《复变函数》练习题
复变函数练习题
复变函数练习题
1. 计算复数z=3+4i的模长和辐角。
2. 证明复数的加法满足交换律和结合律。
3. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=(1+i)^n，求当n趋向无穷大时的极限。
4. 证明欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx。
5. 解复变方程(z-1)(z-2)=0。
6. 计算复数z=1-i的共轭复数。
7. 证明复数的乘法满足分配律。
8. 给定复变函数f(z)=z^2+1，求其在z=2处的导数。
9. 证明复数的除法满足结合律。
10. 已知复变函数f(z)=1/(z-1)，求其在z=2处的值。
11. 证明复数z=a+bi的实部和虚部满足a^2+b^2=|z|^2。
12. 解复变方程z^2+z+1=0。
13. 证明复数的乘法满足交换律。
14. 计算复数z=2+3i的逆元，并验证乘积等于1。
15. 证明复数的倒数是其共轭复数除以其模长的平方。
16. 给定复变函数f(z)=z^3-3z^2+2z+1，求其在z=1处的值。
17. 证明复数的模长是非负的。
18. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=1/n，求其和的极限。
19. 证明复数的乘积的模长等于各自模长的乘积。
20. 给定复变函数f(z)=(z-1)/(z+1)，求其在z=i处的值。
复变函数_习题集(含答案)
原积分 .
20.解: 在 内以 为2级极点.
.
原积分 .
21.解： .
记 ， 在上半平面内仅以 为二级极点.
,
故 .
22.解： .
设 , 以 为二级极点，且
,
.
故 .
23.解： .
设 , 为 在上半平面的一级极点,
,
.
.
24.解： .
记 满足 ,
.
故 .
25.解: 设 则 , .
,
令 则 在 内只有一级极点, ,依定理有
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
5.设函数 在区域 内解析， 在区域 内为常数，证明 在区域 内必为常数．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
.
9.解:
.
10.解: .
11.解： 在C内解析.
.
12.解: .
13.解：
.
14.解：（a） .
（b）
.
15.解：（a） .
（b）
.
16.解： 在 内仅以z=1，z=2为分别为一、二级极点.
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题《复变函数》练习题⼀.单项选择题.1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既⾮充分条件也⾮必要条件 4.下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满⾜柯西-黎曼⽅程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5. 使得22z z =成⽴的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯⼀的（C ）纯虚数（D ）实数 6. z e 在复平⾯上( )（A ）⽆可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平⾯上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是⽆界的8. 设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π（B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能9. 设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π410. 10. 复数ii+=1z 位于复平⾯第( ) 象限. A ．⼀ B ．⼆ C ．三 D ．四11. 下列等式成⽴的是( ).A ．Lnz Lnz 77=； B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i； D ．)z z Re(z z =。
复变函数练习题
复变函数练习题一、选择题1．)0(=z z 的辐射角情况为（ ）。
A 有无穷多个B 有限个C 可能无穷可能有限D 不存在 2．如果21z z e e =则（ ）。
A 21z z =B i z z π221+=C i z z π221-=D i k z z π221+= 3．设}{k a 为复数列，k k k k z b z a Im ,Re ==，则（ ）。
A 级数∑+∞=1k k a 收敛而级数∑+∞=1k k b 不收敛B 级数∑+∞=1k k a 不收敛而级数∑+∞=1k k b 收敛C 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均收敛D 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均不收敛4．nz w =4的支点是（ ）。
A 0B ∞C 0及∞D 不确定5．设f (z)及g (z)都在区域D 内解析，且在D 内的某一段曲线上的值相同，则这两个函数在D 内（ ）。
A 不恒等B 恒等C 相差个非零常数D 不确定 6．方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为（ ）。
A 园B 直线C 椭圆D 双曲线 7．设i z cos =，则（ ）。
A 0Im =zB π=z ReC 0=zD π=z arg 8．设W=Ln(1-I)则Imw 等于（ ）。
A 4π- B ,1,0,42±=-k k ππ C4πD ,1,0,42±=+k k ππ9．解析函数的幂级数展式有（ ）。
A 唯一一个B 无穷多个C 不一定存在D 可数个10．同一函数在不同的圆环内的洛朗展式（ ）。
A 相同B 不同C 不一定唯一D 以上均错 11．若a 是E 的聚点，则（ ）。
A E a ∈B E a ∉C a 是E 内点D A 、B 均对 12．设C 为正向圆周1=z ，则积分zdzc⎰等于（ ）。
A 0B i π2C π2D π2- 13．3π=z 是函数ππ--=z z z f 3)sin()(3的（ ）。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数练习题
第一章复数与复变函数一、 选择题1．当ii z -+=11时，5075100zzz++的值等于（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i（C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ）（A ）z z zz222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z=成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz i z 的所有点z 构成的集合是（ ）（A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a aza z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(limz z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi i z 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x的像曲线为10．=+++→)21(lim 421z ziz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围． 第一章 复数与复变函数答案一、1．（B ）2．（A ）3．（D ）4．（C ）５．（B ）６．（A ）７．（D ）８．（B ）９．（D ）10．（C ）11．（B ）12．（C ）13．（D ）14．（C ）15．（A ）二、1．2 2．8arctan -π 3．i 21+- 4．ieθ16 5．33 ６．522=++-z z （或1)23()25(2222=+y x ）７．122=+y x ８．i i -+-2,21 ９．21)Re(=w 10．i 27+-三、]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）． 第二章 解析函数一、选择题： 1．函数23)(zz f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的 （C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在z=0处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数9．设22)(iy xz f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．ze 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期 （C ）2)(izize e zf --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1 （C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）ie 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz （C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是3．导函数xv ixu z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为4．设2233)(y ix y xz f ++=，则=+-')2323(i f5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y xu -=，那么=)(z f6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i10．方程01=--ze 的全部解为第二章 解析函数答案一、1．（B ）2．（B ）3．（D ）4．（C ）５．（A ）６．（C ）７．（C ）８．（C ）９．（A ）10．（D ）11．（A ）12．（C ）13．（D ）14．（B ）15．（C ） 二、填空题1．i +1 2．常数 3．x v x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,xv y x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．i 827427- 5．ic xyi y x ++-222或ic z +2，c 为实常数 6．i7．3,2,1,0),424sin424(cos28=π+π+π+πk k i k 8．),2,1,0(2 ±±=π-k ek9．34arctan- 10．),2,1,0(2 ±±=πk i k第三章 复变函数的积分一、选择题： 1．设c 为从原点沿x y=2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561-（B ）i 6561+-（C ）i 6561--（D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( )（A ）2iπ （B ）2iπ-（C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zz c c c 212sin ( )（A ）i π2- （B ）0 （C ）i π2（D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( )（A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd zez f ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )（A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰czdz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( )（A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( )（A ）ie π2 （B ）ei π2 （C ）0 （D ）i i cos11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--r a z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y xu -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz+2（B ） ic iz+2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu ∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv ixu ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdzz 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰cdz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zz z5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰czdz i z e5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy xy x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z )2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ;2.⎰=++22422z z z dz ．第三章 复变函数的积分答案一、1．（D ）2．（D ）3．（B ）4．（C ）５．（B ） ６．（A ）７．（C ）８．（A ）９．（A ）10．（C ）11．（C ）12．（D ）13．（D ）14．（C ）15．（B ）二、1．2 2．i π10 3．0 4．i π6 5．12iπ 6．平均值7．解析8．C x y+-)(21229．3- 10．),(y x u -三、1．当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0. 2．0.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n ni a nn ，则n n a ∞→lim ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ）∑∞=1n n ni（D ）∑∞=++-11)1(n nn i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ）∑∞=+1)1(1n ni n（B ）∑∞=+-1]2)1([n nni n(C)∑∞=2ln n n ni（D ）∑∞=-12)1(n nnn i4．若幂级数∑∞=0n nnz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n zn c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R ==6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n nnz q的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1 （C ）0 （D ）∞+7．幂级数∑∞=1)2(2sinn nz nn π的收敛半径=R ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n nzn 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z+11ln(D) z-11ln9．设函数zezcos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c，那么幂级数∑∞=0n nnz c 的收敛半径=R ( ) （A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π10．级数+++++22111z z zz的收敛域是( )（A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n nnz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰cdz zz z f 2)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nnzc的收敛域为( )（A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n nni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ．2．设幂级数∑∞=0n nnzc与∑∞=0)][Re(n nnzc的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n nzi 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n nnz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ．6．设幂级数∑∞=0n n nz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n nn n zc 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n nnnz z 的收敛域为 ．8．函数z ze e1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ．9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n nnzc，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．第四章 级数答案一、1．（C ）2．（C ）3．（D ）4．（A ）５．（D ）６．（D ）７．（B ）８．（A ）９．（C ）10．（B ） 11．（D ）12．（B ）13．（B ）14．（A ）15．（C ）二、1．发散 2． 12R R ≥ 3．224．),2,1,0()(!10)( =n z fn n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+ ）5．)1(12)1(012<+-∑∞=+z zn n n n6．2R 7．211<-<z 8．nn nn zn zn ∑∑∞=∞=+!11!1 9．π10．∑∞=+--02)()1(n n nni z i第五章 留 数一、选择题：1．函数32cot -πz z 在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz exsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323zzz ++的( )(A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设∑∞==)(n nn z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re kzz f s ( )（A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( )(A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(ze zf z-=（B ）zzz z f 1sin )(-=（C ）zzz z f cos sin )(+=(D)ze zf z111)(--=9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ）如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ）若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ）若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3zi z s ( )（A ）32-（B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32-11．=-],[Re 12i ez s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6512．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim!1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n nn x x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(z f 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( )(A)0 （B ）i π2 （C ）ni π2 （D ）i n π214．积分=-⎰=231091z dz zz( )（A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5iπ15．积分=⎰=121sinz dz zz ( )（A ）0 （B ）61- （C ）3iπ-（D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z-的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1c o s1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22zzz f +=，则=]0),([Re z f s4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ．5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为 ． 6．设212)(zz z f +=，则=∞]),([Re z f s ．7．设5cos 1)(zz z f -=，则=]0),([Re z f s ．8．积分=⎰=113z z dz e z ．9．积分=⎰=1sin 1z dz z．10．积分=+⎰∞+∞-dx xxeix 21 ．第五章 留 数一、1．（D ）2．（B ）3．（C ）4．（D ）５．（B ） ６．（C ）７．（A ）８．（D ）９．（C ）10．（A ）11．（B ）12．（D ）13．（A ）14．（B ）15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k3．0 4．m - 5．1 6．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．ei π第六章 共形映射一、选择题： 1．若函数z zw 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( )（A ）21<z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）211>+z2．映射iz i z w +-=3在i z 20=处的旋转角为( )（A ）0 （B ）2π（C ）π （D ）2π-3．映射2izew =在点i z =0处的伸缩率为( )（A ）1 （B ）2 (C)1-e（D ）e4．在映射ieiz w 4π+=下，区域0)Im(<z 的像为( )(A)22)Re(>w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(>z （D ）22)Im(->w5．下列命题中，正确的是( )（A ）nz w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数） （B ）映射z zw 43+=在0=z 处的伸缩率为零（C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1<z 映射到上半平面0)Im(>w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f =（D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(22=-+-y x 的对称点是( )（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i7．函数iz i z w +-=33将角形域3arg 0π<<z 映射为 ( )(A)1<w （B ）1>w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(<w 8．将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=w 的分式线性变换为（ ）1()1z A w z +=- （B ）zz w -+=11 （C ）zz ew i-+=112π(D) 112-+=z z ew iπ9．分式线性变换zz w --=212把圆周1=z 映射为( )（E ） 1=w (B) 2=w（c ）11=-w (D) 21=-w10．分式线性变换zz w -+=11将区域:1<z 且0)Im(>z 映射为( )（A ）ππ<<-w arg 2（B ） 0arg 2<<-w π（C ）ππ<<w arg 2（D ）2arg 0π<<w11．设,,,,d c b a 为实数且0<-bc ad ，那么分式线性变换dcz b az w ++=把上半平面映射为w 平面的( )（A ）单位圆内部 （B ）单位圆外部 （C ）上半平面 （D ）下半平面12．把上半平面0)Im(>z 映射成圆域2<w 且满足1)(,0)(='=i w i w 的分式线性变换)(z w 为( )（A ）zi z i i+-2 （B ）iz i z i+-2 （C ）zi z i +-2（D ）iz i z +-213．把单位圆1<z 映射成单位圆1<w 且满足0)0(,0)2(>'=w i w 的分式线性变换)(z w 为( )(A)izi z --22 （B ）izz i --22 （C ）izi z +-22 （D ）izz i +-2214．把带形域2)Im(0π<<z 映射成上半平面0)Im(>w 的一个映射可写为( )（A ）z e w 2= （B ）zew 2= （C ）z ie w = （D ）izew =15．函数ie i e w zz+---=11将带形域π<<)Im(0z 映射为( )（A ）0)Re(>w （B ）0)Re(>w （C ）1<w （D ）1>w 二、填空题1．若函数)(z f 在点0z 解析且0)(0≠'z f ，那么映射)(z f w =在0z 处具有 ． 2．将点2,,2-=i z 分别映射为点1,,1i w -=的分式线性变换为 ．3．把单位圆1<z 映射为圆域11<-w 且满足0)0(,1)0(>'=w w 的分式线性变换=)(z w 4．将单位圆1<z 映射为圆域R w <的分式线性变换的一般形式为 ．5．把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(<z w 且满足31)21(,0)1(=+=+i w i w 的分式线性变换的)(z w = ．6．把角形域4arg 0π<<z 映射成圆域4<w 的一个映射可写为 ．7．映射ze w =将带形域43)Im(0π<<z 映射为 ．8．映射3z w =将扇形域：3arg 0π<<z 且2<z 映射为 ．9．映射z w ln =将上半z 平面映射为 ． 10．映射)1(21zz w +=将上半单位圆：2<z 且0)Im(>z 映射为 ．第六章 共形映射答案一、1．（B ）2．（D ）3．（B ）4．（A ） ５．（D ） ６．（C ）７．（A ）８．（C ）９．（A ）10．（D ）11．（D ）12．（B ）13．（C ）14．（B ）15．（C ）二、1．保角性与伸缩率的不变性 2． 236--=iz i z w 3．z +1 4．aza z w i --=θ1Re（θ为实数，1<a ）5．iz i z +---11 6．λ-λ-=ϕ444z z ew i （ϕ为实数，0)Im(>λ） 7．角形域43arg 0π<<w8．扇形域π<<w arg 0且8<w 9．带形域π<<)Im(0w 10．下半平面0)Im(<w .。
(完整版)复变函数试题及答案
-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填（1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n）9积数数积实单数：合题题题2题题（解，2分分积位在D条（（（，（（每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226，共(Di分1k6a7，点分分分=1iD形0，x分z分80z且是zd，，，2，5内,c映,视））1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质，2在…1析成题2134在的6的，x006C），z单情：2C所分分分(证，位a况f9有1i）））i y明圆的可23孤2711n：去)酌01C1立+w函52心情，1z奇iy数的邻给8点41D直域21的（2i，1线内n1f，分包9u，段分展zA式括，1，成也f0线15共洛在2性01n9朗）A变D21z0级处换内分数2的解1n）w留（析,数并nL指z1出,2 收敛）的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解： C 的参数方程为： z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz ＝
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) ， 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7
复变函数练习题
一、 选择题1．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 2．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43（D ）i --43 3．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 4．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e5．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 6．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 7．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则12()f z z -=（ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 8．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 9．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x + 10．函数)Im()(2z z z f =在0z =处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在11．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-12．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的14．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 15．ze 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析16．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+17．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc ⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 18．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 19．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π20．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）121．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ- (B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-22．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 23．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos24．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +225．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数26．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xvix u ∂∂-∂∂ 27．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在28．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 29．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定30．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R ==31．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 32．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n33．函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn34．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）435．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点（C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点36．设0=z 为函数241sin ze z z-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 37．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点 38．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）（A ） 21)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1sin )(-=（C ）z z z z f cos sin )(+=(D) z e z f z111)(--= 39．z i =是函数221()(1)f z z z =+的( ) 。
复变函数练习题
复变函数练习题一、填空题1. 复变函数的定义域是__________，值域是__________。
2. 若复数z = a + bi（a, b为实数），则z的共轭复数是__________。
3. 设f(z) = z^2 + 3z + 2，则f(1+i) =__________。
4. 复数z = 1 + i的模为__________，辐角为__________。
5. 若f(z) = e^z，则f'(z) =__________。
二、选择题1. 下列哪个函数是整函数？（）A. f(z) = z^2B. f(z) = 1/zC. f(z) = |z|D. f(z) = sin(z)2. 复变函数f(z) = z^3 3z在z = 0处的泰勒展开式为（）A. f(z) = z^3 3z + 3z^2 zB. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^4C. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^3D. f(z) = z^3 3z + 3z^23. 下列哪个复数是解析函数的孤立奇点？（）A. z = 0B. z = ∞C. z = 1+iD. z = 1i4. 复变函数f(z) = e^z在z = 0处的洛伦兹级数为（）A. f(z) = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + …B. f(z) = 1 + z + z^2/2 + z^3/3 + …C. f(z) = 1 z + z^2/2! z^3/3! + …D. f(z) = 1 z + z^2/2 z^3/3 + …5. 复变函数f(z) = sin(z)在z = π处的留数为（）A. 1B. 1C. 0D. 无法确定三、计算题1. 设f(z) = (z^2 + 1)/(z i)，求f(z)的洛伦兹级数展开。
2. 求解积分∮(1/(z^2 + 4))dz，其中积分路径为以原点为中心，半径为2的圆。
3. 设f(z) = e^zsin(z)，求f(z)在z = 0处的泰勒展开式。
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。
《复变函数》练习题册
第一章1. 设,43,5521i z i z +−=−=求21z z 与21z z . 参考答案：i 515721−−=z z ，i 515721+−=z z2.iii z −−−=131求()().,Im ,Re z z z z参考答案：()().25,21Im ,23Re =−==z z z z3. （1）证明：().Re 2212121z z z z z z =+ （2）证明：11Re()();Im()()22zz z z z z i=+=+4. 求下列复数的辐角主值、三角表示式、指数表示式123456781,1,1,1,2023,,1,z z z z z z i z z i=+==−+=−===−=−参考答案：1234567822arg ,arg ,arg ,arg ,3333arg 0,arg,arg ,arg 22z z z z z z z z πππππππ==−==−====−23i cossin221cos sin 12cos sin 233ii i i e i e i e πππππππππ=+=−=+= ++=，，，5 求i z 212−−=的三角表示式。
参考答案：−=−−=65sin 65cos4212ππi i z6. 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数，模与辐角()()821112432i i i i−++，参考答案：()()()()()()3arctan arg ,10z i 31,3Im ,1Re i,i 4i 4.32arctan arg ,131z i 132133,132Im ,133Re i 2311218−==+=−==+−−==+=−==+z z z z z z z z ，，，7.求下列各式的值(幂)()()()()361121i ++ ())53i − 参考答案：()()()())365511i 8i 21855(3)2(cos()sin())66i ππ+=−+=−−=−+−，8.求下列各式的值（方根）((12()()1331i −参考答案：((1601234522441cossin ,0,1,2,3.442221cos()sin(),0,1,2,3,4,5.661111,,,,,2222k k i k k k i k w i w i w i w i w i w i ππππππππ+++=+++=+=+−=−−()()130********cos sin ,0,1,2.337755cos sin ,cossin ,cos sin 1212121244k k i i kw i w i w i ππππππππππ−+−+ −=+=−++第二章1研究函数()()()22,2,z z h yi x z g z z f =+==和的解析性。
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题
《复变函数》练习题一.单项选择题.1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 4.下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 5. 使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 6. z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的8. 设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能9. 设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π410. 10. 复数ii+=1z 位于复平面第( ) 象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四11. 下列等式成立的是( ).A ．Lnz Lnz 77=； B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i； D ．)z z Re(z z =。
复变函数练习题
复变函数练习题一、选择题1. 复数 \( z = x + yi \) 中，\( x \) 和 \( y \) 分别代表什么？A. 模和幅角B. 实部和虚部C. 虚部和实部D. 幅角和模2. 以下哪个是复平面上的单位圆？A. \( |z| = 1 \)B. \( |z| = 2 \)C. \( |z| > 1 \)D. \( |z| < 1 \)3. 复数 \( z \) 的共轭 \( \bar{z} \) 表示什么？A. \( z \) 的实部B. \( z \) 的虚部C. \( z \) 的实部和虚部的相反数D. \( z \) 的虚部的相反数二、填空题4. 若 \( z = 3 - 4i \)，则 \( z \) 的模是________。
5. 复数 \( z \) 的导数 \( \frac{d}{dz} \) 在 \( z \) 为纯虚数时，等于________。
三、简答题6. 描述复数的四则运算规则，并给出一个具体的例子。
7. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。
四、计算题8. 计算复数 \( z = 2 + 3i \) 的幅角 \( \arg(z) \)。
9. 给定 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，求 \( f(2 + i) \)。
五、证明题10. 证明 \( |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \) 对所有复数\( z_1 \) 和 \( z_2 \) 成立。
11. 证明 \( \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 对所有非零复数 \( z \) 成立。
六、综合题12. 考虑函数 \( f(z) = \frac{1}{z - 1} \)，求其在 \( z = 2 \) 处的留数。
13. 利用柯西积分公式，计算 \( \oint_C \frac{e^z}{z^2} dz \)，其中 \( C \) 是以原点为圆心，半径为 \( 1 \) 的圆周。
复变函数练习题
复变函数练习题1. 求下列复变函数的导数：a) $f(z) = z^3 - 2z^2 + 4z - 3$b) $g(z) = e^z \sin(z)$c) $h(z) = \frac{1}{z^2+1}$2. 计算下列复变函数的积分：a) $\int_C (3z^2 - 2\bar{z}) \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \cos(z) \, dz$，其中 $C$ 是由直线段 $z=1$ 到 $z=i$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{z^2-4} \, dz$，其中 $C$ 是由两个阶梯型路径组成的，从 $z=-2$ 到 $z=-1$，然后从 $z=-1$ 到 $z=2$。
3. 求下列复变函数的奇点，并判断其类型（可去奇点、极点或本性奇点）：a) $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$b) $g(z) = \frac{\sin(z)}{z}$c) $h(z) = \frac{1}{\sqrt{z+2}}$4. 计算下列复变函数的Laurent级数展开：a) $f(z) = \frac{1}{z^2(z-1)}$b) $g(z) = \frac{e^z}{z^3}$c) $h(z) = \frac{1}{(z^2-1)^2}$5. 利用残数定理计算下列积分：a) $\int_C \frac{e^z}{z(z-1)^3} \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \frac{\ln(z)}{z(z+1)} \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z-1|=1$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{e^z-1} \, dz$，其中 $C$ 是由直线段 $z=-\pi$ 到$z=\pi$ 给出的路径。
以上是关于复变函数练习题的内容，通过解答这些问题，可以加深对复变函数的理解。
《复变函数》练习题
复变函数练习题（一）一、 判断题：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C dz z f . ( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（） 二.填空题1、=-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数. 9. z zsin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z . 三.计算题：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部. 四. 证明题. 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.复变函数练习题（二）一. 判断题.1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f . ( ) 8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( ) 二. 填空题.1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________. 3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10. ____)1,1(Res 4=-z z . 三. 计算题. 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=ii z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆. 4. 求dz z z ⎰=-22)2(sinzπ.四. 证明题.1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数练习题（三）一. 判断题.1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数.( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题.1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________. 5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________. 8. 设1-=z e ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z . 10. ____)0,(Res =n zze . 三. 计算题.1. 将函数12()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数n n nz n n ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z z e )9(d 22，其中C 是1||=z . 4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数.四. 证明题.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
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福师12秋《复变函数》练习题注：1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =( ) A ．1()e e i -- B.1()e e i -+ C ．1()e e i -- D ．1e e -+答案：D2．函数2()f z z =在复平面上( ) A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C.处处连续，仅在点z =0可导D.处处连续，仅在点z =0解析答案：C3．设C 是绕点00z ≠的正向简单闭曲线，则530()Cz dz z z =-⎰ ( ) A ．2i π B ．3020z i π C ．502z i π D ．0答案：C4．1C ,2C 分别是正向圆周1z =与21z -=,则=-+-⎰⎰dz z z i dz z e i c c z 212sin 21221ππ ( ) A ．2i π B ．cos2 C ．0 D ．sin2答案：D二、填空题1. 设42()f z z z =-，则(1)f i -=________。
考核知识点：复数代值。
2．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数．若(,)u x y y =，则()f z '=______． 考核知识点：解析函数的导数。
3. 设C 为正向圆周1z =，则=⎰dz z i Csin 121π . 考核知识点：柯西积分公式。
4．幂级数01(-1)2n nnn z ∞=+∑的收敛半径为_________. 考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. 411+⎛⎫⎪-⎝⎭i i = .考核知识点：复数的乘幂。
提示：()4441(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i ⎛⎫+++⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭6．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z af z →=____________________．考核的知识点：函数的极点。
7. 设2()32f z z iz =+-，则()f z 的零点个数为 . 考核知识点：零点的定义。
8. 函数3511cos (1)(1)z z --在点1z =处的留数为______________. 考核知识点：留数的定义。
9.方程z 5+4z 3-1=0在单位圆|z|<1内有________个根. 考核知识点：复数根的求法。
三、判断题（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）1．互为共轭的两个复数的模相等.（ ） 答案：√2．sin z 的周期为2π.（ ）答案：×3．若函数f(z)在z 0解析，则f(z)在z 0连续. ( ) 答案：√4．若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点.（ ） 答案：√5．函数在可去奇点处的留数为0.（ ） 答案：×四、完成下列各题1. 计算()n i L e ． 考核知识点：对数函数。
2. 函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数. 考核知识点：解析函数。
提示：不是解析函数，因为满足C-R 条件的只有两个点，不成区域。
2(,)24x x f x y u iv x xy '=+=+3. 已知u=22-+x y xy ，求出相应的解析函数f(z)=u+iv. 考核知识点：解析函数。
提示：利用柯西-黎曼方程来求解,u v 。
4. 将21()()f z z z i =-在以1<-<+∞z i 内展开为罗朗级数.考核知识点：解析函数的洛朗展式。
5. 已知222371(),:3C f z d C x y z ζζζζ++=+=-⎰，求()1f i '+.考核知识点：柯西积分公式。
提示：22371()2(371)C f z d i z z z ζζζπζ++==++-⎰6. 求21z在01z =-处的泰勒展开式.考核知识点：泰勒展式。
7. 讨论函数f(z)=ze-11的奇点（包括无穷远点）及其类型.考核的知识点：函数的奇点的类型。
提示：令22(4)0z z +=可得0=z ，故它为)(z f 的孤立奇点． 0=z 为)(1z f 的一级零点。
8. 求1131sin 2(1)(4)z z z dze zdz i z z π+==+--⎰⎰.考核知识点：柯西积分公式。
9. 设v 是u 的共轭调和函数，问uv 是不是22-u v 的共轭调和函数？判断并给出理由.考核知识点：共轭调和函数的定义。
五、用留数计算积分：49(1)(2)(48)(50)z dzz z z z =----⎰.考核知识点:用留数计算积分。
提示：函数在49z =的圆周内只有一阶极点1,2,48z =。
六、求把z 平面的单位圆1z <变为ω平面的单位圆1ω<的线性变换()L z ω=，使110,arg 33L L π⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考核知识点：分式线性变换。
提示：由103L ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分式线性变换把13z =变到0ω=。
七、证明：若积分路径不经过i ±，则120,14dz k k z ππ=+∈+⎰考核知识点：柯西定理。
提示： 积分路径绕过i ±，由柯西定理知：411102102π=+=+⎰⎰x dx z dz福师12秋《复变函数》辅导课件知识点和例题整理第一讲知识点：第一章 复数与复变函数复数的三种表示、(主)辐角、复数的运算(乘方、开方)第二章 解析函数解析、初等多值函数在复平面上处处连续、0处可导、无解析性()[cos()sin()]nni n z rer nArgz i nArgz θ==+()211(2)sin (2)]?22()342k i k x yi i x yi i θπθπ=+++=+=+⇒+=±+sin 2iz ize e z -+=2()f z z=ln arg 2Lnz z i z k iπ=++()n ?i L e =柯西-黎曼条件第三章 复积分的简单概念和性质1.柯西积分定理：若函数在复平面的单连通区域内解析，则函数在该连通区域内的任意围线上的积分等于零。
2.重要积分：a 为围线c(c 可以是圆周也可以是任意围线)内部的一点3.柯西积分公式：函数f(z)在区域D 上解析，在区域D 及边界C 所成的闭域上连续，则在边界C 上有()2()()C f d i f z zD z ζζπζ=⋅∈-⎰1()12z f z dzz =⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰122i f π⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭4. 高阶导数公式：函数f(z)在区域内解析，在闭域上连续，则在区域内与各阶导数()x x f z u iv '=+=5.在满足柯西黎曼条件的两个调和函数(二元函数关于两个变量的二阶偏导的和为零)u 、v 中，u 称为v 的共轭调和函数。
从已知解析函数的实部求虚部已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求共轭调和函数()y x v ,。
及解析函数()()()y x iv y x u z f ,,+=解()222(,)2,212()2()22()x y x yx u x y x y xyu x y u y x u v v x y dy x xy y x v y x ϕϕϕ=-+⇒=+=-+=⇒=++=++'⇒=+⎰530()Cz dz z z -⎰ 3020z iπ=()22222222222()()1()21122211()2222y xu v y x y x x xx x cv xy y x cf z u iv x y xy i xy y x c z z i ic ϕϕϕ=-'⇒-+=-+'⇒=-⇒=-+⇒=+-+⎛⎫⇒=+=-+++-+ ⎪⎝⎭=-+第四章 解析函数的幂级数表示法一个解析函数如何在指定点展开成一个幂级数（牢记几个基本公式）解析函数的零点的级主要通过“求导”和“表示为()(),()0m z a z z ϕϕ-≠的形式”的方法做。
注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理。
（函数的零点首先必须是函数的解析点）的零点个数为2。
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点()0!n z n z e z n ∞==<+∞∑()()()()()()202101sin 2!1cos 21!nn n nn n z z z n z z z n ∞=+∞=-=<+∞-=<+∞+∑∑()()()11ln 1211,01,2,n n k n z z k i z k nπ∞-=+=+-<=±±∑ ()111n n z z z ∞==<-∑2()32f z z iz =+-21()()f z z z i =-在10<-<i z 内展开成罗朗级数在+∞<-<i z 1内展开成罗朗级数求 ()11-=z e z f 的奇点及类型。
且均为一级零点，从而为f(z)的一级极点，20111(1)(1)(11)1(1)nn n z z z z z ∞=''⎛⎫⎛⎫=-==+++< ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭∑[]12211101,()()1()∞--=-<-<=⋅=-----∑n n n z i f z ni z i z i i z i 21()()f z z z i =-12111,()(1)(1)(1)1n nn z n z z z ∞+='<<+∞=-=--+++∑12011,(1)(1)()(1)n n n i i n i z i z i z i∞+=<<+∞=--+--+-∑3320111,()()(1)()()(1)n n n z i f z i n z i i z i z i∞--=<-<+∞=⋅=-+--+-∑12()z e k k π-∈ 的零点为2()k k π→∞→∞因此无穷远点是非孤立奇点。
第六 章 留数理论及其应用一、基本概念注意前提——仅在孤立奇点处，并且区分有限点和无穷远点，因此，留数的计算也区分有限点和无穷远点。
二、求留 数的方法（重点） （一）、在孤立奇点为有限点时 1、若a 为可去奇点，则留数为0；2、若a 为本质奇点，或者a 的类型不明确，则留数为函数的罗朗展式中z-a 的-1次幂项系数①(一般方法)；3、若a 为极点，先求极点的级数： 若为一级极点，则1()lim()()()2(),()0,()0,()0()()()()o z az aoz a Res f z z a f z z f z a a a z a Res f z a ϕϕψψψϕψ→===-'=≠=≠⇒='001lim 1sin sin z z zResz z→===0111sin cos 0z Res z ===011122sin sin z z dz i Res i z z ππ====⎰若为二级极点，则；2()lim ()()z az aRes f z z a f z →='⎡⎤=-⎣⎦若为n>2级极点，则(1)1()lim ()()(1)!n nz az a Res f z z a f z n -→=⎡⎤=-⎣⎦-（这个公式涉及高阶导数公式，并不常用，而更常用一般方法，即①）。