二维随机变量(ξ ,η)

)
2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
1
2
2
其中 1, 2,1, 2, 均为常数,且
1 0, 2 0, | | 1
则称（ ξ ,η）服从参数为 1, 2,1的, 2,
二维正态分布. 记作（ξ ,η）～N(
二维离散型随机 变量（ξ ,η）的联 合分布列
P(xi , y j)pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,


pij 1
ij
一维随机变量ξ 离散型
ξ 的概率分布
P( xk ) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
P(yi ) p• j pij , j 1,2,
i
例1
布.
求表中(ξ ,η)的分量ξ 和η的边际分
η ξ
0
1
0
7/15
7/30
1
7/30
1/15
p1

P{

x1}
2 j 1
p1 j
77 15 30
7 10
p2

P{

x2}
2 j 1
p2 j

71 30 15
求法
Fξ (x )=P{ξ≤x }=P{ξ≤x ,η<∞}=F(x ,∞) Fη(y)=P{η≤y}=P{ξ <∞,η≤y}=F(∞,y)
例: 设(ξ ,η)的联合分布函数为
1 ex e y ex yxy x 0, y 0
F(x, y)
0
其它
求关于ξ 和η的边际分布函数 (λ>0).
区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的 三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积 =0.5
∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8
2、 二维正态分布
若二维随机变量（ξ,η）具有概率密度
p(x,
y)

1
21 2
1
2
exp{
2(1
1

2
)
[(
x
1 1
即 yR1取定,当x 1<x 2时,
F(x 1, y)≤F(x 2, y).
同样, x R1取定,当y1 < y2时,
F(x , y1)≤F(x , y2).
2. x , y R1 有 0≤F(x , y)≤1
yR1, F(-∞,y)=0， xR1, F(x,-∞)=0， F(-∞,-∞)=0， F(∞,∞)=1
第三章
多维随机变量及其概率分布
§3.1 多维随机变量及其联合概率分布
第三章作业题
P158
1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40
有些随机现象用一个随机变量来描述不够， 例如
1、 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐
标)来确定的.
2、 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个 坐标）来确定的等等.

p (x)
p(x, y)dy

( ξF,(ηy))关 F于(η,的y) 边 际y 密度p(u函,v)数du为dv

p ( y)
p(x, y)dx

例 设随机变量ξ 和η具有联合概率密度
6 x2 y x
p(x, y)
见右图.
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(ξ,η)落在矩形区域:
x 1<ξ ≤x 2, y1<η≤y2 内的概率
P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2} =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)
二维分布函数F(x ,y)的四条基本性质 1. F(x ,y)是单变量x ,y的非减函数.
0
其它
求边际概率密度 p (x), p ( y)
课堂练习 设二维随机变量 (ξ, η) 的密度函数为
e y , 0 x y p(x, y)
0, else
求：1、边缘密度函数 p (x), p ( y)
2、计算概率P{ξ+η≤1}.
例、设(ξ ,η)的联合密度函数为
p(x, y)
称为二维随机变量（ξ ,η）的联合分布函 数。
二维随机变量（ξ,η） 一维随机变量ξ
ξ 和η的联合分布函数
F(x, y) P( x, y)
x, y
ξ 的分布函数
F(x) P( x)
x
如果把(ξ,η)看成 平面上随机点的坐标.
取定x,y R1， F(x,y)就是点(ξ,η) 落在平面上的以(x,y) 为顶点而位于该点左 下方的无限矩形区域 内的概率.
而把F(x,y)称为ξ 和η的 联合分布函数.
注意
ξ和η的边际分布函数,本质上就是一维 随机变量ξ和η的分布函数.之所以称其为边 际分布是相对于(ξ,η)的联合分布而言的.
同样地,联合分布函数F(ξ,η)就是二维 随机变量(ξ,η)的分布函数,之所以称其为联 合分布是相对于其分量ξ 或η的分布而言的.
1
,

2
,

2 1
,

2
2
,)

1、n维随机变量或n为随机变量：
E是一个随机试验，它的样本空间是Ω={e},设
X1 X1(e), X 2 X 2 (e), X n X n (e)
是定义在Ω上的随机变量，由它们构成一个n维
变量，叫做n维随机变量或n为随机变量
2、随机变量的分布函数或联合分布函数：
k
mi n
i 1
2、多项分布-二项分布的推广
设每次试验共有k种不同的可能结果 k
A1
,
A2
,
Ak
P( Ai ) pi , i 1,2 k, pi 1
i 1
将该实验独立地重复n次，用ξ 1,ξ 2,…ξ k表示
A1, A2 , Ak 发生的次数，则(ξ 1,ξ 2,…ξ k)服从多

pk 1
k
联合分布列也可以用表格表示.
η ξ
y1
y2

x1
p11
p12

x2
p21
P22

┇
┇
┇
xi
pi1
Pi2

┇
┇
┇
yj

p1j

p2j

┇
pij

┇
F (x, y) pij xi x y j y
二、常见多维分布
1、多维超几何分布
设某总体共有N个元素，其中有Ni个元 素具有特征Ai, 1≤i≤k,现从中随机取出n 个元素，求其中有mi个具有特征Ai的概 率 用ξi表示n个元素中具有特征Ai的个数
的联合分布列。 并计算P(ξ >η)
ξ
1
2
3
η
1
1/4
1/8 1/12
2
0
1/8 1/12
3
0
0
1/12
4
0
0
0
4
1/16 1/16 1/16 1/16
例 设有10件产品,其中7件正品,3件次品.
现从中任取两次,每次取一件产品,取后不放回. 令:
ξ =1： 若第一次取到的产品是次品. ξ =0： 若第一次取到的产品是正品. η=1： 若第二次取到的产品是次品. η=0： 若第二次取到的产品是正品.
yx
F (x, y)
p(u, v)dudv

则称(ξ ,η)为连续型随机变量,p(x ,y)为二维 随机变量的联合概率密度.
（ξ ,η）~ p(x, y)
p(x, y) 0

p(x, y)dxdy 1
P(( ,) G)
p(x, y)dxdy
若二维随机变量(ξ ,η)的联合密度函数为:
1
p( x,
y)


d
0
(x, y) D (x, y) D
则(ξ ,η)称 服从D上的均匀分布.
例 设(ξ,η)服从圆
域 x2+y2≤4上的均匀分 布.
计算P{(ξ,η)A}, 这里A是图中阴影部 分的区域
解: 圆域x2+y2≤4的面积d=4
求: 二维随机变量(ξ ,η)的联合分布列.
例、设ξ ~E(λ),令
1

0, 1,
1 1
2

0, 1,
2 2
求(η1,η2)的联合分布列
§3.3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数
一、二维联合概率密度函数
设二维随机变量(ξ ,η)的联合分布函数 为F(x,y).如果存在一个非负函数p(x ,y),使得 对任意实数x ,y,总有
2、 二维离散型随机变量的边际分布列
一般，对离散型 r.v ( ξ ,η )， ξ 和η 的联合分布列为
P(xi , y j)pij, i, j 1,2,
则(ξ ,η)关于ξ 的边际分布列为
P(xi ) pi• pij , i 1,2,
j
(ξ ,η)关于η 的边际分布列为
3 10
η ξ
0
1
pi.
0
7/15
7/30
7/10
把1这些数据补充7/30到前面表1上/15:
3/10
7/10
3/10
1
p.j
3、二维连续随机变量的边际密度函数