反演第一类fredholm积分问题
地震波反演成像方法的理论分析与对比
地震波反演成像方法的理论分析与对比任浩然;王华忠;黄光辉【摘要】Based on the mathematical and physical theory of wave equation, the full waveform inversion, travel-time tomography, least squares migration and migration velocity analysis can be included into a same inversion frame. Based on Bayes theory, this paper analyzed and compared these methods. It is proved that the full waveform inversion can use most seismic information, but the overlying of different information increases the difficulty of its usage. Under the guidance of signature waveform inversion, the characterized information were extracted to carry out seismic inversion, and several schemes were analyzed and compared theoretically.%全波形反演、旅行时层析、最小二乘偏移和偏移速度分析具有相同的反演框架,以Bayes估计理论为基础对这些方法进行了分析和对比,证明了全波形反演能够利用最多的地震信息,但多重因素的叠加加大了其实用性的难度。
针对这一问题,以特征波形反演为指导,对提取的地震波场的特征化信息进行了地震反演,并对其反演方案进行了理论分析和对比。
核磁共振弛豫信号的多指数反演
核磁共振弛豫信号的多指数反演核磁共振弛豫信号的多指数反演王武蕾王梦佳刘⽂英2010年8⽉24⽇摘要本⽂针对核磁共振信号处理问题，系统地研究了多指数反演的⽅法。
⾸先，本⽂构造了⼀个具有双峰特征的模拟弛豫时间谱，并在不同信噪⽐下，进⾏多指数正演计算，得到反演所需的原始回波数据，正演模拟结果如图2所⽰。
为求解2T时间谱，本⽂从第⼀类积分⽅程的反演求解⼊⼿，在预先知道2T弛豫时T分布的情况下，推导出适合于核磁共振弛豫时间多指数反演的两种算法——奇异间2j值分解⽅法和阻尼最⼩⼆乘算法。
对算法的具体实现过程进⾏了详细的论述，从理论和实例处理两⽅⾯分析讨论了两种算法的优缺点。
针对这两种算法，分析了噪声对其解谱的影响，并确定了反演的条件。
在进⾏核磁共振信号的多指数反演处理时,应优先≥时，可选⽤奇异值分解选⽤阻尼最⼩⼆乘算法，只有当原始数据的信噪⽐SNR40反演算法。
若预先给定弛豫时间分布，由于布点间断、不连续导致所得结果分辨率较低，结果不是很理想。
本⽂使⽤基于差分进化算法对核磁共振弛豫信号进⾏多指数反演，在将反演问题转化为带⾮负约束的⾮线性拟合优化问题的基础上，根据⾮负最⼩⼆乘⽅法(NNLS)所确定的弛豫时间的⼤致组分数，直接利⽤差分进化算法进⾏反演进化，从⽽避免了对弛豫时间2T分布的确定。
仍利⽤所构造的模拟时间谱，在不同的信噪⽐下使⽤该⽅法进⾏指数反演，从计算精度、抗噪能⼒和计算速度上说，所得结果都⽐上述算法优越，尤其是在信噪⽐较低的情况下，仍保证了弛豫时间谱的真实性。
在对反演算法进⾏研究的基础上，针对提供的实际核磁共振数据，分别使⽤上述三种算法对原始信号和去噪信号进⾏多指数反演，反演结果见图11。
根据结果分析，阻尼最⼩⼆乘算法和差分进化算法具有较好的抗噪能⼒和较⾼的计算精度，奇异值分解算法只有在信噪⽐较⾼时才能得到精确的2T时间谱，这与问题⼀、⼆中的分析结果保持⼀致。
同时，本⽂使⽤对数均匀分布和2的幂指数分布对弛豫时间布点，⼆者所得结果基本相同，对反演计算没有产⽣重要影响，具体数值见表4。
【国家自然科学基金】_fredholm积分方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
推荐指数 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
科研热词 legendre小波 裂纹 积分算子矩阵 积分方程 integro-differential型方程 fredholm型积分方程 面波 非均匀材料 锥 舰船 算子矩阵 第一特征值 积分-微分方程 磁荷 磁场 界面运动裂纹 热弹性分析 正解 无穷区间 散射 强度因子 带限信号 对偶积分方程 外推 圆环 动态系统方法 功能梯度热压电材料 功能梯度材料 功能梯度/压电材料 任意功能梯度 乘积矩阵 不动点指数 不动点定理 fredholm积分方程 fourier变换 f0urier变换
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
科研热词 fredholm积分方程 积分方程 隔振 适定问题 超松弛迭代法 虚拟桩法 精度 稳定 稀疏矩阵 积分迭代法 相关系数 相互作用系数 直角平面 水平受荷桩 正则化法 正则化 桩顶固定 数值求积 抑制噪声 异常 广义极小残余算法 大地电磁测深 圆形夹杂 周期性排桩 向下延拓 双相介质界面 参数分析 动应力集中系数 分块toeplitz矩阵 位场延拓 三维 green函数 gmres算法 floquet变换
数学反演理论基础研究—偏微分方程反问题
-5-
反问题的严格定义很难给出。因此，反问题的定义似乎有点“只能意会，不能言传”的味 道。美国斯坦福大学的 J.B.Keller（1976）：若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或 包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题（direct problem），另 一个为反问题（inverse problem）。
∫ 的解，其中 H (t) = 1
2a πt
D
exp
⎧ ⎨ ⎩
−ξ 2 4a2t
⎫ ⎬ ⎭
dξ
例 1.5 Abel 积分方程：物理中的反问题
设有一个质量为 m 的质点在重力 mg 的作用下，从铅直平面中高度为 h > 0 处的点 p1 ，
沿着某一曲线 Γ 无摩擦地滑到高度为 h=0 处的点 p0 。
例 1.1 加减法 互为逆运算，由此引发的填空问题。 例 1.2 积分和微分 互为逆运算，但并不是一一对应的，需要附加条件。 一般性所考虑问题的思维方式：“由因及果”，也就是人们习惯于根据原因去研究相应的 结果这样的一种因果关系思维方式。 原因=〉结果 输入+系统=输出 因果关系是辩证的，相对的，都不是绝对的。如果我们仅仅知道结果，也就是输出，需 要去追寻原因的时候，就需要一种逆向思维方式，即“由果索因”。 原因〈=结果
Kx = y
其中，算子 K 和右端项是已知量。近似的利用已知 K 和 y 来求 x。当算子 K 是线性算子时， 称为线性反问题，否则称为非线性反问题。当 K 为微分方程算子时，称为微分方程反问题。
z 通常称一个先前被研究过的相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相对应的另 一个问题为反问题。
z 正问题是线性的，对应的反问题也可能是非线性的。
fredholm积分方程
y2
k ( x, y ) f ( y )dy k ( x, y ) f ( y )dy
yi1
h h [k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 )] [k ( x, yi 1 ) f ( yi 1 ) 2 2 h k ( x, yi ) f ( yi )] [k ( x, yn1 ) f ( yn1 ) k ( x, yn ) f ( yn )] 2 h2 (b a) k ( x, ) f ( ) 12 1 h[ k ( x, y0 ) f ( y0 ) k ( x, y1 ) f ( y1 ) k ( x, yi ) f ( yi ) 2 1 h2 (b a) k ( x, yn ) f ( yn )] k ( x, ) f ( ) 2 12 g ( x) [ a, b]
y ( s) 是未知函数。此类积分方程虽然形式简单，但
其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细 介绍。
2 第二类 Fredholm 积分方程，具有如下的形 式：
y( x) k ( x, s) y(s)ds f ( x), a x b
a b
(2)
其中 k ( x, s) 称为积分方程的核，f ( x) 称为自由 项， 为参数， , k ( x, s), f ( x) 均为已知，而 y( x) 为 未知函数。 求积分方程(2)的解 y( x) 的数值方法就是在 区间[a,b]的某些点 x (i 1, 2, , n) 上求 y( xi ) 的近似 值 yi ，使得误差 y( xi ) yi 满足精度要求。
y( x) g ( x) K ( x, s)[ y(s)]mds
第一类弗雷德霍姆积分方程
第一类弗雷德霍姆积分方程弗雷德霍姆积分方程是一类常微分方程的特殊形式，它具有以下形式：y(x) = f(x) + λ∫[a, x] K(x, t) y(t) dt.其中，y(x)是未知函数，f(x)是已知函数，K(x, t)是已知的核函数，λ是常数，∫[a, x]表示从a到x的积分。
这类积分方程的求解通常需要使用弗雷德霍姆积分变换或其他适当的数值方法。
对于第一类弗雷德霍姆积分方程，我们可以从多个角度来回答你的问题：1. 求解方法，对于第一类弗雷德霍姆积分方程，常用的求解方法包括数值方法和解析方法。
数值方法可以通过离散化积分方程，将其转化为代数方程组进行求解，如欧拉方法、龙格-库塔方法等。
解析方法则通过变换、代换等手段，将积分方程转化为常微分方程或其他形式的方程进行求解。
2. 特殊形式，第一类弗雷德霍姆积分方程在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
它常常出现在动力学、电路理论、弹性力学等问题的建模过程中。
特殊形式的第一类弗雷德霍姆积分方程可以根据具体问题的特点进行分类和求解。
3. 解的存在性和唯一性，对于第一类弗雷德霍姆积分方程，解的存在性和唯一性是一个重要的问题。
根据弗雷德霍姆积分方程的性质和条件，可以通过适当的数学分析方法来研究解的存在性和唯一性。
4. 应用领域，第一类弗雷德霍姆积分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述弹性体的变形、电路中的电流分布等问题；在经济学中，它可以用于描述市场供求关系、经济增长模型等问题；在生物学中，它可以用于描述种群动力学、生态系统的演化等问题。
总结起来，第一类弗雷德霍姆积分方程是一类重要的积分方程，在数学和应用领域都具有广泛的研究和应用价值。
通过合适的求解方法，我们可以求得其解，并应用于各种实际问题的建模和分析中。
反演律 解析
反演律解析
（原创实用版）
目录
1.反演律的定义和概念
2.反演律的应用领域
3.反演律的解析方法
4.反演律的实际应用案例
5.反演律的意义和价值
正文
反演律是数学中的一个重要概念，它指的是将一个数学问题从求解的形式转化为证明的形式，或者是将一个数学问题的解法转化为证明的方法。
反演律在数学的各个领域中都有着广泛的应用，包括微积分、代数、几何、概率论等。
在微积分中，反演律常常被用来求解最值问题。
例如，求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的最大值或最小值，就可以通过反演律转化为求解函数
g(x) = f(x) - M 在区间 [a, b] 上的零点问题，其中 M 为常数。
在代数中，反演律常常被用来解决方程或不等式的问题。
例如，求解方程 x^2 + ax + b = 0 的解，就可以通过反演律转化为求解二次函数 y = x^2 + ax + b 的零点问题。
在几何中，反演律常常被用来求解图形的性质和关系。
例如，求解两个圆是否相交，就可以通过反演律转化为求解两个圆的方程组是否有解。
在概率论中，反演律常常被用来求解事件的概率。
例如，求解从一个装有 n 个红球和 m 个白球的盒子中随机抽取一个球是红球的概率，就可以通过反演律转化为求解盒子中红球的个数除以总球数的概率。
总的来说，反演律在数学的各个领域中都有着广泛的应用，是解决数
学问题的一种重要方法。
通过反演律，我们可以将复杂的数学问题转化为简单的数学问题，从而更加容易地求解。
三维大地电磁正演及反演方法研究现状
三维大地电磁正演及反演方法研究现状摘要：近年来，随着计算机技术和三维电磁模拟技术的发展。
基于积分方程法(IEM)、有限差分法(FDM)和有限单元法(FEM)的三大方法的三维大地电磁正演模拟技术得到了极大的发展。
基于最优化理论的三维大地电磁反演研究也得到了快速发展。
关键词：电磁正演模拟；数值模拟技术；大地电磁反演1 三维大地电磁正演方法研究现状积分方程法(IEM)、有限差分法(FDM)和有限单元法(FEM)是数值模拟技术中的三大方法。
近年来，基于上述方法的三维大地电磁正演模拟技术得到了极大的发展。
在积分方程法中，麦克斯韦方程组被转换为 Fredholm 积分方程，并以此实现对电磁场散射方程的离散，从而得到与待求电场有关的复线性方程组。
该线性方程组的系数矩阵为致密的复数矩阵。
在简单模型的模拟计算中，该方法仅对异常区进行离散，由此得到规模较小的致密系数矩阵，这有利于线性方程组的快速求解。
基于积分方程法在内存消耗、计算速度等方面的优势，该方法在电磁模拟的研究中受到了研究人员的重视。
然而必须指出的是，在复杂地球物理模型中，必须考虑全区域离散化，此时基于积分方程法得到的系数矩阵表现为大规模的致密矩阵，不利于方程组求解。
因此，考虑到对复杂模型模拟计算的适应性问题，认为基于积分方程法的三维 MT 正演技术在反演中的应用具有一定的局限性。
有限差分法发展最为成熟数值计算方法之一，该方法基于差分原理，以节点的差商近似为相应的偏导数，从而得到节点上关于物理场的相关线性方程组。
在电磁场模拟计算中，该线性方程组的系数矩阵为大型稀疏复数矩阵，基于合适的存储和求解方案，可以较快速的对其进行求解。
早在上世纪 60 年代，有限差分法就被用于地球物理场的模拟计算。
进入上世纪90 年代以后，随着交错网格有限差分理论的提出，该方法在地球电磁场模拟研究领域中得到了更为广泛的关注和重视。
交错网格有限差分法在处理内部电磁差异引起的电场与磁场不连续现象等方面具有相当优势，且易于适合编程实现，因而在三维大地电磁场的正演模拟中得到了广泛应用。
fredholm,离散积分方程
1 第一类Fredholm 积分方程，具有形式如下：⎰=bax f ds s y s x k )()(),(,b x a ≤≤ (1)其中核函数),(s x K 和自由项)(x f 为已知函数，)(s y 是未知函数。
此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。
2 第二类Fredholm 积分方程，具有如下的形式：⎰+=ba x f ds s y s x k x y )()(),()(λ,b x a ≤≤ (2)离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。
一、复化梯形公式离散过程如下：)]()(2)([2)(1b f x f a f hdx x f nk k b a++≈∑⎰=下面具体给出复化梯形公式对第二类积分方程的一般离散过程。
],[)()(),(12)()](),(21)(),()(),()(),(21[)(),(12)()](),()(),([2)](),()(),([2)](),()(),([2)(),()(),()(),()(),()(),(211002*********12110b a x g f x k a b h s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h f x k a b h s y s x k s y s x k h s y s x k s y s x k hs y s x k s y s x k h dss y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k ds s y s x k n n i i n n n n i i i i s s s s s s s s bann i i ∈=-+++++=--+++++++=+++++=----⎰⎰⎰⎰⎰--ηηηηη－最后对变量x 进行离散，将区间],[b a 等分为n 份，步长为nab h -=，同时忽略积分公式误差项：)](),(21)(),()(),()(),(21[)()(1100n n i i i i i i i i s y s x k s y s x k s y s x k s y s x k h x y x g +++++-=其中n i ,2,1,0= 得到线性方程组n n g Af =其中)](),(),(),([210n n s y s y s y s y f =，)](,),(),(),([210n n x g x g x g x g g =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=),(211),(),(21),(21),(1),(21),(21),(),(211101110101000n n n n n n y x hk y x hk y x k h y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk y x hk A再对上述方程进行数值求解，即可。
弗雷德霍姆积分方程
弗雷德霍姆积分方程弗雷德霍姆积分方程（Fredholm Integral Equation）是积分方程中的一种特殊形式，它是由瑞典数学家弗雷德霍姆（Ivar Fredholm）在19世纪末提出的。
以下将介绍弗雷德霍姆积分方程的定义、解析方法以及应用领域。
\[ \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x, t) \varphi(t)dt \]其中，\(\varphi(x)\)是未知函数，\(f(x)\)是已知函数，\(\lambda\)是参数，\(K(x,t)\)是已知的核函数。
方程的解是通过求解未知函数\(\varphi(x)\)使得方程成立。
要解决在定义区间\([a,b]\)上的弗雷德霍姆积分方程，通常可以使用迭代法或特殊函数的展开方法。
一种常见的解法是迭代法。
大致思路如下：首先，将方程中的未知函数\(\varphi(x)\)进行分段展开，即将\([a, b]\)划分为若干个子区间，并在每个子区间上引入一组基函数，将\(\varphi(x)\)展开为这些基函数的线性组合。
这样，原方程可以转化为线性方程组的形式。
其次，将方程转化为矩阵方程，通过变换可以得到一个对角元素值为1的三角矩阵。
再次迭代求解方程，直到满足一定的收敛条件。
最后，将迭代得到的解向量进行合并，得到整个定义区间上的解。
另一种解法是利用特殊函数的展开方法。
例如，可以使用傅里叶级数展开、勒让德多项式展开等方法，将未知函数\(\varphi(x)\)在\[a, b\]上展开为一组特殊函数的级数。
通过比较系数，将级数展开的形式代入方程中，可以得到迭代求解方程的递推公式。
弗雷德霍姆积分方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
例如，在控制论中，它可用于描述关于时间的状态转移方程、误差方程等。
在物理学中，弗雷德霍姆积分方程可用于描述电磁场的传播、光学中的散射问题等。
在工程应用中，它可用于信号处理、图像处理、声波传播等领域。
图像处理反问题介绍
模糊图像问题—图像处理反问题介绍1.1反问题的例子收集数据的目的是获得关于一个物理系统或者感兴趣的现象的有意义的信息.然而许多情况下，我们希望去确定的信息和能够测量或者已经测得的信息不同.如果观测数据在一定程度上决定于我们需要的信息，那么观测数据至少包含了这些信息的一部分.从我们已经测量的数据出发，试图恢复我们需要的信息的问题称为反问题.粗略说来，我们通常所说的反问题是指由测量得到的结果来确定原因的问题.下面是一些典型的反问题.●计算机断层扫描.假定有个病人，我们希望获得他的身体内部的横向切片，并把这些细节的图片显示出来.我们知道，X射线可以部分穿过人体，不同的内部结构对X射线的吸收不同，因此由体内吸收状况的变化图可以得出很好的图片.然而，不损害身体的唯一方法就是向病人发射X射线，来测量沿着射线身体的全部吸收量.已经收集到了这样的直线上的整数(“数据”)，如何来重新恢复出人体特定位置的吸收量函数(“图片”)？●模型拟合.根据一些理论模型，通过下面的等式可以由x来确定y：23y a bx cx dx=+++ (1.1) 给定观测点(,)x y的集合(即反问题中的数据)，怎样确定i ia,b,c,d的值，结果的可信度有多大呢？在这种情形中，我们想要确定的“图像”就是a到d的集合.更一般地，当然，模型可以更复杂，非线性的确定“图像”.模型拟合的一个例子是通过观测物质衰减的时间来确定放射性物质的半衰期.●反卷积.给定一幅模糊的图片，或者通过类似滤波器的中介的信号，怎样重构图片未模糊前的效果，或者在滤波之前的原始信号？这类问题在设计计算机调制解调器中非常重要.例如，由于电话线会使通过它的信号发生变形，因此很有必要对变形的信号进行补偿来恢复原始信号.通过冲击响应来描述一个线性变系数的系统就是一个重构的问题. ●网格图.假定我们想绘制一幅某地区的海拔图.如果我们得到在一个网格点处的海拔测量值，就可以通过插值的方法得到点之间部分的海拔值，这个问题相对简单.实际中，我们通常收集到在一些不同位置具有不同密度的不规则空间点的海拔值。
低场核磁共振二维谱反演技术及其应用
低场核磁共振二维谱反演技术及其应用聂生东;周小龙;王远军【摘要】This paper explores the practical ability of 2D nclear magnetic resonance (NMR) relaxometry inversion based on the features and advantages of 2D maps. An inversion algorithm aims to make the misfit comparable to noise level was cast in light firstly. Then some synthetic data was handled with this algorithm to get the accurate 2D relaxometry spectrum. Lastly, this technology was applied to many practical cases in the field of medical imaging, food and medicine, energy and so on. The results of synthetic data and experimental data show that the proposed method has a good robustness and an exact accuracy. The 2D NMR relaxometry including the inversion technology has a great potential value of practical applications.%针对二维谱技术的特点和优势，将其引入到不同的应用领域中，验证了二维谱技术的可靠性和实用性。
首先回顾了一种以将拟合误差控制在与噪声相当的水平为基本目标的二维反演算法，然后通过仿真实验验证了该算法的准确性，最后使用该算法获取的二维谱进行了一系列的应用分析。
一类函数积分方程的fredholm和非fredholm定理
一类函数积分方程的fredholm和非
fredholm定理
Fredholm和非Fredholm定理是定义在一类函数积分方程上的重要定理。
它们是由20世纪初著名的瑞典数学家阿尔维斯·弗雷德霍姆所发明的。
Fredholm定理指出，一类函数积分方程可以表示为linear integral equation。
在这种情况下， Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel K是要求的积分方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才能解决来。
常见的核函数类型包括简单对称structured，fualt-trigger symmettrical，特征向量对称和非对称。
而非Fredholm定理则指出，一类函数积分方程可以表示为非线性积分方程。
在这种情况下，非Fredholm定理给出了一个判别解决这类积分方程是否有解的规则：只有当Kernel F是函数方程的解空间的可逆的半正定映射时，积分方程才会有解。
例如，多项式形式积分方程的 method of variation of parameters (MVP)，椭圆形式函数积分方程的Chebychev分析和拉格朗日形式的函数积分方程的 Legendre 分析。
在拉格朗日形式函数积分方程中，还有一种特殊情况：由拉格朗日定理推出的非Fredholm定理，也称为Fourier-Stieltjes定理。
整体来看，Fredholm定理和非Fredholm定理是理解函数积分方程类型的重要工具，它们提供了一种有用的方法，可从积分方程中获得解。
因此，在计算函数积分方程时，Fredholm和非Fredholm定理都很有用。
求第一类Fredholm积分方程的离散正则化方法
ＹＩ Ｎ Ｆ ｅ ｎｇ －ｌ ａ ｎ
（ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｑｉ ｎ ｇ ｄ ａ ｏ Ａ ｇ ｉｃ ｒ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｈａ ｌｄ ｕ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ， Ｌ ｌｙ ａ ａ ｎ ｇ Ｓ ｈ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ ， ２ ６ ５ ２ ０ ０ ）
【 Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ］ Ｔ ｈ ｅ ｉ ｆ ｒ ｓ ｔ ｋ ｉ ｎ ｄ Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ｌ ａ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； Ｍ ａ ｔ ｉ ｒ ｘ ｓ ｉ ｎ ｇ ｕ ｌ ｒ ａ ｖ ｌ ａ ｕ ｅ ； Ｒ ｅ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｌ ａ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ
０ 引 言
在实际问题 中， 有很 多数学物理方程反 问题 的求解最后 总要 归结 为一个第一类算 子方程 ： ＫLeabharlann ＝ ｙ （ １ ） ２
１ ￣ｑ （ ａ， ｓ ｉ ） ＝ — ！ 代入上式可得到 Ｔ ｉ ｋ ｈ 。 ｎ 。 ｖ 正则解为
，
ｏ ｔ ＋ｓ ｊ
的求 解问题 ． 其中 Ｋ是从 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间 到 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间 ｙ一个 有 界线性算 子 ， ∈ Ｘ ， Ｙ Ｅ Ｙ 。通常右端项 Ｙ 是 观测数据 ． 因而不 可避免 的 ２ 正 则 参 数 的 选 取 带有 一定 的误差 ６ 。 文 中假设方程 （ １ ） 的右端 的扰动数据 ∈Ｙ满足条 定义 正则 化参数 的取法 ＝ ａ ＠称为是允许 的， 如果在 ＿ Ｈ ０ 时 件： ｌ Ｉ ？ － ｙ ｌ Ｉ ≤６ （ ｃ 。 ） 。我们需要求解扰动方程 Ｋ ｘ ＝ ｙ ｚ ∈Ｙ 。 （ ２ ）
反演原理及公式介绍
反演原理及公式介绍反演原理是一种数学方法，用来将一个复杂问题转化为更简单的问题，通过解决简单问题来得到原问题的解。
它在数学、物理、工程等领域中广泛应用，并具有重要的理论和实际意义。
反演原理的基本思想是通过利用变换的逆变换来解决问题。
它是一种从目标空间到解空间的映射方法，通过反演这种映射关系，可以从解空间推导出目标空间的信息。
反演原理的关键在于建立目标空间和解空间之间的映射关系，以及确定逆变换的具体形式。
反演原理可以分为两类：线性反演和非线性反演。
线性反演是指目标空间和解空间之间的映射关系是线性的，可以用线性变换来表示。
非线性反演是指映射关系是非线性的，需要用非线性变换来表示。
在数学中，反演原理有许多具体的公式和方法。
其中一个著名的例子是拉普拉斯变换与反演变换之间的关系。
拉普拉斯变换是一种重要的积分变换，它将函数从时域变换到复频域。
而反演变换则将函数从复频域反演回时域。
拉普拉斯变换与反演变换之间的关系可以用以下公式表示：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dtf(t) = 1/(2πi) * ∫F(s)e^(st)ds其中，f(t)是时域函数，F(s)是复频域函数，s是复变量。
这个公式表达了拉普拉斯变换与反演变换之间的一一对应关系，可以通过拉普拉斯变换得到函数的复频域表示，然后通过反演变换将其恢复到时域表示。
这个公式在信号处理、控制系统、电路分析等领域中有广泛的应用。
除了拉普拉斯变换，反演原理还有其他一些重要的公式和方法。
例如，傅里叶变换与反演变换之间的关系、哈尔变换与反演变换之间的关系等。
这些公式和方法可以用来解决各种数学问题，并在实际应用中发挥重要作用。
总之，反演原理是一种重要的数学方法，通过建立目标空间和解空间之间的映射关系，可以将复杂问题转化为简单问题，并通过解决简单问题来得到原问题的解。
通过具体的公式和方法，可以实现目标空间与解空间之间的映射和反演。
反演原理在数学、物理、工程等领域中有广泛应用，并对解决实际问题具有重要的理论意义和实际价值。
地球物理反演理论(1章)
第一节
简介
பைடு நூலகம்
反演理论的一些说明
对一个反演问题存在多种公式化方法， 不同的人采用不同的方法。大部分文献中 对于地球物理反演问题，将地球参数化为 几个参数，从而观测数据多于待定参数。 最小平方法可用于寻求待定参数，获得观 测数据与参数模型相应的最佳匹配。对于 部分反演问题，这是一个有效的方法，但 这只是反演问题的一种解法。本门课程讨 论求解反演问题的更一般做法。
用公式表示为 ：F-1[e]=m
图1-4 反映射
图 反演过程
第二节
基本概念
例子：考虑地球内部的温度分布，假定地球内部 的温度随深度线性增加，其关系式可表示成： T(z) =a+bz； 正演：如果给定a和b求不同深度z对应的温度T(z) 反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b，即拟合 z T(z) a b 一条直线。 前面例子的反问题为： 1、已知Laplace变换X(s),求x(t) 2、已知磁场,求电流 3、给定均方根速度V2(t),求层速度v2(t)
第一节
简介
地球物理学家的一个主要目的就是 确定地下构造和岩性物理性质
只要能得到这种信息，哪怕是不完善的，也 将大大加强选择油气钻井和矿藏位置的正确 性。由于不能直接研究地球的所有部分，地 球物理学家必须使用遥感技术来获取地下构 造的信息。这种观测往往在地表进行，遥感 实验示意图如下图所示：
地球
图1-1 遥感实验示意图
但w(t)为带限函数，因为震源中没有显著的低频 能量，而高频成分在地震波传播中迅速衰减。 因此典型地震子波的振幅谱象图1-9中所示的那 样局限于频带 f L ≤ f ≤ f H 。
第二节
基本概念
图1-9 子波W(t)振幅谱
给定地震记录x(t)和地震子波w(t)，反演问题为恢 复反射系数函数r(t)。
小波变换在求解第一类Fredholm积分方程中的应用
考 虑 一 类 具 体的 反 问题 的模 型 ， 函 数 — ｚ 以 （ ）表 示 原 因 ， 过算 子 模 型 的作 用 产生 的结 果 记 为 Ｉ一 “． ， 经 ． １ （ ） 即有 关 系 ｆ
“ ＝ Ａｚ。
一
的 构 造 、 则 解 的 性 质 和 误 差 估 计 以 及 正 则 参 数 的 选 择 作 出 正
了各 自的 努 力 ∞ ， 到 正 则 化 方 法 的 算 法 实 现 ， 当 首 推 ］说 应 Ｔｉｈ ｎ ｖ Ｍｏｏｏ ｋ ｏｏ ， ｒｚｖ和 Ｌ ｍｍ． ｒｚｖ曾 经 应 用 Ｎｅ ｏ ａ Ｍｏｏｏ ｗｔｎ法 求 解 偏 差 方 程 ， 获 得 了 二 阶 收 敛 速 度 ； ｉｈ ｎｖ基 于 Ｅ ｌ 并 Ｔｋｏｏ ｕｅ ｒ
最近 几十年 ， 着科 学技术 的发展和 研究范 围的扩 大， 随 地 质 学 、 像 图 形 学 、 感 、 油 勘 探 、 学 、 融 、 济 乃 至 图 遥 石 医 金 经 生 命 科 学 都 提 出 了 由 “ 果 观 测 ）探 求 “ 因 ” 待 反 演 参 结 （ 原 （
在 数 值 分 析 领 域 ， 波 在 求 解 微 分 方 程 ， 其 是 在 求 解 数 学 小 尤
张 海 燕
（ 徽科技学院 理学院 ， 徽 蚌埠 ２３０） 安 安 ３ １０
摘 要 ： 出将 第 一类 Ｆ ｅ ｈ ｌ 积 分方 程 离散 为 线性不 适定 方 程 ， 提 ｒｄ ｏｍ 并利 用 小波 变换 方 法进 行 数值 求 解 。该 方法将 小波 变换 与正则 化 方法 、 ｃ ｕ Ｓ ｈ ｒ补 共轭 梯 度 法相 结 合 ， 取 小 波 函数 作 为 一组 基底 ， 选 将 原不适 定 问题转化 为粗 子 空 间上 的适 定 问题 。通 过数值 实验 验证 了该 方 法的有效 性和 可行性 。
多参数正则化的动态光散射测量数据反演
多参数正则化的动态光散射测量数据反演申晋;修文正;尹丽菊;邢雪宁;刘伟【摘要】针对多分散颗粒体系反演中防止出现虚假峰和避免真实峰值信息丢失之间存在的矛盾,在正则化反演中,通过对小奇异值的截断处理和利用调节因子构造正则参数函数,在抑制小奇异值对噪声放大作用的同时,避免了单一正则参数导致的过正则化或欠正则化问题.由于过正则化会引起峰值信息的丢失,而欠正则化则会导致虚假峰、峰值分瓣或毛刺,因此,这一处理显著提高了反演方法的抗噪性能和多峰识别能力.模拟与实测动态光散射数据的反演结果表明,多参数正则化方法在准确给出粒度峰值的同时,有效地消除了虚假峰、峰值分瓣和毛刺等现象,实现了多峰颗粒体系的准确测量.【期刊名称】《实验室研究与探索》【年(卷),期】2019(038)002【总页数】6页(P15-20)【关键词】动态光散射;颗粒测量;正则化;反演【作者】申晋;修文正;尹丽菊;邢雪宁;刘伟【作者单位】山东理工大学电气与电子工程学院,山东淄博255049;山东理工大学电气与电子工程学院,山东淄博255049;山东理工大学电气与电子工程学院,山东淄博255049;山东理工大学电气与电子工程学院,山东淄博255049;山东理工大学电气与电子工程学院,山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O436;O4390 引言动态光散射技术是测量亚微米及纳米颗粒粒度及其分布的有效方法[1-3]，该技术是通过测量布朗运动颗粒随时间起伏的散射光强信号来获得动态光散射数据，再对动态光散射数据进行反演得到颗粒的粒度分布[4-6]。
动态光散射技术具有非接触、不干扰被测体系原有状态等优点，已经成为亚微米及纳米颗粒测量的一种常用方法。
在动态光散射测量时，测量数据反演需要求解的第一类Fredholm积分方程是一个病态方程，即方程解的存在性、唯一性和稳定性均不能得到保证。
已经提出的多种动态光散射数据反演方法，包括累积法[7]、NNLS法[8]、CONTIN[9-10]法、指数采样法[11]、奇异值分解法[12]、贝叶斯法[13]以及Tikhonov正则化方法[14]等，这些方法各具特点，但均存在局限，多分散颗粒体系的测量数据反演是动态光散射测量技术在实际应用一直未能得到很好解决的难题。
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反演第一类fredholm积分问题
反演第一类Fredholm积分问题是数学领域中经常遇到的问题，它可以用于求解许多实际问题，例如声波传播、物理学中的分布分析等等。
在这篇文章中，我们将详细介绍反演第一类Fredholm积分问题及其求
解方法，希望能对读者有所帮助。
一、反演第一类Fredholm积分问题概述
反演第一类Fredholm积分问题是指一个特定形式的积分方程，它的解
可以用其核函数和边界条件表示。
具体而言，假设有一个函数f(x)未知，且已知另一个函数K(x,y)，满足如下积分方程：
f(x) = ∫[a,b] K(x,y)g(y)dy
其中，g(y)为已知函数，K(x,y)为积分核函数，a、b表示积分区间。
该
积分方程我们称之为反演第一类Fredholm积分问题。
二、反演第一类Fredholm积分问题的求解方法
为了求解反演第一类Fredholm积分问题，我们可以采用以下两种方法：
1. 特征值法
这种方法首先对核函数进行特征值分解，然后对于每个特征值作出一
组正交函数，并将它们扩展到整个积分区间。
接着，我们使用这组正交函数来表示未知函数，并将其代入积分方程中，从而得到系数，最终求出未知函数。
2. 傅里叶变换法
这种方法利用函数的傅里叶变换和逆变换，将积分方程转化为代数方程，从而得出未知函数。
具体而言，我们首先对积分方程进行傅里叶变换，将其转化为一个代数方程组。
接着，将方程组解出来，并进行逆傅里叶变换，最终得到未知函数。
三、结论
反演第一类Fredholm积分问题是一类重要的数学问题，它的求解方法有很多种。
本文主要介绍了特征值法和傅里叶变换法两种方法，希望能对读者有所启发。
同时，我们也希望更多的研究者加入到此领域，为该问题的研究做出更多的贡献。