第十章-结构动力学(部分)

i i T
( ) () () ( [ M ]也是对称矩阵，同理，有 { A} [ M ]{ A} = { A} [ M ]{ A} ( i )T ( j) 2 2 (3)-(4) (3)-(4)，有 (ω i − ω j ) { A} [ M ]{ A} = 0 ( i )T ( j) 因为 ω i ≠ ω j ，所以 { A} [ M ]{ A} = 0 ( i ≠ j )
其中
(1)
{ y } = { y1 y y { ɺɺ} = { ɺɺ1
δ 11 δ [δ ] = ⋮21 δ n1 m1 [M ] =
y2 ɺɺ2 y
⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
ɺɺn } y
yn }
T
—— 位移向量 —— 加速度向量
T
δ 12 δ 22
⋮
δ 1n δ 2n
(1)柔度法： 柔度法： 柔度法 振动微分方程为 [δ ][M
{ ] 分别为体系的柔度矩阵和质量矩阵；∆ P } 是简谐荷载幅值引 T ＝ 起的静位移向量，{∆ P } {∆ 1 P ∆ 2 P ⋯ ∆ nP } 。
[ 其中，δ ]和 [M
]{ɺɺ}+ {y } = {∆ P }sin θ t y
(1)
( j)
振型对应的位移为
{dy }(
j)
ɺ = { y}
( j)
dt = ω j { A}
i
( j)
cos (ω j t + ϕ j ) dt
( j)
dt时间内， A} 振型的惯性力在{ A} {
(i )
振型的位移上做的功为
i
dW = {dy }
( j )T
{FI }( ) = ω i2ω j { A}( ) [ M ]{ A}( ) sin (ω i t + ϕ i ) cos (ω j t + ϕ j ) dt = 0
(i )
体系按某一振型振动时，该振型的能 体系按某一振型振动时，
i
y { FI }( ) = − [ M ]{ ɺɺ}( ) = ω i2 [ M ]{ A}( ) sin (ω i t + ϕ i )
i i
量不会转移到其它振型上， 量不会转移到其它振型上，故，各振 型可单独出现。 型可单独出现。
dt时间内{ A}
⋮ δ nn
—— 柔度矩阵
δ n2
m2
⋱
—— 质量矩阵 mn
结构力学
2011-4-26
y ]{ ɺɺ} (1) T 设{ y } = { A } sin ( ω t + ϕ ) ，其中 { A} = { A1 A2 ⋯ An } 是振幅向量。 2 y 则{ ɺɺ} = − ω { A } sin ( ω t + ϕ ) 单位矩阵 代入(1)，消除 sin (ω t + ϕ ) 后，有 1 即 [δ ][ M ] − 2 [ I ] { A } = {0 } (2) { A} − ω 2 [δ ][ M ]{ A} = {0}
j T i j T i
(3)(4)的左边是一标量，转置后不变。
{ A}
( j )T
[ k ]{ A}
(i )
=
({ A }
( j )T
[ k ] { A}
j T
(i )
)
T
= { A}
( i )T
T j [ k ] { A}( ) = { A}( ) [ k ]{ A}( i T
T
j)
[ k ] 是对称矩阵，[ k ] = [ k ]
2011-4-26
结构力学
振型正交的物理含义
设 { A}
i
(i )
、{ A}
i
( j)
是某多自由度体系的两个振型。则两振型的振动位移分别为
{ y }( ) = { A}( ) sin (ω i t + ϕ i ) j j { y }( ) = { A}( ) sin (ω j t + ϕ j )
t时刻 { A} 振型对应的惯性力为
(4)
两个自由度体系，稳态振动时的振幅方程（刚度法）为 − m1θ 2 A1 + k12 A2 = P1 k 21 A1 + k 22 − m 2θ 2 A2 = P2
11
(k
(
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结构力学
2.惯性力幅值计算 惯性力幅值计算
各质量的惯性力为 F Ii = − m i ɺɺi = m i Aiθ 2 sin θ t y 可见质量 m i 的惯性力幅值为 I i = m i Aiθ 2 ( i = 1, 2 , ⋯ n )
EI
q sin θ t
m2 = 2m
B
l 2
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EI
C
l 2
结构力学
解
本例静定结构，选择柔度法求解。
A
m1 = m
1
l 2
EI
q sin θ t
M 1图
C
B
m 2 = 2 m EI l 2 l 2
l/2
M P图
q
M 2图
1
l/4
δ 用图乘法求得， 11
ql2/8
l3 l3 l3 ql 4 5 ql 4 = ， 12 = δ 21 = δ ， 22 = δ ，∆ 1 P = ，∆ 2P = 。 8 EI 32 EI 48 EI 48 EI 384 EI
3.动内力幅值计算 动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知 θ ＝
3 EI 。 3 ml
A
l 2
m1 = m
j)
Байду номын сангаас
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。 振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
从而 ，{ A}
( i )T
[ k ]{ A}(
j)
=0
(i ≠ j )
振型第二正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于刚度矩阵正交。 振型第二正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于刚度矩阵正交。
§10-6 多自由度体系的自由振动
用柔度法可建立n个自由度体系的运动方程如下 y1 = − m1 ɺɺ1δ 11 − m 2 ɺɺ2δ 12 − ⋯ − m n ɺɺn δ 1 n y y y y 2 = − m1 ɺɺ1δ 21 − m 2 ɺɺ2δ 22 − ⋯ − m n ɺɺn δ 2 n y y y ⋮ y n = − m1 ɺɺ1δ n 1 − m 2 ɺɺ2δ n 2 − ⋯ − m n ɺɺn δ nn y y y 写成矩阵形式 y { y } = − [δ ][ M ]{ ɺɺ}
第10章 结构动力学 章
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
j T
振型第一正交性
体系按某一振型振动时，惯性力不会在其它振型的位移上做功。 体系按某一振型振动时，惯性力不会在其它振型的位移上做功。——第一正交性的物理含义 第一正交性的物理含义 t时刻 { A} 振型对应的弹性力为
(i )
{ Fs }( ) = [ k ]{ y }( ) = [ k ]{ A}( ) sin (ω i t + ϕ i ) i ( j) dt时间内， A} 振型的弹性力在{ A} 振型的位移上做的功为 { () ( j )T (i ) ( j )T (i ) dW = {dy } { Fs } = ω j { A} [ k ]{ A} sin (ω i t + ϕ i ) cos (ω j t + ϕ j ) dt
[ M ]{ A}(
2011-4-26
结构力学
{ A}( ) [ k ]{ A}( ) = ω i 2 { A}( ) [ M ]{ A}( ) ………..(3) i T j i T j { A}( ) [ k ]{ A}( ) = ω j 2 { A}( ) [ M ]{ A}( ) ………..(4)
2011-4-26 结构力学
两个自由度体系，稳态振动时的振幅方程（柔度法）为 ∆ 1 δ 11 m1 − 2 A1 + δ 12 m 2 A2 + 12P = 0 θ θ 1 ∆ 2P δ 21 m1 A1 + δ 22 m 2 − 2 A2 + 2 = 0 θ θ (2)刚度法： 刚度法： 刚度法
2
(
)
2011-4-26
结构力学
上述自振频率和振型的计算步骤和方法同样适用于刚度法。
动力平衡方程 [ M 振型方程 频率方程
y ]{ ɺɺ} + [ k ]{ y } = {0}
2
([ k ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[k ] − ω 2 [M ]
=0
2011-4-26
结构力学
§10-7 振型的正交性
ω 设一n个自由度体系，ω 1 、 2 是其两个自振频率，两频率对应的振型如下：
Akj
A2 j
第j振型
A1i
A2 i