第5章振动和波动习题解答
第5章 习题解答
第5章 习题与答案5-1 机械波的表达式为y = 0.03cos6π(t + 0.01x ) (SI) ，则［ ］ (A) 其振幅为3 m(B) 其周期为s 31(C) 其波速为10 m/s (D)波沿x 轴正向传播 [答案：B]5-2 一平面简谐波，波速u =5m · s －1. t = 3 s 时波形曲线如题5-2图所示. 则x =0处的振动方程为［ ］(A)y =2×10－2cos(πt /2－π/2) ( S I ) . (B) y =2×10－2cos(πt ＋π ) ( S I ) . (C) y =2×10－2cos(πt /2+π/2) ( S I ) .(D) y =2×10－ 2cos(πt －3π/2) ( S I ) .[答案：A]5-3 如题5-3图所示，两相干波源s 1和s 2相距λ/4(λ为波长), s 1的位相比s 2的位相超前π/2 ,在s 1、s 2的连线上, s 1外侧各点(例如P 点)两波引起的两谐振动的位相差是［ ］(A) 0 . (B) π . (C) π /2 . (D) 3π/2 . [答案：B]5-4 一平面简谐波沿ox 正方向传播，波动表达式为]2)42(2cos[10.0π+-π=x t y (SI)，该波在t = 0.5 s 时刻的波形如题5-5图中的哪一个？ ［ ］[答案：B]5-5 横波以波速u 沿x 轴负方向传播．t 时刻波形曲线如题5-5图所示．则该时刻 ［ ］(A) A 点振动速度大于零 (B) B 点静止不动ux (m)y (10－2m)· · · · · · · 0 51015 20 25 －2题5-2图题5-4图题5-5图-(C) C 点向下运动 (D) D 点振动速度小于零 [答案：D]5-6 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形如题5-6图所示，则P 处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是［ ］[答案：A]5-7 一简谐波沿x 轴正方向传播，t = T /4时的波形曲线如题5-7图所示．若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取-π 到π 之间的值，则 ［ ］ (A) O 点的初相为00=φ(B) 1点的初相为π-=211φ(C) 2点的初相为π=2φ (D) 3点的初相为π-=213φ [答案：D]5-8 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动［ ］(A) 振幅相同，相位相同 (B) 振幅不同，相位相同 (C) 振幅相同，相位不同 (D) 振幅不同，相位不同 [答案：B]5-9 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：［ ］(A) 它的动能转化为势能. (B) 它的势能转化为动能.(C) 它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大. (D) 它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小. [答案：D]ωS A O ′ωSA O ′ωωSAO ′(A)(B)(C)(D)S题5-6图5-10 一横波的波动方程是))(4.0100(2sin 02.0SI x t y -=π，则振幅是__________，波长是__________，频率是__________，波的传播速度是__________。
5第五章习题解答
习题解答5-1 电路中存在有正反馈，且AF ＞1，是否一定会发生自激振荡？说明理由。
解答：不一定。
因为AF>1仅满足了自激振荡的振幅起振条件，此时，只有当πϕϕn F A 2=+即同时满足相位起振条件时才会发生自激振荡。
5-2 为什么晶体管LC 振荡器总是采用固定偏置与自生偏置混合的偏置电路？解答：晶体管LC 振荡器采用固定的正向偏置是为了使振荡器起振时为软激励状态，无须再外加强的激励下能起振，也不致停振。
而采用自生反向偏置则可以稳幅。
若两者不结合，则两个优点不可兼而有之。
5-3 什么是间歇振荡现象？试分析间歇振荡产生的原因？简述如何防止和消除间歇振荡。
解答：间歇振荡是指振荡器工作时，时而振荡，时而停振的现象。
原因是振荡器的自偏压电路参数选择不当。
防止和消除间歇振荡的方法是正确选择工作点以及ReCe 的数值。
5-4 反馈式自激振荡器由哪几部分组成？各自的功能是什么？ 解答：反馈型自激振荡器的电路由三部分组成：(1) 包含两个或两个以上储能元件的振荡回路，完成能量交换。
(2) 直流电源，补充振荡回路电阻产生的损耗，维持等幅振荡。
(3) 有源器件和正反馈电路，控制能量在正确的时间内补充到电路中。
5-5 LC 振荡器的工作频率是严格等于调谐回路的谐振频率吗？为什么？解答：LC 振荡器的工作频率近似等于调谐回路的谐振频率，严格说，它的工作频率还应该与管子的参数有关，如0h 、i h 等。
5-6 LC 振荡器的静态工作点应如何选择？根据是什么？解答：振荡器静态工作点设计在甲类工作状态，采用自给偏压电路，如下图所示：随着振荡幅度的增加，振荡管便由线性状态很快地过渡到甲乙类乃至丙类的非线性状态，这时放大器的增益会下降，最终达到平衡状态。
5-7 一个振荡器，因为某种原因，使反馈电压v f 比输入信号v s 滞后于340︒，试问该振荡器还能否振荡？若能振荡，则振荡频率比原来相比是升高了，还是降低了？ 解答：若此时反馈电压分量，使得反馈系数F>A1时，即可振荡，因v f 滞后v s 340︒，即产生一个负相角ϕ∆，频率与相位的关系为dtd ϕω=，因此频率降低了。
大物第五章课后习题答案
简答题5.1 什么是简谐运动？说明下列运动是否是简谐运动？（1）活塞的往复运动；（2）皮球在硬地上的跳动；（3）一小球在半径很大的光滑凹球面底部的来回滑动，且经过的弧线很短；（4）锥摆的运动。
答：质点的简谐振动一定要有平衡位置，以平衡位置作为坐标原点，如果以x 表示质点偏离平衡位置的位移，质点所受合外力一定具有F kx =-的形式。
（１）活塞的往复运动不是简谐运动，因为活塞受力的方向和它的位移是同一方向，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以活塞的往复运动是简谐运动。
（２）皮球在硬地上的跳动不是简谐运动，因为忽略空气阻力，皮球在上升和下落阶段，始终受到竖直向下的重力的作用，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以皮球的运动不是简谐运动。
（３）一小球在半径很大的光滑凹球面底部的来回滑动，且经过的弧线很短是简谐运动。
符合简谐运动的定义。
（４）锥摆的运动不是简谐运动，此时锥摆受到重力和绳的拉力的作用，这两个力的合力的大小为恒量，而方向在不断的改变，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以锥摆的运动不是简谐运动。
5.2（1）试述相位和初相的意义，如何确定初相？（2）在简谐振动表达式)cos(ϕω+=t A x 中，t = 0是质点开始运动的时刻，还是开始观察的时刻？初相20/,πϕ=各表示从什么位置开始运动？答：1）相位是决定谐振动运动状态的物理量，初相是确定振动物体初始时刻运动状态的物理量。
由初始条件可以确定初相。
2）在简谐振动表达式)cos(ϕω+=t A x 中，t = 0是质点开始计时时刻的运动状态，是开始观察的时刻。
初相0ϕ=是物体处于正最大位移处开始运动，初相/2ϕπ=是物体处于平衡位置且向初相x 轴负向开始运动。
5.3 一质点沿x 轴按)cos(ϕω+=t A x 作简谐振动，其振幅为A ，角频率为ω，今在下述情况下开始计时，试分别求振动的初相：（1）质点在x = +A 处；（2）质点在平衡位置处、且向正方向运动；（3）质点在平衡位置处、且向负方向运动；（4）质点在x =A /2处、且向正方向运动；（5）质点的速度为零而加速度为正值。
大学物理学上册(赵近芳)第5章习题解答
习题5
5.1选择题
(1)一物体作简谐振动，振动方程为)2cos(πω+=t A x ，则该物体在0=t 时
刻的动能与8/T t =（T 为振动周期）时刻的动能之比为：
(A)1：4 （B ）1：2 （C ）1：1 (D) 2：1
[答案：D]
(2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为
(A)kA 2 (B) kA 2/2
(C) kA 2//4 (D)0
[答案：D]
(3)简谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于
(A)4A ± (B) 2
A ± (C) 2
3A ± (D) 2
2A ± [答案：D]
5.2 填空题
(1)一质点在X 轴上作简谐振动，振幅A ＝4cm ，周期T ＝2s ，其平衡位置取作坐标原点。
若t ＝0时质点第一次通过x ＝－2cm 处且向X 轴负方向运动，则质点第二次通过x ＝－2cm 处的时刻为____s 。
[答案：23
s ]
(2)一水平弹簧简谐振子的振动曲线如题5.2(2)图所示。
振子在位移为零，速度为－ωA 、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的____________点。
振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为－ω2A 和弹性力为－KA 的状态，则对应曲线上的____________点。
题5.2(2) 图
[答案：b 、f ； a 、e]
(3)一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点，已知周期为T ，振幅为A 。
大学物理课后习题答案第五章
大学物理课后习题答案第五章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第五章 机械波5．1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x ) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向；（2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示．[解答]（1）与标准波动方程2cos()xy A t πωλ=-比较得：2π/λ = 0.6，因此波长为：λ = 10.47(m)；圆频率为：ω = 10π，频率为：v =ω/2π = 5(Hz)；波速为：u = λ/T = λv = 52.36(m·s -1)． 且传播方向为x 轴正方向．（2）当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程： y = 5×10-2sin10πt = 5×10-2cos(10πt – π/2)， 振动曲线如图．5．2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s -1沿x 轴正向传播，已知波线上A 点（x A = 0.05m ）的振动方程为0.03cos(4)2A y t ππ=-(m)．试求：（1）简谐波的波动方程；（2）x = -0.05m 处质点P 处的振动方程．[解答]（1）简谐波的波动方程为：cos[()]Ax x y A t uωϕ-=-+；即 0.050.03cos[4()]0.22x y t ππ-=--= 0.03cos[4π(t – 5x ) + π/2]．（2）在x = -0.05m 处质点P 点的振动方程为：y = 0.03cos[4πt + π + π/2] = 0.03cos(4πt - π/2)．5．3 已知平面波波源的振动表达式为20 6.010sin 2y t π-=⨯(m)．求距波源5m处质点的振动方程和该质点与波源的位相差．设波速为2m·s -1．[解答]振动方程为：26.010sin ()2xy t u π-=⨯- 50.06sin()24t ππ=-，位相差为 Δφ = 5π/4(rad)．5．4 有一沿x 轴正向传播的平面波，其波速为u = 1m·s -1，波长λ = 0.04m ，振幅A = 0.03m ．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求：（1）此平面波的波动方程；（2）与波源相距x = 0.01m 处质点的振动方程，该点初相是多少？[解答]（1）设原点的振动方程为：y 0 = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.03m ． 由于u = λ/T ，所以质点振动的周期为：T = λ/u = 0.04(s)，圆频率为：ω = 2π/T = 50π．当t = 0时，y 0 = 0，因此cos φ = 0；由于质点速度小于零，所以φ = π/2．原点的振动方程为：y 0 = 0.03cos(50πt + π/2)， 平面波的波动方程为：0.03cos[50()]2x y t u ππ=-+= 0.03cos[50π(t – x ) + π/2)．（2）与波源相距x = 0.01m 处质点的振动方程为：y = 0.03cos50πt ． 该点初相φ = 0．5．5 一列简谐波沿x 轴正向传播，在t 1 = 0s ，t 2 = 0.25s 时刻的波形如图所示．试求：（1）P 点的振动表达式； （2）波动方程； （3）画出O 点的振动曲线． [解答]（1）设P 点的振动方程为 y P = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.2m ．在Δt = 0.25s 内，波向右传播了Δx = 0.45/3 = 0.15(m)， 所以波速为u = Δx/Δt = 0.6(m·s -1)．波长为：λ = 4Δx = 0.6(m)， 周期为：T = λ/u = 1(s)， 圆频率为：ω = 2π/T = 2π．当t = 0时，y P = 0，因此cos φ = 0；由于波沿x 轴正向传播，所以P 点在此时向上运动，速度大于零，所以φ = -π/2．P 点的振动表达式为：y P = 0.2cos(2πt - π/2)． （2）P 点的位置是x P = 0.3m ，所以波动方程为0.2cos[2()]2P x x y t u ππ-=--100.2cos(2)32t x πππ=-+． （3）在x = 0处的振动方程为y 0 = 0.2cos(2πt + π/2)，曲线如图所示．5．6 如图所示为一列沿x 负向传播的平面谐波在t = T /4时的波形图，振幅A 、波长λ以及周期T 均已知．（1）写出该波的波动方程； （2）画出x = λ/2处质点的振动曲线； （3）图中波线上a 和b 两点的位相差φa – φb 为多少？[解答]（1）设此波的波动方程为：图5.5cos[2()]t xy A T πϕλ=++，当t = T /4时的波形方程为：cos(2)2x y A ππϕλ=++sin(2)xA πϕλ=-+．在x = 0处y = 0，因此得sin φ = 0， 解得φ = 0或π．而在x = λ/2处y = -A ，所以φ = 0．因此波动方程为：cos 2()t xy A T πλ=+．（2）在x = λ/2处质点的振动方程为：cos(2)cos 2t t y A A T Tπππ=+=-， 曲线如图所示．（3）x a = λ/4处的质点的振动方程为 cos(2)2a t y A T ππ=+； x b = λ处的质点的振动方程为 cos(22)b t y A Tππ=+． 波线上a 和b 两点的位相差φa – φb = -3π/2．5．7 已知波的波动方程为y = A cosπ(4t – 2x )（SI ）．（1）写出t = 4.2s 时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点（ 2）画出t = 4.2s 时的波形曲线． [解答]波的波动方程可化为：y = A cos2π(2t – x )， 与标准方程cos[2()]t xy A T πϕλ=-+比较， 可知：周期为T = 0.5s ，波长λ = 1m ．波速为u = λ/T = 2m·s -1．（1）当t = 4.2s 时的波形方程为y = A cos(2πx – 16.8π)= A cos(2πx – 0.8π)． 令y = A ，则cos(2πx – 0.8π) = 1，因此 2πx – 0.8π = 2k π，(k = 0, ±1, ±2,…)，各波峰的位置为x = k + 0.4，(k = 0, ±1, ±2,…)．当k = 0时的波峰离原点最近，最近为：x = 0.4(m)．通过原点时经过的时间为：Δt = Δx/u = (0 – x )/u = -0.2(s)， 即：该波峰0.2s 之前通过了原点．（2）t = 0时刻的波形曲线如实线所示．经过t = 4s 时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经Δt = 0.2s ，波形向右移动Δx = u Δt = 0.4m ，因此t = 4.2s 时的波形曲线如虚线所示．[注意]各波峰的位置也可以由cos(2πx – 16.8π) = 1解得，结果为x = k + 8.4，(k = 0, ±1, ±2,…)，取同一整数k 值，波峰的位置不同．当k = -8时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4m ．5．8 一简谐波沿x 轴正向传播，波长λ = 4m ，周期T = 4s ，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示．（1）写出时x = 0处质点的振动方程； （2）写出波的表达式；（3）画出t = 1s 时刻的波形曲线．[解答]波速为u = λ/T = 1(m·s -1)． （1）设x = 0处的质点的振动方程为y = A cos(ωt + φ)，其中A = 1m ，ω = 2π/T = π/2．当t = 0时，y = 0.5，因此cos φ = 0.5，φ = ±π/3．在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此φ = π/3．振动方程为：y = cos(πt /2 + π/3)． （2）波的表达式为：cos[2()]t xy A T πϕλ=-+ cos[()]23t x ππ=-+． （3）t = 1s 时刻的波形方程为 5cos()26y x ππ=-，波形曲线如图所示．5．9 在波的传播路程上有A 和B 两点，都做简谐振动，B 点的位相比A 点落后π/6，已知A 和B 之间的距离为2.0cm ，振动周期为2.0s ．求波速u 和波长λ．[解答] 设波动方程为：cos[2()]t xy A T πϕλ=-+，那么A 和B 两点的振动方程分别为：cos[2()]A A xt y A T πϕλ=-+，cos[2()]B B xt y A T πϕλ=-+．两点之间的位相差为：2(2)6B A x x πππλλ---=-，由于x B – x A = 0.02m ，所以波长为：λ = 0.24(m)．波速为：u = λ/T = 0.12(m·s -1)．5．10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s -1沿x 轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A 的振动方程为y = 3cos4πt ．（1）如以A 点为坐标原点，写出波动方程； （2）如以距A 点5m 处的B 点为坐标原点，写出波动方程；（3）写出传播方向上B ，C ，D 点的振动方程．[解答]（1）以A 点为坐标原点，波动方程为3cos 4()3cos(4)5x xy t t u πππ=+=+．（2）以B 点为坐标原点，波动方程为3cos 4()Ax x y t u π-=+3cos(4)5x t πππ=+-．（3）以A 点为坐标原点，则x B = -5m 、x C = -13m 、x D = 9m ，各点的振动方程为3cos 4()3cos(4)B B xy t t u πππ=+=-，33cos 4()3cos(4)5C C x y t t u πππ=+=-，93cos 4()3cos(4)5D D x y t t u πππ=+=+．[注意]以B 点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程．5．11 一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s -1，振幅A = 1.0×10-4m ，频率ν= 103Hz ．若该媒质的密度为800kg·m -3，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m 2的总能量． [解答]（1）质点的圆频率为：ω = 2πv = 6.283×103(rad·s -1)，波的平均能量密度为：2212w A ρω== 158(J·m -3)，平均能流密度为：I wu == 1.58×105(W·m -2)．（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m 2的总能量为：E = ItS = 3.79×103(J)．5．12 一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s -1，频率为500Hz ．到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强此时声强相当于多少分贝已知空气密度ρ = 1.29kg·m -3．[解答]质点的圆频率为：ω = 2πv = 3.142×103(rad·s -1)，声波的平均能量密度为：2212w A ρω== 6.37×10-6(J·m -3)，平均能流密度为：I wu == 2.16×10-3(W·m -2)， 标准声强为：I 0 = 1×10-12(W·m -2)，图5.10此声强的分贝数为：010lgIL I == 93.4(dB)．5．13 设空气中声速为330m·s -1．一列火车以30m·s -1的速度行驶，机车上汽笛的频率为600Hz ．一静止的观察者在机车的正前方和机车驶过其身后所听到的频率分别是多少？如果观察者以速度10m·s -1与这列火车相向运动，在上述两个位置，他听到的声音频率分别是多少？[解答]取声速的方向为正，多谱勒频率公式可统一表示为BB S Su u u u νν-=-，其中v S 表示声源的频率，u 表示声速，u B 表示观察者的速度，u S 表示声源的速度，v B 表示观察者接收的频率．（1）当观察者静止时，u B = 0，火车驶来时其速度方向与声速方向相同，u S = 30m·s -1，观察者听到的频率为33060033030B S S u u u νν==--= 660(Hz)．火车驶去时其速度方向与声速方向相反，u S = -30m·s -1，观察者听到的频率为33060033030B S S u u u νν==-+= 550(Hz)．（2）当观察者与火车靠近时，观察者的速度方向与声速相反，u B = -10m·s -1；火车速度方向与声速方向相同，u S = 30m·s -1，观察者听到的频率为3301060033030B B S S u u u u νν-+==--= 680(Hz)．当观察者与火车远离时，观察者的速度方向与声速相同，u B = 10m·s -1；火车速度方向与声速方向相反，u S = -30m·s -1，观察者听到的频率为3301060033030B B S S u u u u νν--==-+= 533(Hz)．[注意]这类题目涉及声速、声源的速度和观察者的速度，规定方向之后将公式统一起来，很容易判别速度方向，给计算带来了方便．5．14．一声源的频率为1080Hz ，相对地面以30m·s -1速率向右运动．在其右方有一反射面相对地面以65m·s -1的速率向左运动．设空气中声速为331m·s -1．求：（1）声源在空气中发出的声音的波长； （2）反射回的声音的频率和波长．[解答]（1）声音在声源垂直方向的波长为：λ0 = uT 0 = u /ν0 = 331/1080 = 0.306(m)；在声源前方的波长为：λ1 = λ0 - u s T 0 = uT 0 - u s T 0 = (u - u s )/ν0 = (331-30)/1080 = 0.2787(m)；在声源后方的波长为：λ2 = λ0 + u s T 0 = uT 0 + u s T 0 = (u + u s )/ν0= (331+30)/1080 = 0.3343(m)．（2）反射面接收到的频率为1033165108033130B S u u u u νν++==⨯--= 1421(Hz)． 将反射面作为波源，其频率为ν1，反射声音的频率为`11331142133165B u u u νν==⨯--= 1768(Hz)．反射声音的波长为`1111331651421B B uu u u λννν--=-===0.1872(m)．或者 `1`13311768u λν=== 0.1872(m)．[注意]如果用下式计算波长`111650.27871768B u λλν=-=-=0.2330(m)，结果就是错误的．当反射面不动时，作为波源发出的波长为u /ν1 = 0.2330m ，而不是入射的波长λ1．5.15 S 1与S 2为两相干波源，相距1/4个波长，S 1比S 2的位相超前π/2．问S 1、S 2连线上在S 1外侧各点的合成波的振幅如何？在S 2外侧各点的振幅如何？[解答]如图所示，设S 1在其左侧产生的波的波动方程为 1cos[2()]t xy A T πϕλ=++， 那么S 2在S 1左侧产生的波的波动方程为2/4cos[2()]2t x y A T λππϕλ-=++-cos[2()]t xA T πϕπλ=++-，由于两波源在任意点x 产生振动反相，所以合振幅为零．S 1在S 2右侧产生的波的波动方程为1cos[2()]t xy A T πϕλ=-+，那么S 2在其右侧产生的波的波动方程为2/4cos[2()]2t x y A T λππϕλ-=-+-cos[2()]t xA T πϕλ=-+，由于两波源在任意点x 产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍．5.16 两相干波源S 1与S 2相距5m ，其振幅相等，频率都是100Hz ，位相差为π；波在媒质中的传播速度为400m·s -1，试以S 1S 2连线为坐标轴x ，以S 1S 2连线中点为原点，求S 1S 2间因干涉而静止的各点的坐标．[解答]如图所示，设S 1在其右侧产生的波的波动方程为1 2121/2cos[2()]x l y A t u πνϕ+=-+ 5cos(2)24A t x πππνϕ=-+-，那么S 2在其左侧产生的波的波动方程为2/2cos[2()]x l y A t u πνϕπ-=+++cos(2)24A t x πππνϕ=++-．两个振动的相差为Δφ = πx + π，当Δφ = (2k + 1)π时，质点由于两波干涉而静止，静止点为x = 2k ， k 为整数，但必须使x 的值在-l /2到l /2之间，即-2.5到2.5之间．当k = -1、0和1时，可得静止点的坐标为：x = -2、0和2(m)．5.17 设入射波的表达式为1cos 2()t xy A T πλ=+，在x = 0处发生反射，反射点为一自由端，求：（1）反射波的表达式； （2）合成驻波的表达式．[解答]（1）由于反射点为自由端，所以没有半波损失，反射波的波动方程为2cos 2()t xy A T πλ=-．（2）合成波为y = y 1 + y 2，将三角函数展开得222cos cos y A x t Tππλ=，这是驻波的方程．5.18 两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为：1 6.0cos (0.028.0)2y x t π=-，2 6.0cos(0.028.0)2y x t π=+，用厘米、克、秒（cm,g,s ）制单位，求：（1）各波的频率，波长、波速；（2）节点的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？[解答]（1）两波可表示为：1 6.0cos 2()0.5200t x y π=-，2 6.0cos 2()0.5200t xy π=+，可知它们的周期都为：T = 0.5(s)，频率为：v = 1/T = 2(Hz)；波长为：λ = 200(cm)；波速为：u = λ/T = 400(cm·s -1)．（2）位相差Δφ = πx /50，当Δφ = (2k + 1)π时，可得节点的位置x = 50(2k + 1)(cm)，(k = 0，1，2，…)．（3）当Δφ = 2k π时，可得波腹的位置x = 100k (cm)，(k = 0，1，2，…)．。
光学第五章习题解答
或
( A1 )2 0.0933
A2
5.8 平面偏振光垂直于射到一块光轴平行于表面 的方解石晶片上，光的振动面和晶片的主截面成300。 （a）试问透射出来的两束平面偏振光的相对强度为 多少；（b）用钠光时，如要产生900的位相差，晶 片的厚度应为多少？（ 5890A ）
kz
x
sint
kz
y
当 A A A时，有
1
2
E
E左
E右
2 A cost
kz
x
此即为线偏振光。
5.15 设一方解石晶片沿平行于光轴切出，其 厚度为0.0343mm，放在两个正交的尼科耳棱镜间。 平行光束经过第一尼科耳棱镜后，垂直地射到波片 上，对于钠光（589.3nm）而言，晶体的折射率为 n0 1.658, ne 1.486 。问通过第二个尼科耳棱镜后 光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼科耳 棱镜的主截面是互相平行的，结果又如何？
A' s1
0.5
0.5A0.5故：I r
A0 ' s1
0.5I i
A' 0.5 s1
0.56A.25故 ：Ir 6
0
I
i
I
r
5.6 如图所示，一块折射率n=1.50的平面玻璃浸 在n =1.33水中，已知一束光入射到水面上时反射光 是完全偏振光，若要使玻璃表面的反射光也是完全 偏振光，则玻璃表面与水平面的夹角θ 应是多大?
无吸收，试问N3和N1主截面的夹角为何值时，通过系 统的光强最大？设入射光强为I0，求此时所能通过 的最大光强。
第五章晶格振动习题和答案
第五章 晶格振动习题和答案1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？[解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。
在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。
每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。
原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。
2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？[解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。
3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为11)(/-=T k B e n ωω因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-Tk B eω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。
4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？[解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-HB T k eω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。
5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？[解答] 温度很高时，T k eB Tk B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为ωωω Tk e n B T k B ≈-=11)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。
大学物理第五章机械振动习题解答和分析
5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2100.2-⨯=，周期s T 0.1=，初相.4/3πϕ=试写出它的振动位移、速度和加速度方程。
分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。
解：振动方程为：]2cos[]cos[ϕπϕω+=+=t TA t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4x t SI ππ=+ 振子的速度和加速度分别是：3/0.04sin[2]()4v dx dt t SI πππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4a d x dt t SI πππ==-+5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度.分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。
解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππϕω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1/210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ϕπ=（2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ϕππππ=+=+ 由cos x A ϕ=，sin A νωϕ=-，22cos a A x ωϕω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。
解：（1）跟据x m ma f 2ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =（2）由x m f 2ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =5-4为了测得一物体的质量m ，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν；而当将另一已知质量为'm 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为Hz 0.22=ν.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.分析 根据简谐振动频率公式比较即可。
大学物理学振动与波动习题答案
大学物理学（上）第四，第五章习题答案第4章振动P174．4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x= 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ = ±π/3．物体的速度为v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωA sinφ，由于v > 0，所以sinφ < 0，因此φ = -π/3．简谐振动的表达式为x = 0.12cos(πt –π/3)．（2）当t = T/4时物体的位置为x = 0.12cos(π/2–π/3)= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．速度为v = -πA sin(π/2–π/3)= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．加速度为a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x= -0.06m 时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5，因此πt1 - π/3 = ±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0，可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2，可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．所需要的时间为Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x= -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．[注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），初位相的取值由速度决定．由于v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sinφ，当v > 0时，sinφ < 0，因此φ = -arccos(x0/A)；当v < 0时，sinφ > 0，因此φ = arccos(x0/A)．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ = π．4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x = A cosΦ，其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．由于x a = A，所以cosΦa = 1，因此Φa = 0．由于x b = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此Φb = ±π/3；由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb = π/3．由于x c = 0，所以cosΦc = 0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．同理可得其他两点位相为Φd = 2π/3，Φe = π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为t a = T/6．到达b点的时刻为t b = 2t a = T/3．到达c点的时刻为t c = t a + T/4 = 5T/12．到达d点的时刻为t d = t c + T/12 = T/2．到达e点的时刻为t e = t a + T/2 = 2T/3．（2）设振动表达式为x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A/2时，所以cosφ = 0.5，因此φ =±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ = -π/3，因此振动表达式为cos(2)3tx ATπ=π-．另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于x f = 0，根据运动方程，可得cos(2)03tTππ-=所以232ftTπππ-=±．图6.2显然f 点的速度大于零，所以取负值，解得t f = -T /12．从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为t a = T /4 + t f = T /6，其位相为203a a t T Φπ=π-=．由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m ·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k= 8×103N ·m -1，木块的质量为 4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅； （2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即mv = (m + M )v 0．解得子弹射入后的速度为v 0 = mv/(m + M ) = 2(m ·s -1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得(m + M ) v 02/2 = kA 2/2，所以振幅为A v =×10-2(m)． （2）振动的圆频率为ω=·s -1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为x = A cos(ωt + φ)．当t = 0时，x = 0，可得φ = ±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)． 4．4 如图所示，在倔强系数为k 的弹簧下，挂一质量为M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为v =物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为0m v v m M ==+这也是它们振动的初速度． 设振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中圆频率为ω=物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则x 1 = Mg/k ．物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则x 2 = (M + m )g/k ．取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ． 因此振幅为A ==图4.3图4.4= 初位相为00arctanv x ϕω-==4．5重量为P 的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k 1k 2/(k 1 + k 2)，因此固有频率为2πων===．（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为2πων===4．6 一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为 I c = mR 2． 根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为I = I c + mR 2 = 2mR 2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为M = -mgR sin θ，方向与角度θ增加的方向相反．根据转动定理得I β = M ，即 22d sin 0d I mgR tθθ+=，由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程22d 0d mgRt Iθθ+=． 摆动的圆频率为ω=周期为2πT ω=22==方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为E p = mg (R - R cos θ)， 绕O 点的转动动能为212k E I =ω， 总机械能为21(cos )2E I mg R R =+-ωθ． 环在转动时机械能守恒，即E 为常量，将上式对时间求导，利用ω = d θ/d t ，β = d ω/d t ，得0 = I ωβ + mgR (sin θ) ω，由于ω ≠ 0，当θ很小有sin θ≈θ，可得振动的微分方程22d 0d mgRt Iθθ+=， 从而可求角频率和周期．[注意]角速度和圆频率使用同一字母ω，不要将两者混淆．(b)图4.54.7 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。
大学物理基础教程答案第05章习题分析与解答
5-1 若理想气体的体积为V ,压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻尔兹曼常数，R 为摩尔气体常数，则该理想气体的分子数为（ ）。
（A ）PV m （B ）PV kT （C ）PV RT （D ） PVmT解：由N p nkT kT V ==得，pVN kT=,故选B 5-2 两个体积相同的容器，分别储有氢气和氧气（视为刚性气体），以1E 和2E 分别表示氢气和氧气的内能，若它们的压强相同，则（ ）。
（A ）12E E = （B ）12E E > （C ）12E E < （D ） 无法确定 解：pV RT ν=，式中ν为摩尔数，由于两种气体的压强和体积相同，则T ν相同。
又刚性双原子气体的内能52RT ν,所以氢气和氧气的内能相等，故选A 5-3 两瓶不同种类的气体，分子平均平动动能相同，但气体分子数密度不同，则下列说法正确的是（ ）。
（A ）温度和压强都相同 （B ）温度相同，压强不同 （C ）温度和压强都不同（D ）温度相同，内能也一定相等解：所有气体分子的平均平动动能均为32kT ，平均平动动能相同则温度相同，又由p nkT =可知，温度相同，分子数密度不同，则压强不同，故选B5-4 两个容器中分别装有氦气和水蒸气，它们的温度相同，则下列各量中相同的量是（ ）。
（A ）分子平均动能 （B ）分子平均速率 （C ）分子平均平动动能 （D ）最概然速率解：分子的平均速率和最概然速率均与温度的平方根成正比，与气体摩尔质量的平方根成反比，两种气体温度相同，摩尔质量不同的气体，所以B 和D 不正确。
分子的平均动能2i kT ε=,两种气体温度相同，自由度不同，平均动能则不同，故A 也不正确。
而所有分子的平均平动动能均为k 32kT ε=,只要温度相同，平均平动动能就相同，如选C 5-5 理想气体的压强公式 ，从气体动理论的观点看，气体对器壁所作用的压强是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。
(完整版)大学物理学(课后答案)第5-6章
第5章 机械振动一、选择题5-1 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A-，且向x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为[ ]分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox 轴正向，同时矢端在x 轴投影点的位移为2A-,满足题意,因而选(D)。
5-2 作简谐振动的物体，振幅为A ，由平衡位置向x 轴正方向运动，则物体由平衡位置运动到32Ax =处时，所需的最短时间为周期的几分之几[ ] (A) 1 /2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/12分析与解 设1t 时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动，2t 时刻物体第一次运动到32A x =处，可通过旋转矢量图，如图5-2所示，并根据公式2t T ϕπ∆∆=得31226t T T T ϕπππ∆∆===，,因而选(C)。
5-3 两个同周期简谐振动曲线如图5-3(a)所示，1x 的相位比2x 的相位[ ] O O OO A Axxx(A) (B)(D)(C)A /2-A /2 A /2 -A /2A Aωωωωx习题5-1图习题5-2图(A) 落后2π (B) 超前2π(C) 落后π (D) 超前π分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（b ），正确答案为（B ）。
5-4 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为[ ](A) 2E (B) 4E (C) E (D) 16E 分析与解 因为简谐振动的总能量2p k 12E E E kA =+=，因而当振幅增加为原来的2倍时，能量变为原来的4倍，因而答案选(B)。
5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后，振幅仍为A ，则这两个简谐振动的相位差为[ ](A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 180分析与解 答案（C ）。
由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120时,合成后的简谐运动的振幅仍为A 。
大学物理学课后答案)第5-6章
少时，动能、势能各占总能量的一半？
分析
简谐振动的总能量
E＝
1 2
m
2
A2＝
1 2
kA2
，其中
E
p
1 2
kx2
，
Ek
1 mv2 ， 2
即可求出动能与势能的大小。
解 当物块位移大小为振幅的一半时，简谐振动的总能量 E＝1 m2 A2＝1 kA2
2
2
其中势能 Ep
1 kx2 2
1 2
k
A 2 2
E 4
x 6.0102 cos(10t )(m) 2
(a)
(b)
习题 5-13 图
5-14 有一条简谐振动曲线如图 5-14（a）所示，求：（1）该简谐振动的角频 率 ω，初相位0 ；（2）该简谐振动的运动方程，振动速度和振动加速度的表达 式。
x/cm 2 O
2
4
t/s
（a）
（b）
题 5-14 图
角频率 。将结果代入可得T 2 2 2 2 m 。 k m 2 m
5-7 一物体作简谐振动，其运动方程为 x 0.04cos(5t ) m 。（1）此简
32 谐振动的周期T ________；（2）当 t 0.6 s 时，物体的速度 v ________。
分 析 与 解 将 x 0.04cos(5 t ) 与 x Acos(t ) 比 较 后 可 得 角 频 率 32
分析与解 答案（C）。由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120 时,合 成后的简谐运动的振幅仍为 A。
二、填空题
5-6 一质量为 m 的质点在力 F 2x 作用下沿 x 轴运动，其运动的周期为 ________。
分析与解 由已知条件 F 2x ，可得 k 2 ,又可以根据公式 k 求出 m
大学物理第5章习题解答
第五章 机械振动5-1一远洋货轮，质量为t M 4102⨯=，浮在水面对其水平截面积为23102m S ⨯=。
设在水面附近货轮的截面积与货轮高度无关，试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动，并求其自由振动的周期。
解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题所示）设货轮静止不动时，货轮上的A 点恰在水面上，则浮力为S ρga .这时 ga s Mg ρ= 往下沉一点时，合力 )(y a g s Mg F +-=ρ gy s ρ-=. 又 22d d t yMMa F == 故0d d 22=+gy s t y M ρ022=+y M gs dt dy ρ 故作简谐振动 M gs ρω=2)(35.68.910102101022223334s g s M T =⨯⨯⨯⨯⨯===πρπωπ5-2 重物A 的质量M=1kg ，放在倾角030=θ的光滑斜面上，并用绳跨过定滑轮与劲度系数149-⋅=m N k 的轻弹簧连接，如习题5-2图所示，将物体由弹簧未形变的位置静止释放，并开始计时，试求:（1）不计滑轮质量，物体A 的运动方程;（2）滑轮为质量M ，半轻r 的均质圆盘，物体A 的运动方程。
解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时：)(1.0sin 0m kmg l ==θ(1) 习题5-1图(1) A 物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T =kx列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式220d d )(sin sin txm x l k mg T mg =+-=-θθ将（1）式代入上式，整理后得0d d 22=+x mkt x 故物体A 的运动是简谐振动，且)rad/s (7==mkω 由初始条件,000⎩⎨⎧=-=v l x 求得,1.00⎩⎨⎧===πϕml A 故物体A 的运动方程为x =(7t+π)m(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T 1、T 2,则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为:221d d sin txm T mg =-θ (2)对滑轮列出转动方程为：22221d d 2121t x Mr r a Mr J r T r T =⎪⎭⎫ ⎝⎛==-β (3)式中,T 2=k (l 0+x ) （4）由式（3）、(4)知2201d d 21)(t xM x l k T ++=代入(2)式知22021)(sin dtxd m M x l k mg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-θ又由（1）式知0sin kl mg =θ故0d d )21(22=++kx txm M即0)2(d d 22=++x m M ktx 习题5-2图m M k +=22ω可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：rad/s)(7.52=+=m M k ω由于初始条件：0,000=-=v l x可知，A 、ϕ不变，故物体A 的运动方程为:m t x )7.5cos(1.0π+=由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示，试根据图得出该质点的振动表达式。
大学物理学教程第二(马文蔚)练习册答案5第五章 机械振动
v m1 m2 k
m1v (m1 m2 )v0
x0 0
2 0
5-15
k 40( s 1 ) m1 m2
2
m1 v0 v 1(m / s) m1 m2
A
x/m
11
v0 A x 2.5 102 (m)
3
5-9 有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体的时，其 伸长量为9.8cm，若使物体上下振动，且规定向下为正 第 方。（1）当t=0时物体在平衡位置上方8cm处，由静止 五 开始向下运动，求运动方程；（2）当t=0时物体在平 章 衡位置并以0.6m/s的速度向上运动，求运动方程。
习 解:(2) 题 分 析
t 0时，x0 0, v0 0.6m/s
2 2 0
v0 A x 0.06 m
振动方程为：
5-9
x
2
x 0.06cos 10t m 2
4
第 五 章 习 题 分 析
5-10 某振动质点的 x t 曲线如图所示，试求： （1）运动方程；（2）点 P 对应的相位；（3）到达 x/m 点 P 相位所需的时间。 解：（1）A 0.10m 0.10 P 3 0.05 4.0 秒后质点运动到平衡位置 t/s 0 4.0 5 5 1 s
（2）x 0.10 cos(20 t
T
5-5
4 2 x 7.07 10 m dx v 2 sin(20 t )( SI ) dt 4 v 4.44m / s dv 2 2 a 279 m / s a 40 cos(20 t )( SI ) dt 4
第六版大学物理学习题答案
第六版大学物理学习题答案第六版大学物理学习题答案大学物理作为一门重要的基础学科，对于理工科学生来说至关重要。
而在学习过程中，练习题是巩固知识、提高理解和应用能力的重要途径。
然而，由于各版本教材的不同，很多学生在解答练习题时会遇到困难。
为了帮助大家更好地学习物理，本文将分享第六版大学物理学习题的一些答案和解析，希望能对大家有所帮助。
1. 第一章：运动的描写题目：一个物体做匀速直线运动，已知它在t=2s时的位移为10m，在t=5s时的位移为30m，求它的速度。
答案：根据匀速直线运动的定义，速度等于位移与时间的比值。
所以，速度v= (30m - 10m) / (5s - 2s) = 20m/s。
2. 第二章：力的概念题目：一个质量为2kg的物体，受到一个恒力F=10N的作用，求它在5s内的加速度。
答案：根据牛顿第二定律F = ma，可得加速度a = F/m = 10N / 2kg = 5m/s²。
3. 第三章：牛顿定律和动量题目：一个质量为0.1kg的物体，受到一个恒力F=5N的作用，求它在10s内的速度变化。
答案：根据牛顿第二定律F = ma，可得加速度a = F/m = 5N / 0.1kg = 50m/s²。
速度的变化Δv = at = 50m/s² * 10s = 500m/s。
4. 第四章：功和能量题目：一个质量为0.5kg的物体从高度为10m的位置自由下落，求它落地时的动能。
答案：根据势能转化为动能的公式E = mgh，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为高度。
所以，动能E = 0.5kg * 9.8m/s² * 10m = 49J。
5. 第五章：振动和波动题目：一个质量为0.2kg的弹簧振子，振动周期为2s，求它的弹性势能。
答案：根据弹簧振子的势能公式E = (1/2)kx²，其中k为弹簧劲度系数，x为振子的位移。
振动周期T与弹簧劲度系数k的关系为T = 2π√(m/k)，其中m为振子的质量。
5.4波动习题
)
x 反射波波动方程为 y反 ( x , t ) A cos2p (vt ) p u
驻波方程为
x 1 y y入 y反 2 A cos2p p cos(2pvt ) 2
x p y A cos[2π( t ) ] 解：简谐波波动方程为 u 2 dy x p v 0.2p sin [ π( t ) ] 2 dt u 2 x 0.2p cos[2π( t )] u 100 v p 0.2p cos[2π( t )] 0.2p cos(2pt p ) 200
(C)
(C )波长为2p C
解：
y A cos(Bt Cx ) 2p T B x y A cos ( t ) u
2p T B
2p B Tu B C C
u 2p
C
B u C
2、图为沿x轴负方向传播的平面简谐波在t = 0时刻的波 形．若波的表达式以余弦函数表示，则O点处质点振动的 初相为 （B） y
y v A 2p sin( πt 2px / ) 2 t
所以
3 2 v1 sin ( p 2 p ) 1 1 v2 sin ( p p ) 2 2
7、一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位 移处回到平衡位置的过程中 （C） (A) 它的势能转换成动能． (B) 它的动能转换成势能．
第五章 单元检测题---选择题
1、机械波的表达式为y = 0.03cos6p(t + 0.01x ) (SI) ，则
(A) 其振幅为3 m．
大学物理课后习题答案第五章
第五章 机械波5．1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt – 0.6x ) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向；（2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示． [解答]（1）与标准波动方程比较得：2π/λ = 0.6， 因此波长为：λ = 10.47(m)；圆频率为：ω = 10π，频率为：v =ω/2π = 5(Hz)；波速为：u = λ/T = λv = 52.36(m·s -1)．且传播方向为x 轴正方向．（2）当x = 0时波动方程就成为该处质点的振动方程： y = 5×10-2sin10πt = 5×10-2cos(10πt – π/2)， 振动曲线如图．5．2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s -1沿x 轴正向传播，已知波线上A 点（x A = 0.05m ）的振动方程为(m)．试求：（1）简谐波的波动方程；（2）x = -0.05m 处质点P 处的振动方程．[解答]（1）简谐波的波动方程为：； 即 = 0.03cos[4π(t – 5x ) + π/2]． （2）在x = -0.05m 处质点P 点的振动方程为：y = 0.03cos[4πt + π + π/2] = 0.03cos(4πt -π/2)．5．3 已知平面波波源的振动表达式为(m)．求距波源5m 处质点的振动方程和该质点与波源的位相差．设波速为2m·s -1．[解答]振动方程为： ， 位相差为 Δφ = 5π/4(rad)．5．4 有一沿x 轴正向传播的平面波，其波速为u = 1m·s -1，波长λ = 0.04m ，振幅A = 0.03m ．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求：（1）此平面波的波动方程；（2）与波源相距x = 0.01m 处质点的振动方程，该点初相是多少？ [解答]（1）设原点的振动方程为：y 0 = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.03m ．由于u = λ/T ，所以质点振动的周期为：T = λ/u = 0.04(s)，圆频率为：ω = 2π/T = 50π． 当t = 0时，y 0 = 0，因此cos φ = 0；由于质点速度小于零，所以φ = π/2． 原点的振动方程为：y 0 = 0.03cos(50πt + π/2)， 平面波的波动方程为：= 0.03cos[50π(t – x ) + π/2)．（2）与波源相距x = 0.01m 处质点的振动方程为：y = 0.03cos50πt ． 该点初相φ = 0．5．5 一列简谐波沿x 轴正向传播，在t 1 = 0s ，t 2 = 0.25s 时刻的波形如图所示．试求：2cos()xy A t πωλ=-0.03cos(4)2A y t ππ=-cos[()]Ax x y A t uωϕ-=-+0.050.03cos[4()]0.22x y t ππ-=--20 6.010sin 2y t π-=⨯26.010sin()2xy t u π-=⨯-50.06sin()24t ππ=-0.03cos[50()]2x y t u ππ=-+（1）P 点的振动表达式； （2）波动方程；（3）画出O 点的振动曲线．[解答]（1）设P 点的振动方程为 y P = A cos(ωt + φ)， 其中A = 0.2m ．在Δt = 0.25s 内，波向右传播了Δx = 0.45/3 = 0.15(m)，所以波速为u = Δx/Δt = 0.6(m·s -1)．波长为：λ = 4Δx = 0.6(m)， 周期为：T = λ/u = 1(s)， 圆频率为：ω = 2π/T = 2π．当t = 0时，y P = 0，因此cos φ = 0；由于波沿x 轴正向传播，所以P 点在此时向上运动，速度大于零，所以φ = -π/2．P 点的振动表达式为：y P = 0.2cos(2πt - π/2)． （2）P 点的位置是x P = 0.3m ，所以波动方程为． （3）在x = 0处的振动方程为y 0 = 0.2cos(2πt + π/2)，曲线如图所示．5．6 如图所示为一列沿x 负向传播的平面谐波在t = T /4时的波形图，振幅A 、波长λ以及周期T 均已知．（1）写出该波的波动方程；（2）画出x = λ/2处质点的振动曲线；（3）图中波线上a 和b 两点的位相差φa – φb 为多少？ [解答]（1）设此波的波动方程为： ，当t = T /4时的波形方程为：． 在x = 0处y = 0，因此得sin φ = 0，解得φ = 0或π．而在x = λ/2处y = -A ，所以φ = 0． 因此波动方程为：． （2）在x = λ/2处质点的振动方程为：， 曲线如图所示．（3）x a = λ/4处的质点的振动方程为； x b = λ处的质点的振动方程为．波线上a 和b 两点的位相差0.2cos[2()]2P x x y t u ππ-=--100.2cos(2)32t x πππ=-+cos[2()]t xy A T πϕλ=++cos(2)2xy A ππϕλ=++sin(2)xA πϕλ=-+cos 2()t x y A T πλ=+cos(2)cos 2t t y A A T Tπππ=+=-cos(2)2a t y A T ππ=+cos(22)b ty A Tππ=+图5.5φa – φb = -3π/2．5．7 已知波的波动方程为y = A cosπ(4t – 2x )（SI ）．（1）写出t = 4.2s 时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出t = 4.2s 时的波形曲线．[解答]波的波动方程可化为：y = A cos2π(2t – x )，与标准方程比较，可知：周期为T = 0.5s ，波长λ = 1m ．波速为u = λ/T = 2m·s -1． （1）当t = 4.2s 时的波形方程为y = A cos(2πx – 16.8π)= A cos(2πx – 0.8π)． 令y = A ，则cos(2πx – 0.8π) = 1，因此 2πx – 0.8π = 2k π，(k = 0, ±1, ±2,…)， 各波峰的位置为x = k + 0.4，(k = 0, ±1, ±2,…)．当k = 0时的波峰离原点最近，最近为：x = 0.4(m)．通过原点时经过的时间为：Δt = Δx/u = (0 – x )/u = -0.2(s)， 即：该波峰0.2s 之前通过了原点．（2）t = 0时刻的波形曲线如实线所示．经过t = 4s 时，也就是经过8个周期，波形曲线是重合的；再经Δt = 0.2s ，波形向右移动Δx = u Δt = 0.4m ，因此t = 4.2s 时的波形曲线如虚线所示．[注意]各波峰的位置也可以由cos(2πx – 16.8π) = 1解得，结果为x = k + 8.4，(k = 0, ±1, ±2,…)，取同一整数k 值，波峰的位置不同．当k = -8时的波峰离原点最近，最近为x = 0.4m ．5．8 一简谐波沿x 轴正向传播，波长λ = 4m ，周期T = 4s ，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示． （1）写出时x = 0处质点的振动方程；（2）写出波的表达式；（3）画出t = 1s 时刻的波形曲线．[解答]波速为u = λ/T = 1(m·s -1)．（1）设x = 0处的质点的振动方程为y = A cos(ωt + φ)， 其中A = 1m ，ω = 2π/T = π/2．当t = 0时，y = 0.5，因此cos φ = 0.5，φ = ±π/3．在0时刻的曲线上作一切线，可知该时刻的速度小于零，因此φ = π/3．振动方程为：y = cos(πt /2 + π/3)．（2）波的表达式为：．（3）t = 1s 时刻的波形方程为，波形曲线如图所示．5．9 在波的传播路程上有A 和B 两点，都做简谐振动，B 点的位相比A 点落后π/6，cos[2()]t x y A T πϕλ=-+cos[2()]t xy A T πϕλ=-+cos[()]23t x ππ=-+5cos()26y x ππ=-图5.8已知A 和B 之间的距离为2.0cm ，振动周期为2.0s ．求波速u 和波长λ．[解答] 设波动方程为：， 那么A 和B 两点的振动方程分别为：，．两点之间的位相差为：，由于x B – x A = 0.02m ，所以波长为：λ = 0.24(m)．波速为：u = λ/T = 0.12(m·s -1)．5．10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s -1沿x 轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A 的振动方程为y = 3cos4πt ．（1）如以A 点为坐标原点，写出波动方程；（2）如以距A 点5m 处的B 点为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上B ，C ，D 点的振动方程． [解答]（1）以A 点为坐标原点，波动方程为 ．（2）以B 点为坐标原点，波动方程为． （3）以A 点为坐标原点，则x B = -5m 、x C = -13m 、x D = 9m ，各点的振动方程为， ，．[注意]以B 点为坐标原点，求出各点坐标，也能求出各点的振动方程．5．11 一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s -1，振幅A = 1.0×10-4m ，频率ν= 103Hz ．若该媒质的密度为800kg·m -3，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m 2的总能量． [解答]（1）质点的圆频率为：ω = 2πv = 6.283×103(rad·s -1)， 波的平均能量密度为：= 158(J·m -3)， 平均能流密度为：= 1.58×105(W·m -2)．（2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m 2的总能量为：E = ItS = 3.79×103(J)．5．12 一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s -1，频率为500Hz ．到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度ρ = 1.29kg·m -3．[解答]质点的圆频率为：ω = 2πv = 3.142×103(rad·s -1)，cos[2()]t xy A T πϕλ=-+cos[2()]A A xt y A T πϕλ=-+cos[2()]B B xt y A T πϕλ=-+2(2)6B A x x πππλλ---=-3cos 4()3cos(4)5x x y t t u πππ=+=+3cos 4()Ax x y t u π-=+3cos(4)5x t πππ=+-3cos 4()3cos(4)BB x y t t u πππ=+=-33cos 4()3cos(4)5C C x y t t u πππ=+=-93cos 4()3cos(4)5D D x y t t u πππ=+=+2212w A ρω=I wu =图5.10声波的平均能量密度为：= 6.37×10-6(J·m -3)， 平均能流密度为：= 2.16×10-3(W·m -2)， 标准声强为：I 0 = 1×10-12(W·m -2)， 此声强的分贝数为：= 93.4(dB)．5．13 设空气中声速为330m·s -1．一列火车以30m·s -1的速度行驶，机车上汽笛的频率为600Hz ．一静止的观察者在机车的正前方和机车驶过其身后所听到的频率分别是多少？如果观察者以速度10m·s -1与这列火车相向运动，在上述两个位置，他听到的声音频率分别是多少？[解答]取声速的方向为正，多谱勒频率公式可统一表示为， 其中v S 表示声源的频率，u 表示声速，u B 表示观察者的速度，u S 表示声源的速度，v B 表示观察者接收的频率．（1）当观察者静止时，u B = 0，火车驶来时其速度方向与声速方向相同，u S = 30m·s -1，观察者听到的频率为= 660(Hz)． 火车驶去时其速度方向与声速方向相反，u S = -30m·s -1，观察者听到的频率为= 550(Hz)． （2）当观察者与火车靠近时，观察者的速度方向与声速相反，u B = -10m·s -1；火车速度方向与声速方向相同，u S = 30m·s -1，观察者听到的频率为= 680(Hz)． 当观察者与火车远离时，观察者的速度方向与声速相同，u B = 10m·s -1；火车速度方向与声速方向相反，u S = -30m·s -1，观察者听到的频率为= 533(Hz)． [注意]这类题目涉及声速、声源的速度和观察者的速度，规定方向之后将公式统一起来，很容易判别速度方向，给计算带来了方便．5．14．一声源的频率为1080Hz ，相对地面以30m·s -1速率向右运动．在其右方有一反射面相对地面以65m·s -1的速率向左运动．设空气中声速为331m·s -1．求：（1）声源在空气中发出的声音的波长； （2）反射回的声音的频率和波长．[解答]（1）声音在声源垂直方向的波长为：λ0 = uT 0 = u /ν0 = 331/1080 = 0.306(m)； 在声源前方的波长为：λ1 = λ0 - u s T 0 = uT 0 - u s T 0 = (u - u s )/ν0 = (331-30)/1080 = 0.2787(m)； 在声源后方的波长为：λ2 = λ0 + u s T 0 = uT 0 + u s T 0 = (u + u s )/ν0= (331+30)/1080 = 0.3343(m)．（2）反射面接收到的频率为 = 1421(Hz)．将反射面作为波源，其频率为ν1，反射声音的频率为2212w A ρω=I wu =010lgIL I =BB S Su u u u νν-=-33060033030B S S u u u νν==--33060033030B S S u u u νν==-+3301060033030B B S S u u u u νν-+==--3301060033030B B S S u u u u νν--==-+1033165108033130B Su u u u νν++==⨯--= 1768(Hz)． 反射声音的波长为=0.1872(m)．或者 = 0.1872(m)． [注意]如果用下式计算波长=0.2330(m)， 结果就是错误的．当反射面不动时，作为波源发出的波长为u /ν1 = 0.2330m ，而不是入射的波长λ1．5.15 S 1与S 2为两相干波源，相距1/4个波长，S 1比S 2的位相超前π/2．问S 1、S 2连线上在S 1外侧各点的合成波的振幅如何？在S 2外侧各点的振幅如何？[解答]如图所示，设S 1在其左侧产生的波的波动方程为，那么S 2在S 1左侧产生的波的波动方程为，由于两波源在任意点x 产生振动反相，所以合振幅为零．S 1在S 2右侧产生的波的波动方程为，那么S 2在其右侧产生的波的波动方程为，由于两波源在任意点x 产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍．5.16 两相干波源S 1与S 2相距5m ，其振幅相等，频率都是质中的传播速度为400m·s -1，试以S 1S 2连线为坐标轴x ，以S 1S 2连线中点为原点，求S 1S 2间因干涉而静止的各点的坐标．[解答]如图所示，设S 1在其右侧产生的波的波动方程为 ，那么S 2在其左侧产生的波的波动方程为． 两个振动的相差为Δφ = πx + π，当Δφ = (2k + 1)π时，质点由于两波干涉而静止，静止点为x = 2k ， k 为整数，但必须使x 的值在-l /2到l /2之间，即-2.5到2.5之间．当k = -1、0和1时，可得静止点的坐标为：x = -2、0和2(m)．`11331142133165B u u u νν==⨯--`1111331651421BBu u u u λννν--=-==`1`13311768u λν==`111650.27871768Bu λλν=-=-1cos[2()]t xy A T πϕλ=++2/4cos[2()]2t x y A T λππϕλ-=++-cos[2()]t xA T πϕπλ=++-1cos[2()]t xy A T πϕλ=-+2/4cos[2()]2t x y A T λππϕλ-=-+-cos[2()]t xA T πϕλ=-+1/2cos[2()]x l y A t u πνϕ+=-+5cos(2)24A t x πππνϕ=-+-2/2cos[2()]x l y A t u πνϕπ-=+++cos(2)24A t x πππνϕ=++-S 1 S 2S 125.17 设入射波的表达式为，在x = 0处发生反射，反射点为一自由端，求：（1）反射波的表达式； （2）合成驻波的表达式．[解答]（1）由于反射点为自由端，所以没有半波损失，反射波的波动方程为．（2）合成波为y = y 1 + y 2，将三角函数展开得，这是驻波的方程．5.18 两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为：，，用厘米、克、秒（cm,g,s ）制单位，求：（1）各波的频率，波长、波速；（2）节点的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？[解答]（1）两波可表示为：，， 可知它们的周期都为：T = 0.5(s)，频率为：v = 1/T = 2(Hz)；波长为：λ = 200(cm)；波速为：u = λ/T = 400(cm·s -1)．（2）位相差Δφ = πx /50，当Δφ = (2k + 1)π时，可得节点的位置x = 50(2k + 1)(cm)，(k = 0，1，2，…)．（3）当Δφ = 2k π时，可得波腹的位置x = 100k (cm)，(k = 0，1，2，…)．1cos 2()t xy A T πλ=+2cos 2()t xy A T πλ=-222coscosy A x t Tππλ=1 6.0cos(0.028.0)2y x t π=-2 6.0cos(0.028.0)2y x t π=+1 6.0cos 2()0.5200t x y π=-2 6.0cos 2()0.5200t x y π=+。
第5章部分习题参考解答
μ 0ε 0
其实，观察题目给定的电场表达式，可知它表征一个沿 + x 方向传播的均匀平面 ω 109 波，其相速为 vp = = = 2 ×108 m/s k 5 1 1 1 1 1 而 vp = = = = × 3 × 108
με
μ 0ε r ε 0
εr
μ 0ε 0
εr
3 故 ε r = ( ) 2 = 2.25 2
G G 5.1 在自由空间中，已知电场 E ( z , t ) = ey 103 sin(ωt − β z ) V/m ，试求磁场强度 G H ( z, t ) 。 解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 G π G E ( z , t ) = ey 103 cos(ωt − β z − ) V/m 2 这是一个沿 + z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 −90D 。与之相伴的磁 场为 G 1 G G 1 G G π H ( z , t ) = ez × E ( z , t ) = ez × ey 103 cos(ωt − β z − ) η0 η0 2
无损耗媒质中的波阻抗为
9 4
G E E 50 η= G = m = = 500 Ω H H m 0.1
又由于
η=
故
μ r μ0 μr = η0 ε rε 0 εr
(2)
μr η 500 2 ) = ( )2 = ( ε r η0 377
联立式(1)和式(2)，得
μr = 1.99 ， ε r = 1.13 5.8 在自由空间中，一均匀平面波的相位常数为 β 0 = 0.524 rad/m ，当该波进入到 理想介质后，其相位常数变为 β = 1.81 rad/m 。设该理想介质的 μr = 1 ，试求该理
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第5章 振动和波动5-1 一个弹簧振子 m=：0.5kg , k=50N ；'m ，振幅 A = 0.04m ，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2) 振子对平衡位置的位移为 x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力; (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。
频率、周期和初相。
A=0.04(m) 二 0.7(rad/s) 二-0.3(rad)⑷10.11(Hz) T 8.98(s)2 n、5-3证明：如图所示的振动系统的振动频率为1 R +k 2式中k 1,k 2分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量V max 二 A =10 0.04 = 0.4(m/s) a max 二 2A =102 0.04 =4(m/s 2) ⑵设 x =Acos(，t ：；；■『)，贝Ud x vA sin(，t 「)dtd 2xa一 dt 2--2Acos(「t 亠 ^ ) - - 2x当 x=0.02m 时，COS (；：, t :忙)=1/ 2, sin( t 「)= _、一3/2，所以 v ==0.2、.3 ==0.346(m/s) 2a = -2(m/s )F 二 ma = -1(N)n(3)作旋转矢量图，可知：2x =0. 0 4 c o st(1 0)25-2弹簧振子的运动方程为 x =0.04cos(0.7t -0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、严...U ・」|1岛解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。
设物体处在平衡位置时，弹簧 1的伸长量为Xg ,弹簧2的伸长量为x 20，则应有_ k ] X ]0 ■木2乂20 = 0当物体运动到平衡位置的位移为 X 处时，弹簧1的伸长量就为x 10 X ，弹簧2的伸长量就为X 20 -X ，所以物体所受的合外力为F - -k i (X io X )k 2(X 20 -x)- -(匕 k 2)x2d x (k i k 2)dt 2 m上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为5-4如图所示，U 形管直径为d ,管内水银质量为 m ,密度为p 现使水银面作无阻尼 自由振动，求振动周期。
由牛顿第二定律得d 2xm —2 dt 2 二-(k i k 2)x 即有 =0习题5-4图解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为 x 轴正方向，建立坐标系。
右液面偏离原点为至x 时，振动系统所受回复力为：空 2x Tgx4 2振动角频率；叮R ,转动惯量为J ,轻弹簧劲度系数为 k ,物体质量为m ,现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手， 不计一切摩擦和空气阻力。
试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。
解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机 械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为 x 轴正方向，建立坐标系。
设平衡时弹簧伸1 2 1 v 2k (x %)存h对上式两边求导:v a k(x l 0)v Jmva -mgv = 0R R从上式消去V ,且将（1）式代入，得到k 2ax xJm R 2R 2k J mR 2振动周期T =2n2m n d 2rg5-5如图所示，定滑轮半径为长 l o ，有：mg 二 kl o(1)物体位于x 位置时 （以原点为重力势能零点）说明系统作简谐振动。
振动周期为:丁吞實25-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为k ,定滑轮的半径为 R 、转动惯量为J ,物体质量为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。
解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为 X ，速率为V ，则振动系统的总机械能式中C 为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t 求导得v a kxv Jmva = 0R Rk2a = - --- ----- x x+ m R 2R 2k J mR 25-7如图所示，质量为10g 的子弹，以％ =1000m ；s 速度射入木块并嵌在木块中，使弹 簧压缩从而作简谐运动， 若木块质量为4.99kg ，弹簧的劲度系数为8 103 N m ，求振动的振解：先讨论子弹与木块的碰撞过程， 在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒,C 2J R 2mV二恒量于是=2J mR 2 n R 2k幅。
（设子弹射入木块这一过程极短）习题5-6图mv o 二(m m)vmv ov =m m然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅 统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有1 .2 1 2 (m m )v kA 2 25-8如图所示，在一个倾角为 二的光滑斜面上，固定一个原长为I 。
、劲度系数为k 、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为 m 的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。
解: 设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为 x 0 ,则• a , mg sin 日 mg sin J - kx 0 x 0 二 k平衡位置距O1点为：|0 x 0 =l 0 mgSin " k以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为x处时，弹簧的伸长量就是x ° x ,所以物体所受的合外力为F 二 mg sin - k(x 0 x)即 F 二-kx物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为5-9两质点分别作简谐振动， 其频率、振幅均相等，振动方向平行。
在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。
求它们相差，并用旋转矢量图表示=2(m/s) A 可由初始时刻系0.01 4.99I 8 1032 = 0.05mT =2习题5-9图5-10 一简谐振动的振幅 A = 24 c m 、周期T = 3s ,以振子位移x = 12cm 、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到 最短时间。
2 n 2 nn解：依题意可得，•‘二〒=§,又由旋转矢量法可知‘飞 所以振动方程为： x = 0.24cos(— t )(m)33质点运动到x = -12c m 处最小相位变化为 n 3，所以需要最短时间为醴n 3t T3 = 0.5(s)2 n2 n5-11如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为 m = 1.0kg 的物体B 和C ,此时弹簧伸长2.0c m 并保持静止。
用剪刀断连接 B 和C 的细线，使C 自由下落，于是 B 就振动起来。
选B 开始运动时为计时起点，B 的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B 的振动方程(1) x 轴正向向上； (2) x 轴正向向下。
出来。
解：根据题意，两质点分别在A A和---处相向通过，由此可以画出相应的旋转矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为2 4n 或nx = -12c m 处所需的习题5-11图解：已知 m=1kg,l BC = 0.02m ,可得 k = 2mg/l BC = 1000（N/m ）k—10d0(rad/s) m当以B 的平衡位置为坐标原点，振动振幅为A=0.02-mgk =0.02-0.01 =0.01(m)由题意知，振动初速度 v 0 =0⑴x 轴正向向上时：x 0二-0.01(m)= ■■:⑵x 轴正向向下 时：X o =0.01(m) 即=0振动方程为 x =0.01cos(10、10t)(m)5-12劲度系数为k 的轻弹簧，上端与质量为m 的平板相联，下端与地面相联。
如图所 示，今有一质量也为 m 的物体由平板上方h 高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。
以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。
振动方程为x0.01cos （10.10t 二）（m ）习题5-12图解：物体下落与平板碰撞前速度：v = 2ghmv 二（m m ）v 0所以物体与平板碰撞后共同运动的速度:在x 处，物体和平板受力:F = 2mg _k （x= -kx见旋转矢量图，有:|xo |<P =兀 +arccos （』）=兀 +arccosAm 2g 2 mgkh5-13在一平板上放一重 9.8N 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期 T =0.50s ,振幅A =0.020m ，试求(1) 重物对平板的压力 F ；(2) 平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板 ？解：以平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，物体在 x 处时，习题5-13图以平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立坐标系。
依题意:则：T =222V oX 。
• 2om 2g 2 2gh/4 k 2 k/2m=丄 Jm 2g 2 +mgkh k mg Omg 一 N = ma - -m 2x2 2N 二 mg m ■ x = 9.8 16二 x2⑴重物对平板的压力 F -9.8 16二x(2)当N=0时重物将脱离平板，由N =9.8 - 16： "x ^a^O ，得X max = -0.062(m), A = x max| = 0.062(m)5-14 —木块在水平面上作简谐运动，振幅为 5.0c 频率为, 一块质量为 m 的较小 木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为 0.4m g ,求振动频率至少为多大时， 上面的木块将 相对于下面木滑动？解：以平衡位置为坐标原点，向右为 x 轴正方向，建立坐标系，小木块在 x 处：22 n F - -m • x2二'T在最大位移处，F 最大，F max =m 2x当F max ■ f s ,即m 「2A —\mg 时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：5-15 一台摆钟的等效摆长 L = 0.995m ，摆锤可上下移动以调节其周期。
该钟每天快1分27秒。
假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移 动多少距离，才能使钟走得准确？解：设原摆钟周期为 T ,钟走时准确时，其钟摆长为L ，周期为T ,则T _ 24 60 60 87 _ 86487 T 24 60 60 86400工L " 「2 『86487弓而 (一)2L0.995 = 0.997(m)L T 86400。
Fx。
1 匚Axx'习题5-14图振动频率至少应略大于8.85= 1.4(Hz)1.4Hz 时，上面小木块相对于下面木块滑动。
L -L =0.002(m) =2(mm) 应将摆锤下移2mm。
5-16 一弹簧振子，弹簧的劲度系数 k = 25N m ，当物体以初动能 0.2J 和初势能0.6J振动时，求(1) 振幅；(2) 位移是多大时，势能和动能相等 ？ (3) 位移是振幅的一半时，势能多大 ？解：(1)E =E k0E p 0 =0.2 0.6 = 0.8(J)x ，A=0.179(m)211 A 21121⑶当 x A 时，E p k( )kA E = 0.2( J) 2 p2 24 2 45-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为人=0.04cos(2t) (SI)x 2 =0.03cos(2t -巧(SI)6求合振动的振幅和初相。