第5章振动和波动习题解答

第5章 振动和波动

5-1 一个弹簧振子 m=：0.5kg , k=50N ；'m ，振幅 A = 0.04m ，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；

(2) 振子对平衡位置的位移为 x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力; (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。

频率、周期和初相。

A=0.04(m) 二 0.7(rad/s) 二-0.3(rad)

⑷

1

0.11(Hz) T 8.98(s)

2 n

、

5-3证明：如图所示的振动系统的振动频率为

1 R +k 2

式中k 1,k 2分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量

V max 二 A =10 0.04 = 0.4(m/s) a max 二 2A =102 0.04 =4(m/s 2) ⑵

设 x =Acos(，t ：；；■『)，贝U

d x v

A sin(，t 「)

dt

d 2

x

a

一 dt 2

--2

Acos(「t 亠 ^ ) - - 2x

当 x=0.02m 时，COS (；：, t :忙)=1/ 2, sin( t 「)= _、一3/2，所以 v ==0.2、.3 ==0.346(m/s) 2

a = -2(m/s )

F 二 ma = -1(N)

n

(3)作旋转矢量图，可知：

2

x =0. 0 4 c o st(1 0

)

2

5-2弹簧振子的运动方程为 x =0.04cos(0.7t -0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、

角频率、

严

...

U ・」|

1

岛

解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧 1的

伸长量为Xg ,弹簧2的伸长量为x 20，则应有

_ k ] X ]0 ■木2乂20 = 0

当物体运动到平衡位置的位移为 X 处时，弹簧1的伸长量就为x 10 X ，弹簧2的伸长量就

为X 20 -X ，所以物体所受的合外力为

F - -k i (X io X )

k 2(X 20 -x)- -(匕 k 2)x

2

d x (k i k 2)

dt 2 m

上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为

5-4如图所示，U 形管直径为d ,管内水银质量为 m ,密度为p 现使水银面作无阻尼 自由振动，求振动周期。

由牛顿第二定律得

d 2x

m —2 dt 2 二-(k i k 2)x 即有 =0

习题5-4图

解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为 x 轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为

至x 时，振动系统所受回复力为：

空 2x Tg

x

4 2

振动角频率；叮

R ,转动惯量为J ,轻弹簧劲度系数为 k ,物体质量为m ,

现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手， 不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简

谐振动，并求其作微小振动的周期。

解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机 械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为 x 轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸

1 2 1 v 2k (x %)存h

对上式两边求导:

v a k(x l 0)v J

mva -mgv = 0

R R

从上式消去V ,且将（1）式代入，得到

k 2

a

x x

J

m R 2

R 2

k J mR 2

振动周期T =2n

2m n d 2rg

5-5如图所示，定滑轮半径为

长 l o ，有：mg 二 kl o

(1)

物体位于x 位置时 （以原点为重力势能零点）

说明系统作简谐振动。振动周期为

:

丁吞實2

5-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为

k ,定滑轮的半径为 R 、转动惯量为J ,物体质量

为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。

解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为 X ，速率为V ，则振动系统的总机械能

式中C 为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t 求导得

v a kxv J

mva = 0

R R

k

2

a = - --- ----- x x

+ m R 2

R 2k J mR 2

5-7如图所示，质量为10g 的子弹，以％ =1000m ；s 速度射入木块并嵌在木块中，使弹 簧压缩从而作简谐运动， 若木块质量为4.99kg ，弹簧的劲度系数为8 103 N m ，求振动的振

解：先讨论子弹与木块的碰撞过程， 在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒,

C 2J R 2mV

二恒量

于是

=2

J mR 2 n R 2k

幅。（设子弹射入木块这一过程极短）

习题5-6图

mv o 二(m m)v

mv o

v =

m m

然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅 统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有

1 .

2 1 2 (m m )v kA 2 2

5-8如图所示，在一个倾角为 二的光滑斜面上，固定一个原长为

I 。、劲度系数为k 、质

量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为 m 的重物，求重物作简谐运动的平衡位

置和周期。

解: 设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为 x 0 ,则

• a , mg sin 日 mg sin J - kx 0 x 0 二 k

平衡位置距O1点为：|0 x 0 =l 0 mgSin " k

以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴

Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为

x

处时，弹簧的伸长量就是

x ° x ,所以物体所受的合外力为

F 二 mg sin - k(x 0 x)即 F 二-kx

物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为

5-9两质点分别作简谐振动， 其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，

它们在经过振幅的一半的地方时相遇，

而运动方向相反。 求它们相差，并用旋转矢量图表示

=2(m/s) A 可由初始时刻系

0.01 4.99

I 8 103

2 = 0.05m

T =2