大一上学期高数知识点电子教案
高等数学电子教案(大专版)
《高等数学》教案第一讲 函数与极限1.函数的定义 设有两个变量x ，y 。
对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。
记作y=f(x)，x ∈D 。
其中x 叫自变量，y 叫因变量。
函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。
例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。
因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ⇔ 4323≤≤--≤≥x x x 或⇔4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μx （μ为常数） 指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数 设),(u f y =其)(x u ϕ=中，且)(x ϕ的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义 函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学上教学设计
高等数学上教学设计一、教学目标高等数学作为一门重要的数学科目，涵盖了微积分、线性代数等多个分支，是各个工科及基础学科必修的课程。
本教学设计的目标是，使学生在学习高等数学上具备以下能力和知识：1.理解微积分基本概念及应用；2.掌握微积分以及线性代数的相关定理和公式；3.将已知问题转换为数学模型，并运用所学知识解决问题；4.能够利用计算机软件辅助计算和解决数学问题。
二、教学内容1. 微积分微积分是高等数学的重要组成部分，包括以下内容：•一元函数微积分：极限、导数、微分、积分、应用。
•重要定理：中值定理、泰勒公式、罗尔定理等。
•多元函数微积分：偏导数、多元函数微分法、多元函数的Taylor公式。
2. 线性代数线性代数是应用数学中的重要学科，包括以下内容：•向量与矩阵的基本概念：向量、列向量、矩阵、行列式。
•矩阵运算及其几何意义：矩阵的加法、矩阵的乘法、矩阵的逆矩阵。
•线性方程组的解法：高斯消元法、LU分解法、矩阵的特征值和特征向量。
三、教学方法1.理论讲授结合实例分析：在教学过程中，教师要注重理论与实例结合，充分展现数学的实用性及美感。
2.提倡自主学习：鼓励学生自主学习，积极思考、动手练习，掌握数学的基本方法和技能。
3.课堂互动：教师应引导学生积极参与课堂互动，帮助学生发现问题、解决问题，并激励学生在学习上取得更好的成绩。
4.引导学生使用计算机软件：引导学生熟练掌握数学软件及其使用方法，更好地计算和解决数学问题。
四、教学评估1.课堂讨论评估：开展课堂讨论，教师或同学评估，评估题目紧密贴近教学内容。
2.作业和实验报告：设计符合教学要求的作业，作为衡量学生掌握程度的一种方法。
3.数学建模：组织小组或个人开展数学建模，鼓励学生独立思考、解决实际问题。
五、教学资源1.课件：使用PPT或者PDF等课件，将理论内容、公式、实例呈现给学生。
2.数学软件：使用Mathematica、Maple等数学软件辅助教学，提高教学质量。
高数大一上知识点总结ppt
高数大一上知识点总结ppt一、导论高等数学是大一上学期的一门重要的基础课程。
本次总结将通过PPT的形式逐个介绍高数大一上学期的知识点。
二、数列与极限1. 数列的概念与性质- 数列的定义- 数列的分类- 数列的性质2. 极限的概念与运算法则- 极限的定义- 极限的运算法则- 极限存在的判定方法三、函数与连续1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的性质- 函数的分类2. 连续性与间断点- 连续性的概念- 连续性的判定方法- 间断点的分类四、导数与微分1. 导数的概念与基本性质- 导数的定义- 导数的基本性质- 导数的计算方法2. 微分与微分中值定理- 微分的定义- 微分中值定理的原理- 微分中值定理的应用五、不定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义- 不定积分的基本性质- 基本积分表2. 定积分与定积分的性质- 定积分的概念- 定积分的性质- 定积分的计算方法六、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质- 多元函数的定义- 多元函数的性质- 多元函数的分类2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法- 全微分的概念与计算方法七、二元函数与二重积分1. 二元函数的概念与性质- 二元函数的定义- 二元函数的性质- 二元函数的分类2. 二重积分的概念与计算方法- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法- 二重积分的应用八、向量与空间解析几何1. 向量的概念与运算- 向量的定义- 向量的运算法则- 向量间的关系2. 空间解析几何的基本概念与性质- 点、直线的表示与方程- 平面的表示与方程- 空间几何中的距离与角度九、作业与课堂练习通过本次PPT的学习，我们对高等数学大一上学期的知识点进行了系统的总结。
接下来，我们将通过作业和课堂练习进一步巩固和深化所学内容。
结语通过本次总结PPT，我们回顾了高数大一上学期的重要知识点。
希望这个PPT对你巩固和扩展数学知识有所帮助。
祝你在高等数学学习中取得出色的成绩！。
大学高数第一章教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数、极限与连续的基本概念；（2）熟悉一元函数微分学的相关概念和计算方法；（3）了解一元函数积分学的基本概念和计算方法。
2. 能力目标：（1）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；（2）提高学生的逻辑思维和抽象思维能力；（3）培养学生严谨的数学素养。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣和热情；（2）培养学生的团队合作精神；（3）树立学生克服困难的信心。
二、教学内容1. 函数、极限与连续（1）函数的定义、性质和图像；（2）极限的概念和运算法则；（3）连续函数的定义和性质。
2. 一元函数微分学（1）导数的定义、性质和运算法则；（2）求导法则的应用；（3）微分的应用。
3. 一元函数积分学（1）定积分的定义、性质和计算方法；（2）不定积分的定义、性质和计算方法；（3）积分的应用。
三、教学过程1. 导入新课（1）通过实际例子，引导学生回顾函数、极限与连续的相关知识；（2）介绍本章学习的重要性和必要性。
2. 讲授新课（1）函数、极限与连续- 讲解函数的定义、性质和图像，结合实例进行说明；- 介绍极限的概念和运算法则，通过实例让学生理解极限的求法；- 讲解连续函数的定义和性质，让学生了解连续函数的特点。
（2）一元函数微分学- 讲解导数的定义、性质和运算法则，通过实例让学生掌握求导方法；- 介绍求导法则的应用，让学生能够灵活运用求导法则；- 讲解微分的应用，让学生了解微分在实际问题中的应用。
（3）一元函数积分学- 讲解定积分的定义、性质和计算方法，通过实例让学生掌握定积分的计算；- 介绍不定积分的定义、性质和计算方法，让学生能够求出不定积分；- 讲解积分的应用，让学生了解积分在实际问题中的应用。
3. 课堂练习（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）指导学生解题，及时解答学生提出的问题。
4. 课堂小结（1）总结本章所学内容，让学生回顾重点知识；（2）强调学习方法，提高学生的自学能力。
(完整word版)高等数学教案
高等数学教案教 学 过 程§3 函数的极限一、函数的极限1．自变量趋于有限值时函数的极限定义:如果当x 无限接近于xo , 函数f(x)的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x0 时, f(x)以A 为极限. 记作 0lim x x →f(x)A 或f(x)→A(当x →0x ).定义的简单表述:A x f x x =→)(lim 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ时, |f(x)-A|<ε .2. 单侧极限:若当x →x0- 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0或f(0x -)=A ;若当x →x0+ 时, f(x)无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f(x)当x →x0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0或f(0x +)=A .3．自变量趋于无穷大时函数的极限设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε, 总存在着正数X , 使得当x 满足不等式|x|>X 时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,则常数A 叫做函数f(x)当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f(x)→A(x →∞). A x f x =∞→)(lim ⇔∀ε >0, ∃X >0, 当|x|>X 时, 有|f(x)-A|<ε .类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim .结论:A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .y y =x -1 -1 1 y =x +1 xO教 学 过 程§4 无穷大与无穷小.无穷大与无穷小1. 无穷小定义：如果函数f(x)当x →x0(或x →∞)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷小.特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n →∞时的无穷小.例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x →∞时的无穷小.因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x →1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n →∞时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x →x0(或x →∞)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x →x0(或x →∞)中, 函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)=A +α, 其中α是无穷小.证明: 设Ax f x x =→)(lim 0, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ时, 有|f(x)-A|< .令α=f(x)-A , 则α是x →x0时的无穷小, 且f(x)=A +α .这就证明了f(x)等于它的极限A 与一个无穷小α之和.反之, 设f(x)=A +α , 其中A 是常数, α是x →x0时的无穷小, 于是|f(x)-A|=|α|.因α是x →x0时的无穷小, ∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|< 或|f(x)-A|这就证明了A 是f(x) 当 x →x0时的极限.简要证明: 令α=f(x)-A , 则|f(x)-A|=|α|.如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有f(x)-A|,就有|α|< ; 反之如果∀ε >0 , ∃δ >0, 使当0<|x -x0|<δ, 有|α|<,就有f(x)-A| .这就证明了如果A 是f(x) 当 x →x0时的极限, 则α是x →x0时的无穷小; 如果α是x →x0时的无穷小, 则A 是f(x) 当 x →x0时的极限.类似地可证明x →∞时的情形. 例如, 因为333212121x x x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 定理2 有限个无穷小的和也是无穷小定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 2. 无穷大定义：如果当x →x0(或x →∞)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x →x0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x(或∞=∞→)(lim x f x ).应注意的问题: 当x →x0(或x →∞)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)：在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明: 如果0)(lim 0=→x f x x , 且f(x)≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f(x)≠0, 从而M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x0时的无穷大.如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时,有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小.简要证明:如果f(x)→0(x →x0)且f(x)≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|<ε , 即, 所以f(x)→∞(x →x0). 如果f(x)→∞(x →x0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x0|<δ时, 有|f(x)|>M , 即, 所以f(x)→0(x →x0).教 学 过 程§5 极限运算法则一、极限运算法则定理1 如果lim f (x)=A , lim g (x)=B , 那么(1) lim [f (x)±g(x)] = lim f (x) ±lim g (x) =A ± B ; (2) lim f (x)⋅g(x) = lim f (x) ⋅ lim g (x) =A ⋅B ;(3)B Ax g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0).证明(1): 因为lim f (x)=A , lim g (x)=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x)=A +α,g (x)=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x) ±g (x)=(A +α) ± (B +β) =(A ± B) +(α± β),即f (x) ± g (x)可表示为常数(A ± B)与无穷小(α± β)之和. 因此lim [f (x) ± g (x)] =lim f (x) ± lim g (x) = A ± B .定理2 如果(x)≥(x), 而lim (x)=a , lim ψ(x)=b , 那么a ≥b . 推论1 如果lim f (x)存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x)]=c lim f (x).推论2 如果lim f (x)存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x)]n =[lim f (x)]n .例3. 求93lim 2 3--→x x x .教 学 过 程§6 极限存在准则·两个重要极限极限存在准则·两个重要极限 1. 夹逼准则准则I 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件:(1)yn ≤xn ≤zn(n 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)ay n n =∞→lim ,az n n =∞→lim ,那么数列{xn }的极限存在, 且ax n n =∞→lim .证明:因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因yn ≤xn ≤zn , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了ax n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时，有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件:(1) g(x)≤f(x)≤h(x);(2) lim g(x)=A , lim h(x)=A ; 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A .第一重要极限：1sin lim 0=→xx x证明 首先注意到, 函数x xsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB x (0<x <2 π). 显然 sin x CB , x ⋂AB , tan x AD .因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x ,即 sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或 1sin cos <<x x x .注意此不等式当2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOBx (2 0π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x ,从而 1sin cos <<x x x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要(x)是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u(x), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim 0==→u u u .1sin lim 0=→xx x1)()(sin lim=x x αα((x)→0)2. 单调有界收敛准则准则II 单调有界数列必有极限.如果数列{x n}满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n 1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调增加的; 如果数列{x n}满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n 1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列{x n}满足条件x n ≤x n 1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.O CADB 1 x准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生.根据准则II , 可以证明极限nn n )11(lim +∞→存在.设nn n x )11(+= 现证明数列{xn}是单调有界的.按牛顿二项公式, 有nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+= )11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n )11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n .比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此 x n < x n +1 ,这就是说数列{xn}是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x第二重要极限：根据准则II , 数列{xn}必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即en n n =+∞→)11(lim .我们还可以证明ex x x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e 2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y e x 以及对数函数y ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要(x)是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e x x x =+∞→)11(lim , ex x =+)(1)](1lim[αα((x)→0).例3. 求xx x )11(lim -∞→.解: 令t x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x)11(lim -∞→tt t -∞→+=)11(lim e t t t 1)11(1lim=+=∞→.教 学 过 程§8 函数的连续性函数的连续性 1. 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2u1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u2u1.设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0x 时, 函数y 相应地从f(x0)变到f(x0x), 因此函数y 的对应增量为y f(x0x) f(x0).2. 函数连续的定义设函数y f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量x x x0趋于零时, 对应的函数的增量y f(x0x) f(x0 )也趋于零, 即 0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y f(x)在点x0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设xx0+x , 则当x →0时, x →x0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x0|< 的一切x , 对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|< ,那么就称函数y f(x)在点x0处连续.3. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y f(x)在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y f(x)在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数y f(x)在点x0处连续⇔函数y f(x)在点x0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.4. 连续函数举例:1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(∞, ∞)内是连续的. 这是因为, f(x)在(∞, ∞)内任意一点x0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数x x f =)(在区间[0, ∞)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(∞, ∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(∞, ∞)内任意一点. 则有y =sin(x +x)-sin x)2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y sin x 在区间(∞, ∞)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(∞, ∞)内是连续的.函数的间断点 1. 间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但limx x →f(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且0lim x x →f(x)存在, 但0limx x →f(x)≠f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1. 正切函数ytan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2 π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2 π=x 为函数tan x 的无穷间断点. 例2.函数x y 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x 0是函数x 1sin 的间断点. 当x →0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x0称为函数x 1sin 的振荡间断点. 例3. 函数112--=x x y 在x1没有定义, 所以点x 1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x1时y 2, 则所给函数在x1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点.例4.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x 1处的定义:令f(1)1, 则函数f(x)在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 1000 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象, 我们称x 0为函数f(x)的跳跃间断点.2. 间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.初等函数的连续性1. 连续函数的和、积及商的连续性 定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续, 则函数f(x)±g(x), f(x)⋅g(x),)()(x g x f (当0)(0≠x g 时)在点x0也连续.f(x)±g(x)连续性的证明:因为f(x)和g(x)在点x0连续, 所以它们在点x0有定义, 从而f(x)±g(x)在点x0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有)()()(lim )(lim )]()([lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→.根据连续性的定义, f(x)±g(x)在点x0连续.例1. sin x 和cos x 都在区间(-∞, +∞)内连续,故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的.三角函数sin x , cos x , sec x , csc x , tan x , cot x 在其有定义的区间内都是连续的. 二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x =f -1(y)也在对应的区间Iy ={y|y =f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续. 证明（略）.例2. 由于y =sin x 在区间]2 ,2[ππ-上单调增加且连续, 所以它的反函数y =arcsin x在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.同样,y =arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y =arctan x 在区间(-∞, +∞)内单调增加且连续;y =arccot x 在区间(-∞, +∞)内单调减少且连续.总之, 反三角函数arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 在它们的定义域内都是连续的. 定理3 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成,gf D x U⊂)(0. 若)lim 0u x g x x =(→, 而函数y =f(u)在0u 连续, 则)()(lim )][lim 00u f u f x g f u u x x ==(→→.简要证明 要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|f[g(x)]-f(u0)|<ε .因为f(u)在0u 连续, 所以∀ε >0, ∃η>0, 当|u -u0|<η 时, 有|f(u)-f(u0)|<ε .又g(x)→u0(x →x0), 所以对上述η>0, ∃δ>0, 当0<|x -x0|<δ 时, 有|g(x)-u0|<η. 从而 |f[g(x)]-f(u0)|<ε . (2)定理的结论也可写成)](lim [)]([lim 0x g f x g f x x x x →→=. 求复合函数f[g(x)]的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序.)(lim )]([lim 0u f x u f u u x x →→=表明,在定理3的条件下, 如果作代换u =g(x),那么求)]([lim 0x g f x x →就转化为求)(lim 0u f u u →, 这里)(lim 00x g u x x →=.把定理5 中的x →x0换成x →∞, 可得类似的定理.例3. 求93lim23--→x x x .解93lim23--→x x x 93lim 23--=→x x x 61=.提示:932--=x x y 是由u y =与932--=x x u 复合而成的. 93lim 23--→x x x 61=, 函数u y =在点61=u 连续 =g(x0)定理4 设函数y =f[g(x)]由函数y =f(u)与函数u =g(x)复合而成, U(x0)⊂Df og . 若函数u =g(x)在点x0连续, 函数y =f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y =f[(x)]在点x0也连续. 证明: 因为(x)在点x0连续, 所以limx x →(x)=(x0)=u0.又y =f(u)在点u =u0连续, 所以 0limx x →f[(x)]=f(u0)=f[(x0)].这就证明了复合函数f[(x)]在点x0连续.例4. 讨论函数x y 1sin =的连续性. 解: 函数x y 1sin =是由y =sin u 及x u 1=复合而成的. sin u 当-∞<u<+∞时是连续的,x 1当-∞<x<0和0<x<+∞时是连续的,根据定理4, 函数x 1sin 在无限区间(-∞, 0)和(0, +∞)内是连续的.2、初等函数的连续性在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.我们指出, 指数函数ax (a>0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).由定理4, 对数函数log ax (a>0, a ≠1)作为指数函数ax 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续.幂函数y =x 的定义域随的值而异, 但无论为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x>0, 则y =x =xa a log μ, 因此, 幂函数x 可看作是由y =au , u =logax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +∞)内是连续的.如果对于取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点, 则limx x →f(x)=f(x0).例5求21lim x x -→解 初等函数f(x)=21x -在点00=x 是有定义的,所以 111lim 20==-→x x .例6求xx sin ln lim 2π→解 初等函数f(x)=ln sin x 在点2 0π=x 是有定义的, 所以 02 sin ln sin ln lim 2==→ππx x .例7. 求x x x 11lim 20-+→.解: x x x 11lim 20-+→)11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x02011lim 20==++=→x x x .例8. 求x x a x )1(log lim0+→.教 学 过 程§1 导数概念一、 导数概念 1. 引例直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: S =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--,这个比值可认为是动点在时间间隔t =t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样:令t =t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 00)()(lim 0t t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度.2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 00)()(limx x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.二、导数的定义1. 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令△x =x -x 0, 则△y =f (x 0+△x )-f (x 0)=f (x )-f (x 0), x →x 0相当于△x →0, 于是0)()(limx x x f x f x x --→成为xyx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量△x (点x 0+△x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量△y =f (x 0+△x )-f (x 0); 如果△y 与△x 之比当△x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即xx f x x f xyx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(0000,也可记为0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→, 000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∞=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim000, 也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. 2. 导函数的定义式:xx f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(limhx f h x f h )()(lim-+→. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在,则称此极限值为函数在x 0的左导数.如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在,则称此极限值为函数在x 0的右导数.导数与左右导数的关系:A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00.三、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→hC C h . 即(C ) '=0.例2 求xx f 1)(=的导数解 hxh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3求x x f =)(的导数解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim 00=++=++=→→ 例4．求函数f (x )x n (n 为正整数)在x a 处的导数.解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n1ax n2⋅ ⋅ ⋅a n 1)=na n 1.把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n 1, 即 (x n )'=nx n 1. (C )'=0, 21)1(xx-=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .例5．求函数f (x )sin x 的导数.解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0h h x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: f '(x )h x f h x f h )()(lim0-+=→h a a x h x h -=+→0limh a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→ a a ea x a x ln log 1==.特别地有(e x )′=e x .例7．求函数f (x )log a x (a >0, a ≠1) 的导数.解: hx h x hx f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim )(0-+=-+='→→h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a ah log )(log lim )(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→ h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 ax x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='.ax x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.1．单侧导数:极限h x f h x f h )()(lim0-+→存在的充分必要条件是hx f h x f h )()(lim 0-+-→及h x f h x f h )()(lim 0-++→都存在且相等.f (x )在0x 处的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='-→-, f (x )在0x 处的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(00-+='+→+.2．导数与左右导数的关系:函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '(x 0) 和右导数f '(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '(a ) 和左导数f '(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. 例8．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f '(0)≠ f '(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.四、导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f '(x 0)=tan , 其中是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为)()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21xy -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x xk , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4xy 40. 所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x8y150.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-.根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.五、函数的可导性与连续性的关系设函数yf (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim lim lim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x yx xy y x x x x .这就是说, 函数y f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7． 函数3)(x x f =在区间(∞, ∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大hf h f h )0()0(lim0-+→+∞=-=→h h h 0lim 30.x(u +v -w )'=u '+v '-w '.(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.即 (uvw )'=u 'vw +uv 'w +uvw '.在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '.例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-5x 2)'+3x )'-7)'= 2(x 3)'- 5x 2)'+ 3x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2.2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2(πf '.解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x . 例5．y =sec x , 求y '.解: xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax aa a x y ya ln 1ln 1)(1)(log =='='.到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？复合函数的求导法则定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=.证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [(x )]也是常数, 此时导数为零,结论自然成立.当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, u ≠0, 此时有 xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f xy ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim )()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ).简要证明x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(lim lim 00x g u f xu u yx u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆. 例9 3x e y =, 求dxdy.解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin xx y +=, 求dx dy.解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212xx u +=复合而成的,因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11．lnsin x , 求dxdy .解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x x x dx dyx x xcot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy.解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=.复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ),v =ψ(x ), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy.解: ])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．x e y 1sin =, 求dxdy.解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x xxe x x 1cos 11sin2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1)(C )'=0,(2)(x )'= x -1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x ,(7)(sec x )'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) ax x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', (14) 211)(arccos xx --='.(15) 211)(arctan xx +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ',(2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(vv u v u vu '-'='. 反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dxdy1=.复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为 dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数.解因为)(21sh x x e e x --=, 所以x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,即 (sh x )'=ch x . 类似地, 有(ch x )'=sh x . 例17. 求双曲正切th x 的导数解因为x x x ch sh th =, 所以xx x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1=.例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数解 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 22211)11(11)arsh (x x x x x x +=++⋅++='. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得11)arch (2-='x x .由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (xx -='.类似地可得11)arch (2-='x x 211)arth (x x -='例19．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '.解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .教 学 过 程§4 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dxyd ,即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]'，)(22dxdydx d dx y d =.相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dxyd . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数 y '' y ''' y (4) ⋅ ⋅ ⋅ y (n )都称为高阶导数例1．y ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin t , 求s ''.解: s '=cos t , s ''=-sin t . 例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x xxx x y --=--=',22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2sin()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,)23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y ,)24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,一般地, 可得)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n .用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n .例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )1, y ''=-(1+x )2,y '''(-1)(-)(1-x )3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )4, 一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(n -1)(1-x )n nn x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例7．求幂函数y =x (是任意常数)的n 阶导数公式.解: : y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .教 学 过 程§5 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y e x yy +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y .例3.求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x .从而 yx y 169-='.当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率43|2-='==x y k .所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得。
高等数学电子教案word
高等数学电子教案word一、教学内容二、教学目标1. 理解微分方程的基本概念，掌握微分方程的定义及常见类型。
2. 学会解可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程和伯努利方程。
3. 能够运用微分方程解决实际问题，提高数学素养。
三、教学难点与重点重点：微分方程的定义、常见类型的解法。
难点：一阶线性微分方程和伯努利方程的求解方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《高等数学》学习指导书、笔记本、文具。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景，如人口增长模型，引出微分方程的概念。
2. 知识讲解：（1）微分方程的基本概念及分类。
（2）可分离变量的微分方程的解法。
（3）齐次方程的解法。
（4）一阶线性微分方程的解法。
（5）伯努利方程的解法。
3. 例题讲解：（1）解可分离变量的微分方程：dy/dx = x/y。
（2）解齐次方程：dy/dx = (y/x)。
（3）解一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
（4）解伯努利方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n。
4. 随堂练习：（1）求解微分方程：dy/dx = sin(x)cos(y)。
（2）求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2。
六、板书设计1. 微分方程的基本概念及分类。
2. 各类微分方程的解法。
3. 例题及解答。
4. 随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求解微分方程：dy/dx = 1/y。
（2）求解微分方程：dy/dx 3y = 2x。
（3）求解微分方程：dy/dx + 4y = 3x^2y^2。
2. 答案：（1）y = ln|x| + C。
（2）y = (1/3)x^3 x + C。
（3）y = 1/(x^3 + C)。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生了解微分方程的实际应用，提高学习兴趣。
讲解过程中，注意引导学生掌握各类微分方程的解法，培养其解决问题的能力。
高等数学电子教案(最新版
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理解向量的基本概念和运算规则，掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法；理解空间曲线和曲面的几 何性质，掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
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高等数学的重要性与应用
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高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用，是许多学科的基础工具 。
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高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具，如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学，人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题，为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质，如线性性质、积 分常数性质等。
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级数的概念与性质
级数是无穷序列的和，分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质，如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词：重积分与线积分是高等数学中的重要概念，它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述：重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法，而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词：重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的力学和热学等问题；工程学中的机 械设计和流体动力学等问题；经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述：在物理学中，重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布
高等数学电子教案
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
大一第一学期高数知识点
大一第一学期高数知识点在大一的第一学期，高等数学（又称高数）是必修课程之一，对于理工科的学生来说，掌握高数知识点是十分重要的。
本文将介绍大一第一学期高数的主要知识点，包括函数与极限、导数与微分、高阶导数与泰勒展开、不定积分和定积分五个部分。
一、函数与极限1. 函数的概念：函数是两个集合之间的一种映射关系，常用符号表示为y=f(x)。
2. 极限的概念：极限是数列或函数逐渐趋近于某个值的过程，包括左极限、右极限和无穷极限。
3. 极限的性质：包括四则运算法则、绝对值法则、比较法则等。
4. 常见函数的极限：如幂函数、指数函数、对数函数等。
二、导数与微分1. 导数的概念：导数描述了函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
2. 导数的计算方法：使用极限定义、基本导数法则、求导公式等方法计算导数。
3. 常见函数的导数：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 微分的概念：微分是导数的一种近似表示，表示函数在某一点附近的增量。
5. 微分的计算方法：使用微分公式和微分运算法则等方法计算微分。
三、高阶导数与泰勒展开1. 高阶导数的概念：高阶导数表示导数的导数，如二阶导数、三阶导数等。
2. 高阶导数的计算方法：通过对原函数多次求导来计算高阶导数。
3. 泰勒展开的概念：泰勒展开是一种使用多项式逼近函数的方法，可将函数在某点附近展开成幂级数。
4. 泰勒展开的计算方法：使用公式对函数进行泰勒展开。
四、不定积分1. 不定积分的概念：不定积分是求解函数的原函数的过程，表示为∫f(x)dx。
2. 基本积分公式：包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等基本公式。
3. 换元积分法：使用换元法将原函数转化为容易求解的形式。
4. 分部积分法：使用分部积分公式对复杂函数进行求积分。
五、定积分1. 定积分的概念：定积分是计算曲线下面的面积的方法，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 定积分的性质：包括线性性质、区间可加性、积分中值定理等性质。
高等数学上册教案
高等数学上册教案一、第一章：函数与极限1.1 函数定义：函数是一种关系，使一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。
性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限极限的定义：当自变量x趋近于某一值a时，函数f(x)趋近于某一值L，即lim(x →a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理、单调有界定理等。
1.3 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋近于0时，函数f(x)趋近于0。
无穷大的定义：当自变量x趋近于某一正无穷大值时，函数f(x)趋近于正无穷大或负无穷大。
1.4 极限运算法则极限的四则运算法则：lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)，lim(x →a)(f(x)g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)/g(x))=lim(x→a)f(x)lim(x→a)(1/g(x))。
极限的复合运算法则：lim(x→a)(f(g(x)))=lim(x→a)g(x)lim(x→a)f(g(x))。
1.5 极限存在的条件介值定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=L1，f(b)=L2，对于任何介于L1和L2之间的实数L，都存在c∈(a,b)，使得f(c)=L。
单调有界定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上单调且有界，lim(x→a)f(x)和lim(x →b)f(x)都存在且相等。
二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h。
导数的几何意义：函数在某一点的导数等于该点处的切线斜率。
2.2 导数的计算法则基本导数公式：常数c的导数为0，x的导数为1，常数倍函数的导数等于常数乘以原函数的导数，幂函数的导数等。
和差、积、商的导数法则：和差函数的导数等于各函数导数的和差，积函数的导数等于原函数的导数乘以另一函数，除函数的导数等于除函数的导数乘以被除函数减去除函数，再除以被除函数的平方。
高等数学上册教案
高等数学上册教案一、前言1. 教材版本：同济大学数学系编《高等数学》（第七版）2. 教学目标：通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 适用对象：本科一年级学生二、教学内容1. 第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限的计算2. 第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算2.2 微分的概念与计算2.3 微分在实际问题中的应用3. 第三章：积分及其应用3.1 不定积分的概念与计算3.2 定积分的概念与计算3.3 积分的应用4. 第四章：级数4.1 数项级数的概念与性质4.2 幂级数的概念与计算4.3 傅里叶级数5. 第五章：常微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 线性微分方程的解法5.3 非线性微分方程的解法三、教学方法1. 讲授法：通过讲解高等数学的基本概念、理论和方法，使学生掌握相关知识。
2. 案例分析法：通过分析实际问题，引导学生将数学知识应用到实际中。
3. 练习法：通过布置课后习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业和课堂表现。
2. 期中考试：检验学生对高等数学知识的掌握程度。
3. 期末考试：全面评估学生的学习成果。
五、教学计划1. 课时安排：共计32周，每周2课时。
2. 教学进度：按照教材的章节顺序进行教学，每个章节安排2-4周课时。
六、第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 多元函数的偏导数6.3 全微分6.4 多元函数的极值七、第七章：重积分7.1 二重积分的概念与计算7.2 三重积分的概念与计算7.3 重积分的应用八、第八章：向量代数与空间解析几何8.1 向量的概念与运算8.2 空间解析几何的基本概念8.3 线性方程组与矩阵九、第九章：常微分方程续9.1 线性微分方程组9.2 常系数线性微分方程的解法9.3 非线性微分方程简介十、第十章：数值计算方法简介10.1 数值计算的基本概念10.2 插值法与函数逼近10.3 数值积分与数值解微分方程十一、教学方法与评价（续）六、七、八、九、十章的教学方法与评价可参照第一至五章的做法，根据各章节的特点进行适当调整。
高数大一知识点课本电子版
高数大一知识点课本电子版高数是大学中的一门重要课程，它作为数学的一种分支，对于理工科学生来说是非常重要的。
在大学的第一学期，我们通常会学习到高数的基础知识点。
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第一章：函数与极限在高数的第一章中，我们将学习到函数与极限的概念。
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
而极限则是函数中的一个重要性质，它给出了函数在一个点上的趋势。
在这一章中，我们将学习如何计算函数的极限，并使用极限来研究函数的性质和行为。
第二章：导数与微分导数是高数中的一个核心概念，它描述了函数在某一点的变化率。
微分则是导数的一个应用，它可以帮助我们研究函数的性质和变化。
在第二章中，我们将学习如何计算函数的导数，并利用导数来分析函数的增减和凹凸性。
第三章：不定积分不定积分是高数中的一个重要工具，它可以帮助我们求解函数的原函数。
在第三章中，我们将学习如何计算函数的不定积分，并利用不定积分来求解一些简单的问题。
第四章：定积分与微积分基本定理定积分也是高数中的一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积效应。
微积分基本定理则是定积分的一个重要性质，它将定积分与不定积分联系起来。
在第四章中，我们将学习如何计算函数的定积分，并利用微积分基本定理来简化计算过程。
第五章：常微分方程常微分方程是高数中的一个重要应用，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
在第五章中，我们将学习如何求解一阶常微分方程，并利用常微分方程来描述和预测一些实际问题。
以上是关于高数大一知识点课本电子版的一些简单介绍。
在学习高数的过程中，我们需要认真理解每一个知识点，并进行大量的习题练习，以便更好地掌握和应用这些知识。
课本电子版可以为我们提供方便的学习资源，帮助我们更好地学习和复习高数。
希望同学们能够充分利用这些资源，提高自己的数学水平。
(word完整版)高等数学(上册)第一章教案
第一章：函数、极限与连续教学目的与要求1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握根本初等函数的性质及其图形。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四那么运算法那么。
7.了解极限存在的两个准那么，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比拟方法，会用等价无穷小求极限。
9.理解函数连续性的概念〔含左连续与右连续〕，会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕，并会应用这些性质。
所需学时： 18 学时〔包括： 6 学时讲授与 2 学时习题〕第一节：集合与函数一般地我把研究象称元素，把一些元素成的体叫集合〔称集〕。
集合具有确定性〔定集合的元素必是确定的〕和互异性〔定集合中的元素是互不相同的〕。
比方“身材高的人〞不能构成集合，因它的元素不是确定的。
我通常用大字拉丁字母 A 、B 、 C、⋯⋯表示集合，用小写拉丁字母a、b、 c⋯⋯表示集合中的元素。
如果 a 是集合A 中的元素，就 a 属于 A ，作：a∈A ，否就 a 不属于 A ，作： a A 。
⑴、全体非整数成的集合叫做非整数集〔或自然数集〕。
作N⑵、所有正整数成的集合叫做正整数集。
作N +或 N+。
⑶、全体整数成的集合叫做整数集。
作Z 。
⑷、全体有理数成的集合叫做有理数集。
作Q。
⑸、全体数成的集合叫做数集。
作R。
集合的表示方法⑴、列法：把集合的元素一一列出来，并用“｛｝〞括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合的根本关系⑴、子集：一般地，于两个集合 A 、B ，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，我就 A 、 B 有包含关系，称集合 A 集合 B 的子集，作 A B 〔或 B A〕。
大学大一高数教案范文
课程名称：高等数学授课班级：大一（1）班授课教师：张老师教学时间：2课时教学目标：1. 知识目标：使学生掌握极限的概念，理解极限的性质，掌握连续函数的概念。
2. 能力目标：培养学生运用极限的概念和性质解决实际问题的能力。
3. 情感目标：激发学生学习高等数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学态度。
教学重点：1. 极限的概念2. 极限的性质3. 连续函数的概念教学难点：1. 极限概念的理解2. 极限性质的应用3. 连续函数的判断教学过程：一、导入1. 回顾初中所学的函数概念，引入函数的极限概念。
2. 提出问题：如何描述一个函数在某一点的无限接近某个值的过程？二、新课讲授1. 极限的概念（1）介绍极限的定义，以几何直观的方式讲解。
（2）举例说明极限的几何意义。
（3）强调极限存在的条件。
2. 极限的性质（1）介绍极限的四则运算性质。
（2）举例说明极限的性质在解决问题中的应用。
3. 连续函数的概念（1）介绍连续函数的定义。
（2）举例说明连续函数的图像特征。
（3）讨论连续函数的性质。
三、课堂练习1. 让学生根据极限的定义，判断以下数列的极限是否存在：（1）数列{an}，其中an = (-1)^n n（2）数列{bn}，其中bn = n / (n^2 + 1)2. 让学生运用极限的性质，计算以下极限：（1）lim(x→0) (sinx / x)（2）lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)四、课堂小结1. 回顾本节课所学的知识点，强调重点和难点。
2. 对学生的课堂练习进行点评，指出学生的优点和不足。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解极限在实际问题中的应用。
教学反思：本节课通过讲解极限的概念、性质和连续函数的概念，使学生掌握了极限的基本知识。
在教学过程中，注重学生的参与和互动，提高了学生的学习兴趣。
同时，通过课堂练习和课后作业，巩固了学生的知识，培养了学生的解题能力。
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第二章 导数与微分一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则定理1 )(0x f '存在⇔='-)(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)()0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v vudvvdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()()2sin()(sin )(π⋅+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π⋅+=n kx k kx n nn m n m x n m m m x -+-⋅⋅⋅-=)1()1()()( !)()(n x n n =nn n xn x )!1()1()(ln 1)(--=-莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用(1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析例2.1 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x xx x f K, （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导；（2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数：lim→x =--0)0()(x f x f 0lim→x x f x f )0()(-=0lim →x xx x K 1sin)(⋅= 0lim →x x x K 1sin)(1⋅-= ⎩⎨⎧>≤101 K K 当，，当发散 即 ⎩⎨⎧>≤='1,01)0(K K f 不存在，当1>K 时, )(x f 的导函数为：⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅-⋅='--0,00,1cos 1sin )(21x x xx x Kxx f K K为使='→)(lim 0x f x 0)0(='f ，取2>K 即可。
因此，函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x xx x f K当K ≤1时，)(x f 在0=x 处不可导；当2=K 时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数在0=x 处不连续； 当2>K 时，)(x f 在0=x 处可导且导函数在0=x 处连续。
例2.2 tgx x ctgx x y +++=1cos 1sin 22， 求dxdy 。
分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。
解 xx xx x x x x x x y cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 3333++=+++= = x 2sin 211-。
所以 x y 2cos -=' 。
如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。
例2.3 xarctge y =1ln22+-x x e e ，求dxdy。
分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。
解 因为 x arctge y =)]1ln([ln 2122+--x x e e )1ln(212++-=x x e x arctge 所以 )('='x arctge y )]'1[ln(212++'-xe x = 122111222++-+x x xx e e e e 112+-=x x e e例2.4 设=y )()(x f x e e f ，求dxdy 。
解 利用积的求导法则及复合函数求导法则，有dxdy= +')()(x f x x e e e f )()()(x f e e f x f x '= +'x x x f e e f e )([)()]()(x f e f x '。
例2.5 设方程 )cos(22y x e xy y +=+, 求 y '.本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。
解 (方法一) 方程两端同时对x 求导( y 看作x 的函数)(x y y =),由复合函数求导法可得)21()sin(222y y y x y e y xy y y '+⋅+-='+'+)sin(22)sin(222y x y e xy y x y y y+++++-='(方法二) 方程两边同时微分：))(cos()(22y x d e xy d y +=+⋅++-=++)2)(sin(222ydy dx y x dy e xydy dx y y dx y x y dy y x y e xy y )]sin([)]sin(22[(222++-=+++ 所以 )sin(22)sin(222y x y e xy y x y dx dy y +++++-=例2.6 已知⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x , )(t f 为二次可微函数,且 0)(≠''t f ，求 dx dy, 22dx y d 。
分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。
解 因为 )]()([t f t f t d dy -'== dt t f t )('' dt t f t f d dx )()]([''='=所以t dtt f dt t f t dx dy =''''=)()( 。
又 dt dxdyd =)(所以=22dx y d =)("1)("t f dt t f dt dx dy dx d ==⎪⎭⎫ ⎝⎛ 。
常见错解：22dx y d 1)'(==t 。
错误原因 没有搞清求导对象.22dx y d ⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d 是一阶导数dxdy 对x 求导,而't 是一阶导数对t 求导。
例2.7 求函数 12+=x x y 的微分。
解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=21xxd dy 222111x x xd dx x ++-+= = 22221)1(1211x x d x x dx x +++⋅-+=2322222)1(111x dx x dx xx dx x +=++-+例2.8 设2323+-=x x x y , 求 )(n y 。
分析 本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿)()(n m x 的表达式写出所给定的有理函数的n 阶导数。
解 11283)1)(2(67)3(---++=---++=x x x x x x x y )(n y = )(1)(1)(])1[(])2(8[)3(n n n x x x -----++= n n n n x n x n --------⋅⋅-+11)1(!)1()2(!8)1(0= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----++11)1(1)2(8!)1(n n n x x n （2≥n ）例2.9 设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=0,10,)(2x x x ex f x 求)(x f 的导函数)(x f ' 的连续区间，若间断，判别类型，并分别作)(x f 与)(x f '的图形。
分析 函数)(x f 是用分段表达的函数. 在0=x 的两侧： 当0>x 时，x e x f =')(； 当0<x 时， x x f 2)(='.因此，在 0=x 处，)(x f 的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。
解 因为 =-=-→-xf x f f x )0()(lim )0('0011lim 20=-+-→x x x 11lim )0()(lim )0('00=-=-=++→→+xe xf x f f x x x ，所以 )(x f 在0=x 处不可导。
故 ⎪⎩⎪⎨⎧<>='0,20,)(x x x e x f x 。
因为在0=x 处)(x f '无定义，所以0=x 是)(x f '的间断点 又因为 -→0lim x )(x f ' = -→0lim x )2(x = 0 ；)(lim 0x f x '+→ = 1lim 0=+→x x e所以 0=x 为)(x f '的跳跃间断点。