基于MATLAB数值分析实验报告

基于MATLAB数值分析实验报告
班级：072115
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实验二：矩阵与向量运算
实验目的：在MATLAB里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵特征值运算，以及矩阵的LU分解。

设A是一个n×n方阵，X是一个n维向量，乘积Y=AX可以看作是n维空间变换。

如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X，满足：AX=λX （3.1）则可以认为线性变换T（X）=AX将X映射为λX，此时，称X 是对应于特征值λ的特征向量。

改写式（3.1）可以得到线性方程组的标准形式：（A-λI）X=0 （3.2）式（3.2）表示矩阵（A-λI）和非零向量X的乘积是零向量，式（3.2）有非零解的充分必要条件是矩阵（A-λI）是奇异的，即：det(A-λI)=0
该行列式可以表示为如下形式：
a11–λa12 (1)
a21 a22 –λ…a2n =0 (3.3)
…………
A n1 a n2 …a nn
将式（3.3）中的行列式展开后，可以得到一个n阶多项式，称为特征多项式：
f(λ)=det(A-λI)=(-1)n(λn+c1λn-1+c2λn-2+…+c n-1λ+c n) (3.4) n阶多项式一共有n个根（可以有重根），将每个根λ带入式（3.2），可以得到一个非零解向量。

习题：求下列矩阵的特征多项式的系数和特征值λj：
3 -1 0
A= -1 2 -1
0-1 3
解：在MATLAB中输入命令：
A=【3 -1 0；-1 2 -1；0 -1 3】；
c=poly(A)
roots(c)
得到：
实验四：Lagrange插值多项式
实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项式的公式源代码，并能根据所给条件求出Lagrange插值多项式，理解龙格现象。

%功能：对一组数据做Lagrange插值
%调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi)
%x,y：数组形式的数据表
%xi：待计算y值的横坐标数组
%yi：用Lagrange还擦之算出y值数组
function fi=Lagran_（x,f,xi）
fi=zeros(size(xi));
np1=length(f);
for i=1:np1
z=ones(size(xi));
for j=i:np1
if i~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));end
end
fi=fi+z*f(i);
end
return
习题：已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。

写出这四个数据点的Lagrange插值公式，并
计算出横坐标xi=【2.101，4.234】时对应的纵坐标。

解：4个数据点的Lagrange插值公式为：
L3(x)=3.3*(x-2.7)*(x-3.9)*(x-5.6)/(1.6-2.7)*(1.6-3.9)*(1.6-5.6) +4.22*(x-1.6)*(x-3.9)*(x-5.6)/(2.7-1.6)*(2.7-3.9)*(2.7-5.6) +3.9*(x-1.6)*(x-2.7)*(x-5.6)/(3.9-1.6)*(3.9-2.7)*(3.9-5.6) +2.94*(x-1.6)*(x-2.7)*(x-3.9)/(5.6-1.6)*(5.6-2.7)*(5.6-3.9) 清单：
Clear
x=[1.6,2.7,3.9,5.6];y=[3.3,1.22,5.61,2.94];
xi=[2.101,4.234];yi=Lagran_(x,y,xi);
xx=1.5:0.05:6.5;
yy=Lagran_(x,y,xx);
plot(xx,yy, x,y,’o’)
结果如下：
yi=1.0596 6.6457
实验六：牛顿插值多项式
实验目的：掌握牛顿插值多项式公式，会用牛顿插值多项式公式，明确牛顿插值多项式与拉格朗日插值公式的区别。

定理：已知n+1个节点x0,x1,…,x n,(a≤x0＜x1＜…＜x n≤b)及节点对应的函数值f(x0),f(x1),…,f(x n)。

则唯一存在一个n次多项式N n(x)，具有性质：
N n(x j)=f(x j)=y j j=0,1,2,…,n
该多项式形式为：
N n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,x n](x-x0)(x-x1)…(x-x n-1)
插值余项R(x)为：
R(x)=f(x)-N n(x)=f[x,x0,x1,x2,…,x n]w n+1(x)。

其中，f[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0),
f[x0,x1,x2]=(f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x1)…,
f[x0,x1,…,x n]=(f[x1,…,x n]-f[x0,x1,…,x n-1])/(x n-x n-1)。

牛顿插值多项式公式的优点是具有承袭性，当给出了n+1点坐标，求出N n(x)表达式后，再给出一个点坐标（x n+2,y n+2）, 则有插值公式：
N n+1(x)=N n(x)+f[x0,x1,…,x n,x n+1](x-x0)(x-x1)…(x-x n-1)(x-x n)。

牛顿插值源代码：
function [C,D]=newpoly(X,Y)
%输入：X为节点的向量；Y为节点对应的函数值向量
%输出：C是牛顿插值多项式系数向量；D是计算差商的矩阵N=length(X); %节点的个数
D=zeros(n,n) %n×n维零矩阵
D(:1)=Y’%D的第一行Y（节点都应的函数值向量）for j=2:n
for k=j:n
D(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));%计算商
end
end
C=D(n,n);
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)) %计算插值多项式的系数
m=length(C);
C=C(m)+D(k,k);
end
习题：将区间【-5，5】等分5份、10份，求函数y=1/(1+x2)的牛顿插值多项式，作出函数y=1/(1+x2)的原图像，观察龙格现象得出什么结果？
解：将区间【-5，5】等分成5份，用MATLAB计算。

输入
clear,clf,hold on
X=-5:2:5;
Y=1./(1+X.^2);
[C,D]=newpoly(X,Y)
x=-5,0.01,5;
y=polyval(C,x);
plot(x,y,X,Y,’.’)
grid on
xp=-5,:0,05:5;
z=1./(1+xp.^2);
plot(xp,z,’r’)
出现错误如下：
此实验无法完成。

实验八：最小二乘拟合曲线
实验目的：明确曲线拟合的含义，会求数据的曲线拟合。

在科学工程试验中，经常需要从试验数据中寻找拟合曲线。

曲线拟合是指函数g(x)拟合给定的节点（x i ,y j ）,i=1,2,…,n,通常所拟合的节点数n 必须大于未知数个数k 。

确定函数g(x)参数，使得拟合函数与节点的偏差最小，这种方法称为最小二乘法。

当n=k 时，由于拟合曲线通过所用节点，可使问题得到简化。

1． 数据的线性拟合
已知（x i ,y j ）,i=1,2,…,n,最小二乘法拟合曲线：y=Ax+B 的系数是下列线性方程的解，
(∑=n k k x 12)A+(∑=n k k x 1)B=∑=n
k k k y x 1
(∑=n k k x 1)A+nB=∑=n
k k y 1
习题：给定一组数据点（-1，10），（0，9），（1，7），（2，5），（3，4），（4，3），（5，0），（6，-1），求其最小二乘拟合曲
线。

解：（1）在MATLAB 中作散点图。

输入数据点并作图：
x=[-1 0 1 2 3 4 5 6]; y=[10 9 7 5 4 3 0 -1]; plot(x,y,’.’) 得到
由上述散点图可知x,y 近似成线性关系y=Ax+B ，这里的A 与B 是待定常数。

（2）求解方程组：
（∑=81
2k k
x ）A+（∑=81k k x ）B=∑=81k k k y x （∑=81k k x ）A+nB=∑=8
1k k y
（3）程序：
X=[-1 0 1 2 3 4 5 6];
Y=[10 9 7 5 4 3 0 -1];
Xmean=mean(X)
Ymean=mean(Y)
sumx2=(X-xmean)*(X-xmean)’; Sumxy=(Y-ymean)*(X-xmean)’; A=sumxy/sums2
B=ymean-A*xmean
x=-1:0.1:7;
y=A*x+B;
Plot(X,Y,’.’,x,y,’r’)
grid on
得最小二乘拟合曲线：
........忽略此处.......。