具有非齐次边界条件的问题
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8.3非齐次边界条件的处理
x 2 w a w ''( t ) [ ''(t ) ''(t )] xx tt l w x 0 0, w x l 0 x w ( x ) (0) [ (0) (0)] t 0 l x w ( x ) '(0) [ '(0) '(0)] t t 0 l
a sin t 2 Ala ( 1) n 1 u ( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) l n 1 sin a
A sin
x
sin
n at n x sin l l 2 2 2 2 2 l n a
这样边界条件化为齐次的了， 但是泛定方程却变为非齐次 的，接着可参照非齐次方程 的求解过程进行。
若为第二类非齐次边界条件： ux 可设v( x, t ) A(t ) x 2 B(t ) x
x 0
(t ), u x
x l
(t )
这样无论弦振动方程是否齐次，边界条件是否齐次，最终 可用分离变量法求解。
a
设v( x, t ) X ( x)sin t, 代入(1)(2) 2 X '' 2 X 0 a X x0 0, X xl A
x)
l
a
) A D A / sin
l
a
v( x, t )
A sin
l
a
sin
xaΒιβλιοθήκη sin t令u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
8.3 非齐次边界条件的处理
教学重点：掌握非齐次边界条件问题转化为齐次边界条件问题的方 法 处理原则：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一未知函 数的齐次边界条件问题。
数学物理方程非齐次边界条件的处理
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)
V
(x, 0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
（1） （2）
（3）
设
V
n1
vn
(t) sin
n
l
x
f
(x,t)
n1
f n (t) sin
l
l
l
vn (t)
A'(t) sin
na
l
t
na
l
A(t) cos na
l
t
B(t) cos na t na B(t) sin na t
l
l
l
令 A'(t)sin na t B(t) cos na t 0
l
l
vn(t)
na
l
A'(t) cos na
n
l
x（5）
（4）
其中
fn
(t)
2 l
l 0
f (x,t)sin n
l
xdx
把（4）（5）代入（1）中
vn(t) sin
n1
n
l
x
a
2
n1
n 2
l2
2
vn (t) sin
n
l
x
f
(x, t)
a
2
n1
3.3非齐次边界条件的处理
Wuhan University
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
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§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
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§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
⎪ ⎩
§3.3 非齐次边界条件的处理
2
⎧ a2n2π 2ω2 Tn′′(t ) + 2 Tn (t ) = sinωt (−1)n+1 ⎪ l nπ ⎪ ⎨Tn (0) = 0 nπa l t nπa ⎪T ′(0) = 0 ωn = Tn (t ) = ⎪ n ∫0 f n (τ ) sin l (t − τ )dτ l nπa ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
(4) 定解问题（1）－（3）的解
vtt − a v xx = − ( wtt − a w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
无法确定其值
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§3.3 非齐次边界条件的处理
二、求解
2、求解 （１）边界条件齐次化： 令 使
u( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
(4)
⎧ w | x = 0 = u | x = 0 = g ( t ) ( 5) ⎨ ⎩ w | x = l = w | x = l = h( t ) ( 6)
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§3.3 非齐次边界条件的处理
（2）令
v( x, t ) = v ( x, t ) + v
I
II
( x, t )
(9 )
⎧ II ω2 2 ⎧ I 2 I v tt − a 2v II xx = ω x sinωt ⎪ ⎪v tt − a v xx = 0 l ⎪ ⎪ I v (0, t ) = v I (l , t ) = 0 (10) ⎪v II (0, t ) = v II (l , t ) = 0 (11) ⎨ ⎨ ⎪ ω ⎪v II ( x,0) = v II t ( x,0) = 0 I I ⎪v ( x,0) = 0 , v t ( x,0) = − x ⎪ l ⎪ ⎩ ⎩
非齐次边界条件的齐次化处置
Tn (t)
l
n
a
t 0
fn (
) sin
n
a(t l
)
d
bn
cos
n at
l
anl
n a
sin
n at
l
.
令
Fn (t)
l
n
a
t 0
fn ( ) sin
n
a(t l
)
d
4l 2
(2m )3 a2
4l 2
(2m 1)3
(1 cos 2m at ),
l
3a2
[t
sin
(2m
1)
l
at
cos
(2m
v(x,t) x [ (t) (t)] (t).
l
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t),
wtt
a 2 wxx
vtt
a 2vxx
x l
[(t)
(t)]
(t),
则定解问题变为：w x0 w t0
0w , xl
(x) v t 0
(x)
x l
[
(0)
(0)]
(0),
wt
t 0
§8.3 非齐次边界条件旳齐次化处理
从之前的讨论中可知，除稳定场问题需部分非齐次边界来确定 叠加系数外，其它情况总是要求边界条件为齐次。这是分离变量 法的适用条件。这也是本征函数有解且解具有正交完备性的基本 要求。所以对于一些非齐次边界,我们总是想办法将其齐次化。
如果能将非齐次边界问题u转化为齐次边界问题w和一个较简单 函数v的叠加，即u = w +v，而函数v满足u的边界条件，这样 w满 足的边界即为齐次边界。其中函数v的选取具有一定的随机性， 有时要作多次尝试，而且其形式不唯一。
2-5 非齐次边界条件的处理
则新未知函数 u( x , t ) = V ( x , t ) + W ( x , t ) ,便满足齐次 边界条件 V |x = 0 = V |x = l = 0
令 W ( x , t ) = A( t ) x + B( t ) 于是由 W | x = 0 = u1 ( t ), W | x = l = u2 ( t ) 有:
前面所讨论的问题,都是基于边界条件是齐次的.但 我们所遇到的实际问题往往是非齐次的边界条件,则要 设法将边界条件化成齐次的.现以下列定解问题为例,说 明选取代换的方法:
⎧ utt = a 2 uxx + f ( x , t ) 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨ u | x = 0 = u1 , u | x = l = u2 ⎪ u | = ϕ ( x ), u | = ψ ( x ) 0≤ x≤ l t t =0 ⎩ t =0
因而只要作代换:
⎡ u2 − u1 ⎤ u =V + ⎢ x + u1 ⎥ ⎣ l ⎦ 就能使新的未知函数V满足齐次边界条件.
经过这个代换后,得到关于V的定解问题为:
⎧Vtt = a 2Vxx + f1 ( x , t ) 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨V | x = 0 = V | x = l = 0 ⎪V | = ϕ ( x ),V | = ψ ( x ) 0 ≤ x ≤ l t t =0 1 ⎩ t =0 1
⎧ B( t ) = u1 ( t ) ⎨ ⎩ A( t )l + B( t ) = u2 ( t ) ⎧ B( t ) = u1 ( t ) ⎪ ⎨ u2 ( t ) − u1 ( t ) ⎪ A( t ) = l ⎩ u2 ( t ) − u1 ( t ) W ( x, t ) = x + u1 ( t ) l
非齐次边界条件问题(10.30)
（10.30）非齐次边界条件问题问题1, (,0)(), (0,)0, (,)(0)t xx u ku u x f x u t u l t A A ====≠求解非齐次边界问题时，首先应将其转化为齐次边界问题。
因此，此处首先找出方程的稳态解，即与时间t 无关的解0()u x ，将其代入原方程后可得[][]00()0()t xx u x k u x ==解得0()u x px q =+式中，p 、q 为待定系数。
根据边界条件可得0(0)0u q ==0()u l A pl q ==+解得, 0Ap q l== 所以0()A u x x l=构造函数0(,)()(,)u x t u x v x t =+代入原方程可得[][]00()()t t xx t xx u u x v k u x kv =+=+化简后可得t xx v kv =又由初始条件可得0()(,0)()(,0)f x u x u x v x ==+所以0(,0)()()v x f x u x =-由边界条件还可以得到(0,)(,)0v t v l t ==因此，题设问题就转化为了齐次边界条件问题，即求解0, (,0)()(), (0,)(,)0t xx v kv v x f x u x v t v l t ==-==由变量分离法，首先假设(,)()()v x t X x T t =进而有()'()"()()X x T t kX x T t =移项整理得''()'()()()X x T t A X x kT t =≡ 其中A 是与x , t 都无关的常数，于是有'()()T t AkT t = "()()X x AX x =分别求解，对于()T td ()d ()T t Ak tT t =⎰⎰所以0()Akt T t C e =对于()X x ，当0A ≥时，都可以得到()0f x ≡，与题设不符。
非齐次边界条件
非齐次边界条件
非齐次边界条件是指边界条件中包含有非零项的情况。
在数学和物理学中，经常会遇到需要求解非齐次边界条件下的问题。
解决非齐次边界条件的方法通常可以分为两步：首先求解对应的齐次边界条件下的问题，然后再加上非齐次项的修正项。
在求解偏微分方程的边界值问题时，常常需要给定边界上的某些量的具体值或者导数的具体值。
如果这些量的值恒为零，则称为齐次边界条件。
否则，如果这些量有非零值，则称为非齐次边界条件。
一般情况下，非齐次边界条件会增加问题的复杂性，因为不再满足齐次边界条件的性质。
解决非齐次边界条件的一种常见方法是将问题转化为齐次边界条件下的问题，然后通过求解该齐次问题的解来得到非齐次问题的解。
具体而言，对于一个偏微分方程的边界值问题，我们可以首先求解相应的齐次边界条件下的问题，得到一个齐次解。
然后，我们再考虑非齐次项，根据非齐次项的性质，找到一个特解。
最后，将齐次解和特解相加，就可以得到非齐次边界条件下的解。
需要注意的是，对于不同的非齐次项，求解的方法和步骤可能会有所差异。
在实际问题中，通常需要根据具体的方程和边界条件来选择适合的方法来解决非齐次边界条件。
非齐次边界条件齐次化的处理方法
非齐次边界条件齐次化的处理方法是一种处理非齐次边界条件的有效方法。
这种方法通过将非齐次边界条件转换为齐次边界条件来解决问题。
非齐次边界条件是指边界条件中含有非齐次项的情况，这种情况下，解决问题会变得更加复杂。
因此，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件，可以极大地简化问题的解决过程。
非齐次边界条件齐次化的处理方法主要有以下几种：
1、增加自由度法。
这种方法的基本思想是在原有的自由度上增加新的自由度，从而将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
2、拉格朗日乘子法。
这种方法的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
3、变分法。
这种方法的基本思想是通过变分的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
4、积分变换法。
这种方法的基本思想是通过积分变换的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
非齐次边界条件齐次化的处理方法可以有效地解决非齐次边界条件带来的问题，并且可以简化问题的解决过程。
含有非齐次边界条件的有源热传导问题
含有非齐次边界条件的有源热传导问题
含有非齐次边界条件的有源热传导问题如下：
有源热传导问题是物理学和工程学中最重要的问题之一，是流体力学中复杂的热工程过程的理论基础。
如果没有考虑复杂的外力，有源热传导问题有两个基本特征：热平衡和热传导。
热平衡可以定义为边界上的热流，即外界热流等于热源的加热量，而热传导指的是物体内部的导热过程，包括对流和传热。
有源热传导问题具有非齐次边界条件是指边界表示的非时间变量，它无法用均一方程来概括。
常用的非齐边界条件有温度和热流，外部热源表达式，以及混合热流和分离热流等。
在有源热传导问题中，热通量的温度和热流密度随空间的变化而变化，因此，生成的边界条件是非齐次的。
目前，有多种数值方法用于解决有源热传导问题，其中最常用的是离散元分析（以及相关的装置技术）和有限差分方法。
离散元分析可以消除诸多计算困难，提高计算精度，而有限差分可实现快速迭代，计算复杂度较低。
但是，所有这些方法都需要严格处理有源热传导问题的非齐次边界情况才能有效求解。
因此，处理有源热传导问题的非齐次边界条件的能力，将决定有源热传导问题的解决效果。
处理非齐次边界条件需要权衡精度和计算效率，使用合适的方法可以满足数值计算要求。
有关有源热传导问题的计算迅速发展，揭示了它产生的复杂过程。
有效处理非齐边界条件，是构建有效热工程系统和应用有源热传导问题解决复杂工程问题的决定性因素
之一。
非齐次边界条件下半无界弦自由振动问题的求解
非齐次边界条件下半无界弦自由振动问题的求解
非齐次边界条件下半无界弦自由振动问题的求解
半无界弦自由振动是一种有趣的物理现象。
与齐次边界条件（隔绝弦端处的力和位移为零）以外的半无界物体具有不同的动力学行为。
半无界弦的自由振动被用来模拟滑动接触中存在的实际金属振动。
因此，对半无界弦自由振动的研究具有重要意义。
有趣的是，半无界弦自由振动问题具有两个独特的解决方案：传统的有限元法和更新的快速傅里叶传播（RFFT）方法。
传统的有限元方法提出使用分段线性函数来建立总体行为，然后通过一系列运算来求解每个单元的位移和力。
然而，这种方法在多阶系统的解决中存在许多不便之处，而且存在效率不高的问题。
另一种新的求解方法是快速傅里叶反演法（RFFT）。
有限元解决方案需要大量的计算，而快速傅里叶反演只需要几次计算就能求出解。
这种方法的优点是简单、快速、可靠，缺点是对于高阶系统（N>4）的求解精度不够高。
可以总结，考虑非齐次边界条件下半无界弦自由振动问题的求解时，传统的有限元法虽然可靠，但计算量大。
快速傅里叶传播方法则比较简单、快捷，但对高阶系统求解精度较低。
决定使用哪种方法，要根据具体实际情况进行选择。
具有非齐次边界条件的问题
(87)
u(x,0) 0,.
解 选用辅助函数 w(x,t) t x t. 令
l
u(x,t) v(x,t) t x t,
则问题(87)化成
l
vt
a 2vxx
x l
-1
(0 x l, t 0),
v(0,t) 0, v(l,t) 0,
(88)
v(x,0) 0.
13
vt
a 2vxx
w(0,t) 3,
w(l,t) 6.
18
utt a 2u xx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x
l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
31
x , l
ut (x,0)
sin
4
l
x.
这么由代换 u(x,t) v(x,t) w(x),
问题(91)化为下面两个问题：
(4) ux (0,t) u1(t),
ux (l,t) u2 (t);
w( x, t )
u2
(t) 2l
u1 (t)
x2
u1 (t)x.
以上4种辅助函数旳情形对热传导方程一样合用。
12
例1 求解下列问题：
ut a 2uxx (0 x l, t 0),
u(0,t) t, u(l,t) 0,
u1 (0)
u1 (0),
1 ( x)
(x)
x lu2Βιβλιοθήκη (0)u1 (0)
u1 (0).
(79) (80) (81) (85) (86)
10
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
2.5具有非齐次边界条件的问题
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
5
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81) (86)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
2 l nx 2 2 l x nx f n (t ) f ( x, t ) sin dx 1 sin dx . 0 l 0 l l l l n
9
再将 即得
f n (t )
na 2 ( ) t 2l l e 1, 3 2 ( n ) a n v ( x , t ) v ( t ) sin x, n 把(90)代入(89) l n 1 2
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
2.5
具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题
的求解方法。处理这类问题的基本原则是： 无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w( x, t ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 使得对于新的未知函数v( x, t ) 而言，边界条件为 齐次的。
(85)
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
第八章 非齐次边界条件处理(3节).
§8.3非齐次边界条件的处理
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
第3节(非齐次边界条件的处理)
自由振动问题
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
3.3 非齐次边界条件的处理
令 v v I v II，且满足
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
I I vtt a 2vxx 0 分离变量法求解 I I v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v I ( x, 0) ( x) w( x, 0), v I ( x, 0) ( x) w ( x, 0) t t II II vtt a 2vxx a 2 wxx wtt II II v (0, t ) 0, v (l , t ) 0 v II ( x, 0) 0, v II ( x, 0) 0 t
接下来令 v v I v II，使得v I具有齐次的方程和非齐次的初始 条件，v II具有非齐次的方程和齐次的初始条件。用分离变量 法求v I，用冲量原理法或本征函数法求解v II，最终 u ( x, t ) w( x, t ) v I ( x, t ) v II ( x, t ) 。
冲量原理法或本征 函数法求解
说明：边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化和初 始条件的复杂化，但这是必须的！没法子啊！
例1 试研究一端固定，一端作周期运动 sin t 的弦振动。
utt a 2uxx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) sin t u ( x, 0) u ( x, 0) 0 t
2l nπat nπx 解得 v ( x, t ) (1) siБайду номын сангаас sin 2 a(nπ) l l n 1
2 l sin t sin nt sin t sin nt nπx II n 1 v ( x, t ) (1) sin 2 a ( nπ ) n n l n 1
则 v |x 0 0, v |x l 0.
非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式
中图分类号 ： ４ １１ ０ １ ． 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
对 于如何 求解 非 齐次 边 界条 件 定 解 问 题 的边 界 条 件 齐 次 化 函 数 ， 文 献 中 都 只 是 具 体 求 在 解 ， 卜 或列 举几 种 类 型 以表 格 形 式 给 出 ． 文 本
ｍ ＝ ＋ １ ＝ ＝
其 中 ， ￡ ， ￡分 别 是 关 于 ｔ 函数 ． Ａ（） Ｂ（） 的
所 ｗ… 以 一 ｃ
—
＋ （
一
２ 论 题 的证 明
证明：
ｚ＋ （一） 是 非 ‘ 边 。 件 （ ！ｍ ，！ ， １ ｚ１ 该 ｒ 次 界 、 定 ｚ） ／ １ Ｖ， 。 条‘ 齐 刀 心
㈤
Ｕ （）ｍ≥Ｏ ≥Ｏ 则 边 界 条件 的齐 次化 函数 具 有 ｚ￡， ， ，
的其 中一种 形式 为 ：
Ｗ （ ， ） Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡一 ￡ ￡ ” Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡ｚ ｔ ｘ一 ｍ ≠ ＋ １
７ ８
Ａ （）Ｏｍ ｎ ＋ （ ￡ ． － ） ＋ １ Ｔ （ ）！Ｂ （） 一 “ （） ￡ ｚ ￡
非齐次边界条件定解问题 的一 种齐次化 函数形式
陈 杰， 陈丽华
（ 汉工程 大 学 电气信 息学 院 ， 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ４
摘 要： 通过 对 非 齐次 边 界 条 件 的定 解 问题 的 讨论 ， 出 了本 文 的 论 题 ， 非 齐 次 边 界 条 件定 解 问 题 的 边 界 条 引 对
一
这 里 ， ： ，） 令 Ｕ（ ￡ 一Ｖ（ ￡ ＋Ｗ （ ￡ ，） ，）
种 齐 次 化 函数 形 式 ．
其 中 ， （ ￡满 足 ： Ｗ ｘ， ） Ｗ （ ， ｛ Ｏ Ｕ （） Ｗ （ ，） 一 — Ｕ （） ｆ ｘ — ｌ￡ ， ￡ Ｉ ２ ￡ ） ＝
０ 引 言
对 于如何 求解 非 齐次 边 界条 件 定 解 问 题 的边 界 条 件 齐 次 化 函 数 ， 文 献 中 都 只 是 具 体 求 在 解 ， 卜 或列 举几 种 类 型 以表 格 形 式 给 出 ． 文 本
ｍ ＝ ＋ １ ＝ ＝
其 中 ， ￡ ， ￡分 别 是 关 于 ｔ 函数 ． Ａ（） Ｂ（） 的
所 ｗ… 以 一 ｃ
—
＋ （
一
２ 论 题 的证 明
证明：
ｚ＋ （一） 是 非 ‘ 边 。 件 （ ！ｍ ，！ ， １ ｚ１ 该 ｒ 次 界 、 定 ｚ） ／ １ Ｖ， 。 条‘ 齐 刀 心
㈤
Ｕ （）ｍ≥Ｏ ≥Ｏ 则 边 界 条件 的齐 次化 函数 具 有 ｚ￡， ， ，
的其 中一种 形式 为 ：
Ｗ （ ， ） Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡一 ￡ ￡ ” Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡ｚ ｔ ｘ一 ｍ ≠ ＋ １
７ ８
Ａ （）Ｏｍ ｎ ＋ （ ￡ ． － ） ＋ １ Ｔ （ ）！Ｂ （） 一 “ （） ￡ ｚ ￡
非齐次边界条件定解问题 的一 种齐次化 函数形式
陈 杰， 陈丽华
（ 汉工程 大 学 电气信 息学 院 ， 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ４
摘 要： 通过 对 非 齐次 边 界 条 件 的定 解 问题 的 讨论 ， 出 了本 文 的 论 题 ， 非 齐 次 边 界 条 件定 解 问 题 的 边 界 条 引 对
一
这 里 ， ： ，） 令 Ｕ（ ￡ 一Ｖ（ ￡ ＋Ｗ （ ￡ ，） ，）
种 齐 次 化 函数 形 式 ．
其 中 ， （ ￡满 足 ： Ｗ ｘ， ） Ｗ （ ， ｛ Ｏ Ｕ （） Ｗ （ ，） 一 — Ｕ （） ｆ ｘ — ｌ￡ ， ￡ Ｉ ２ ￡ ） ＝
第八章第三节 非齐次边界条件的处理
0 vtt a 2vxx
t t x2 tx a2 t t
2l
l
wx x0 0, wx xl 0
w x 0 0 x2 0x
t0
2l
wt
t0
x
0 0
2l
x2
0x
2009年5月7日
补充练习：
将下面非齐次边界条件的问题转变为齐次边界条件的定解问题
ut a2uxx 0 x l,t 0 ux 0,t w1t,ux l,t w2t ux,0 x
l l
xdx 2 A
n
Tn
n2 2a2
l2
Tn
Fn
2A
n
根据
dy Pxy Qx
dx
y Ce Pxdx e Pxdx Q x e Pxdxdx
得:
Tn t
B e
n2 2a
l2
2
t
n
2Al2
n3 3a2
代入w(x,t)得
w x,t
Bne
n
2 2a2
l2
t
n1
2 Al2
由此确定 X x A sinl asinx a,从而
vx, t
A
sin l
sin
x
a
sin t....8.3.17
a
令ux,t vx,t wx,t....... 8.3.18
将(8.3.17),(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13)
wtt a 2 wxx vtt a 2 vxx 0...8.3.19
w 60 t 0
应用傅里叶级数法求解w(x,t)—非齐次项不含t，不宜用冲量定
理法。
wx,t
Tn tsin
数理方程与特殊函数8非齐次边界条件定界问题的解
Vx0 0,uxL0
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
2.5具有非齐次边界条件的问题.
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
2
n
代入 vn (t)
t 0
2
t ( na )2 (t )
el
n 0
fn ( d
(
)e
na l
)2
(t
)
d
,
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1,
(90)
把(90)代入(89)v(
x,
t
)
n1
vn
(t
)
s
in
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79)
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
(80)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
sin
4
l
x.
15
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sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(4) ux (0,t) 0, ux (l,t) 0;
urr
1 r
ur
1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路2 (1)找出此泊松方程的一个特解 w(r, ), 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
(2)将泊松方程化成拉普拉斯方程
vrr
1 r
vr
1 r2
v
1 r
vr
1 r2
v
F (r, ),(0 r r0 ),
(P1)
v |rr0 0.
我
要
我
的1 音 乐
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
urr
1 r
ur
1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
固有函 数法
和
cos
nx
l
(n
0, 1,
2,
);
以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和
矩形域上的泊松方程是适用的。
(5) 圆域上的泊松方程对应的固有函数系为
1,cos,sin,cos2,sin 2,cosn,sin n,
我
要
我
的4 音 乐
小结 固有函数法的解题步骤：
1.将所考虑的定解问题的解按固有函数系展开
由条件(84)确定 A(t), B(t) 得
B(t) u1(t),
1 A(t) l [u2 (t) u1(t)],
我
要
我
的8 音 乐
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
w(0,t) u1(t), w(l,t) u2 (t),
(84
我
要
我
的 7 音) 乐
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
()80
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
0,
(0 r r0 ),
v |rr0 f ( ) w(r0 , ). 可用分离变量法或试探法求解问题(Q)
我
要
我
的3
(Q )
音乐
小结 u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
齐次的。 我们以下面的问题为例，说明选取函数代换
的方法。（也可称为辅助函数法）
我
要
我
的6 音 乐
考察定解问题：
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
()80
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
分离变 量法(或 试探法)
vrr
1 r
vr
1 r2
v
F (r, ),(0 r r0 ),
(P1)
v |rr0 0.
wrr
1 r
wr
1 r2
w
0,
(0 r r0 ),
(P2)
w |rr0 f ( ).
我
要
我
的2 音 乐
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
)(81
u(x,t) v(x,t) w(x,t),
)(82
w(0,t) u1(t), w(l,t) u2 (t),
)(84
其实满足(84)中两个条件的函数 w(x,t) 是很多) 的，
为了以后计算方便起见，通常取w(x,t) 为 x 的一次
式，即设
w(x,t) A(t)x B(t),
2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开
如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接 进入下一步。
3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简，
并比较待定系数得到一个常微分方程 4.将利用初值条件得到步骤3中常微分方程的附
加条件。然后求解常微分方程的初值问题。
注意：若是泊松方程则需借助有界性和边界条件
)(81
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，)
为此令 u(x,t) v(x,t) w(x,t),
(82
并选取辅助函数 w(x,t), 使新的未知函数 v(x,)t)
满足齐次边界条件，即
v(0,t) 0, v(l,t) 0.
(83
由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要 )
(85 )
我
要
我
的9 音 乐
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
x u(x,t) v(x,t) l [u2 (t) u1(t)] u1(t).
我
要
我
的5 音 乐
2.5 具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题 的求解方法。处理这类问题的基本原则是：
无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w(x,t), 通过函数代换 u(x,t) v(x,t) w(x,t),
使得对于新的未知函数v(x,t) 而言，边界条件是
u(x,t) v(x,t) w(x,t),
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成 v(x,t) 的定解问题
(79 ()80 )(81 )(82 )
补充
对于如下泊松方程的边值问题而言：
urr
1 r
ur
1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路1 将问题(P)的解看成两部分， 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r,) 和 w(r, ) 分别满足
vrr