初三数学中考复习第十四讲数形结合问题

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第十四讲 数形结合问题

【典型例题1】

如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

（1）求抛物线和直线AB 的表达式；

（2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；

（3）是否存在一点P ，使S △P AB =8

9

S △CAB ，若存在，

求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)设抛物线的表达式为 4)1(2

1+-=x a y 。

把A （3,0）代入表达式，求得1-=a 。 所以324)1(2

2

1++-=+--=x x x y 。

设直线AB 的表达式为 b kx y +=2。

由322

1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 。

把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中，解得 3,1=-=b k 。 所以32+-=x y 。

(2)因为C 点坐标为(１,4)，所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2。 所以CD ＝4-2＝2。

x

C

O

y A

B

D 1 1

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2 3232

1

=⨯⨯=

∆CAB S (平方单位)。 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ， 则x x x x x y y h 3)3()32(2

2

21+-=+--++-=-=。 由S △P AB =

89S △CAB ，得 38

9)3(3212

⨯=+-⨯⨯x x 。 化简得 091242

=+-x x 。 解得 2

3=x 。 将2

3=

x 代入322

1++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)4

15

,23(。

【知识点】

抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。 【基本习题限时训练】

1. 已知点A 的坐标为（0，3），点B 与点A 关于原点对称，点P 的坐标为（4，3），那么△PAB 的面积等于（ ）

（A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）24。 答案：C 。

2. 已知抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为（-1，2），那么这条抛物线的表达式为（ ）

（A ）5632++=x x y ；（B ）5632+-=x x y ； （C ）1632++=x x y ；（D ）1632+-=x x y 。 答案：A 。

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3

3. 已知直线b x y +=

4

3

经过点A （3，3），并与x 轴交于点B ，点C 在x 轴的正半轴上，且∠ABC=∠ACB ，那么点C 的横坐标为（ ）

（A ）3；（B ）4；（C ）5；（D ）6。 答案：B 。

【典型例题2】

如图，在平面直角坐标系中，点C （－3，0），点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，

10OA -=．

（1）求点A 、点B 的坐标；

（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动，连结AP ，设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1

10OA -=，∴2

30OB -=，10OA -=.

∴OB =

1OA =．

∵点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，∴A （1，0），B （0

）． （2）由（1）得AC =4

，2AB ==

，BC ==

∴22222

216AB BC AC +=+

==（． ∴△ABC 为直角三角形，90ABC ∠=o

．

∴S =t t -=⨯-322)322

1

（（0≤t

＜

跃龙学堂 4 （3）存在，满足条件的的有两个．

1(30)P -，， 21P ⎛- ⎝．

【知识点】

非负数的概念，函数解析式的求法，相似三角形的判定。 【基本习题限时训练】

1.已知013=+++-b b a ，那么b a 的值等于（ ） （A ）4；（B ）-4；（C ）

41

；（D ）4

1-。 答案：D 。

2. 在直角坐标系中，直线y=-2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，且△AOC ∽△ABO ，那么点C 到原点的距离等于（ ）

（A ）1；（B ）

551；（C ）552；（D ）55

4。 答案：D 。

3. 在矩形ABCD 中，AB=12，BC=16，点M 和点N 同时从点B 出发，分别沿边BC 和BA 运动，点M 的运动速度为每秒4厘米，点N 的运动速度为每秒3厘米，设运动的时间为t ，那么当△MNC 成为等腰三角形时，t 的值等于（ ）

（A ）

916；（B ）716；（C ）34；（D ）7

12。

答案：A 。

【典型例题3】

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是平行四边形，AD=6，如果OA 、OB 的

长是关于x 的一元二次方程2

7120x x -+=的两个根，且OA OB >． （1）求sin ABC ∠的值．

（2）如果E 为x 轴上的点，且16

3

AOE S =

△，求经过D 、