统计学抽样公式总结
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ˆ ) = υ ( y ) = s (1 − n ) υ (Y n N
2
(6.12)
式中，s2 是样本方差。它的定义及便于计算的表达式为 1 n 2 2 s = ∑ ( yi − y ) i = 1 n −1 1 n 2 = ∑ ( yi − y ) n − 1 i =1 （二）总体总值的估计 估计量
ˆ=N1 Y n
n i =1
(6.13)
∑ yi
(6.14)
ˆ 是 Y 的无偏估计量。 显然，由式（6.14）构造的估计量 Y
估计量的方差
ˆ ) = N 2V ( y ) = N 2 S (1 − n ) V (Y n N
2
(6.15)
式中，S 2 由式（6.11）定义。 估计量的估计方差 同理有
ˆ) = N υ( y) = N υ (Y
(6.26)
估计量的方差
N
ˆ) = N V(A
2
P (1 − P )
(1 −
N −1 n
n N
)
(6.27)
估计量的估计方差
ˆ) = N υ( A
2
p (1 − p ) n −1
(1 −
n N
)
(6.28)
关于用有限总体概率样本作无限总体推断的一个说明
1．无限总体均值的估计 设随机变量 X 的均值、方差未知，现从中抽取简单随机样本 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ,于是，随机变 量 X 的均值（期望值） µ 的估计量为
(6.23)
式中
s′2 =
因此，式(6.23)又可写作
n n −1
p (1 − p )
(6.24)
n
ˆ ) = υ ( p) = n − 1 υ(P
=
p (1 − p )
(1 −
(1 −
n N
)
n p (1 − p )
n −1
n N
)
(6.25)
4、总体中 C 类单位数目的估计 估计量
ˆ = NP ˆ = Np = N a A n
2
(6.20)
式中
S ′2 =
式(6.20)又可写作
N N −1
P (1 − P )
(6.21)
N
ˆ ′) = N − 1 ˆ ) = V ( p ) = V (Y V (P
P (1 − P )
(1 −
n N
)
(6.22)
n
估计量的估计方差 仿照式（6.12）写出
2 ˆ ′) = υ ( y ′) = s ′ (1 − n ) ˆ ) = υ (Y υ(P n N
2 2
s
2
(1 −
n N
)
(6.16)
n
式中，s2 由式（6.13）定义。 3、总体 C 类比例的估计 估计量
n a ˆ ′ = y′ = 1 ∑ ˆ =Y P y i′ = = ˆ p n i =1 n
(6.19)
估计量的方差 仿照式（6.10）写出
26
ˆ ′) = V ( y ′) = S ′ (1 − n ) ˆ ) = V ( p ) = V (Y V (P n N
有限总体简单随机个体样本对总体指标的估计
（一）总体均值的估计 估计量
ˆ = y= 1 Y n
n i =1
∑ yi
(6.9)
估计量的方差
ˆ ) = V ( y ) = S (1 − n ) V (Y n N
2
(6.10)
式中
S =
2
1
N
N − 1 i =1
∑ ( yi − Y )
2
(6.11)
估计量的估计方差
ˆ ) = υ ( p) = υ (π
p (1 − p ) n −1
（6.35）
当 n 充分大，且 0.1≤ p ≤0.9 时， π 的置信区间可以近似地表示为
( p − zα
2
p(1 − p) n −1
， p + zα
2
p(1 − P ) ） n −1
（6.36）
28
( x − zα
2
s 2 / n ， x + zα
2
s2 / n ）
(6.33)
2．随机试验中某种指定事件 C 发生概率的估计 把要估计的概率记作 π ,它的估计量为
ˆ= p= π
a n
(6.34)
式中， p 是样本比例， 它是样本中具有 C 特征的单位数 a 与样本单位总数 n 的比值。 估计量的估计方差为
ˆ =x= µ 1
27
n i =1
∑ xi
n
(6.29)
估计量的估计方差为
ˆ ) = υ (x) = υ (µ
s2 n
Fra Baidu bibliotek
(6.30)
式中
s2 =
1 n 2 ∑ ( xi − x ) n − 1 i =1
(6.31)
若 X 的分布偏斜得不很厉害，统计量
t= x −µ s2 / n
(6.32)
近似服从自由度为 n − 1 的 t _ 分布。当 t _ 分布的自由度足够大时（大于等于 30） ， t _ 分布与 标准正态分布已很接近，这时可查正态分布表作区间估计。即， n ≥ 30时, µ的1 − α 的置信区 间近似地为
2
(6.12)
式中，s2 是样本方差。它的定义及便于计算的表达式为 1 n 2 2 s = ∑ ( yi − y ) i = 1 n −1 1 n 2 = ∑ ( yi − y ) n − 1 i =1 （二）总体总值的估计 估计量
ˆ=N1 Y n
n i =1
(6.13)
∑ yi
(6.14)
ˆ 是 Y 的无偏估计量。 显然，由式（6.14）构造的估计量 Y
估计量的方差
ˆ ) = N 2V ( y ) = N 2 S (1 − n ) V (Y n N
2
(6.15)
式中，S 2 由式（6.11）定义。 估计量的估计方差 同理有
ˆ) = N υ( y) = N υ (Y
(6.26)
估计量的方差
N
ˆ) = N V(A
2
P (1 − P )
(1 −
N −1 n
n N
)
(6.27)
估计量的估计方差
ˆ) = N υ( A
2
p (1 − p ) n −1
(1 −
n N
)
(6.28)
关于用有限总体概率样本作无限总体推断的一个说明
1．无限总体均值的估计 设随机变量 X 的均值、方差未知，现从中抽取简单随机样本 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ,于是，随机变 量 X 的均值（期望值） µ 的估计量为
(6.23)
式中
s′2 =
因此，式(6.23)又可写作
n n −1
p (1 − p )
(6.24)
n
ˆ ) = υ ( p) = n − 1 υ(P
=
p (1 − p )
(1 −
(1 −
n N
)
n p (1 − p )
n −1
n N
)
(6.25)
4、总体中 C 类单位数目的估计 估计量
ˆ = NP ˆ = Np = N a A n
2
(6.20)
式中
S ′2 =
式(6.20)又可写作
N N −1
P (1 − P )
(6.21)
N
ˆ ′) = N − 1 ˆ ) = V ( p ) = V (Y V (P
P (1 − P )
(1 −
n N
)
(6.22)
n
估计量的估计方差 仿照式（6.12）写出
2 ˆ ′) = υ ( y ′) = s ′ (1 − n ) ˆ ) = υ (Y υ(P n N
2 2
s
2
(1 −
n N
)
(6.16)
n
式中，s2 由式（6.13）定义。 3、总体 C 类比例的估计 估计量
n a ˆ ′ = y′ = 1 ∑ ˆ =Y P y i′ = = ˆ p n i =1 n
(6.19)
估计量的方差 仿照式（6.10）写出
26
ˆ ′) = V ( y ′) = S ′ (1 − n ) ˆ ) = V ( p ) = V (Y V (P n N
有限总体简单随机个体样本对总体指标的估计
（一）总体均值的估计 估计量
ˆ = y= 1 Y n
n i =1
∑ yi
(6.9)
估计量的方差
ˆ ) = V ( y ) = S (1 − n ) V (Y n N
2
(6.10)
式中
S =
2
1
N
N − 1 i =1
∑ ( yi − Y )
2
(6.11)
估计量的估计方差
ˆ ) = υ ( p) = υ (π
p (1 − p ) n −1
（6.35）
当 n 充分大，且 0.1≤ p ≤0.9 时， π 的置信区间可以近似地表示为
( p − zα
2
p(1 − p) n −1
， p + zα
2
p(1 − P ) ） n −1
（6.36）
28
( x − zα
2
s 2 / n ， x + zα
2
s2 / n ）
(6.33)
2．随机试验中某种指定事件 C 发生概率的估计 把要估计的概率记作 π ,它的估计量为
ˆ= p= π
a n
(6.34)
式中， p 是样本比例， 它是样本中具有 C 特征的单位数 a 与样本单位总数 n 的比值。 估计量的估计方差为
ˆ =x= µ 1
27
n i =1
∑ xi
n
(6.29)
估计量的估计方差为
ˆ ) = υ (x) = υ (µ
s2 n
Fra Baidu bibliotek
(6.30)
式中
s2 =
1 n 2 ∑ ( xi − x ) n − 1 i =1
(6.31)
若 X 的分布偏斜得不很厉害，统计量
t= x −µ s2 / n
(6.32)
近似服从自由度为 n − 1 的 t _ 分布。当 t _ 分布的自由度足够大时（大于等于 30） ， t _ 分布与 标准正态分布已很接近，这时可查正态分布表作区间估计。即， n ≥ 30时, µ的1 − α 的置信区 间近似地为