断裂力学

（2） （2）
主要参考书：《工程断裂力学》李洪升等编
《工程断裂力学基础》王克仁等译
（“Elementary Engineering Fracture Mechanics” D. Broek）
a
2
绪论
● 断裂力学产生的背景 断裂现象—古老而普遍的问题 人－工具－断裂 （石器，木棒、陶器——损坏、折断、更换） 工业发展－事故 （火车、桥梁、房屋——轴断、桥坏、房塌） 战争－灾难尤甚 （飞机、战船、火炮——机毁、船折、人亡） 断裂发生的根本原因－ 设计问题 — 理论不完善 使用问题 — 使用不正确 材料问题 — 材料不完整 其中材料问题最复杂、认识有限！材料为什么会断裂？断裂原因和规律 是什么？——几百年来的研究课题。
zxzy0; z 0(xy)平 平 面 面 应 应 变 力
a
16
§ 1-1-2 斜截面上的应力
假设任意斜截面与正六面体坐标轴的夹角的余弦,也就是斜截面法线的方向数 为 n1，n2，n3，这个斜截面（ABC)上的应力T 在三个坐标轴上的投影为 T1,T2,T3 ，
T 还可以分解为垂直于斜截面（ABC)上的应力 和平行于该平面的应力
什么是断裂力学？
断裂力学是一门研究含裂纹物体，裂纹的启裂、扩展到断裂的宏观过程及断裂
条件的科学。
a
6
绪论
● 代表人物
谈到断裂力学发展，它归功很多人，有三个人值得我们特别提出，他们是：
Inglis, Griffith, Irwin.
Inglis 把缺陷看成材料内部的小孔, 1913年理论计算了无限大板中心椭圆孔
目前断裂力学研究已经过了发烧期，处于向动态断裂力学等方向深度发展阶段。 ● 主要学习内容
线弹性断裂力学为主, 注重应用 ● 材料科学与工程和该课程的关系
结构材料包括功能材料工程应用必须正视或解决的问题。
要求：重视概念、学以致用、适当记笔记。
a
8
第一章：与断裂力学有关的工程力学基础
§ 1-1 一点的应力与应变 § 1-1-1 一点的应力 § 1-1-2 斜截面上的应力 § 1-1-3主应力和主平面 § 1-1-4 一点的应变
工程断裂力学
Engineering Fracture Mechanics
（ 40 学 时 ）
臧启山
2010 年5月－6月
a
1
主要章节
第一章：与断裂力学有关的工程力学基础（复习） （7）
第二章：线弹性断裂力学初步
（15）
第三章：弹塑性断裂力学简要
（8）
第四章：断裂力学在疲劳裂纹扩展中的应用
（6）
复习 考试
作。虽然因文革延误，但陈篪等科技工作者还是做出了相当突出的工作。
● 近来的发展：
断裂力学在上世纪60－80年代得到长足发展，经历发烧期，建立了许多理论。
a
7
绪论
1989 Irwin指出： “线弹性断裂力学已基本成熟，关键是在应用中 不断完善；弹 塑性断裂力学及动态断裂力学还有很长的路要走”。
1989 ICF大会主席之一Leibowite指出： “尽管多年来断裂力学在解决重大问题上 取得很大进展，但必须明了断裂力学远非一门成熟的学科。今后最迫切的是需要付出极 大的努力发展能预测稳定裂纹启裂或扩展的更完善的断裂理论。其中一个主要方向就是 要深入研究断裂力学与经典力学的区别，并找出能统一裂纹与非裂纹体的统一理论”
§ 1-1-4 一点的应变 • 线应变 • 剪应变 • 应变张量 • 应变与位移的关系
a
11
§ 1-1 一点的应力与应变
§ 1-1-1 一点的应力
• 应力的定义
物体（各向同性的弹性体）在一个微面上受的力dF与该微面面积dA的比（即
单位面积上的力）定义为该微面上应力：
A＝dF/dA 由于dF可以分解为垂直于dA和平行于dA 的分力， 因此可以产生
a
3
考虑一个问题：
下图是4块等厚度的板， A的宽度为 W ，B、C、D 3块的宽度为 W+a 。但在 这增加的宽度a上分别为无缺陷，有直径为d 的孔缺陷和裂纹缺陷，在两端分别 施加均匀拉力 F1、F2、F3、F4 后破坏，请问：所施加力的大小应怎样排列？
答案：
Why?
a
4
材料不是完美无瑕的
绪论
这是一个关于 n1, n2, n3 的线性齐次方程组，其有非零解的充分必要条件是：
系数行列式的值等于零。
a
20
• 主应力和主平面
即：
（11 －σ） 12
13
21
（ 22 －σ）
23
＝0
31
32 ( 33 －σ)
得出：σ3－I1σ2+I2σ-I3=0 由此方程解出的三个根，即为三个主应力σ1 ，
I1 11 22 33
I2
11 21
12 22 22 32
23 33 33 13
从而有：
T1 11n1 12n2 13n3 T2 21n1 22n2 23n3 T3 31n1 32 n2 33n3
可简化为： Ti ij n j
这里使用了Einstein 求和约定，即：如果在一个表达式的某项中，某指标重复
出现两次，则表示要在该指标取值范围内，遍历求和。
§ 1-4-1 相容方程
§ 1-4-2 求解平面问题的基本方程
§ 1-4-3 应力函数
§ 1-4-4 极坐标求解平面问题方程
§ 1-5 应变能密度
§ 1-6 应力函数的复变函数表示
§ 1-6-1 复变量复习：
§ 1-6-2 用复变函数表示的应力函数
§ 1-7 材料的变形模型
§ 1-7-1 简单拉伸的试验结果
y
y
x xy
x
y
2
x
y
2
cos2xy
sin2
x
y
2
sin2xy
cos2
Ox
y
x
y
xy
0x
上式平方和相加，得：
x 2y 2 2 x 2y 2x 2y
n
在 坐标系中，与 ，
ຫໍສະໝຸດ Baidu 落在一个圆上
a
19
§ 1-1-3 主应力和主平面
若斜截面上只有正应力，而没有剪应力时，我们把这个平面叫做主
论、 模型等随后提出几十个。但随着新材料（如高强度钢）新工艺（如焊接）的发 展，断裂问题仍层出不穷。Why ? 这一方面说明断裂问题的复杂性，另一方面说明， 已有的断裂理论还解决不了全部问题。 上世纪中，在现代工业发展和战争的的推动 下，人们对断裂现象认识的进一步深化，对材料强度、缺陷、位错、应力集中等理论 研究不断深入，断裂力学终于在1957年应运而生，成为学科，且已经在生产和设计 中发挥重大作用，并继续承受检验。
例如：可a 简ib i写a 为1 b 1：a2b 2a3b 3 (i=1,3);
aij X j Ki (i=1,n;j=1,n)表示一个线性方程组。
斜截面上的正应力与剪应力：
T
T . T1n1 T2n2 T3n3 Ti ni
T T 2 2
a
18
二维平面斜截面上的应力
工程材料都有缺陷（先天— 夹杂、夹渣、瑕疵、空洞、裂缝 后天— 冶炼、加工、制造、安装、使用）
材料中的宏观尺寸缺陷—这里通称为裂纹（尖裂纹或钝裂纹）。 由于材料有缺陷，材料的自身强度是理论强度的1/10-1/100； 由于材料有缺陷，材料在受力后会在缺陷处产生严重的应力集中； 由于材料有缺陷，材料会在某种应力作用下产生亚临界裂纹扩展，材料对 外界的抗力不仅与外力有关还与裂纹的长度有关。
受力的应力分布, 具体计算了孔边应力集中问题。Griffith 1920 年在 Inglis 的
基础上，用能量法分析了脆性材料的破坏准则，成为断裂力学最早的奠基者。Irwin
则在前人的基础上，1957年成功地分析了裂纹尖端的应力场和位移场，提出了应力强
度因子的概念,使断裂力学成为一门学科。
此后许多科学家在这方面做出了贡献。我国60年代初就开始了断裂力学的研究工
垂直于该面的应力—称为正应力
dF
dA
Fi
和
平行于该面的应力—称为剪应力
a
12
• 一点的应力
应力是定义在一个面上的，过一点有无数多个
面，这些面上都有应力，但不是互相独立的。通常
物体内部的一点用一个小正六面体来表示，只要知
道这六个面上的应力，其它各面上的应力就可以确
定了。当六面体的各面趋近于零就代表一个点了。
一点的应力可以用上述应力分量表示，它是一
个张量 ，通常简略表示为[σij ] 。
a
x
x x
11 12 13
[ ij ] 21
22
23
31 32 33
13
• 一点的应力
各向同性材料过一点的其它各面上的应力都可以通过平衡关系用这9个量来表示。 这9个量表示了一点的应力状态。张量是一组表示某种性质的量的组合。它不是一个值。
断裂研究的重大意义
社会和经济发展的需求是科学发展的动力。结构件的失效带来巨大的社会和经
济问题。断裂是所有失效中最严重、最危险的失效。飞机失事80%以上是疲劳或应力腐
蚀断裂引起。发达国家每年因断裂失效造成的损失为GDP的4%（美国因此每年损失1000
多亿美元）,同时断裂给人身生命安全造成极大威胁（地球板块断裂研究是地震研究的
σ2 ，σ3 ；主应力所在的面称为主平面。 他们对应三组 n1，n2 ，n3 ，分别是
它们法线的方向数。这里，I1，I2，I3 称为应力不变量。
I1112233123 I21 2[(112222332)2(122232312)I12]1 22 33 1 I3det[ij]
a
21
应力不变量亦可写成：
应力面或主平面。在主应力面上， = 0; = T = 为主应力。从而，
T1 .n1 , T2 .n2 , T3 .n3
即：
Ti .ni
代入方程 Ti ij.nj , 有：.ni ij.nj , 或 ij ij nj 0
即： (11 )n1 12n2 13n3 0 21n1 (22 )n2 23n3 0 31n1 32n2 (33 )n3 0
因此，不可以说一点的应力多大，只能说某个面上的应力有多大，或一点某个方向 上应力多大（实际还是指与这个方向垂直的面上的应力）。而面上的应力可以分解为 正应力和剪应力。
实际上，过一点可以做无数多个平面，但相对于这个正六面体的任意一个斜面上的 应力，对各向同性材料，在三维空间里都可以用这9个独立分量表示出来。
在（x,y,z）坐标系下，对于各向同性的弹性
体，六面体各个面上的应力可以表示为：
x x , x y ,x z, y x ,y y , y z,z x , , z y z z
或表示为 x,x y,x z,y x, y,y z,z x,z y, z
及
1 1 ,1 2 ,1 3 ,2 1 ,2 2 ,2 3 ,3 1 ,3 2 ,3 3
§ 1-7-2 材料单向受力的简化模型
§ 1-8 材料的屈服条件
a
10
§ 1-1 一点的应力与应变
§ 1-1-1 一点的应力 • 正应力 • 切应力 • 应力张量
§ 1-1-2 斜截面上的应力 • 斜截面上的应力分量 • Einstein 求和约定 • 斜截面公式
§ 1-1-3 主应力和主平面 • 主应力与主平面的定义 • 求解主应力 • 应力不变量
[ij ] ；i=1,2,3 ; j=1,2,3 ; 可以证明剪应力互等，即： ij＝ji （i≠j）; 从而[ij ]是一个二阶对称张量，可用6个独立分量表示。
a
14
单元体上的应力
(σ32) (x3) z
y (x2) (σ13)
(σ12)
(σ21) (σ11)
x (x1) (σ31)
a
15
二维应力（ x , y ,xy）状态
§ 1-2 平衡微分方程 § 1-2-1 微单元的平衡方程 § 1-2-2 边界条件 § 1-2-3 应力应变关系（各项同性、小变形、弹性连续体）
§ 1-3 平面应力与平面应变 § 1-3-1 平面应力 § 1-3-2 平面应变
a
9
第一章：与断裂力学有关的工程力学基础
§ 1-4 相容方程和应力函数
设截面ABC的面积为1，则△AOB,△BOC, △COA的面积为: n1, n2, n3; 由力在三
个坐标轴 x1, x2, x3 方向上的平衡条件：T T 1 e 1 T 2 e 2 T 3 e 3；e1 ; e2 ; e3 是
坐标轴 x1, x2, x3 的基矢。
a
17
• 1-1-2 斜截面上的应力
重要方向）。因此断裂研究有重大的经济和a社会意义 。
5
绪论
尽管社会不断发展，断裂问题仍层出不穷
多少世纪来，人们积累了大量有关断裂的现象和经验，但一般的解决方法就 是替换，换新的或找更强的材料代替，对断裂的认识停留在现象上。18世纪以来随 着工业的发展，对构件需求和要求更高，开始探索断裂理论，以材料力学为代表的理