高数第六章总习题答案教学提纲

复习题A

一 、判断正误: 1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，

k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．

2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则

k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．

3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．

二、选择题:

1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；

(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．

解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．

(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．

2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；

(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．

3 、在空间直角坐标系中，方程2

2

21y x z --=所表示的曲面是( B )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2

2

21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．

4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5

,

222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；

(A)72

2

=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0

7

22z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z

解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩

⎨⎧==+07

22z y x ．

5 、直线

1

1121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为

π4； (D) 夹角为π

4

-． 解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，

所以，s ⊥n ，直线与平面平行．

三、填空题:

1、若2=

b a ，π()2

=$a,

b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ；

解 =⨯b a b a sin()$a,b π2=2，=⋅b a b a cos()$a,b π2

=0．

2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{6

6

-±

； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0

n =411++=6，

所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{6

6

-±

．

3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；

解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)

和(3，0，5)代入方程，有{

20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,

5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩

得 05157=+--D Dz Dy ，

即 057=-+z y ．

4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为

z y

x -==2

0； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为

z y

x -==2

0 ．

5、曲线⎩

⎨⎧=+=1,

222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x

解: 投影柱面为 122

2

=+y x ，故 ⎩

⎨⎧==+0,

1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影

曲线方程．

四、解答题:

1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)

2

b a -；

解: (a) b a ⨯=2

11121

-k

j i

1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．

(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2

b a -10)19(2

=+=．

2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位