第三讲 最短距离问题

第三讲最短距离问题

一、知识梳理

几何模型1

条件：如图，、是直线同旁的两个定点．

问题：在直线上确定一点，使的值最小．

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，

则的值最小

几何模型2

条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、

B到距离不相等

问题：在直线上确定一点，使的值最

大

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则

的值最小

二、方法归纳

对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。

三、课堂精讲例题

（一）、题中出现一个动点。

例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且

BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。

【难度分级】A类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用

〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，

易求

解：作关于对称点

四边形ABCD是正方形

在上，且

即是的最小值

【搭配课堂训练题】

1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与

轴交于点其中、

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请

求出点P的坐标

【难度分级】A类

〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。

〖答案〗

解：（1）由题意得解得

∴此抛物线的解析式为

（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.

设直线的表达式为则

解得

∴此直线的表达式为

把代入得

∴点的坐标为

例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于

D，抛物线与直线交于A、E两点，与

轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．

【难度分级】A类

〖试题来源〗2009眉山中考数学真题

〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用

〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB与对称轴的交点M即为所求。

（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得

∴抛物线的解折式为

（2）抛物线的对称轴为

∵B、C关于x＝对称∴MC＝MB

要使最大，即是使最大

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大易知直线AB的解析式为∴由得∴M（，－）

（二）、题中出现两个动点。

例3、如图：在△ABC中,,

,M、N分别AB,AC上动点,求

BN+MN+MC最小值

【难度分级】B类

〖试题来源〗2003年浙江余姚中学保送生测试题

〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”

②掌握双动点问题的解题方法

〖解题思路〗当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

解:作关于对称点,关于对称点,

有 (当、运动到、时等号成立),

、

为正三角形

【搭配课堂训练题】

1、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷

和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、

两景区运送游客．小民设计了两种方案，图9是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图10是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．

（1）求、，并比较它们的大小；

（2）请你说明的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图11所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

【难度分级】B类

〖试题来源〗2009年湖北恩施自治州中考真题。

〖答案〗

解:⑴图9中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,

∴AC=30

在Rt△ABC中，AB=50 AC=30 ∴BC=40

∴BP=

S1=

⑵图10中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，

又BC=40 ∴BA'=

由轴对称知：PA=PA'

∴S2=BA'=

∴﹥

(2)如图10，在公路上任找一点M,连接

MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'

∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B

∴S2=BA'为最小

（3）如图12，过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求

A'B'=

∴所求四边形的周长为

例4、如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若

AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小

值.

【难度分级】B类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”

②使学生掌握，在由“折”转“直”的过程中，如何做到最短。

〖解题思路〗

解：作关于的对称点,

在上运动,当运动到时,即

，最短为

【搭配课堂训练题】

如图，在锐角中，，的