结构力学 薄壁工程梁理论
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飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
Mz
z
My
o
Nz
Qy
Qx
Mx
x
剖面应力（分布形式的内力）： —正应力
—切应力
正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合 力的关系而定。 准确地讲，M x , M y , M z , Qx , Qy , Nz 是剖面分布内力的合力。
6.2 自由弯曲时正应力的计算
6.2.1 公式推导 剖面上6个内力合力 中，M z 、Q x 、Q y 不引起 弯曲正应力。 正应力 壁上一点（x , y）处：M
2 J xy J xy J xy 1 1 式中，M y M y M x ； M x M x M y ； k 1 k Jx k Jy JxJ y
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
y
y0
y
y
x
o
x
J xy Ai xi yi
2 J xy Jx J y
o
x0
x
6.3 自由弯曲时开剖面切应力的计算
图示开剖面薄壁梁，欲求一 截面上点b处的剪流q，q t 。 假设x、y轴为形心主轴， b点所在剖面仅受弯矩Mx和剪 力Q y 作用，其余内力为零。 则该剖面上正应力的公式为：
4
(2R t 2Rt )(t 2Rt )
2 2 2
4
2R2 2Rt R3t
计算静矩分布：
S x ( ) ytds
0 s
( R cos )tRd R 2t sin
0
1 (2b)t 3 12
求静矩分布： 1-2段：
1 ytds hts1 0 2 s2 1 32 Sx ytds hts2 0 2 S12 x
s1
y
1 2
Qy
3
3-2段：
2-7段：
s1
s3
O
s2
2 S x 7
h s htb ts3 3 2 2
使得所有结构元件具有 相同的弹性模量，而剖 面的几何形状不变。 引入减缩因数
E1 , t1
y
E2 , t 2
E3 , t 3
梁腹板
x
E4 , t 4
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
i
Ei E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
然后通过 i i i 换算成真实的正应力。
源自文库
6.2.3 具有集中面积的薄壁结构正应力计算 薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的 剖面很小，可以近似地看成集中面积。
薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限， 而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。
有时可以让蒙皮承受剪切，而将其承受正应力的能力折 算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集 中面积。
t
杆-板模型
承受正应力的桁 条与承受切应力的蒙 皮之间的传力关系
dz z
q2 q1
计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积 可以承受正应力。
确定剖面几何性质时：
Ai xi x0 Ai J x Ai yi2
tan 2
Ai yi , y0 Ai J y Ai xi2
6.1.2 剖面坐标系及符号规定
（1）坐标系 x轴和y轴在剖面 内，z轴平行于母线 （展向），x、y、z构 成右手坐标系。 通常坐标原点位 于剖面上全部能够承 受正应力的面积的形 心上。
y
x
z
（2）剖面内力
M x , M y , M z , Qx , Qy , Nz
y
矢量正方向与坐标轴正向 一致。
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
a
My Jy Mx b Jx N c z A0
aJ y M y
cA0 N z
ax by c
My Jy
x
Mx N y z Jx A0
当x，y轴是任意形心轴的情况，J xy 0
正应力的计算公式为:
My Jy x Mx N y z Jx A0
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
aJ xy bJ x cSx M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bSx cA0 N z
注意：积分 A 是对所有承受正应力的面积进行的。 若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩 S x S y 0
q
y
Qy
h
O
x
t
Jx
Sx
b
计算惯性矩：
2
1 2 bt 3 12
y
1 2
1 3 th2 h h J x 2(bt ) th b 2 6 2 12
s1
s2
3
Qy
x
求静矩分布： S x 0 ytds 1-2段：
S12 x
s1 0
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
将正应力平面分布的表达式
z E z E (ax by c) ax by c
s
h
O
1 ytds hts1 2
t
5 4
1 htb 2
b
2-3段：
1 1 htb th2 2 8
s2 1 h s 2 S x 3 ytds htb ts2 2 0 2 2 2
Sx
1 htb 2
剖面下半部分静矩与上半部分对称。
计算剖面剪流：
q Qy Jx Sx
J 若x, y是剖面的形心主轴，则 J x ， y 称为主形心惯性矩，且
J xy xytds 0
A
所以：
aJ xy bJ x cSx M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bSx cA0 N z
bJ x M x
Sx
Sx
1 bth th2 8
q
b h/8 Qy h(b h / 12)
静矩有继承性，因此剪流有连 续性，流向某点的剪流总和与流出 该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静 矩突变，剪流连续性不存在。
例6-4 求圆形开剖面结构在剪力Qy作用 下的剪流。设壁厚为t。 解：x、y轴是形心主轴 计算惯性矩： x R3t J 有两种办法计算惯性矩：
代入平衡方程
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
式中，A tds A0 —剖面面积；A ytds S x
bth
h
7
x
1 bth 2
t
4
t
5 6
2b
Sx
1 bth th2 8
剖面下半部分静矩与上半部分 对称。 静矩有继承性。
计算剖面剪流：
q Qy Jx
bQy 2h(b h / 12) bQy h(b h / 12)
1 bth 2
bth
Sx
Qy h th2 b 12
Mx y Jx
z
a
y
x
b
c
d
a
N
b d
N N dz z
取微面积abcd，ad边无剪流，b点 处剖面剪流为q，则bc边的剪流为q。
c
qdz
由平衡条件 Fz 0 ，知
N N dz N q dz 0 z
a
N
q
N z
b d
N N dz z
q
c
而N为ab段上的轴力：
例6-3 求工字梁剖面在剪力Q y 作用 下的剪流。剖面周边的厚度均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心主轴。
q Qy Jx Sx
h
2
y
Qy
计算惯性矩：
1 h h J x 2 (2bt ) th3 th2 (b ) 12 2 12
O
x
t
2b
t
省略一项： 2 求静矩分布：
1 htb 2
1 1 htb th2 2 8
b Qy h(b h / 6)
Qy th 2
2
h b 6
Sx
bh 4 Qy h(b h / 6)
q
Sx
1 htb 2
剪流方向根据其与剪力的 关系确定。 平衡观点
合力观点
合力的观点较合理。
以后的讨论均按合力的观点（和书上不同）。
A xtds S y —静矩
A
y 2tds J x
x 2tds J y —惯性矩 A
A xytds J xy —惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。
N zi i Ai i Ai 则 Ai i Ai
A 也就是说，只需要把元件的面积作减缩， i i Ai ，这时对 应的正应力就是 i ，仍可按下式计算应力
i
My Jy x Mx N y z Jx A0
主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。
n 0
t
自由表面
剪流的概念：
n
q
q 剪流 q t ， q(s)
剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。
（3）应变平面分布
z ax by c
a , b , c —待定常数
则正应力： z E z E (ax by c) ax by c 弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和 自由扭转。 当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附 加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理 论不适用于翼根或梁的固定端。
J x y dA 4
2 A
y
ds
R
d
o
t
x
Qy
2
0
( R cos ) tds 4
2
2
0
( R cos )2 tRd
3 2 2tR (1 cos 2 )d 0
2tR3
2
R3t
1 4 1 J x ( R t ) R4 [( R t )2 R2 ][( R t )2 R2 ] 4 4 4
N 0 tds 0
s sMx
Jx
y tds
1 M x s N s M x q 0 ytds 0 ytds z z J x J x z
M x 由材料力学知识知， z Q y
0 ytds
s
表示从自由边到所求应力点处，受正应力的面积对 形心主轴x的静矩，用Sx表示，即
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
Mz
z
My
o
Nz
Qy
Qx
Mx
x
剖面应力（分布形式的内力）： —正应力
—切应力
正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合 力的关系而定。 准确地讲，M x , M y , M z , Qx , Qy , Nz 是剖面分布内力的合力。
6.2 自由弯曲时正应力的计算
6.2.1 公式推导 剖面上6个内力合力 中，M z 、Q x 、Q y 不引起 弯曲正应力。 正应力 壁上一点（x , y）处：M
2 J xy J xy J xy 1 1 式中，M y M y M x ； M x M x M y ； k 1 k Jx k Jy JxJ y
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
y
y0
y
y
x
o
x
J xy Ai xi yi
2 J xy Jx J y
o
x0
x
6.3 自由弯曲时开剖面切应力的计算
图示开剖面薄壁梁，欲求一 截面上点b处的剪流q，q t 。 假设x、y轴为形心主轴， b点所在剖面仅受弯矩Mx和剪 力Q y 作用，其余内力为零。 则该剖面上正应力的公式为：
4
(2R t 2Rt )(t 2Rt )
2 2 2
4
2R2 2Rt R3t
计算静矩分布：
S x ( ) ytds
0 s
( R cos )tRd R 2t sin
0
1 (2b)t 3 12
求静矩分布： 1-2段：
1 ytds hts1 0 2 s2 1 32 Sx ytds hts2 0 2 S12 x
s1
y
1 2
Qy
3
3-2段：
2-7段：
s1
s3
O
s2
2 S x 7
h s htb ts3 3 2 2
使得所有结构元件具有 相同的弹性模量，而剖 面的几何形状不变。 引入减缩因数
E1 , t1
y
E2 , t 2
E3 , t 3
梁腹板
x
E4 , t 4
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
i
Ei E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
然后通过 i i i 换算成真实的正应力。
源自文库
6.2.3 具有集中面积的薄壁结构正应力计算 薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的 剖面很小，可以近似地看成集中面积。
薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限， 而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。
有时可以让蒙皮承受剪切，而将其承受正应力的能力折 算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集 中面积。
t
杆-板模型
承受正应力的桁 条与承受切应力的蒙 皮之间的传力关系
dz z
q2 q1
计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积 可以承受正应力。
确定剖面几何性质时：
Ai xi x0 Ai J x Ai yi2
tan 2
Ai yi , y0 Ai J y Ai xi2
6.1.2 剖面坐标系及符号规定
（1）坐标系 x轴和y轴在剖面 内，z轴平行于母线 （展向），x、y、z构 成右手坐标系。 通常坐标原点位 于剖面上全部能够承 受正应力的面积的形 心上。
y
x
z
（2）剖面内力
M x , M y , M z , Qx , Qy , Nz
y
矢量正方向与坐标轴正向 一致。
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
a
My Jy Mx b Jx N c z A0
aJ y M y
cA0 N z
ax by c
My Jy
x
Mx N y z Jx A0
当x，y轴是任意形心轴的情况，J xy 0
正应力的计算公式为:
My Jy x Mx N y z Jx A0
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
aJ xy bJ x cSx M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bSx cA0 N z
注意：积分 A 是对所有承受正应力的面积进行的。 若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩 S x S y 0
q
y
Qy
h
O
x
t
Jx
Sx
b
计算惯性矩：
2
1 2 bt 3 12
y
1 2
1 3 th2 h h J x 2(bt ) th b 2 6 2 12
s1
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3
Qy
x
求静矩分布： S x 0 ytds 1-2段：
S12 x
s1 0
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
将正应力平面分布的表达式
z E z E (ax by c) ax by c
s
h
O
1 ytds hts1 2
t
5 4
1 htb 2
b
2-3段：
1 1 htb th2 2 8
s2 1 h s 2 S x 3 ytds htb ts2 2 0 2 2 2
Sx
1 htb 2
剖面下半部分静矩与上半部分对称。
计算剖面剪流：
q Qy Jx Sx
J 若x, y是剖面的形心主轴，则 J x ， y 称为主形心惯性矩，且
J xy xytds 0
A
所以：
aJ xy bJ x cSx M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bSx cA0 N z
bJ x M x
Sx
Sx
1 bth th2 8
q
b h/8 Qy h(b h / 12)
静矩有继承性，因此剪流有连 续性，流向某点的剪流总和与流出 该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静 矩突变，剪流连续性不存在。
例6-4 求圆形开剖面结构在剪力Qy作用 下的剪流。设壁厚为t。 解：x、y轴是形心主轴 计算惯性矩： x R3t J 有两种办法计算惯性矩：
代入平衡方程
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
式中，A tds A0 —剖面面积；A ytds S x
bth
h
7
x
1 bth 2
t
4
t
5 6
2b
Sx
1 bth th2 8
剖面下半部分静矩与上半部分 对称。 静矩有继承性。
计算剖面剪流：
q Qy Jx
bQy 2h(b h / 12) bQy h(b h / 12)
1 bth 2
bth
Sx
Qy h th2 b 12
Mx y Jx
z
a
y
x
b
c
d
a
N
b d
N N dz z
取微面积abcd，ad边无剪流，b点 处剖面剪流为q，则bc边的剪流为q。
c
qdz
由平衡条件 Fz 0 ，知
N N dz N q dz 0 z
a
N
q
N z
b d
N N dz z
q
c
而N为ab段上的轴力：
例6-3 求工字梁剖面在剪力Q y 作用 下的剪流。剖面周边的厚度均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心主轴。
q Qy Jx Sx
h
2
y
Qy
计算惯性矩：
1 h h J x 2 (2bt ) th3 th2 (b ) 12 2 12
O
x
t
2b
t
省略一项： 2 求静矩分布：
1 htb 2
1 1 htb th2 2 8
b Qy h(b h / 6)
Qy th 2
2
h b 6
Sx
bh 4 Qy h(b h / 6)
q
Sx
1 htb 2
剪流方向根据其与剪力的 关系确定。 平衡观点
合力观点
合力的观点较合理。
以后的讨论均按合力的观点（和书上不同）。
A xtds S y —静矩
A
y 2tds J x
x 2tds J y —惯性矩 A
A xytds J xy —惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x 2tds b xytds c xtds M y
（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。
N zi i Ai i Ai 则 Ai i Ai
A 也就是说，只需要把元件的面积作减缩， i i Ai ，这时对 应的正应力就是 i ，仍可按下式计算应力
i
My Jy x Mx N y z Jx A0
主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。
n 0
t
自由表面
剪流的概念：
n
q
q 剪流 q t ， q(s)
剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。
（3）应变平面分布
z ax by c
a , b , c —待定常数
则正应力： z E z E (ax by c) ax by c 弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和 自由扭转。 当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附 加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理 论不适用于翼根或梁的固定端。
J x y dA 4
2 A
y
ds
R
d
o
t
x
Qy
2
0
( R cos ) tds 4
2
2
0
( R cos )2 tRd
3 2 2tR (1 cos 2 )d 0
2tR3
2
R3t
1 4 1 J x ( R t ) R4 [( R t )2 R2 ][( R t )2 R2 ] 4 4 4
N 0 tds 0
s sMx
Jx
y tds
1 M x s N s M x q 0 ytds 0 ytds z z J x J x z
M x 由材料力学知识知， z Q y
0 ytds
s
表示从自由边到所求应力点处，受正应力的面积对 形心主轴x的静矩，用Sx表示，即