专题7.3 临界知识问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)
浙江省2020年高考数学压轴卷含解析
浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}-{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）21+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．B ．8CD ．835．若实数满足不等式组，则( ),x y 02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值22-83-83C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值，无最大值2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x xe f x x e +=-e A ．B ．C ．D ．8．已知、，且，则（ ）a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b<sin sin a b>1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,210若对圆上任意一点，的取22(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为521x __________．13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()222210x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为l_________.14．已知函数，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．(1)a b cλλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数若在区间上方程只有一()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．m三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.()()222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求的单调递增区间;()f x (2)当时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱的底面是菱形，1111ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面平面；1ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.60BAD ∠=︒OB 11A B C20．等比数列的各项均为正数，且.{}n a 212326231,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log nn b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8AB ()03,My （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.AE ABC ∆22．已知函数.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）12011111x x t +->+0t ()f x参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.21+i =1-i 1+i 【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为，，d 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，{}n a 若，则.m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；224S ==h ==所以该四棱锥的体积是.11433V Sh ==⨯=故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；2222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩……设，则直线是一组平行线；3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；A z 022y x y =⎧⎨-=⎩(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）f （x ），()()()111111x x x x x x e e e x e x e x e--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，<0，()e 111e f +=-∴排除B ，故选A ．8．【答案】C 【解析】对于A 选项，取，，则成立，但，A 选项错误；1a =1b =-a b >11a b >对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；对于C 选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭项正确；对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >22a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】依题意表示到两条平行343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+(),P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，340x y a -+=3490x y --=22(1)(1)1x y -+-=故圆心到直线的距离，解得或（舍去）()1,1340x y a -+=3415ad -+=≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点S ABC -,,SA SB SC 111,,A B C则，设与平面所成角，111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅SB SAC θ，证毕.11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABCB SACSA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，P ABCD -,PE PF x y PB PD ==212343P ABCDV -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCDP ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y-=+即，又，3,31x x y xy y x +==-01,0131xx y x ≤≤≤=≤-解得112x ≤≤所以体积，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在递减，在递增()V t 1[,1]2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值，最大值，()V t 4(1)3V =13(2)()22V V ==四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【答案】1031165【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，n a {}n a 设数列的前n 项和为，则，解得，{}n a n S ()51512512a S -==-1531a =所以，.2110231a a ==()10105123116512S -==-故答案为：，.1031165【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．【答案】 325【解析】展开式的通项为，5552215521()r rrr r r T C C x x --+==令，解得，55022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1255T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.1x =5232=点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2y =【解析】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离l 1x ya b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得，又ab d c ===24ab =224163a b c =，代换可得，展开得：，同时除以222b c a =-()2224163a c a c -=224416162a c a c -=得：，整理得，解得或，又，4a 2416163e e -=()()223440e e --=243e =40b a >>所以，所以；2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ===b a ===by x a =±=故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】，(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=1a ∴=易知时，；0x <()2(0,1)xf x =∈又时，递增，故，0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需，()f x 20()0a log a ->⎧⎨-⎩…解得：.10a -<…故答案为：，.1[1,0)-15．【答案】1+【解析】令，则，因为，()1n b cλλ=+- n == 12λ-≤≤所以当，，因此当与同向时的模最大，1λ=-max n == n aa n + max 1a n a n +=+=+16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，4242A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．17．【答案】或1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩1}m =【解析】当时，由，得，即；当时，由01x ≤≤()1f x =()221x x m +=212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩2y x m =+上的大致图象如下图所示：[1,1]-结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡-⎣【解析】(1) 函数，()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-令，求得，222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈故函数f(x)的增区间为；,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦262x ππ-=-值为−2；当时，函数f(x).263x ππ-=⎡-⎣【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2（1）证明：由底面可得，1A O ⊥ABCD 1AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为，所以平面，1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，BD ⊂11BB D D 所以平面平面.1ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图1A O ⊥ABCD O OB OC 1OAx y z 所示空间直角坐标系，O xyz-则，，，，(1,0,0)BC (0,A 1(0,0,1)A ，，11A B AB ==()11A C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)m x y z =由，取得，1110000m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x=1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又，(1,0,0)OB =所以，cos ,||||OB mOB m OB m ⋅===所以与平面.OB 11A B C 20．【答案】（1）（2）13n n a =21nn -+（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a2a 6得＝9,所以q 2＝．23a23a24a 19由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．1313故数列{a n }的通项公式为a n ＝．13n（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．()21n n +故．()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列的前n 项和为1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭21n n -+21．【答案】（1）（224y x =【解析】（1）由题意知,126x x +=则,1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=抛物线的标准方程为∴24y x=（2）设直线:（）,AB x my n =+0m ≠由,得,24x my n y x =+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m∴+=,即,212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即,AB ()23y m m x -=--()5y m x =--可得点C 的坐标为,()5,0直线:,即,AB 232x my m =+-2230x my m -+-=点C 到直线的距离,∴AB d ()21412S AB d m ∴=⋅=+令,则（,t =223m t =-0t <<令,()()244f t t t=-⋅,令,则,()()2443f t t'∴=-()0ft '∴=t =在上；在上,⎛⎝()0f t '>()0f t '<故在单调递增,单调递减,()ft ⎛ ⎝当,即,∴t =m =maxS =22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭解析.【解析】（1）由，得，2()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭设，；则；2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()xx x g x e x +-'=⋅由，解得，()0g x '…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，()gx 1)1,)-+∞所以1min()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '…(0,)+∞所以；1(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.()f x ()fx a >因此有两个根，设为，且，()0f x '=10,tt 1001t t <<-<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又，，当充分大()1(0)1f t f >=()22()(1)(1)x x xf x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即()f x ()f x ()00f t <；()200010t t e a t +-⋅<又因为；()()0000220tf t t e at '=+-=所以：，解得，所以；()()000002202t tt t e t e +-⋅+<0t>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.()f xa ⎫+∞⎪⎪⎭（ⅱ）先证明不等式，若，，则.12,(0,)x x ∈+∞12x x≠211221112x x x xnx nx -+<<-证明：不妨设，即证，210x x >>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设，，，211x t x =>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+只需证且；()0g t <()0h t >因为，，()0g t '=<22(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.12011111x x t +->+由得；()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以，两边取对数得：()()2212221211xx x e x e x x ++=；()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即.()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为，()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x-+-+-<--+-++++所以，121221112x x x x +<<+++因此，要证.12011111x x t +->+只需证；1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，()f x ()0,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-只需证，即证，其中；()()1012f x f t x <-()()00f t x f t x +<-()0,0x t ∈-设，，只需证；()()00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得；()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--.()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦由在上单调递增，()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得，()()0003030y t e t <++--=所以；即在上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：；()0()(0)20r x r f t '''>==即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。
2020高考理科数学押题卷含答案
形镜子的最大面积为 （ ）
A、10 平方分米
B、20 平方分米
C、40 平方分米 D、
1600 平方分米
41
（文）函数 y 3x 1的图象
x2
A. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线 x= 2 对称
称
（） B. 关于点(2,3)对称
D. 关于直线 y= 3 对
9．若双曲线 x2 y2 1的左支上一点 P（a ，b）到直线 y x 的距离为
4
4
7．（理）C .如图，复数2 i 与 3 3i 对应的向量垂直，
2
所以 3 3i 的辐角主值是 3 。
2
2
C 32+3i
O
2-i
B
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的
B
A
值域。 8．(理)C．如图可设 A 的坐标为 (5cos,4sin ) ，
-6
-4
-2 -1
-2
C
-3
-4
D
16．3 .
2
由非负性
1 2 3
P
0
P
3 2
，Eξ＝0
1
2 3
P
1
P 3
2
P 3
P
3 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- 1 ∴A=
2
3
分)
…………(6
(2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1+sin(2B- )
2
2
（1）求 a, k 之值；
2020高考理科数学押题密卷解析版 (19)
3
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考 题，每个考题考上都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共 60 分。
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A4,3 ，点 B 8, 0 ， C 、 D 分别为线段 OA 、
A．12
B．14
C．18
D．24
8．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元，为还
清这笔贷款，该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷
款的 m 年后还清，若银行按年利率为 p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本
16．定义域为a,b 的函数 y f x 的图象的两个端点为 A，B， M x, y 是 f x 图象上的任
意一点，其中 x a 1 b R ，向量 ON OA 1 OB ，其中 O 是坐标原点.若不
等式 MN k 恒成立，则称函数 f x 在a,b 上“k 阶线性近似”.若 y x 1 在1, 2 上“k 阶
二项式 1 x4 的展开通项 Tr1 C4r14r x r C4r 1r xr 要想得到 x4 项，只能 r 0 ，此时 x4 的系数为 C62m2C40 10 15m2
所以 1 x mx2 6 展开式中 x4 的系数为15 60m 15m2
所以15 60m 15m2 90 ，解得 5 m 1 故选 B. 【点睛】 本题考查了三项式展开式中的系数问题，三项式展开需要将其中两项合并当做一项进行处理. 5．B 解析：B 【解析】 分析：根据复数模的定义求解. 详解： z 1 i ， z 12 (1)2 2 ．故选 B ． 点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i, (a, b, c.d R) .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 a bi(a,b R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a2 b2 、对应点为 (a, b) 、共轭为 a bi. 6．D 解析：D 【解析】 【分析】 过点 E 作球 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面的面积最小；当截面过球心时,截面面积最大, 进而利用图形求解即可 【详解】 如图,
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (11)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（）A ．36B ．45C ．36-D ．45-3．在直角坐标系xOy 中,一个质点从()12,A a a 出发沿图中路线依次经过()34,B a a ，()56,C a a ，()78,D a a ，…按此规律一直运动下去，则201320142015a a a ++=（）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10094．已知222021(cos ),4a x dx n x dx ππ-=-=-⎰⎰，则4112n ax ax +⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ）A ．638B ．6316C ．212-D ．638-5．复数(),z x yi x y =+∈R 满足条件42z i z -=+，则24x y +的最小值为() A ．2B ．4C ．42D ．166．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A —BC —D 的平面角最大时，其正切值为（）A ．3B ．12C ．23D ．147．（2015秋•石家庄期末）函数f （x ）=lnx+2x ﹣7的零点所在的区间为（） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒9．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（）． A ．1B ．6C ．7D ．6或710．设曲线1C :1x m y e +=-(0m >)上一点()11,A x y ,曲线2C :ln y x =上一点()22,B x y ,当12y y =时,对于任意1x 、2x ,都有2AB e ≥恒成立,则m 的最小值为() A ．1B ．eC ．1e -D ．2e 1-11．已知A 、B 是函数2,()()(2),()x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（） A ．21e -B ．1e-C ．e -D ．e - 12．已知集合，，则的元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国高考数学试题分类汇编1-选择填空压轴题-含详细答案
2020年全国高考数学试题汇编选择填空压轴题一、选择题（本大题共11小题，共54.0分）1.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，π的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)2.设集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}，则()A. 对任意实数a，(2,1)∈AB. 对任意实数a，(2,1)∉AC. 当且仅当a<0时，(2,1)∉AD. 当且仅当a≤32时，(2,1)∉A3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A. ①B. ②C. ①②D. ①②③5.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6. 若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则( )A. a >2bB. a <2bC. a >D. a <7. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)8. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为▵ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为( )A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π9. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈(0,1)(i =1,2,…)，且存在正整数m ，使得a i+m =a i (i =1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m =a i (i =1,2,…)的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0−1序列a 1a 2…a n …，C(k)=1m ∑a i a i+k (k =1,2,…,m −1)m i=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k =1,2,3,4)的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…10. 已知<，<.设a =3，b =5，c =8，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b11. 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、不定项选择题（本大题共1小题，共5.0分）12. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，，n ，且P(X =i)=>0(i =1,2，，n)，=1，定义X 的信息熵H(X)=−( )A. 若n =1，则H (x )=0B. 若n =2，则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i =1,2，，n)，则H(x)随着n 的增大而增大D. 若n =2m ，随机变量Y 的所有可能取值为1，2，，m ，且P(Y =j)=+(j =1,2，，m)则H(X)H(Y)三、填空题（本大题共12小题，共60.0分）13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是______．14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有______种．15.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______．②该小组人数的最小值为______．16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．17.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为________．18.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是______ ；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是______ ．19.设函数f(x)={x 3−3x,x≤a−2x,x>a．①若a=0，则f(x)的最大值为______；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是______．20.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．21.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p422.关于函数f(x)=x+有如下四个命题：f(x)的图像关于y轴对称．f(x)的图像关于原点对称，f(x)的图像关于直线x=对称．f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．23. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．24. 数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1，前16项和为540，则a 1=____．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．【解答】解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，可得a=2sin360°12n =2sin30°n，b=2tan360°12n =2tan30°n，则2π≈6na+6nb2=6n(sin30°n+tan30°n)，即π≈3n(sin30°n +tan30°n)，故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，是中档题．根据题意，取特例判断求解即可．【解答】解：当a=−1时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，−x+y>4，x+ y≤2}，显然(2,1)不满足，−x+y>4，x+y≤2，所以A不正确；当a=4时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，4x+y>4，x−4y≤2}，可知：此时(2,1)∈A，所以B不正确；当a=1时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，x+y>4，x−y≤2}，显然此时(2,1)∉A，所以C不正确；故选：D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．根据对数的性质：T=a log a T，可得：3=10lg3≈100.48，将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，∴MN ≈101731080=1093．故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程与曲线，属中档题．将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解答】解：将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2=1，∴y=±1，即曲线经过(0,1)，(0,−1)，当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，所以由△=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈(0,2√33]，所以x只能取整数1，当x=1时，y2−y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确，当x>0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22，(当x=y时取等)，∴x2+y2≤2，∴√x2+y2≤√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2，故②正确，×2×1=1，在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3，故③错误，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，属于中档题．取出的两球有四种情况，分别分析三个盒子中球的关系即可得出结果．【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑+红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数及对数的运算性质，指数及对数函数的单调性，属中档题．【解答】解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，故答案为B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题．【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，故答案为A．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题．【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；故选C．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数与对数函数，借助中间值比较大小．【解答】解：a=log53=ln 3ln 5，b=log85=ln 5ln 8，c=log138=ln 8ln 13，a−b=ln 3ln 5−ln 5ln 8=ln 3⋅ln 8−(ln 5)2ln 5⋅ln 8<(ln 3+ln 82)2−(ln 5)2ln 5⋅ln 8=(ln 24+ln 25)(ln 24−ln 25)4ln 5⋅ln 8<0；c−45=ln 8ln 13−45=5ln 8−4ln 135ln 13=ln 85−ln 1345ln 13>0；b−45=ln 5ln 8−45=5ln 5−4ln 85ln 8=ln 55−ln 845ln 13<0;综上所述，a<b<45<c,即a<b<c,故选A．11.【答案】B【解析】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a−1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用，重点考查对新定义的理解，属于难题．【解答】解：A选项中，由题意知p1=1，此时H(X)=−1×log21=0，故A正确；B选项中，由题意知p1+p2=1，且p1∈(0,1)，H(X)=−p1log2p1−p2log2p2=−p1log2p1−(1−p1)log2(1−p1)，设f(x)=−xlog2x−(1−x)log2(1−x)，x∈(0,1)则f′(x)=−log2x−1ln2+log2(1−x)+1ln2=log2(1x−1)，当x∈(12,1)时，f′(x)<0，当x∈(0,12)时，f′(x)>0，故当p1∈(0,12)时，H(X)随着p1的增大而增大，当p1∈(12,1)时，H(X)随着p1的增大而减小，故B错误；C 选项中，由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ，故H(X)随着n 的增大而增大，故C 正确．D 选项中，由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j )，H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j )， H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j +log 2p 2m+1−jp 2m+1−j m j=1) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p j p 2m+1−j )p 2m+1−j m j=1>0,故D 错误，故答案为AC ．13.【答案】①②③【解析】解：设甲企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，乙企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =g(t)．对于①，在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1， 乙企业的污水治理能力为−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1．由图可知，f(t 1)−f(t 2)>g(t 1)−g(t 2)，∴−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1>−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②，由图可知，f(t)在t 2时刻的切线的斜率小于g(t)在t 2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值， ∴在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；对于③，在t 3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，∴在t 3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3]这三段时间中，在[t 1,t 2]的污水治理能力最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．由两个企业污水排放量W 与时间t 的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案． 本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题．14.【答案】16 29【解析】解：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19−3=16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13−3=29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18−4=14种，当这14种商品属于第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数． 本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题． 15.【答案】6 12【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x，即4<y <x <8，即x 的最大值为7，y 的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >yy >z 2z >x，即z <y <x <2z即z 最小为3才能满足条件，此时x 最小为5，y 最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x>yy>z2z>x，进而可得答案；本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．16.【答案】①130；②15．【解析】【分析】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；②在促销活动中，设订单总金额为m元，讨论m的范围，可得(m−x)×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．【解答】解：①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，即有顾客需要支付140−10=130(元)；②在促销活动中，设订单总金额为m元，当0<m<120时，显然符合题意；当m≥120时，可得(m−x)×80%≥m×70%，即有x≤m8，可得x≤1208=15，则x的最大值为15元．故答案为：130；15．17.【答案】√3−1；2【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．根据题意，可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2)，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；再根据双曲线渐近线斜率求出双曲线离心率即可．【解答】解：椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，又椭圆的一个焦点为(c,0)，可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2)，可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e 2−1)=1，可得e 4−8e 2+4=0，e ∈(0,1)， 解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m =√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为√m2+n 2m =2．故答案为：√3−1；2．18.【答案】Q 1；p 2【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i 和p i 的几何意义，是解答的关键．(1)若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i =A i +B i ，是A i B i 连线的中点的纵坐标的2倍，进而得到答案．(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：(1)设A 1(x A 1,y A 1)，B 1(x B 1,y B 1)，线段A 1B 1的中点为E(x 1,y 1)，则Q 1=y A 1+y B 1=2y 1．因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率，故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2.故答案为：Q 1，p 2.19.【答案】2；(−∞,−1)【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．①将a =0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x =−1时，f(x)的最大值为2；②根据y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点，结合f(x)无最大值，可得答案．【解答】解：①若a =0，则f(x)={x 3−3x,x ≤0−2x,x >0，则f′(x)={3x 2−3,x ≤0−2,x >0， 当x <−1时，f′(x)>0，此时函数为增函数，当x >−1时，f′(x)<0，此时函数为减函数，故当x =−1时，f(x)的最大值为2；②对于y =x 3−3x ，可知y′=3x 2−3，令y′=3x 2−3=0得x =±1，当x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，y′>0，函数单调递增；当x ∈(−1,1)时，y′<0，函数单调递减；且易知y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点，坐标为(0,0)，(1,−2)，(−1,2)，若f(x)无最大值，则a <−1，故答案为：2，(−∞,−1)．20.【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．【解答】解：由已知得BD =√2AB =√6，∵D 、E 、F 重合于一点，∴AE =AD =√3，BF =BD =√6，∴ △ACE 中，由余弦定理得，∴CE =CF =1，∴在△BCF 中，由余弦定理得．故答案为．21.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为①③④．22.【答案】②③【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识，属于中档题．根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性；通过函数图象关于直线对称可得等量关系，进而检验等式是否成立即可；特殊值法可判断出函数的最值．【解答】解：根据题意，易得函数定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确；若函数f(x)关于直线x=π2对称，则有f(π2−x)=f(π2+x)，即sin(π2−x)+1sin(π2−x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)，通过化简可得等式成立.故③正确；当x=−π2时，f(−π2)=−2<2，故④错误．故答案为②③．23.【答案】16 132 【解析】【分析】 本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题． 以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52， ∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，第21页，共21页 故答案为：16，132． 24.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题． 对n 取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对n 取奇数时，利用累加法求得a n+2的值，用其表示出前16项和可得答案．【解答】解：因为a n+2+(−1)n a n =3n −1，当n =2，6，10，14时，a 2+a 4=5，a 6+a 8=17， a 10+a 12=29，a 14+a 16=41因为前16项和为540，所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=540−(5+17+29+41)， 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448，当n 为奇数时，a n+2−a n =3n −1，所以a 3−a 1=2，a 5−a 3=8，a 7−a 5=14⋯a n+2−a n =3n −1，累加得a n+2−a 1=2+8+14+⋯3n −1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a 1，∴a 3=2+a 1，a 5=10+a 1，a 7=24+a 1，a 9=44+a 1，a 11=70+a 1，a 13=102+a 1， a 15=140+a 1，因为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448，所以8a 1+392=448，所以a 1=7． 故答案为7．。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 参考答案
理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。
2020届山东省高考数学压轴试卷含答案解析
2020山东省高考压轴卷数学一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x ︱x>－2}且A ∪B=A ，则集合B 可以是（ ） A. {x ︱x 2>4 }B. {x︱y =} C. {y ︱22,y x x R =-∈} D. {－1,0,1,2,3}2.若()22z i i-=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为（ ）A.12B.13C.14D.153.已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. c b a <<4.若对任意的正数a ，b 满足310a b +-=，则31a b +的最小值为A. 6B. 8C. 12D. 245.如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD 构成几何体A -BCD ，则在几何体A -BCD 中，下列结论正确的是（ ）A. 平面ADC ⊥平面ABCB. 平面ADC ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDCD. 平面ABD ⊥平面ABC6.()52112x x ⎛⎫--⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A. 112B. 48C. -112D. -487.已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF，则OPF △的面积为（）A.32B.52C.72D.928.已知函数2()2log xf x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A. 0x a < B. 0x a > C. 0x b < D. 0xc <二．多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
浙江省2020届高三数学下学期压轴卷含解析
浙江省2020届高三数学下学期压轴卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 试题分析：由，得，选C .【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集． 2.复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. 1i -+ B. 1i -C. 1i +D. 1i --【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为211i i=-+,所以其共轭复数是1i +，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3.（2017新课标全国I理科）记n S为等差数列{}n a的前n项和．若4524a a+=，648S=，则{}n a的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.4.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A. 43B. 843D.83【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积.【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为22213h =-=； 所以该四棱锥的体积是11434333V Sh ==⨯⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5.若实数,x y 满足不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩，则3x y -( )A. 有最大值2-，最小值83- B. 有最大值83，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值2-，无最大值【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线，找出最优解，求出z 有最大值，且z 无最小值．【详解】画出不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线；当直线过点A 时，z 有最大值，由022y x y =⎧⎨-=⎩，得(2,0)A ；所以z 的最大值为3202x y -=-=，且z 无最小值. 故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题． 6.“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C7.函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8.已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A. 11a b<B. sin sin a b >C. 1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 22a b >【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（ ） A. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []1,2【答案】B 【解析】【分析】 设出比例关系,PE PFx y PB PD==，利用比例关系表示所求锥体体积，利用函数单调性即可求解. 【详解】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕.四棱锥P ABCD -中，设,PE PF x y PB PD ==，212343P ABCD V -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy -=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y -=+ 即3,31x x y xy y x +==-，又01,0131xx y x ≤≤≤=≤-， 解得112x ≤≤ 所以体积2313,[,1]312x V xy x x ==∈-，令131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，()V t 在1[,1]2t ∈递减，在[1,2]t ∈递增 所以函数()V t 最小值4(1)3V =，最大值13(2)()22V V ==， 四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】此题考查用平面截四棱锥形成新的锥体的体积问题，关键在于通过一种恰当的方式表示出所求锥体的体积，利用函数关系求解最值，此题涉及三棱锥体积的引理，需要在平常学习中多做积累.10.若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( )A. 4a ≤B. 46a -≤≤C. 4a ≤或6a ≥D. 6a ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第II 卷（非选择题)二､填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11.《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺. 【答案】 (1). 1031(2). 165 【解析】 【分析】设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得1531a =后即可得解.【详解】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-. 故答案为：1031，165.【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12.二项式521)x的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 【答案】 (1). 5 (2). 32 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出531)x展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项求出展开式的常数项，令1x =，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13.设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l的距离为4c ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________. 【答案】(1). 2 (2). y = 【解析】 【分析】可设过（a ，0），（0，b ）两点的直线方程为1x ya b+=，结合点到直线距离公式可得24ab =，两式同时平方后，通过222c a b =+代换可转化为关于2e 的一元二次方程，即可求解 【详解】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab，则原点到直线的距离ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a ===b y x a =±=故答案为：2；y =【点睛】本题考查由直线与双曲线的位置关系求解离心率，渐近线，点到直线距离公式的应用，属于中档题14.已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____. 【答案】(1). 1 (2). [1,0)- 【解析】 【分析】()1根据题意列出关于a 的方程即可；()2在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．【详解】(1)(1)f f -=，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-， 要使函数()f x 存在最小值，只需20()0a log a ->⎧⎨-⎩，解得：10a -<.故答案为：1[1,0)-. 【点睛】本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于中档题．15.设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-的最大值是________． 【答案】101+ 【解析】 【分析】令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大． 【详解】令()1n b c λλ=+-，则()2211318n b c λλλλ⎡⎤=+-=-⎣⎦，因为12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析． 16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________． 【答案】36 【解析】 【分析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故答案为：36．【点睛】本题考查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.17.已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】 【分析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围.【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xxxg xx+⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m=+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h=，即1m=时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h gmh g<⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m的取值范围是1|112m m m⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．三､解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()23sin22cos1x Rf x x x=-+∈.(1)求()f x的单调递增区间;(2)当,64xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x的值域.【答案】（1）,()63k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡-⎣.【解析】【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的增区间；（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值．【详解】(1) 函数()23sin 22cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-， 令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题. 19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质可得1AO BD ⊥，由菱形的性质可得CO BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD⊥平面1A CO，再由面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面11A B C的一个法向量为m，OB的方向向量OB，由cos,||||OB mOB mOB m⋅=即可得解.【详解】（1）证明：由1A O⊥底面ABCD可得1AO BD⊥，又底面ABCD是菱形，所以CO BD⊥，因为1AO CO O⋂=，所以BD⊥平面1A CO，因为BD⊂平面11BB D D，所以平面1ACO⊥平面11BB D D.（2）因为1A O⊥底面ABCD，以O为原点，OB，OC，1OA为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz-，则(1,0,0)B ，3,0)C，(0,3,0)A，1(0,0,1)A，11(1,3,0)A B AB==，()10,3,1AC =-，设平面11A B C的一个法向量为(,,)m x y z=，由111030030m A B x ym AC z⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1x=得31,1m⎛⎫=-⎪⎝⎭，又(1,0,0)OB=，所以21cos,||||123OB mOB mOB m⋅===+，所以OB 与平面11A B C所成角的正弦值为7. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明以及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力，属于中档题.20.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13n na = （2）21nn -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和21.已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AB的中点为()03,M y ，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2643. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义可得12||||68AF BF x x p p +=++=+=，求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程为：x my n =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得22||413AB m m =+-AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以()221||4132S AB d m m =⋅=+-23t m -则()244S tt =-⋅，利用导数可得最值.【详解】（1）由题意知126x x +=，则12||||68AF BF x x p p +=++=+=，∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =； （2）设直线:AB x my n =+（0m ≠） 由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，∴()121224226x y x y m n n m =+++=+=，即232n m =-，即()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩，∴12||AB y y =-=设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--， 可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my m -+-=，∴点C 到直线AB的距离d ==，∴()21||412S AB d m =⋅=+令t =223(0m t t =-<<，()244S t t ∴=-⋅令()2()44f t tt =-⋅，∴()2()443f t t'=-，令()0f t '=，则t =，在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在⎝上()0f t '<，故()f t在0,3⎛ ⎝⎭单调递增，3⎛⎝单调递减，∴当3t =，即3m =±时，max 9S =. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题. 22.已知函数2()(1)(0)xf x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点） 【答案】（1）⎛-∞ ⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)先求其导函数，转化为()'0f x ≥，即求()22xx g x e a x+=⋅-的最小值即可； (2())ⅰ结合第一问的结论得()f x不单调，故(122a +⋅>；设()'0f x =有两个根，设为1t ，0t，且1001t t <<-<，可得原函数的单调性，把问题转化为()00f t <，即可求解结论．()ⅱ转化为先证明不等式，若1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠211221.2x x x xlnx lnx -+<<-再把原结论成立转化为证1202x x t +<；构造函数()()()00r x f t x f t x =+--一步步推其成立即可．【详解】（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅；由()0g x '，解得1x ≥-，所以()g x在1)上单调递减，在1,)-+∞上单调递增，所以1min ()1)(2=-=⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a的取值范围是：1(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x 不单调，所以1(22a +⋅>.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t，且1001t t <<<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e=+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<； 又因为()()0000220tf t t e at '=+-=； 所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >1122+>=a g ； 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是12⎛⎫+⋅+∞ ⎪⎪⎝⎭. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为2()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证. 再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩； 所以()()2212221211xx x e x e x x ++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++， 因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <；计算得()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--； ()()2000()33t x r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033x y x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增， 得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减，所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
2020年高考数学押题密卷(含解析)
2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案(3)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事琐：L答題谊■先将自己的魅名、准君证号、常场牛准确的填写在蓉總1＜匕并认異核卑条形娼上的姓名.准弟说号、璐场号、座位号及科目，在规定位霍贴上条形码口L选搾题的作答：哲小疑选出答案后.请用用2B铅笙把答题卡上对应愿目的答峯标号涂黑。
如果需宴改动，用像皮拯擦干净后.勇选涂其他響案标号”写在本U^.L无效乜3. 斗选择題的作磐：用照色签宁笙直按特柱蓉題东上对应的苕趣区域內,写和本试卷丄无效。
4. 本试題卷共23题，全屣满分150分，考试吋问为120分《札5一君试结束后，将本试卷和薯鎚和一井收回。
、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）2 21•己知椭圆C:笃爲1（a b 0）的左、右焦点分别为Fl, F2，点P X」，Q为，在a b椭圆C上，其中为＞0，y i 0,若|PQ| 2OF? , |至|丿3，则椭圆C的离心率的取值范围PF〔 3为（）6 1A. 0, 2B. （0, 6 2]C.严八3 1]D. （0, G 1]2. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,贝U输出T的值为3. 对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示:13123 3 533 7 9 1134 13 15 17 19根据上述规律，173的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（）A. 71B. 75C. 83D. 884. 设i是虚数单位，若复数a1°a R是纯虚数，则a的值为（）3 iA.-3B. -1C. 1D. 3A. C. 3 D. 45.在四面体ABCD中,的取值范围是（）BCD为等边三角形，ADB -，二面角B AD C的大小为，则C. c n°，3D.66 •设函数f x ax 2 2x 2，对于满足1 x 4的一切x 值都有f x 0，则实数a 的取值范围为（）A ^_5.38.有两个等差数列2, 6, 10,-, 190和2, 8, 14,-, 200,由这两个等差数列的公共项 按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）12. 如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、1 27.如图所示，隔河可以看到对岸两目标 A. a 1B.C. 1 1 aD. a -22B,但不能到达，现在岸边取相距 4km 的C, D 两 点，测得/ ACB= 75°,/ BCD= 45°, 内），则两目标A , B 间的距离为（）/ ADG 30/ ADB= 45° (A , B , C, D 在同一平面D. 2.5A. 15B. 16C. 17D. 18 9.已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R, f x 2x ，当0 x 1, f x x 2，若直线y x a 与函数f x 的图像在0,2 内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是 ()A. 01 B. 0或2C.D. AB BC, AD2DC . 若 AB亠 1 0或—4V uuuv vuuv uuv 八 a, AD b ，则 AC BD ()B. D. bV 2 v v a ba 211.设U 为全集，MP 是U 的两个子集，且 (C U M) P P ，则 M PA. MB. PC. C U PD.ABCD 中, C . V2b 2黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A. 120 种B. 240 种C. 144 种D. 288 种二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考押题预测卷理科数学全解析版(新课标III卷) (2)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0（a >0，c >0）恒过点P （1，m ）且Q （4，0）到动直线l 的最大距离为3，则122a c +的最小值为（） A ．92B ．94C ．1D ．92．已知函数321()2f x ax x =+在1x =-处取得极大值，记1()()g x f x ='．在如图所示的程序框图中，若输出的结果20192020S >，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．2019n …？B ．2020n …？C ．2019n >？D ．2020n >？3．某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点： ①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇； ③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或都不去； ⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去. 则该参观团至多去了（） A ．B ，D 两镇B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇D ．A ，C 两镇4．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a =() A ．0B ．1C ．11D ．125．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数 C．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数6．正四面体ABCD 中，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能是()A ．0B ．6πC ．3πD ．2π7．设a=211 x ⎰dx ，b=311 x ⎰dx ，c=511x ⎰dx ，则下列关系式成立的是( )A．a 2<b 3<c 5B ．b 3<a 2<c 5C ．c 5<a 2<b 3D ．a 2<c 5<b 38．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是()A ．338- B ．334- C ．338+ D ．334+ 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210a a -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（） A ．11B ．12C ．21D ．2210．已知函数()()22,12ln 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x =-+的零点个数为4个时，实数a 的取值范围为（）A ．265,7,333⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪ ⎝∞⎦+⎭⎝U B ．263,73⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()265233,,⎛⎤+∞ ⎥ ⎝⎦U11．如图，在OMN ∆中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB =+u u u vu u u vu u u v（x ，y R ∈），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．设集合，，，则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题(解析版)
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】 因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．43B ．8C ．433D ．83【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积. 【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2, 画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为22213h -=；所以该四棱锥的体积是114343333V Sh==⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．若实数,x y满足不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-⎩，则3x y-( )A．有最大值2-，最小值83-B．有最大值83，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值2-，无最大值【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．【详解】画出不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由22yx y=⎧⎨-=⎩，得(2,0)A；所以z的最大值为3202x y-=-=，且z无最小值.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误；对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9．设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（ ）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2【答案】B【解析】设出比例关系,PE PFx y PB PD==，利用比例关系表示所求锥体体积，利用函数单调性即可求解. 【详解】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，11111111111111sin sin3211sin sin32S A B C B SA CS ABC B SACSA SC ASC SBV V SA SB SCV V SA SB SCSA SC ASC SBθθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕. 四棱锥P ABCD-中，设,PE PFx yPB PD==，212343P ABCDV-=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V V VV V V V V V -------------⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PFxy xyPA PB PD PB PC PD⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMFV xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V V VV V V V V V -------------⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PFx yPA PB PC PA PC PD⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMFV x y-=+即3,31xx y xy yx+==-，又01,0131xx yx≤≤≤=≤-，解得112x≤≤所以体积2313,[,1]312xV xy xx==∈-，令131,[,2]2t x t=-∈2(1)111()(2),[,2]332tV t t tt t+==++∈根据对勾函数性质，()V t在1[,1]2t∈递减，在[1,2]t∈递增所以函数()V t最小值4(1)3V=，最大值13(2)()22V V==，四棱锥P AEMF-的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】此题考查用平面截四棱锥形成新的锥体的体积问题，关键在于通过一种恰当的方式表示出所求锥体的体积，利用函数关系求解最值，此题涉及三棱锥体积的引理，需要在平常学习中多做积累.10．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥【答案】D【解析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围 【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、双空题11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺. 【答案】1031165 【解析】设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得1531a =后即可得解. 【详解】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-.故答案为：1031，165. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．二项式521)x 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 【答案】5 32【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出531)x展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项求出展开式的常数项，令1x =，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________.【答案】2 y =【解析】可设过（a ，0），（0，b ）两点的直线方程为1x ya b+=，结合点到直线距离公式可得24ab =，两式同时平方后，通过222c a b =+代换可转化为关于2e 的一元二次方程，即可求解 【详解】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab ，则原点到直线的距离4ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a ===b y x a =±=故答案为：2；y = 【点睛】本题考查由直线与双曲线的位置关系求解离心率，渐近线，点到直线距离公式的应用，属于中档题14．已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____.【答案】1 [1,0)-【解析】()1根据题意列出关于a 的方程即可；()2在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．【详解】(1)(1)f f -=，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-， 要使函数()f x 存在最小值，只需2()0a log a ->⎧⎨-⎩，解得：10a -<.故答案为：1，[1,0)-. 【点睛】本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于中档题．三、填空题15．设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-的最大值是________．【答案】101+【解析】令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大． 【详解】令()1n b c λλ=+-，则()2211318n b c λλλλ⎡⎤=+-=-⎣⎦12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+ 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析． 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________． 【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.17．已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．四、解答题18．已知函数()()23sin 22cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间; (2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域. 【答案】（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡-⎣. 【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的增区间；（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值． 【详解】(1) 函数()2322cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-，令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题. 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（221【解析】（1）由线面垂直的性质可得1AO BD ⊥，由菱形的性质可得CO BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面1A CO ，再由面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面11A B C 的一个法向量为m ，OB 的方向向量OB ，由cos ,||||OB mOB m OB m ⋅=即可得解.【详解】（1）证明：由1A O ⊥底面ABCD 可得1AO BD ⊥， 又底面ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥， 因为1AO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A CO ，因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D . （2）因为1A O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)B ，3,0)C ，(0,3,0)A ，1(0,0,1)A ，11(1,3,0)A B AB ==，()10,3,1AC =-， 设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由111030030m A B x m ACz ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1x =得31,13m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又(1,0,0)OB =，所以21cos ,7||||123OB mOB m OB m ⋅===+，所以OB 与平面11A B C 21. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明以及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力，属于中档题.20．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13n n a =（2）21n n -+【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AB 的中点为()03,M y ，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）39. 【解析】（1）利用抛物线的定义可得12||||68AF BF x x p p +=++=+=，求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程为：x my n =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得22||413AB m m =+-AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以()221||4132S AB d m m =⋅=+-23t m -()244S t t =-⋅，利用导数可得最值. 【详解】（1）由题意知126x x +=，则12||||68AF BF x x p p +=++=+=， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =； （2）设直线:AB x my n =+（0m ≠） 由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，∴()121224226x y x y m n n m =+++=+=，即232n m =-，即()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩，∴12||AB y y =-=设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--， 可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my m -+-=，∴点C 到直线AB的距离d ==，∴()21||412S AB d m =⋅=+令t =223(0m t t =-<<，()244S t t ∴=-⋅令()2()44f t tt =-⋅，∴()2()443f t t'=-，令()0f t '=，则t =，在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在⎝上()0f t '<， 故()f t在0,3⎛ ⎝⎭单调递增，3⎛⎝单调递减，∴当3t =，即3m =±max 9S =. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题. 22．已知函数2()(1)(0)x f x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）【答案】（1）⎛-∞ ⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫⋅+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析.【解析】(1)先求其导函数，转化为()'0f x ≥，即求()22xx g x e a x+=⋅-的最小值即可；(2())ⅰ结合第一问的结论得()f x不单调，故(122a +⋅>；设()'0f x =有两个根，设为1t ，0t，且1001t t <<<，可得原函数的单调性，把问题转化为()00f t <，即可求解结论．()ⅱ转化为先证明不等式，若1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，则211221.2x x x xlnx lnx -+<<-再把原结论成立转化为证1202x x t +<；构造函数()()()00r x f t x f t x =+--一步步推其成立即可．【详解】（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅； 由()0g x '，解得1x ≥-，所以()g x在1)上单调递减，在1,)+∞上单调递增，所以1min ()1)(2==⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a的取值范围是：⎛-∞ ⎝⎭. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x不单调，所以a >.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t，且1001t t <<<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e =+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<； 又因为()()0000220tf t t e at '=+-=；所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >所以1122+>=a g 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a的取值范围是12⎛⎫⋅+∞ ⎪⎪⎝⎭. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为2()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证.再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩； 所以()()2212221211xx x e x e xx++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；第 21 页 共 21 页 即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++， 因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <；计算得()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--； ()()2000()33t x r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033x y x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增， 得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减，所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
2020届数学压轴卷试题含解析
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15。若实数x,y满足 ，则 的最大值是（ )
A。 9B. 12C. 3D。 6
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 的最大值。
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分)：
【详解】令 ，设 ， ， 对应的点 在单位圆上，
所以问题转化为求 的最小值。
因为 ，所以 ,
所以 ，
表示 点到点 和 的距离之和,
过点 和 的直线为 ，
原点到直线 的距离为 ，所以与单位圆相交，
所以 的最小值为:点 和 之间的距离，即 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．
综上所述，正确的是①②④。
故答案为:①②④。
【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力，属于难题.
11。已知 、 、 是平面内三个单位向量，若 ,则 的最小值是________
【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ， ,将问题转化为求 的最小值,再证明 ，从而将原问题转化为求 的最小值.
其中正确的命题有________（填所有正确命题的序号)
【答案】①②④
【解析】
【分析】
因为集合 ，对于任意 ，且任意 ，都有 ,可以把这个“ 类集”理解成,任意两个 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在 上,因此可以理解它的图象成直线，逐项判断，即可求得答案。
2020高考压轴与数学文化相关的数学考题(解析版)—20届高考压轴题讲义(选填题)
一、方法综述：关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.二、解答策略：类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。
例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。
已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。
探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。
例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。
本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。
举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。
则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。
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【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝()()()()()()()(),{,C A C B C A C BC B C A C A C B-≥-<若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于() A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B1.【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合，若对于，，使得成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：；；；．其中是“互垂点集”集合的为( )A．B．C．D．设点是曲线上的两点，对于集合，当时，，不成立所以集合不是“互垂点集”.对于集合，，当时，，不成立所以集合不是“互垂点集”.对于集合，当时，，不成立，所以集合不是“互垂点集”.排除A,B,C.故选：D2.【陕西省2019届高三第二次检测】已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①②③④其中是“垂直对点集”的序号是________.对于①，，即，与的值域均为，故①正确；对于②,若满足，则，在实数范围内无解，故②不正确；对于③，画出的图象，如图，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故③正确；对于④，，取点，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”, 故④不正确，故答案为①③.类型二高等数学背景型临界问题【例2】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b3|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)【答案】①②【举一反三】【湖南省衡阳市2019届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数，，中，与函数不．是．亲密函数的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 易知幂函数定义域为，偶函数，在上，，在上，，.四个选项中函数的定义域都为且都为偶函数，单调性也与保持一致，因为显然在上递增，又，，递增，当，除（显然）外，其他函数的值都趋向于.故选B.【例3】点P 为棱长是3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点P 满足1BP AC ⊥，则动点P 的轨迹的长度为__________． 【答案】6π【举一反三】已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）A ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】依题意，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形1AMND ，从而当102BM <≤时，截面为四边形，当12BM >时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段BM 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B ．【强化训练】 一、选择题1.已知集合2，3，，集合是集合A 的子集，若且2，，，满足集合B 的个数记为，则A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B 的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B ．2．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又>0，∴，∴∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．故选D．3．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考】定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．1 B．0 C．D．【答案】B【解析】解因为，所以的可能取值为-1,0,1同理，的可能取值为所以的所有可能取值为（重复的只列举一次）：所以所有元素之和为0，故选B4.【广西壮族自治区柳州市2019届高三3月模拟】定义：，如，则（）A．0 B．C．D．1【答案】C由题意得．5．【北京市门头沟区2019年3月高三综合练习】若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为A．B．C．D．【答案】C解：当时，关于原点对称的函数为，即，，设，，条件等价为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，，，当时，函数取得最大值，当时，，．由得，此时为增函数，由得，此时为减函数，即当时，函数取得极小值同时也是最小值，作出当时，与的图象如图：要使两个图象恰好有两个不同的交点，则，即，即，即，故选：C．6．【江西省上高县第二中学2019届高三3月月考】定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（）A．B．C．D．解：依题意，要使其前2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可，∵＝2，绝对公和d ＝3，∴＝﹣1或＝1（舍），∴＝﹣2或＝2（舍），∴＝﹣1或＝1（舍），…∴满足条件的数列{}的通项公式，∴所求值为+（+）+（+）+…+（+）＝2+（﹣1﹣2）＝﹣3025，故选：C．7．【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（）A．B．C．D．【答案】B∵∴，∴，而∴，，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值9故选：B二、填空题8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．【答案】4设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的体积为，其中，构造函数，其中，则，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．9．【上海市交大附中2019届高三上9月开学】由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.【答案】①②④【解析】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M 和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．故答案为：①②④10．【江西省红色七校2019届高三第二次联考】已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且在上是减函数,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】根据对称函数的概念可知，即，令，则，其对称轴为，开口向下.由于在上递减，在上递增，根据复合函数单调性可知.11．【河南省郑州第一中学2019届高三第二次测评】已知二进制和十进制可以相互转化，例如，则十进制数89转化为二进制数为.将对应的二进制数中0的个数，记为（例如：，，，则，，），记，则__________．【答案】由题意得共个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1设其中的数x，转换为二进制后有k个0（）∴在这个数中，转换为二进制后有k个0的数共有个∴由二项式定理，.故答案为：.12．【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】设整数，集合2，，，A，B是P的两个非空子集则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对的个数为：______．【答案】解：设中的最大数为，其中，整数，则中必含元素，另元素可在中，故的个数为：，中必不含元素另元素可在中，但不能都不在中，故的个数为：，从而集合对的个数为．故答案为：．13．【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.【答案】易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以.当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以.由此类推：.故.14．【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+=∴q4q q 2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a 1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．15．【北京延庆区2019届高三一模】已知集合，集合满足①每个集合都恰有7个元素; ②．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则的最大值与最小值的和为_______.【答案】132由题意得，集合中各包含7个元素，且互不相等，当取得最小值时，集合中的最小值分别为1,2,3，最大值分别为21,15,9，例如,,，此时最小，且为51. 当集合中最小值为1,7,13，最大值为19,20,21时，最大.例如，，，此时最大，且为81.故最大值与最小值之和为132.16．【江西省南昌市2019届高三一模】定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．【答案】【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故故答案为17．【陕西省2019届高三第二次检测】在实数集中定义一种运算“”，具有性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意.则函数的最小值为________．【答案】因为在（3）中，对任意，令，代入得由（1）中可得由（2）中，化简可得所以因为由基本不等式可得所以最小值为318．【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”.①若，，，则数列_____“﹣摆动数列”，_____“﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“﹣摆动数列”满足，.则常数的值为_____.【答案】不是是【解析】①由知道是递增数列，故不存在满足定义的又因为可知正负数值交替出现，故时满足定义②因为数列是“﹣摆动数列”，故时有可求得：又因为使对任意正整数，总有成立，即有成立则所以，，…，同理，，…，所以，即，解得，即同理，解得，即综上，本题正确结果：不是；是；。