四年级数学高斯求和讲解
四年级数学高斯求和讲解
四年级数学高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人.上学时.有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后.全班同学都在埋头计算.小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数.每对数的和都相等。
于是.小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法.真是聪明极了.简单快捷.并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项.最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列.后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1.2.3.4.5.….100；（2）1.3.5.7.9.….99；（3）8.15.22.29.36.….71。
其中（1）是首项为1.末项为100.公差为1的等差数列；（2）是首项为1.末项为99.公差为2的等差数列；（3）是首项为8.末项为71.公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法.得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1.2.3.….1999是等差数列.首项是1.末项是1999.共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前.一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11.12.13.….31是等差数列.首项是11.末项是31.共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时.有时项数并不是一目了然的.这时就需要先求出项数。
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级上学期数学新思维-高斯求和
四年级上学期数学新思维〔3〕----高斯求和〔一〕情景导入：德国著名数学家高斯，被誉为〞数学王子〞。
在他童年时代，他就显露出聪明的才智。
有一天教师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋…＋100＝？当全班同学都在埋头计算时，10岁的小高斯已经计算出了答案。
你知道高斯是怎样计算出来的吗？高斯是这样计算的：1 ＋2＋3＋…＋98+99+100100＋99＋98＋…＋3 + 2+ 1把上下两个数对应相加，结果上下两个对应的数的和相等，就转化为求100个101的和了。
因为求的是一个：1 ＋2＋3＋…＋98+99+100的和，所以再除以2.具有什么特点的数，可以用这种方法求它们的和呢？不妨自己举几个数来研究一下。
当相邻两个数的差相等的时候，才能保证上下两个数的和相等，才可以转化为乘法来进展计算。
我们把相邻两个数的差相等的数排成一列，就叫做等差数列。
求1＋2＋3＋…＋98+99+100也就是求等差数列：1，2，3，……99，100的和。
下面我们就来研究等差数列的特点：〔1〕2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.〔2〕1，3，5，7，9，11，13.〔3〕2，4，6，8，10.12，14.〔4〕1，4，7，10，13，16，19.〔5〕2，6，10，14，18，22，26.末项:第2项=第1项+公差第3项=第1项+2个公差第4项=第1项+3个公差………末项=首项+〔项数-1〕×公差项数:(末项-首项)÷公差+1【例1】计算：1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20解：1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20=〔1+20〕×20÷2=210【例2】计算：4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31解：4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31项数：〔31-4〕÷3+1=104﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31=〔4+31〕×10÷2=175【例3】计算：1456－1－3－5－7－…－37－39 计算：1+3+5+7+…+37+39的时候，项数是多少？解：1456－1－3－5－7－…－37－39=1456-〔1+3+5+7+…+37+39〕=1456-〔1+39〕×20÷2=1456-4001056【例4】计算：3﹢7﹢11﹢15﹢…〔共有20项〕末项=3+19×4 3＋〔20－1〕×4=79 ＝3＋19×4＝79解：3﹢7﹢11﹢15﹢…〔共有20项〕=〔3﹢79〕×20÷2=820【例5】计算：200－199﹢198－197﹢196－195﹢…－3﹢2－1解：200－199﹢198－197﹢196－195﹢…－3﹢2－1=〔200－199〕﹢〔198－197〕﹢(196－195)﹢…+(4－3)﹢〔2－1〕=1×100=100。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数-高斯求和(培优版)
高斯求和一、高斯求和相关定义：若干个数按一定顺序规律排列起来就是一个数列。
如果这个数列中任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。
其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
相邻两个数之间的差称为公差，这数列中数的个数称为项数。
求和公式为： 等差数列的和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）二、例题例1.计算10987654321+++++++++练习 （1） 1917531+++++ （2） 求50以内所有偶数的和。
例2.建筑工地上堆着一些钢管（如图），求这些钢管一共有多少根？练习（1）图中一共有多少个三角形？（2）下图是一垛电线杆的侧面示意图，试计算一下图中共有多少根电线杆？例3.下面一列数是按照一定规律排列的：3,7,11,15，...，95,99.请问：（1）这列数中的第20个数是多少？（2）39是这列数中的第几项？练习：（1）自1开始，每隔三个数数一数，得到数列1,4,7,10......问第100个数是多少？（2）某饭店的餐桌都是能做4人的正方形，如图①所示。
当团体客人在10人以上时，饭店允许客人将餐桌拼成一长条，如图②所示，但每张桌子不能呢个有空位。
问如果团体客人是22人，那么需要几张桌子？例4.计算11+21+31+41+51+61+71+81+91练习：（1）计算：11+13+15+17+19+21+23（2）明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子。
问一共用了多少个棋子？例5.求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。
练习：一个有17项的等差数列，末项为117，公差为7，求这个等差数列的和是多少？例6.如图所示，如果用3根火柴摆成一个等边三角形，用这样的方法，按图中所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边是10根火柴，那么一共放多少根火柴？练习：如图所示是一个五边形点阵，中心是一个点为第一层，第二层每边两个点，第三层每边三个点，第四层每边四个点，一次类推，如果这个五边形点阵共有100层，那么点阵中一共有多少个点？三、课后练习1、下面数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，说明理由。
高斯求和计算公式
高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。
1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。
用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。
1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。
解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。
则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。
高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。
在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。
四年级数学上册高斯求和讲解
四年级数学上册高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）
德国数学家⾼斯幼年时代聪明过⼈，上学时，有⼀天⽼师出了⼀道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ ⽼师出完题后，全班同学都在埋头计算，⼩⾼斯却很快算出答案等于5050。
⾼斯为什么算得⼜快⼜准呢？原来⼩⾼斯通过细⼼观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，⼩⾼斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。
⼩⾼斯使⽤的这种求和⽅法，真是聪明极了，简单快捷，并且⼴泛地适⽤于“等差数列”的求和问题。
若⼲个数排成⼀列称为数列，数列中的每⼀个数称为⼀项，其中第⼀项称为⾸项，最后⼀项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是⾸项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是⾸项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是⾸项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由⾼斯的巧算⽅法，得到等差数列的求和公式： 和=（⾸项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，⾸项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利⽤等差数列求和公式之前，⼀定要判断题⽬中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，⾸项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利⽤等差数列求和公式时，有时项数并不是⼀⽬了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数：高斯求和
四年级奥数：高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数.根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.例 6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.练习31.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋ (200)（2）17＋19＋21＋ (39)（3）5＋8＋11＋14＋ (50)（4）3＋10＋17＋24＋ (101)2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和.3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和.4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下.问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和.6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？答案与提示练习31.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780.2.1127. 提示：项数=（93-5）÷4+1=23.3.2565. 提示：末项=13+5×（30-1）=158.4.180次. 解：（1+2+…+12）×2+24=180（次）.5.1650. 解：2+5+8+…+98=1650.6.45个.提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个.。
四年级上册数学课件-奥数 高斯求和(等差数列)全国通用版(共21张PPT)
2+4+6+8+10+12+14+16+18= 18+16+14+12+10+8+6+4+2=
（2+18）×项数÷2
项数=（末项－首项）÷公差＋1（末项大于首项） 项数=（首项－末项）÷公差＋1（首项大于末项）
德国著名数学家高斯，被誉 为”数学王子”。在他童年 时代，他就显露出聪明的才 智。有一天老师出了一道题 让同学们计算：1＋2＋3＋… ＋100＝？当全班同学都在埋 头计算时，10岁的小高斯已 经计算出了答案。
1、2、3、4、5、6、7、 2、4、6、8、10、12、 3、7、11、15、19 2、9、16、23、30
你学会了吗？
1
11+2+3+440+‥‥+19+20=
2
2
39、40
3
139+18+1387-+-4+0‥‥+2+1=
‥ ‥ ‥ ‥ ‥ ‥ 第一张 可能性 详细、
19
1290×202=24--0-400 21
19
22--40
20
20
21--40 22
18
23--40
23
17
24--40
‥‥ ‥‥ ‥‥
连续自然数的和怎么求 （首项+末项）×项数÷2 （1+19）×19÷2=190 （1+20）×20÷2=210
高斯求和公式原理
高斯求和公式原理高斯求和公式，这可是数学世界里的一个神奇小法宝！咱们今天就来好好聊聊它的原理。
话说我之前有一次监考数学考试，发现好多孩子在一道涉及求和的题目上抓耳挠腮。
那时候我就在想，要是他们能真正理解高斯求和公式的原理，或许就不会这么苦恼啦。
先来说说什么是高斯求和公式。
它的表达式是：（首项 + 末项）×项数 ÷ 2 。
这个公式看似简单，但其背后的原理可不简单哦！咱们来举个例子，假设要计算 1 到 100 的所有整数的和。
按照常规的方法，咱们得一个一个加起来，1 + 2 + 3 + 4 +……+ 99 + 100，这得多累啊！但高斯同学就很聪明，他发现了一个巧妙的方法。
他把这 100 个数首尾两两配对相加，1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101……以此类推，一直到 50 + 51 = 101 。
这样一共能配成 50 对，每对的和都是 101 。
所以，总和就是 101×50 = 5050 。
这其实就揭示了高斯求和公式的核心原理。
首项和末项相加，得到的和在整个数列中具有一定的代表性。
而项数除以 2 ，就是因为我们把数列两两配对了。
再比如说，计算 1 到 50 的和。
首项是 1 ，末项是 50 ，项数是 50 。
那么根据公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
在实际的学习和生活中，高斯求和公式的应用可广泛啦！比如说，咱们要计算一堆整齐摆放的书的总数，如果知道最上面一本书是第一本，最下面一本是最后一本，而且清楚一共有多少层，那就可以轻松用高斯求和公式算出总数。
又比如，统计一段时间内做某项任务的总次数。
假如从第一天开始，到第 n 天结束，每天的次数都有规律，也能借助这个公式迅速得出总数。
总之，高斯求和公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们轻松打开很多求和问题的大门。
希望同学们在学习数学的过程中，都能像高斯同学那样，多观察、多思考，发现数学中的奇妙之处，让数学变得不再那么可怕，而是充满乐趣和惊喜！回想起那次监考，我真心希望孩子们能早点掌握这些巧妙的方法，不再被数学难题困扰，能够在数学的海洋里畅游，享受探索和发现的快乐！。
四年级奥数高斯求和
第1讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（2）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（3）是首项为，末项为，公差为的等差数列；对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？【思维拓展训练一】1、11＋12＋13＋…＋31＝？2、3＋7＋11＋…＋99＝？例2（2+4+6+......+2012）-（1+3+5+ (2011)【思维拓展训练二】1、（7+9+11+......+25）-（5+7+9+ (23)2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例3 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
【思维拓展训练三】1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。
例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和【思维拓展训练四】1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？2、在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？3、求所有被7除余数是1的三位数的和？例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
高斯求和的五个公式推理
高斯求和的五个公式推理在数学的奇妙世界里，高斯求和可是个超级有趣又重要的家伙！今天咱们就来好好聊聊高斯求和的五个公式推理。
记得我当年教过一个小学生小明，那孩子聪明得很，但一开始对高斯求和那也是一头雾水。
咱们先来说说第一个公式，就是“和= （首项+ 末项）×项数÷ 2”。
这就好比你有一堆整齐排列的苹果，从第一个到最后一个，第一个就是首项，最后一个就是末项，而这一堆一共有多少个苹果，那就是项数。
为啥要乘以项数再除以 2 呢？咱们来举个例子。
比如说从 1 加到100，1 是首项，100 是末项，项数就是 100 个。
那咱们把这 100 个数首尾两两配对，1 和 100 一对，2 和 99 一对，3 和 98 一对……一直到50 和 51 一对。
每一对的和都是 101，一共有 50 对。
所以总和就是101×50 = （1 + 100）× 100÷ 2 。
再看第二个公式“末项 = 首项 + （项数 - 1）×公差”。
这个公差呢，就是相邻两项的差值。
比如说一个等差数列，每次都多 3，那 3 就是公差。
假如首项是 2，项数是 10，公差是 3，那末项就是 2 + （10 - 1）×3 = 29 。
说到这，想起小明当时做这道题，把公差给算错了，急得抓耳挠腮。
我告诉他别慌，一步步来，先找准首项、项数和公差，这才把题做对了。
第三个公式“项数 = （末项 - 首项）÷公差+ 1”。
比如说从 5 开始，每次加 2，加到 21 结束，公差是 2，首项是 5，末项是 21，那项数就是（21 - 5）÷ 2 + 1 = 9 。
还有第四个公式“首项 = 末项 - （项数 - 1）×公差”。
这个理解起来也不难，就还是刚才那个例子，21 是末项，9 是项数，2 是公差，那首项就是 21 - （9 - 1）× 2 = 5 。
小学四年级奥数ppt：高斯求和
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相
等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
数列
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷， 并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为
一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判
断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首 项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。
2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24
例4 求首项是25，公差是3的等差数 列的前40项的和。
高斯求和讲解
第 3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。
1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。
于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。
小高斯使用的种求和方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和。
若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。
后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。
其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。
例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？分析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。
由等差数列求和公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？分析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。
原式=（11+31）× 21÷2=441。
在利用等差数列求和公式，有数并不是一目了然的，就需要先求出数。
根据首、末、公差的关系，可以得到数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。
四上第二讲 学高斯巧求和
第二讲学高斯巧求和(一)
一、知识要点
等差数列的求和公式：(首项+末项) 项数÷2。
二、自我探究
【例1】计算：1+2+3+4+……+98+99+100
【例2】计算：2+5+8+…+23+26+29
【例3】求数列6，9，12，…前100个数的和。
【例4】计算：（2+4+6+…+1996+1998+2000）-(1+3+5+…+1995+1997+1999)
三、自我挑战
第一关：
1．31+33+35+37+39+41+43+45+47
2．17+24+31+38+45+52+59+66+73
3．5+10+15+20+……+90+95+100
4. 81+79+77+…+13+11
第二关：
1．1+2+3+4+……+98+99+100+99+98+97+……+3+2+1
2．（1+3+5+……+197+199）－（2+4+6+……+196+198）
3．秋实小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名列并列15人，用最简便方法计算出得奖的一共有多少人？
第三关：
1．时钟在每个整点敲时钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜敲多少下？
2．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？。
高斯求和讲解
第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
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四年级数学高斯求和讲解
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。
因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。