初中数学中考几何综合题[1]
2023年数学中考试题精选:几何综合证明(一)
1.(2023.营口24题)在平行四边形ABCD中,∠ADB=90°,点E在CD 上,点G在AB上,点F在BD的延长线上,连接EF,DG, ∠FED=∠ADG,ADBD =DG EF=k.(1)如图1,当k=1时,请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系________;(2)如图2,当k=√(3)时,写出线段AD,DE和DF之间的数量关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,当点G是AB的中点时,连接BE,求tan∠EBF的值2.(2023.本溪铁岭辽阳25题)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点O为AB的中点,点D在直线AB上(不与点A,B重合),连接CD,线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,过点B作直线l⊥BC,过点E作EF⊥l,垂足为点F,直线EF交直线OC于点G.(1)如图1,当点D与点O重合时,请直接写出线段AD与线段EF 的数量关系;(2)如图2,当点D在线段AB上时,求证:CG+BD=√2BC;(3)连接DE,△CDE的面积记为S1,△ABC的面积记为S2,当EF:BC=1:3时,请直接写出S1S2的值.3.(2023.大连25题)综合与实践问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质。
已知AB=AC,∠A>90°,点E为AC上一动点,将△ABE以BE为对称轴翻折,同学们经过思考后进行如下探究:独立思考:小明:“当点D落在BC上时,∠EDC=2∠ACB.”小红:“若点E为AC中点,给出AC与DC的长,就可求出BE的长.”补足探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:问题1:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到.(1)如图1,当点D落在BC上时,求证:∠EDC=2∠ACB;(2)如图2,若点E为AC中点,AC=4,CD=3,求BE的长.问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形,可以问题进一步拓展.问题2:如图3,在等腰△ABC中,∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD.若CD=1,则求BC的长.4.(2023.牡丹江26题)平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,连接DE,将ED绕点E逆时针旋转90°,得到EF,连接BF.(1)当点E在线段BC上,∠ABC=45°时,如图1,求证:AE+EC=BF;(2)当点E在线段BC延长线上,∠ABC=45°时,如图2,当点E在线段CB延长线上,∠ABC=135°时,如图3,请猜想并直接写出线段AE,EC,BF的数量关系;(3)在(1)、(2)的条件下,若BE=3,DE=5,则CE=______.5.(2023.贵州省25题)如图1,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC中,CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB,垂足为B,点P在CB上.(1)【动手操作】如图2,若点P在线段CB上,画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形,图中∠PBE的度数为______度;(2)【问题探究】根据(1)所画图形,探究线段PA与PE的数量关系,并说明理由;(3)【拓展延伸】如图3,若点P在射线CB上移动,将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD将于点E,探究线段BA,BP,BE之间的数量关系,并说明理由.6.(2023.沈阳24题)如图1.在平行四边形纸片中,AB=10,AD=6,∠DAB=60°,点E为BC边上的一点(点E不与点C重合),连接AE,将平行四边形ABCD纸片沿AE所在直线折叠,点C,D的对应点分别为C`,D`,射线C`E与射线AD将于点F.(1)求证:AF=EF;(2)如图2,当EF⊥AF时,DF的长为______;(3)如图3,当CE=2时,过点F作FM⊥AE,垂足为点M,延长FM 交C`D`于点N,连接AN,EN,求△ANE的面积。
初三数学几何试题及答案
初三数学几何试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是直角三角形的判定条件?A. 两边相等B. 两边的夹角为90°C. 两边的夹角为60°D. 三边相等答案:B2. 一个圆的半径为5,那么它的直径是多少?A. 10B. 15C. 20D. 25答案:A3. 一个矩形的长是宽的两倍,如果宽是4厘米,那么矩形的面积是多少平方厘米?A. 16B. 32C. 64D. 128答案:B4. 一个等腰三角形的底边长为6厘米,两腰长为5厘米,那么它的高是多少厘米?A. 4B. 5C. 6D. 7答案:A5. 一个正方体的体积是27立方厘米,那么它的表面积是多少平方厘米?A. 54B. 108C. 216D. 486答案:A6. 一个圆的周长是2πr,那么它的面积是多少?A. πrB. πr²C. 2πr²D. 4πr²答案:B7. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,那么它的斜边长是多少?A. 5B. 7C. 8D. 9答案:A8. 一个平行四边形的对角线互相垂直且相等,那么这个平行四边形是:A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形答案:B9. 一个三角形的三个内角分别是40°、50°和90°,那么这个三角形是:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案:B10. 一个圆的面积是π,那么它的半径是多少?A. 1B. 2C. 3D. 4答案:A二、填空题(每题4分,共20分)1. 如果一个圆的直径是8厘米,那么它的半径是______厘米。
答案:42. 一个三角形的三个内角之和是______度。
答案:1803. 一个矩形的长是10厘米,宽是5厘米,那么它的对角线长度是______厘米。
答案:134. 如果一个等腰三角形的顶角是80°,那么它的底角是______度。
答案:505. 一个正五边形的内角和是______度。
初中数学中考几何综合题
中考数学复习--几何综合题Ⅰ、综合问题精讲:几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题,它主要考查学生综合运用几何知识的能力,这类题往往图形较复杂,涉及的知识点较多,题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答.解几何综合题,一要注意图形的直观提示;二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础;同时,也要由未知想需要,选择已知条件,转化结论来探求思路,找到解决问题的关键. 解几何综合题,还应注意以下几点:⑴ 注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.⑵ 掌握常规的证题方法和思路.⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等).Ⅱ、典型例题剖析【例1】(南充,10分)⊿ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ,点F 是BE 的中点.(1)求证:DF 是⊙O 的切线.(2)若AE =14,BC =12,求BF 的长.解:(1)证明:连接OD ,AD . AC 是直径,∴ AD⊥BC. ⊿ABC 中,AB =AC ,∴ ∠B=∠C,∠BAD=∠DAC.又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角,∴∠C =∠BED .故∠B =∠BED ,即DE =DB .点F 是BE 的中点,DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径,即∠DAC =∠BAD =∠ODA .故OD ⊥DF ,DF 是⊙O 的切线.(2)设BF =x ,BE =2BF =2x .又 BD =CD =21BC =6, 根据BE AB BD BC ⋅=⋅,2(214)612x x ⋅+=⨯.化简,得 27180x x +-=,解得 122,9x x ==-(不合题意,舍去).则 BF 的长为2.点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线,所以要证明一条直线是否是此圆的切线,应满足这两个条件才行.【例2】(重庆,10分)如图,在△ABC 中,点E 在BC 上,点D在AE 上,已知∠ABD =∠ACD,∠BDE =∠CDE .求证:BD =CD 。
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题一(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—一次函数与几何图形综合题二(含答案解析)类型一与三角形有关1.(2022·天津)如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x 轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是()A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)【答案】D【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO,利用勾股定理得到OC=4,即可求解.【详解】解:∵AB⊥x轴,∴∠ACO=∠BCO=90°,∵OA=OB,OC=OC,∴△ACO≌△BCO(HL),∴AC=BC=12AB=3,∵OA=5,∴=4,∴点A的坐标是(4,3),故选:D.【点睛】本题考查了坐标与图形,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2.(2020·宁夏中考真题)如图,直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,把AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到11AO B ,则点1A的坐标是_____.【答案】(4,125)【解析】【分析】首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标,A 1的横坐标等于OB ,而纵坐标等于OB-OA ,即可得出答案.【详解】解:在542y x =+中,令x=0得,y=4,令y=0,得5042x =+,解得x=8-5,∴A (8-5,0),B (0,4),由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ,∠ABA 1=90°,∴∠ABO=∠A 1BO 1,∠BO 1A 1=∠AOB=90°,OA=O 1A 1=85,OB=O 1B=4,∴∠OBO 1=90°,∴O 1B ∥x 轴,∴点A 1的纵坐标为OB-OA 的长,即为48-5=125;横坐标为O 1B=OB=4,故点A 1的坐标是(4,125),故答案为:(4,125).【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题,利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键.3.(2021·广西贺州市·中考真题)如图,一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点P ,C 分别是线段AB ,OB 上的点,且45OPC ∠=︒,PC PO =,则点P 的标为________.【答案】(--【分析】过P 作PD ⊥OC 于D ,先求出A ,B 的坐标,得∠ABO=∠OAB=45°,再证明△PCB ≌△OPA ,从而求出BD =,OD =,进而即可求解.【详解】如图所示,过P 作PD ⊥OC 于D ,∵一次函数4y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,∴A(-4,0),B(0,4),即:OA=OB ,∴∠ABO=∠OAB=45°,∴△BDP 是等腰直角三角形,∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45°,∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC,∴∠PCB=∠OPA,又∵PC=OP,∴△PCB≌△OPA(AAS),∴AO=BP=4,∴Rt△BDP中,BD=PD=2=2,∴OD=OB−BD=2,∴P(2,2).故答案是:P(2,2).【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质,结合等腰三角形的性质,判定全等三角形是解决问题的关键.4.(2022·湖北黄冈)如图1,在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,沿折线A→B→C 匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时,t的值为________.【答案】252+##2+25【分析】根据函数图像可得AB=4=BC ,作∠BAC 的平分线AD ,∠B =36°可得∠B =∠DAC =36°,进而得到ADC BAC △△,由相似求出BD 的长即可.【详解】根据函数图像可得AB=4,AB+BC=8,∴BC=AB=4,∵∠B =36°,∴72BCA BAC ∠∠︒==,作∠BAC 的平分线AD ,∴∠BAD =∠DAC =36°=∠B ,∴AD=BD ,72BCA DAC ∠∠︒==,∴AD=BD=CD ,设AD BD CD x ===,∵∠DAC =∠B =36°,∴ADC BAC △△,∴AC DC BC AC =,∴x 4x 4x-=,解得:1225x =-+,225x =--,∴252AD BD CD ===,此时521AB BD t +==(s),故答案为:52.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程,关键是证明ADC BAC △△.5.(2020·四川内江?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点A (-2,0),直线33:33l y x =+与x 轴交于点B ,以AB 为边作等边1ABA ∆,过点1A 作11//A B x 轴,交直线l 于点1B ,以11A B 为边作等边112A B A ∆,过点2A 作22//A B x 轴,交直线l 于点2B ,以22A B 为边作等边223A B A ∆,以此类推……,则点2020A 的纵坐标是______________【答案】20203(21)2-【解析】【分析】如图,过A 1作A 1C ⊥AB 与C ,过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1,过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2,先根据直线方程与x 轴交于点B (-1,0),且与x 轴夹角为30º,则有AB=1,然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质,分别求的A 1、A 2、A 3、的纵坐标,进而得到A n 的纵坐标,据此可得A 2020的纵坐标,即可解答.【详解】如图,过A 1作A 1C ⊥AB 与C ,过A 2作A 2C 1⊥A 1B 1于C 1,过A 3作A 3C 2⊥A 2B 2于C 2,先根据直线方程与x 轴交于点B (-1,0),与y 轴交于点D (0,33),∴OB=1,OD=33,∴∠DBO=30º由题意可得:∠A 1B 1B=∠A 2B 2B 1=30º,∠B 1A 1B=∠B 2A 2B 1=60º∴∠A 1BB 1=∠A 2B 1B 2=90º,∴AB=1,A 1B 1=2A 1B=21,A 2B 2=2A 2B 1=22,A 3B 3=2A 3B 2=23,…A n B n =2n∴A 1C=2AB=2×1,A 1纵坐标为32×1=13(21)2-;A 2C 1=32A 1B 1=1322⨯,A2的纵坐标为32×1+1322⨯=013(22)2+=332⨯=23(21)2-;A 3C 2=32A 2B 2=2322⨯,A 3的纵坐标为32×1+1322⨯+2322⨯=0123(222)2++=372⨯=33(21)2-;…由此规律可得:A n C n-1=1322n -⨯,A n 的纵坐标为01213(2222)2n -++++ =3(21)2n -,∴A 2020=20203(21)2-,故答案为:20203(21)2-【点睛】本题是一道点的坐标变化规律探究,涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30º角的直角三角形的性质,数字型规律等知识,解答的关键是认真审题,观察图象,结合基本图形的有关性质,找到坐标变化规律.6.(2022·陕西)如图,ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----,,,,,.将ABC 平移后得到A B C '''V ,且点A 的对应点是(23)A ',,点B 、C 的对应点分别是B C '',.(1)点A 、A '之间的距离是__________;(2)请在图中画出A B C '''V .【答案】(1)4(2)见解析【分析】(1)由(23)A -,,(23)A ',得,A 、A '之间的距离是2-(-2)=4;(2)根据题意找出平移规律,求出103-1B C ''(,),(,),进而画图即可.(1)解:由(23)A -,,(23)A ',得,A 、A '之间的距离是2-(-2)=4.故答案为:4.(2)解:由题意,得103-1B C ''(,),(,),如图,A B C '''V 即为所求.【点睛】本题考查了坐标系中两点之间的距离求解以及平移求点坐标画图,题目相对较简单,掌握平移规律是解决问题的关键.7.(2021·贵州毕节市·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点()11,1N 在直线:l y x =上,过点1N 作11N M l ⊥,交x 轴于点1M ;过点1M 作12M N x ⊥轴,交直线l 于点2N ;过点2N 作22N M l ⊥,交x 轴于点2M ;过点2M 作23M N x ⊥轴,交直线l 于点3N ;…;按此作法进行下去,则点2021M 的坐标为_____________.【答案】(20212,0).【分析】根据题目所给的解析式,求出对应的1M 坐标,然后根据规律求出n M 的坐标,最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解:如图,过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==,MON ∠=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为(2,0)同理可以求出2M 的坐标为(4,0)同理可以求出3M 的坐标为(8,0)同理可以求出n M 的坐标为(2n ,0)∴2021M 的坐标为(20212,0)故答案为:(20212,0).【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系,解题的关键在于能够发现规律.8.(2020·湖南湘西?中考真题)在平面直角坐标系中,O 为原点,点(6,0)A ,点B 在y 轴的正半轴上,30ABO ∠=︒.矩形CODE 的顶点D ,E ,C 分别在,,OA AB OB 上,2OD =.将矩形CODE 沿x 轴向右平移,当矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为时,则矩形CODE 向右平移的距离为___________.【答案】2【解析】【分析】先求出点B 的坐标(0,3),得到直线AB 的解析式为:33y =+,根据点D 的坐标求出OC 的长度,利用矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为63列出关系式求出3D G '=,再利用一次函数关系式求出OD '=4,即可得到平移的距离.【详解】∵(6,0)A ,∴OA=6,在Rt △AOB 中,30ABO ∠=︒,∴63tan 30OA OB ==∴B (0,63),∴直线AB 的解析式为:33y =+,当x=2时,y=43∴E (2,3,即DE=3∵四边形CODE 是矩形,∴OC=DE=43设矩形CODE 沿x 轴向右平移后得到矩形C O D E '''',D E ''交AB 于点G ,∴D E ''∥OB ,∴△AD G '∽△AOB ,∴∠AGD '=∠AOB=30°,∴∠EGE '=∠AGD '=30°,∴GE ''=,∵平移后的矩形CODE 与ABO 重叠部分的面积为,∴五边形C O D GE '''的面积为∴12O D O C EE GE ''''''⋅-⋅=,∴122EE ''⨯-⨯=,∴2EE '=,∴矩形CODE 向右平移的距离DD '=2EE '=,故答案为:2.【点睛】此题考查了锐角三角函数,求一次函数的解析式,矩形的性质,图形平移的性质,是一道综合多个知识点的综合题型,且较为基础的题型.9.(2021·浙江金华市·中考真题)在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(,点B 在直线8:3l y x =上,过点B 作AB 的垂线,过原点O 作直线l 的垂线,两垂线相交于点C .(1)如图,点B ,C 分别在第三、二象限内,BC 与AO 相交于点D .①若BA BO =,求证:CD CO =.②若45CBO ∠=︒,求四边形ABOC 的面积.(2)是否存在点B ,使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似?若存在,求OB 的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)①见解析;②552;(2)存在,44+-4,9,1【分析】(1)①等腰三角形等角对等边,则BAD AOB ∠=∠,根据等角的余角相等和对顶角相等,得到CDO COD ∠=∠,根据等角对等边,即可证明CD CO =;②添加辅助线,过点A 作AH OB ⊥于点H ,根据直线l 的解析式和角的关系,分别求出线段AB 、BC 、OB 、OC 的长,则11+22ABC CBO ABOC S S S AB BC OB OC =+=⨯⨯ 四边形;(2)分多钟情况进行讨论:①当点C 在第二象限内,ACB CBO ∠=∠时;②当点C 在第二象限内,ACB BCO ∠=∠时;③当点C 在第四象限内,ACB CBO ∠=∠时.【详解】解:(1)①证明:如图1,∵BA BO =,∴12∠=∠.∴BA BC ⊥,∴2590∠+∠=︒.而45∠=∠,∴2490∠+∠=︒.∵OB OC ⊥,∴1390∠+∠=︒.∴34∠=∠,∴CD CO =.②如图1,过点A 作AH OB ⊥于点H .由题意可知3tan 18∠=,在Rt AHO 中,3tan 18AH OH ∠==.设3m AH =,8m OH =.∵222AH OH OA +=,∴()()22238m m +=,解得1m =.∴38AH OH ==,.∵4590CBO ABC ∠=︒∠=︒,,∴45ABH ∠=︒,∴3,tan 45sin 45AH AH BH AB ====︒︒∴5OB OH BH =-=.∵45OB OC CBO ⊥∠=︒,,∴tan 455,cos 45OB OC OB BC =⨯︒===︒,∴111522ABC S AB BC =⨯=⨯= ,112555222CBO S OB OC =⨯=⨯⨯= :∴552ABC CBO ABOC S S S =+= 四边形.(2)过点A 作AH OB ⊥于点H ,则有38AH OH ==,.①如图2,当点C 在第二象限内,ACB CBO ∠=∠时,设OB t=∵ACB CBO ∠=∠,∴//AC OB .又∵AH OB OC OB ⊥⊥,,∴3AH OC ==.∵AH OB AB BC ⊥⊥,,∴12902390∠+∠=︒∠+∠=︒,,∴13∠=∠,∴AHB BOC ∽,∴AH HB BO OC=,∴383t t -=,整理得2890t t -+=,解得4t =±∴4OB =±②如图3,当点C 在第二象限内,ACB BCO ∠=∠时,延长AB CO ,交于点G ,则ACB GCB ≌,∴AB GB =.又∵AH OB OC OB ⊥⊥,,∴90AHB GOB ∠=∠=︒,而ABH GBO ∠=∠,∴ABH GBO ≌,∴142OB HB OH ===③当点C 在第四象限内,ACB CBO ∠=∠时,AC 与OB 相交于点E ,则有BE CE =.(a)如图4,点B 在第三象限内.在Rt ABC 中,1290,90ACB CAB ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴2CAB∠=∠∴AE BE CE ==,又∵,AH OB OC OB ⊥⊥,∴90AHE COE ∠=∠=︒,而AEH CEO∠=∠∴AHE COE ≌,∴142HE OE OH ===∴225AE AH HE =+=,∴5BE =,∴9OB BE OE =+=(b)如图5,点B 在第一象限内.在Rt ABC 中90,90ACB CAB CBO ABE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴CAB ABE ∠=∠,∴AE BE CE ==.又∵,AH OB OC OB ⊥⊥,∴90AHE COE ∠=∠=︒而AEH CEO ∠=∠,∴AHE COE≌∴142HE OE OH ===∴5AE ==,∴5BE =,∴1OB BE OE =-=综上所述,OB 的长为44+4,9,1.【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识,综合性较强.在题中已知两个三角形相似时,要分情况考虑.10.(2020·河南中考真题)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图,点D 是弧BC 上一动点,线段8,BC cm =点A 是线段BC 的中点,过点C 作//CF BD ,交DA 的延长线于点F .当DCF ∆为等腰三角形时,求线段BD 的长度.小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题,请将下面的探究过程补充完整:()1根据点D 在弧BC 上的不同位置,画出相应的图形,测量线段,,BD CD FD 的长度,得到下表的几组对应值.操作中发现:①"当点D 为弧BC 的中点时, 5.0BD cm =".则上中a 的值是②"线段CF 的长度无需测量即可得到".请简要说明理由;()2将线段BD 的长度作为自变量x CD ,和FD 的长度都是x 的函数,分别记为CD y 和FD y ,并在平面直角坐标系xOy 中画出了函数FD y 的图象,如图所示.请在同一坐标系中画出函数CD y 的图象;()3继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当DCF ∆为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值.(结果保留一位小数).【答案】(1)①5.0;②见解析;(2)图象见解析;(3)图象见解析;3.5cm 或5.0cm 或6.3cm ;【解析】【分析】(1)①点D 为弧BC 的中点时,△ABD ≌△ACD ,即可得到CD=BD ;②由题意得△ACF ≌△ABD ,即可得到CF=BD ;(2)根据表格数据运用描点法即可画出函数图象;(3)画出CF y 的图象,当DCF ∆为等腰三角形时,分情况讨论,任意两边分别相等时,即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD 的近似值.【详解】解:(1)①点D 为弧BC 的中点时,由圆的性质可得:AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD ≌△ACD ,∴CD=BD=5.0,∴ 5.0a =;②∵//CF BD ,∴BDA CFA ∠=∠,∵BDA CFA BAD CAF AD AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACF ≌△ABD ,∴CF=BD ,∴线段CF 的长度无需测量即可得到;(2)函数CD y的图象如图所示:(3)由(1)知=CF BD x =,画出CF y 的图象,如上图所示,当DCF ∆为等腰三角形时,①CF CD =,BD 为CF y 与CD y 函数图象的交点横坐标,即BD=5.0cm ;②CF DF =,BD 为CF y 与DF y 函数图象的交点横坐标,即BD=6.3cm ;③CD DF =,BD 为CD y 与DF y 函数图象的交点横坐标,即BD=3.5cm ;综上:当DCF ∆为等腰三角形时,线段BD 长度的近似值为3.5cm 或5.0cm 或6.3cm .【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用,学会用描点法画出函数图象,熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键.11.(2020·河北中考真题)如图1和图2,在ABC ∆中,AB AC =,8BC =,3tan 4C =.点K 在AC 边上,点M ,N 分别在AB ,BC 上,且2AM CN ==.点P 从点M 出发沿折线MB BN-匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持APQ B∠=∠.(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;(2)若点P在MB上,且PQ将ABC∆的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;(3)设点P移动的路程为x,当03x≤≤及39x≤≤时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角APQ∠扫描APQ∆区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若94AK=,请直接..写出点K被扫描到的总时长.【答案】(1)3;(2)43MP=;(3)当03x≤≤时,24482525d x=+;当39x≤≤时,33355d x=-+;(4)23t s=【解析】【分析】(1)根据当点P在BC上时,PA⊥BC时PA最小,即可求出答案;(2)过A点向BC边作垂线,交BC于点E,证明△APQ∽△ABC,可得2APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,根据SS上下=45可得24=9APQABCS APS AB∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,可得23APAB=,求出AB=5,即可解出MP;(3)先讨论当0≤x≤3时,P在BM上运动,P到AC的距离:d=PQ·sinC,求解即可,再讨论当3≤x≤9时,P在BN上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x,根据d=CP·sinC即可得出答案;(4)先求出移动的速度=936=14,然后先求出从Q 平移到K 耗时,再求出不能被扫描的时间段即可求出时间.【详解】(1)当点P 在BC 上时,PA ⊥BC 时PA 最小,∵AB=AC ,△ABC 为等腰三角形,∴PA min =tanC·2BC =34×4=3;(2)过A 点向BC 边作垂线,交BC 于点E,S 上=S △APQ ,S 下=S 四边形BPQC ,∵APQ B ∠=∠,∴PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC ,∴AP AD PQ AB AC BC==,∴2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,当S S 上下=45时,24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴23AP AB =,AE=2BC ·tan 3C =,根据勾股定理可得AB=5,∴2253AP MP AB +==,解得MP=43;(3)当0≤x≤3时,P 在BM 上运动,P 到AC 的距离:d=PQ·sinC ,由(2)可知sinC=35,∴d=35PQ ,∵AP=x+2,∴25AP x PQ AB BC+==,∴PQ=285x +⨯,∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +,当3≤x≤9时,P 在BN 上运动,BP=x-3,CP=8-(x-3)=11-x ,d=CP·sinC=35(11-x )=-35x+335,综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩;(4)AM=2<AQ=94,移动的速度=936=14,①从Q 平移到K ,耗时:92414-=1秒,②P 在BC 上时,K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114,∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ,APQ B∠=∠∴∠QPC=∠BAP ,又∵∠B=∠C ,∴△ABP ∽△PCQ ,设BP=y ,CP=8-y ,AB BP PC CQ =,即51184y y =-,整理得y 2-8y=554-,(y-4)2=94,解得y 1=52,y 2=112,52÷14=10秒,112÷14=22秒,∴点K 被扫描到的总时长36-(22-10)-1=23秒.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,一次函数的应用,结合知识点灵活运用是解题关键.12.(2020·湖南衡阳?中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A 在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;(2)设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得9136S =若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =,理由见解析;(3)可能,3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析【解析】【分析】(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;(3)由已知求得点D (2,1),AC=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长.【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0),设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ,将点A 、C 坐标代入,得:402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+,当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1),将点H 代入122y x =-+,得:11(3)22t =--+,解得:t=1;(2)存在,143t =,使得9136S =.根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ,将点A 、B 坐标代入,得:402m n n -+=⎧⎨=⎩,解得:122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线AC 的函数解析式为122y x =+,当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3),当点H 落在AB 边上时,将点H 代入122y x =+,得:13(3)22t t -=-+,解得:133t =;此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=,∵169﹤9136,∴133﹤t ﹤5,如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得:1322t x -=+,解得:x=2t-10,∴点S(2t-10,t-3),将x=3-t 代入122y x =+得:11(3)2(7)22y t t =-+=-,∴点T 1(3,(7))2t t --,∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=1(7)2t -,211(7)24BET S BE ET t ∆==- ,21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-,由2527133424t t -+-=9136得:1143t =,29215t =﹥5(舍去),∴143t =;(3)可能,35≤t≤1或t=4.∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4,∴点D (2,1),AC=,易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动;当0﹤t ﹤12时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇;当12﹤t ﹤1时,12+12÷(1+4)=35秒,∴t =35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=15秒后,M 点不在正方行内部,则3455t ≤≤;当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处;当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=13秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),4533t ≤≤当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,当t=3时,点E 运动返回到点O 处,当t=4时,点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),综上,当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.13.(2020·黑龙江哈尔滨?中考真题)已知,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线AB 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的负半轴交于点B ,OA OB =,过点A 作x 轴的垂线与过点O 的直线相交于点C ,直线OC 的解析式为34y x =,过点C 作CM y ⊥轴,垂足为,9M OM =.(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图2,点N 在线段MC 上,连接ON ,点P 在线段ON 上,过P 点作PD x ⊥轴,垂足为D ,交OC 于点E ,若NC OM =,求PE OD的值;(3)如图3,在(2)的条件下,点F 为线段AB 上一点,连接OF ,过点F 作OF 的垂线交线段AC 于点Q ,连接BQ ,过点F 作x 轴的平行线交BQ 于点G ,连接PF 交x 轴于点H ,连接EH ,若,DHE DPH GQ FG ∠=∠-=,求点P 的坐标.【答案】(1)12y x =-;(2)94;(3)1236(,)55P .【解析】【分析】(1)根据题意求出A ,B 的坐标即可求出直线AB 的解析式;(2)求出N (3,9),以及ON 的解析式为y=3x ,设P (a ,3a ),表达出PE 及OD 即可解答;(3)如图,设直线GF 交CA 延长线于点R ,交y 轴于点S ,过点F 作FT ⊥x 轴于点T ,先证明四边形OSRA 为矩形,再通过边角关系证明△OFS ≌△FQR ,得到SF=QR ,进而证明△BSG ≌△QRG ,得到SG=RG=6,设FR=m ,根据GQ FG -=,以及在Rt △GQR 中利用勾股定理求出m 的值,得到FS=8,AR=4,证明四边形OSFT 为矩形,得到OT=FS=8,根据∠DHE=∠DPH ,利用正切函数的定义得到DE DH DH PD=,从而得到DH=32a ,根据∠PHD=∠FHT ,得到HT=2,再根据OT=OD+DH+HT ,列出关于a 的方程即可求出a 的值,从而得到点P 的坐标.【详解】解:(1)∵CM ⊥y 轴,OM=9,∴当y=9时,394x =,解得:x=12,∴C (12,9),∵CA ⊥x 轴,则A (12,0),∴OB=OA=12,则B (0,-12),设直线AB 的解析式为y=kx+b ,∴12012k b b +=⎧⎨=-⎩,解得:112k b =⎧⎨=-⎩,∴12y x =-;(2)由题意可得,∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°,∴四边形MOAC 为矩形,∴MC=OA=12,∵NC=OM ,∴NC=9,则MN=MC-NC=3,∴N (3,9)设直线ON 的解析式为1y k x =,将N (3,9)代入得:193k =,解得:13k =,∴y=3x ,设P (a ,3a )∵PD ⊥x 轴交OC 于点E ,交x 轴于点D ,∴3(,)4E a a ,(a,0)D ,∴PE=39344a a a -=,OD=a ,∴9944a PE OD a ==;(3)如图,设直线GF 交CA 延长线于点R ,交y 轴于点S ,过点F 作FT ⊥x 轴于点T ,∵GF ∥x 轴,∴∠OSR=∠MOA=90°,∠CAO=∠R=90°,∠BOA=∠BSG=90°,∠OAB=∠AFR ,∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°,则四边形OSRA为矩形,∴OS=AR,SR=OA=12,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=45°,∴∠FAR=90°-∠AFR=45°,∴∠FAR=∠AFR,∴FR=AR=OS,∵QF⊥OF,∴∠OFQ=90°,∴∠OFS+∠QFR=90°,∵∠SOF+∠OFS=90°,∴∠SOF=∠QFR,∴△OFS≌△FQR,∴SF=QR,∵∠SFB=∠AFR=45°,∴∠SBF=∠SFB,∴BS=SF=QR,∵∠SGB=∠RGQ,∴△BSG≌△QRG,∴SG=RG=6,设FR=m,则AR=m,∴QR=SF=12-m,∴=,-=,∵GQ FG∴66m m +-=+,∵QG 2=GR 2+QR 2,即222(6)6(12)m m +=+-,解得:m=4,∴FS=8,AR=4,∵∠OAB=∠FAR ,FT ⊥OA ,FR ⊥AR ,∴FT=FR=AR=4,∠OTF=90°,∴四边形OSFT 为矩形,∴OT=FS=8,∵∠DHE=∠DPH ,∴tan ∠DHE=tan ∠DPH ,∴DE DH DH PD=,由(2)可知,DE=34a ,PD=3a ,∴343a DH DH a=,解得:DH=32a ,∴tan ∠PHD=3232PD a DH a ==,∵∠PHD=∠FHT ,∴tan ∠FHT=2TF HT =,∴HT=2,∵OT=OD+DH+HT ,∴3282a a ++=,∴a=125,∴1236(,)55P 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题,涉及了一次函数解析式的求法,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点,第(3)问难度较大,解题的关键是正确做出辅助线,熟悉几何的基本知识,综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答.类型二与平行四边形有关14.(2022·山东泰安)如图,四边形ABCD 为平行四边形,则点B 的坐标为________.【答案】()2,1--【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论.【详解】解: 四边形ABCD 为平行四边形,∴DA CB ∥,即将D 点平移到A 的过程与将C 点平移到B 的过程保持一致,将D 点平移到A 的过程是::134x --=-(向左平移4各单位长度);:220y -=(上下无平移);∴将C 点平移到B 的过程按照上述一致过程进行得到()24,1B --,即()2,1B --,故答案为:()2,1--.【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移,掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键.15.(2022·甘肃武威)如图1,在菱形ABCD 中,60A ∠=︒,动点P 从点A 出发,沿折线AD DC CB →→方向匀速运动,运动到点B 停止.设点P 的运动路程为x ,APB △的面积为y ,y 与x 的函数图象如图2所示,则AB 的长为()AB .C .D .【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD 为等边三角形,它的面积为【详解】解:在菱形ABCD 中,∠A=60°,∴△ABD 为等边三角形,设AB=a ,由图2可知,△ABD 的面积为∴△ABD 的面积24a ==解得:a=故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据菱形的性质和函数图象,能根据图形得出正确信息是解此题的关键.16.(2020·黑龙江牡丹江?中考真题)如图,已知直线AB 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根,12OB OA =.请解答下列问题:(1)求点A ,B 的坐标;(2)直线EF 交x 轴负半轴于点E ,交y 轴正半轴于点F ,交直线AB 于点C .若C 是EF 的中点,6OE =,反比例函数k y x=图象的一支经过点C ,求k 的值;(3)在(2)的条件下,过点C 作CD OE ⊥,垂足为D ,点M 在直线AB 上,点N 在直线CD 上.坐标平面内是否存在点P ,使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形?若存在,请写出点P 的个数,并直接写出其中两个点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A (9,0),B (0,92);(2)-18;(3)存在5个,(9,12)或(9,-12)或(1,0)或(-7,4)或(-15,0).【解析】【分析】(1)解一元二次方程,得到点A 的坐标,再根据12OB OA =可得点B 坐标;(2)利用待定系数法求出直线AB 的表达式,根据点C 是EF 的中点,得到点C 横坐标,代入可得点C 坐标,根据点C 在反比例函数图像上求出k 值;(3)画出图形,可得点P 共有5个位置,分别求解即可.【详解】解:(1)∵线段OA 的长是方程27180x x --=的一个根,解得:x=9或-2(舍),而点A 在x 轴正半轴,∴A (9,0),∵12OB OA =,∴B (0,92);(2)∵6OE =,∴E (-6,0),设直线AB 的表达式为y=kx+b ,将A 和B 代入,得:0992k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩,解得:1292k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴AB 的表达式为:1922y x =-+,∵点C 是EF 的中点,∴点C 的横坐标为-3,代入AB 中,y=6,则C (-3,6),∵反比例函数k y x=经过点C ,则k=-3×6=-18;(3)存在点P ,使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形,如图,共有5种情况,在四边形DM 1P 1N 1中,M 1和点A 重合,∴M 1(9,0),此时P 1(9,12);在四边形DP 3BN 3中,点B 和M 重合,可知M 在直线y=x+3上,联立:31922y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得:14x y =⎧⎨=⎩,∴M (1,4),∴P 3(1,0),同理可得:P 2(9,-12),P 4(-7,4),P 5(-15,0).故存在点P 使以D ,M ,N ,P 为顶点的四边形是正方形,点P 的坐标为P 1(9,12),P 2(9,-12),P 3(1,0),P 4(-7,4),P 5(-15,0).【点睛】本题考查了解一元二次方程,一次函数表达式,正方形的性质,反比例函数表达式,难度较大,解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.类型三最值问题17.(2020·江苏宿迁?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90°,得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为()A.455B C.523D.655【答案】B【解析】【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形,求出旋转后Q′的坐标,然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】解:作QM⊥x轴于点M,Q′N⊥x轴于N,设Q(m,122m-+),则PM=1m﹣,QM=122m-+,∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°,∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′,∴∠QPM=∠PQ′N ,在△PQM 和△Q′PN 中,'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PQM ≌△Q′PN(AAS),∴PN=QM=122m -+,Q′N=PM=1m ﹣,∴ON=1+PN=132m -,∴Q′(132m -,1m ﹣),∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5,当m=2时,OQ′2有最小值为5,∴OQ′故选:B .【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的性质,三角形全等的判定和性质,坐标与图形的变换-旋转,二次函数的性质,勾股定理,表示出点的坐标是解题的关键18.(2020·湖南永州?中考真题)已知点()00,P x y 和直线y kx b =+,求点P 到直线y kx b =+的距离d可用公式d =C 的圆心C 的坐标为()1,1,半径为1,直线l 的表达式为26y x =-+,P 是直线l 上的动点,Q 是C 上的动点,则PQ 的最小值是()A .355B .3515-C .6515-D .2【答案】B 【解析】【分析】过点C 作直线l 的垂线,交C 于点Q ,交直线l 于点P ,此时PQ 的值最小,利用公式计算即可.【详解】过点C 作直线l 的垂线,交C 于点Q ,交直线l 于点P ,此时PQ 的值最小,如图,∵点C 到直线l 的距离()00222116355112kx y b d k -+-⨯-+==++-,C 半径为1,∴PQ 的最小值是3515-,故选:B.【点睛】此题考查公式的运用,垂线段最短的性质,正确理解公式中的各字母的含义,确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.A B-,在x19.(2020·辽宁鞍山?中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知(3,6),(2,2)CD=,线段CD在x轴上平移,当轴上取两点C,D(点C在点D左侧),且始终保持1+的值最小时,点C的坐标为________.AD BC【答案】(-1,0)【解析】【分析】作点B关于x轴的对称点B′,将B′向右平移1个单位得到B″,连接AB″,与x轴交于点D,过点B′作AB″的平行线,与x轴交于点C,得到此时AD+BC的值最小,求出直线AB″,得到点D坐标,从而可得点C坐标.【详解】解:如图,作点B关于x轴的对称点B′,将B′向右平移1个单位得到B″,连接AB″,与x轴交于点D,过点B′作AB″的平行线,与x轴交于点C,可知四边形B′B″DC为平行四边形,则B′C=B″D,由对称性质可得:BC=B′C,∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″,则此时AB″最小,即AD+BC最小,∵A(3,6),B(-2,2),∴B′(-2,-2),∴B″(-1,-2),设直线AB″的表达式为:y=kx+b,则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩,解得:2kb=⎧⎨=⎩,∴直线AB″的表达式为:y=2x,令y=0,解得:x=0,即点D坐标为(0,0),∴点C坐标为(-1,0),故答案为:(-1,0).【点睛】本题考查了轴对称的性质,最短路径问题,一次函数表达式,解题的关键是找到AD+BC最小时的情形20.(2020•连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A,点B是⊙O上一动点,点C为弦AB的中点,直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E,则△CDE面积的最小值为.【分析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.求出MN,当点C与C′重合时,△C′DE的面积最小.【解析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=12OB=1,∴点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E,∴D(4,0),E(0,﹣3),∴OD =4,OE =3,∴DE =32+42=5,∵∠MDN =∠ODE ,∠MND =∠DOE ,∴△DNM ∽△DOE ,∴MN OE=DM DE,∴MN 3=35,∴MN =95,当点C 与C′重合时,△C′DE 的面积最小,最小值=12×5×(95−1)=2,故答案为2.21.(2020·江苏连云港?中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ,点B 是O 上一动点,点C 为弦AB 的中点,直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ,则CDE △面积的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】如图,连接OB ,取OA 的中点M ,连接CM ,过点M 作MN ⊥DE 于N .首先证明点C 的运动轨迹是以M 为圆心,1为半径的⊙M ,设⊙M 交MN 于C′.求出MN ,当点C 与C′重合时,△C′DE的面积最小.【详解】解:如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=12OB=1,∴点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,∴D(4,0),E(0,-3),∴OD=4,OE=3,∴5 DE===,∵∠MDN=∠ODE,∠MND=∠DOE,∴△DNM∽△DOE,∴MN DM OE DE=,∴3 35 MN=,∴95 MN=,当点C 与C′重合时,△C′DE 的面积最小,△C′DE 的面积最小值1951225⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭,故答案为2.【点睛】本题考查三角形的中位线定理,三角形的面积,一次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造三角形的中位线解决问题,属于中考常考题型.22.(2020·北京中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1,A ,B 为⊙O 外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB ,得到⊙O 的弦A B ''(,A B ''分别为点A ,B 的对应点),线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ,则这两条弦的位置关系是;在点1234,,,P P P P 中,连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”;(2)若点A ,B 都在直线y =+上,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ,求1d 的最小值;(3)若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ,直接写出2d 的取值范围.【答案】(1)平行,P 3;(2)32;(3)233922d ≤≤。
几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)
几何综合--中考数学抢分秘籍(全国通用)几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现,考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题,一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识,以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题:①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题;③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.题型1:线段最值问题①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题解题模板:1.(2021秋•白云区校级月考)如图,正方形ABCD的边长为4,⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切,则点A到⊙O上的点的距离的最大值为()A.B.C.D.【分析】由题意画出符合题意的图形,当⊙O与BC,CD相切时,点A到⊙O上的点的距离取得最大值,利用勾股定理即可求得结论.【解答】解:由题意,当⊙O与BC,CD相切时,点A到⊙O上的点的距离取得最大值,如图,由对称性可知:圆心O在AC上.AC==4.∵BC与⊙O相切于点E,∴OE⊥EC.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°.∴△OEC为等腰直角三角形.∴OC=OE=.∴CG=OC﹣OG=﹣1.∴AG=AC﹣CG=4﹣(﹣1)=3+1.故选:C.【点评】本题主要考查了切线的性质,正方形的性质,直线和圆的位置关系,勾股定理,连接OE,利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键.【变式1-1】(2020•遵义)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点(点E与点A、C不重合),连接DE,作EF⊥DE交射线BA于点F,过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N,作射线DF交射线CA于点G.(1)求证:EF=DE;(2)当AF=2时,求GE的长.【分析】(1)要证明EF=DE,只要证明△DME≌△ENF即可,然后根据题目中的条件和正方形的性质,可以得到△DME≌△ENF的条件,从而可以证明结论成立;(2)根据勾股定理和三角形相似,可以得到AG和CG、CE的长,然后即可得到GE的长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,∴∠ECM=45°,∵MN∥BC,∠BCM=90°,∴∠NMC+∠BCM=180°,∠MNB+∠B=180°,∴∠NMC=90°,∠MNB=90°,∴∠MEC=∠MCE=45°,∠DME=∠ENF=90°,∴MC=ME,∵CD=MN,∴DM=EN,∵DE⊥EF,∠EDM+∠DEM=90°,∴∠DEF=90°,∴∠DEM+∠FEN=90°,∴∠EDM=∠FEN,在△DME和△ENF中,∴△DME≌△ENF(ASA),∴EF=DE;(2)解:如图1所示,由(1)知,△DME≌△ENF,∴ME=NF,∵四边形MNBC是矩形,∴MC=BN,又∵ME=MC,AB=4,AF=2,∴BN=MC=NF=1,∵∠EMC=90°,∴CE=,∵AF∥CD,∴△DGC∽△FGA,∴,∴,∵AB=BC=4,∠B=90°,∴AC=4,∵AC=AG+GC,∴AG=,CG=,∴GE=GC﹣CE==;如图2所示,同理可得,FN=BN,∵AF=2,AB=4,∴AN=1,∵AB=BC=4,∠B=90°,∴AC=4,∵AF∥CD,∴△GAF∽△GCD,∴,即,解得,AG=4,∵AN=NE=1,∠ENA=90°,∴AE=,∴GE=GA+AE=5.综上所述:GE的长为:,5.【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.2.(2022春•广陵区期末)如图,在菱形ABCD中,AB=AC=10,对角线AC、BD相交于点O,点M在线段AC上,且AM=2,点P为线段BD上的一个动点,则MP+PB的最小值是4.【分析】过P点作PH⊥BC于H,过M点作MN⊥BC于N,如图,根据菱形的性质得到AB=BC,BO 平分∠ABC,AO⊥BD,再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC=∠ACB=60°,则∠OBC=30°,所以PH=BP,则MP+PB=MP+PH,所以MP+PH的最小值为MN的长,然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可.【解答】解:过P点作PH⊥BC于H,过M点作MN⊥BC于N,如图,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,BO平分∠ABC,AO⊥BD,∵AB=AC=10,∴AB=AC=BC=10,∴△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠OBC=30°,∴PH=BP,∴MP+PB=MP+PH,当M、P、H共线时,MP+PH的值最小,即MP+PH的最小值为MN的长,∵AM=2,∴CM=10﹣2=8,在Rt△MNC中,∵∠MCN=60°,∴CN=CM=4,∴MN=CN=4,即MP+PB的最小值为4.故答案为:.【点评】本题考查了胡不归问题:利用垂线段最短解决最短路径问题,把PB转化为PH是解决问题的关键.也考查了菱形的性质和等边三角形的性质.【变式2-1】(2021•郴州)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,sin A=,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+PB的最小值为.【分析】过点P作PE⊥AB于点E,过点C作CH⊥AB于点H,首先得出BD=4,AD=3,根据sin∠ABD=,得EP=,则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值,即求CH的长,再通过等积法即可解决问题.【解答】解:过点P作PE⊥AB于点E,过点C作CH⊥AB于点H,∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∵sin A==,AB=5,∴BD=4,由勾股定理得AD=,∴sin∠ABD=,∴EP=,∴PC+PB=PC+PE,即点C、P、E三点共线时,PC+PB最小,∴PC+PB的最小值为CH的长,=,∵S△ABC∴4×4=5×CH,∴CH=.∴PC+PB的最小值为.故答案为:.【点评】本题主要考查了锐角三角函数,垂线段最短、勾股定理等知识,将PC+PB的最小值转化为求CH的长,是解题的关键.3.(2022秋•朝阳区校级月考)如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,且=,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为.【分析】根据已知条件得到AB=OB=4,∠AOB=45°,求得BC=3,OD=BD=2,得到D(2,0),C(4,3),作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,则此时,四边形PDBC周长最小,E (0,2),求得直线EC的解析式为y=x+2,解方程组即可得到结论.【解答】解:∵∠OBA=90°,A(4,4),∴AB=OB=4,∠AOB=45°,∵=,点D为OB的中点,∴BC=3,OD=BD=2,∴D(2,0),C(4,3),作D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,则此时,四边形PDBC周长最小,E(0,2),∵直线OA的解析式为y=x,设直线EC的解析式为y=kx+b,则,解得:,∴直线EC的解析式为y=x+2,解,得,∴P(,),故答案为:.【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,等腰直角三角形的性质,正确的找到P点的位置是解题的关键.【变式3-1】(2021•聊城)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A,C分别在x 轴,y轴上,B,D两点坐标分别为B(﹣4,6),D(0,4),线段EF在边OA上移动,保持EF=3,当四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为(﹣,0).【分析】在BC上截取BH=3,可证四边形BHEF是平行四边形,可得BF=EH,由对称性可得DE=D'E,则四边形BDEF的周长=EH+ED'+BD+EF,由EF和BD是定值,则当EH+D'E有最小值时,四边形BDEF 的周长有最小值,即当点E,点H,点D'共线时,EH+D'E有最小值,利用待定系数法可求HD'解析式,即可求解.【解答】解:在BC上截取BH=3,作点D关于x轴的对称点D',连接D'H交AO于点E,∴BH=EF=3,BC∥AO,∴四边形BHEF是平行四边形,∴BF=EH,∵点D与点D'关于x轴对称,∴DE=D'E,点D'坐标为(0,﹣4),∵四边形BDEF的周长=EF+BF+BD+DE,∴四边形BDEF的周长=EH+ED'+BD+EF,∵EF和BD是定值,∴当EH+D'E有最小值时,四边形BDEF的周长有最小值,∴当点E,点H,点D'共线时,EH+D'E有最小值,∵点B(﹣4,6),∴点H(﹣1,6),设直线D'H的解析式为y=kx+b,则,解得:,∴直线D'H的解析式为y=﹣10x﹣4,∴当y=0时,x=﹣,∴点E(﹣,0),故答案为:(﹣,0).【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,坐标与图形,平行四边形的判定和性质,一次函数的性质等知识,确定点E的位置是解题的关键.4.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上且CE=1,长为的线段MN在AC上运动,当四边形BMNE的周长最小时,则tan∠MBC的值是.【分析】根据题意得出作EF∥AC且EF=,连接DF交AC于M,在AC上截取MN=,此时四边形BMNE的周长最小,进而利用相似三角形的判定与性质得出答案.【解答】解:作EF∥AC且EF=,连接DF交AC于M,在AC上截取MN=,延长DF交BC于P,作FQ⊥BC于Q,作出点E关于AC的对称点E′,则CE′=CE=1,将MN平移至E′F′处,则四边形MNE′F′为平行四边形,则当BM+EN=BM+FM=BF′时四边形BMNE的周长最小,由∠FEQ=∠ACB=45°,可求得FQ=EQ=1,∵∠DPC=∠FPQ,∠DCP=∠FQP,∴△PFQ∽△PDC,∴=,∴=,解得:PQ=,∴PC=,由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC==.故答案为.【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质,得出M,N的位置是解题关键.【变式4-1】如图,已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A(1,3),B(m,0),C(m+2,0),D(5,1),当四边形ABCD的周长最小时,m的值为.【分析】因为AD,BC的长度都是固定的,所以求出AB+CD的长度就行了.问题就是AB+CD什么时候最短.把D点向左平移2个单位到D′点;作D′关于x轴的对称点D″,连接AD″,交x轴于P,从而确定C点位置,此时AB+CD最短.设直线AD″的解析式为y=kx+b,待定系数法求直线解析式.即可求得m的值.【解答】解:将C点向左平移2单位与B重合,点D向左平移2单位到D′(3,1),作D′关于x轴的对称点D″,根据作法知点D″(3,﹣1),设直线AD″的解析式为y=kx+b,则,解得k=﹣2,b=5.∴直线AD″的解析式为y=﹣2x+5.当y=0时,x=,即B(,0),m=.故答案为:.【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题,关键是熟悉关于x轴的对称点,两点之间线段最短等知识.题型2:面积平分问题解题模板:技巧精讲1:利用中线平分图形面积的方法2.利用对称性平分图形面积的方法5.(1)问题提出:如图(1),在直角△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点D为AC上一点且AD=2,过点D作直线DE交△ABC于点E,使得△ABC被分成面积相等的两部分,则DE的长为2.(2)类比发现:如图(2),五边形ABOCD,各顶点坐标为:A(3,4),B(0,2),O(0,0),C (4,0),D(4,2)请你找出一条经过顶点A的直线,将五边形ABOCD分为面积相等的两部分,求出该直线对应的函数表达式.(3)如图(3),王叔叔家有一块四边形菜地ABCD,他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD 分成面积相等的两部分,分别种植不同的农作物,已知AB=AD=200米,BC=DC=200米,∠BAD =90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分?若存在,求出平分该四边形面积的线段长:若不存在,请说明理由.【分析】(1)如图1中,取AC的中点F,连接BF,BD,作FE∥BD交BC于E,连接DE交BF于O.证明DE平分△ABC的面积,利用平行线分线段成比例定理求出CE即可解决问题.(2)如图2中,连接AO、AC,作BE∥AO交x轴于E,DF∥AC交x轴于F,EF的中点为M,则直线AM平分五边形ABCOD的面积,求出点M的坐标即可解决问题.(3)先求出四边形ABCD的面积,即可得出四边形ABQD的面积,从而求出QM,再用平行线分线段成比例定理求出BM,即可得出DM,最后用勾股定理即可.【解答】解:(1)如图1中,取AC的中点F,连接BF,BD,作FE∥BD交BC于E,连接DE交BF 于O.∵AF=FC,=S△BFC,∴S△AFB∵BD∥EF,=S△BDF,∴S△BDE=S△BOE,∴S△DFO=S四边形ABED,∴S△ECD∴DE平分△ABC的面积,∵AC=8,AD=2,∴AF=CF=4,DF=2,∵EF∥BD,∴=,∴=,∴CE=4,∴DE===2,故答案为2.(2)如图2中,连接AO、AC,作BE∥AO交x轴于E,DF∥AC交x轴于F,EF的中点为M,则直线AM平分五边形ABCOD的面积,∵直线AO的解析式为y=x,∴直线BE解析式为y=x+2,∴点E坐标(﹣,0),∵直线AC的解析式为y=﹣4x+16,∴直线DF的解析式为y=﹣4x+18,∴点F坐标为(,0)∴EF的中点M坐标为(,0),∴直线AM的解析式为:y=x﹣4.(3)如图3中,连接BD,AC交于点O.在BC上取一点Q,过Q作QM⊥BD,∵AB=AD=200、BC=CD=200,∴AC是BD的垂直平分线,在Rt△ABD中,BD=AB=200,∴DO=BO=OA=100,在Rt△BCO中,OC==300,=S△ABD+S△CBD=BD×(AO+CO)=×200×(100+300)=80000,∴S四边形ABCD∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分,=S四边形ABCD=40000,∴S四边形ABQD=×BD×OA=20000,∵S△ABD=BD×QM=×200×QM=100QM=S四边形ABQD﹣S△ABD=20000,∴S△QBD∴QM=100,∵QM∥CO.∴=,∴=,∴BM=,∴DM=BD﹣BM=,在Rt△MQD中,DQ===.【点评】此题是一次函数综合题,主要考查了等腰三角形的性质,三角形的中线,几何作图,勾股定理,等积问题等知识,解题的关键是把多边形转化为三角形是解决问题的关键,记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形.【变式5-1】(2022•江北区模拟)新知学习:若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分,我们把这条线段叫做该平面图形的二分线.解决问题:(1)①三角形的中线、高线、角平分线中,一定是三角形的二分线的是三角形的中线;②如图1,已知△ABC中,AD是BC边上的中线,点E,F分别在AB,DC上,连接EF,与AD交于=S△DGF,则EF是(填“是”或“不是”)△ABC的一条二分线.点G.若S△AEG(2)如图2,四边形ABCD中,CD平行于AB,点G是AD的中点,射线CG交射线BA于点E,取EB 的中点F,连接CF.求证:CF是四边形ABCD的二分线.(3)如图3,在△ABC中,AB=CB=CE=7,∠A=∠C,∠CBE=∠CEB,D,E分别是线段BC,AC上的点,且∠BED=∠A,EF是四边形ABDE的一条二分线,求DF的长.【分析】(1)①由平面图形的二分线定义可求解;②由面积的和差关系可得S△BEF=S△ABD=S△ABC,可得EF是△ABC的一条二分线;=S△CEF,由AB∥DC,G是AD的中点,证明△CDG≌△EAG,所(2)根据EB的中点F,所以S△CBF=S△CEF,所以S四边形AFCD=S△CBF,可得CF是四边形ABCD的二分线;以S四边形AFCD=S△DEC=S△ABE,可得S△HED=(3)延长CB使BH=CD,连接EH,通过全等三角形的判定可得S△BEHS四边形ABDE,即可得DF=DH=.【解答】解:(1)∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分;∴三角形的中线是三角形的二分线,故答案为三角形的中线②∵AD是BC边上的中线=S△ACD=S△ABC,∴S△ABD=S△DGF,∵S△AEG+S△AEG=S四边形BDGE+S△DGF,∴S四边形BDGE=S△ABD=S△ABC,∴S△BEF∴EF是△ABC的一条二分线故答案为:是(2)∵EB的中点F,=S△CEF,∴S△CBF∵AB∥DC,∴∠E=∠DCG,∵G是AD的中点,∴DG=AG,在△CDG和△EAG中,∴△CDG≌△EAG(AAS),=S△DCG,∴S△AEG=S△CEF,∴S四边形AFCD=S△CBF,∴S四边形AFCD∴CF是四边形ABCD的二分线.(3)如图,延长CB使BH=CD,连接EH,AB=CB=CE=7,∠A=∠C,∠CBE=∠CEB,D,E分别是线段BC,AC上的点,且∠BED=∠A,∵BC=7∴BD+CD=7∴BD+BH=7=HD∵∠BED=∠A,∠BED+∠DEC=∠A+∠ABE∴∠ABE=∠CED,且AB=CE=7,∠A=∠C∴△ABE≌△CED(ASA)=S△EDC,∴AE=CD,BE=DE,∠AEB=∠EDC,S△ABE∴AE=BH,∵∠CBE=∠CEB∴∠AEB=∠EBH∴∠EBH=∠EDC,且BE=DE,BH=CD∴△BEH≌△DEC(SAS)、=S△DEC,∴S△BEH=S△DEC=S△ABE,∴S△BEH=S四边形ABDE,∴S△HED∵EF是四边形ABDE的一条二分线,=S四边形ABDE=S△HED,∴S△DEF∴DF=DH=【点评】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,三角形中线的性质,平行线的性质,理解新定义是本题的关键.【变式5-2】(2021•西安一模)问题提出(1)如图①,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,在BC上找一点D,使得AD将△ABC分成面积相等的两部分,作出线段AD,并求出AD的长度;问题探究(2)如图②,点A、B在直线a上,点M、N在直线b上,且a∥b,连接AN、BM交于点O,连接AM、BN,试判断△AOM与△BON的面积关系,并说明你的理由;解决问题(3)如图③,刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场,在平面直角坐标系中,O(0,0)、A(4,0)、B(0,4)、C(6,6),是否在边AC上存在一点P,使得过B、P两点修一道笔直的墙(墙的宽度不计),将这个养鸡场分成面积相等的两部分?若存在,请求出直线BP的表达式;若不存在,请说明理由.【分析】(1)当点D是BC的中点时,AD将△ABC分成面积相等的两部分,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般,可求出AD的长度;(2)根据同底等高的三角形面积相等,再减去相等的部分,就可以得出△AOM与△BON的面积相等;(3)连接AB,过点O作AB的平行线,交CA的延长线于点F,交OA于点G,则△OBG的面积等于△AFG的面积,则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积,取CF的中点P,求出点P的坐标,即可求出直线BP的表达式.【解答】解:(1)如图①,取BC边的中点D,连接AD,则线段AD即为所求.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC=,∵点D为BC的中点,∴AD=BC=.=S△BON,理由如下:(2)S△AOM=S△ABM﹣S△AOB,S△BON=S△ABN﹣S△AOB,由图可知,S△AOM如图②,过点M作MD⊥AB于点D,过点N作NE⊥AB于点E,∴MD∥NE,∠MDE=90°,又∵MN∥DE,∴四边形MDEN是矩形,∴MD=NE,=,S△ABN=,∵S△ABM=S△ABN,∴S△ABM=S△BON.∴S△AOM(3)存在,直线BP的表达式为:y=x+4.如图③,连接AB,过点O作OF∥AB,交CA的延长线于点F,交OA于点G,=S△AFG,由(2)的结论可知,S△OBG=S△BCF,∴S四边形OACB取CF的中点P,作直线BP,直线BP即为所求.∵A(4,0),B(0,4),C(6,6),∴线段AB所在直线表达式为:y=﹣x+4,线段AC所在直线的表达式为:y=3x﹣12,∴直线OF的表达式为:y=﹣x,联立,解得,∴F(3,﹣3),∵点P是CF的中点,∴P(,),∴直线BP的表达式为:y=x+4.【点评】主要考查了勾股定理,中点的性质,面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容,熟练掌握勾股定理的内容,中点性质的应用,作出辅助线,进行面积的转化是解答本题的关键.题型3:面积最值问题6.(2019•无锡)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF,连接BE,则△BDE面积的最大值为8.得到BM=CM=2,易证△AMB∽△CGB,求得GB=8,设BD=x,则DG=8﹣x,易证△EDH≌△DCG,EH=DG=8﹣x,所以S△BDE===,当x=4时,△BDE面积的最大值为8.【解答】解:过点C作CG⊥BA于点G,作EH⊥AB于点H,作AM⊥BC于点M.∵AB=AC=5,BC=4,∴△AMB∽△CGB,∴,∴GB=8,设BD=x,则DG=8﹣x,∵ED=DC,∠EHD=∠DGC,∠HED=∠GDC,∴△EDH≌△DCG(AAS),∴EH=DG=8﹣x,===,∴S△BDE当x=4时,△BDE面积的最大值为8.故答案为8.【点评】本题考查了正方形,熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.;【变式6-1】(1)如图①,若BC=6,AC=4,∠C=60°,求△ABC的面积S△ABC;(2)如图②,若BC=a,AC=b,∠C=α,求△ABC的面积S△ABC(3)如图③,四边形ABCD,AC=m,BD=n,对角线AC交于O点,他们所成锐角为β,求四边形ABCD .的面积S四边形ABCD【分析】(1)过A作AM⊥BC于M,解直角三角形求出AM,再根据三角形面积公式求出即可;(2)过A作AM⊥BC于M,解直角三角形求出AM,再根据三角形面积公式求出即可;(3)过A作AE⊥BD于E,过C作CF⊥BD于F,解直角三角形求出AE、CF,根据三角形面积公式求出即可.【解答】解:(1)如图①,过A作AM⊥BC于M,则∠AMC=90°,∵∠C=60°,AC=4,∴AM=AC×sin60°=4×=2,∵BC=6,=×BC×AM=×6×2=6;∴△ABC的面积S△ABC(2)如图②,过A作AM⊥BC于M,则∠AMC=90°,∵∠C=α,AC=b,∴AM=AC×sinα=b×sinα=b sinα,∵BC=a,=×BC×AM=×a×b sinα=ab sinα;∴△ABC的面积S△ABC(3)如图3,过A作AE⊥BD于E,过C作CF⊥BD于F,BD=n,OA+OC=m,∵AC、BD夹角为β,∴AE=OA•sinβ,CF=OC•sinβ,=S△ABD+S△BDC∴S四边形ABCD=BD•AE+BD•CF=BD•(AE+CF)=BD•(OA•sinβ+OC•sinβ)=BD•AC•sinβ=mn sinβ.=mn sinβ.即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形,三角形的面积的应用,此题比较难,解题时关键要找对思路,即原四边形的高已经发生了变化,只要把高求出来,一切将迎刃而解.【变式6-2】如图,正方形ABCD的边长为2,动点E从点A出发,沿边AB﹣BC向终点C运动,以DE为边作正方形DEFG(点D、E、F、G按顺时针方向排列).设点E运动的速度为每秒1个单位,运动的时间为x秒.(1)如图1,当点E在AB上时,求证:点G在直线BC上;(2)设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式;(3)直接写出整个运动过程中,点F经过的路径长.【分析】(1)由正方形的性质得出AD=CD,DE=DG,∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°,证出∠ADE=∠CDG,由SAS证明△ADE≌△CDG,得出∠DCG=∠DAE=90°,证出∠DCG+∠DCB=180°,即可得出结论;(2)分情况讨论:①当点E在AB边上时,过点E作EK∥AD,交CD于点K,则AC∥EK∥AD,证明△ADE∽△BEH,由相似三角形的性质得出=,求出BH=,S=正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积,即可得出结果;②当点E在BC边上时,S=△DEC的面积=4﹣x;(3)由(1)知,当点E在AB上时,点G在直线BC上,当点E与B点重合时,点F的位置如图2所示:点F运动的路径为BF;同理,点E在BC上时,当点E与C点重合时,点F运动的路径为FG;由勾股定理求出BD,即可得出结果.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形,∴AD=CD,DE=DG,∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=90°,∴∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴∠DCG=∠DAE=90°,∵∠DCB=90°,∴∠DCG+∠DCB=180°,∴点G在直线BC上;(2)解:①当点E在AB边上时,过点E作EK∥AD,交CD于点K,如图1所示:则AC∥EK∥AD,∴∠HEK=∠EHB,∠DEK=∠EDA,∵∠EHB+∠BEH=90°,∠EDA+∠AED=90°,∠HEK+∠DEK=90°,∴∠EDA=∠BEH,∠AED=∠EHB,∴△ADE∽△BEH,∴=,即=,∴BH=,S=正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积=2×2﹣×2×x﹣×(2﹣x)×=;②当点E在BC边上时,S=△DEC的面积=×2×(4﹣x)=4﹣x;(3)解:由(1)知,当点E在AB上时,点G在直线BC上,当点E与B点重合时,点F的位置如图2所示:点F运动的路径为BF;同理,点E在BC上时,当点E与C点重合时,点F运动的路径为FG;∵BD===2,∴BF+FG=2BD=4,∴点F运动的路径长为4.【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.1.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠BCD=60°,连接BD,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且AE=BF,连接DE、DP、EF.(1)如图①,当点E是边AB的中点时,求∠EDF的度数;(2)如图②,当点E是边AB上任意一点时,∠EDF的度数是否发生改变?若不改变,请证明;若发生改变,请说明理由;(3)若点P是线段BD上一动点,求PF+DP的最小值.【分析】(1)由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=6,∠BCD=∠BAD=60°,可证△ABD,△BCD 是等边三角形,由等边三角形的性质可证DE=DF,∠EDF=60°,可得结论;(2)证明△ADE≌△BDF(SAS),根据全等三角形的性质得∠ADE=∠BDF,由角的和差即可得∠EDF =∠ADB=60°;(3)过点P作PG⊥AD于点G,连接PF,过点F作FG′⊥AD于点G′,交BD于点P′,可得GP=DP•sin60°=DP,则PF+DP=PF+GP,当点F、P、G三点共銭,且FG⊥AD时,PF+GP有最小值,最小值为FG′的长,过点D作DH⊥BC于点H,则DH=FG',PF+DP的最小值即为DH的长,由△BDC是等边三角形可得DH=CD•sin60°=3,即可求得PF+DP的最小值.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,边长为6,∴AB=BC=CD=AD=6,∠BCD=∠BAD=60°,∴△ABD,△BCD是等边三角形,∵点E是边AB的中点,AE=BF,∴点F是边BC的中点,∴∠ADE=∠BDE=∠BDF=∠CDF=30°,∴∠EDF=∠BDE+∠BDF=60°;(2)∠EDF的度数不改变,证明:△ABD,△BCD是等边三角形,∴AD=BD,∠DAB=∠DBC=60°,∵AE=BF,∴△ADE≌△BDF(SAS),∴∠ADE=∠BDF,∴∠EDF=∠ADB=60°;(3)如图,过点P作PG⊥AD于点G,连接PF,过点F作FG′⊥AD于点G′,交BD于点P′,∵∠ADB=60°,∴GP=DP•sin60°=DP,∴PF+DP=PF+GP,∴当点F、P、G三点共銭,且FG⊥AD时,PF+GP有最小值,最小值为FG′的长,过点D作DH⊥BC于点H,∵四边形ABCD是菱形,∴DH=FG',∴PF+DP的最小值即为DH的长,∵DH⊥BC,△BDC是等边三角形,∴DH=CD•sin60°=3,∴PF+DP的最小值为3.【点评】本题考查了四边形的综合应用,掌握菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,最短路径等知识,添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是解本题的关键.2.(2022•连云港)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC.(1)求证:四边形DBCE为菱形;(2)若△DBC是边长为2的等边三角形,点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动,求PM+PN的最小值.【分析】(1)先证明四边形DBCE是平行四边形,再由BE⊥DC,得四边形DBCE是菱形;(2)作N关于BE的对称点N',过D作DH⊥BC于H,由菱形的对称性知,点N关于BE的对称点N'在DE上,可得PM+PN=PM+PN',即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长,即PM+PN的最小值为DH的长,在Rt△DBH中,可得DH=DB•sin∠DBC=,即可得答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC,∵E在AD的延长线上,∴DE∥BC,∴四边形DBCE是平行四边形,∵BE⊥DC,∴四边形DBCE是菱形;(2)解:作N关于BE的对称点N',过D作DH⊥BC于H,如图:由菱形的对称性知,点N关于BE的对称点N'在DE上,∴PM+PN=PM+PN',∴当P、M、N'共线时,PM+PN'=MN'=PM+PN,∵DE∥BC,∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长,即PM+PN的最小值为DH的长,在Rt△DBH中,∠DBC=60°,DB=2,∴DH=DB•sin∠DBC=2×=,∴PM+PN的最小值为.【点评】本题考查平行四边形性质及应用,涉及菱形的判定,等边三角形性质及应用,对称变换等,解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法.3.(2014•海南)如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(﹣1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式;(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)首先求出四边形MEFP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标;(3)四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值.如答图3所示,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1);作点M1关于x 轴的对称点M2,则M2(1,﹣1);连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.【解答】方法一:解:(1)∵对称轴为直线x=2,∴设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+k.将A(﹣1,0),C(0,5)代入得:,解得,∴y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5.(2)当a=1时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.设P(x,﹣x2+4x+5),如答图2,过点P作PN⊥y轴于点N,则PN=x,ON=﹣x2+4x+5,∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4.S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=(PN+OF)•ON﹣PN•MN﹣OM•OE=(x+2)(﹣x2+4x+5)﹣x•(﹣x2+4x+4)﹣×1×1=﹣x2+x+=﹣(x﹣)2+∴当x=时,四边形MEFP的面积有最大值为,把x=时,y=﹣(﹣2)2+9=.此时点P坐标为(,).(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,∴点P的纵坐标为3.令y=﹣x2+4x+5=3,解得x=2±.∵点P在第一象限,∴P(2+,3).四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值.如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1);作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,﹣1);连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(2+,3),M2(1,﹣1)代入得:,解得:m=,n=﹣,∴y=x﹣.当y=0时,解得x=.∴F(,0).∵a+1=,∴a=.∴a=时,四边形PMEF周长最小.方法二:(1)略.(2)连接MF,过点P作x轴垂线,交MF于点H,有最大值时,四边形MEFP面积最大.显然当S△PMF当a=1时,E(1,0),F(2,0),∵M(0,1),∴l MF:y=﹣x+1,设P(t,﹣t2+4t+5),H(t,﹣t+1),=(P Y﹣H Y)(F X﹣M X),∴S△PMF=(﹣t2+4t+5+t﹣1)(2﹣0)=﹣t2+t+4,∴S△PMF最大值为,∴当t=时,S△PMF=EF×MY=×1×1=,∵S△MEF的最大值为+=,∴S四边形MEFP∴P(,).(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,∴点P的纵坐标为3,∴﹣x2+4x+5=0,解得:x=2±,∵点P在第一象限,∴P(2+,3),PM、EF长度固定,当ME+PF最小时,PMEF的周长取得最小值,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1),∵四边形MEFM1为平行四边形,∴ME=M1F,作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,﹣1),∴M2F=M1F=ME,当且仅当P,F,M2三点共线时,此时ME+PF=PM2最小,∵P(2+,3),M2(1,﹣1),F(a+1,0),∴K PF=K M1F,∴,∴a=.【点评】本题是二次函数综合题,第(1)问考查了待定系数法;第(2)问考查了图形面积计算以及二次函数的最值;第(3)问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质.试题计算量偏大,注意认真计算.4.(2021•靖江市校级一模)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,若AE=2,则求EF的长.(请从“线段的长度或线段的位置关系”的方向设计条件及问题,并解答)【分析】过点A和点E作AG⊥BC,EH⊥BC于点G和H,可得矩形AGHE,再根据菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,可得BG=3,AG=3=EH,由题意可得,FH=FC﹣HC=2﹣1=1,进而根据勾股定理可得EF的长.【解答】若AE=2.则求EF的长.解:如图,过点A和点E作AG⊥BC,EH⊥BC于点G和H,得矩形AGHE,∴GH=AE=2,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,∴BG=3,AG=3=EH,∴HC=BC﹣BG﹣GH=6﹣3﹣2=1,∵EF平分菱形面积,EF经过菱形对角线交点,∴FC=AE=2,∴FH=FC﹣HC=2﹣1=1,在Rt△EFH中,根据勾股定理,得:EF===2.【点评】本题考查了菱形的性质,勾股定理,矩形的性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质.5.(2012•新密市自主招生)如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,点E是AD上一动点(不与A、D重合),点F是CD上一动点,且AE+CF=4,则△DEF面积的最大值为.【分析】首先过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G,由菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,即=DE•FG)=﹣(x﹣2)2+,可求得AD=CD=4,∠FDG=60°,然后设AE=x,即可得S△DEF然后根据二次函数的性质,即可求得答案.【解答】解:过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G,∵菱形ABCD边长为4,∠BAD=60°,∴AD=CD=4,∠ADC=180°﹣∠BAD=120°,∴∠FDG=180°﹣∠ADB=60°,设AE=x,∵AE+CF=4,∴CF=4﹣x;∴DE=AD﹣AE=4﹣x,DF=CD﹣CF=4﹣(4﹣x)=x,在Rt△DFG中,FG=DF•sin∠GDF=x,=DE•FG=×(4﹣x)×x=﹣x2+x=﹣(x2﹣4x)=﹣(x﹣2)2+,∴S△DEF∴当x=2时,△DEF面积的最大,最大值为.故答案为:.【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与函数思想的应用.6.(2022•杭州模拟)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′,记旋转角为α,连接BB′,过点D作DE垂直于直线BB′,垂足为点E,连接DB′,CE.(1)如图1,当α=60°时,△DEB′的形状为等腰直角三角形,连接BD,BB′与CE的数量关系是BB'=CE.(2)当0°<α<360°且a≠90°时,①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图2的情形进行证明;如果不成立,请说明理由;②当以点E,C,D,B′为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出BE与B′E的数量关系.。
中考数学复习专题:几何综合题(含答案解析)
中考数学复习专题:⼏何综合题(含答案解析)⼏何综合题1.已知△ABC 中,AD 是BAC ∠的平分线,且AD =AB ,过点C 作AD 的垂线,交 AD 的延长线于点H .(1)如图1,若60BAC ∠=?①直接写出B ∠和ACB ∠的度数;②若AB =2,求AC 和AH 的长;(2)如图2,⽤等式表⽰线段AH 与AB +AC 之间的数量关系,并证明.答案:(1)①75B ∠=?,45ACB ∠=?;②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中,由30DAC ∠=?,AD=2可得DE =1,AE 3=. Rt △CDE 中,由45ACD ∠=?,DE=1,可得EC =1. ∴AC 31=.Rt △ACH 中,由30DAC ∠=?,可得AH 33+=;(2)线段AH 与AB +AC 之间的数量关系:2AH =AB +AC证明:延长AB 和CH 交于点F ,取BF 中点G ,连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =,∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==.2.正⽅形ABCD 的边长为2,将射线AB 绕点A 顺时针旋转α,所得射线与线段BD 交于点M ,作CE AM ⊥于点E ,点N 与点M 关于直线CE 对称,连接CN .(1)如图1,当045α?<②⽤等式表⽰NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系:__________.(2)当4590α?<CDBA图1备⽤图C DBAM答案:(1)①补全的图形如图7所⽰.(2)当45°<α<90°时,=1802NCE BAM ∠?-∠.证明:如图8,连接CM ,设射线AM 与CD 的交点为H .∵四边形ABCD 为正⽅形,∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°,直线BD为正⽅形ABCD的对称轴,点A与点C关于直线BD对称.∵射线AM与线段BD交于点M,∴∠BAM=∠BCM=α.-.∴∠1=∠2=90α∵CE⊥AM,∴∠CEH=90°,∠3+∠5=90°.⼜∵∠1+∠4=90°,∠4=∠5,∴∠1=∠3.-.∴∠3=∠2=90α∵点N与点M关于直线CE对称,-∠.∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM(313. 如图,已知60AOB ∠=?,点P 为射线OA 上的⼀个动点,过点P 作PE OB ⊥,交OB 于点E ,点D 在AOB ∠内,且满⾜DPA OPE ∠=∠,6DP PE +=. (1)当DP PE =时,求DE 的长;(2)在点P 的运动过程中,请判断是否存在⼀个定点M ,证明你的判断.答案:(1)作PF ⊥DE 交DE 于F . ∵PE ⊥BO ,60AOB ∠=o,∴30OPE ∠=o.∴30DPA OPE ∠=∠=o.∴120EPD ∠=o∴cos30DF PD =??=∴2DE DF ==(2)当M 点在射线OA 上且满⾜OM =DMME的值不变,始终为1.理由如下:当点P 与点M 不重合时,延长EP 到K 使得PK PD =.∵,DPA OPE OPE KPA ∠=∠∠=∠,∴KPA DPA ∠=∠. ∴KPMDPM ∠=∠.∵PK PD =,PM 是公共边, ∴KPM △≌DPM △. ∴MKMD =.作ML ⊥OE 于L ,MN ⊥EK 于N . ∵3,60MO MOL =∠=o,∴sin 603ML MO =?=o.∵PE ⊥BO ,ML ⊥OE ,MN ⊥EK ,∴四边形MNEL 为矩形. ∴3EN ML ==.∵6EK PE PK PE PD =+=+=, ∴EN NK =. ∵MN ⊥EK , ∴MKME =.∴ME MKMD ==,即1DMME=. 当点P 与点M 重合时,由上过程可知结论成⽴.4. 如图,在菱形ABCD 中,∠DAB =60°,点E 为AB 边上⼀动点(与点A ,B 不重合),连接CE ,将∠ACE 的两边所在射线CE ,CA 以点C 为中⼼,顺时针旋转120°,分别交射线AD 于点F ,G. (1)依题意补全图形;(2)若∠ACE=α,求∠AFC 的⼤⼩(⽤含α的式⼦表⽰);(3)⽤等式表⽰线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系,并证明.答案:(1)补全的图形如图所⽰.(2)解:由题意可知,∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°. ∴∠AFC =α+30°.证明:作CH ⊥AG 于点H.由(2)可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG. ∴HG =21AG. ∵∠ACE =∠GCF ,∠CAE =∠CGF ,∴△ACE ≌△GCF. ∴AE =FG .在Rt △HCG 中, .23cos CG CGH CG HG =∠?= ∴AG =3CG .即AF+AE =3CG .5.如图,Rt △ABC 中,∠ACB = 90°,CA = CB ,过点C 在△ABC 外作射线CE ,且∠BCE = α,点B 关于CE 的对称点为点D ,连接AD ,BD ,CD ,其中AD ,BD 分别交射线CE 于点M ,N . (1)依题意补全图形;(2)当α= 30°时,直接写出∠CMA 的度数;(3)当0°<α< 45°时,⽤等式表⽰线段AM ,CN 之间的数量关系,并证明.答案:(1)如图;ABCE(2)45°;(3)结论:AM CN.证明:作AG⊥EC的延长线于点G.∵点B与点D关于CE对称,∴CE是BD的垂直平分线.∴CB=CD.∴∠1=∠2=α.∵CA=CB,∴CA=CD.∴∠3=∠CAD.∵∠4=90°,∴∠3=12(180°-∠ACD)=12(180°-90°-α-α)=45°-α.∵∠4=90°,CE是BD的垂直平分线,∴∠1+∠7=90°,∠1+∠6=90°.∴∠6=∠7.∵AG⊥EC,∴∠G=90°=∠8.∴在△BCN和△CAG中,∠8=∠G,∠7=∠6,BC=CA,∴△BCN≌△CAG.∴CN=AG.∵Rt△AMG中,∠G=90°,∠5=45°,∴AM AG.∴AM CN.6.在正⽅形ABCD中,M是BC边上⼀点,点P在射线AM上,将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接BP,DQ.(1)依题意补全图1;答案:(1)补全图形略(2)①证明:连接BD ,如图2,∵线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ,∴AQ AP =,90QAP ∠=°.∵四边形ABCD 是正⽅形,∴AD AB =,90DAB ∠=°.∴12∠=∠.∴△ADQ ≌△ABP .∴DQ BP =,3Q ∠=∠.∵在Rt QAP ?中,90Q QPA ∠+∠=°,∴390BPD QPA ∠=∠+∠=°.∵在Rt BPD ?中,222DP BP BD +=,⼜∵DQ BP =,222BD AB =,∴2222DP DQ AB +=.②BP AB =.7.如图,在等腰直⾓△ABC 中,∠CAB=90°,F 是AB 边上⼀点,作射线CF ,过点B 作BG ⊥C F 于点G ,连接AG .(1)求证:∠ABG =∠ACF ;(2)⽤等式表⽰线段C G ,AG ,BG 之间∵∠CAB=90°. ∵ BG ⊥CF 于点G ,∴∠BGF =∠CAB =90°. ∵∠GFB =∠CFA . ∴∠ABG =∠ACF .(2)CG =2AG +BG .证明:在CG 上截取CH =BG ,连接AH ,∵△ABC 是等腰直⾓三⾓形,∴∠CAB =90°,AB =AC . ∵∠ABG =∠ACH . ∴△ABG ≌△ACH . ∴ AG =AH ,∠GAB =∠HAC . ∴∠GAH =90°. ∴ 222AG AH GH +=. ∴ GH =2AG . ∴ CG =CH +GH =2AG +BG .8.如图,在正⽅形ABCD 中,E 是BC 边上⼀点,连接AE ,延长CB ⾄点F ,使BF=BE ,过点F 作FH ⊥AE 于点H ,射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ,交对⾓线AC 于点P ,连接AF .(1)依题意补全图形;(2)求证:∠FAC =∠APF ;(3)判断线段FM 与PN 的数量关系,并加以证明.答案:(1)补全图如图所⽰.(2)证明∵正⽅形ABCD ,∴∠BAC =∠BCA =45°,∠ABC =90°,∴∠PAH =45°-∠BAE .∵FH ⊥AE .EDCBAM H PDAC∴∠APF=45°+∠BAE.∵BF=BE,∴AF=AE,∠BAF=∠BAE.∴∠FAC=45°+∠BAF.∴∠FAC=∠APF.(3)判断:FM=PN.证明:过B作BQ∥MN交CD于点Q,∴MN=BQ,BQ⊥AE.∵正⽅形ABCD,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.∴∠BAE=∠CBQ.∴△ABE≌△BCQ.∴AE=BQ.∴AE=MN.∵∠FAC=∠APF,∴FP=MN.∴FM=PN.9.如图所⽰,点P位于等边ABC△的内部,且∠ACP=∠CBP.(1) ∠BPC的度数为________°;(2) 延长BP⾄点D,使得PD=PC,连接AD,CD.①依题意,补全图形;②证明:AD+CD=BD;(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的⾯积.M HPD AC解:(1)120°. ----------------------------2分(2)①∵如图1所⽰.②在等边ABC △中,60ACB ∠=?,∴60.ACP BCP ∠+∠=? ∵=ACP CBP ∠∠,∴60.CBP BCP ∠+∠=?∴()180120.BPC CBP BCP ∠=?-∠+∠=?∴18060.CPD BPC ∠=?-∠=? ∵=PD PC ,∴CDP △为等边三⾓形.∵60ACD ACP ACP BCP ∠+∠=∠+∠=?,∴.ACD BCP ∠=∠在ACD △和BCP △中,AC BC ACD BCP CD CP =??∠=∠??=?,,,∴()SAS ACD BCP △≌△. ∴.AD BP =∴.AD CD BP PD BD +=+=-----------------------------------------4分(3)如图2,作BM AD ⊥于点M ,BN DC ⊥延长线于点N .∵=60ADB ADC PDC ∠∠-∠=?,∴=60.ADB CDB ∠∠=?∴=60.ADB CDB ∠∠=?D∴=BM BN BD == ⼜由(2)得,=2AD CD BD +=,ABD BCD ABCD S S S ∴△△四边形=+1122AD BM CD BN =22==-----------------------------------7分10.如图1,在等边三⾓形ABC 中,CD 为中线,点Q 在线段CD 上运动,将线段QA 绕点Q 顺时针旋转,使得点A的对应点E 落在射线BC 上,连接BQ ,设∠DAQ =α(0°<α<60°且α≠30°). (1)当0°<α<30°时,①在图1中依题意画出图形,并求∠BQE (⽤含α的式⼦表⽰);②探究线段CE ,AC ,CQ 之间的数量关系,并加以证明;(2)当30°<α<60°时,直接写出线段CE ,AC ,CQ 之间的数量关系.解:(1)①3-. ………………………………………………………………………… 1分② 0≤QL.……………………………………………………………… 2分(2)设直线+33y x =与x 轴,y 轴的交点分别为点A ,点B,可得A ,(0,3)B .∴OA =3OB =,30OAB ∠=?.由0≤Q①如图13,当⊙D 与x 轴相切时,相应的圆⼼1D 满⾜题意,其横坐标取到最⼤值.作11D E x ⊥轴于点1E ,可得11D E ∥OB ,111D E AE BO AO=.∵⊙D 的半径为1,∴ 111D E =.∴1AE =11OE OA AE =-=.∴1D x =②如图14,当⊙D与直线y =相切时,相应的圆⼼2D 满⾜题意,其横坐标取到最⼩值.作22D E x ⊥轴于点2E ,则22D E ⊥OA .设直线y =与直线+3y =的交点为F .可得60AOF ∠=?,OF ⊥AB .则9cos 2AF OA OAF =?∠==.图13∵⊙D 的半径为1,∴ 21D F =.∴2272AD AF D F =-=.=?∠72==,22OE OA AE =-=.∴2D x =.由①②可得,D x≤D x≤. ………………………………………… 5分(3)画图见图15..……………………………… 7分11.如图,在等边ABC △中, ,D E 分别是边,AC BC 上的点,且CD CE = ,30DBC ∠对称,连接,AF FE ,FE 交BD 于G .(1)连接,DE DF ,则,DE DF 之间的数量关系是;(2)若DBC α∠=,求FEC ∠的⼤⼩; (⽤α的式⼦表⽰)(3)⽤等式表⽰线段,BG GF 和FA 之间的数量关系,并证明.GFEDCBA图15(1)DE DF =;(2)解:连接DE ,DF ,∵△ABC 是等边三⾓形,∴60C ∠=?. ∵DBC α∠=,∴120BDC α∠=?-.∴120BDF BDC α∠=∠=?-,DF DC =. ∴1202FDC α∠=?+. 由(1)知DE DF =.∴F ,E ,C 在以D 为圆⼼,DC 为半径的圆上.∴1602FEC FDC ∠=∠=?+α.(3)BG GF FA =+.理由如下:连接BF ,延长AF ,BD 交于点H ,∵△ABC 是等边三⾓形,∴60ABC BAC ∠=∠=?,AB BC CA ==. ∵点C 与点F 关于BD 对称,∴BF BC =,FBD CBD ∠=∠.GFEDCBA∴BF BA =. ∴BAF BFA ∠=∠. 设CBD α∠=,则602ABF α∠=?-. ∴60BAF α∠=?+. ∴FAD α∠=.∴FAD DBC ∠=∠.由(2)知60FEC α∠=?+. ∴60BGE FEC DBC ∠=∠-∠=?. ∴120FGB ∠=?,60FGD ∠=?.四边形AFGB 中,360120AFE FAB ABG FGB ∠=?-∠-∠-∠=?. ∴60HFG ∠=?.∴△FGH 是等边三⾓形. ∴FH FG =,60H ∠=?. ∵CD CE =,∴DA EB =.在△AHD 与△BGE 中,,,.AHD BGE HAD GBE AD BE ∠=∠??∠=∠??=?∴△△AHD BGE ?. ∴BG AH =.∵AH HF FA GF FA =+=+,∴BG GF FA =+.HGFEDCBA12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,M是BC的中点,延长AM到点D,AE= AD,∠EAD=90°,CE交AB于点F,CD=DF.(1)∠CAD= 度;(2)求∠CDF的度数;(3)⽤等式表⽰线段CD和CE之间的数量关系,并证明.解:(1)45 ……………………………………………………………1分(2)解:如图,连接DB.∵90,°,M是BC的中点,AB AC BAC=∠=∴∠BAD=∠CAD=45°.∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分∴∠DBA=∠DCA,BD = CD.∵CD=DF,∴B D=DF. ………………………………………3分∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.∵∠DFB+∠DFA =180°,∴∠DCA+∠DFA =180°.∴∠BAC+∠CDF =180°.∴∠CDF =90°. ………………………………………4分21CD. ……………………………………5分(3)CE=)证明:∵90∠=°,EAD∴∠EAF =∠DAF =45°. ∵AD =AE ,∴△EAF ≌△DAF . …………………………………6分∴DF =EF .由②可知,CF. …………………………7分∴CE=)1C D .13.如图,正⽅形ABCD 中,点E 是BC 边上的⼀个动点,连接AE ,将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°,得到AF ,连接EF ,交对⾓线BD 于点G ,连接AG .(1)根据题意补全图形;(2)判定AG 与EF 的位置关系并证明;(3)当AB = 3,BE = 2时,求线段BG 的长.解:(1)图形补全后如图…………………1分(2)结论:AG ⊥EF . …………………2分证明:连接FD ,过F 点FM ∥BC ,交BD 的延长线于点M .∵四边形ABCD 是正⽅形,∴AB=DA=DC=BC ,∠DAB =∠ABE =∠ADC =90°,∠ADB =∠5=45°.∵线段AE 绕点A 逆时针旋转90°,得到AF ,A BC ED∴AE=AF ,∠FAE =90°.∴∠1=∠2.∴△FDA ≌△EBA . …………………3分∴∠FDA =∠EBA =90°,FD=BE .∵∠ADC =90°,∴∠FDA +∠ADC =180°。
中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)
几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M,N分别是斜边DE,AB的中点,DE=2,AB=4.(1)将△CDE绕顶点C旋转一周,请直接写出点M,N距离的最大值和最小值;(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2),求MN的长.2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,点C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE.(1)如图1,求证:DE=BF;(2)如图2,若AD=2,BF的延长线恰好经过DE的中点G,求BE的长.3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列),AB= 12,AD=10,∠B为锐角,且sin B=45.(1)如图1,求AB边上的高CH的长.(2)P是边AB上的一动点,点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D .①如图2,当点C 落在射线CA上时,求BP的长.②当△AC D 是直角三角形时,求BP的长.4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1,△ABC和△BDE都是等边三角形,点C关于AD的对称点F在BD边上.①求证:AE=CD;②用等式写出线段AD,BD,DF的数量关系,并说明理由.【模型应用】(2)如图2,△ABC是直角三角形,AB=AC,CD⊥BD,垂足为D,点C关于AD的对称点F在BD边上.用等式写出线段AD,BD,DF的数量关系,并说明理由.【模型迁移】(3)在(2)的条件下,若AD=42,BD=3CD,求cos∠AFB的值.5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(1)定理证明:为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.己知:在▱ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.求证:▱ABCD是菱形.(2)知识应用:如图2,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.①求证:▱ABCD是菱形;②延长BC至点E,连接OE交CD于点F,若∠E=12∠ACD,求OFEF的值.6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时,如图1,将△APC绕,点C顺时针旋转60°得到△A P C,连接PP ,由PC=P C,∠PCP =60°,可知△PCP 为三角形,故PP =PC,又P A =PA,故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B,由可知,当B,P,P ,A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值,如图2,最小值为A B,此时的P点为该三角形的“费马点”,且有∠APC=∠BPC=∠APB=;已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若∠BAC≥120°,则该三角形的“费马点”为点.(2)如图4,在△ABC中,三个内角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知点P为△ABC的“费马点”,求PA+PB+PC的值;(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知AC=4km,BC=23km,∠ACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a 元/km,a元/km,2a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境:如图1,在△ABC中,AB=AC=17,BC=30,AD是BC边上的中线.如图2,将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合,折痕分别交AB,AC,BC于点E,G,F,H.猜想证明:(1)如图2,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由.问题解决;(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交AB, BC于点M,N,BM的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的面积.8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外),连接PD、PB.①求证:PD=PB;②将线段DP绕点P逆时针旋转,使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时,∠DPQ的大小是否发生变化?请说明理由;③探究AQ与OP的数量关系,并说明理由.(2)[迁移探究]如图2,将正方形ABCD换成菱形ABCD,且∠ABC=60°,其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系,并说明理由.9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1,在△ABC中,AB=AC,点M,N分别为边AB,BC的中点,连接MN.初步尝试:(1)MN与AC的数量关系是,MN与AC的位置关系是.特例研讨:(2)如图2,若∠BAC=90°,BC=42,先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角),得到△BEF,当点A,E,F在同一直线上时,AE与BC相交于点D,连接CF.(1)求∠BCF的度数;(2)求CD的长.深入探究:(3)若∠BAC<90°,将△BMN绕点B顺时针旋转α,得到△BEF,连接AE,CF.当旋转角α满足0°<α<360°,点C,E,F在同一直线上时,利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系,并说明理由.10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE,探究AD,BE的位置关系.(1)如图1,当m=1时,直接写出AD,BE的位置关系:;(2)如图2,当m≠1时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时,将△CDE绕点C旋转,使A,D,E三点恰好在同一直线上,求BE的长.11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P,设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0),连接A P.(1)若点P在AB上,求证:A P=AP;(2)如图2.连接BD.①求∠CBD的度数,并直接写出当n=180时,x的值;②若点P到BD的距离为2,求tan∠A MP的值;(3)当0<x≤8时,请直接写出点A 到直线AB的距离.(用含x的式子表示).12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①,在矩形ABCD的AB边上取一点E,将△ADE沿DE翻折,使点A落在BC上A 处,若AB=6,BC=10,求AEEB的值;(2)如图②,在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ,将四边形ABED 沿DE 翻折,使点B 落在DC 的延长线上B 处,若BC ⋅CE =24,AB =6,求BE 的值;(3)如图③,在△ABC 中,∠BAC =45°,AD ⊥BC ,垂足为点D ,AD =10,AE =6,过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ,连接DF ,且满足∠DFE =2∠DAC ,直接写出BD +53EF 的值.13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形,点D 是射线AB 上的一个动点,延长BC 至点E ,使CE =AD ,连接DE 交射线AC 于点F .(1)如图1,当点D 在线段AB 上时,猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点D 在线段AB 的延长线上时,①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,连接AE .设AB =4,若∠AEB =∠DEB ,求四边形BDFC 的面积.14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是边AD ,AB 上的点,连接CE ,EF ,CF .(1)若正方形ABCD 的边长为2,E 是AD 的中点.①如图1,当∠FEC =90°时,求证:△AEF ∽△DCE ;②如图2,当tan ∠FCE =23时,求AF 的长;(2)如图3,延长CF ,DA 交于点G ,当GE =DE ,sin ∠FCE =13时,求证:AE =AF .15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出:如图(1),E 是菱形ABCD 边BC 上一点,△AEF 是等腰三角形,AE =EF ,∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ,探究∠GCF 与α的数量关系.问题探究:(1)先将问题特殊化,如图(2),当α=90°时,直接写出∠GCF 的大小;(2)再探究一般情形,如图(1),求∠GCF 与α的数量关系.问题拓展:(3)将图(1)特殊化,如图(3),当α=120°时,若DG CG =12,求BECE的值.16(2023·山西·统考中考真题)问题情境:“综合与实践”课上,老师提出如下问题:将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,得到两个全等的三角形纸片,表示为△ABC 和△DFE ,其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D .将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放,其中点B 与点F 重合(标记为点B ).当∠ABE =∠A 时,延长DE 交AC 于点G .试判断四边形BCGE 的形状,并说明理由.(1)数学思考:谈你解答老师提出的问题;(2)深入探究:老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转,使点E 落在△ABC 内部,并让同学们提出新的问题.①“善思小组”提出问题:如图3,当∠ABE =∠BAC 时,过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N .试猜想线段AM 和BE 的数量关系,并加以证明.请你解答此问题;②“智慧小组”提出问题:如图4,当∠CBE=∠BAC时,过点A作AH⊥DE于点H,若BC=9,AC=12,求AH的长.请你思考此问题,直接写出结果.17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP,点C关于直线DP的对称点为点E,连接AE,直线AE交直线DP于点F.(1)如图1,若∠CDP=25°,则∠DAF=°;(2)如图1,请探究线段CD,EF,AF之间的数量关系,并证明你的结论;(3)在DP绕点D转动的过程中,设AF=a,EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长.18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.已知AB=AC,∠A>90°,点E为AC上一动点,将△ABE以BE为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究:独立思考:小明:“当点D落在BC上时,∠EDC=2∠ACB.”小红:“若点E为AC中点,给出AC与DC的长,就可求出BE的长.”实践探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:问题1:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到.(1)如图1,当点D落在BC上时,求证:∠EDC=2∠ACB;(2)如图2,若点E为AC中点,AC=4,CD=3,求BE的长.问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形,可以将问题进一步拓展.问题2:如图3,在等腰△ABC中,∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD.若CD=1,则求BC的长.19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF 的长.20(2023·福建·统考中考真题)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.(1)求证:△ADE∽△FMC;(2)求∠ABF的度数;(3)若N是AF的中点,如图2.求证:ND=NO.21(2023·四川·统考中考真题)如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转,连接BC,以BC为边在BC上方作Rt△BDC,且∠DBC=30°.(1)若∠BDC=90°,以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且∠AEB=90°,∠EBA=30°,连接DE,用等式表示线段AC与DE的数量关系是;(2)如图2,在(1)的条件下,若DE⊥AB,AB=4,AC=2,求BC的长;(3)如图3,若∠BCD=90°,AB=4,AC=2,当AD的值最大时,求此时tan∠CBA的值.22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸,操作简单,富有数学趣味,我们可以通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.【动手操作】如图1,将矩形纸片ABCD对折,使AD与BC重合,展平纸片,得到折痕EF;折叠纸片,使点B 落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为B ,E ,展平纸片,连接AB ,BB ,BE .请完成:(1)观察图1中∠1,∠2和∠3,试猜想这三个角的大小关系;(2)证明(1)中的猜想;【类比操作】如图2,N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点,连接BN,在AB上取一点P,折叠纸片,使B ,P 两点重合,展平纸片,得到折痕EF ;折叠纸片,使点B ,P 分别落在EF ,BN 上,得到折痕l ,点B ,P 的对应点分别为B ,P ,展平纸片,连接,P B .请完成:(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线.23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =60°,点D 为线段AB 上一动点,连接CD .(1)如图1,若AC =9,BD =3,求线段AD 的长.(2)如图2,以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ,点F 是DE 的中点,连接BF 并延长,交CD 的延长线于点G .若∠G =∠BCE ,求证:GF =BF +BE .(3)在CD 取得最小值的条件下,以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE .点M 为CD 所在直线上一点,将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM .连接AN ,点P 为AN 的中点,连接CP ,当CP 取最大值时,连接BP ,将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ,请直接写出此时NQ CP的值.24(2023·湖南·统考中考真题)如图,在等边三角形ABC 中,D 为AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ,点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合).将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°,得到△ACQ ,连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F .(1)证明:在点P 的运动过程中,总有∠PEQ =120°.(2)当AP DP为何值时,△AQF 是直角三角形?25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:FH=3FG.若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②:若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③:其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题,是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.(1)发现问题:如图1,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=30°,连接BE,CF,延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系:,∠BDC=°;(2)类比探究:如图2,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°,连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由;(3)拓展延伸:如图3,△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,连接BE,CF,且点B,E,F在一条直线上,过点A作AM⊥BF,垂足为点M.则BF,CF,AM之间的数量关系:;(4)实践应用:正方形ABCD中,AB=2,若平面内存在点P满足∠BPD=90°,PD=1,则S△ABP=.27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,①若BE=BC,过C作CF⊥BE交BE于点F,求证:△ABE≌△FCB;=20时,则BE⋅CF=.②若S矩形ABCD(2)如图,在菱形ABCD中,cos A=13,过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,过E作EF⊥AD交AD =24时,求EF⋅BC的值.于点F,若S菱形ABCD(3)如图,在平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=6,AD=5,点E在CD上,且CE=2,点F为BC上一点,连接EF,过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G,若EF⋅EG=73时,请直接写出AG的长.28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点P,Q分别是边BC,线段OD上的点,连接AP,QP,AP与OB相交于点E.(1)如图1,连接QA.当QA=QP时,试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上,并说明理由;(2)如图2,若∠APB=90°,且∠BAP=∠ADB,①求证:AE=2EP;②当OQ=OE时,设EP=a,求PQ的长(用含a的代数式表示).29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①,把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中,使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合,绕点C旋转三角尺时,45°角的两边CM ,CN 始终与正方形的边AD ,AB 所在直线分别相交于点M ,N ,连接MN ,可得△CMN .【探究一】如图②,把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ,同时得到点H 在直线AB 上.求证:∠CNM =∠CNH ;【探究二】在图②中,连接BD ,分别交CM ,CN 于点E ,F .求证:△CEF ∽△CNM ;【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置,直线BD 与三角尺45°角两边CM ,CN 分别交于点E ,F .连接AC 交BD 于点O ,求EFNM的值.30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察.如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,P 是对角线BD 的中点,M 是AB 的中点,N 是DC 的中点,求证:∠PMN =∠PNM .(2)用数学的思维思考.如图,延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ,延长线段BC 交MN 的延长线于点F ,求证:∠AEM =∠F .(3)用数学的语言表达.如图,在△ABC 中,AC <AB ,点D 在AC 上,AD =BC ,M 是AB 的中点,N 是DC 的中点,连接MN 并延长,与BC 的延长线交于点G ,连接GD ,若∠ANM =60°,试判断△CGD 的形状,并进行证明.31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在矩形ABCD中,E是边AB上一点,DF⊥CE于点F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF.试猜想四边形ABCD的形状,并说明理由;【实践探究】(2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,DF⊥CE于点F,AH⊥CE于点H,GD⊥DF交AH于点G,可以用等式表示线段FH,AH,CF的数量关系,请你思考并解答这个问题;【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E是边AB上一点,AH⊥CE于点H,点M在CH上,且AH=HM,连接AM,BH,可以用等式表示线段CM,BH的数量关系,请你思考并解答这个问题.32(2023·贵州·统考中考真题)如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC中,CA=CB,∠C=90°,过点B作射线BD⊥AB,垂足为B,点P在CB上.(1)【动手操作】如图②,若点P在线段CB上,画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,根据题意在图中画出图形,图中∠PBE的度数为度;(2)【问题探究】根据(1)所画图形,探究线段PA与PE的数量关系,并说明理由;(3)【拓展延伸】如图③,若点P在射线CB上移动,将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E,探究线段BA,BP, BE之间的数量关系,并说明理由.33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点O为AB的中点,点D在直线AB上(不与点A,B重合),连接CD,线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,过点B作直线l⊥BC,过点E作EF⊥l,垂足为点F,直线EF交直线OC于点G.(1)如图,当点D与点O重合时,请直接写出线段AD与线段EF的数量关系;(2)如图,当点D在线段AB上时,求证:CG+BD=2BC;(3)连接DE,△CDE的面积记为S1,△ABC的面积记为S2,当EF:BC=1:3时,请直接写出S1S2的值.34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点,且ADBD=1n(n为正整数),E是AC边上的动点,过点D作DE的垂线交直线BC于点F.【初步感知】(1)如图1,当n=1时,兴趣小组探究得出结论:AE+BF=22AB,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当n=2,且点F在线段BC上时,试探究线段AE,BF,AB之间的数量关系,请写出结论并证明;②请通过类比、归纳、猜想,探究出线段AE,BF,AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论,不必证明)【拓展运用】(3)如图3,连接EF,设EF的中点为M.若AB=22,求点E从点A运动到点C的过程中,点M运动的路径长(用含n的代数式表示).35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中,若AB=a,BC=b,由勾股定理,得AC2=a2+b2,同理BD2=a2+b2,故AC2+BD2=2a2+b2.【探究发现】如图2,四边形ABCD为平行四边形,若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立?请加以判断,并说明理由.【拓展提升】如图3,已知BO为△ABC的一条中线,AB=a,BC=b,AC=c.求证:BO2=a2+b22-c24.【尝试应用】如图4,在矩形ABCD中,若AB=8,BC=12,点P在边AD上,则PB2+PC2的最小值为.36(2023·四川南充·统考中考真题)如图,正方形ABCD中,点M在边BC上,点E是AM的中点,连接ED,EC.(1)求证:ED=EC;(2)将BE绕点E逆时针旋转,使点B的对应点B 落在AC上,连接MB′.当点M在边BC上运动时(点M 不与B,C重合),判断△CMB′的形状,并说明理由.(3)在(2)的条件下,已知AB=1,当∠DEB′=45°时,求BM的长.37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD 位置,点D在直线AB外,连接AD,BD.(1)如图1,求∠ADB的大小;(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB.(ⅰ)如图2,连接CD,求证:BD=CD;(ⅱ)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE的值.38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义:有两个相邻的内角是直角,并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形,相等两邻边的夹角称为邻等角.(1)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,对角线BD平分∠ADC.求证:四边形ABCD为邻等四边形.(2)如图2,在6×5的方格纸中,A,B,C三点均在格点上,若四边形ABCD是邻等四边形,请画出所有符合条件的格点D.(3)如图3,四边形ABCD是邻等四边形,∠DAB=∠ABC=90°,∠BCD为邻等角,连接AC,过B作BE∥AC交DA的延长线于点E.若AC=8,DE=10,求四边形EBCD的周长.39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上,李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动,两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°,设AB=2.【操作探究】如图1,先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合,再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转,旋转角为α0°≤α≤360°,旋转过程中△ADB保持不动,连接BC.(1)当α=60°时,BC=;当BC=22时,α=°;(2)当α=90°时,画出图形,并求两块三角板重叠部分图形的面积;(3)如图2,取BC的中点F,将△A D C绕着点A旋转一周,点F的运动路径长为.40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后,刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容:如图,将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置,那么可以得到:AB=AB ,AC =AC ,BC=B C ;∠BAC=∠B AC ,∠ABC=∠AB C ,∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到:图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中,即“变”中蕴含着“不变”,这是我们解决图形旋转的关键;故数学就是一门哲学.【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由:;(2)如图,小王将一个半径为4cm,圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置.①请在图中作出点O;②如果BB =6cm,则在旋转过程中,点B经过的路径长为;【问题拓展】小李突发奇想,将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠,一个固定在墙上,使得一边位于水平位置,另一个在弧的中点处固定,然后放开纸板,使其摆动到竖直位置时静止,此时,两个纸板重叠部分的面积是多少呢?如图所示,请你帮助小李解决这个问题.。
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析在中考中,几何综合题主要考察了利用图形变换(平移、旋转、轴对称)证明线段、角的数量关系及动态几何问题。
学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上,将几何综合题目分解为基本问题,转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比,从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时,重点在思路,在老师讲解及学生解题时,对于较复杂的图形,根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形,将新题目与已有经验建立联系从而找到思路,之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络;在做完题之后,注重解题反思,总结题目中的基本图形及辅助线添加方法,将题目归类整理;对于典型的题目,可以解析题目条件,通过拓展题目条件或改变条件,给出题目的变式,从而对于题目及相应方法有更深入的理解。
同时,在授课过程中,将同一类型的几何综合题成组出现,分析讲解,对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求图形与证明中要求:会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求:会运用几何图形的相关知识和方法(两点之间的距离,等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识,全等三角形的知识和方法,平行四边形的知识,矩形、菱形和正方形的知识,直角三角形的性质,圆的性质)解决有关问题;能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题;能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求:能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线解决几何综合题,是需要厚积而薄发,所谓的“几何感觉”,是建立在足够的知识积累的基础上的,熟悉基本图形及常用的辅助线,在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型,找到“新”问题与“旧”模型间的关联,明确努力方向,才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
举例:1、与相似及圆有关的基本图形2、正方形中的基本图形3、基本辅助线(1)角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线(角平分线的性质)、翻折;(2)与中点相关——倍长中线(八字全等),中位线,直角三角形斜边中线;(3)共端点的等线段——旋转基本图形(60°,90°),构造圆;垂直平分线,角平分线——翻折;转移线段——平移基本图形(线段)线段间有特殊关系时,翻折;(4)特殊图形的辅助线及其迁移....——梯形的辅助线(什么时候需要这样添加?)等作双高——上底、下底、高、腰(等腰梯形)三推一;面积;锐角三角函数平移腰——上下底之差;两底角有特殊关系(延长两腰);梯形——三角形平移对角线——上下底之和;对角线有特殊位置、数量关系。
初三数学几何题(3篇)
第1篇一、题目背景三角形是几何学中最基本的图形之一,它在数学的各个领域都有广泛的应用。
三角形的中位线是三角形中一个重要的概念,它不仅可以帮助我们探究三角形的性质,还可以在解决实际问题中发挥重要作用。
本题目旨在引导学生探究三角形中位线的性质,并学会运用这些性质解决实际问题。
二、题目内容1. 知识点回顾(1)三角形的中位线:三角形的一条边的中点到对边中点的线段称为三角形的中位线。
(2)中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
2. 题目要求(1)探究三角形中位线的性质。
(2)运用三角形中位线的性质解决实际问题。
三、解题过程1. 探究三角形中位线的性质(1)性质一:三角形的中位线平行于第三边。
证明:设三角形ABC中,DE是BC边的中位线,连接AD、BE。
∵DE是BC边的中位线,∴DE平行于AC。
又∵AD是三角形ABC的中位线,∴AD平行于BC。
∴DE平行于AD。
∴DE平行于AC。
(2)性质二:三角形的中位线等于第三边的一半。
证明:设三角形ABC中,DE是BC边的中位线,连接AD、BE。
∵DE是BC边的中位线,∴DE平行于AC。
又∵AD是三角形ABC的中位线,∴AD平行于BC。
∴∠DAE=∠C。
又∵∠DAE=∠DBE(三角形内角和为180°)。
∴∠DBE=∠C。
∴△ABE≌△ACD(AAS全等)。
∴AB=AC。
又∵DE是BC边的中位线,∴DE=1/2BC。
∴DE=1/2AC。
2. 运用三角形中位线的性质解决实际问题(1)问题:已知三角形ABC中,AB=10cm,AC=8cm,求BC的长度。
解:设BC的中点为D,连接AD。
∵AD是三角形ABC的中位线,∴AD平行于BC,且AD=1/2BC。
∵AB=10cm,AC=8cm,∴AD=1/2(AB+AC)=1/2(10+8)=9cm。
∴BC=2AD=2×9=18cm。
(2)问题:已知三角形ABC中,AB=6cm,BC=8cm,求AD的长度。
初三数学几何综合练习题(20200702182437)
初三数学几何综合练习题1.在AABC中,ZC=90°, AC=BC,占D在射线BC上(不与点B、C战合),连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90。
得至l]DE,连接BE(1)如图1,点D在BC边上.①依题意补全图1:②作DF丄BC交AB于点F,若AC=8, DF=3,求BE的长:(2)如图2,点D在BC边的延长线上,用等式表示线段AB、BD、BE之间的数最关系(直接写出结论).2.已知:RtAAEC'和RtZkABC 重合,ZA'CB=ZACB=90。
,ZBA'C'=ZBAC=30。
,现将RtZk ABC'绕点B 按逆时针方向旋转角a (60・WaW90。
),设旋转过程中射线CTC和线段AA,相交于点D,连接BD・(1)当0=60。
时,AE过点C,如图1所示,判断BD和A'A之间的位盘关系,不必证明:(2)当《=90。
时,在图2中依题意补全图形,并猜想(1)中的结论是否仍然成立,不必证明:(3)如图3,对旋转角承60*<a<90*),猜想(1)中的结论是否仍然成立:若成立,请证明你的结论:若不成立,请说明理由.3.如图1,已知线段BC=2,点8关于直线AC的对称点是点D,点E为射线C&上一点,且ED=BD,连接DE, BE.(1)依题总补全图九并证明:ABDE为等边三角形:(2)若Z4C8=45°,点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB^^CDE绕点D顺时针旋转a度(0。
VaV360。
)得到△ C DE,点E的对应点为F,点C的对应点为点U・①如图2,肖Q=30。
时,连接BCl证明:EF=BC ;②如图3,点M为DC中点,点P为线段C E ±的任意一点,试探究:在此旋转过程中,线段PM长度的取值范围?图14. (1)如图1,在四边形ABCD 中,AB=BC> ZABC=80° , ZA±ZC=180°,点M 是AD 边上一点,把射线BM 绕点B 顺时针旋转40。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=3,BG=6,求AC的长.2、[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.[问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC 交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△,可推证△CEF是三角形,从而求得∠DCE=.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数.[拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值.3、(2019秋•锦江区校级期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图1,求证:AD=2DC.(2)如图2,作∠CBD的角平分线交线段CD于点M,若CM=1,求△DBM的面积;(3)如图3,过点D作DE⊥AB于点E,点N是线段AC上一点(不与C、D重合),以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,试探究线段ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由.4、(2019•镇平县三模)如图1,已知直角三角形ABC,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D是AC边上一点,过D作DE⊥AB于点E,连接BD,点F是BD中点,连接EF,CF.(1)发现问题:线段EF,CF之间的数量关系为;∠EFC的度数为;(2)拓展与探究:若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)拓展与运用:如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.5、(2017春•西城区校级期末)如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点P是线段AB的中点,点E是线段CB延长线上一点,且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD,连接BD.(1)如图2,若α=60°,其他条件不变,先补全图形,然后探究线段BD和BC之间的数量关系,并说明理由.(2)如图3,若α=90°,其他条件不变,探究线段BP、BD和BC之间的等量关系,并说明理由.6、【发现问题】如图1,已知△ABC,以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE.请你以A为直角顶点、AC为腰,向△ABC外作等腰直角△ACD(不写作法,保留作图痕迹).连接BD、CE.那么BD与CE的数量关系是BD=CE.【拓展探究】如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由.【解决问题】如图3,有一个四边形场地ABCD,∠ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD的最大值.7、(1)如图1,点C为线段AB外一个动点,已知AB=a,AC=b.当点C位于BA的延长线上时,线段BC取得最大值,则最大值为(用含a,b的式子表示);(2)如图2,点C为线段AB外一个动点,若AB=10,AC=3,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,DB.①求证:AE=DB;②请直接写出线段AE的最大值;(3)如图3,AB=6,点M为线段AB外一个动点,且AM=2,MB=MN,∠BMN=90°,请直接写出线段AN的最大值.8、【初步探索】(1)如图1:在四边形ABC中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF =BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系,并给出证明过程.9、(2018•大东区一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=45°,AC=,请直接写出BQ的长.10、模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于时,线段BC的长取得最大值,且最大值为(用含b,c的式子表示)(直接填空).模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为.模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB =8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.11、已知:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.(1)如图1,点D在BC的延长线上,连AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证:AD=BF;(2)如图2,点D在线段BC上,连AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连BE交AC于F,连DE,问BD与CF有何数量关系,并加以证明;(3)如图3,点D在CB延长线上,AE=AD且AE⊥AD,连接BE、AC的延长线交BE于点M,若AC =3MC,请直接写出的值.12、已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求的值.13、已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC任意一点,连接BE.(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;(2)如图2,F也为AC上一点,且满足AE=CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG;①若AG平分∠CAD,求证:AH=AC;②如图3,当G落在△ABC外时,若将△EFG沿EF边翻折,点G刚好落在AB边上点P,直接写出AG与EF的数量关系.14、如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,连接CD;(1)如图1,求证:AB=2CD;(2)如图2,作CF⊥AB交AB于F,点G为CF上一点,点H为DE延长线上一点,分别连接AH、GH,若∠AHG=2∠B,求证:AH=GH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,且有DE=BF,∠EDG=90°,若AC=6,求AH的长度.15、【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于点G,求证:△CDE≌△EGF.(1)阅读理解,完成解答本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置,证明结论若CE平分∠ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;(3)知识迁移,探究发现如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中,∠BGF=90°,P是DF的中点,连接PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时,延长GP交DC于点E.求证:PG=PC;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论;(3)如图3,若四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,△BGF为等边三角形,点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,请直接写出你的结论,并画出论证过程中需要添加的辅助线.17、在△ABC中,∠BAC=60°,点D、E分别在边AC、AB上,AD=AE,连接CE、BD相交于点F,且∠BEC=∠ADF,连接AF.(1)如图1,连接ED,求证:∠ABD=∠CED;(2)如图2,求证:EF+FD=AF;(3)如图3,取BC的中点G,连接AG交BD于点H,若∠GAC=3∠ABD,BH=7,求△ABH的面积.18、点D,E分别在△ABC的边AC,BD上,BD,CE交于点F,连接AF,∠F AE=∠F AD,FE=FD.(1)如图1,若∠AEF=∠ADF,求证:AE=AD;(2)如图2,若∠AEF≠∠ADF,FB平分∠ABC,求∠BAC的度数;(3)在(2)的条件下,如图3,点G在BE上,∠CFG=∠AFB若AG=6,△ABC的周长为20,求BC长.中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题参考答案1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,(1)求证:CF=BG;(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;(3)在(2)问的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=3,BG=6,求AC的长.证明:(1)如图1,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,∵CG平分∠ACB,∴∠ACG=∠BCG=45°,∴∠A=∠BCG,在△BCG和△CAF中,∵,∴△BCG≌△CAF(ASA),∴CF=BG;(2)如图2,∵PC∥AG,∴∠PCA=∠CAG,∵AC=BC,∠ACG=∠BCG,CG=CG,∴△ACG≌△BCG,∴∠CAG=∠CBE,∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°,∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°,∴∠PCG=∠PGC,∴PC=PG,∵PB=BG+PG,BG=CF,∴PB=CF+CP;(3)解法一:如图3,过E作EM⊥AG,交AG于M,∵S△AEG=AG•EM=3,由(2)得:△ACG≌△BCG,∴BG=AG=6,∴×6×EM=3,EM=,设∠FCH=x°,则∠GAC=2x°,∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°,∵∠ACH=45°,∴2x+x=45,x=15,∴∠ACF=∠GAC=30°,在Rt△AEM中,AE=2EM=2,AM==3,∴M是AG的中点,∴AE=EG=2,∴BE=BG+EG=6+2,在Rt△ECB中,∠EBC=30°,∴CE=BE=3+,∴AC=AE+EC=2+3+=3+3.解法二:同理得:∠CAG=30°,AG=BG=6,如图4,过G作GM⊥AC于M,在Rt△AGM中,GM=3,AM===3,∵∠ACG=45°,∠MGC=90°,∴GM=CM=3,∴AC=AM+CM=3+3.2、[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC.[问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC 交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△ADB,可推证△CEF是等腰直角三角形,从而求得∠DCE=135°.[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数.[拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值.解:[问题初探]如图2,过点E作EF⊥BC交直线BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEG是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=135°,故答案为:ADB,等腰直角,135;[继续探究]如图3,过点E作EF⊥BC于F,∴∠DFE=90°=∠ABD,∴∠EDF+∠DEF=90°,由旋转知,AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADB+∠EDF=90°,∴∠ADB=∠DEF,∴△ABD≌△DFE(AAS),∴BD=EF,DF=AB,∵AB=BC,∴BC=DF,∴BD=CF,∴EF=CF,∴△CEG是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,∴∠DCE=45°;[拓展延伸]如图4,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=,∴∠ACB=45°当点D在射线BC上时,由[问题初探]知,∠BCM=135°,∴∠ACM=∠BCM﹣∠ACB=90°,当点D在线段CB的延长线上时,由[继续探究]知,∠BCE=45°,∴∠ACN=∠ACB+∠BCM=90°,∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点,∴当BE⊥MN时,BE最小,∵∠BCE=45°,∴∠CBE=45°=∠BCE,∴BE=CE,∴BE最小=BC=,即:BE的最小值为.3、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线.(1)如图1,求证:AD=2DC.(2)如图2,作∠CBD的角平分线交线段CD于点M,若CM=1,求△DBM的面积;(3)如图3,过点D作DE⊥AB于点E,点N是线段AC上一点(不与C、D重合),以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,试探究线段ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由.证明:(1)如图1,过点D作DE⊥AB,∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠ACB=90°,∴DC=DE,∵∠A=30°,DE⊥AB,∴AD=2DE,∴AD=2DC;(2)如图2,过点M作ME∥BD,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=30°,∵BM平分∠CBD,∴∠CBM=15°=∠DBM,∵ME∥BD,∴∠MEC=∠CBD=30°,∠EMB=∠DBM=∠MBE,∴ME=BE,∵∠MEC=30°,∠C=90°∴CE=MC=,ME=2MC=2=BE,∴BC=+2,∵∠CBD=30°,∠C=90°,∴BC=CD,∴CD=1+,∴DM=,∴△DBM的面积=××(+2)=1+;(3)若点N在CD上时,AD=DG+DN,理由如下:如图3所示:延长ED使得DW=DN,连接NW,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,∵DN=DW,且∠WDN=60°∴△WDN是等边三角形,∴NW=DN,∠W=∠WND=∠BNG=∠BDN=60°,∴∠WNG=∠BND,在△WGN和△DBN中,∴△WGN≌△DBN(SAS),∴BD=WG=DG+DN,∴AD=DG+DN.(3)若点N在AD上时,AD=DG﹣DN,理由如下:如图4,延长BD至H,使得DH=DN,连接HN,由(1)得DA=DB,∠A=30°.∵DE⊥AB于点E.∴∠2=∠3=60°.∴∠4=∠5=60°.∴△NDH是等边三角形.∴NH=ND,∠H=∠6=60°.∴∠H=∠2.∵∠BNG=60°,∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.即∠DNG=∠HNB.在△DNG和△HNB中,∴△DNG≌△HNB(ASA).∴DG=HB.∵HB=HD+DB=ND+AD,∴DG=ND+AD.∴AD=DG﹣ND.4、如图1,已知直角三角形ABC,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点D是AC边上一点,过D作DE⊥AB于点E,连接BD,点F是BD中点,连接EF,CF.(1)发现问题:线段EF,CF之间的数量关系为EF=CF;∠EFC的度数为120°;(2)拓展与探究:若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(3)拓展与运用:如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.解:(1)如图1中,∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∵∠BCD=90°,BF=DF,∴FE=FB=FD=CF,∴∠FBE=∠FEB,∠FBC=∠FCB,∴∠EFC=∠EFD+∠CFD=∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB=2(∠FBE+∠FBC)=2∠ABC=120°,故答案为:EF=CF,120°.(2)结论成立.理由:如图2中,取AB的中点M,AD的中点N,连接MC,MF,ED,EN,FN.∵BM=MA,BF=FD,∴MF∥AD,MF=AD,∵AN=ND,∴MF=AN,MF∥AN,∴四边形MFNA是平行四边形,∴NF=AM,∠FMA=∠ANF,在Rt△ADE中,∵AN=ND,∠AED=90°,∴EN=AD=AN=ND,同理CM=AB=AM=MB,在△AEN和△ACM中,∠AEN=∠EAN,∠MCA=∠MAC,∵∠MAC=∠EAN,∴∠AMC=∠ANE,又∵∠FMA=∠ANF,∴∠ENF=∠FMC,在△MFC和△NEF中,,∴△MFC≌△NEF(SAS),∴FE=FC,∠NFE=∠MCF,∵NF∥AB,∴∠NFD=∠ABD,∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,△BMC是等边三角形,∠MCB=60°∴∠EFC=∠EFN+∠NFD+∠DFC=∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠MCB=60°+60°=120°.(3)如图3中,作EH⊥AB于H.在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,BC=3,∴AB=2BC=6,在Rt△AED中,∠DAE=30°,AD=2,∴DE=AD=1,在Rt△DEH中,∵∠EDH=60°,DE=1,∴EH=ED•sin60°=,DH=ED•cos60°=,在Rt△EHG中,EG==.5、如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点P是线段AB的中点,点E是线段CB延长线上一点,且PE=PC,将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD,连接BD.(1)如图2,若α=60°,其他条件不变,先补全图形,然后探究线段BD和BC之间的数量关系,并说明理由.(2)如图3,若α=90°,其他条件不变,探究线段BP、BD和BC之间的等量关系,并说明理由.解:(1)BC=2BD,理由:如图2,连接CD,由旋转可得,CP=DP,∠CPD=60°,∴△CDP是等边三角形,∴∠CDP=60°=∠PCD,又∵P是AB的中点,AB=AC,∠A=60°,∴等边三角形ABC中,∠PCB=30°,CP⊥AB,∴∠BCD=30°,即BC平分∠PCD,∴BC垂直平分PD,∴∠BDC=∠BPC=90°,∴Rt△BCD中,BC=2BD.(2)如图3,取BC中点F,连接PF,∵∠A=90°,AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵P是AB的中点,F是BC的中点,∴PF是△ABC的中位线,∴PF∥AC,∴∠PFB=∠ACB=45°,∠BPF=∠A=90°,∴△BPF是等腰直角三角形,∴BF=BP,BP=PF,∵∠DPC=∠BPF=90°,∴∠BPD=∠FPC,又∵PD=PC,∴△BDP≌△FCP,∴BD=CF,∵BC=BF+FC,∴BC=BD+BP.6、【发现问题】如图1,已知△ABC,以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE.请你以A为直角顶点、AC为腰,向△ABC外作等腰直角△ACD(不写作法,保留作图痕迹).连接BD、CE.那么BD与CE的数量关系是BD=CE.【拓展探究】如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由.【解决问题】如图3,有一个四边形场地ABCD,∠ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD的最大值.【发现问题】解:延长CA到M,作∠MAC的平分线AN,在AN上截取AD=AC,连接CD,即可得到等腰直角△ACD;连接BD、CE,如图1所示:∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形,∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE,【拓展探究】解:BD=CE;理由如下:∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形,∴AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°,∴∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE;【解决问题】解:以AB为边向外作等边三角形ABE,连接CE,如图3所示:则∠BAE=60°,BE=AB=AE=8,∵AD=CD,∠ADC=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠CAD=60°,AC=AD,∴∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠BAD=∠EAC,在△BAD和△EAC中,,∴△BAD≌△EAC(SAS),∴BD=CE;当C、B、E三点共线时,CE最大=BC+BE=15+8=23,∴BD的最大值为23.7、如图1,点C为线段AB外一个动点,已知AB=a,AC=b.当点C位于BA的延长线上时,线段BC取得最大值,则最大值为a+b(用含a,b的式子表示);(2)如图2,点C为线段AB外一个动点,若AB=10,AC=3,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,DB.①求证:AE=DB;②请直接写出线段AE的最大值;(3)如图3,AB=6,点M为线段AB外一个动点,且AM=2,MB=MN,∠BMN=90°,请直接写出线段AN的最大值.(1)解:∵点C为线段AB外一动点,且AC=b,AB=a,∴当点C位于BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为AC+AB=a+b,(2)①证明:如图2中,∵△ACD与△BCE是等边三角形,∴CD=AC,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△CAD与△EAB中,,∴△CAD≌△EAB(SAS),∴AE=BD.②∵线段AE长的最大值=线段BD的最大值,由(1)知,当线段BD的长取得最大值时,点D在BA的延长线上,∴最大值为AD+AB=3+10=13;(3)如图3中,连接BN,∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM,连接AP,则△APM是等腰直角三角形,∴MA=MP=2,BP=AN,∴P A=2,∵AB=6,∴线段AN长的最大值=线段BP长的最大值,∴当P在线段BA的延长线时,线段BP取得最大值最大值=AB+AP=6+2.8、【初步探索】(1)如图1:在四边形ABC中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF =BE+FD,探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是∠BAE+∠F AD=∠EAF;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请写出∠EAF与∠DAB的数量关系,并给出证明过程.解:(1)∠BAE+∠F AD=∠EAF.理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据SAS可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再根据SSS可判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.故答案为:∠BAE+∠F AD=∠EAF;(2)仍成立,理由:如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;(3)∠EAF=180°﹣∠DAB.证明:如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ADC=∠ABE,又∵AB=AD,∴△ADG≌△ABE(SAS),∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠F AE=∠F AG,∵∠F AE+∠F AG+∠GAE=360°,∴2∠F AE+(∠GAB+∠BAE)=360°,∴2∠F AE+(∠GAB+∠DAG)=360°,即2∠F AE+∠DAB=360°,∴∠EAF=180°﹣∠DAB.9、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P逆时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=45°,AC=,请直接写出BQ的长.解:(1)CP=BQ,理由:如图1,连接OQ,由旋转知,PQ=OP,∠OPQ=60°⊅∴△POQ是等边三角形,∴OP=OQ,∠POQ=60°,在Rt△ABC中,O是AB中点,∴OC=OA=OB,∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ,∴∠COP=∠BOQ,在△COP和△BOQ中,,∴△COP≌△BOQ(SAS),∴CP=BQ,(2)CP=BQ,理由:如图2,连接OQ,由旋转知,PQ=OP,∠OPQ=60°∴△POQ是等边三角形,∴OP=OQ,∠POQ=60°,在Rt△ABC中,O是AB中点,∴OC=OA=OB,∴∠BOC=2∠A=60°=∠POQ,∴∠COP=∠BOQ,在△COP和△BOQ中,,∴△COP≌△BOQ(SAS),∴CP=BQ,(3)如图3,在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=,∴BC=AC•tan∠A=,过点O作OH⊥BC,∴∠OHB=90°=∠BCA,∴OH∥AB,∵O是AB中点,∴CH=BC=,OH=AC=,∵∠BPQ=45°,∠OHP=90°,∴∠BPQ=∠PQH,∴PH=OH=,∴CP=PH﹣CH=﹣=,连接BQ,同(1)的方法得,BQ=CP=.10、模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为b+c(用含b,c的式子表示)(直接填空)模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为5.模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB =8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.解:当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,最大值为b+c,故答案为:线段BA的延长线上;b+c;模型应用:(1)证明:∵△ACD、△BCE都是等边三角形,∴CD=CA=AD,CB=CE,∠ACD=60°,∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△DCB和△ACE中,,∴△DCB≌△ACE(SAS)∴BD=AE;(2)当点D位于线段BA的延长线上时,线段BD的长取得最大值,最大值为AB+AD=AB+AC=3+2=5,∵AE=BD,∴线段AE长的最大值为5,模型拓展:取AB的中点G,连接OG、CG,在Rt△AOB中,G为AB的中点,∴OG=AB=4,在Rt△CAG中,CG===5,当点O、G、C在同一条直线上时,OC最大,最大值为4+5=9.11、已知:△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.(1)如图1,点D在BC的延长线上,连AD,过B作BE⊥AD于E,交AC于点F.求证:AD=BF;(2)如图2,点D在线段BC上,连AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,连BE交AC于F,连DE,问BD与CF有何数量关系,并加以证明;(3)如图3,点D在CB延长线上,AE=AD且AE⊥AD,连接BE、AC的延长线交BE于点M,若AC =3MC,请直接写出的值.(1)证明:如图1中,∵BE⊥AD于E,∴∠AEF=∠BCF=90°,∵∠AFE=∠CFB,∴∠DAC=∠CBF,∵BC=CA,∴△BCF≌△ACD,∴BF=AD.(2)结论:BD=2CF.理由:如图2中,作EH⊥AC于H.∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°,∴∠DAC+∠ADC=90°,∠DAC+∠EAH=90°,∴∠DAC=∠AEH,∵AD=AE,∴△ACD≌△EHA,∴CD=AH,EH=AC=BC,∵CB=CA,∴BD=CH,∵∠EHF=∠BCF=90°,∠EFH=∠BFC,EH=BC,∴△EHF≌△BCF,∴FH=CF,∴BD=CH=2CF.(3)如图3中,同法可证BD=2CM.∵AC=3CM,设CM=a,则AC=CB=3a,BD=2a,∴==.12、已知在△ABC中,AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部,分别交线段AC于点G、H.(1)如图1,若∠ABC=60°,∠MBN=30°,作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F.①求证:∠1=∠2;②如图2,若BF=2AF,连接CF,求证:BF⊥CF;(2)如图3,点E为BC上一点,AE交BM于点F,连接CF,若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求的值.(1)①证明:如图1中,∵AB=AC,∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AD⊥BN,∴∠ADB=90°,∵∠MBN=30°,∠BFD=60°=∠1+∠BAF=∠2+∠BAF,∴∠1=∠2②证明:如图2中,在Rt△BFD中,∵∠FBD=30°,∴BF=2DF,∵BF=2AF,∴BF=AD,∵∠BAE=∠FBC,AB=BC,∴△BFC≌△ADB,∴∠BFC=∠ADB=90°,∴BF⊥CF(2)在BF上截取BK=AF,连接AK.∵∠BFE=∠2+∠BAF,∠CFE=∠4+∠1,∴∠CFB=∠2+∠4+∠BAC,∵∠BFE=∠BAC=2∠EFC,∴∠1+∠4=∠2+∠4∴∠1=∠2,∵AB=AC,∴△ABK≌CAF,∴∠3=∠4,S△ABK=S△AFC,∵∠1+∠3=∠2+∠3=∠CFE=∠AKB,∠BAC=2∠CEF,∴∠KAF=∠1+∠3=∠AKF,∴AF=FK=BK,∴S△ABK=S△AFK,∴=2.13、已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC任意一点,连接BE.(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;(2)如图2,F也为AC上一点,且满足AE=CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG;①若AG平分∠CAD,求证:AH=AC;②如图3,当G落在△ABC外时,若将△EFG沿EF边翻折,点G刚好落在AB边上点P,直接写出AG与EF的数量关系.(1)解:如图1中,在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.在Rt△ABE中,∵OB=OE,∴BE=2OA=2,∵MB=ME,∴∠MBE=∠MEB=15°,∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°,设AE=x,则ME=BM=2x,AM=x,∵AB2+AE2=BE2,∴(2x+x)2+x2=22,∴x=(负根已经舍弃),∴AB=AC=(2+)•,∴BC=AB=+1.方法二:作EH⊥BC于H,求出BH,CH即可解决问题.(2)证明:如图2中,作CP⊥AC,交AD的延长线于P,GM⊥AC于M.∵BE⊥AP,∴∠AHB=90°,∴∠ABH+∠BAH=90°,∵∠BAH+∠P AC=90°,∴∠ABE=∠P AC,在△ABE和△CAP中,,∴△ABE≌△CAP,∴AE=CP=CF,∠AEB=∠P,在△DCF和△DCP中,,∴△DCF≌△DCP,∴∠DFC=∠P,∴∠GFE=∠GEF,∴GE=GF,∵GM⊥EF,∴FM=ME,∵AE=CF,∴AF=CE,∴AM=CM,在△GAH和△GAM中,,∴△AGH≌△AGM,∴AH=AM=CM=AC(3)解:结论:AG=EF.理由:如图3中,作CM⊥AC交AD的延长线于M,连接PG交AC于点O.由(2)可知△ACM≌△BAE,△CDF≌△CDM,∴∠AEB=∠M=∠GEF,∠M=∠CFD=∠GFE,AE=CM=CF,∴∠GEF=∠GFE,∴GE=GF,∵△EFP是由△EFG翻折得到,∴EG=EP=GF=PF,∴四边形EGFP是菱形,∴PG⊥AC,OE=OF,∵AE=CF,∴AO=OC,∵AB∥OP,∴BP=PC,∵PF∥BE,∴EF=CF=AE,∵PB=PC,AO=OC,∴PO=OG=AB,∴AB=PG,AB∥PG,∴四边形ABPG是平行四边形,∴AG∥BC,∴∠GAO=∠ACB=45°,设EO=OF=a,则OA=OG=3a,AG=3a,∴==,∴AG=EF14、如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,连接CD;(1)如图1,求证:AB=2CD;(2)如图2,作CF⊥AB交AB于F,点G为CF上一点,点H为DE延长线上一点,分别连接AH、GH,若∠AHG=2∠B,求证:AH=GH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,且有DE=BF,∠EDG=90°,若AC=6,求AH的长度.解:(1)∵E为AC中点,作ED⊥AC交AB于D,∴AD=CD,∵∠ACB=90°,∴BC∥DE,∴AD=BD,∴CD=BD,∴AB=2CD;(2)如图2,连接CH,∵点E是AC的中点,∴AE=CE,∵DE⊥AC,∴CH=AH,∴∠ACH=∠CAH,∵∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°,∵CF⊥AB,∴∠BAC+∠ACF=90°,∴∠ACF=∠B,∴∠HCG=∠ACH+∠ACF=∠CAH+∠B,∠AHG=2∠B∴在四边形AHGF中,∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH=360°,∴∠FGH=360°﹣(∠AFG+∠AHG+∠F AH)=360°﹣(90°+2∠B+∠CAH+∠BAC)=360°﹣(90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B)=360°﹣(180°+∠B+∠CAH)=180°﹣(∠B+∠CAH),∵∠CGH=180°﹣∠FGH=∠B+∠CAH=∠HCG,∴CH=GH,∵CH=AH,∴AH=GH;(3)如图3,由(1)知,DE∥BC,∴∠B=∠ADE,在△BFC和△DEA中,,∴△BFC≌△DEA,∴BC=AD,∵AD=BD=CD,∴BC=BD=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠B=60°,在Rt△ABC中,AC=6,∴BC=2,AB=4,∵CF⊥BD,∴DF=,CF=3,∵∠BAC=30°,∴∠ADE=60°,∵∠EDG=90°,∠FDG=30°,在Rt△DFG中,DF=,∴FG=1,DG=2,∴CG=CF﹣FG=2过点H作HN⊥CF,由(2)知,CH=GH,∴NG=CG=1,∴FN=NG+FG=2,过点H作HM⊥AB,∴∠FMH=∠NFM=∠HNF=90°,∴四边形NFMH是矩形,∴HM=FN=2,在Rt△DMH中,∠ADE=60°,HM=2,∴DH=,在Rt△HDG中,根据勾股定理得,HG==.15、【问题情境】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:如图:已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB于点G,求证:△CDE≌△EGF.(1)阅读理解,完成解答本题证明的思路可用下列框图表示:根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;(2)特殊位置,证明结论若CE平分∠ACD,其余条件不变,求证:AE=BF;(3)知识迁移,探究发现如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.(不必写解答过程)(1)证明:∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠DCB=45°,∵∠ECF=∠DCB+∠1=45°+∠1,∠EFC=∠B+∠2=45°+∠2,∠1=∠2,∴∠ECF=∠EFC,∴CE=EF,∵CD⊥AB,FG⊥AB,∴∠CDE=∠EGF=90°,在△CDE和△EGF中,,∴△CDE≌△EGF(AAS);(2)证明:由(1)得:CE=EF,∠A=∠B,∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠1,∵∠1=∠2,∴∠ACE=∠2,在△ACE和△BEF中,,∴△ACE≌△BEF(AAS),∴AE=BF;(3)AE=BF,作EH⊥BC与H,如图3所示:设DE=x,根据题意得:BE=DE=x,AD=BD=2x,CD=AD=2x,AE=3x,根据勾股定理得:BC=AC=2x,∵∠ABC=45°,EH⊥BC,∴BH=x,∴CH=BC﹣BH=x,∵EC=EF,∴FH=CH=x,∴BF=x﹣x=x,∴=,∴AE=.16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中,∠BGF=90°,P是DF的中点,连接PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时,延长GP交DC于点E.求证:PG=PC;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论;(3)如图3,若四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,△BGF为等边三角形,点F在CB的延长线。
中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)
中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。
动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识.几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形(平行四边形矩形菱形正方形)圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1)分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3)“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的.常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 (2024·江西九江·二模)如图 在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形 则符合条件的点P 的个数是( )A .1B .3C .4D .52 (2024·江西吉安·模拟预测)如图 在平面直角坐标系中 边长为23ABC 的顶点A B ,分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动 连接OC 则OC 的最小值为( )A .2B .3C .33D .333 (2024·江西吉安·一模)如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上 则当BEC 的一个内角度数为60︒时 符合条件的点E 的个数共有( )A .4个B .5个C .6个D .7个4 (2023·江西·中考真题)如图 在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=, 将AB 绕点A 逆时针旋转角α(0360α︒<<︒)得到AP 连接PC PD .当PCD 为直角三角形时 旋转角α的度数为 .5 (2024·江西吉安·二模)如图 在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点 点P 在AE 下方矩形的边上.当APE 为直角三角形 且P 为直角顶点时 BP 的长为 .6 (2024·江西九江·二模)如图 在平面直角坐标系中 已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点 点P 为矩形OABC 边上任意一点 将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上 则点E 的坐标为 .7 (2024·江西·模拟预测)如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处 射线CA '与射线AB 相交于点E .若A DE '是等腰三角形 则α∠的度数为 .8 (2024·江西赣州·二模)在Rt ABC △中 已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上 点N 在边BC 上 且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = .9 (2024·江西吉安·模拟预测)如图 在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动.在运动过程中 若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为 .10 (2024·江西吉安·三模)如图 在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点 当APD △为直角三角形时 BP 的长为 .11 (2024·江西吉安·一模)如图 矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点 连接BE 点P 在矩形的边上 且在BE 的上方 则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为 .12 (2024·江西九江·二模)如图 在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点 沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC .当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时 则BD 的长为 .13 (2024·江西·模拟预测)如图 在菱形ABCD 中 对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点 当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为 .14 (2024·江西上饶·一模)如图 在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠 使点B 的对应点B '落在AC 上 折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为 .15 (2024·江西抚州·一模)课本再现(1)如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证:ADE 是等腰直角三角形.类比探究(2)①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点 过点E 分别作AC 与BC 的垂线 垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证:DGF △是等腰直角三角形.②如图3 当点E 在边AB 上 且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立?_______(填“是”或“否”).拓展应用(3)如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长.16 (2023·江西·中考真题)课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直.反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(1)定理证明:为了证明该定理小明同学画出了图形(如图1)并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程.已知:在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O.求证:ABCD是菱形.(2)知识应用:如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===,,.①求证:ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值.17 (2022·江西·中考真题)问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处 并绕点O 逆时针旋转 探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).(1)操作发现:如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处 在旋转过程中 当OF 与OB 重合时 重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时 重叠部分的面积为__________ 一般地 若正方形面积为S 在旋转过程中 重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究:若将三角板的顶点F 放在点O 处 在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N .①如图2 当BM CN =时 试判断重叠部分OMN 的形状 并说明理由②如图3 当CM CN =时 求重叠部分四边形OMCN 的面积(结果保留根号)(3)拓展应用:若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处 该锐角记为GOH ∠(设GOH α∠=) 将GOH ∠绕点O 逆时针旋转 在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值(分别用含α的式子表示)(参考数据:6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 (2024·江西吉安·二模)如图 在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠.连接CE BD .(1)求证:BD CE =.(2)在图2中 点B D E 在同一直线上 且点D 在AC 上 若,AB a BC b == 求AD CD的值(用含a b 的代数式表示).19 (2024·江西九江·二模)初步探究(1)如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为 .迁移探究(2)如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = (1)中OA 与OC 的数量关系还成立吗?如果成立 请说明理由.拓展探究(3)如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长.20 (2024·江西九江·二模)课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =.(1)求,AB AC 的长.应用拓展(2)如图2 E 为AB 上一动点 连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF .①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长.21 (2024·江西赣州·三模)某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程:AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出:如图正方形ABCD中8△.点向右作等腰直角DPM(1)操作发现:DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考:求证:点M在射线BC上=时求CM的长.(3)拓展应用:当CP CM22 (2024·江西赣州·二模)【课本再现】 思考我们知道 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 反过来 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【定理证明】(1)为证明此逆定理 某同学画出了图形 并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程.已知:如图1 在ABC ∠的内部 过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =.求证:BP 平分ABC ∠.【知识应用】(2)如图2 在ABC 中 过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC .①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长.23 (2024·江西吉安·模拟预测)一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究:课本再现:(1)在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究(2)如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由.拓展延伸(3)①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______(直接写出结果)②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值.24 (2024·江西吉安·三模)课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形.定义应用(1)如图1 已知:在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证:四边形ABCD 是矩形.(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点 连接DE CE 且DE CE = 求证:四边形ABCD 是矩形.拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠 使点A 落在BC 边上的点F 处 若图中的四个三角形都相似 求AB BC的值.25 (2024·江西吉安·一模)课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.=(1)如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证:OA OC =.OB OD知识应用=延长AC到E 使得(2)在ABC中点P为BC的中点.延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE.如图2 连接BE若60数量关系.写出你的结论并加以证明.26 (2024·江西九江·二模)问题提出在综合与实践课上 某数学研究小组提出了这样一个问题:如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F (点E 与点B C 不重合) 将EOF ∠绕点O 旋转.在旋转过程中 四边形OECF 的面积会发生变化吗?爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路.浩浩:如图a 充分利用正方形对角线垂直 相等且互相平分等性质 证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形.这样 就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化.小航:如图b 考虑到正方形对角线的特征 过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积.(1)通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________.类比探究(2)①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上 点F 在BC 上 则EB BF +=__________.②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时 其他条件不变 四边形OECF 的面积还是一个定值吗?若是 请求出四边形OECF 的面积 若不是 请说明理由.拓展延伸(3)如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线 求四边形ABCD 的面积.27 (2024·江西九江·模拟预测)【课本再现】(1)如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点 且AC EC = 则DAE ∠的度数为 .【变式探究】(2)如图2 将(1)中的ABE 沿AE 折叠 得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长.【延伸拓展】(3)如图3 当(2)中的点E 在射线BC 上运动时 连接B B ' B B '与AE 交于点P .探究:当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短?请求出最短距离.28 (2024·江西上饶·一模)课本再现:(1)如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点 且AD CE =.求证:CD BE =.下面是小涵同学的证明过程:证明:ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒.AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=.小涵同学认为此题还可以得到另一个结论:BFD ∠的度数是______迁移应用:(2)如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG .利用(1)中的结论完成下面的问题.①求证:AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系.参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。
中考数学初二几何问题[1]
中考数学初二几何问题1(08黑龙江鸡西26题)26.(本小题满分8分)已知:正方形ABCD 中,45MAN ∠=,MAN ∠绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB DC ,(或它们的延长线)于点M N ,. 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时(如图1),易证BM DN MN +=. (1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时(如图2),线段BM DN ,和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.(2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM DN ,和MN 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.2(08辽宁沈阳)25.已知:如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ,,在一条直线上,连接BE CD M N ,,,分别为BE CD ,的中点. (1)求证:①BE CD =;②AMN △是等腰三角形.(2)在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P .求证:PBD AMN △∽△.B B M BC N C NMC N M 图1 图2图3 A A A D D D C E N D A BM图① C A EM B D N图② 第25题图C A BEF M N 图①CABE MN 图②3(08辽宁大连)25.点A 、B 分别是两条平行线m 、n 上任意两点,在直线n 上找一点C ,使BC = kAB ,连结AC ,在直线AC 上任取一点E ,作∠BEF =∠A BC ,EF 交直线m 于点F . ⑴如图15,当k = 1时,探究线段EF 与EB 的关系,并中以说明;说明:①如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写三步);②在完成①之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC 为特殊角),在图16中补全图形,完成证明(选择添加条件比原题少得3分).⑵如图17,若∠ABC = 90°,k ≠1,探究线段EF 与EB 的关系,并说明理由.4(08天津市卷)25.(本小题10分)已知Rt △ABC 中,︒=∠90ACB ,CB CA =,有一个圆心角为︒45,半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转,且直线CE ,CF 分别与直线AB 交于点M ,N . (Ⅰ)当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时,如图①,求证:222BN AM MN +=;思路点拨:考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM 沿直线CE 对折,得△DCM ,连DN ,只需证BN DN =,︒=∠90MDN 就可以了.请你完成证明过程:(Ⅱ)当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时,关系式222BN AM MN +=是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 图 17图 16图 15A E BC F n m m n n mF EABC5(08河北省卷24题)24.(本小题满分10分)如图14-1,ABC △的边BC 在直线l 上,AC BC ⊥,且AC BC =;EFP △的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF FP =.(1)在图14-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; (2)将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连结AP ,BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3)将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ,连结AP ,BQ .你认为(2)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.6(08山西太原)28.(本小题满分10分)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片ABC △和DEF △.将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合,把DEF △绕点B 顺时针方向旋转,这时AC 与DF 相交于点O .(1)当DEF △旋转至如图②位置,点()B E ,C D ,在同一直线上时,AFD ∠与DCA ∠的数量关系是 . 2分(2)当DEF △继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. (3)在图③中,连接BO AD ,,探索BO 与AD 之间有怎样的位置关系,并证明. A (E )BC (F ) PlllB FC 图14-1图14-2图14-3C A E F BD OA FB (E ) A DO F CB (E ) 图① 图② 图③7(08山东临沂)25.(本小题满分11分)已知∠MAN ,AC 平分∠MAN 。
中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)
中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)类型1 类比探究的几何综合题类型2 与图形变换有关的几何综合题类型3 与动点有关的几何综合题类型4 与实际操作有关的几何综合题类型5 其他类型的几何综合题类型1 类比探究的几何综合题(2018苏州)(2018烟台)(2018东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=33,BO:CO=1:3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).请回答:∠ADB= °,AB= .(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC=∠ACB=75°, BO:OD=1:3,求DC的长.(2018长春)(第24题图1) (第24题图2) (第24题图3)(2018陕西)(2018齐齐哈尔)(2018河南)(2018仙桃)问题:如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为;探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;应用:如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.(2018襄阳)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;的值为;②推断:AGBE(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE 之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22,则BC= .(2018淮安)(2018咸宁)(2018黄石)在△ABC 中,E 、F 分别为线段AB 、AC 上的点(不与A 、B 、C 重合). (1)如图1,若EF ∥BC ,求证:AEF ABC S AE AFS AB AC∆∆= (2)如图2,若EF 不与BC 平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)如图3,若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心,34AE AB =,求AEFABC S S ∆∆的值.BBB(2018山西)(2018盐城)【发现】如图①,已知等边ABC ,将直角三角形的60角顶点D 任意放在BC 边上(点D 不与点B 、C 重合),使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F .(1)若6AB=,4AE=,2BD=,则CF=_______;(2)求证:EBD DCF∆∆.【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示.问点D是否存在某一位置,使ED平分BEF∠且FD平分CFE∠?若存在,求出BDBC的值;若不存在,请说明理由.【探索】如图③,在等腰ABC∆中,AB AC=,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处(其中MON B∠=∠),使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与ABC∆的顶点重合),连接EF.设Bα∠=,则AEF∆与ABC∆的周长之比为________(用含α的表达式表示).(2018绍兴)(2018达州)(2018菏泽)(2018扬州)问题呈现如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN与EC相交于点P,求tan CPN∠的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中CPN∠不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N,可得∠就变换到中Rt DMN∆.∠=∠,连接DM,那么CPNMN EC,则DNM CPN//问题解决(1)直接写出图1中tan CPN ∠的值为_________;(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN 与CM 相交于点P ,求cos CPN ∠的值; 思维拓展(3)如图3,AB BC ⊥,4AB BC =,点M 在AB 上,且AM BC =,延长CB 到N ,使2BN BC =,连接AN 交CM 的延长线于点P ,用上述方法构造网格求CPN ∠的度数.(2018常德)已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点,点M 在线段BD 上,作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE ⊥于H ,设直线DH 交AC 于N .(1)如图14,当M 在线段BO 上时,求证:MO NO =;(2)如图15,当M 在线段OD 上,连接NE ,当//EN BD 时,求证:BM AB =; (3)在图16,当M 在线段OD 上,连接NE ,当NE EC ⊥时,求证:2AN NC AC =⋅.(2018滨州)(2018湖州)(2018自贡)如图,已知AOB 60∠=,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合,它的两条边分别与直线OA OB 、相交于点D E 、 .⑴当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1),请猜想OE OD +与OC 的数量关系,并说明理由;⑵当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时,到达图2的位置,⑴中的结论是否成立?并说明理由; ⑶当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD OE 、与OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.(2018嘉兴、舟山)O BOO B图3.(2018淄博)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC ,其中AB AC =,在ABC ∆的外侧分别以,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ACE ,,分别取,BD CE ,BC 的中点,,M N G ,连接,GM GN .小明发现了:线段GM 与GN 的数量关系是 ;位置关系是 . (2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形,其中AB AC >,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由. (3)深入研究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向ABC ∆的内侧分别作等腰直角三角形,ABD ACE ,其它条件不变,试判断GMN ∆的形状,并给与证明.类型2 与图形变换有关的几何综合题(2018宜昌)在矩形ABCD 中,12AB =,P 是边AB 上一点,把PBC 沿直线PC 折叠,顶点B 的对应点是点G ,过点B 作BE CG ⊥,垂足为E 且在AD 上,BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点,求证:AEB DEC ∆∆≌; (2) 如图2,①求证: BP BF =;②当AD 25=,且AE DE <时,求cos PCB ∠的值; ③当BP 9=时,求BE EF 的值.图1 图2 图2备用图 23.(1)证明:在矩形ABCD 中,90,A D AB DC ∠=∠==, 如图1,又AE DE =,图1∆≅∆,ABE DCE(2)如图2,图2①在矩形ABCD中,90∠=,ABC∆沿PC折叠得到GPC∆BPC∠=∠∴∠=∠=,BPC GPC PGC PBC90⊥BE CG∴,BE PG//∴∠=∠GPF PFBBPF BFP∴∠=∠∴=BP BFAD=时,②当25∠=BEC90∴∠+∠=,90AEB CED90AEB ABE ∠+∠=,CED ABE ∴∠=∠ 又90A D ∠=∠=,ABE DEC ∴∆∆∽AB DEAE CD∴=∴设AE x =,则25DE x =-,122512xx -∴=, 解得19x =,216x =AE DE <9,16AE DE ∴==, 20,15CE BE ∴==,由折叠得BP PG =,BP BF PG ∴==,//BE PG , ECF GCP ∴∆∆∽EF CEPG CG∴=设BP BF PG y ===,152025y y -∴=253y ∴=则253BP = 在Rt PBC ∆中,PC =,cos 10BC PCB PC ∠=== ③若9BP =,解法一:连接GF ,(如图3)90GEF BAE ∠=∠=, //,BF PG BF PG =∴四边形BPGF 是平行四边形BP BF =,∴平行四边形BPGF 是菱形//BP GF ∴, GFE ABE ∴∠=∠, GEF EAB ∴∆∆∽EF ABGF BE∴=129108BE EF AB GF ∴==⨯= 解法二:如图2,90FEC PBC ∠=∠=,EFC PFB BPF ∠=∠=∠, EFC BPC ∴∆∆∽EF CEBP CB∴=又90BEC A ∠=∠=, 由//AD BC 得AEB EBC ∠=∠,AEB EBC ∴∆∆∽AB CEBE CB∴=AE EFBE BP∴=129108BE EF AE BP ∴==⨯=解法三:(如图4)过点F 作FH BC ⊥,垂足为HBPF PFEGS BF BFS EF PG BE∆==+四边形图41212BFC BEC S BF EF BC EFBE S BC ∆∆⋅===⨯ 912EFBE ∴=129108BE EF ∴=⨯=(2018邵阳)(2018永州)(2018无锡)(2018包头)(2018赤峰)(2018昆明)(2018岳阳)(2018宿迁)(2018绵阳)(2018南充)(2018徐州)类型3 与动点有关的几何综合题(2018吉林)(2018黑龙江龙东)(2018黑龙江龙东)(2018广东)已知Rt△OAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o,如图25-1图,连接BC.(1)填空:∠OBC=_______o;(2)如图25-1图,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图25-2图,点M、N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号)(2018衡阳)(2018黔东南)如图1,已知矩形AOCB,6cm s的AB cm=,动点P从点A出发,以3/=,16BC cm速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2/cm s的速度向点B运动,与点P同时结束运动.(1)点P 到达终点O 的运动时间是________s ,此时点Q 的运动距离是________cm ; (2)当运动时间为2s 时,P 、Q 两点的距离为________cm ; (3)请你计算出发多久时,点P 和点Q 之间的距离是10cm ;(4)如图2,以点O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴,1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系,连结AC ,与PQ 相交于点D ,若双曲线ky x=过点D ,问k 的值是否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出k 的值.(2018青岛)已知:如图,四边形ABCD ,//,AB DC CB AB ⊥,16,6,8AB cm BC cm CD cm ===,动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动,动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动,它们的运动速度均为2/cm s .点P 和点Q 同时出发,以QA QP 、为边作平行四边形AQPE ,设运动的时间为()t s ,05t <<.根据题意解答下列问题: (1)用含t 的代数式表示AP ;(2)设四边形CPQB 的面积为()2S cm ,求S 与t 的函数关系式; (3)当QP BD ⊥时,求t 的值;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使点E 在ABD ∠的平分线上?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.(2018广州)如图12,在四边形ABCD 中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数(2)连接BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系,并说明理由。
中考数学专题复习:几何综合题
【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1.概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.性质:全等三角形的对应边、对应角分别相等. 3.判定:(1)有三边对应相等的两个三角形全等,简记为(SSS); (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为(SAS); (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为(ASA); (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为(AAS); (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为(HL).
三角形专题
1,掌握三角形相关基础知识(2课时)
目标
2,掌握三角形有关模型的全等或相似证明(3课时) 3,完成三角形有关模型的全等或相似证明(3课时)
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1.三角形的高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高线,简称高. 特性:三角形的三条高线相交于一点. 2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:三角 形的三条中线交于一点. 3.三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于它的一半 4.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线. 特性:三角形的三条角平分线交于一点,这点叫做三角形的内心. 性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
小组合作
1.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段
初三数学 几何综合-中考必做题(详解版)
中,点 是 边的中点,延长 至点 ,使
,连接
, .将
绕点 按顺时针方向旋转.当点 恰好落在 上的点 处时,连接 、
、 ,则 的长是
.
答案
解析 如图,过 作
于 ,过 作
于 ,过 作
.
∵
,
,
∵四边形
是正方形,
∴
,
∴
,
由勾股定理得:
,
∵
,
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
由旋转得
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
,
,交 于 ,交 于
和
,连接 、 , 与 的延长线交于点 ,下列结论:①
;②
;③
是
的中线;④
,其中,正确结论的个数是 ( ).
A.
B.
答案 A
解析 在正方形
和
中,
C.
,
,
D. ,
∴
,
即
,
∵在
和
中,
,
∴
≌
,
∴
,(故①正确);
设 、 相交于点 ,
∵
≌
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,(故②正确);
过点 作
的延长线于 ,过点 作
于,
∵
,
∴
圆 圆的基础知识 圆心角、弧、弦的关系
, 不一定成立,因此④不正确.
10
如图,已知 是⊙ 的直径,点 在 上,过点 的直线与 的延长线交于点 ,
初三复习:几何综合题精选
初三几何综合题(精选至2022年九年级上半年各地检测题,答案见视频)1.如图1,在△ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,点D,E分别在边CA,CB上,CD=CE,连接DE,AE,BD,过点C作CF⊥AE, 垂足为H,直线CF交直线BD于F.(1)求证:DF=BF;(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转,其他条件不变,如图2,(1)的结论是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)若CD=2,CB=4,将△CDE绕点C逆时针旋转一周,当A,E,D三点共线时,直接写出CF的长。
2.如图1,在△ABE和△ACD中,AE=AB,AD=AC,且∠BAE=∠CAD,则可证明得到△AEC≌△ABD.【初步探究】(1)如图2,△ABC为等边三角形,过A点作AC的垂线l,点P为l上一动点(不与点A重合),连接CP,把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ,连接QB.请写出AP与BQ的数量关系并说明理由;【深入探究】(2)如图3,在(1)的条件下,连接PB并延长PB交直线CQ于点D.当点P运动到PD⊥CQ时,若AC=√(2),求PB的长;【拓展探究】(3)如图4,在△ABC中,∠ACB=45°,以AB为直角边,A为直角顶点向外作等腰直角△ABD,连接CD,若AC=1,BC=3,则CD长为____.3.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC.(1)特殊情形:如图1,若点D,E分别在边AB,AC上,则DB____EC.(填>、【初步感知】<、=)(2)发现证明:如图2,将图1中△ADE绕点A旋转,当点D在△ABC外部,点E在△ABC内部时,求证:DB=EC.【深入研究】(3)如图3,△ABC和△ADE都是等边三角形,点C,E,D在同一条直线上,则∠CDB的度数为_____; 线段CE,BD之间的数量关系为_____。
中考数学20道经典几何题
中考数学20道经典几何题1.已知三角形ABC,AB=AC,∠A=36°,求BC与AB的比值。
2.直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求斜边AB上的高。
3.四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,若AB=5,AC=8,BD=6,求平行四边形ABCD的面积。
4.三角形ABC中,∠A=90°,D为BC中点,E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE²+CF²=EF²。
5.圆O的半径为5,弦AB=8,求圆心O到弦AB的距离。
6.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠B=60°,AD=3,BC=7,求梯形ABCD的周长。
7.三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,求三角形ABC的外接圆半径。
8.正方形ABCD的边长为4,E是BC中点,F是CD上一点,且CF=1,求∠AEF的度数。
9.三角形ABC是等边三角形,D是AC中点,E在BC延长线上,CE=CD,求证:BD=DE。
10.矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P在AD上,且AP=2,求点P到对角线BD的距离。
11.三角形ABC中,AB=AC,D是BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若AB=5,DE=3,求DF的值。
12.菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,求菱形ABCD的边长。
13.三角形ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,以BC为直径作圆O,交AC于D,求AD的长。
14.等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB=4,求三角形ABC的面积。
15.三角形ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以AC为一边向三角形外作等腰直角三角形ACD,∠ACD=90°,求BD的长。
16.圆O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交圆O于D,求CD的长。
(完整版)中考数学几何综合题
几何综合题复习几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型与几何论证型综合题,它主要考查考生综合运用几何知识的能力。
、几何论证型综合题例1、(盐城)如图,已知:⊙ O1与⊙O2 是等圆,它们相交于A、B 两点,⊙ O2在⊙O1 上,AC 是⊙ O2的直径,直线CB交⊙O1于D,E为AB 延长线上一点,连接DE。
(1)请你连结AD ,证明:AD 是⊙ O1 的直径;(2)若∠ E=60°,求证:DE 是⊙ O1 的切线。
分析:解几何综合题,一要注意图形的直观提示,二要注意分析挖掘题目的隐含条件,不断地由已知想可知,发展条件,为解题创条件打好基础。
证明:1)连接AD ,∵ AC 是⊙ O2的直径,AB⊥DC ∴∠ ABD=90° ,∴ AD 是⊙ O1 的直径2)证法一:∵ AD 是⊙ O1的直径,∴O1 为AD 中点连接O1O2,∵点O2 在⊙O1上,⊙ O1与⊙O2 的半径相等,∴O1O2=AO1=AO 2E ∴△AO 1O2是等边三角形,∴∠AO 1O2=60° 由三角形中位线定理得:O1O2∥DC ,∴∠ ADB= ∠AO 1O2=60 °∵AB⊥DC,∠ E=60,∴∠ BDE=30 ,∠ ADE= ∠ADB+ ∠BDE=60° +30°=90° 又AD 是直径,∴DE 是⊙ O1的切线证法二:连接O1O2,∵点O2在⊙O1上,O1与O2的半径相等,∴点O1 在⊙O2∴O1O2=AO 1=AO 2,∴∠ O1AO 2=60°∵ AB 是公共弦,∴ AB ⊥ O1O2,∴∠ O1AB=30°∵∠ E=60°∴∠ ADE=180°-(60°+30°)=90°由(1)知:AD 是的⊙ O1直径,∴DE 是⊙ O1的切线.说明:本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。
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页眉内容
中考数学复习--几何综合题
Ⅰ、综合问题精讲:
几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题,它主要考查学生综合运用几何知识的能力,这类题往往图形较复杂,涉及的知识点较多,题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答.解几何综合题,一要注意图形的直观提示;二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础;同时,也要由未知想需要,选择已知条件,转化结论来探求思路,找到解决问题的关键. 解几何综合题,还应注意以下几点:
⑴ 注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基
本图形.
⑵ 掌握常规的证题方法和思路.
⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用数
学思想方法伯数形结合、分类讨论等).
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】(南充,10分)⊿ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ,点F 是BE 的中点.
(1)求证:DF 是⊙O 的切线.(2)若AE =14,BC =12,求BF 的长.
解:(1)证明:连接OD ,AD . AC 是直径,
∴ AD⊥BC. ⊿ABC 中,AB =AC ,
∴ ∠B=∠C,∠BAD=∠DAC.
又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角,
∴∠C =∠BED .
故∠B =∠BED ,即DE =DB .
点F 是BE 的中点,DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径,
即∠DAC =∠BAD =∠ODA .
故OD ⊥DF ,DF 是⊙O 的切线.
(2)设BF =x ,BE =2BF =2x .
又 BD =CD =21
BC =6, 根据BE AB BD BC ⋅=⋅,2(214)612x x ⋅+=⨯.
化简,得 27180x x +-=,解得 122,9x x ==-(不合题意,舍去).
则 BF 的长为2.
点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线,所以要证明一条直线是否是此圆的切线,应满足这两个条件才行.
【例2】(重庆,10分)如图,在△ABC 中,点E 在BC 上,点D
在AE 上,已知∠ABD =∠ACD,∠BDE =∠CDE .求证:BD =CD 。
证明:因为∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE 而∠BDE=∠ABD+∠BAD,∠CDE=∠ACD+∠CAD
所以 ∠BAD=∠CAD,而∠ADB=180°-∠BDE
∠ADC=180°-∠CDE,所以∠ADB =∠ADC
在△ADB 和△ADC 中,
∠BAD=∠CAD
AD =AD
∠ADB =∠ADC
所以 △ADB≌△ADC 所以 BD =CD 。
(注:用“AAS”证三角形全等,同样给分)
点拨:要想证明BD=CD ,应首先观察它们所在的图形之间有什么联系,经观察可得它们所在的三角形有可能全等.所以应从证明两个三角形全等的角度得出,当然此题还可以采用“AAS ”来证明.
【例3】(内江,10分)如图⊙O 半径为2,弦BD =32,A 为弧BD
的中点,E 为弦AC 的中点,且在BD 上。
求:四边形ABCD 的面积。
解:连结OA 、OB ,OA 交BD 于F 。
⎭
⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 32
∆⇒=⋅= ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形
【例4】(博兴模拟,10分)国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造.莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点.现计划在四个村庄联合架一条线路,他们设计了四种架设方案,如图2-4-4中的实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
A
B C D
E
解:不妨设正方形的边长为1,显然图2-4-4⑴、⑵中的线路总长相等都是3.
图2-4-4⑶中,利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2.828.
图2-4-4(4)中,延长EF 交BC 于H ,由 ∠FBH =30°,BH=12
, 利用勾股定理,可求得EA=ED=FB==FC=
333,,121,363FH EF FH =∴=-=- 所以⑷中线路总长为:4EF+EF=4×33+3(1)13 2.732.3-=+≈ 显然图2-4-4⑷线路最短,这种方案最省电线.
点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股未理讲行计算线路长,然后通过比较,得出结论.
【例5】(绍兴)如图矩形ABCD 中,过A ,B 两点的⊙O 切CD 于E ,交BC 于F ,AH⊥BE 于H ,连结EF 。
⑴求证:∠CEF=∠BAH ,⑵若BC =2CE =6,求BF 的长。
⑴证明:∵CE 切⊙O 于E ,
∴∠CEF=∠EBC ,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∵AH 丄BE ,∴∠ABE+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠EBC ,∴∠CEF =∠BAH
⑵解: ∵CE 切⊙O 于E
∴CE 2=CF ·BC ,BC=2CE=6
∴CE 2=CF ·6,所以CF= 32 ∴BF=BC-CF=6-32 =92
点拨:熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键.。