第三讲最短距离问题

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小初数学升级计划之第三讲奇妙的行程

奇妙的行程问题例1.甲乙两车同时从A、B两城同时出发相向而行，甲车每小时行38千米，乙车每小时行32千米，两车在离中点18千米处相遇，A、B两城之间的距离是多少千米？练1.客车和货车同时从A地到B地，客车每小时行45千米，货车每小时行40千米，客车到达B 地后立即返回，在距B地10千米处与货车相遇，求A、B两地的距离？例2.甲乙两人同时从距离80千米的两地出发相向而行，甲每小时行5.6千米，乙每小时行4.4千米。

甲带着一只狗每小时行12千米，这只狗同甲一块出发，往返于两人之间，一直到两人相遇为止。

求相遇时狗跑了多少千米？练1.东、西两城相距75千米，小明从东向西走，每小时走6.5千米。

小强从西向东走，每小时走6千米。

小辉骑自行车从东向西走，每小时行15千米。

三人同时动身，图中小辉遇到小强即折回向东骑，遇见小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，……，这样往返，直到三人在途中相遇为止。

请问小辉共骑了多少千米？例3.甲乙两辆汽车分别从A、B两城同时出发相向而行，第一次相遇离A城60千米，相遇后两车继续前进，分别到达B、A两城后立即返回，途中两车第二次相遇在离B城20千米处，求A、B两城之间的距离？练1.A、B是一圆形跑道的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕跑道匀速跑步（甲、乙二人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙二人第二次相遇。

求圆形跑道一圈的长度？例4.一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度为每秒17米。

求客车与货车从追上到离开所用的时间？练1.甲乙两辆火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米.坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用了13秒，问乙车多长？例5.上午8:30，小明骑自行车从家出发，8分钟后爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上他，然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明。

第3讲直线的交点坐标与距离公式

第三讲直线的交点坐标与距离公式一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。

工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。

物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假枥榘视形限长，认为围起半个地球总够大了。

数学家好好嘲笑了他们一番。

他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。

”一.自主归纳，自我查验1.自主归纳（1）．两条直线的交点已知两直线l1：A1x ＋B1y ＋C1＝0；l2：A2x ＋B2y ＋C2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A1x ＋B1y ＋C1＝0A2x ＋B2y ＋C2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0y ＝y0，则两直线______，交点坐标为________．（（3）．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝________________．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离为|OP|＝________．（4）．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：________________________________________________．第二步：________________________．第三步：____________________________________．（5）（6）．三种常见的对称问题 a 点关于点的对称点P(x0，y0)关于点M(a ，b)的对称点为P ′________________． b 点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ·x1＋x22＋B ·y1＋y22＋C ＝0，可得点P1关于l 对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A ≠0，x1≠x2)．c 线关于点、线的对称线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x ，y)的坐标x ，y 满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．答案：（1）．相交 (x0，y0) （2）．无 1 无数（3）．x2－x12y2－y12 x2＋y2 （4）．建立坐标系，用坐标表示有关的量进行有关代数运算把代数运算结果“翻译”成几何关系（5）公垂线段 |Ax0＋By0＋C|A2＋B2 |C2－C1|A2＋B2a, (2a －x0,2b －y0) b, y1－y2x1－x2＝BA自我查验（1）．直线l1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( A ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合(2)．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0(3)．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b 等于( A ) A ．0或8 B ．0或－8 C ．0或6 D ．0或－6(4)．点(2,3)到直线y ＝1的距离为( D )A ．1B ．－1C ．0D ．2 （5）．原点到直线3x ＋4y －26＝0的距离是( B ) A ．2677 B ．265 C ．245 D ．275二、典型例题题型一两点间距离公式的应用例1 已知Ａ（－３，４），Ｂ（２，3），在x 轴上找一点Ｐ使PB PA =，并求PA的值．破题思路：根据点Ｐ在ｘ轴上设出其坐标，再利用PBPA =和两点间距离公式可求．解题过程：设点Ｐ（x ，0），则有PA ＝256)40()3(222++=-++x x x ， 74)30()2(222+-=-+-=x x x PB由PBPA =得 7425622+-=++x x x x解得59-=x ．即所求点Ｐ的坐标为)0,59(-且51092)40()359(22=-++-=PA 方法与规律：熟练掌握两点间的距离公式变式训练：求函数y ＝x2－8x ＋20＋x2＋1的最小值．解原式可化为y ＝x －420－22＋x －020－12．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA ′|＋|PB|≥|A ′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得|A ′B|＝422－12＝5，所以函数y ＝x2－8x ＋20＋x2＋1的最小值为5题型二点直线间距离公式的综合应用例２. 已知Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１）和直线ｌ：0234=-+y x ，在坐标平面内求一点Ｐ，使PBPA =，且点Ｐ到直线ｌ的距离为２.破题思路：设点Ｐ的坐标，然后根据两点的距离公式和点到直线的距离公式可得解题思路：设点Ｐ的坐标为（ａ，ｂ） ∵Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１），PBPA =，∴2222)1()2()3()4(++-=++-b a b a 整理得05=--b a ①又∵点Ｐ（ａ，ｂ）到直线ｌ：0234=-+y x 的距离为２∴25234=-+b a 即10234±=-+b a ②由①②可得4,1-==b a 或78,727-==b a所以点Ｐ的坐标)4,1(-或)78,727(- 方法与规律：点与点，点与线之间的距离公式变式训练：已知M(1,0)、N(－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，求|PM|2＋|PN|2的最小值及取最小值时点P 的坐标．解 ∵P 为直线2x －y －1＝0上的点，∴可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得|PM|2＋|PN|2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m2－8m ＋4．(m ∈R)令f(m)＝10m2－8m ＋4＝10 ⎝⎛⎭⎫m －252＋125≥125， ∴当m ＝25时，|PM|2＋|PN|2取最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫25，－15题型三利用平行直线间的距离公式求直线方程例３求与两条平行直线0432:1=+-y x l 与0232:2=--y x l 距离相等的直线l 的方程．破题思路：由题意知可设所求平行直线l 的方程为032=+-C y x ．解题过程：设所求l 的方程为032=+-C y x ．由直线l 到两平行直线的距离相等，得2222322324++=+-C C 解得Ｃ＝１.∴所求直线l 的方程为0132=+-y x 方法与规律：平行直线系方程的考察变式训练：如图，已知直线1l ：x ＋y －1＝0，现将直线1l 向上平移到直线2l 的位置，若2l 、1l 和坐标轴围成的梯形面积为4，求2l 的方程．解设l2的方程为y ＝－x ＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)． ∴|AD|＝2，|BC|＝2b ．梯形的高h 就是A 点到直线l2的距离，故h ＝|1＋0－b|2＝|b －1|2＝b －12(b>1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b2＝9，b ＝±3．但b>1，∴b ＝3．从而得到直线l2的方程是x ＋y －3＝0．错例分析已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且Ｐ（４，３）到直线l 的距离为23，求直线l 的方程．错解：设直线l ：a y x =+ 由题知23234=-+a解得13,1==a a所求直线方程为013,01=-+=-+y x y x错因分析：本题忽略了直线过原点的情况，截距相等的直线方程应分为两类直线过原点和不过原点两种情况．正解：由题知，若直线过原点，设l ；kx y =所以231342=+-k k ，解得k =214312±-若直线不过原点，设直线l ：a y x =+ 由题知23234=-+a解得13,1==a a所求直线方程为：x y 214312±-=， 013,01=-+=-+y x y x应用体验1．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－22．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( B ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( C ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5 D ．2104．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP|的最小值是( B )A ．10B ．2 2C ． 6D ．25．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边的方程．解设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边的直线方程为l1： x ＋3y ＋c ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标P(－1,0)，由点P 到两直线l ，l1的距离相等，则|－1－5|12＋32＝|－1＋c|12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l1：x ＋3y ＋7＝0．又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边方程为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a|32＋12＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或－3，∴另两条边所在的直线方程为 3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0．复习与巩固A 组一、选择题 1．两条直线l1：2x ＋3y －m ＝0与l2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( C ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上答案均不对2．已知直线l1：x ＋m2y ＋6＝0，l2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l1∥l2，则m 的值是( D ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－13．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，－1)，则直线l 的斜率为( D )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题4．若集合{(x ，y)|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y)|y ＝3x ＋b}，则b ＝__2______． 5．已知直线l 过直线l1：3x －5y －10＝0和l2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l3：x ＋2y－5＝0，则直线l 的方程是___8x ＋16y ＋21＝06．当a 取不同实数时，直线(2＋a)x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为___(－1，－2)_____．三、解答题7．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的两倍的直线l 的方程．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0．据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．8．已知△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率 kDE ＝1＋33＋2＝45，所以kAB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为 y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E(3,1)，且平行于DF ，同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．因此，△ABC 的三个顶点是A(4,6)，B(－6，－2)，C(2，－4)．B 组一、选择题1．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( B ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5 2．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( B ) A ．(－1,0) B ．(1,0)C ．⎝⎛⎭⎫225，0D ．⎝⎛⎭⎫0，225 3．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( A )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题4．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x ，y)到原点的距离是____17____．5．点M 到x 轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为 (2,10)或(－10,10)___________．6．等腰△ABC 的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为___2 6 三、解答题7．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A(1，－1)，过点A 作直线l1与直线l 相交于B 点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．解由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x0，－2x0＋6)．由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，化简得x20－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5．当x0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m ，n)，则|AB|＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE|＝c ＋m 2－m 2＝c 2，所以|DE|＝12|AB|．即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．C 组一、选择题1．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( C ) A ．95 B ．185 C ．3 D ．62．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( C ) A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝03．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( C ) A ．(0，＋∞) B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 二、填空题4．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为__2x ＋y －5＝0____________． 5．若直线3x ＋4y ＋12＝0和6x ＋8y －11＝0间的距离为一圆的直径，则此圆的面积为____4916π____．6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是__71326 三、解答题7．已知直线l 经过点P(－2,5)，且斜率为－34．(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解 (1)由点斜式方程得， y －5＝－34(x ＋2)，∴3x ＋4y －14＝0．(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则由平行线间的距离公式得， |c ＋14|5＝3，c ＝1或－29．∴3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．8．△ABC 的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)． (1)求BC 边的高所在直线方程； (2)求△ABC 的面积S ．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题知kBC ＝3122＝1，则kl ＝－1kBC ＝－1，又点A(－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0．(2)BC 所在直线方程为：y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A(－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|1212＝22，又|BC|＝2－221－32＝4 2则S △ABC ＝12·|BC|·d ＝12×42×22＝8．。

小升初数学专题选讲

第一讲计数原理知识纵横：如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事的方法总数，即各类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。

加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m1种方法，第二类方法中有m2种方法……第n类有m n种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m1+ m2+ m3+…+m n。

完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。

乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第三步有m3种方法……第n步有m n种方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。

例题求解：【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同），每个笼子只能进一只鸟。

若都不飞进自己的笼子里去，有种不同的飞法。

【例5】如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为“特殊数”。

在所有的三位数中，共有个“特殊数”。

【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？基础夯实1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6人会用第3种方法完成。

选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3步，每个人只会做一步。

徐明达班组长的基础工作方法(6H清华)

事实上，大多数企业每天都在 “烧钱”，只不过不是用火烧，而是企业中存在着大量的浪费。白白地花掉了许多辛辛苦苦才挣来的钱。如若不信，请看许多企
业的情况：各工序旁摆放着大量等待加工或已经加工的零件、在制品；仓库里存放着可供2、3个月的料；随时可买到的普通包装箱半年前采购了一大批，然后逐月慢慢使用
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你看出问题了吗？
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一、现场生产的八大浪费
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二、生产过程的时间大有潜力可挖！
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三、六何分析法
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四、改善四原则
和重排。
重排
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五、合理布置工地的学问
1、能够适合90%以上的人进行正常工作。 2、主要的生产设备的布置要符合生产工艺的要求，便于工人操作；尽量减少工人的行走距离。 3、物品放置的高度、工作台、椅子的高度都要适合操作工人躯体的特点，使工人在操作时或取放物品时，尽量不踮脚、不弯腰。 4、工地上多余的和不必要的物品要及时清除，以免造成工地的过分拥挤，影响工人的正常生产活动。 5、必须满足生产工艺对工作环境的特殊要求。
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四、班组长的素质要求
良好的控制情绪能力做事果断、勇于负责信任部下、成果分享明确目标、胸中有数
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五、班组长必备的六大精神和“六度”
刻苦学习的紧迫精神探索创造的超前精神追根问底的钻研精神合作共事的团队精神胸怀宽广的大度精神雷厉风行的战斗精神
兴奋度－富有激情热情度－微笑服务灵敏度－反应机敏速度－快速反应配合度－团队精神准确度－精确准时
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六、向平面布置要效益
某企业锻工分厂原
剪
剪
床
料
2
工
段
剪
床
1
平面流程图往返路线太

第三讲统筹与最优化

3、6、16、112、8、6、112、8、6、3、13、133、12、812、812、8、6、1312、8、6、3、112、8、6、3、1第三讲统筹与最优化最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，既要尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。

因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛应用。

作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。

一、例题讲解例1、分析：此题是典型的过河问题，习题的特点是：两个不同时间的人一起过河时，快的要就着慢的走，因此过河的时间以慢的为主。

所以我们尽量选最快的两个人先过（即：快的可以来回过桥传递油灯）。

最慢的两个也要同时过河，不要分开。

具体操作如下图：总时间：3+1+12+3+6+1+3=29分钟拓展练习：（1）小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥.......直到4人都通过小木桥。

已知，小强单独过桥要1分钟，小明单独过桥要1.5分钟，小红单独过桥要2分钟，小蓉单独过桥要2.5分钟，那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？提示：与例题分析过程相同。

答案：1.5+1+2.5+1.5+1.5=8分钟（2）小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要1分钟，乙过河要2分钟，丙过河要5分钟，丁过河要6分钟，每次只能赶2头牛问：要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？（小明回来赶牛过河，也得骑在牛上）提示：与例题分析过程相同。

答案：2+1+6+2+2=13分钟例2、分析：此题属于排队等待的问题。

此题的特点是：最后求的总时间为所有人的等待时间（即：第一个人打水若用5分钟的话，后面个人都要等待5分钟）。

立体几何第三讲空间几何体得最值问题

分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的
最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【玩转跟踪】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P1, P2 分别是线段 AB 、BD1（不
包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于平面 A1 ADD1 ，则四面体 P1P2 AB 的体积的最大值
锥 P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大.
【解析】因为 PA 平面 ABC, BC 平面 ABC，所以 PABC 又因为 BCAC, PA AC A ，所以 BC 平面 PAC，又 AF 平面 PAC，所以 BCAF ，又 AFPC, PC BC C ，所以 AF 平面 PBC，即 AFEF 。EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影，因为 AEPB ，所以 EFPB ，即 PE 平面 AEF。在三棱锥 P AEF 中， AP AB 2, AEPB ，
5
.
5
又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为 2 5 ，也就是异面直 5
线 BD 和 SC 的公垂线段的长.故选 B. 2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.
又∵ 0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan 2 ,(α+β)min＝π-arctan2 2 .
【迁移运用】
1．【西藏日喀则一中高三 10 月检测】已知正三C 的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面

网络技术与应用_第三讲-例题分析

②终端B →终端A
传输操作
A→B B→A E→B B→E B广播 F→E
VLAN2转发表
MAC 地址
转发端口
MAC A
1
MAC B 2
到达终端A
VLAN3转发表
MAC 地址
转发端口
交换机
集线器
A
B
C
D
MAC A MAC B MAC C MAC D
VLAN2
E
VLAN3
MAC E
F MAC F
【例3.4】分析题：MAC帧的传播范围
【例3.2】计算最短帧长
【题目】假定10Mbps总线形以太网由单段电缆构成，电缆长度L为 200m，电信号传播速度SR为（2/3）c （2×108m/s），求出对应的最短帧长LMin 。
【解析】最短帧长LMin＝2×T×S，已知数据传输速率S=10Mbps T为电信号两端之间的传播时间。
（1）求T： T＝L/SR=200/（2×108）＝10-6s （2）求Lmin： LMin ＝2×T×S＝2×10-6×10×106＝20b
4 交换机1
1
2
3
集线器
4 交换机2
123
终端A 终端B 终端C 终端D 终端E 终端F MAC A MAC B MAC C MAC D MAC E MAC F
【例3.3】分析题：交换机的工作过程
①终端A→终端B
传输操作
A→B G→H B→A H→G E→H
交换机1转发表
MAC 地址
转发端口
MAC A
1
交换机2转发表
MAC 地址
转发端口
MAC A 4
交换机1：记录、广播交换机2：记录、广播

最短距离问题

第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。

三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。

例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC 最小值。

【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。

〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C 两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB 与对称轴的交点M即为所求。

六年级第三讲

、第三讲行程问题综合一、例题精讲例1、兄弟两人骑自行车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行5千米，后一半路每小行7千米，哥哥按时间分段行驶，前31 时间每小时行4千米，中间31时间每小时行6千米，后31时间每小时行8千米。

结果哥哥比弟弟早到20分。

求甲、乙再地的路程。

例2、A 、B 、C 三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车后1小时A 车出了事故，B 和C 两车照常前进，A 车停了半小时后以原速度的54继续前进。

B 、C 两车行至距离甲市200千米处B 车出了事故，C 车照常前进，B 车停了半小时后以原速度的54继续前进，结果到达乙市的时间C 车比B 车早1小时，B 车比A 车早1小时，求甲、乙两市的距离。

例3、如图所示，A 、B 、C 、D 四个游东景点，在连接它们的三段等长的公路AB 、BC 、CD 上，汽车行驶的最高时速限制分别是12千米、40千米和6千米。

一辆大马客车从A 景点出发驶向D 景点，到达D 点后立刻返回；一辆中巴同时从D 景点出发，驶向B 点，两车相遇在C 景点，而当中巴达到B 点时，大巴又回到C 点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前搞了12.5%，求大巴客车的最高时速。

例4、如图所示，用甲、乙两滑轮匀速向上提升重物，物重都是600 N ，不计动滑轮重及摩擦，绳子的拉力F 甲为 N ；F 乙为 N ．若将重物提高1 m ，则甲滑轮绳子的自由端移动的距离为 m ；乙滑轮绳子的自由端移动的距离为 m ．例5、如图1所示，长方形ABCD 中AB ：BC=5：4。

位于A 点的第一只蚂蚁按A →B →C →D →A 的方向，位于C 点的第二只蚂蚁按C →B →A →D →C 的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行，如果两只蚂蚁等一次在B 点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在边上。

第三讲：晨昏线专题

C
（2）确定地方时
0
12时—昼半球中央经线；
0时 —夜半球中央经线；
6
12
6时 —赤道与晨线相交点；
18时—昏线与赤道相交点；
纬线与晨昏线相切的切点所在经线的地方时为0 时或12时
1、如图1所示，北京时间为： B
A．12月22 日 12时 B．12月22 日 24时
C．3月21日6时
D．6月12日0时
5.下图中弧ACB是晨昏线，C地点位于格陵兰岛上。据图回答：
⑴飞机从A地点飞往B地点，最近的航线是（ c ）
A.从A地点出发沿纬线向东飞到B点 B.从A地点出发沿弧ADB飞到B地点 C.从A地点出发沿弧ACB飞到B地点 D.从A地点出发沿经线向北经北极点，再沿经线向南飞到
B地点
⑵若图中A地点正当日出，此时刻北京时间是（ B ）

4、晨昏线在解答地球运动问题中的应用：
（1）确定自转方向（2）确定东西经度（3）确定地方时（4）确定日期和季节（5）确定直射点位置（6）确定昼夜长短（7）确定日出日落时间（8）确定极昼极夜范围
（1）确定自转方向
A B
如果AB弧为晨线，图示半球为
如果AB弧为昏线，图示半球又为
2．此时，全球与A点属于同一天的地区所占的面积： D
A．等于1／2 B．等于1／3
C．小于1／2 D．大于3／4
3．图① ② 两点
C
A．地方时相同 B．昼夜长短相同
C. 太阳高度相同 D．气候类型相同
（3）确定东西经度
下图是冬至日北京时间14时的部分日照图，读图完成 (1)～(2)题。
(1)EF曲线表示 ( B ) A．晨线 B．昏线 C．0°经线 D．日界线

各顶点间的最短距离

各顶点间的最短距离
要计算各顶点间的最短距离，可以采用以下步骤：
1. 对于一个多边形中的每条边，计算它到另一个多边形的每个顶点的距离，找到距离最短的顶点，并记录距离和对应的多边形顶点。

2. 对于另一个多边形，按照同样的方法计算它到第一个多边形的每个顶点的距离，并记录距离和对应的多边形顶点。

3. 比较两个多边形中距离最短的顶点对应的距离，取其中距离最小的作为两个多边形之间的最短距离。

通过以上方法，可以计算出任意两个顶点之间的最短距离。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的算法和数据结构来优化计算效率和精度。

三年级下册数学讲义-竞赛专题：第三讲-间隔问题(含答案解析)人教版

知识概述植树问题：植树问题关键在于段数与棵树的相互转换。

段数=总距离÷棵距一、不封闭路线：（1）在一段距离中,两端都植树, 棵数=段数+1;（2）在一段距离中,两端都不植树, 棵数=段数-1;（3）在一段距离中,一端不植树, 棵数=段数.二、封闭路线：如环湖栽树、游泳池等在封闭曲线上植树,棵数=段数=周长÷棵距爬楼问题：爬楼层数=楼的层数-1（第一层楼不用爬）锯木头问题：锯木头的段数=锯的次数+1 （锯第一次得两段）间隔问题主要包括植物问题、锯木头问题、爬楼问题、敲钟问题等，是一类有多种实际背景的问题，问题的关键是一条线（封闭与不封闭）上分点数与点与点之间的间隔之间的关系，有时还涉及到总长度，间隔数及一个间隔的长度的计算。

植树问题是典型的间隔问题，掌握了植物问题其它类型也就迎刃而解了。

名师点题间隔问题植树节那天，三年级的小朋友打算在30米长的路一边栽树，从一端起，每隔5米栽一棵，(1)两端都要栽。

小鸥说：“一共要栽6棵。

”小雅说：“一共要栽7棵。

”谁说得对呢？(2)如果两端都不栽树，一共要栽几棵？(3)如果一端栽树，另一端不栽树，一共要栽几棵？【解析】每隔5米栽一棵，那也就是说，30米里有几个5米就是栽了几棵树，所以用3056÷=（棵）。

看起来，小鸥的想法是对的，但是不符合实际。

我们画一条直线段表示30米长的路，然后在线段上按照要求画上小树苗，如图所示。

5米5米5米5米5米5米可以看到一共栽了7棵树。

那也就是说，用305÷求到的是有几个间隔，也就是这条路被分成几段，但是因为两端都栽了树，所以棵数应该比间隔数多1。

（1）11=+=÷+棵数段数总距离棵距=30517÷+=（棵）。

因此小雅说得对，一共要栽树7棵。

（2）两端都不栽树，段数-1=6-1=5棵（3）一端栽一端不栽，棵树=段数=6棵600米长的马路一侧装了一排路灯，起点和终点都装了，一共16盏，相邻两盏之间的距离相等，求相邻两盏路灯之间相距多少米？【解析】在马路的一侧装了16盏路灯，16盏路灯减去起点处的一盏，就有16115-=个间距。

人教版数学3年级上册第三讲测量一课一练(含答案解析)

第三讲---测量知识点：（1）1厘米=10毫米，1分米=10厘米=100毫米1米=10分米=100厘米，1千米=1000米（2）1千克=1000克， 1吨=1000千克一、填空题.1、2吨－600千克=（）千克 300千克+700千克=（）吨3厘米－10毫米=（）毫米 12分米+18分米=（）米2米－5分米=（）分米 1分米－50毫米=（）厘米9千米－6千米=（）米 2000米+8000米=（）千米2、比大小.3、－－300kg4、将7厘米、50分米、4米、2千米、60毫米从小到大排列.5、将450千克、5吨、7000千克、5000克、540千克从大到小排列二、操作题.1、画一条比1分米短30毫米的线段.三、解决问题.1、一座限重35吨的桥，一辆大货车，车身重18吨，车上装有4台机器，每台机器中3000千克，这辆大货车能安全通过吗?2、一根彩带，对折一次后再对折一次，再沿折痕剪断，量的每段长5分米，原来这根彩带长多长米?3、一次长跑比赛，从起点开始设服务站，以后每隔500米设一个服务站.当小明跑到第5个服务站时，他跑了多少千米?4、把一根木料.锯成5段要12分钟，如果要把这根木料锯成7段，需要多长时间?5、同学们去距离学校300千米的甲市旅游，大巴车每小时行70千米，他们早上7:00出发，上午11:00能到达吗?6、一辆装满货物的车，车和货共重28吨，卸掉一半的货物后，车和货物还重18吨.车上原来货物共重多少吨?车重多少吨?7、22人去划船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，怎样租船能恰好坐满?参考答案第三讲---测量知识点：（1）1厘米=10毫米，1分米=10厘米=100毫米1米=10分米=100厘米，1千米=1000米（2）1千克=1000克， 1吨=1000千克一、填空题.1、2吨－600千克=（1400 ）千克 300千克+700千克=（1 ）吨3厘米－10毫米=（ 20）毫米 12分米+18分米=（3）米2米－5分米=（15）分米 1分米－50毫米=（5）厘米9千米－6千米=（3000 ）米 2000米+8000米=（10）千米2千米+8千米=10千米6、比大小.7、将7厘米、50分米、4米、2千米、60毫米从小到大排列.60毫米<7厘米<4米<50分米<2千米8、将450千克、5吨、7000千克、5000克、540千克从大到小排列7000千克>5吨>540千克>450千克>5000克二、操作题.2、画一条比1分米短30毫米的线段.分析： 1分米=10厘米 30毫米=3厘米 10厘米-3厘米=7厘米画图：略三、解决问题.5、一座限重35吨的桥，一辆大货车，车身重18吨，车上装有4台机器，每台机器中3000千克，这辆大货车能安全通过吗?（注意统一单位） 3000千克=3吨 18+4×3=30（吨） 30 < 35 安全6、一根彩带，对折一次后再对折一次，再沿折痕剪断，量的每段长5分米，原来这根彩带长多长米?分析：对折再对折，彩带被平均折成了4段（可自己动手做实验）5×4=20（分米） 20分米=2米7、一次长跑比赛，从起点开始设服务站，以后每隔500米设一个服务站.当小明跑到第5个服务站时，他跑了多少千米?分析：起点开始设服务站.跑到第5个服务站时，只有5－1=4（个）间隔 500×4=2000（米） 2000米=2千米4、把一根木料.锯成5段要12分钟，如果要把这根木料锯成7段，需要多长时间? 分析：锯成5段实际只要锯：5－1=4（次）每锯一次时长： 12÷4=3（分）锯成7段要锯： 7－1=6（次）时长： 3×6=18（分）5、同学们去距离学校300千米的甲市旅游，大巴车每小时行70千米，他们早上7:00出发，上午11:00能到达吗?分析：大巴车行驶时长为：11时－7时=4小时4×70=280（千米） 280<300 不能6、一辆装满货物的车，车和货共重28吨，卸掉一半的货物后，车和货物还重18吨.车上原来货物共重多少吨?车重多少吨?分析：卸货前车和货共重28吨，卸掉一半的货物后，车和货物重18吨.说明卸掉的一半的货重：28－18=10（吨）所以货物总重： 10×2=20（吨）车：28－20=8（吨）7、22人去划船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，怎样租船能恰好坐满? 分析：列表法按方案②、④租船恰好坐满.。

第三讲正方形的性质与判定

第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。

勾股定理专题讲解

第一讲如何应用勾股定理构建方程解决问题一、为什么要构建方程?例1、如图，在RT△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=3，求AC的长。

通过分析得知，在RT△ABC中，BC=3，而其它两边AC、AB都是未知此时无法用勾股定理求出AC的长，因此必须构建方程求解。

二、如何构建方程完成题设，并用代数式表示所有直角三角形的三条边，根据勾股定理列方程。

（接例1）解：设AC为x.∵∠C=900，∠B=300∴AB=2X,由勾股定理得2x2-x2=32解之得x=√3 即AC=√3变式与对比：例1、如图，在RT△ABC中，∠C=900，∠B=300，AC=3，求BC的长。

通过分析得知，在RT△ABC中，AC=3，虽然其它两边BC、AB都是未知，但由∠B=300易知AB=6，因此可直接由勾股定理求解。

解：∵∠C=900，∠B=300∴AB=2AC=6,由勾股定理得BC=√62-32 =3√3试一试:1、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，求此时顶部距底部。

CB A D EF2、如图，已知一根长10m 的竹杆在C 处断裂，竹杆顶部抵着地面B 处，且AB=8，求断裂处到底部的距离。

两种方法在解题中的综合运用：1、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•走近中考：如图18-73所示,将长方形ABCD 沿直线BD 折叠,使点C 落在点C ′处,BC ′交AC 于E,AD=8,AB=4,①求BE 的长；②求△BED 的面积.第二讲如何构造直角三角形利用勾股定理来求解例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，求CD 的长。

分析：因为AC 为已知、CD 是问题，所以分别以CD 、AC 为边构造直角三角形，即连接AD 。

中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案试卷分析解析

苏州中考数学专题辅导第三讲几何证明与计算题选讲真题再现：1．（苏州•本题6分)如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO=DO．2．(苏州•本题8分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．(1)梯形ABCD的面积等于；(2)当PQ//AB时，P点离开D点的时间等于秒；(3)当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间?3．（江苏•本题满分10分）如图，在梯形中，E、F两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．4．（江苏•本题满分10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．ABCD AD BC AB DE AF DC∥，∥，∥，BC AEFDAD BCAB DC=ABCD()ABC AB AC>AEF△AEF△ABCDD'α∠A DCFEBACDB图①ACDB图②FE5．(苏州•本题6分) 如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分 ∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数．6．(苏州•本题8分) 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点)，过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x ． (1)在△ABC 中，AB= ；(2)当x= 时，矩形PMCN 的周长是14；(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．7．（苏州•本题6分）如图，已知四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠A ＝90°，BC ＝BD ，CE ⊥BD ，垂足为E ．(1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠DBC ＝50°，求∠DCE 的度数． 8．（苏州•本题8分）如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1：，点P 、H 、B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ． (1)山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 ▲ 度；(2)求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．33E D C F B A 图③ E D C A B F GA D E CB F G图④ 图⑤9． (苏州•本题6分) 如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝CD ，延长线段CB 到E ，使BE ＝AD ，连接AE 、AC ．(1)求证：△ABE ≌CDA ；(2)若∠DAC ＝40°，求∠EAC 的度数．10．(苏州•本题8分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC )为30°，BC ⊥AC ．现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1. 732)．(1)若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF ）不大于45°，则平台DE 的长最多为米； (2)—座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG ＝27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM ）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG 丄CG,问建筑物GH 高为多少米？11．（7分）（•苏州）如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）12．（8分）（•苏州）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．(1)求证：△APB ≌△APD ；(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x ＝6时，求线段FG 的长．13．（6分）（•苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ．连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． (1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ．求∠BDC 的度数．14．（8分）（•苏州）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求、的长度之和（结果保留）． 15．（苏州•8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．(1)证明：四边形ACDE 是平行四边形； (2)若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．16. （苏州•本题8分）如图，，，点在边上，，和相交于点．（1）求证：≌；DE DFπ∠A =∠B AE =BE D C A 12∠=∠AE D B O C ∆AE D ∆BE （第14题）FEDCBA（2）若，求的度数．模拟训练： 1．(常熟市•本题满分8分) 如图，在Rt 中，，斜边的垂直平分线分别交、于点、，过点作，交于点. (1)求证:四边形是菱形;(2)若，求菱形的周长。