t t <+．由]x e ∈得[1t ∈，2]．因为关于t 的二次函数22t t +在[1t ∈，2]上单调递增，22t t ∴+的最小值在1t =处取得，这个最小值为3，3a ∴<． 3．已知函数3()1(0)ax f x x e a =−≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若2a =，不等式()3f x mx lnx +…对(0,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围【解析】解：（1）232()3(3)ax ax ax f x x e ax e x e ax ′=+=+，当0a <时，令()0f x ′>，解得3x a<−；令()0f x ′…，解得3x a−…，∴函数()f x 的单调递增区间为3(,)a −∞−，单调递减区间为3[,)a−+∞；当0a >时，令()0f x ′>，解得3x a >−；令()0f x ′…，解得3x a−…，∴函数()f x 的单调递减区间为3(,]a −∞−，单调递增区间为3(,)a−+∞；（2）2a =∵，∴不等式()3f x mx lnx +…对(0,)x ∈+∞恒成立即为3231x x e lnx m x−−…对(0,)x ∈+∞恒成立，设()1(0)g t t lnt t =−−>，则11()1t g t t t−′=−=，令()0g t ′<，解得01t <<；令()0g t ′>，解得1t >，()min g t g ∴=（1）0=，10t lnt ∴−−…，取32x t x e =，则32321()0x x x e ln x e −−…，即32312x x e lnx x −−…，∴323122x x e lnx xx x−−=…，设32()x h x x e =，由(0)01h =<，h （1）21e =>，∴方程321x x e =必有解，∴当且仅当321xx e =时，函数3231(0)x x e lnx y x x−−=>取得最小值2， 2m ∴…，即实数m 的取值范围(−∞，2]．4．已知函数21(),(),()12x f x lnx x g x ax ax h x mxe =+=+=−．（1）讨论()()()F x g x f x =−的单调性；（2）若不等式()()h x f x …对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围．【解析】解：（1）2211()(1)22F x ax ax lnx x ax a x lnx =+−−=+−−，∴1(1)(1)()(1)(0)ax x F x ax a x x x−+′=+−−=>， ①当0a …时，()0F x ′<，此时()F x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时，可知当1(0,)x a∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，当1(,)x a∈+∞时，()0F x ′>，()F x 单调递增；综上，当0a …时，()F x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()F x 在1(0,a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增；（2）依题意，1x mxe lnx x −+…在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1xlnx x m xe ++…在(0,)x ∈+∞上恒成立，设1()xlnx x G x xe ++=，则2(1)()()x x lnx x G x x e +−−′=，令()p x lnx x =−−，则1()10p x x ′=−−<，()p x ∴在(0,)+∞上单调递减，且11(10,(1)10P p e e=−>=−<，故存在01(,1)x e∈，使得000()0p x lnx x =−−=，即000lnx x +=，即00x x e −=，当0(0,)x x ∈时，()0p x >，()0G x ′>，当0(x x ∈，)+∞时，()0p x <，()0G x ′<，∴000000011()()1max x x x lnx x G x G x x e e e−++====i ， ∴实数m 的取值范围为1m …． 5．已知函数1()f x alnx x =+，1()1(,)x g x xe mx a m R x=+−−∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，若不等式()()f x g x …恒成立，求m 的取值范围．【解析】解：（1）1()f x alnx x=+的定义域为(0,)+∞，则2211()(0)aax f x x xx x −′=−=>，当0a …时，()0f x ′<，()f x 单调递减，当0a >时，令()0f x ′=，解得1x a=，当1(0,x a∈时，()0f x ′<，()f x 单调递减，当1(x a∈，)+∞时，()0f x ′>，()f x 单调递增，综上所述，当0a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，当0a >时，()f x 在1(0,a上单调递减，在1(a，)+∞上单调递增．（2）当1a =时，1()f x lnx x=+，不等式式()()f x g x …恒成立等价于1x xe lnx m x −−…在(0,)+∞恒成立，即只需1(x min xe lnx m x−−…，记()1x h x e x =−−，则()1x h x e ′=−，当(,1)x ∈−∞时，()0h x ′<，所以()h x 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()0h x ′>，所以()h x 单调递增，所以()(0)0h x h =…，所以10x e x −−…，即1x e x +…，当且仅当0x =时，等号成立，又因为()1()10x x lnx xe lnx x e lnx x +−+−=−+−…，当且仅当0lnx x +=时，等号成立，所以1xxe lnx x −−…，从而11x xe lnx xx x−−=…，所以1()1x min xe lnx x−−=，所以1m …，故m 的取值范围为(−∞，1]． 6．已知函数2()(2)x af x x e a a=−−+．（1）若1a =−，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）当0x >时，函数()1f x −…（其中0)a >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）1a =−时，函数()1x f x x e −=⋅−的导数为()x x f x e xe −−′=−，当1x >时，()0f x ′<，1x <时，()0f x ′>，可得()f x 的增区间为(,1)−∞，减区间为(1,)+∞，()f x 有极大值f （1）11e −=−，无极小值；（2）当0x >时，函数()1f x −…（其中0)a >恒成立，可得2(2)1x a x e a a −−+−…对0x >，0a >恒成立，令x t a =，可得x at =，即有(22)10t ate a t a −+++…，可得211t a t a te −+…，设21()t t g t te −=， (21)(1)()tt t g t te +−′=，0t >，可得()g t 在(0,1)递增，(1,)+∞递减，可得()g t 的最大值为g （1）1e=，则11a a e +…，解得11a e −…． 7．已知函数()1(x f x e ax a R =−−∈，e 为自然对数的底数）．（1）若()f x 在定义域内有唯一零点，求a 的取值范围；（2）若2()x f x x e …在[0，)+∞上恒成立，求a 的取值范围．【解析】解：（1）()x f x e a ′=−，当0a …，(0)0f ′>，()f x 在R 上单调递增，又1(1)10f a e−=−+<，f （1）10e a =−−>，由零点存在定理知，函数()f x 在R 上有唯一零点，符合题意，当0a >，令()0f x ′=得x lna =，当(,)x lna ∈−∞，()0f x ′<，()f x 单调递减，(,)x lna ∈+∞，()0f x ′>，()f x 单调递增，所以()()11lna min f x f lna e alna a alna ==−−=−−，设g （a ）1(0)a alna a =−−>，则g ′（a ）1(1)lna lna =−+=−，当01a <<时，g ′（a ）0>，g （a ）单调递增，当1a >时，g ′（a ）0<，g （a ）单调递减，所以g （a ）max g =（1）0=，故1a =，综上，实数a 的取值范围为{|0a a …或1}a =．（2）2()x f x x e …对[0x ∈，)+∞恒成立，即2(1)1x x e ax −+…对[0x ∈，)+∞恒成立，记2()(1)(1)(1)x x h x x e x x e =−=+−，当1a …时，设函数()(1)x m x x e =−，则()0x m x xe ′=−…，因此()m x 在[0，)+∞单调递减，又(0)1m =，故()1m x …，所以()(1)()11h x x m x x ax =+++剟；当01a <<时，设函数()1x n x e x =−−，则()10x n x e ′=−…，所以()n x 在[0，)+∞单调递增，且(0)0n =，故1x e x +…．当01x <<时，2()(1)(1)h x x x >−+，22(1)(1)1(1)x x ax x a x x −+−−=−−−，取0x =，则0(0,1)x ，2000(1)(1)10x x ax −+−−=，故00()1h x ax >+，当0a …，取0x =，则0(0,1)x ∈， 20000()(1)(1)11h x x x ax >−+=+…，综上，a 的取值范围为[1，)+∞．8．已知函数()1f x xlnx ax =+−，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2a =时，对1x >，()(1)f x b x >−任意恒成立，求正整数b 的最大值．【解析】解：（1）因为()1f x xlnx ax =+−，所以()1f x lnx a ′=++，令()0f x ′=，可得1a x e −−=，当1(0,)a x e −−∈时，()0f x ′<；当1(a x e −−∈，)a +时，()0f x ′>．所以()f x 的单调递增区间为1(a e −−，)+∞；单调递减区间为1(0,)a e −−．（2）当2a =，1x >时，()(1)f x b x >−变形为()2111f x xlnx x b x x +−<=−−．令21()1xlnx x g x x +−=−，22()(1)lnx x g x x −+−′=− 令11()2,()10x h x lnx x h x x x −′=−+−=−+=> 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，又h （2）20ln =−<，h （3）310ln =−+<，h （4）2220ln =−+>，所以存在唯一0(3,4)x ∈，使得()0h x =，即002lnx x =−，故当0(1,)x x ∈时，()0h x <，()g x 单调递减；当0(x x ∈，)+∞时，()0h x >，()g x 单调递增，所以200000000211()()111x lnx x x g x g x x x x +−−===+−−…，即01b x <+，又0(3,4)x ∈，所以01(4,5)x +∈，因为*b Z ∈，所以4max b =．9．已知函数2()f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若对于任意x R ∈，都有()()f x k g x −…恒成立，求k 的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由题意知(0)2f =，(0)2g =，(0)4f ′=，(0)4g ′=，而()2f x x a ′=+，()()x g x e cx d c ′=++，故2b =，2d =，4a =，4d c +=，从而4a =，2b =，2c =，2d =；（Ⅱ）由()I 知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，由()()f x k g x −…恒成立得()()f x g x k +…恒成立，设2()()()2(1)42x F x f x g x e x x x =+=++++，则()2(2)242(2)(1)x x F x e x x x e ′=+++=++，由()0F x ′>得2x >−，由()0F x ′<得2x <−，即当2x =−时，()F x 取得极小值，同时也是最小值，此时222(2)2(21)(2)4(2)222F e e −−−=−++−+×−+=−−，则222k e −−−…．10．设函数()2x f x e ax =−−．（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x −′++>，求k 的最大值．【解析】解：（1）()f x 的定义域为R ，()x f x e a ′=−，若0a …，则()0f x ′>，()f x 在R 上单调递增；若0a >，则()0f x ′=解得x lna =．当x 变化时，()f x ′，()f x 变化如下表： x (,)lna −∞lna (,)lna +∞ ()f x ′− 0 + ()f x 减极小值增所以，()f x 的单调减区间是：(,)lna −∞，增区间是：(,)lna +∞．（2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x −′++=−−++．故当0x >时，()()10x k f x x −′++>等价于1(0)1x x k x x e +<+>−①，令1()1x x g x x e +=+−，则2(2)()(1)x x x e e x g x e −−′=−，而函数()2x f x e x =−−在(0,)+∞上单调递增，f （1）0<，f （2）0>，所以()f x 在(0,)+∞存在唯一的零点．故()g x ′在(0,)+∞存在唯一的零点．设此零点为a ，则(1,2)a ∈．当(0,)x a ∈时，()0g x ′<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x ′>．所以()g x 在(0,)+∞的最小值为g （a ）．又由g ′（a ）0=，可得2a e a =+，所以g （a ）1(2,3)a =+∈．由于①式等价于k g<（a），故整数k的最大值为2．。

分离参数法求解参数问题含详解

一、分离参数，绕开分类讨论
1．已知函数 f x ax2 x lnx 1 ax2 x . （a∈R）． 2
（1）当 a＝0 时，求曲线 y＝f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e＝2.718…）（2）已知 x＝e 为函数 f（x）的极值点，求函数 f（x）的单调区间．【答案】（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）．【解析】（1）∵a＝0， ∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx，则直线的斜率 k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1， f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0，故所求切线方程为 x+y﹣e＝0．（2）函数的导数 f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx， ∵x＝e 为函数 f（x）的极值点，
2 作出函数 u=1+ x 1 （r＜x＜a-2）的图象，得 a-2=-1，解得：a=1，矛盾．
9
综上，r=1，a=2+ 3 ．
10．已知函数 f (x) mx 1 1 (m, n 是常数 ) ，且 f (1) 2 ， f (2) 11 .
nx 2
4
（1）求 m,n 的值；
（2）当 x 1, 时，判断 f (x) 的单调性并证明；
（2）若 a= 1 ，并且对区间[3，4]上的每一个 x 的值，不等式 f（x）＞（ 1 ）x+t 恒成立，求实数 t 的取值
2
2
范围．
（3）当 x∈（r，a-2）时，函数 f（x）的值域是（1，+∞），求实数 a 与 r 的值．
【答案】（1）1；（2）
t
9 8
；（3）

专题17参变分离法解决导数问题(解析版)

专题17 参变分离法解决导数问题1.分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；（2）解题过程中可能遇到的问题：①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂； ③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难. 2.分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！一、单选题1．已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】1()0f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，即1a x≥在区间()1,2上恒成立，显然1y x=在区间()1,2的最小值为12，所以12a ≤．故选：B ． 2．若函数()5ln f x x a x x=--在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．-⎡⎣B ．(,-∞C ．(],6-∞D ．(]0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2510a f x x x '=+-≥，即5a x x≤+恒成立，又5x x +≥x =a ≤B 3．已知函数()e xf x mx x=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(),2-∞B ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],e -∞D ．2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则2e xm x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，令()()2e 0xh x x x =>，则()()()3e 20x x x h x x-'>=，令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<，故()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()()2e 24minh x h ==，故2e 4m <.故选：B.4．关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解，则实数m 的取值范围（） A ．(],2-∞-B ．[)2,+∞C ．5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x =时，可得10=显然不成立；当(]0,2x ∈时，由于方程210x mx ++=可转化为1m x x =--，(]0,2,x ∈令1y x x =--，可得222111x y x x-=-='，当01x <<时，0y '>，函数单调递增；当12x <<时，0y '<，函数单调递减，所以当1x =时，函数1y x x=--取唯一的极大值，也是最大值，所以2max y =-，所以2y ≤-，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选：A. 5．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即1ln xxa e +-=没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同. 令1ln ()x x g x e+=，0x >，则1ln 1()x x x g x e --'=，令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故当1x =时，()g x 取得最大值1(1)g e=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，结合图象可知，1a e -≥即1a e ≤-.故选：C.6．若对任意正实数x ，不等式()21xe a x -≤恒成立，则实数a 的范围是（）A ．ln 2122a ≤+ B ．ln 212a ≤+ C ．1ln 22a ≤+D ．ln 2122a ≥+ 【解析】因为不等式()2e 1xa x -≤恒成立，2e 0x >，所以21e xa x ≤+恒成立，设()21e xf x x =+，则()min a f x ≤，因为()221e x f x '=-+，令()0f x '=，则ln 22x =，所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以ln 2122a ≤+，故选：A 7．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（） A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立，所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立，令()()1x x xe h x x -=>-，则()()11xx h x e -+'=，令()()11x x x e m =-+，则()()02x x m x e +'=-<，所以()()11xx x e m =-+在()1,-+∞上单调递减，且()()000110e m -+⨯==，即()00h '=，因此()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()max 00h x h ==，所以0a ≤，故选：B.8．当0x >时，11e 2x a x->-恒成立，则a 的取值范围为（） A ．()1,+∞ B ．()e,∞+ C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【解析】由11121e2e x x x a a x x --->-⇒>，设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e e x x x x x x f x x x --+-+-++'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >.故选：A.9．对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（）A BC ．1eD ．e【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)xf x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e xa x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==．∴实数a 的最大值为e ．故选：D 10．已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（） A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >，不等式转化成2(1)1tt emt 在0t >时有解，则2(1)1t t e mt 有解，记2(1)1()t t e h t t，则322(1)1()t t t t e h t t，再令32()(1)1t g t t t t e ，则32()(4)0t g t t t t e ，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()h t 在0t >时递增，故20(1)1()lim t t t e h t t ，记()()21tt t e ϕ=-，0()(0)()lim(0)10t t h t t ，于是2(1)1t t e mt有解，只需要1m >-.故选：C 二、多选题11．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（） A ．10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,)e 上单调递增C ．126x x +>D ．若221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【解析】令()0f x =得ln x a x=，记ln ()xg x x = 21ln ()xg x x-'=，令()0g x '=得x e = 当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0x →时，()g x →-∞，1(e)g e=，x →+∞时，()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点，且交点的横坐标为1x ，2x ，所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；因为11()'-=-=ax f x a x x ，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 递增，因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(0,)0,e a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；当1a e →时，1e a →，10f a ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以12,x e x e →→，所以1226x x e +→<，所以C 选项错误；因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，且221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，因为()1(1)0f a f x =-<=，所以11x >因为()2222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，所以22x a <所以21221a x x a a--<-=，故D 选项正确故选：ABD.12．已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-，上只有一个零点，则实数k 可取的值有（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【解析】由题意可知，()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根，等价于1xk x e =+在区间[1,1]-上只有一个根，等价于y k =与1()xg x x e =+的图像有唯一一个公共点，由1()x g x x e =+得1()1x g x e=-'，令()0g x '=得0x =，当10x -≤<时，()0g x '<，则()g x 在[1,0)-上单调递减，当01x <≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,1]上单调递增，∴在区间[1,1]-内，当0x =时()g x 取极小值也是最小值，∴当()(0)1g x g ≥=，又1(1)1g e =+，(1)1g e -=-，且111e e ->+，则满足条件的k 的取值范围是{}11(1,1]e e⋃+-，所以k 可取的值为1、2.故选:CD.13．设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值可以是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】易知()f x 在定义域内单调递增，若()f b b >，则()()()f f b f b b >>，若()f b b <，则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则()f b b =，即()f x x =在[]0,1上有解.故[]2e ,0,1x x a x x x =+∈=-，设[]2e ,0,1()x g x x x x +∈-=，则e 1(2)x g x x =-+'，令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=，在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减，在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增，故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>，()g x 在[]0,1上单增，又(0)1,(1)e g g ==，故1e a ≤≤. 故选：BC.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（） A ．10a e-≤<B ．4312a e e ≤< C ．3211a e e ≤< D ．1a e e≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数； 222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln xae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()xx x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e -------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e--≤===，故若使22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD. 三、填空题 15．若函数21()e 2x f x x a =-是R 上的减函数，则实数a 的最小值为_______ 【解析】由题意得，()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立，即e xxa ≥在R 上恒成立，令1()=,()=e ex x x xg x g x -'，当1x <时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，故max 1()=g(1)=eg x ，故1e a ≥，即函数a 的最小值为1e ，16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【解析】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-，∴()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．17．已知函数()333sin x x x f x =+-，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【解析】因为()()()()()()3333sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-，所以()f x 为奇函数，因为()()22333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥，所以()f x 为R 上的增函数，由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-，则ln 2x ax -≤-，因为,()0x ∈+∞，所以ln 2x a x--≥．令ln 2()(0)x g x x x-=>，则()23ln xg x x -'=，令()0g x '=，得3e x =，当30e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当3e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()()33max 1e e g x g ==，所以31e a -≥，即31ea ≤-，所以实数a 的取值范围为31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18．已知(0,2)x ∈，若关于x 的不等式21e 2x k x x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围是________．【解析】依题意，知220+->k x x ，即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立，从而0k ≥，因此由原不等式，得2e 2<+-x k x x x 恒成立．令2e ()2=+-xf x x x x ，则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ．令()0f x '=，得1x =．当(1,2)x ∈时，()0f x '>．函数()f x 在(1,2)上单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)e 1<==-k f x f ，故实数k 的取值范围是[0,e 1)-．四、解答题19．已知函数21()ln 2f x x x =-.（1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）求导得：211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得12x <<，于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在(1,2)单调递减，于是当1x =时，()f x 取最大值为12-，又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-综上：当1x =时，()f x 取最大值为12-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-（2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x ->-，可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得：312ln ()xg x x '-=，于是函数()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减于是：()max 11g22g x e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e>-.20．已知函数()2()ln f x x ax x =+，a R ∈.（1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值；（2）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.又()(2)ln f x x a x x a '=+++，则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =，所以切点为(1,0). 所以02110a +=+-，解得1a =. （2）当21x e <<时，0ln 2x <<.当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，即不等式ln xa x x<-，()2x e ∈1,恒成立. 设()ln x g x x x=-，()2x e ∈1,，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '--+=-=-. 因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '<.所以()g x 在()21,e 上单调递减，从而()22()2e g x g e >=-.要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22ea ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21．已知函数()()212ln f x x ax x a R =-+∈，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.(1)求切线l 的方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >，12()2f x x a x'=-+，由题意知，(1)144f a '=-=，所以10a =，故2()1012ln f x x x x =-+，所以(1)9f =-，切点坐标为(1,9)- 故切线l 的方程为413y x =-．(2)由（1）知，2()1012ln (0)f x x x x x =-+>，所以2()f x x bx ≤+，可化为：12ln 10x x bx -≤，即12ln 10xb x≥-在(0,)+∞上恒成立，令12ln ()10x g x x =-，则212(1ln )()x g x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(e,)+∞上单调递减，所以当e x =时，函数()g x 取得最大值12(e)10eg =-，故当1210e b ≥-时，12ln 10x b x≥-在(0,)+∞上恒成立，所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()ln 1f x x mx =--．(1)若0x ∀>，不等式()0f x <恒成立，求m 的取值范围； (2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线，求证：1m ≥-．【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立，即代表ln 10x mx --<恒成立，因为0x >，故ln 1x m x->恒成立，令ln 1()x g x x -=()0x >，故22ln ()xg x x -'=，令()0g x '>，解得：20x e <<，故()g x 在()20,e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，故()g x 在()0,+∞的最大值为221()g e e =，故21m e >，所以m 的取值范围是21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； (2)：设切点为000(,ln 1)x x mx --，又因为1()f x m x'=-，所以函数在0x x =处的切线斜率01k m x =-，所以函数在0x x =处的切线方程为：0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫---=- ⎪⎝-⎭，又切线经过点(1,0).故可得：00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭-，化简整理可得：0001ln 2(0)m x x x =+->，令1()ln 2(0)h x x x x=+->，21()x h x x -'=，令()0h x '>，解得1x >，故()h x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞单调递增，故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-，故：1m ≥-，得证．23．已知函数()()()x xf x e sinx ax a Rg x e cosx =-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+sin()4x x π+，当224k x k ππππ<+<+，即32244k x k ππππ-<<+时，()0f x '>，当2224k x k πππππ+<+<+，即372244k x k ππππ+<<+时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ． (2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--，()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-，由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，即2e sin x a x =有两个实根，设()2e sin x h x x =，则()2e (sin cos )sin()4x x h x x x x π'=+=+， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以324x ππ<<时，()0h x '>，()h x 单调递增， 34x ππ<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中22e 2h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h π=，所以当3242e 2e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根，即当3242e 2e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点. 24．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=，所以(1)1f a '=+，又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行，所以11e a +=-，解得a e =-，所以2()ln e f x x x x =-.(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立，因为0x >，所以22ln e e ln x x x k x x x+<=+.令e ()ln g x x x =+，则221e e ()x g x x x x-=-='. 当(0,e)x ∈时，()0g x '<；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数e ()ln g x x x=+在(0,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，所以()(e)2g x g ≥=，故2k <，即实数k 的取值范围是(,2)-∞.25．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈. (1)当2a =-时，求()f x 的单调区间；(2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）2a =-时，()221e x x x f x --+=，()()()212e xx x f x +-'=，令()1102f x x '=⇒=-，22x =.∴()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）法一：常规求导讨论()()()()221212e e x x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时，令()02f x x '=⇒=且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意. ②当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上，此时()()01f x f ≤=符合题意. ③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时()()01f x f ≤=符合题意. ③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a aa a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立. ④当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()2,+∞上.此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤. 综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦. 法二：参变分离①0x =时，不等式显然成立.②当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=， ()()()33e 12e 2e 2x x x x x x g x x x ----+'==. 令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，∴()()2min e 124g x g +==，∴2e 14a +≤. 26．已知函数()ln a f x x x x=++，a ∈R . （1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()()g x f x x '=-有一个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）因为()ln a f x x x x =++，则2221()1a x x a f x x x x +-'=-+=，由于()'10f =，则221101a +-=，∴2a =，当2a =时，()()222221212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+== 因为()f x 的定义域为()0,∞+，则()0f x '=时，1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，所以2a =符合题意，故2a =.（2）()22'x x a f x x+-=，∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立，即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立，∴a 的取值范围为(],2-∞.（3）220x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根，令32()h x x x x =--，0x >，则()()2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，且(0)0h =，(1)1h =-，x →+∞时，()h x →+∞，当0a -≥即0a ≤时，1个根；当1a -=-即1a =时，1个根，综上：a 的取值范围为(]{},01-∞.27．已知函数()ln x f x x =. （I ）求函数()f x 的单调区间和极值；（II ）若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）因为()()21ln 0x f x x x -'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；且()()1e ef x f ==极大，无极小值；（II ）因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，设()()2ln 0x g x x x =>，则()max k g x ≥，因为()()432ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>，当(x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 12eg x g ===，所以12e k ≥. 28．已知函数()()e e 0xf x x x=>．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)求导：1e e 1e e ()x x f x x x++'=-，即e 1e ()(e)xf x x x +'=- 当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得e x >()f x 的单调递减区间为()0,e ；单调递增区间为()e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1f =(2)由（1）得()(e)1f x f ≥=，所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立，必须满足： (e)e lne 1e f a a ≥++⇒≤-，下面证明：当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-，∴只需证明e e eln 10x x x x-+-≥，设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10xx-≥且只在e x =取等号， ∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增 e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．解法二：（变量分离）整理得：e1l e n xx x a x--≤ 只需m e in 1()l e n xx x a x--≤，先证明：e 1x x ≥+，构造()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '≥，()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=，从而证明得e 1x x ≥+ e ln e 11l e e e e n 11ln xx x x x x x x x x---=--≥-+--=-，当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln xx x x x x---∴≥=-，∴e a -≤.，解法三：（不分离）eln (ln )1e e eln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得e a -≤下面证明当e a -≤时，e ln 10e xx a x x---≥ ∴只需证明e eeln 10xx x x -+-≥设e ()n 1e el xx x x xϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x xx x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10xx-≥且只在e x =取等号 ∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．29．已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-，所以1(1)2'=-f ，又(1)0f =，所以切线方程为1(1)2y x =--，即210x y +-= (2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，因为1≥x 所以13ln (ln 2)24x x x a x -≥-，当2e x =时，R a ∈，当2e x >时，13ln 24ln 2x x x a x -≤-，当21e x ≤<时，13ln 24ln 2x x x a x -≥- 构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-，2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=- 当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2e <e x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，故21e x ≤<时，max e ()(e)4h x h ==，因此e 4a ≥ 当522e e ,()0x h x '<<<，()h x 单调递减，当52e x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故2e x >时，5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，因此52e a ≤，综上：52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦30．已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.【解析】(1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =-(2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立，等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令()ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=，令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0x x a x--=，令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x--'=，设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>， ()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x x y x--'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷，所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==，所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >.。

高考数学(理)-分离(常数)参数法(讲)-专题练习(五)(含答案与解析)精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版高考数学（理）专题练习（五）分离（常数）参数法（讲）一．分离常数法1.1．用分离常数法求分式函数的最值例1．函数()(2)1x f x x x =≥-的最大值为_________． 1.2．用分离常数法求函数的值域例2．函数22(1)1x y x x +=>-的最小值是（） A．2B．2 C． D ．21.3．用分离常数法判断分式函数的单调性例3．已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性．例4．已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间123⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上是增函数，则实数a 的取值范围 _________．二．分离参数法2.1．用分离参数法解决不等式恒成立问题例5．已知数列{}n a 是以为首项，以为公差的等差数列，数列{}n b 满足(1)2n n b n a =+．若对n +∈N 都有 4n b b ≥成立，则实数t 的取值范围是_________．2.2．求定点的坐标例6．已知直线:(21)(1)740l m x m y m ++++--=，m ∈R ，求证：直线l 恒过定点．t 2分离（常数）参数法（讲）答案例1．2例2．A例3．解：由已知有()1,x b a b a b y x b x b x b++--==+≠++， ∴当0a b ->时，函数()f x 在(),b -∞-和(),b -+∞是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(),b -∞-和(),b -+∞上是增函数．例4．43a ≥．例5．[18,14]-- 例6．解：直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得()403,1270x y M x y +-=⎧⇒⎨+-=⎩， ∴直线l 恒过定点()3,1分离（常数）参数法（讲）解析例1．例2．【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2例3．例4．【解析】∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x≥-+在1[2]3，恒成立，∵max 18()3x x -+=，∴823a ≥，即43a ≥。

专题04 分离参数法的运用 Word版含解析

专题04 分离参数法的运用例1．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）≥g（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．方法二：①当a≤0时，f（x）=e x﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．②当a＞0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴，（x≥0）．当h（2）＜0时，即a，由于h（0）=1，且当x＞0时，e x＞x2，可得h（4a）=1﹣==1﹣＞0．h（x）在（0，+∞）有2个零点当h（2）＞0时，即，h（x）在（0，+∞）没有零点，当h（2）=0时，即a=，h（x）在（0，+∞）只有一个零点，综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=．例2．（2018•南开区三模）已知函数f（x）=x﹣1e x的定义域为（0，+∞）．（Ⅰ）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；（Ⅱ）对∀x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞﹣x2+ax﹣1恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=1，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，①当m≥1时，函数f（x）在[m，m+1]上单调递增，∴f（x）min=f（m）=，②0＜m＜1时，函数f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=e；（Ⅱ）对∀x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞﹣x2+ax﹣1恒成立，即a＜+x+，令g（x）=+x+，∴g′（x）=，由g′（x）＞0，可得x＞1，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＜0，可得0＜x＜1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）min=g（1）=e+2，∴a＜e+2．例3．（2018•湖北模拟）设f（x）=ax3+xlnx（a∈R）．（1）求函数的单调区间；（2）若∀x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=ax2+lnx（x＞0），①当a≥0时，2ax2+1＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＜0时，由2ax2+1＞0得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）∵x1＞x2＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＜2x1﹣2x2，∴f（x1）﹣2x1＜f（x2）﹣2x2，即F（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上为减函数，F（x）=ax3﹣2x+xlnx，F'（x）=3ax2﹣2+1+lnx=3ax2﹣1+lnx≤0，∴，x＞0令，，∴当，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴，∴，∴∴a的取值范围是．变式1．（2018春•南通期中）已知f（x）=2x2﹣x+1，g（x）=x．（1）求不等式≥2g（x）的解集；（2）若不等式mg（x）+f（x）≥0对任意x∈（0，2]恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）不等式≥2g（x），即为≥2x，即≥0，解得x＞1或x≤﹣1，则解集为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）；（2）不等式mg（x）+f（x）≥0对任意x∈（0，2]恒成立，即为mx+2x2﹣x+1≥0，可得﹣m≤2x+﹣1在x∈（0，2]恒成立，由2x+﹣1≥2﹣1=2﹣1，当且仅当2x=即x=时，上式取得等号，可得﹣m≤2﹣1，即m≥1﹣2．变式2．（2018春•乐山期中）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求证：函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点．（2）当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数f （x）=e x+2x2﹣3x的导数为f′（x）=e x+4x﹣3，在（0，1）递增，可得f′（0）=1﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+4﹣3=e+1＞0，即有函数f （x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（2）当x≥时，若关于x的不等式f （x）≥x2+（a﹣3）x+1恒成立，即为a≤﹣x﹣的最小值，由g（x）=﹣x﹣的导数g′（x）=﹣+，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，可得x＞0，函数y=e x﹣x﹣1递增，x＜0时，函数y递减，则e x﹣x﹣1≥0，且e x≥x+1＞0，则﹣+≥﹣+=＞0，则g（x）在[，+∞）递增，可得g（）取得最小值，且为2e﹣，则a≤2e﹣．变式3．（2017春•南昌期末）已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．【课堂作业】1．（2017秋•库尔勒市校级期中）设函数f（x）=x2﹣2tx=2，且函数f（x）的图象关于直线x=1对称．（1）求函数f（x）在区间[0，4]上的最小值；（2）设h（x）=，不等式h（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以t=1，故函数f（x）=x2﹣2x=2=（x﹣1）2+1，所以，函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增，所以当x=1时，f（x）的最小值为1…5′（2）不等式h（2x）﹣k•2x≥0化为：，化为1+2≥k，令t=，则k≤2t2﹣2t+1，因x∈[﹣1，1]故t∈[，2]，记G（t）=2t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故G（t）min=，所以k的取值范围是：…12′2．（2017秋•思明区校级期中）已知函数f（x）=3x﹣．（1）若f（x）=0，求x的取值集合；（2）若对于t∈[1，3]时，不等式3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0恒成立；当x≥0时，f（x）=3x﹣=0，解得：x=0；综上所述，x的取值集合为{x|x≤0}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）∵t∈[1，3]，∴f（t）=3t﹣＞0．∴3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立可化为：3t（32t﹣）+m（3t﹣）≥0恒成立，即3t（3t+）+m≥0，即m≥﹣32t﹣1恒成立．令g（t）=﹣32t﹣1，则g（t）在[1，3]上递减，∴g（x）max=g（1）=﹣10．∴所求实数m的取值范围是[﹣10，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）3．（2016秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞5，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞5时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞5，均有不等式≥m成立．而=（x﹣1）+﹣2≥2﹣2=2（当x=3时等号成立）．因为x=5，所以，=3．实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【课后练习】1．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3）当x∈（0，1]时，t•f（x）≥2x﹣2恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，则f（0）==0，得a=2；（2）当a=2时，f（x）====1﹣，则f（x）在定义域R上的单调递增；设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣=，∵x1＜x2，∴＜，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在R上是增函数．（3）当x∈（0，1]时，函数f（x）为增函数，则f（0）＜f（x）≤f（1），即0＜f（x）≤，则t•f（x）≥2x﹣2恒成立等价为t≥=恒成立设g（x）==2x﹣，下证明g（x）为增函数，设0＜x1＜x2≤1，则g（x2）﹣g（x1）=﹣﹣+﹣+=（﹣）•（1+）＞0，即g（x2）＞g（x1），则g（x）在（0，1]上增函数，则g（x）的最大值为g（1）=0，则t≥02．（2018•西安二模）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（Ⅰ）若a=﹣4，求证：函数f（x）在上单调递增（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣4时，可得，当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（Ⅱ）f′（x）=，（x＞0）当[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．②若﹣2e2＜a＜﹣2，当x=时，f′（x）=0；当1时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；当x=时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故，③若a≤﹣2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥2时，f（x）min=1，此时x=1，当﹣2e2＜a＜﹣2时，，此时x=．当a＜﹣2e2时，，此时x=e，（Ⅲ）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而a≥，令g（x）=，又g′（x）=，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．3．（2018•菏泽一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=xe x﹣x﹣1．（1）若关于x的方程在区间[1，3]上有解，求实数m的取值范围；（2）若g（x）﹣a≥f（x）对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）方程即为．令，则．令h'（x）=0，则（舍），．当x∈[1，3]时，h'（x）随x变化情况如表：极大值∴当x∈[1，3]时，．∴m的取值范围是．（2）据题意，得g（x）﹣f（x）≥a对∀x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）﹣f（x）=x•e x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则．令G（x）=x•e x﹣1（x＞0），G'（x）=（x+1）•e x＞0，∴函数G（x）在（0，+∞）上递增．∵G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴G（x）在（0，1）上存在唯一的零点c，当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0．∴当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0．∴F（x）在（0，c）上递减，在（c，+∞）上递增，从而F（x）≥c•e c﹣lnc﹣c﹣1．由G（c）=0得c•e c﹣1=0，即c•e c=1，两边取对数得lnc+c=0，∴F（c）=0．∴a≤0，即所求实数a的取值范围是（﹣∞，0]．。

分离常数法求函数值域-高中数学解题方法含详解

试卷第1页，总4页分离常数法求函数值域高中数学解题方法一、单选题 1．已知函数2(),[2,6]1x f x x x +=∈-，则函数的值域为（） A ．8,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．8,[4,)5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．8,[4,)5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．8,45⎛⎫ ⎪⎝⎭2．对于函数31()31x x f x -=+，下列描述正确的选项是（）.A ．减函数且值域为(1,1)-B ．增函数且值域为(1,1)-C ．减函数且值域为(,1)-∞D ．增函数且值域为(,1)-∞3．定义：x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，例如：[]3.64-=-，[]5.65=，已知函数()23311x x f x -⋅=+，则()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,24．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =成为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12=-+x xe f x e ，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域是（） A ．{1}B ．{0,1}C ．{1,0}-D ．{1,0,1}-5．已知函数()()31(3)33x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域与值域相同，则常数a =（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-6．设()34sin 3sin f x xx+=+.若[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()y f x =⎡⎤⎣⎦的值域是（） A ．{}0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-7．已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，。

[高考文科数学复习]方法3.5 分离(常数)参数法(讲)

分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1 用分离常数法求分式函数的最值例1. 【2016高考北京文数】函数()(2)1x f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2例2.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++. 由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQ k m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；第21题图1 第21题图2当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.1.2 用分离常数法求函数的值域分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例3. 函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( ) A．23＋2 B．23－2 C．2 3D．2【答案】A1.3 用分离常数法判断分式函数的单调性例4.已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 【答案】当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.【解析】由已知有()1x b a b a b y x b x b++--==+++，x b ≠-，∴当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例5.已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3，上是增函数，则实数a 的取值范围______.【答案】43a ≥. 【解析】 ∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x≥-+在1[2]3，恒成立， ∵max 18()3x x -+=，∴823a ≥，即43a ≥. 2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知数列{}n a 是以t 为首项，以2为公差的等差数列，数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+．若对*n ∈N 都有4n b b ≥成立，则实数t 的取值范围是___________．【答案】[18,14]--例7.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21222l o gl o g l o g n n b a a a =+++ ，求使()8n n b nk -≥对任意n N +∈恒成立的实数k 的取值范围．【答案】（1）()*2n n a n N =∈；（2）10k ≤-. 【解析】（1）因为122n n S +=-，所以()122,2nn S n -=-≥ 所以当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，又211222a S ==-=，满足上式，2.2 求定点的坐标例8. 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.【答案】(3,1).【解析】直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒，∴直线l 恒过定点(3,1). 【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。

[高考文科数学复习]方法3.5 分离(常数)参数法(讲)

分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义

（1）求数列的通项公式；
（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以
所以当时，，
又，满足上式，
所以数列的通项公式
（2）
由对任意恒成立，即使对恒成立
设，则当或时，取得最小值为，所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线：，，求证：直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
∴函数在上单调递增，
又，
∴ ，
∴ ．
∴函数的值域为．
（Ⅲ）当时，．
由题意得在时恒成立，
∴ 在时恒成立．
令，
则有，
∵范围为．
例2.一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
例1.已知函数（且）是定义在上的奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域；
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

参数分离法处理含参数的导数问题

参数分离法处理含参数的导数问题题型一：全分离【例1】函数2()ln f x x a x =-在[1,2]上为增函数，求a 的取值范围．【解析】函数2()ln f x x a x =-在[1,2]上为增函数，则()20af x x x'=-≥在[1,2]上恒成立，（问题转化）因为2()2022a af x x x a x x x'=-≥⇒≥⇒≤，（分离变量，把x 与a 放在式子的两边，一边只含有一个字母，叫做全分离）所以2min (2)a x ≤（这里把a 看成不变的量，不变的量小于变化的量，就小于变化量的最小值）当x ∈[1,2]时，2min (2)x =2，所以2a ≤．【例2】已知函数()ln f x ax x =-，若f (x )＞1在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】因为1ln ()ln 11ln x f x ax x ax x a x +=->⇒>+⇒>，（分离变量）则有max 1ln x a x +⎛⎫> ⎪⎝⎭设1ln ()x g x x +=，x ∈[1,)+∞（由于1ln xx+的最值不能直接看出来，所以要构造函数来求，这种方法经常考查）由于2ln ()x g x x '=-，且1x >时，ln 0x >，20x >，所以x ∈[1,)+∞时，()0g x '<，所以1ln ()xg x x+=在[1,)+∞上单调递减，故max ()(1)1g x g ==，故1a >．【例3】若函数12()(0)()2ln (0)x x f x xx x a x ⎧+<⎪=⎨⎪->⎩恰有三个零点，则a 的取值范围为( D ) A ．1[,0]e - B ．1(0,)e ） C ．1[0,]eD ． 1(,0)e-【解析】当0x <时，12()()2x f x x=+为减函数，且(1)0f -=，所以在(,0)-∞上()f x 只有一个根，所以只需有0x >时，()ln f x x x a =-有两个零点即可，由于()ln 0ln f x x x a a x x =-=⇒=，令()ln g x x x =，()h x a =，则问题转化为函数()g x 与()h x 的图象有两个交点．（()h x 的图像为平行于x 轴的一条直线，由于a 未定，所以可以上下平移，()g x 为非基本函数，故需要通过导函数来研究）()ln 1g x x '=+，令()0g x '=，则有1x e=，所以，当1(0,)x e∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；（三步：自变量范围，导函数正负，原函数单调性）1(,)x e∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．由此可知当1x e =时，函数()g x 取得最小值1e-．（通过导函数画原函数图像的必备结论，单调性、关键点、走向趋势等）在同一坐标系中作出函数()g x 与()h x 的简图如图所示，（在这里画的只是简图，只具备关键信息，并不是标准图像，标准图像只能通过画图软件来画）根据图可得10a e-<<，故选D ．【练习】已知函数()ln ()x xf x e x ae a R =-∈，若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】1()(ln )x f x a x e x'=-+（1）若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立．（问题转化1）即1x－a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立．（问题转化2）所以a ≥1x＋ln x ，在x >0时恒成立．（分离变量）（注意下面的解答格式）令g (x )＝1x ＋ln x (x >0)，（构造函数求最值）则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2(x >0)，令()0g x '=，则1x =．所以由(0,1)x ∈时，()0g x '<，g (x ) 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，g (x ) 单调递增．此时g (x )的最小值为g (x )＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)．故f (x )不可能是单调递减函数．（因为a ≥1x ＋ln x ，故要在于右边的最大值，右边无最大值）（2）若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x－a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立，所以a ≤1x ＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1．故实数a 的取值范围是(－∞，1]．题型二：半分离【例4】已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ C ）A ． ()ln3,2B ． [)2ln3,2-C ． (]0,2ln3- D ． ()0,2ln3-【解析】由题意可知， ()0f x >，即()()ln 2240,0x a x a a +--+>>，()()ln 224022ln 40x a x a ax a x x a +--+>⇒->-->，（这里如果把2x -除到右边，会面临两个问题，一是2x -不清楚正负要分类讨论，二是很显然，式子的结构会很复杂，到这里可以看出左边是一个一次函数，右边是一个简单的复合函数，所以我们就不进一步分离了，这种方式叫半分离变量．）设()()2ln 4,2g x x x h x ax a =--=-，由()121'2x g x x x -=-=，令可知()'0g x =，则12x =，所以，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数，且1()ln 2302g =-<．（由于本题是关于整数的问题，所以对函数的关键点要做进一步计算(2)ln 20g =-<，(3)2ln30g =->，且有0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x →+∞）()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()(),g x h x 的图象如下：若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >，且()20f x >，（也就是说有且只有两个整数，使得()h x 的图像在()g x 的上方．）（因为x=2符合条件，下面就分两种情况：一是x=1符合，x=3不符合，由左图可知，矛盾；二是x=1不符合，x=3符合由左图可知成立）则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即0223a a a ln >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C ．【例5】若对任意的[1,1]x ∈- 都有3310kx x -+≥成立，求实数k 的取值范围．【解析1】全分离3331031kx x kx x -+≥⇒≥-（这里很多同学会把3x 直接除到右边，为什么不能这样呢？是因为3x 的正负不确定，涉及到除过去要不要变号的问题，还有3x 可能等于0，此时就不能除了，所以要分类讨论）（1）当01x <≤时，3331310x kx x k x --+≥⇒≥；（x 正负不同，式子要变号，可以看到式子的形式是一样的，所以可以放在后面一起研究）（2）当0x =时，331010kx x -+≥⇒≥，成立；（3）当10x -≤<时，3331310x kx x k x--+≥⇒≤ 设331()(0)x f x x x -=≠（这里没有采用原来的区间范围，研究函数整体，再看部分） 43(21)()x f x x --'=，令()0f x '=，则12x =，所以，当12x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当102x <<或0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增．（这里的单调区间是两个，不能看成连续的，否则画图时就会出错．这里还有一个问题，在0x =附近函数的走向趋势问题）当0x >且0→时，()f x →-∞，当0x <且0→时，()f x →+∞，（这一步对学生来说难度不小，不采用一定的手段很难解释，可以告诉学生：当0x >且0→时，310()31()x f x x =→→--一直是正，所以()f x →-∞ 当0x <且0→时，，310()31()x f x x =→→--一直是负，所以()f x →+∞）当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()0f x →．（这一步可以告诉学生：当x →+∞时，33())1(x f x x =→+→+∞-∞速度比分子快，一直是正，所以()0f x →，反映在图像上是向右在x 轴上方，无限靠近x 轴当x →-∞时，33())1(x f x x =→-→-∞-∞速度比分子快，所以()0f x →，反映在图像上是向左在x 轴上方，无限靠近x 轴）又1()42f =，故可作出函数草图如下：所以，当01x <≤时，max331()4x k x -≥=，当10x -≤<时，min 331()4x k x -≤=，综上，4k =．【解析2】半分离（1）当0k =时，显然不成立；（2）当0k ≠时，333131031(31)kx x kx x x x k -+≥⇒≥-⇒≥-（左边3x 是一个三次函数，右边31x -是一个一次函数（前面一个可变的系数可以让直线绕着1(,0)3旋转），图像大家都可以搞定）设31(),()(31)f x x g x x k==-，在同一个坐标系内画出图像如下，考察[1,1]x ∈-时，()f x 的图像（红色）要在()g x （黑色）的上方：由图像可以看出，()f x 与()g x 在第一象限相切时，4k =，1()(31)4g x x =-，（为保证红线要在黑线的上方，()g x 应该顺时针旋转），此时，第三象限，()g x 恰好过（-1，-1）点，为与()f x 的公共点．（为保证红线要在黑线的上方，()g x 应该逆时针旋转，最好只能不旋转了）综上，4k =．说明：在3331031kx x kx x -+≥⇒≥-这一步，如果左边保留3x ，右边是31x -，也可以处理，一般直线的变化较为简单，所以大部分我们选择把参数留在一次函数这边．。

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高中重要解题方法——分离变量法
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：
定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等
式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.
定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不
等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.
定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）.
解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.
再现性题组：
1、已知当x ∈R 时，不等式224sin cos sin 5x x x a +-<-+恒成立，求实数a 的取值范围。

2.若f(x)=2
33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。

3,、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。

4、若方程42210x x
a -+=g
有解，请求a 的取值范围。

1、解：原不等式224sin cos sin 5x x x a ⇔+-<-+
当x ∈R 时，不等式max a+5>(4sinx+cos2x)⇔-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x =2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 ---
∴a+5>3a<2-∴
2、解：23321x x x a --≥+-恒成立，即2
242a x x ≤--在[1,4]x ∈-上恒成立,
只需2min 2(42)a x x ≤--，解得3a ≤- 3、解：2233251x x x a a --≥+--在[1,4]x ∈-上恒成立⇒ 222542a a x x -≤-- 在[1,4]x ∈-上恒成立⇒2325312a a a -≤-⇒≤≤
4、解:令2x t = (t>0)，则21
210221t at a t a t -+=⇒=+≥⇒≥
【例题】
例1. 已知函数()2
1,(0,1]f x x ax x =++∈,且()||3f x ≤恒成立,求a 的取值范围. 【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组2213,(0,1]13
x ax x x ax ⎧++≤⎪∈⎨++≥-⎪⎩恒成立 → 2()1f x x ax =++在(0,1]x ∈上的最大值与最小值 → 以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性.正确率较低.
法二(分离变量):问题转化为22
42x x a x x
---≤≤在(0,1]x ∈上恒成立(除x 时注意符号), → 由定理1得22max min
42x x a x x ⎡⎤⎡⎤---≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.求相应函数最值,正确率较高.
例2.已知a 是实数，函数2
()223.f x ax x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围.
【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.
方法二(分离变量):问题转化为22230ax x a +--=在[1,1]x ∈-上恒有解 → 分离变量得23221
x a x -=-
,[1,(,,1]2222x ∈---U U 有解 → 由定理1.3得只需求函数232()21x g x x -=-
在[1,(,,1]2222x ∈---U U 上的值域即可
, 2
±单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.
通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。

1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()
21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

3、设124()lg ,3
x x
a f x ++=g 其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

4、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2
(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

练习答案：
1、解：根据题意得：21a x x +
->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()23f x x x =-+，则()2
3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >
2、解：令2x t =，(],1x ∈-∞Q (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=
在(]0,2t ∈上的最小值即可。

()22211111124
t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭Q ()()min 324f t f ∴== 2313422
a a a ∴-<⇒-<< 3、解：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ⇔++>，对(,1)x ∈-∞恒成立.
212(22)4
x
x x x a --+⇔>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。

令2x t -=，2()()g t t t =-+ 又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1(,)2
t ∈+∞恒成立，又()g t Q 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，34
a ∴≥-。

4、解：()f x Q 是增函数2
(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立
210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，
令2
()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又min (0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min 1,0()1,2042,2
a a a g x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。

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