材料力学之应力与应变分析
应力应变关系及材料力学性能研究
应力应变关系及材料力学性能研究引言：应力应变关系是材料力学性能研究的基础，关乎着材料在外力作用下的变形与破坏。
本文将探讨应力应变关系的基本概念，并分析其对材料力学性能的影响。
一、应力与应变的定义：应力是指材料在外力作用下受到的内部力，为单位面积上的力。
常见的应力类型有拉应力、压应力、剪应力等。
应变是材料在受力作用下发生的变形程度，为单位长度上的变化量。
常见的应变类型有线性应变、剪应变等。
二、线弹性材料的应力应变关系：对于线弹性材料而言，应力应变关系可以通过胡克定律来描述。
胡克定律表明应力与应变之间呈线性关系，且比例系数为弹性模量。
应力=弹性模量 ×应变这意味着线弹性材料在弹性区内总是遵循胡克定律，即应力的增加与相应的应变呈线性关系。
三、非线性材料的应力应变关系：然而，并非所有材料都遵循胡克定律。
在超出线弹性范围的情况下，材料可能表现出非线性应力应变关系。
例如，在塑性变形时，材料产生塑性畸变，应力与应变之间的关系失去了线性性。
此时，材料的应力应变关系可由应力应变曲线来描述。
四、应力应变关系对材料强度和韧度的影响：应力应变关系直接决定了材料的力学性能，其中强度和韧度是两个重要的指标。
强度是指材料在外力作用下承受的最大应力，可以通过应力应变曲线中的极限强度来衡量。
强度高的材料能够承受更大的外力，具有较好的抗压能力。
韧度是指材料在断裂前能够吸收的能量，可以通过应力应变曲线下的面积来衡量。
韧度高的材料具有较好的抗拉伸能力和耐冲击性。
应力应变关系的形状和斜率都会对材料的强度和韧度产生影响。
通过调整材料的成分、结构和加工方式，可以改变应力应变关系，从而改善材料的力学性能。
五、应力应变关系的实验测定：测量材料的应力应变关系是材料力学性能研究的重要手段。
常见的实验方法包括拉伸试验、压缩试验和剪切试验等。
在实验中，使用应变计和力传感器等设备来测量应变和应力的变化。
通过绘制应力应变曲线，可以获取材料的弹性模量、屈服强度、极限强度、延伸率等参数。
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
材料力学应力与应变分析
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要 的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切 应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度 。
采用有限元分析方法，建立高 层建筑的三维模型，模拟不同 工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键 部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更 好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下 的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变 ，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的 应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以 导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量， 表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变 （με）和工程应变（%）。
材料力学中的应力与应变关系
材料力学中的应力与应变关系引言：材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，应力与应变是材料力学中最基础的概念之一。
应力与应变关系的研究对于材料的设计、工程应用以及材料力学理论的发展具有重要意义。
本文将从宏观和微观两个角度出发，探讨材料力学中的应力与应变关系。
一、宏观角度下的应力与应变关系宏观角度下的应力与应变关系是指在宏观尺度上，材料在外力作用下的力学响应。
我们可以通过引入应力和应变的概念来描述材料的力学行为。
1. 弹性应力与应变关系弹性应力与应变关系是指材料在弹性阶段内，应力与应变之间的关系。
弹性材料在受力后能够恢复到原始形状，且应力与应变呈线性关系。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
弹性模量是材料的一种力学性能参数，反映了材料对外力的抵抗能力。
2. 塑性应力与应变关系塑性应力与应变关系是指材料在超过弹性极限后，发生塑性变形时的应力与应变关系。
塑性材料在受力后会发生永久性变形，应力与应变之间不再呈线性关系。
根据真应力与真应变的定义，塑性应力与应变关系可以表示为：σ' = Kε'其中，σ'表示真应力，K表示材料的强度系数，ε'表示真应变。
强度系数是衡量材料塑性变形能力的指标。
3. 强化应力与应变关系强化应力与应变关系是指材料在受到强化处理后，应力与应变之间的关系。
强化处理是通过改变材料的晶体结构或添加外部组分来提高材料的力学性能。
强化应力与应变关系的表达式与具体的强化方式有关，可以通过试验或模型计算得到。
二、微观角度下的应力与应变关系微观角度下的应力与应变关系是指材料在微观尺度上，原子或分子之间的相互作用导致的力学响应。
我们可以通过分子动力学模拟或统计力学方法来研究材料的微观力学行为。
1. 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种通过求解牛顿运动方程来模拟材料微观力学行为的方法。
通过分子动力学模拟，我们可以得到材料的应力与应变关系，并研究材料的力学性能和变形机制。
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
了解材料力学中的应力分析方法
了解材料力学中的应力分析方法材料力学是研究材料行为及其力学特性的学科，应力分析方法是其中的重要内容之一。
在材料力学中，应力是描述物体内部受力情况的力学参数，而应力分析方法则是利用各种数学和物理手段来确定物体内部应力分布的过程。
本文将介绍几种常见的应力分析方法，并探讨其适用范围和基本原理。
1. 等效应力法等效应力法是最常用的应力分析方法之一，其基本原理是将复杂的三维应力状态简化为等效应力的一维问题。
等效应力通常使用了一些特定的理论假设，如弹性体材料的等效应力假设和受力高度假设。
通过计算等效应力，可以得出物体是否会发生破裂或变形的结论，从而指导工程实践。
2. 应力分量法应力分量法是应力分析的另一种常见方法，它将应力状态表示为各个坐标轴方向上的应力分量。
常见的应力分量包括正应力、切应力和主应力等。
通过计算和分析这些应力分量，可以更直观地理解和描述物体的内部应力状态，准确判断材料的强度和破坏机制。
3. 应变能法应变能法是一种基于能量原理的应力分析方法。
它假定物体的变形过程是一种能量的转化过程，通过计算和分析物体在外力作用下的应变能量和应力能量的变化情况，可以得出物体的内部应力分布。
应变能法在分析复杂的弹性和塑性变形问题时具有一定的优势，被广泛应用于材料力学和结构力学领域。
4. 有限元法有限元法是一种基于数值计算的应力分析方法，它通过将物体划分为无数个小区域，将连续的应力分析问题转化为离散的微分方程组。
通过求解这个方程组，可以得到物体各个小区域的应力状态，进而得出整体的应力分布情况。
有限元法具有计算精度高、适用范围广的优点，是现代材料力学研究中最常用的方法之一。
综上所述，材料力学中的应力分析方法有很多种，每种方法都有其独特的优点和适用范围。
在实际工程中，应根据具体情况选择合适的方法，结合实际问题进行应力分析，为材料设计和工程实践提供科学的依据。
通过深入了解和掌握应力分析方法，可以更好地解决材料力学中的问题，推动科学技术的进步和发展。
材料力学(单辉组)第八章应力应变状态分析
由
tan
2a0
2t x sx s
y
得
cos 2a0
sx sy
2
s
x
s
2
y
2
t
2 x
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos 2a
t x
sin 2a
最大和最小正应力(主应力)
s max s min
sx
sy
2
sx
s
2
y
2
t
2 x
应力状态：通过一点所有微截面上应力状况 应变状态：通过一点所有微截面上应变状况
6
如何描述复杂状态？ 微体法：---关注一点 一点的应力状态(静力学关系) 一点的应变状态(几何关系) 二者之间的联系(物理关系) 能量法: 应变能---关注整体
目的：解决复杂状态下的强度、刚度、稳定性
7
微体法
• 平面应力状态
T
T
s1 0，s2 0，s3 =0
• 空间应力状态
F
s1 0，s2 0，s3 0
11
EX1 画出矩形梁在滑动铰支座
右侧横截面内不同点的应力状态 F
y
1
1
Fs
2
2
z
M
3
3
4
5
4
s M z y t FSSA1( y)
Iz
Izb
5
12
EX2 画出螺旋桨轴杆表面一点的应力状态
由上式可得相差为900的两个a0值，在这两个相
互垂直的截面上，正应力取得最大值和最小值;
材料力学之应力与应变分析
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
②单元体各个面上的应力已知或可求； ③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
s A s=P/A
B t=Me/Wn
Байду номын сангаасa) 一对横截面，两对纵截面 P
⑥
ss"'
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
4.极值切应力：
应力与应变分析
①令：
，可求出两个相差90o 的
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力：
③
(极值切应力平面与主平面成45o)
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元
体；③极值切应力。
s" 40
txy
ssxtxxy
sα
a
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
得
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t =0，得：
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
应力和应变分析和强度
泊松比
总结词
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形之间关系的物理量。
详细描述
当材料受到外力作用时，会发生形变。泊松比是表示材料在受到外力作用时，横向变形与纵向变形之间的比例关 系。其值通常在-0.5到0.5之间，但不同材料的泊松比可能会有所不同。
屈服强度
总结词
屈服强度是描述材料在受到外力作用时开始发生屈服现象的应力极限。
应力和应变分析和强度
目录
• 应力分析 • 应变分析 • 强度分析 • 材料性能 • 应力和应变的关系 • 工程应用
01
应力分析
定义与概念
01
02
03
应力
物体受到外力作用时，单 位面积上的内力。
应变
物体在外力作用下发生的 形状和尺寸的改变。
应力分析
通过数学模型和实验手段， 研究物体在受力状态下的 应力分布、大小和方向的 过程。
应力分类
正弯曲应力
由于弯曲产生的应力。
扭曲应力
由于扭曲产生的应力。
应力计算方法
解析法
通过数学公式和物理定律，计算应力 的方法。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的应力，再组合得到 整体的应力分布。
实验法
通过实验手段测量物体的应力分布。
应变计算方法
有限元分析法
有限元分析是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个小的单元，对每个 单元进行受力分析和形变计算，再通过单元的集合来模拟整个物体的形变。这种 方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于工程领域。
实验测量法
通过在物体上粘贴应变片或使用激光干涉仪等设备来测量物体的形变，这种方法 可以直接获得物体的应变值，但需要专业的设备和操作技能。
应力和应变分析
应力和应变分析应力和应变分析是材料力学中非常重要的一项内容，它们研究材料在外力作用下的变形行为。
应力是表征材料单位面积内的力的大小，而应变则是描述材料单位长度内的变形程度。
应力和应变的分析可以帮助我们理解材料的强度和刚度，以及材料在不同条件下的变形和破坏机制。
本文将从应力和应变的定义、材料的本构关系和应变测量等方面进行探讨。
首先，应力的定义为单位面积内的力的大小，常用符号为σ，其计算公式为σ=F/A，其中F为施加力的大小，A为力作用的面积。
应力的单位通常为帕斯卡（Pa），1Pa等于1N/m^2、根据作用力的不同方向，应力又可以分为正应力和剪应力。
正应力是垂直于材料截面的力，剪应力则是在材料截面上平行于切平面的力。
其次，应变是材料受力后发生的形变程度，常用符号为ε，其计算公式为ε=ΔL/L0，其中ΔL为长度的增量，L0为力作用前的长度。
应变的单位为无量纲。
类似于应力，应变也有正应变和剪应变之分。
正应变是材料在力作用下产生的沿体积方向的变化，剪应变则是在截面上平行于剪切力方向的变化。
应力和应变之间的关系可以通过材料的本构关系来描述。
材料的本构关系是材料在应力与应变之间的函数关系，通常以应力-应变曲线的形式表示。
根据材料的性质不同，应力-应变曲线可以分为线性区、弹性区、屈服区、塑性区和断裂区。
在线性区内，应力和应变呈线性关系，材料具有良好的弹性行为。
在弹性区内，材料回复到原始形状，没有永久性变形。
当应力超过一定的值时，材料进入屈服区，出现塑性变形。
塑性区内，材料的应变增大，但没有太大的应力增加。
当材料无法再承受应力引起继续塑性变形时，出现断裂。
最后，应变的测量是应力和应变分析的重要一环。
常用的应变测量方法包括拉伸试验、剪切试验、压缩试验等。
拉伸试验是最常见的应变测量方法之一，通过施加拉力来测量材料在不同应力下的应变。
剪切试验则是通过施加剪切力来测量材料的剪切应变。
压缩试验则是将材料压缩后测量其压缩应变。
材料力学 应力与应变分析
sy
tyx
PART B 二向应力状态分析的解析法
1、截面上的应力 F n 0
dA
txy d A cos sin cos s dA s d A cos x 0 tyx d A sin cos syd A sin sin d A s d A cos sin t d A cos cos F 0 t x xy t
一点应力状态：指构件内任一点处所有不同方位截面上的应力情况。
研究应力状态的目的：确定危险截面危险点处不同方位截面上的应力变化规 律，确定在那个方向正应力最大，那个方向切应力最 大，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度 条件。 单元分析法：在所要研究点处取一微小的正六面体——单元体
单元体的应力状态就代表了该点处的应力状态。
FP l Mz 4
1
t2
1
s
x1
2
t2
s x2
3
t3
取单元体示例二
l
y
1
S 截面
S截面
FP
a
4
z
2
3
x
y
1
t1
s
Mz Wz
FQy
M W
x p
1
x1
4
2 3
Mz
x
3
Mx t3 Wp
Mz Wz
Mx 4
M t3 W
sx
3
x p
二向和三向应力状态的实例
Fp
D 2
4
D2
主平面：切应力为零的平面。 主应力：主平面上的正应力。
过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力
注：应力状态的分类，是根据主应力不等于零的个数来确定。
材料真实应力应变与工程应力应变
材料真实应力应变与工程应力应变材料的真实应力应变和工程应力应变是在材料力学中经常使用的两个概念。
真实应力应变是指在材料中根据原子层面的变形计算得到的应力和应变。
在真实应力应变中，考虑了实际变形和应力分布的影响。
材料中的原子在受到外力的作用下会发生位移和旋转，从而导致整个材料的形变。
由于材料的非均匀性，不同位置的应力和应变可能不同。
真实应力应变的计算需要考虑这种分布的差异性。
工程应力应变是指在工程设计中使用的应力和应变。
工程应力应变主要用于设计和分析工程结构的强度和稳定性。
在工程设计中，通常使用的是线性弹性理论，即假设材料的应力和应变是线性关系。
这种假设对于大多数工程设计来说是足够准确的，可以简化计算过程。
工程应力应变还经常用于材料的弯曲、拉伸、压缩等加载情况下的应力和应变计算。
真实应力应变和工程应力应变之间的关系可以通过应力应变曲线来表示。
应力应变曲线是材料在受力过程中应力和应变之间的图形表示。
在弹性阶段，真实应力应变和工程应力应变之间的差别较小，可以忽略不计。
随着应力的增加，材料会发生塑性变形，真实应力应变和工程应力应变之间的差别逐渐增大。
在材料力学中，真实应力应变的计算通常基于拉伸试验或压缩试验得到的应力应变数据。
在拉伸试验中，通过测量试样的变形和受力情况，可以计算出真实应力和真实应变。
然后，将真实应力和真实应变转化为工程应力和工程应变，得到工程应力应变曲线。
这样可以更好地理解材料在受力过程中的行为，并提供准确的设计参数。
总的来说，真实应力应变和工程应力应变是材料力学中重要的概念。
真实应力应变考虑了材料本身的性质和变形行为，而工程应力应变则是在工程设计中常用的近似值。
对于大多数工程设计来说，工程应力应变已经足够准确，可以简化计算过程。
但在一些特殊情况下，如高强度材料和复杂加载条件下的材料行为，真实应力应变的考虑是必要的。
工程力学材料力学之应力应变状态分析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
材料力学第七章知识点总结
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
材料力学应力应变部分
材料力学（应力应变部分）→规定载荷作用下，强度要求，就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。
刚度要求，就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。
→变形的基本假设：连续性假设，均匀性假设，各向同性假设。
→沿不同方向力学性能不同的材料，称为各向异性材料，如木材、胶合板和某些人工合成材料。
→ 分布力 表面力集中力（火车轮对钢轨压力，滚珠轴承对轴的反作用力） 体积力是连续分布于物体内各点的力，例如物体的自重和惯性力等。
→动载荷，静载荷→应力p 应分解为正应力σ ，切应力τ 。
→应力单位pa ，1pa=1N/m 2；常用Mpa ，1Mpa=106pa 。
第二章 拉伸、压缩与剪切2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力→习惯上，把拉伸的轴力规定为正，压缩时的轴力规定为负。
→用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
→F N =σA ；σ(x)=F N (x)/A(x)2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的内力和应力 α轴向拉伸（压缩）时，在杆件的横截面上，正应力为最大值；在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值。
最大切应力在数值上等于最大正应力的二分之一。
此外，α=90°时，σα=τα=0 ，这表示在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。
（应力，p=F/A ，45°斜截面上，力→√22，面积→√22。
） 2.7 安全因数许用应力和安全因数的数值，可以在有关部门的一些规范中查到。
目前一般机械制造中，在静载的情况下，对塑性材料可取n s =1.2～2.5。
脆性材料均匀性较差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取n b =2～3.5，甚至取到3～9。
2.8 轴向拉伸或压缩时的变形→胡克定律，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。
σ=Eε ，弹性模量E 的值随材料而不同。
∆l l=ε=σE =F AE ；∆l =FLAE即，对长度相同，受力相等的杆件，有EA 越大则变形Δｌ越小，所以称EA 为杆件的抗拉/压刚度。
材料力学——应力分析
,则α1
405(τx0) 405(τx0)
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MP，a txy 30MPa, y 40MP,a 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y t xy
x
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
t
ty(xdsAin)co sy(dsAin)sin0
y
Ft 0
td Atx(ydc Ao )sco sx(dc Ao )ssin ty(xdsAin)siny(dsAin)co s0
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
co2 s 1(1co2s)
2
sin 21(1co2s)
d d (x y)si2 n2 txc y o 2 s
设α＝α0 时，上式值为零，即
t (xy )s2 i0 n 2xc y 2 o 0 s 0
2 (x σ 2 σ y) si0n τ x 2 c yα o0s 2 2α α 0 τ 0
即α＝α0 时，切应力为零 目录
2
2 s ic n o s si2 n
并注意到 t yx t xy 化简得
t 1
1
2 (xy) 2 (xy)c2 o s xs y 2 in
t1 2(xy)si2 ntxy co 2s
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
t 1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs y 2 in
（2）主平面的位置
tg2α0
2τ xy σx σy
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
应力分析与应变分析
应力分析与应变分析概述应力分析和应变分析是材料力学与结构设计中重要的分析方法。
通过研究材料内部的应力和应变分布情况，可以评估材料的强度和稳定性，为结构设计提供依据。
本文将介绍应力分析和应变分析的基本概念、方法和应用领域。
应力分析应力的概念应力是材料内部的内力状态，是材料中单元体受到的单位面积上的力的大小。
常见的应力类型有正应力、剪切应力和法向应力。
正应力指的是垂直于面元的力，剪切应力指的是在面元平面上的切应力，法向应力是正应力的一种特殊情况。
应力分布材料内部的应力分布可以通过应力场来描述。
应力场是指空间中各点的应力分布情况。
常见的应力场模型包括均匀应力场、线性应力场和非线性应力场。
弹性力学弹性力学是研究材料受力后的变形和应力恢复的一门学科。
通过弹性力学理论，可以计算材料在受力后的应力分布和变形情况。
应力分析的应用应力分析在工程领域有广泛的应用。
例如，在结构设计中，可以通过应力分析来评估结构的强度和稳定性，确定合理的结构形式和尺寸。
此外，应力分析也用于材料疲劳寿命预测、断裂力学研究等领域。
应变分析应变的概念应变是材料内部形变程度的度量，是材料内部单位长度的变化量。
常见的应变类型有线性应变、剪切应变和体积应变。
线性应变指的是材料在受力后的线性变形；剪切应变是材料在受到切应力作用时沿切应力方向发生的形变；体积应变是材料在受力后发生的体积变化。
应变分布类似于应力分布，应变分布可以通过应变场来描述。
应变场是指空间中各点的应变分布情况。
应变分析的方法应变分析的常用方法包括拉伸试验、剪切试验、压缩试验和扭转试验等。
通过这些试验可以获取材料在不同受力状态下的应变数据，进而进行应变分析。
应变测量应变测量是应变分析中的重要环节。
常用的应变测量方法有电阻式应变计、光栅应变计和激光测量等。
这些方法可以准确地获取材料受力后的应变数据，并用于应变分析和应变场重构。
应变分析的应用应变分析在材料研究和工程设计中起着重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
应力与应变分析
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
Z sz
应力与应变分析
sy z
tzy
tzx
txy
tyx
tyz
txz O
txy
sx
tzy
tzx
sx
txz tyz tyx
dz sy
Y
dx
X O
y
x
dy sz
2.单元体上的应力分量
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
(txydA coas)coas(tyxdA sian)sian 0
得
tsaassxx 2 2ssyysisn2xa 2styxcycoo2s2asatxysin2a
符号规定：
应力与应变分析
a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
s拉为正，压为负
t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
例92 分析圆轴扭转时的应力状态。
Me AD BC
s1
s3
t s3 ABCD s1
Me
45o x
-45o
分析圆轴扭转时的应力状态
解：1)围绕圆轴外表面一点取
单元体ABCD：tMe /Wn
2)s s'''02
02t2t 2
tg2a00t a045o 3)s1s't， s20， s3s''t
主单元体如右
③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应 力状态又称复杂应力状态。
第二节 平面应力状态下的 应力研究、应力圆
一、平面应力分析的解析法
1.平面应力状态图示：
应力与应变分析
sy
sx
sx
tyx txy sy
sx
sx
txy tyx sy
2.任意a角斜截面上的应力
P
P
Me B
Me
A
s A sP/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
c) 同b)，但从 上表面截取
sC
t
s
P A
B C
sA
A
sA
B
tB
tC
sC
C
sC
三、应力状态分类(按主应力)
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z
sz
tzy
tzx
tyz
txz
sy y
sx txy tyx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
应力与应变分析
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；
4)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应 力状态，最大拉、压应力在与轴
线成±45o斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；
5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；
6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破 坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。
y sy
t
应力与应变分析
n
sx
sx x
txy
ssxtxxy
sα
a
a
dA
tα
x
tyx sy
sy tyx
n 0：s a dA (sxdA coa)scoas(sydA sian)sian
(txy dA coas)sian(tyxdA sian)coas 0
t 0：t a dA (sxdc Aoa)ssian(sydA sian)coas
④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3
⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应)
txy箭头指向第几象限 (一、四)，则s'(较大主应 力)在第几象限，即先判断 s' 大 致 方 位 ， 再 判 断 其 与 算得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。
⑥ s ' s " s x s y s a s a 9o0
二、平面应力分析的图解法—应力圆
1.理论依据：
① s txx''y'ssxx22ssyyssixn 22asytcxoyc2sa o2satxysin 2a
sx'sx 2sy 2t2 x'y' sx 2sy 2t2 x y2
例一 图示单元体，试求：①a=30o斜
截面上的应力； ②主应力并画出主单元 体；③极值切应力。
s" 40
40 20 30
sa 20 s'
a
143.90o
s'
ta
解1： )sa239.08 2M 40P3a0240co6s0o(20)si6n0o
单位：sM" Pa
ta30240si6n0o(20)co6s0o20.3MPa
3.主应力及其方位：
①由主平面定义，令t
=0，得：
tan2a0
2txy sx sy
可求出两个相差90o的a0值，对应个互相垂直主平面。
②令 ds a da
0
得：
tan2a0
2txy sx sy
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
应力与应变分析
s s"' sx 2sysx 2sy2tx 2y(s's")
2)ss'''30240 3024022023455..33M MPPaa
s1s'35.3MP， as20，s3s''45.3MPa
tg2a0302400 a014.9o，主单元体
3)tt'''s'2s''40.3MPa4)元 讨体 论任 并意 证 s'垂 明 s"s 直 ： a 应 平 s力 a9面 0o之 C 上 (和 同正 )为 一
ss"'
a0 *
ttxyxy a0 *
ss"'
4.极值切应力：
应力与应变分析
①令：
dt a 0，可求出两个相差90o 的 da
tg2a1
sx sy 2txy
a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
②极值切应力： t t" ' sx 2sy2t2 xys 2s" ③ tg2a0tg21a1 (极值切应力平面与主平面成45o)
（2）面的方位用其法线方向表示
t y z t z， y t z x t x， z t x y t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：