北师大版数学选修1-1教案：第3章-变化的快慢与变化率-参考教案【2】

3.1 变化的快慢与变化率

1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念及其几何意义有着重要作用.

是导数概

念产生的基础.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与内涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响.

2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解.

3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.

4、教学关键：将学生头脑中的感性认知,通过多个事例,在不同的情境下,进行相同的计算程序.由此学生类比建构出变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法,特别是数形结合的数学能力和以直代曲的转化能力.

[教学目标]

基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：

（1）知识与技能目标:

通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.

（2）过程与方法目标:

体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.

（3）情感态度与价值观:

经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值.

[教学过程]

⒈情境创设，激发热情 导言:

1.讲解青蛙扔过一锅热水和放进一锅冷水后然后再慢慢加热得到两个不同结果.与学生一起分析实验告诉我们:变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人感叹和惊呀!

2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变化率计算程序) ⒉过程感知，意义建构 实例分析1

银杏树1500米，树龄1000年，雨后春笋两天后长高15厘米. 实便分析2

物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.

实便分析3

这是我市今年3月18日至4月20日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图

（以3月18日为第一天,曲线图）． ⒊归纳概括，建立概念

1.如果将上述气温曲线看成是函数)(x f y =的图像，则函数)(x f y =在区间［1,34］上的平均变化率是多少？

2.)(x f 在区间],1[1x 上的平均变化率为多

(d )

o

少？

3.)(x f 在区间]34,[2x 上的平均变化率为多少？

4.你能否归纳出“函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率”的一般性定义吗？ 平均变化率的定义：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为

1

212)

()(x x x f x f --

通常把自变量的变化12x x -称作自变量的改变量，记作x ∆，函数值的变化

)()(12x f x f -称作函数值的改变量，记作y ∆．这样，函数的平均变化率就可以表

示为：函数值的改变量与自变量的改变量之比，即1

212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 它的几何意义是曲线上经过Ａ、Ｂ两点的直线的斜率．我们用直线的斜率来刻画直线的倾斜程度，同样，我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭”程度，具体地说：曲线越“陡峭”，说明变量变化越快；曲线越“平缓”，说明变量变化越慢． ⒋例题讲解，尝试应用

1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

该婴儿体重的平均变化率的实际意义？

2.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？

这里出现了“负号”，你怎样理解“—”号？它表示体温下降了，绝对值越大，下降得越快，所以，体温从20min 到30min 这段时间下降得比从0min 到20min 这段时间要快.

5.变式练习，巩固提炼

1.若函数f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率函数f (x )在这两个区间上的平均变化率都是

2.

2.变式一：求f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[m,n ](m

还是2，丨

3.变式二：求f(x)=kx+b,试求函数f(x)在区间[m,n](m

一般地，一次函数f(x)=kx+b（k0

≠）在任意区间[m,n](m

4.变式三：求2

f=在区间[-1，1]上的平均变化率. 是0.

x

(x

)

提出问题:变化率为0是不是说明没有变化呢?

5.变式四：求2

x

f=在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]，[1，1.001]上

(x

)

的

平均变化率：函数)

f在这5个区间上的平均变化率分别是4、3、2.1、2.01、2.001.

(x

从上面计算的结果，你发现了什么？当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.

6.回顾反思，设问结课

1.平均变化率的定义

2.平均变化率的几何意义

3.如果闭区间固定左端点，让右端点逐渐接近左端点，平均变化率有什么变化？这个变化有什么重大意义？