椭圆的标准方程及其几何性质

由椭圆的定义知，
2a ( 3)2 ( 5 2)2 ＋ ( 3)2 ( 5 2)2
22
22
3 10 1 10 2 10
2
2
a 10 又 c 2
b2 a 2 c 2 10 4 6
所以所求标准方程为 y 2 x 2 1 10 6
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另法：∵ b2 a 2 c 2 a 2 4
因为点 Q 为椭圆 x 2 y 2 1 上的点，
Q
4
-2
所以有 (2x 1)2 (2 y)2 1 ，即 (x 1 )2 4 y 2 1
4
2
y
M O A 2x
所以点 M 的轨迹方程是 (x 1 )2 4 y 2 1 2
题 5。长度为 2 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动，点 M 分 AB 的比为
1时,点
P
在椭圆内;
当
x2 a2
y2 b2
1时,点 P 在椭
圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交 0 ;直线与椭圆相切 0 ;直线与椭圆相离 0
例题分析：
题 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点 P 到两焦点的距离
1. 椭圆定义：
椭圆的标准方程及其几何性质
（1）第一定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数 2a(2a | F2F2 |) 的动点 P 的
轨迹叫椭圆,其中两个定点 F1、F2 叫椭圆的焦点.
当 PF1 PF 2 2a F1F 2 时, P 的轨迹为椭圆 ;
;
当 PF1 PF 2 2a F1F 2 时, P 的轨迹不存在;
3
39=26.
A
E
F M
根据椭圆定义可知，点 M 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭
B
OC
x
圆，故所求椭圆方程为 x 2 y 2 1 ( y ≠0) 169 25
题 4。已知 x 轴上的一定点 A（1,0），Q 为椭圆 x 2 y 2 1 上的动点，求 AQ 中点 M 的轨迹方程 4
解：设动点 M 的坐标为 (x, y) ，则 Q 的坐标为 (2x 1,2 y)
当 PF1 PF 2 2a F1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常 数 e ( 0 e 1 )的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
参数关系 性
a2 b2 c2
焦点
(c,0), (c,0)
质
焦距
2c
范围
| x | a,| y | b
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
(0, c), (0,c)
| y | a,| x | b
顶点
(a,0), (a,0), (0,b), (0, b)
(0,a),(0, a),(b,0),(b,0)
对称性 离心率
准线
关于 x 轴、y 轴和原点对称
e c (0,1) a
x a2 c
y a2 c
3.点
P
(
x0
,
y0
)
与椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的位置关系:
当 x2 a2
y2 b2
1时,点
P
在椭圆外;
当
x a
2 2
y2 b2
∴可设所求方程 y 2 x 2 1，后将点（ 3 , 5 ）的坐标代入可求出 a ，从而求
a2 a2 4
22
出椭圆方程
(3)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为： x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2 ∵ 2a (5 3)2 0 (5 3)2 0 10 ，2c=6. ∴ a 5, c 3
程
解：以 BC 所在直线为 x 轴，BC 中垂线为 y 轴建立直角
y
A
坐 标 系 ， 设 顶 点 A(x, y) ， 根 据 已 知 条 件 得
|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得 a 5, c 3,b 4
B
OC
x
所以顶点 A 的轨迹方程为
x 2 y 2 1 （ y ≠0）（特别强调检验) 25 16
因为 A 为△ABC 的顶点，故点 A 不在 x 轴上，所以方程中要注明 y ≠0 的条件
题 3。在△ABC 中，BC=24，AC、AB 的两条中线之和为 39,求△ABC 的重心轨迹方程.
分析：以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中垂线为 y 轴建立如图
y
2 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， M 为 重 心 ， 则 |MB|+|MC|= ×
∴ b2 a 2 c 2 52 32 16
x2
∴所求椭圆的方程为：
y2
1.
25 16
(4)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
y 2 x 2 1(a b 0) . a2 b2
∴ b2 a 2 c 2 144.
y2
∴所求椭圆方程为：
x2
1
169 144
（5）∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为：
于 2.
解：（1）因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
x2
a2
y2 b2
1
(a b 0)
2a 10,2c 8 a 5, c 4 b2 a2 c2 52 42 9
x2
所以所求椭圆标准方程为
y2
1
25 9
⑵ 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
y 2 x 2 1 (a b 0) a2 b2
之和等于 10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（ 3 , 5 ） 22
(3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26.
(5)焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴ a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于 2， ∴－c－（－１０）＝２，故 c=8.
∴ b2 a 2 c 2 36 .
∴所求椭圆的标准方程是 y 2 x 2 1 . 100 36
题 2。已知 B，C 是两个定点，｜BC｜＝6，且 ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方