七年级数学下册第十一章因式分解11
冀教版数学七年级下册：11.1因式分解课件
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. 所以mn=﹣5×20=﹣100．
5. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1） (x+9)，求a+b的值.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为 互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开， 再与多项式的各项系数对应比较即可.
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 （C ）
问题1：视察同一行中，左右两边的等式有什么区 分和联系？ 联系：左右两式是同一多项式的不同表现情势. 区分：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的因式分解， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
总结归纳
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的 情势，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项 式分解因式.
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
3. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n）， 5
则m+n的值为 2．
解析：由题意可得 x2+4mx+5=（x+5）（x+n） =x2+（n+5）x+5n， 5n=5，4m=n+5． 解得n=1，m= 3 ，
七年级数学下册第十一章《因式分解》11.3公式法教学建议素材(新版)冀教版
七年级数学下册第十一章素材：
公式法
第一课时
重点：用平方差公式分解因式
难点：灵活运用平方差公式分解因式，正确判断因式分解的彻底性.
实施建议：
1．让学生一起来计算(a+b)（a－b）= _______ 探究新的问题：(x2－1) a2－b2=__________。
（1）其间可作这样的启发引导：因式分解和整式乘法是相反的过程，什么样的两个整式的积等于x2－1？
（2）让同学们交流各自的认识并解释理由。
2．学生独立完成“试着做做”
3．师生共同总结用平方差公式进行因式分解。
（1）满足什么条件？
（2）规范的步骤应是什么？
4．再让同学独立去做例1、例2中的题目，并对过程和结果通过展示、解释、相互点评，达到能较好运用平方差公式进行因式分解的目的。
5．独立完成课后练习，强化用平方差公式分解因式。
第二课时
重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活运用完全平方公式分解因式
实施建议：
可先向学生提问题：与平方差公式用来分解因式类比，用两数和（差）的平方公式能进行因式分解吗？
1．让学生写出两个公式，并把这两个公式用逆向表示方式写出。
2．让学生直接去探索如何对例3的多项式进行因式分解。
（1）这个多项式能写成公式展开后的基本形式吗？
（2）怎样逆过来用公式？
在这个过程中，教师对部分学生可给以必要的帮助。
（3）让学生向大家展示自己的做法，解释理由，对某些错误和偏差，师生作出点评，形成统一认识。
3．教师再对用这两个公式分解因式的步骤作出总结和概括。
4．像处理例1那样，再让学生研究例4。
5．最后教师再作概括，给出完全平方式的概念。
初中数学冀教版七年级下册第十一章 因式分解11.1 因式分解-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；C. =(x+2y)(x−2y)，解答错误；D. 是分解因式。
选D.2.【答题】下列变形是因式分解的是（）A. xy（x+y）=x 2 y+xy 2B. x 2+2x+1=x（x+1）+1C. （a﹣b）（m﹣n）=（b﹣a）（n﹣m）D. ab﹣a﹣b+1=（a﹣1）（b﹣1）【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A. 等式从左到右是把积化为和差的形式，故不正确；B. 等式的右边仍然是和的形式，故B不正确；C. 等式从左到右属于乘法的交换律，故C不正确；D. 等式从左到右把多项式化为了几个因式积的形式，属于因式分解，故D正确；选D.3.【答题】下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，所以，A、B、C都不符合，选D.4.【答题】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A.是多项式乘法，不是因式分解，错误；B.不是化为几个整式的积的形式，错误；C.是公式法，正确；D.不是化为几个整式的积的形式，错误；选C.5.【答题】下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：A、是整数的乘法，故A错误；B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B错误；C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C正确；D、是整数的乘法，故D错误；选C.6.【答题】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解： A.是整式乘法，故A错误；B.是因式分解，故B正确；C.左边不是多项式，不是因式分解，故C错误；D.右边不是整式积的形式，故D错误．选B.7.【答题】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．【解答】解： A.右边不是积的形式，故A选项错误；B.是运用完全平方公式，x2﹣8x+16=（x﹣4）2，故B选项正确；C.是多项式乘法，不是因式分解，故C选项错误；D.不是把多项式化成整式积的形式，故D选项错误．选B.8.【答题】下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A. x2+2x+1=x(x+2)+1B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；B.，等式的左边不是多项式，不是因式分解；C.，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解；D.，符合因式分解的定义，是因式分解.选D.9.【答题】若分解因式2x2＋mx＋15＝(x－5)(2x－3)，则（）A. m＝－7B. m＝7C. m＝－13D. m＝13【答案】C【分析】先把等式的右边化为2x2﹣13x+15的形式，再求出m的值即可．【解答】解：∵(x－5)(2x－3)= 2x2﹣13x+15，∴m=﹣13选C.10.【答题】下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，由此判断即可．【解答】解： A.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B.属于因式分解，故本选项正确；C.右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D.等号左边不是多项式，单项式不涉及因式分解，故本选项错误．选B.11.【答题】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A. （x+3）（x-2）=x2+x-6B. ax-ay-1=a（x-y）-1C. 6a2b3=2a2·3b3D. x2-4x+4=（x-2）2【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、右边不是积的形式，错误；C、不是把多项式化成整式的积，错误；D、是平方差公式，x2-4=（x+2）（x-2），正确．选D.12.【答题】下列从左到右的变形，是分解因式的为（）A. x2－x=x(x－1)B. a(a－b)=a2－abC. (a+3)(a－3)=a2－9D. x2－2x+1=x(x－2)+1【答案】A【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：因式分解是指将几个单项式的和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式,根据定义可知本题选A.13.【答题】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A. (a＋5)(a－5)＝a2－25B. mx＋my＋2＝m(x＋y)＋2C. x2－9＝(x＋3)(x－3)D. 2x2＋1＝2x2【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：把一个多项式分解成几个整式积的形式，叫因式分解，选C.14.【答题】下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A. a2－5＝(a＋2)(a－2)－1B. (x＋2)(x－2)＝x2－4C. x2＋8x＋16＝(x＋4)2D. a2＋4＝(a＋2)2－4a【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.右边不是整式的乘积，故A错误；B.是整式乘法，故B错误；C.正确；D.右边不是整式的乘积，故D错误．选C.15.【答题】下列由左边到右边的变形，是因式分解是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】A. ∵的右边不是积的形式，故不是因式分解；B. ∵的右边有分式，故不是因式分解；C. ∵的左边时积，右边时多项式，故不是因式分解；D. ∵符合因式分解的定义，故是因式分解；选D.16.【答题】下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A. x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1B. x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3xC. x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D. （x+2）（x﹣2）=x2﹣4【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.右边不是积的形式，故A错误；B.右边不是积的形式，故B错误；C.x2﹣9=（x+3）（x﹣3），故C正确．D.是整式的乘法，不是因式分解．选C.17.【答题】下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A. m（x﹣y）=mx﹣myB. x2+2x+1=x（x+2）+1C. a2+1=a（a+）D. 15x2﹣3x=3x（5x﹣1）【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误；C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；选D.18.【答题】下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是（）A. a(x-y)=ax-ayB. x2+2x+1=x(x+2)+1C. (x+1)(x+3)=x2+4x+3D. x3-x=x(x+1)(x-1)【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A. 从左到右的变形，属于整式的运算，本选项不符合是题意；B. 右边不是积的形式，不属于因式分解，本选项不符合是题意；C. 从左到右的变形，属于整式的运算，本选项不符合是题意；D. ，从左到右的变形，属于因式分解，本选项符合是题意. 选D.19.【答题】下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A. 6a2b2＝3ab·2abB. 2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1C. a2－3a－4＝(a＋1)(a－4)D. a2－1＝a(a－)【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得选项C属于因式分解，选C.20.【答题】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.B.C. a2－4ab+4b2=(a－2b)2D. ax+ay+a=a(x+y)【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】由因式分解的定义知先排除A,B, 选项D.ax+ay+a=a(x+y+1),D错误.选C.。
冀教版七年级下册数学(第十一章 因式分解)PPT教学课件
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第十一章 因式分解
11.1 因式分解
学习目标 1.理解因式分解的意义和概念; 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
导入新课
回顾与思考
问题1 6 等于 2 乘哪个整数？
6＝2×3
问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式 ？ 2
(3)因为(x+1)(x+2)= x2+3x+2，
所以因式分解x2+3x+2=(x+1)(x+2)正确.
辩一辩 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b)=ax﹣bx × B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c ×
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”， 例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17 ，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称 这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中
的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干
素数的乘积的形式．
例如 12 2 2 3
① 30 2 3 5
2.把下列多项式因式分解 ： 2 1 x 4
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公 因数为 23 6
12 进而很容易把分数 30
约分：分子与分母同除
以6，得 12
2 30 5
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项
式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块” 的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的 乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
巩义市第一中学七年级数学下册第十一章因式分解11.1因式分解因式分解教学谈素材新版冀教版
因式分解教学谈因式分解是整式变形的重要内容，也是解决某些数学问题的重要手段．学习多项式的因式分解，首先要明确因式分解与整式乘法的区别和联系．事实上，整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘，其基本格式如：知道了这种区别和联系，即明白了因式分解实质上就是把整式乘法的过程倒过来，为使同学们更好地掌握因式分解的技巧，形成能力，笔者以为从以下三个方面入手进行教学，可望取得较好的效果．一、熟悉分解方法1．提公因式法，只要所给多项式的各项有公因式，就先把各项的公因式提出来．例1 分解因式：56x3yz+14x2y2z-21xy2z2解原式=7xyz(8x2+2xy-3yz)2．以所给多项式的项数为线索，确定分解方法，一般来说，二项式、三项式采用公式法或十字相乘法；四项以上的采用分组分解法．例2 分解因式：a4b-ab4分析提取公因式后，运用立方差公式．解原式=ab(a3-b3)=ab(a-b)(a2+ab+b2)有一些题目从表面上看不是二项式或三项式，这时可把几项看作一项，归结为二项式或三项式．例3 分解因式：x2-y2-z2-2yz.分析把-y2-z2-2yz看成一项，利用平方差公式就可以分解．解原式=x2-(y2+2yz+z2)=x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z)例4 分解因式：a3-6a2b+12ab2-8b3分析考虑用分组分解法，注意从各种分组方法中找出比较合适的，以达到能将整个多项式分解之目的．解原式=(a3-8b3)-(6a2b-12ab2)=(a-2b)(a2+2ab+4b2)-6ab(a-2b)=(a-2b)(a2-4ab+4b2)=(a-2b)33．有时所给多项式有多种合适的分组方法例5 分解因式：x5-x4+x3-x2+x-1解法1 原式=(x5-x2)-(x4-x)+(x3-1)=x2(x3-1)-x(x3-1)+(x3-1)=(x3-1)(x2-x+1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)解法2 原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)=x3(x2-x+1)-(x2-x+1)=(x2-x+1)(x3-1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)二、掌握变形技巧1．去掉括号，重新分组例6 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)解原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ac+bd)(bc+ad)例7 分解因式：(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 解设x2+3x=y，则原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)将y=x2+3x代回上式，则原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x2+3x+6)(x-1)(x+4)2．拆项添项，重新整理例8 分解因式：x3+3x2-4解法1 原式=(x3+2x2)+(x2-4)=x2(x+2)+(x+2)(x-2)=(x+2)(x2+x-2)=(x+2)(x+2)(x-1)=(x+2)2(x-1)解法2 原式=(x3-1)+(3x2-3)=(x-1)(x2+x+1)+3(x+1)(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)解法3 原式=(x3+3x2-4x)+(4x-4)=x(x2+3x-4)+4(x-1)=x(x+4)(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)三、规范分解结果对因式分解的结果必须注意以下几点：1．必须是几个因式的乘积．如分解x2+3x-4=(x+2)(x-2)+3x，此结果不是乘积的形式，应分解为：x2+3x-4=(x+4)(x-1)2．每个因式必须都是整式x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)3．必须分解到不能再分解为止．如：422232(2)(1)x x x x-+=--，其中因式21x-还可以分解为(1)(1)x x+-发；若规定在实数范围内分解的话，则继续分解为(2)(2)x x；又如分解(x+y)2-(xy+1)2=(x+y+xy+1)(x+y-xy-1)并不是最后结果，应继续分解，结果为(x+1)(x-1)(y+1)(1-y)．3 绝对值1．了解相反数的概念，会求一个数的相反数．2．理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值．3．会利用绝对值比较两个负数的大小．重点理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值．难点能利用绝对值比较两个负数的大小．一、情境导入教师：3与－3有什么相同点？32与－32，5与－5呢？ 学生：每组数中的两个数只有符号不同．教师：对！像这样，如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0.二、探究新知1．绝对值的定义教师：将上面三组数用数轴上的点表示出来，每组数对应的点，在数轴上有什么关系？学生小组讨论交流，教师点评，并进一步讲解：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如，＋2的绝对值等于2，记作|＋2|＝2；－3的绝对值等于3，记作|－3|＝3. 教师：想一想，互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？学生思考后举手回答，教师点评．2．绝对值的性质课件出示填空题：|5|＝________；|－5|＝________；|＋7|＝________；|－7|＝________；|4|＝________；|－4|＝________；|＋1.7|＝________；|－1.7|＝________；|0|＝________．让学生完成填空，并提出问题：同学们能从中得到什么规律吗？教师引导学生思考：通过对具体数的绝对值的讨论，观察正数的绝对值有什么特点，负数的绝对值有什么特点．学生分类讨论，归纳出数a 的绝对值的一般规律：(1)一个正数的绝对值是它本身；(2)负数的绝对值是它的相反数；(3)0的绝对值是0.即：若a>0，则|a|＝a ；若a<0，则|a|＝－a ；若a ＝0，则|a|＝0.总结：由绝对值的定义可知：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0.3．利用绝对值比较两个负数的大小教师：利用数轴我们已经会比较有理数的大小了，同学们试比较－8和－3的大小．学生完成后举手回答．教师：我们能否用今天所学的绝对值来比较这两个数的大小呢？学生思考后回答问题，教师引导学生得出结论：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．三、举例分析例1(课件出示教材第30页例1)学生独立完成后汇报答案，教师点评．例2(课件出示教材第31页例2)学生独立完成后汇报答案，教师点评．教师进一步提问：此例题能用别的方法进行比较吗？学生分小组讨论后汇报答案，教师要求写出解题过程．四、练习巩固教材第32页“随堂练习”第1～3题．五、小结这节课学习的主要内容有哪些？你有哪些收获？六、课外作业教材第32页习题2.3第1～3题．本节课是在认识了数轴及如何把一个有理数在数轴上表示出来的基础上学习的．首先通过相反数知识，引入绝对值概念，理解相反数、绝对值之间的联系；进而讲解绝对值的相关性质，并能用符号语言来表示，即讨论︱a︱与a之间的关系；最后利用绝对值比较两个负数的大小．教学中初步渗透了数形结合的重要数学思想．教师思路清晰，让学生形成环环相扣的知识系统，轻松地接受新知识．乘法公式乘法公式是两个特殊的多项式相乘，而乘法公式在这一章乃至初中数学中的地位和作用是非常重要的，因此这一部分内容的教学应以学生自主活动为主．第一课时平方差公式1．通过一般的两个二项式相乘引发学生思考什么样的二项式相乘得到的结果是二项式。
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》11.3.2用完全平方公式分解因式
夯实基础
*8．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2， ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是 () A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
夯实基础
【点拨】易知正方形的面积为a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， 所以原正方形的边长是a＋b. 【答案】B
夯实基础
C．32
D．16
夯实基础
3．给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平 方式，则加上的单项式是_4_x_4_(_答__案__不__唯__一__)_(写出一个 即可)．
夯实基础
4．【中考·温州】分解因式：m2＋4m＋4＝_(_m__＋__2_)2_．
夯实基础
5．【中考·安徽】下列分解因式正确的是( C ) A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y) C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2)
夯实基础
【点拨】②④⑤能用完全平方公式分解因式．本题容 易忽视②⑤，注意②提出12，⑤提出 3 以后就能利用完 全平方公式分解因式． 【答案】C
整合方法
14．把下列各式分解因式： (1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； 【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解， 一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或 “三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分 组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分 解因式要彻底．
整合方法
解：原式＝a(a2－1)＋2b(1－a2) ＝(a－2b)(a2－1) ＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
整合方法
(4)【中考·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)． 【点拨】对于四项或四项以上的多项式的因式分解， 一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或 “三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分 组后再试用提公因式法、公式法继续分解，注意分 解因式要彻底．
冀教版七年级下册数学课件第11章11.1因式分解
∴2m－2n－p＋86＝2(＋k)－2(3k－4)－(－4k)＋86 ＝6＋2k－6k＋8＋4k＋86＝100.
综合创新练 18．阅读理解：我们知道因式分解与整式乘法是互逆关系，那么
逆用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，即 x2＋(a＋b)x ＋ab＝(x＋a)(x＋b)是否可以因式分解呢？当然可以，而且也 很简单．如：x2＋4x＋3＝x2＋(1＋3)x＋1×3＝(x＋1)(x＋3)； x2－4x－5＝x2＋(1－5)x＋1×(－5)＝(x＋1)(x－5)． 请你仿照上述方法分解因式： (1)x2－7x－18； 解：x2－7x－18＝(x＋2)(x－9)．
基础巩固练
3．【2019·河北石家庄平山期末】下列各式从左到右的变形是因 式分解，并分解正确的是( A ) A．(a－b)3－b(b－a)2＝(b－a)2(a－2b) B．(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6 C．4a2－9b2＝(4a－9b)(4a＋9b) D．m2－n2＋2＝(m＋n)(m－n)＋2
综合创新练 17．若 x－1，x＋4 均为多项式 x3＋mx2＋nx＋p 的因式，求 2m
－2n－p＋86 的值．
解：∵x－1，x＋4均为多项式x3＋mx2＋nx＋p 的因式，且三次项系数为1， ∴设第三个因式为x＋k， 则x3＋mx2＋nx＋p＝(x－1)(x＋4)(x＋k)，
综合创新练
整理得：x3＋mx2＋nx＋p＝x3＋(3＋k)x2＋(3k－4)x－4k， m＝3＋k，
基础巩固练
4．因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，
多项式
几个整式的乘积．
基础巩固练
5．下列因式分解中，正确的个数为( C ) ①x3＋3xy－x＝x(x2＋3y)；②x2－4x＋4＝(x－2)2；③－x2＋ y2＝(x＋y)(x－y)． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》11.3.3活用因式分解的方法分解因式
整合方法
12．【中考•百色】阅读理解： 用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法． (1)二次项系数2＝1×2； (2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘 之和”；
整合方法
1×3＋2×(－1)＝1， 1×(－1)＋2×3＝5， 1×(－3)＋2×1＝－1， 1×1＋2×(－3)＝－5.
夯实基础
【点拨】a2－9b2＋2a－6b＝(a2－9b2)＋(2a－6b)＝ (a＋3b)(a－3b)＋2(a－3b)＝(a－3b)(a＋3b＋2)． 【答案】D
夯实基础
3．分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
夯实基础
8．【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结 果正确的是( D ) A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
夯实基础
9．【中考·益阳】下列因式分解正确的是( C ) A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b) B．a2－9b2＝(a－3b)2 C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2 D．a2－ab＋a＝a(a－b)
夯实基础
*10.【中考·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有 因式a＋1的是( ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
夯实基础
【点拨】∵a2－1＝(a＋1)(a－1)， a2＋a＝a(a＋1)， a2＋a－2＝(a＋2)(a－1)， (a＋2)2－2(a＋2)＋1＝(a＋2－1)2＝(a＋1)2， ∴结果中不含有因式a＋1的是选项C.故选C. 【答案】C
冀教版七年级下册数学教学课件 第11章 因式分解11,2 提公因式法
(A )
A.x-1
B.x+1
C.x2-1
D.(x-1)2
解析:利用公式将两个多项式进行分解,找出相 同的因式即为公因式.mx2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x1),x2-2x+1=(x-1)2,公因式为x-1.故选A.
2.把a2-2a分解因式,正确的是 ( A )
A.a(a-2)
B.a(a+2)
(1)3x (2)a (3)ab (4)2xy
2.先指出下列多项式的公因式,再进行因式分解. (1)x2+2x; (2)2x2+4x; (3)2a2x-6ax2; (4)4a4-12a3+16a2.
(1)公因式是x,分解为x(x+2). (2)公因式是2x,分解为2x(x+2). (3)公因式是2ax,分解为2ax(a-3x). (4)公因式是4a2,分解为4a2(a2-3a+4).
C.a(a2-2)
D.a(2-a)
解析:先找到多项式各项的公因式,再提取公因 式.因为a2-2a=a(a-2).故选A.
3.若a=49,b=109,则ab-9a的值为 4900 .
解析:先将整式因式分解,再代入值求解.ab9a=a(b-9),当a=49,b=109时,原式=49×(1099)=4900.故填4900.
七年级数学·下 新课标[冀教]
第十一章 因式分解
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?多项式 3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢? 【结论】 多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个 多项式各项的公因式. 多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?多项式2x2y+6x3y2 中各项的公因式是什么?
冀教版数学七年级下册11.1因式分解课件
三、变式练习 拓展提高
1.请将下列等式左边多项式的另一个因式填在 括号里。
（1）2x+4=2（ x+）2 （2）x-xy=x( 1-y)
(3) 16 x2 1 (4x （1) 4x-）1
（4）a 2 6a 9 （a+3）（ a）+3
2、若 x2 mx 15 分解为 (x 3)(x n)
方
法
一五、、情课境堂导小入结明：确我目的标知识树
？
因式分解
因
？
式
分
解
六、布置作业
习题1、2
x 2 y 2 = ( x+)y( x-y)
x 2 2xy y 2 =( x+y)( x+)y
2、你能概括一下因式分解的概念吗？
像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积
的情势，叫做多项式的因式分解，也叫多项
式的分解因式。
其中每个整式都叫做这
个多项式的因式。
3、你能举一个因式分解的例子吗？
二、新知探究（一）因式分解的概念
整式的乘法
?
因式分解 因式分解
因
式
?
分
解
一、情境导入 明确目标
逆 学习目标： 向 1.记住多项式因式分解定义，理解因 思 式分解与整式乘法之间的区分与联 考 系。
2.能判断因式分解的正误，会进行简 单的因式分解。
二、新知探究（一）因式分解的概念
1、你能根据单元知识树复习的内容填好下面的空
吗？ x 2 2x = （ ）x （ x-）2
冀教版数学七年级下册第十一章 11.1因式分解
一、情境导入 明确目标
2112 211 210 372 362
=211×（211-210） =211 ×1
安康市实验中学七年级数学下册第十一章因式分解11.1因式分解教材说明素材新版冀教版
因式分解1．因式分解与整式运算是不同的整式变形，概念的引入应着重引导学生观察变形的特点，理解变形的意义，还应随时回忆这一概念、运用这一概念、巩固这个概念，而不要希望一蹴而就．2．在运用各种方法因式分解时应重视培养学生的观察能力，在教学中应给学生以足够的时间观察，并充分交流观察的结果，汇报观察结果后而采取对策，而不应让学生模仿例题，只有在这种观察的实践活动中，才能培养学生的观察能力，才能训练学生选择正确的解题对策．评价与反馈建议1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力。
发现问题，及时反馈。
2．通过做一做及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。
3．通过机动题，了解学生对概念的熟练程度和思维的灵敏性、深刻性、广阔性及探研创造能力，及时评价，及时矫正。
4．通过课后作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。
5．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。
6．课堂上反馈信息除了语言和练习外，学生神情也是信息来源，而且这些信息更真实。
学生神态、表情、坐姿都反映出学生对教师教学内容的理解和接受程度。
教师应积极捕捉学生在知识掌握、思维发展、能力培养等各方面全方位的反馈信息，随时评价，及时矫正，随时调节教学。
7.2 一元一次方程一、选择题1. 下列方程，是一元一次方程的是（）A. x2-4x=3B. x=0C.x+2y=3D. x-1=2. 汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员吹一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒．设听到回响时，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（）A. 2x+4×20=4×340B. 2x-4×72=4×340C. 2x+4×72=4×340D. 2x-4×20=4×3403. 有下列方程：=x，=2，x2-3x=1，x+y=2，其中是一元一次方程的有（）A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个4. 有下列方程：①x=1，②x-2=12，③x2+x+1=0，④xy=0，⑤2x+y=0，其中是一元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 有下列方程：①x-2=；②0.3x=1；③=5x+1；④x2-4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 56.在“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位．则下列方程正确的是（）A. 30x-8=31x+26B. 30x+8=31x+26C. 30x-8=31x-26D. 30x+8=31x-267. 下列方程：①x=4；②x-y=0；③2（y2-y）=2y2+4；④-2=0中，是一元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 下列各方程，是一元一次方程的是（）A. x-2y=4B.xy=4C. x-4D. 3y-1=49. 若方程（a-4）x|a|-3+6=0是关于x的一元一次方程，则a的值为（）A. ±4B. -4C. 2D. 410. 下列方程的解是x=-1的是（）A. -2（x-2）=12B. -2（x-1）=4C. 11x+1=5（2x+1）D. 2-（1-x）=-2二、填空题11. 若2x3-2k+2=4是关于x的一元一次方程，则k=________．12. 在①2x-1；②2x+1=3x；③|π-3|=π-3；④t+1=3中，等式有________；方程有________．（填入式子的序号）13. 若关于x的方程（a-2）x|a|-1-2=0是一元一次方程，则a＝________ ．14. 若x|m|-3+5=9是关于x的一元一次方程，则m=________．15. 若5x m+2+3=0是关于x的一元一次方程，则m=________．答案一、1. B 2. A 3. A 4. B 5. B 6. D 7. B 8. D9. B 10. B二、11. 1 12. ②③④；②④ 13. -2 14. 4或-4 15. -1第3课时多边形的外角和知识点多边形的外角、外角和1.十边形的外角和为()A.180°B.360°C.720°D.1440°2.如果一个多边形的每个外角都等于36°,那么它的边数是()A.9B.10C.11D.123.如图7-5-20,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的4个外角,若∠EAB=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4等于()图7-5-20A.540°B.360°C.300°D.240°4.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形是()A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形5.颐和园坐落在北京西郊,是第一批全国重点文物保护单位之一.小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形(各边都相等,各角都相等的八边形),如图7-5-21所示,则∠1= °.图7-5-216.若多边形的每个外角都是60°,则这个多边形的内角和是.7.如图7-5-22所示,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠C=110°,它的一个外角∠ADE=60°,则∠B 的度数是.图7-5-228.[2019·扬州江都区月考]已知一个多边形的每个内角都相等,并且每个外角都等于与它相邻内角的,求这个多边形的边数及内角和.9.若一个多边形的边数增加1,则它的内角和与外角和增加的度数之和是()A.60°B.90°C.180°D.360°10.如图7-5-23,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4处的外角和等于210°,则∠BOD的度数为.图7-5-2311.如图7-5-24,小亮从点A出发,沿直线前进10米后向左转36°,再沿直线前进10米,再向左转36°……照这样走下去,他第一次回到出发点A时,一共走的路程是米.图7-5-2412.一个多边形的每个外角都相等,且比它的内角小140°,求它的边数和每个内角的度数.13.已知一个多边形的所有内角与某一外角之和等于1350°,求这个多边形的边数.1.B2.B3.C[解析]如图,由题意得∠5=180°-∠EAB=60°.又因为多边形的外角和为360°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°.故选C.4.C5.456.720°[解析]该多边形的边数为360°÷60°=6,该多边形的内角和为(6-2)×180°=720°.7.40°[解析] 由∠ADE=60°,得∠ADC=120°,而AD⊥AB,则∠A=90°,所以∠B=360°-∠C-∠ADC-∠A=40°.8.解:设这个多边形的一个外角的度数为x.由题意,得x=(180°-x),解得x=36°,则多边形的边数为360÷36=10,多边形的内角和为(10-2)×180°=1440°,即多边形为十边形,内角和为1440°.9.C[解析]由多边形的内角和公式可知:若一个多边形的边数增加1,则这个多边形的内角和增加180°;由任意多边形的外角和是360°可知,外角和增加0°,则内角和与外角和增加的度数之和是180°.故选C.10.30°[解析] 因为∠1,∠2,∠3,∠4处的外角的度数之和为210°,所以∠1+∠2+∠3+∠4+210°=4×180°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=510°.因为五边形OAGFE的内角和=(5-2)×180°=540°,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,所以∠BOD=540°-510°=30°.11.100[解析] 因为每次小亮都是沿直线前进10米后向左转36°,所以他走过的路线可以组成一个各边相等,各角相等的多边形,边数n=360°÷36°=10,所以他第一次回到出发点A时,一共走了10×10=100(米).12.解:设每个内角的度数为n°,则每个外角的度数为(n-140)°.由n+(n-140)=180,得n=160.即每个内角的度数为160°,从而每个外角的度数为20°.由于360÷20=18,所以这个多边形的边数为18.13.解:设这个多边形的边数为n,这个外角为x,则0°<x<180°.由题意,得(n-2)·180°+x=1350°,解得n=.因为n为整数,所以1710°-x必为180°的倍数,又因为0°<x<180°,所以x=90°,则n=9.故这个多边形的边数是9.。
七年级数学下册第十一章因式分解11.2提公因式法
12/11/2021
第八页，共十四页。
5．用简便方法计算． (1)2 0202－20×2 020；
解：原式＝2 020×(2 020－20)＝2 020×2 000＝4 040 000.
(2)－2.7×56＋7.9×(－56)＋6×5.6；
解：原式＝－27×5.6－79×5.6＋6×5.6＝(－27－79＋6)×5.6 ＝－100×5.6＝－560.
B．a2b2c
C．2a2b2c
D．4a3b2c
6．把多项式 m2(a－2)＋m(2－a)分解因式正确的是( C )
A．(a－2)(m2＋m) B．m(a－2)(m＋1)
C．m(a－2)(m－1) D．(2－a)(m2＋m)
12/11/2021
第五页，共十四页。
随堂演基础练训(1练0分钟)
12/11/2021
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第九页，共十四页。
(3)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314.
解 ： 原 式 ＝ 23×3.14 ＋ 59×3.14 ＋ 18×3.14 ＝ (23 ＋ 59 ＋ 18)×3.14＝100×3.14＝314.
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第十页，共十四页。
6．把下列各式分解因式： (1)2a(x－y)－6b(y－x)；
2．逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式写在括号外边，作 为积的一个因式，这种将多项式分解因式的方法，叫做_提__公__因__式__法___
3．一般地，当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应 取各项系数的_最__大__公__约__数___，字母应取各项相同的___字__母_______， 且相同字母的指数取_次__数__最__低__的___
12/11/2021
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》11.3.1用平方差公式分解因式
夯实基础
*12．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中， 有这样一条信息：x－y，a－b，2，x2－y2，a，x＋y分 别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将 2a(x2－y2)－2b(x2－y2)因式分解，结果呈现的密码信 息可能是( ) A．我爱美 B．济南游 C．我爱济南 D．美我济南
夯实基础
【点拨】拼成的长方形的面积＝(a＋3)2－32 ＝(a＋3＋3)(a＋3－3)＝a(a＋6)． ∵拼成的长方形的宽为a， ∴拼成的长方形的长是a＋6. 【答案】a＋6
夯实基础
9．【中考·泸州】把2a2－8分解因式，结果正确的是( C ) A．2(a2－4) B．2(a－2)2 C．2(a＋2)(a－2) D．2(a＋2)2
夯实基础
10．多项式3x2y－12y3分解因式正确的是( A ) A．3y(x＋2y)(x－2y) B．3y(x2－4y2) C．y(3x2－12y2) D．－3y(x＋2y)(x－2y)
夯实基础
11．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题， 你认为她做得不够完整的是( A ) A．x3－x＝x(x2－1) B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y) C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
B．a(a－2) D．(a－2)(a＋1)
夯实基础
5．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能( A )
A．被8整除
B．被m整除
C．被m－1整除 D．被2m－1整除
【点拨∵(4m＋5)2－9＝(4m＋5＋3)(4m＋5－3)＝ (4m＋8)(4m＋2)＝8(m＋2)(2m＋1)，∴能被8整除．
夯实基础
【点拨】2a(x2－y2)－2b(x2－y2)＝(2a－2b)(x2－y2)＝ 2(a－b)(x＋y)(x－y)，由此可提取我、爱、济、南四 个字．故选C. 【答案】C
七年级数学下册第十一章因式分解11
如何教好数学的概念概念是人脑对客观事物本质属性的一种反映形式，是人们在长期实践活动中智慧的结晶，也是整个教学过程所积累的主要知识点。
怎样使学生真正掌握概念呢？笔者认为可从以下几方面去尝试。
一、借助感性材料作铺垫。
任何理性认识都源于感性认识。
教学时如果条件许可，应尽量多向学生提供必要的直观的感知材料，并引导学生通过形象的方式进行分析、综合，比较，以认识概念的内部运动轨迹，然后用词把它概括标志出来。
它是培养学生采用集中思维揭露概念本质的基础，也是学生理解概念的有效途径。
二、变换角度多方说明。
因教师提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成学生错误地扩大或缩小概念。
为防止学生断章取义，培养其发散性思维，就应充分运用变式从各个角度、各个方面加以补充说明。
例如讲“垂线”这个概念时，不但要用⊥号来表示，而且要用多种特殊图形来透视概念的含义。
三、突出本质特征。
一个概念在其形成过程中，往往附带着许多无关特征，它的干挠程度直接影响到学习的难易。
在传授知识时，教者若抓住了重点，并通过训练反复加以强化，学生便能把握着概念突现出来的实质，尽量减少乃至消除外来因素的影响。
反之，学生将会在事物特征被掩盖的情况下模棱两可，甚至不知所云。
四、及时下定义。
下定义的过程，是对概念本质特征的一种归纳巩固过程。
对于抽象的概念，过早的下定义，等于是索然无味的简单灌输，但定义下得太迟，又使学生的已有知识呈现零乱状态，不能及时地整理和总结，更不利于概念的定型化教学。
五、把握内涵和外延。
任何一个概念都有它的内涵和外延，外延的大小与内涵成反比关系。
内涵越多，外延就越小；内涵越少，外延就越大。
把握概念的内涵和外延，能大大增加学生对概念的明晰度，提高鉴别能力，避免张冠李戴，为此，把所教概念同类似的相关的概念相比较，分清它们的异同点及联系，也就显得十分重要。
六、具体运用。
概念的获得是由个别到一般，概念的运用则是从一般到个别。
学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程。
七年级数学下册第十一章因式分解11
典型例题（一）——提公因式法(公因式是单项式)例1 指出多项式4x2y3z-12x3y4中各项的公因式．分析: 系数4和12的最大公约数是4；相同字母有x，y；相同字母x的最低次幂是2，相同字母y的最低次幂是3；因此，公因式是4x2y3．解: 公因式是4x2y3．说明: 公因式中系数的“+”、“-”号，一般由首项来决定，本例的首项符号为“+”．例2 因式分解6a2b3+10ab2c-4ab3分析：首先看各项的系数6、10和-4，它们的最大公约数是2；再看各项相同的字母的指数，其中次数最低的是几；如a2、A.a中，次数最低的是1，故它们的公因式是a，同样在b3、b2和b3中，公因式是b2，所以这个多项式的公因式是2ab2．解：6a2b3+10ab2c-4ab3=2ab2(3ab+5c-2b)说明：这类题目常见错误有两个，一个是公因式找错，忘记了系数取最大公约数，或者各项中相同的字母的指数取次数最低的搞错了，从而导致公因式找错；二是虽然公因式找对了，但在提公因式后，多项式的各项余下的因式写错了．因此，建议在做完因式分解后，反过来用乘法分配律由等号的右边到左边检查是否能还原，以便及时发现错误．例3 分解因式-4x3y2+28x2y-2xy分析: 公因式是-2xy．解: -4x3y2+28x2y-2xy=-(4x3y2-28x2y+2xy)=-(2xy·2x2y-2xy·14x+2xy·1)=-2xy(2x2y-14x+1)说明: (1)如果多项式的第一项系数是负数，将“-”号提出来，括号内各项都变号；(2)本例中，提出公因式-2xy后，第二个因式中最后一项是+1，切勿漏写．例4分析：当被分解的多项式的各项系数中有分数时，为了保证分解出的各个因式是整系数，在提取公因式时应提出这样一个分数：它的分子是各项系数的分子的最大公约数，它的分母是各项系数分母的最小公倍数，(整数系数看作分母为1的分数)，此题的公因式为xy2．解：例5 把-8x4ym-6x3ym+1+2x3ym分解因式．分析：解答本题的关键是确定公因式，公因式的确定：①看系数，系数取各项系数的最大公约数；②看字母，字母取各项都含有的相同字母，指数取其最低的，若多项式的首项带有“-”号，一般将“-”号提出来，注意提出公因式后的另一因式，是原多项式除以所提公因式的商，不要漏项．多项式的首项带有“-”号，系数的最大公约数为2，各项都含有的相同字母有x、y，且x 的最低指数为3，y的最低指数为m，因此所提公因式为-2x3ym．解： -8x4ym-6x3ym+1+2x3ym =-2x3ym(4x+3y-1)说明：如果多项式的第一项的系数为负的，负号一般要与公因式一起提出，使括号内的第一项的系数为正的．注意在提出“-”号时，括号内各项的符号一定要变．若多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能漏掉，否则分解后的多项式就比原来多项式减少了一项．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法11.3.2利用完全平方公式分解因式
因式分解(yīn shì fēn jiě)
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11.3 公式法
第2课时 利用完全平方(píngfāng)公式分解因式
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课前基热础身训(练5分钟)
12乘法公式中的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2 反过来， 就得到因式分解中的完全平方公式_a_2_±_2_a_b_＋__b_2_＝__(a__±_b_)2_____，即两 个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的 和(或差)的___平__方_______
5．把(a2＋1)2－4a2 分解因式得( C ) A．(a2＋1－4a)2 B．(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a) C．(a＋1)2(a－1)2 D．(a2－1)2 6．(2019·桂林中考)若 x2＋ax＋4＝(x－2)2，则 a＝_－__4_.
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7．分解因式． (1)a2－8ab＋16b2；
解：原式＝(a－4b)2.
(2)x2－1＋y2－2xy；
解：原式＝(x2－2xy＋y2)－1＝(x－y)2－1＝ (x－y＋1)(x－y－1)．
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(3)16x4－8x2y2＋y4；
解：原式＝16x4－8x2y2＋y4＝(4x2－y2)2＝(2x＋y)2(2x－y)2.
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利用完全平方公式分解因式
1．下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是
(B)
七年级数学下册第十一章《因式分解》11.1因式分解因式分解教学中要重视数学思想方法的渗透与提炼素材冀教版
因式分解教学中要重视数学思想方法的渗透与提炼中学数学内容(基本要求)的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法．数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴藏着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可．从教育的角度来看，数学的思想方法比数学知识更为重要，这是因为知识的记忆是暂时的，思想与方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益于一时，思想与方法将使学生受益于终生．日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者，技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位的．”世界著名数学家波利亚在60年代曾作过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的(包括数学家在内)约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识．正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生──未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识(即是指一般性的思想方法或思维模式)．”这就是说，数学教学必须重视数学思想方法的教学．自从把数学思想方法纳入基础知识范畴以后，如何在教学中贯彻数学的思想方法，这已成为人们普遍关注的问题．本文归纳了用十字相乘法进行分解因式教学中应注意的几种数学思想方法供参考．1．观察、试验的思想方法在数学中，观察、试验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现、启迪问题解决的思路．用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察，试验才能解决．例如，无论是简单的二次三项式a2-7a-18的因式分解，还是复杂的二元二次多项式3x2+5xy-2y2+x+9y-4的分解因式，都需要进行细心的观察、多次的试验，将二次项系数(或二次项)与常数项各自分解为二数(或两个多项式)的合理乘积，使得交叉相乘后相加的和必须是一次项系数(或一次项)，来达到分解因式的目的．因此，要把观察、试验的思想方法贯穿于整块内容教学的全过程，经过反复运用观察、试验的方法，使学生从感性认识上升到理性认识．2．变量思维变量与常量既是对立的，又是统一的．辩证地看待字母──它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便．对简的二次三项式用十字相乘法进行分解因式后，引导学生将这些等式里的字母看作变量，进行变量代换，能为解一些复杂的因式分解问题提示一种可行的思路．例如，用十字相乘法对二次三项式a2-7a-18分解因式后，引导学生将等式a2-7a-18=(a-9)(a+2)中的字母a进行变量变换，即将a变为x2，得x4-7x2-18=(x2-9)(x2+2)；将a变为x2-3x，得(x2-3x)2-7(x2-3x)-18=(x2-3x-9)(x2-3x+2) 通过变元，把字母变成多项式，反过来，如果将某些多项式看作一个字母，利用换元法进行因式分解，那么学生的思维就自然而流畅了．3．整体思想有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易．整体思想的教学可按以下两步进行：（1）通过换元明确整体思想例1 分解因式：(x2+x)2-14(x2+x)+24在变量思想的指导下，学生很快地想到用换元法对例1进行分解因式，即设x2+x=u，则原式=u2-14u+24=(u-2)(u-12)=(x2+x-2)(x2+x-12)=(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)．在此基础上，引导学生抓住换元法的特点是把x2+x看作一个整体，使学生明确整体思想．（2）通过解题发展整体思想例2 分解因式：(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72在整体思想的指导下，学生也很容易地得到以下的几种解题方案．方案1：将x2-3x看作一个整体，则原式=(x2-3x)2-2(x2-3x)-80=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)．方案2：将x2-3x+2看作一个整体，则原式=(x2-3x+2)2-6(x2-3x+2)-72=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)．方案3：将x2-3x-4看作一个整体，则原式=(x2-3x-4+6)(x2-3x-4)-72=(x2-3x-4)2+6(x2-3x-4)-72=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)．以上两例，正是由于整体思想，使得繁与简、新与旧达到和谐的统一．4．类比思想数学问题的相似性在数学中普遍存在．根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题．例3 分解因式：(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15本题教学若直接给出“原式=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15．那就失去了一次培养学生发现能力的机会．教学中，引导学生将例2与例3的结构进行类比．即如下框图：发现：（1）后面方框内都是常数；（2）前面方框内都是x的4次式．于是猜想：可将乘积(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)转化为二个二次三项式(它们的一次项和二次项相同)的乘积．有了猜想的结论，明确了解题的方向，再引导学生观察系数特点，就会较快地发现：(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)＋15=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15，从而转化为已解过的问题．初中数学内容蕴含着丰富的数学思想方法，教材中，有些数学思想方法比较明显，便于我们在教学中渗透与提高，有些则隐藏于知识背后，需要我们在教学的设计中进行挖掘、提炼．结合不同阶段知识教学，有意识地反复孕育数学思想方法，使学生潜移默化地掌握数学思想方法，这是我们数学教学中的重要任务．长而久之，定能培养出高素质的、创造型的、21世纪的有用之材．。
七年级数学下册第十一章因式分解11.1因式分解因式分解教学谈素材新版冀教版
因式分解教学谈因式分解是整式变形的重要内容，也是解决某些数学问题的重要手段．学习多项式的因式分解，首先要明确因式分解与整式乘法的区别和联系．事实上，整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘，其根本格式如：知道了这种区别和联系，即明白了因式分解实质上就是把整式乘法的过程倒过来，为使同学们更好地掌握因式分解的技巧，形成能力，笔者以为从以下三个方面入手进行教学，可望取得较好的效果．一、熟悉分解方法1．提公因式法，只要所给多项式的各项有公因式，就先把各项的公因式提出来．例1 分解因式：56x3yz+14x2y2z-21xy2z2解原式=7xyz(8x2+2xy-3yz)2．以所给多项式的项数为线索，确定分解方法，一般来说，二项式、三项式采用公式法或十字相乘法；四项以上的采用分组分解法．例2 分解因式：a4b-ab4分析提取公因式后，运用立方差公式．解原式=ab(a3-b3)=ab(a-b)(a2+ab+b2)有一些题目从外表上看不是二项式或三项式，这时可把几项看作一项，归结为二项式或三项式．例3 分解因式：x2-y2-z2-2yz.分析把-y2-z2-2yz看成一项，利用平方差公式就可以分解．解原式=x2-(y2+2yz+z2)=x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z)例4 分解因式：a3-6a2b+12ab2-8b3分析考虑用分组分解法，注意从各种分组方法中找出比拟适宜的，以到达能将整个多项式分解之目的．解原式=(a3-8b3)-(6a2b-12ab2)=(a-2b)(a2+2ab+4b2)-6ab(a-2b)=(a-2b)(a2-4ab+4b2)=(a-2b)33．有时所给多项式有多种适宜的分组方法例5 分解因式：x5-x4+x3-x2+x-1解法1 原式=(x5-x2)-(x4-x)+(x3-1)=x2(x3-1)-x(x3-1)+(x3-1)=(x3-1)(x2-x+1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)解法2 原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)=x3(x2-x+1)-(x2-x+1)=(x2-x+1)(x3-1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)二、掌握变形技巧1．去掉括号，重新分组例6 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)解原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(ac+bd)(bc+ad)例7 分解因式：(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 解设x2+3x=y，那么原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)将y=x2+3x代回上式，那么原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x2+3x+6)(x-1)(x+4)2．拆项添项，重新整理例8 分解因式：x3+3x2-4解法1 原式=(x3+2x2)+(x2-4)=x2(x+2)+(x+2)(x-2)=(x+2)(x2+x-2)=(x+2)(x+2)(x-1)=(x+2)2(x-1)解法2 原式=(x3-1)+(3x2-3)=(x-1)(x2+x+1)+3(x+1)(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)解法3 原式=(x3+3x2-4x)+(4x-4)=x(x2+3x-4)+4(x-1)=x(x+4)(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x2+4x+4)=(x+2)2(x-1)三、标准分解结果对因式分解的结果必须注意以下几点：1．必须是几个因式的乘积．如分解x2+3x-4=(x+2)(x-2)+3x，此结果不是乘积的形式，应分解为：x2+3x-4=(x+4)(x-1)2．每个因式必须都是整式x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)3．必须分解到不能再分解为止．如：422232(2)(1)x x x x-+=--，其中因式21x-还可以分解为(1)(1)x x+-发；假设规定在实数范围内分解的话，那么继续分解为(2)(2)x x+；又如分解(x+y)2-(xy+1)2=(x+y+xy+1)(x+y-xy-1)并不是最后结果，应继续分解，结果为(x+1)(x-1)(y+1)(1-y)．。
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因式分解与思维能力的培养
因式分解是初中教学的重要内容之一，也是代数中重要的恒等变形．熟练掌握和灵活应用因式分解的各种方法，是进一步学好数学的前提．是迅速而正确进行代数运算的必要条件，不仅在稍后的分式通分、约分中有着直接的应用，而且在解方程（组），求二次函数的解析式，二次根式的运算与化简，三角恒等变形中经常用到．因式分解也是培养学生各种思维能力的极好材料．
1.通过因式分解的概念，培养学生的逆向思维能力
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式的乘法运算的过程是互逆的．因式分解是恒等变形，在因式分解时首先要保证因式分解前后的值不变，无论采用什么方法进行因式分解，结果均可用整式乘法运算来检验，其次要注意因式分解的目的：使多项式最终化为几个整式的积的形式．
例1．已知
)2
)(1
(
2+
-
=
+
-x
x
n
mx
x，求m和n的值．
解：因为已知式从左到右是因式分解，所以上式从右到左是整式乘法，由
2
)2
)(1
(2-
+
=
+
-x
x
x
x，知1
=
-m，且2-
=
n．所以1-
=
m，且2-
=
n，通过因式分解的概念教学，应着力培养学生的逆向思维能力．
2．培养学生的观察分析能力
因式分解最基本的方法有四种，可归纳为：一“提”，二“套”，三“十字”，四“分组”．在因式分解时，一般先考虑是否有公因式可提，再考虑用公式法，十字相乘法，最后是分组分解法．用顺口溜可表达为：
首先提取公因式，然后考虑用公式，
十字相乘试一试，分组分解要合适，
以上方法反复试，结果必是连乘式．
尽管在新课标中，对十字相乘法和分组分解法已不作要求，但是，无论哪一种方法的运用都需要学生有较强的观察、分析、尝试能力．
如在提取公因式时，应先引导学生通过观察、分析、比较，明确得出公因式是多项式的各项系数的最大公约数，相同因式的最低次幂的乘积．
在运用公式法对多项式因式分解时，应先引导学生观察分析各公式的结构待征，如观察
平方差公式
)
)(
(
2
2b
a
b
a
b
a-
+
=
-的特征，左边是二项式，每项都具有平方形式，且符号
相反；右边是两数的和与差的积，但学生往往搞不清，右边的两数是指哪两数？通过观察，右边的两数是左边平方后的两个底数．
观察完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±的特征．左边是三项式，首平方加上末平
方，首末两倍加减中间放，右边是首平方与末平方下的底数的和或差的平方．
通过观察、分析、掌握了公式的结构特征，就不会把平方差公式误用完全平方公式．从而为正确应用公式法分解因式打下坚实的基础，提取公因式法中的公因式和公式法中的字母可以代表数，也可代表单项式和多项式．特别是代表多项式时，更需要敏锐的观察能力，灵活应用整体（或换元）的思想．
3．培养学生的思维的深刻性
在多项式的因式分解中，学生应善于灵活应用四种基本方法，把一个多项式分解因式，从中可以培养学生的思维深刻性．
(1)对于二项式，通常可考虑是否可用平方差、立方和（差）公式．使用这些公式时，一般先把多项式化为可用公式的形式．
在教学中，必须教会学生通过观察，进行类比．
例如：
))(()(22222224c b a c b a c b a c b a -+=-=- (2)对于三项式，通常考虑是否可用完全平方公式．应强调公式中字母有时表示多项式． 例2．把xy y x y x -+-3
52分解因式．
解 xy y x y x -+-352 )12(24+--=x x xy （提取公因式）
22)1(--=x xy （完全平方公式）
2)]1)(1[(-+-=x x xy （平方差公式）
22)1()1(-+-=x x xy （积的乘方）
许多学生把多项式分解到第二步以后，就再也不能分解下去，此时可引导学生观察12-x 有什么特征？可以应用什么公式分解因式？从而把这个多项式分解到不能再分解为止，通过类似的训练，可逐渐培养学生的思维的深刻性．
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。
1、首先，认真研究考试办法。
这一点对知识水平比较高的考生非常重要。
随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。
最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。
很多老师也会讲解考试的办法。
但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。
有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。
2、其次，试着从考官的角度思考问题。
考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。
如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。
如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。
具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。
高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。
当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。