计算流体力学

1、数值的耗散与频散：在数值解中出现的振幅衰减波长加宽的现象叫数值耗散，与高阶偶次空间偏导数有关；在数值解中出现解得主波后有一系列频及传播速度不等的尾波的现象叫数值频散，与高阶奇次偏导数有关。

2、湍流模型理论：湍流模式理论或简称湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起得一组 描写湍流平均量的封闭方程组。

3、修正的偏微分方程：与差分方程相等价的微分方程称之为修正的微分方程。

4、自适应网格:为了计算具有高雷诺数的流场，必须将流场内的网格加密，但是实际计算中并不需要对全流场的网格所有部分同样加密，只需在某些部分，如物面附近、尾流区等得网格加密即可。

因此需要事先估计一些变化较快的区域，但这种估计又是是正确的。

有时则不正确。

特别是不定常流动，流动过程本身就是变化的，所以需要不断的调整网格的位置和疏密，这样就产生了自适应网格。

5、CFL 条件：定义tC xμ∆=∆ ，不等式1C ≤ 称为CFL 条件，此条件一般应用于双曲线偏微分方程的显式格式。

物理意义：即在时间步长内，波的位移应小于空间步长。

数学意义：差分方程解的依赖区域包含微分方程解得依赖区域。

1、简答CFD 方法求解流动问题的基本步骤答：①确定流动模型；②计算区域离散化；③用离散节点变量代替场；④将控制方程中偏导数进行离散，得到线性方程组；⑤边界条件和初值条件离散化；⑥离散的线性方程组求解，得到离散值；⑦计算结果数据处理。

2、简述离散偏微分方程的三个原则及LAX 定理三原则；相容性、稳定性、收敛性。

LAX 定理：对于一个选定的线性偏微分方程的初值问题，对应的差分方法是相容的，则差分方程解得收敛性和稳定性事等价的或者说稳定性是收敛性的充要条件。

3、简述差分格构造的基本规律，并应用规律方程0t xμμλ∂∂+=∂∂ 利用网格点（）（）（）构造方程的差分格式，并验证其离散格式的精度等级。

答：构造的基本规律 ：①为保证均匀流场，差分的分子各项系数之和为零 ②分母向量级与微分的阶数一致 ③构造差分级指明针对哪点构造 ④差分格式的精度 由网格点（）（）（）规律方程（）构造得11110n n n n j jj j xxμμμμλ+++---+=∆∆ 令112j jx k k xμμμ-+=∆ 用泰勒公式展开的23126j j x xx x x x x μμμμμ-∆∆=-∆+- 所以12101k k k +=⎧⎨-=⎩ 得1211k k =-⎧⎨=⎩ 所以1j j x x μμμ--+=∆ 所以具有一阶精度4、简要概括流动的数值计算对网格的基本要求 答：①计算域边界上的网格节点都应在边界上②物理域上的特点与计算域上的节点要求一一对应 ③网格应尽量尺寸匀称，相邻网格长度比应小于2 ④物理域网格夹角不宜太小（≥45°）⑤流动参数梯度大的地方网格要加密，否则稀疏。

5、简述人工压缩方法（时间相关法）的基本思想答：用非定常流动方程来求解定常流动问题，用其稳态求解定常流动的解，将不可压缩的粘性流动的连续方程，添加到可压缩项。

则与动量方程构成定常粘性流动时间相关方程，可把非定常流动的稳态解作为非定常流动的解。

()()()2222201Re 1Re t x y t x x y t y y xP a u u u u uv P u v v uv P v ⎧++=⎪⎪⎪+++=∇⎨⎪⎪+++=∇⎪⎩构造矢量方程210Re q F G D q t x y ∂∂∂++-∇=∂∂∂ 其中22220,0,0;;;0,1,00,0,1a u p a vq u F u p G uv D v uv v p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪==+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭离散()()()()11110.50.502Ren n n n n n n x y xx yy q DL F F L G G L L q q t ++++∆++++-++=∆ 6、简述多重网格方法基本思想，及“两层V 循环多重网格方法”的步骤。

答：为了提高计算精度，一般应将网格分得足够细，这样计算就会比较麻烦，迭代时间也比较长，为此可将网格划分得稀疏一些，得到一个初步结果，然后在加密网格，其初值可以在上一次计算基础上插值得到。

这样就可以减少计算时间，另外为了减少计算时间一般说一开始并不需要很高的精度，而是通过网格的反复加密和稀疏，最后得到精确的结果，“两层V 循环多重网格方法”的步骤是；在细网格上松弛迭代，求初始解得残差，限制残差到粗层网格求校正量，插值校正量到细网格，并求一个新的近似解，若新的近似解不能满座要求，则将其作为n μ 的初值，重复上述过程，直到解能满足精度为止。

7、简述各种湍流模型的特点答：湍流模型包括一阶封闭模式、雷诺应力模式（RSM ）、代数应力模式（ASM ）和二方程模型。

雷诺应力模式是目前所有模式中最精确也最复杂的一种模式，需求解的微分方程的个数最多，计算所花的时间也多，代数应力模式是目前应用较广的一种模式，它比雷诺应力模式简单得多，而计算所得的结果与RSM 不相上下，但需要注意的是其应用的场合（必须满足对流项与扩散项的条件）。

二方程模型在工程上得到广泛的应用，它所花费的就散时间比ASM 少，计算结果也略差一些，该模式不适用。

一阶封闭模式预报能力差，方程中出现的常数往往与所求解得流场有关，因此缺乏普适性，为了获得较好的计算结果，方程中出现的某些参数要根据实验数据修正，而实验数据的可靠性和精度将直接影响最后的计算结果。

因此用过于简单的模型来预测复杂的流场，其结果是不可靠的，因此权衡利弊可以选择合适实际情况的模式来计算。

8、试说明为什么网格的生成问题可以认为是计算域内的边值问题及网格生成的常用方法。

答：从概念上说，网格可以这样生成：给定对应物理域的边界的ξ 和η 值，然后通过边界点连接两族坐标线，交叉构成内部节点，这样便可将其理解为：给定域R 边界上值()(),,,x y x y ξξηη== ，然后求内点()(),,,b b x y x y ξξηη==的值，网格生成的方法有微分方程法和代数映射法生成网格。

9、解释在进行流动模拟时为什么要使用贴体坐标系，而且还要进行方程的变换，及进行坐标系变幻的基本要求？答：对于复杂物体绕流或复杂流道内流问题，在直角坐标系下，很难总是做到物面与坐标线相一致，从而在壁面附近，产生不规则网格，若采用有限差分法计标，在物面处还要采用与内点不同的差值或外推公式。

这往往会使边界条件处理格式的精度降低，并进一步影响整个计标域内的解的精度，使用贴体坐标系意味着物理域上的不规则形状可以映射为计标域上的规则形状，而且控制方程也需要变换到贴体坐标下，并在曲线坐标系下离散。

基本要求：①建立两种坐标系与映射②相邻网格步长变化不能太大（均匀速度） ③网格线夹角最好为90°④在参数梯度大的地方加密网格，梯度小的地方稀疏网格。

10、分析方程0T T t x μ∂∂+=∂∂ 的lax-wendoff 一步差分格式的精度和稳定性111112220.502n nn n n n n j j j j j j j T T T T T T T t txxμμ++-+----++-∆=∆∆∆ 并写出离散格式相等价的修正偏微分方程。

解：差分格式：()()1211110.50.52n n n n n n nj j j j j j j T T c T T c T T T ++--+=--+-+精度：用中心差分在（j ，n ）点泰勒展开11231j j j x k T k T k T T x-+++=∆则23126j j x xx xxx x x T T xT T T -∆∆=-∆+- 23126j j x xx xxx x x T T xT T T +∆∆=+∆++ 故1231313011122k k k k k k k ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪+=⎩ 得12312012k k k ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ 得112j j x T T T x +--=∆ 故具有一阶精度稳定性：放大因子22212sin sin 2G c ic θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭若|G |≤1满足格式，则是稳定的 求修正的偏微分方程23126n njjt tt ttt t t TT tT T T +∆∆=+∆+- 23126n nj j x xx xxx x x T T xT T T -∆∆=-∆+-23126n nj jx xx xxx x x TT xT T T +∆∆=+∆++得2220.50266t tt ttt x xxx xx t t x T T T T T t T μμ⎛⎫∆∆∆++++-∆= ⎪⎝⎭所以2220.5266t tt ttt x xxx xx t t x T T T T T t T μμ⎛⎫∆∆∆=---++∆ ⎪⎝⎭20.52tt ttt xt xxt t T T T t T μμ∆=-+∆ 所以ttt xtt T T μ=- 20.52tx ttx xx xxt tT T T t T μμ∆=--+∆ 所以txx xxx T T μ=-11、标志物与单元法在交错网格上求解： ①做出交错网格 ②离散动量方程()()1111/21/21,,k1/2,1/21/2,1/21,,1/2,1/2,1/2,1/2,2221Re n nn n n nn n j j j k j j k j k j k j knn nnnj j k j kj kj kv v P P t xyxxy μμμμμμμμμμμ+++++++++-++-++----=---∆∆∆∆⎛⎫-+++-⎪ ⎪∆∆⎝⎭而()()1111111/2,1/2,1,,,1/2,1/2,1,n nn n n n n n j k j k j k j k j k j k j k j k t t u F P P v G P P x y+++++++++-+++∆∆=--=--∆∆由连续方程11111/2,1/2,,1/2,1/20n n n n j k j kj k j k u u v u xy+++++-+---+=∆∆()()111111,1/2,1/2,k 1,,11/2,1/2,1,,1,22n n n n n nnn n n j k j k j j k j k j kj kj k j k j k t t G G P P P FFP P P y x x y+++++++-+-+-+-∆∆---+---+∆∆+∆∆ 整理化简得()()1n n n xx yy L L P F G ε++=+2220.50266t tt ttt x xxx xx t t x T T T u T T tu T ⎛⎫∆∆∆++++-∆= ⎪⎝⎭————①得20.52tt ttt xt xxx t T T uT tu T t ∆=-+∆ 得ttt xtt T uT =- 20.52tx ttx xx xxx tT T uT tu T ∆=--+∆ txx xxx T uT =- txt xxt T uT =-将以上带入①整理得出与离散格式相等的修正的偏微分方程12、写出非线性的对流扩散方程（Burges ）方程220u u u u t x xγ∂∂∂+-=∂∂∂ 的CN 差分格式，然后对其进行线形化处理 解：令2212x u uu F x x∂∂==∂∂ 得0t x xx u F u γ+-= CN 格式：()()1110.50.50n n j jn n n n x j j xx j j u u L F F L u u tγ+++-++-+=∆ ————①()()()221,0,1/2;1,2,1/;F ,2x xx x x u L x L x uu F =-∆=-∆== 下面对非线性隐式进行线性化()()()12212000n n nn n n J j t j u t j j jF F t F t Ft F u t F u u t ++=+∆+∆=+∆+∆=+∆+∆ ———② 将②代入①()()1110.520.50n nj jn n n n n x j j j xx j j u u L F u u L u u tγ+++-++∆-+=∆ 即线性后的差分方程13、具体写出求解不可压缩流动SIMPLE 算法的求解步骤解：控制方程()()222201Re 1Re t x x y ty y x u v x y u u uv P u v v uv P v ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎪+++=∇⎨⎪⎪+++=∇⎪⎩离散动量方程如下：()()1111,,,,b 1,,1111,,,,b ,1,00u n u n u n n j k j k n b n j k j k v n v n v n n j k j k n b n j k j k x y a u a u b y P P tx y a v a v b x P P t++++++++++⎧∆∆⎛⎫++++∆-=--- ⎪⎪∆⎪⎝⎭⎨∆∆⎛⎫⎪++++∆-=--- ⎪⎪∆⎝⎭⎩∑∑①②求解;u v ** ①②式中1n P + 以n P 代替，解得速度近似解;u v **即解方程：()(),,,,b 1,,,,,,b ,1,00u u u n nj k j k n b n j k j k v v v n n j k j k n b n j k j k x y a u a u b y P P tx y a v a v b x P P t**+**+⎧∆∆⎛⎫++++∆-=--- ⎪⎪∆⎪⎝⎭⎨∆∆⎛⎫⎪++++∆-=--- ⎪⎪∆⎝⎭⎩∑∑⑤⑥求解1111;;;n n n c n c uv u u u v v v +++*+*=+=+ 需求解;c c u v方程①②分别减去③④得()(),,,,b 1,,,,,,b ,1,00u c u cj k j k n b n j k j k v c v c j k j k n b n j k j k x y a u a u y P P tx y a v a v x P P tδδδδ++⎧∆∆⎛⎫+++∆-=--- ⎪⎪∆⎪⎝⎭⎨∆∆⎛⎫⎪+++∆-=--- ⎪⎪∆⎝⎭⎩∑∑③④简化方程⑤⑥的,ccu v 与修正压力P 的关系()(),,,1,,,,,1cj k j k j k j k c j k j k j k j k u d P P v d P P δδδδ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 将+1,,,=n c j k j k j ku u u *+ 代入到连续方程()()1+11+1,1,,,10n n n n j k j k j k j k u u y v v ++---∆+-= 并由⑦⑧式得P δ 的方程,,,p pp j k j k nb n b a P aP b δδ=+∑13、简要写出涡量—流函数法求解二维不可压流动的求解步骤 解：涡流u ξ=∇⨯ 而流函数u v y xψψψ∂∂==∂∂； 在二维不可压流动中：2222x y ψψξ∂∂=+---∂∂① 对于动量方程()21Rev v v P v t ∂+∇+∇=∇∂ 取旋度 得：()()22221+0Re u v t x y x y ξξξξξ∂∂⎛⎫∂∂∂++-= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭离散涡量输运方程得11111111111,,1,1,,1,11,,1,,1,,122221022Re n nn n n n n n n n n n n n n n j k j kj k j kj k j k j k j k j k k k j k j k u u v v txyx y ξξξξξξξξξξξξ++++++++++++-+-+-++⎛⎫----+-+++-+= ⎪ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎭———② 可把①写成2222t x yψψψξ∂∂∂=-++∂∂∂ ———③ 离散③得111111n+1,,1,,1,,1,,-11,2222n n n n n n n j k j k j k j k j k j k j k j k n j k txyψψψψψψψψξ+++++++-++--+-+-++=∆∆∆ ----④由②式求出1,n j k ξ+ 再代入到④式求出+1,n j k ψ 从而可求出u,v 再由原动量方程求解1,n j k P + 得2+1=n Pξ∇。