2020年湖北省鄂州高中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(有答案解析)

2020年湖北省鄂州高中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,x}，N={1,2}，若M∩N={2}，则M∪N的子集个数为()A. 2B. 4C. 6D. 82.在复平面内，复数z=1−2i1+i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则f(f(116))=()A. −2B. 12C. −4 D. 144.设{a n}为等比数列，{b n}为等差数列，且S n为数列{b n}的前n项和．若a2=1，a10=16且a6=b6，则S11=()A. 20B. 30C. 44D. 885.设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的是()A. 若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥βB. 若α⊥β，n//α，则n⊥βC. 若m//α，m//β，则α//βD. 若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β6.如图是数学界研究的弓月形的一种，AC，CD，DB是以AB为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是AB，AC，CD，DB，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. √3−π6√3+3πB. √3+π6√3+3πC. √32√3+πD. √3−2π6√3+3π7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则y=f(x)的解析式可以为()A. y=2sin(75x+π6)B. y=2sin(710x+π6)C. y=2sin(710x+5π6)D. y=2sin(75x+5π6)8.已知向量b⃗ =(1,√3)，向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为−6，若(λa⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，则实数λ的值为()A. 13B. −13C. 23D. 39.已知双曲线M：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是()A. 2√33B. √3 C. 2 D. 2√33或210. 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为DD 1的中点，M 为直线BD 1上一点，N 为平面AEC内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为( )A. √63B. √66C. √34D. √3611. 已知直线l 1：mx −y −3m +1=0与直线l 2：x +my −3m −1=0相交于点P ，线段AB 是圆C ：(x +1)2+(y +1)2=4的一条动弦，且|AB|=2√3，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是( )A. 3√2B. 8√2C. 5√2D. 8√2+2 12. 已知不等式x −31nx +1≥m1nx +n(m,n ∈R ，且m ≠−3)对任意实数x >0恒成立，则n−3m+3的最大值为( ) A. −2ln2 B. −ln2 C. ln2−1 D. ln2−2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若tanα=12，则cos 2α+sin2α=______．14. 设样本数据x 1，x 2，x 3，…，x 2019的方差是5，若y i =2x i −13(i =1,2，3，…，2019)，则y 1，y 2，y 3…，y 2019的方差为______． 15. 某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面；歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，则这6个节目的排法有______种．16. 在边长为2√3的菱形ABCD 中，A =60°，沿对角线BD 折起，使二面角A −BD −C 的大小为120°，这时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为______・ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3cos x2,1)，n ⃗ =(sin x2,−cos 2x2)，设函数f(x)=12+m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ .又在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，f(A)=12．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，且cos(B −C)+cosA =4sin 2C .求c 边的大小．18. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC//EB ，DC =EB =1，AB =4．(1)证明：平面ADE ⊥平面ACD ；(2)当C点为半圆的中点时，求二面角D−AE−B的余弦值．19.2018年是中国改革开放的第40周年．为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，…，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)现从年龄在[20,30)，[30,40)，[40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在[30,40)内的人数，求X的分布列和数学期望；(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30,50)的概率为P(X=k)(k=0,1，2，…，20).当P(X=k)最大时，求k的值．20.已知椭圆G：x26+y22=1的右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A、B两点，直线与l不与坐标轴平行，若AB的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线x=3于点M．(1)求证：MF⊥l；(2)求|AB||MF|的最大值，21. 已知函数f(x)=(x 2+x −4)e −x ．(1)若不等式f(x)≤m 在区间[1,3]上有解，求实数m 的取值范围；(2)已知函数F(x)=f(x)−ax ，a ∈R ，若x 0是F(x)的极大值点，求F(x 0)的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：{x =2+tcosαy =√3+tsinα(t 为参数)与曲线C ：{x =2cosθy =sinθ(θ为参数)相交于不同两点A ，B ． (1)若α=π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|PA|⋅|PB|=|OP|2，其中P(2,√3)，求直线l 的斜率．23. 已知函数f(x)=|x +2|−m|x −1|．(1)若m =−2时，解不等式f(x)≥5； (2)若f(x)≤m|x +5|，求m 的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵M ∩N ={2}， ∴2∈M ，且M ={0,x}， ∴x =2，∴M ={0,2}，且N ={1,2}， ∴M ∪N ={0,1，2}，∴M ∪N 的子集个数为23=8． 故选：D ．根据M ∩N ={2}即可得出M ={0,2}，然后进行并集的运算即可求出M ∪N ，从而可得出M ∪N 的子集个数．本题考查了交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：C解析：解：∵复数z =1−2i 1+i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i 2=−1−3i ，它在复平面内对应点的坐标为(−1,−3)，故复数z =1−2i 1+i对应的点位于在第三象限，故选C ．利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i 的幂运算性质化简复数z 等于−1−3i ，它在复平面内对应点的坐标为(−1,−3)，从而得出结论．本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 3.答案：A解析：解：根据题意，当x >0时，f(x)=log 2x ，则f(116)=log 2116=−4， 又由f(x)为奇函数，则f(−4)=−f(4)=−log 24=−2， 则f(f(116))=f(−4)=−f(4)=−2； 故选：A ．根据题意，由函数的解析式求出f(116)=−4，结合函数的奇偶性分析可得f(−4)的值，据此计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 4.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 10=16，得q 8=a 10a 2=16，得q 2=2．∴a6=a2q4=4，即a6=b6=4，又S n为等差数列{b n}的前n项和，∴S11=(b1+b11)×112=11b6=44．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2=1，a10=16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．5.答案：D解析：解：由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知：在A中，若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；在B中，若α⊥β，n//α，则n与β相交、平行或n⊂β，故B错误；在C中，若m//α，m//β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则α//β，∴若n⊥α，则n⊥β，故D正确．故选：D．在A中，n与β相交、平行或n⊂β；在B中，n与β相交、平行或n⊂β；在C中，α与β相交或平行；在D中，由m⊥α，m⊥β，则α//β，从而右n⊥α，则n⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：A解析：解：根据题意，设AB=4r，则AC=CD=BD=2r，则整个图形的面积S=3×(12πr2)+[(2r+4r)×√3r2]=3π+6√32r2，阴影部分的面积S′=S−π×(2r)22=3π+6√32r2−2r2=6√3−π2r2，故在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率P=S′S =√3−π63+3π；故选：A．根据题意，设AB=4r，则AC=CD=BD=2r，由圆的内接正六边形性质分析可得整个图形的面积和阴影部分的面积，结合几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．7.答案：D解析：解：由函数图象可知f(5π6)=0，对于选项A，f(5π6)=2sin(75×5π6+π6)=2sin4π3=−√3，故错误；对于选项B，f(5π6)=2sin(710×5π6+π6)=2sin3π4=√2，故错误；对于选项C，f(5π6)=2sin(710×5π6+5π6)=2sin17π12≠0，故错误；对于选项D，f(5π6)=2sin(75×5π6+5π6)=2sin2π=0，故正确．故选：D．由题意利用函数图象可知f(5π6)=0，逐项验证即可得解．本题主要考查函数解析式的求解，可采取验证法，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．8.答案：A解析：解：设a⃗=(x,y)，∵向量b⃗ =(1,√3)，向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为−6，(λa⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，∴{√x2+y2√3y22=−6(λx+1)+(λy+√3)⋅√3=0，解得λ=13．故选：A．设a⃗=(x,y)，由向量b⃗ =(1,√3)，向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为−6，(λa⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，列方程组，能求出λ的值．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：C解析：解：∵双曲线M：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴ba=tan60°=√3，∴e=ca =√1+(ba)2=2．故选：C．由双曲线M：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与y轴的夹角为30°，可得ba=tan60°=√3，利用e=ca转化求出双曲线的离心率．本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键．10.答案：B解析：【分析】此题考查了线面平行，面面垂直，距离的最值等，属于中档题．首先判断出BD1//平面ACE，并且平面ACE⊥平面BB1D1D，从而确定所求最小值为EF和BD1的距离，即可求解．【解答】解：如图，F为底面中心，连接EF，则BD 1//EF ，BD 1不在平面ACE 内，EF 在平面ACE 内， ∴BD 1//平面ACE ，∴M ，N 之间的最短距离即为直线BD 1与平面ACE 之间的距离， ∵BB 1⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，∴AC ⊥BB 1，又AC ⊥BD ，BB 1、BD 为平面BB 1D 1D 内两条相交直线， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，AC 在平面ACE 内， ∴平面ACE ⊥平面BB 1D 1D ， ∴EF 与BD 1的距离即为所求，在△DBB 1中，求得D 到BD 1的距离为√63，∴EF 与BD 1的距离为√66，故选：B ． 11.答案：D解析：解：设圆C 的半径为r 1，直线l 1：mx −y −3m +1=0与l 2：x +my −3m −1=0垂直，又l 1过定点(3,1)，l 2过定点(1,3)，∴P 轨迹为圆(x −2)2+(y −2)2=2，设圆心为M ，半径为r 2，作垂直线段CD ⊥AB ，CD =1， ∴|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM|+r 1+r 2=3√2+1+√2=4√2+1， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ | ∴|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为8√2+2． 故选：D ．由已知得到l 1⊥l 2，l 1过定点(3,1)，l 2过定点(1,3)，从而得到点P 轨迹为圆(x −2)2+(y −2)2=2，设圆心为M ，半径为r 2，作垂直线段CD ⊥AB ，求得CD =1，设圆C 的半径为r 1，求得|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值，再由|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |得答案．本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查向量模的最值的求法，理解题意是关键，是中档题． 12.答案：B解析：解：令f(x)=x −3lnx +1−mlnx −n ， 则f′(x)=1−m+3x(x >0)，若m +3<0，则f′(x)>0，f(x)单调递增，由当x →0时，f(x)→−∞，不合题意； ∴m +3>0，由f′(x)=0，得x =m +3，当x ∈(0,m +3)时，f′(x)<0，当x ∈(m +3,+∞)时，f′(x)>0，∴当x =m +3时，f(x)有最小值，则f(m +3)=m +3−3ln(m +3)+1−mln(m +3)−n ≥0， 即n −3≤m +4−(m +3)ln(m +3)，n−3m+3≤m+1m+3−ln(m +3)， 令g(x)=x+1x+3−ln(x +3)， 则g′(x)=2(x+3)2−1x+3=−x−1(x+3)2．当x ∈(−3,−1)时，g′(x)>0，当x ∈(−1,+∞)时，g′(x)<0， ∴当x =−1时，g(x)有最大值为−ln2． 即n−3m+3的最大值为−ln2．故选：B ．令f(x)=x −3lnx +1−mlnx −n ，利用导数可得当x =m +3(m +3>0)时，f(x)有最小值，则f(m +3)=m +3−3ln(m +3)+1−mln(m +3)−n ≥0，即n −3≤m +4−(m +3)ln(m +3)，n−3m+3≤m+1m+3−ln(m +3)，令g(x)=x+1x+3−ln(x +3)，利用导数求其最大值得答案． 本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．13.答案：85解析：解：∵tanα=12．∴cos 2α+sin2α=cos 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+2tanαtan 2α+1=1+2×12(12)2+1=85．故答案为：85．由把要求值的式子展开二倍角正弦，进一步转化为含有tanα的式子求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 14.答案：20解析：解：设样本数据x 1，x 2，…，x 2019的平均数为x −，y 1，y 2，…，y 2019的方差S 2， 对于x 1，x 2，…，x 2019，可得x −=12019(x 1……+x 2+⋯……+x 2019) 且5=12019[(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯…+(x 2019−x −)2]；若y i =2x i −13(i =1,2，…2018)，则y 1，y 2，…，y 2019的平均数为12019[(2x 1−13)+(2x 2−13)+⋯…+(2x 2019−13)]=2x −−13，则y 1，y 2，…，y 2019的方差S 2=12019[(2x 1−13−2x −+13)2+(2x 2−13−2x −+13)2+⋯…+(2x 2019−13−2x −+13)2] =4×12019[(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯…+(x 2019−x −)2]=4×5=20．故答案为：20．根据题意，设样本数据x 1，x 2，…，x 2019的平均数为x −，y 1，y 2，…，y 2019的方差S 2，对于x 1，x 2，…，x 2019，可得x −=12019(x 1……+x 2+⋯……+x 2019)且5=12019[(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯…+(x 2019−x −)2]，对于数据y 1，y 2，…，y 2019，计算可得其平均数为2x −−13，结合方差计算公式可得S 2=12019[(2x 1−13−2x −+13)2+(2x 2−13−2x −+13)2+⋯…+(2x 2019−13−2x −+13)2]=4×12019[(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯…+(x 2019−x −)2]，即可得答案． 本题考查数据的方差的计算，关键是掌握数据的方差的计算公式．属于基础题． 15.答案：36解析：解：因为歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面，可捆绑； 因为歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，可插空．有A 33⋅A 32=36， 故答案为：36．根据题意进行捆绑，插空，然后计算．本题考查排列组合，选择合理的方法计数，属于中档题． 16.答案：28π解析：解：如图所示，∠AFC =120°，∠AFE =60°，AF =√32×2√3=3，∴AE =3√32，EF =32，设OO′=x ，则∵O′B =2，O′F =1，∴由勾股定理可得R 2=x 2+4=(32+1)2+(3√32−x)2，∴R 2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR 2=28π， 故答案为：28π．正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 17.答案：(本题满分为12分)解：(1)∵向量m ⃗⃗⃗ =(√3cos x 2,1)，n ⃗ =(sin x 2,−cos 2x2)， ∴函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +12=√3sin x2cos x2−cos 2x2+12=√32sinx −12cosx =sin(x −π6)，…(3分)∵f(A)=12，∴sin(A −π6)=12，…(4分) 又0<A <π， ∴A =π3.….(6分)(2)∵cos (B −C)+cos A =4sin 2C .∴cos (B −C)−cos (B +C)=4sin 2C ， ∴2sinB sinC =4sin 2C ， ∵sinC ≠0，∴sin B =2sin C ，由正弦定理可得b =2c ，…(9分)又由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即 9=4c 2+c 2−4c 2×12， ∴解得 c =√3.…(12分)解析：(1)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f(x)解析式，整理为一个角的正弦函数，由f(A)=12，结合A 的范围，即可得解A 的值；(2)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBsinC =4sin 2C ，结合sinC ≠0，可得sin B =2sin C ，利用正弦定理可得b =2c ，进而由余弦定理可求c 的大小．此题主要考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题． 18.答案：(1)证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ， ∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC =C ， ∴BC ⊥平面ACD ，∵DC//EB ，DC =EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE//BC ， ∴DE ⊥平面ACD ， 又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE ．(2)当C 点为半圆的中点时，AC =BC =2√2，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则D(0,0，1)，E(0,2√2,1)，A(2√2,0，0)，B(0,2√2,0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,2√2,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2,0，−1)，设平面DAE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面ABE 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√2x 1−z 1=02√2y 1=0，{−2√2x 2+2√2y 2=0z 2=0，令x 1=1得m⃗⃗⃗ =(1,0，2√2)，令x 2=1得n ⃗ =(1,1，0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3×√2=√26． ∵二面角D −AE −B 是钝二面角， ∴二面角D −AE −B 的余弦值为−√26．解析：(1)由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE//BC ，故而DE//平面ACD ，于是平面ADE ⊥平面ACD ；(2)建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小． 本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题． 19.答案：解：(1)按分层抽样的方法抽取的8人中， 年龄在[20,30)内的人数为0.0050.005+0.010+0.025×8=1人， 年龄在[30,40)内的人数为0.0100.005+0.010+0.025×8=2人， 年龄在[40,50)内的人数为0.0250.005+0.010+0.025×8=5人． 所以X 的可能取值为0，1，2， 所以P(X =0)=C 63C 20C 83=514，P(X =1)=C 62C 21C 83=1528，P(X =2)=C 61C 22C 83=328，所以X 的分布列为EX =0×514+1×1528+2×328=34．(2)设在抽取的20名市民中，年龄在[30,50)内的人数为X ，X 服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在[30,50)内的频率为(0.010+0.025)×10=0.35， 所以X ～B(20,0.35)，所以P(X =k)=C 20k(0.35)k (1−0.35)20−k (k =0,1，2，…，20)．设t =P(X=k)P(X=k−1)=C 20k (0.35)k (1−0.35)20−kC 20k−1(0.35)k−1(1−0.35)21−k=7(21−k)13k(k =1,2,…,20)，若t >1，则k <7.35，P(X =k −1)<P(X =k)； 若t <1，则k >7.35，P(X =k −1)>P(X =k)．所以当k =7时，P(X =k)最大，即当P(X =k)最大时，k =7．解析：本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)按分层抽样的方法抽取的8人中，求出年龄段的人数，得到X 的可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望．(2)设在抽取的20名市民中，年龄在[30,50)内的人数为X ，X 服从二项分布．得到X ～B(20,0.35)，通过P(X =k)=C 20k(0.35)k (1−0.35)20−k (k =0,1，2，…，20).设t =P(X=k)P(X=k−1)，然后求解即可．．20.答案：解：(1)由椭圆的方程开发右焦点F 的坐标(2,0)，有题意设直线AB 的方程为x =my +2，设A(x 1,y 2)，B(x 2,y 2)， {x =my +2x 2+3y 2−6=0整理可得(3+m 2)y 2+4my −2=0，y 1+y 2=−4m3+m 2，y 1y 2=−23+m 2， 所以AB 的中点N 的纵坐标y N =−2m3+m 2，代入直线AB 的方程可得N 的横坐标x N =−2m 23+m 2+2=63+m 2，即N(63+m 2,−2m3+m 2)， 所以k ON =−2m3+m 263+m 2=−m 3，所以直线ON 的方程为：y =−m3x ，令x =3，所以y =−m ， 即M(3,−m)，所以k MF =−m 3−2=−m ，而k l =1m ，所以k MF ⋅k l =−1， 可证得MF ⊥l ；(2)由(1)可得|MF|=√(3−2)2+m 2=√1+m 2， |AB|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√16m 2(3+m 2)2+83+m 2=√1+m 2⋅2√6√1+m 23+m 2=2√6(1+m 2)3+m 2， 所以|AB||MF|=2√6(1+m 2)3+m 2⋅√1+m 2=2√6√1+m 23+m 2=2√6√1+m 21+m 2+2=√6√1+m 2+2√2≤√62√2=√3，当且仅当√1+m 2=√1+m 2，即m =±1时取等号．所以|AB||MF|的最大值为√3．解析：(1)由题意的方程可得右焦点F 的坐标，由题意设直线l 的方程与椭圆联立可得两根之和，求出AB 的中点N 的坐标，进而可得直线ON 的斜率，求出直线ON 的方程，令x =3可得M 的纵坐标，即求出M 的坐标，求出直线MF 的斜率可证得与直线l 的斜率互为负倒数，所以可证得MF 垂直直线l ；(2)由(1)MF ，AB 的值，求出两者之比，由均值不等式可得|AB||MF|的最大值．本题考查线段的中点的求法，即两条直线的交点的求法和直线垂直的求法，即直线与椭圆的综合，属于中档题．21.答案：解：(1)不等式f(x)≤m 在区间[1,3]上有解，只需要f(x)min ≤m 即可． 由题意f′(x)=(−x 2+x +5)e −x ． 令g(x)=−x 2+x +5=−(x −12)2+214，x ∈[1,3]．易知g(x)在[1,3]上递减，且g(1)=5>0，g(3)=−1<0． 故存在x 1∈(1,3)，使得f(x)在[1,x 1)递增，在(x 1,3]递减．所以当x ∈[1,3]时，f(x)min =min{f(1),f(3)}=−2e ． 故m 的范围为[−2e ,+∞)．(2)由题意知F(x)=f(x)−ax =(x 2+x −4)e −x −ax ，∴F′(x)=(−x 2+x +5)e −x −a ，记G(x)=(−x 2+x +5)e −x ．∴G′(x)=(x +1)(x −4)e −x ，所以G(x)在区间(−1,4)上单调递减，在区间(4,+∞)上递增．若x 0是F(x)的极大值点，则−1<x 0<4，且a =(−x 02+x 0+5)e −x 0， 所以．令ℎ(x)=(x 3−4x −4)e −x ， ∴ℎ′(x)=−xe −x (x +1)(x −4)．所以ℎ(x)在区间(−1,0)上递减，在区间(0,4)上递增， 易知ℎ(0)=−4，ℎ(−1)=−e ，ℎ(4)=44e 4． ∴当x ∈(−1,4)时，−4≤ℎ(x)<44e 4． ∴−4≤F(x 0)<44e 4． 即F(x 0)的范围是[−4,44e )．解析：(1)不等式f(x)≤m 在区间[1,3]上有解，只需要f(x)min ≤m 即可，所以只需要研究函数f(x)的单调性，求其最小值即可；(2)先找到极大值点在哪里，确定极大值点的范围，并将极大值点满足的条件找到，再将极大值表示出来，看成关于极大值点x 0的函数，再利用导数研究其单调性、最值等求范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：(1)当α=π3时，由{x =2+tcosαy =√3+tsinα，得{x =2+12t y =√3+√32t， ∴直线方程为y =√3x −√3，由{x =2cosθy =sinθ，得曲线C 的普通方程为x 24+y 2=1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)再由{y =√3x −√3x 24+y 2=1，得：13x 2−24x +8=0， ∴x 1+x 22=1213，y 1+y 22=√3(x 1+x 2)2−√3=−√313，∴M 的坐标为(1213,−√313)；(2)把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得：(1+3sin 2α)t 2+(8√3sinα+4cosα)t +12=0，∴t 1t 2=12(1+3sin 2α)，由|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=|OP|2=7，得：121+3sin 2α=7，∴sin 2α=521，cos 2α=1621， 得tan 2α=516，∴tanα=±√54．又△=32cosα(2√3sinα−cosα)>0，故取tanα=√54．∴直线L 的斜率为√54．解析：(1)把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；(2)把直线方程和圆的方程联立，化为关于t 的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t 的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，解答此题(2)的关键是灵活运用直线参数方程中参数的几何意义，是中档题． 23.答案：解：(1)m =−2时，f(x)=|x +2|+2|x −1|={−3xx <−24−x−2≤x ≤13xx >1； ∴f(x)在(−∞,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(−1)=f(53)=5； ∴f(x)≥5的解集为{x|x ≤−1,或x ≥53}； (2)由f(x)≤m|x +5|得，m ≥|x+2||x−1|+|x+5|； 由|x −1|+|x +5|≥2|x +2|得|x+2||x−1|+|x+5|≤12； ∴m ≥12； ∴m 的最小值为12．解析：(1)m =−2时，可得出f(x)={−3xx <−24−x−2≤x ≤13xx >1，从而可得出f(x)在(−∞,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，并且f(−1)=f(53)=5，这样即可得出f(x)≥5的解集；(2)可由f(x)≤m|x +5|得出，m ≥|x+2||x−1|+|x+5|，而|x −1|+|x +5|≥2|x +2|，从而得出|x+2||x−1|+|x+5|≤12，这样即可得出m ≥12，从而得出m 的最小值．考查含绝对值不等式的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性，函数单调性的定义，以及不等式的性质．。