线性代数 6-2标准形规范形

2 2 2 λ y + λ y + + λ y ⋯ X＝QY 化为标准形 1 1 2 2 n n ,其中
λ1 , λ2 ,⋯, λn为A的全部特征值, Q的列向量为对应
于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的标准正交 特征向量 . 标准正交特征向量 特征向量.
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. 求正交阵Q, 使Q-1AQ为对角形 为对角形. T ⎛ 1 1 1⎞ λ = 3 α = (1,1,1) 1 1 ⎜ ⎟ T T A = ⎜ 1 1 1⎟ λ = λ = 0 α = ( − 1,1,0) α = ( − 1,0,1) , 2 3 2 3 ⎜ 1 1 1⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎠ − −
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, 在解析几何中 在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{
x = x′ cosθ − y = x′ cosθ +
y′ sinθ y′ sinθ
f = a′x′ 2 + c′y′ 2
(标准方程 ) 标准方程)
−5 5 = − 5 − 5 T 5 T 5 × 10 = α α f (α ) = α T Aα ≤ α α= ×10 = 5 5 2 2 2 2
故 m = −5 5, M = 5 5
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二、配方法
定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性 替换化为标准形. . 证明略。后面以例说明 证明略。后面以例说明. : 用“矩阵合同”概念表述定理 概念表述定理: 3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同 . 定理 定理3 上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.
⎛0 ⎜ 二次型 u = xy + 2 yz 的矩阵为 A = ⎜ 1 2 ⎜0 ⎝
1 2
0 1
0⎞ ⎟ 1⎟ 0⎟ ⎠
5 5 | λ E − A |= λ (λ − )(λ + ) 2 2
5 5 λ1 = − , λ2 = 0, λ3 = 2 2
x 2 + y 2 + z 2 = 10 ⇒ α = ( x, y, z )T , α T α = 10
| E − A |= 0,|10 E − A |= 0; b > 0 ⇒ a = −4, b = 2
λ1 = λ2 = 1: α1 = (0,1,1)T , α 2 = (4, −1,1)T ; λ3 = 10 : α 3 = (1, 2, −2)T
这里特征向量选取时注 意已经正交，故省去了 向量正交化的步骤。
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2 2 + 5 x3 + 2 bx1 x 2 例3 设二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12 + 5 x 2 − 4 x1 x 3 + 2 ax 2 x 3 ( b > 0)
2 2 + 10 y3 经正交变换X＝QY化为 f = y12 + y2 ，求a,b,Q.
2 2 f = x12 + x2 + x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3
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例1 求正交变换X＝QY，将二次型
f = 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 x 3 化为标准形 . 化为标准形.
解：
⎛0 ⎜ A = ⎜1 ⎜1 ⎝ λ1 = λ2 1 0 1 1⎞ λ −1 −1 2 ⎟ 1 ⎟ ，λ E − A = −1 λ −1 = ( λ + 1) ( λ − 2 ) −1 −1 λ 0⎟ ⎠
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从代数观点看 二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,⋯ , xn )
作适当的 非退化线 性替换
⎧ x1 = c11 y1 + c12 y2 + ⋯ + c1n yn ⎪ x = c y + c y +⋯+ c y ⎪ 2 11 1 12 2 1n n ⎨ ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎩ xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + ⋯ + cnn yn
2 = ( x1 − 2 x2 )2 − 2( x2 + x3 )2+5 x3
2 2 2 = y1 − 2 y2 + 5 y3
y1＝x1－2x2 ⎧ x1 = y1＋2 y2 − 2 y3 ⎪ ⎨ x 2 = y2 − y3 X y2＝x2＋x3 即： ⎪x = y y3＝x3 3 ⎩ 3
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⎛ 1 2 −2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 1 −1 ⎟ Y ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠
T | | 1 f ( α ) α Aα 取得的最 α = = 的条件下 瑞利原理：在
小、最大值为 λ1 , λn .
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例4 求 u = xy + 2 yz 在条件 x 2 + y 2 + z 2 = 10下的最大值 和最小值.
解：（方法一）Lagrange乘数法 （方法二）二次型方法
将
β 1 , β 2， α3
单位化为η1 ,η 2 ,η 3
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⎛ 1 ⎜− 2 ⎜ ⎜ 1 令 Q = (η1 ,η2 ,η3 ) = ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝
1 − 6 1 − 6 2 6
1 ⎞ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ . 是正交矩阵. ⎟ ，则Q是正交矩阵 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎠
Q是正交矩阵，且
2 6 1 6 1 6
0 1 2 1 2
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1 ⎞ − ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 3 ⎠
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⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ Q T AQ = Q −1 AQ = ⎜ 0 3 0 ⎟ ⎜ 0 0 4⎟ ⎝ ⎠ 故曲面方程经正交变换 ⎧
⎛ x⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ′⎟ ⎜ y⎟ = Q⎜ y ⎟, ⎜z⎟ ⎜ z′ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
↕
A ⎯⎯ ⎯ D → A ≃ D ←⎯
X = CY , C ≠ 0
二次型XTAX
⇒
2 定理 定理2
↕
标准形YTDY
5.1定理D=CTAC
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例5 用配方法化二次型
2 2 f = x12 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3
. 为标准形，并求出所用的非退化线性替换 标准形，并求出所用的非退化线性替换. 解： f = ( x − 2 x )2 −2 x 2 + 3 x 2 − 4 x x 2 3 2 3 1 2
⎛ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 1 Q =⎜ ⎜ 2 ⎜ 1 ⎜ ⎝ 2
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4 3 2 −1 3 2 1 3 2
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1 ⎞ ⎟ 3 ⎟ 2 ⎟ 3 ⎟ ⎟ −2 ⎟ 3 ⎟ ⎠
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瑞利（Rayleigh）原理 实二次型 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) =
n i , j =1 T T a x x = AX ( A = A) X ∑ ij i j
化为标准方程
2 x′ ⎪x = 6 即 ⎪ ⎪ 1 x′ + ⎨y = 6 ⎪ ⎪ 1 x′ − ⎪z = 6 ⎩
1 z′ − 3 1 1 z′ y′ + 2 3 1 1 y′ + z′ 2 3
2 2 2 ′ ′ ′ x + 3 y + 4z = 1
. 由解析几何知，曲面是椭球面 由解析几何知，曲面是椭球面.
∑a x x
ij i
j
= X AX
标准形
（aij = a ji）
⋯ 0 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⋯ 0 ⎟⎜ y2 ⎟ ⋱ ⋮ ⎟⎜ ⋮ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⋯ dn ⎠⎝ yn ⎠
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⎛ d1 0 ⎜ 0 d2 ⎜ f = ( y1 , y2 ⋯, yn ) ⎜⋮ ⎜ ⎝0 0
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注：用正交替换法化该二次型为标准形 T λ = − 1 α = (2, 2,1) — ⎛ 1 −2 0 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ λ = 2 —α = (2, −1, −2)T A = ⎜ − 2 2 −2 ⎟ 2 2 ⎜ 0 −2 3 ⎟ λ = 5 —α = (1, −2, 2)T ⎝ ⎠ 3 3
= −1：
正交化 : 正交化:
⎛− 1 2⎞ ⎜ ⎟ β 1 = α1 , β 2 = ⎜ − 1 2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠
λ3 = 2：
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ α3 = ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α1 = ⎜ 1 ⎟ , α 2 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
线性代数
数学科学学院 陈建华
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6.2 二次型的标准形、规范形
• 复习 • 正交替换法（实二次型） 初等变换法 ） 标准形（配方法、初等变换法 初等变换法） • 标准形（配方法、 • 规范形（实、复二次型）
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复习回顾
二次型
n i , j =1
T
f ( x1 ,⋯ , xn ) =
经过正交替换X＝QY，原二次型化为标准形：
2 2 f = − y12 − y2 + 2 y3
⎛ ⎛ −1 0 ⎜ T ⎜ −1 AQ = Q AQ = Q ⎜ ⎜ 0 −1 ⎜ 0 0 ⎜ ⎝ ⎝
0⎞ ⎟ 0⎟ 2⎟ ⎠
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⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
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2 2 2 2 x + 3 y + 3 z − 2 xy − 2 xz = 1 例2 将曲面方程 ,并指出所代表的曲面 (引例 ) 化为标准方程 化为标准方程, 引例)
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二次型的标准形的定义
二次型 f ( x1 , x2 ,… , xn ) 经过非退化线性替换 所变成的平方和形式
d1 y12 + d 2 y2 2 + ⋯ + d n yn 2
. 的一个标准形. 称为 f ( x1 , x2 ,… , xn ) 的一个标准形 . 注：1）任一二次型的标准形是存在的 任一二次型的标准形是存在的. . 2）可应用配方等方法得到二次型的标准形 可应用配方等方法得到二次型的标准形.
) (标准形 标准形)
只含平方项的多项式
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一、正交替换法
D＝C TAC f =X TA X X＝CY f =Y TDY
定理 对实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得
Q -1AQ＝QTAQ为对角阵。
实二次型 f ( X )＝X TA X 均可经 正交替换 定理1 任一 任一实 均可经正交替换
⎛ 2 −1 −1 ⎞ 解:左边二次型 f 的矩阵为 ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 3 0 ⎟ ⎜ −1 0 3 ⎟ λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 4 ⎝ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 单位化后按列排成矩阵得 Q = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α1 = ⎜ 1 ⎟ , α 2 = ⎜ 1 ⎟ ,α 3 = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
它的特征值满足 λ1 ≤ λ2 ≤ ⋯ ≤ λn ，则对任意的实向量 α 有 λ1α T α ≤ α T Aα ≤ λnα T.
α T Aα R(α ) = T α α
称为矩阵A的瑞利（Rayleigh）商。
α T Aα α T Aα α T α △ T R(α ) = T = ) A( ) = β Aβ β 是单位向量 =( 2 α α |α | |α | |α |
1 ⎞ ⎛2 2 ⎜3 3 ⎟ 3 ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 1 − 2⎟ Q −1 AQ = QT AQ = Λ = ⎜ 2 , Q = ⎟ ⎜3 ⎟ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠ ⎜1 −2 2 ⎟ ⎜3 ⎟ 3 3 ⎠ 正交替换X＝QY，原二次型化为： ⎝
⎛3 ⎜ Q − 1 AQ = Q T AQ = Λ = ⎜ ⎜ ⎝ 0 ⎜ ⎜ ⎞ ⎜ ⎟ , = Q ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 3 1 3 1 3 2 1 2 0 ⎟ 6⎟ 1 ⎟ − ⎟ 6⎟ 2 ⎟ ⎟ 6 ⎠
改为本章题型：
实对称 矩阵A, 求正交阵Q, 使QTAQ为对角阵 . 1.已知 已知实对称 实对称矩阵 为对角阵. 化实二次型为标准形 2.用正交替换法 正交替换法化
= Y DY
T
线性替换 : 线性替换:
X＝CY. 可逆（非退化）线性替换；正交替换原二次型X＝CY新二次型
f ( X )＝X TA X
C ≠ 0
f ( Y )＝Y TB Y
B与A关系：合同 B＝C TAC
(反身、对称、传递性，秩相等) 化二次型为标准形
→ 对称矩阵 二次型←⎯⎯
一 一 对 应
⇔
给定对称矩阵A，求可逆矩阵C, 使 CTAC＝D (对角阵)