华中科技大学电力系统分析下册 P-66例题详细的题解过程

将负荷功率作为已知量，发电功率

节点功率=发电功率—负荷功率

一段翻译：为了进行系统性的分析，我们将负载认为是负的发电机更为合适，这样就能在节点上将发电功率和负载功率整合到一起。这样，在第i 个节点上，从网络中注入到节点的复功率就可以被表示为：

()()i i i Gi Di Gi Di S P jQ P P j Q Q =+=-+-

节点功率被解释为注入到节点的功率，是一个表示

点的影响如何。

在每个节点上可以设置一个等效电源，这些等效电源是接于一个共同的公共地上的。这个等效电源在节点上注入了一个电流。 shunt admittance ：并联导纳

节点1，节点2是PQ 节点—>未知量为1212,,,V V δδ，已知量110.300.18s s P jQ j +=--，

220.550.13s s P jQ j +=--。

（“s ”代表的是schedule ，即给定值）。

节点3是PV 节点—>未知量为33,Q δ，已知量30.5s P =，3 1.10V =。

节点4是slack node 平衡节点—>已知量4 1.050s V =∠

。

容许误差5

10ε-=。（在Matlab 中应翻译1.0e-5） 网络参数，导纳矩阵为根据给定的线路参数得到：

111112121313141421

212222232324243131

3232

3333343441414242

4343

4444G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB Y G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB G jB +

+++⎛⎫

⎪

++++ ⎪

= ⎪++++

⎪

+

+++⎝⎭

具体值见P62的矩阵。

Q 3在牛顿迭代法中暂不计入未知量，因为由Pii-52的（11-25）可知，知道了节点的电压、相角，就可以求得节点功率。

1 (1,2,,)n

ij i j i i j P jQ V Y V i n ∙

**

=+==∑

(0.1)

所以只要求得上式右边的电压值（V

），再根据网络参数（Y *

）就可以求得各个节点的功率。

根据已知量和未知量，可以构造出5个不平衡方程，分别是：

()()4

112312*********

,,,,cos sin 0s s j j j j j j P V V P P P V V G B δδδδδ=∆=-=-+=∑ (0.2)

()()4

2123122222

22221,,,,cos sin 0s s j j

j j j j P V V P P P V V G

B δδδδδ=∆=-=-+=∑ (0.3)

()()4

312312333333331

,,,,cos sin 0s s j j j j j j P V V P P P V V G B δδδδδ=∆=-=-+=∑ (0.4)

()()4

112312*********,,,,sin cos 0s s j j j j j j Q V V Q Q Q V V G B δδδδδ=∆=-=--=∑ (0.5)

()()4

2123122222

22221

,,,,sin cos 0s s j j

j j j j Q V V Q Q Q V V G

B δδδδδ=∆=-=--=∑ (0.6)

关于不平衡方程的偏导求解的问题：Pii-65的（11-60）Jacob 矩阵的求解过程。

对于（0.2）~（0.6）的不平衡方程组来说，如果直接求Jacob 矩阵的话，应有如下的推导过程：

111111

23122

222211231223

333331231211111121231222221

2

3

P P P P P V V P P P P P P V V P P P P P P P V V Q Q Q Q Q Q Q V V Q Q Q Q V δ

δδδ

δδδδδδδδδδδ∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆∂∂∂∂∂∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆∆⎡⎤∂∂∂∂∂⎢⎥∆⎢⎥∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆⎢⎥=-∆∂∂∂∂∂⎢⎥∆⎢⎥∂∆∂∆∂∆∂∆∂∆⎢⎥∆⎣⎦

∂∂∂∂∂∂∆∂∆∂∆∂∆∂∂∂∂12

31221

2V

V Q V δδδ⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥

∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥∆⎢

⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥

⎢⎥∆⎢⎥

⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥

∂∆⎢⎥∂⎣⎦

(0.7)

∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦

⎣⎦''P δH N Q V K L (0.8)

如果直接求各个未知量在给定值基础上的修正量，就应该用（0.7）来求解，该式的右边为一个Jacob 矩阵和一个未知量的修正量矩阵。（0.8）是简写式，N ，L 都加了上标以与Pii-65的（11-60）相区别。 另N ’为以下的表达式：

11

12'21

2231

32N N N N N N ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

N (0.9)

'i ik k

P N V ∂∆=

∂ (0.10)

V k 在这里代表的是一个固定值（某一个变量），ΔP i 由（0.14）代入，求偏导时，k 的取值由（0.7）知，是由电压的未知量的数量来决定的，在此处k=1，2（与电压的未知量的标号一致）。将k 与j 区分一下比较好，较书上的表达式容易理解，不会弄混淆。

当i k ≠时，由下式可知：

()1'

cos sin n is i j ij ij ij ij j i ik k k

P V V G B P N V V δδ=⎡⎤

∂-+⎢⎥∂∆⎣

⎦==∂∂∑ (0.11)

只有一个非0项，就是当j=k 时，ΔP i 对V k 求偏导才不会为0。此时有：

()()

'

cos sin cos sin i k ik ik ik ik i ik

k k

i ik ik ik ik VV G B P N V V V G B δδδδ∂-+⎡⎤∂∆⎣⎦==

∂∂=-+ (0.12)

当i=k 时，有两个非0项，可以得到以下的偏导表达式：

()()()1'

1

cos sin cos sin cos sin n is i j ij ij ij ij j i ik k k

n

j ij ij ij ij i ik ik ik ik j i

i ik i

P V V G B P N V V V G B V G B P V G V δδδδδδ==⎡⎤

∂-+⎢⎥∂∆⎣

⎦==∂∂=-+-+=-

-∑∑

(0.13)

对于L ’来说，

'i

ik k

Q L V ∂∆=

∂ (0.14)

当i k ≠时，由下式可知，只有当j 与k 相等时的式子对V k 的偏导才为非0的表达式：