高数-全微分方程

∂P ∂Q = −1 ≠ =1 ∂y ∂x
1 y xdy − ydx , 知 x 2 是一个积分因子。 是一个积分因子。 解 由d = 2 x x 1 将方程两端同乘以 2 ，则化为全微分方程 x xdy − ydx y = 0 即 d = 0 x x2 y 于是原方程的通解为： = C ，即 y = C x 。 于是原方程的通解为： x 1 1 注 一般来说，积分因子并不是唯一的。 例2 中, y 2 、 都是 一般来说，积分因子并不是唯一的。 xy
O
• • •
T
θ
ρg s x
∵ tan θ = y ' ,
又由弧长公式 s =
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∫
x
0
1 + y' 2 dx
1 x ∴ y ′ = ∫ 1 + y' 2 dx a 0 应满足的微分方程为: 于是 ，y= y(x) 应满足的微分方程为
1 y" = a
= a , y'
x =0
1 + y' 2 （*） ）
= 0.
(n ) 一般地， 的方程，只要连续积分n 一般地，形如 y = f ( x ) 的方程，只要连续积分 次，即可 求得通解。 求得通解。
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型的微分方程( 二 、y" = f ( x , y' ) 型的微分方程(不显含 y ) 令 y ' = p ( x ), 则 y" = p'. 对应的微分方程 就成为一个关于变量 x、p 的一阶微分方程
u( x, y) = ∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x0 , y)dy = C
x y x0 y0
内一适当选定的点。 其中 ( x 0 , y 0 ) 是G 内一适当选定的点。 显然全微分方程（ ） 显然全微分方程（1）的隐式通解为 u( x , y ) = C 形如（ ） 注: 形如（1）的方程是全微分方程
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取│AO│=α， ，
初始条件为
y
x =0
代入方程（ ） 令 y' = p，代入方程（*）并分离变量得 dp dx = 2 a arshp = ln p + 1 + p2 1+ p 积分得
x arshp = + C 1 a
（**） ）
= ln y′ + 1 + y′2
(
(
)
)
x 代入初值条件 y' x = 0 = 0 ，得 C 1 = 0, arshp = a x x x y = ach + C 2 于是（ ） 于是（**）式成为 p = sh a , 即 y' = sh a a
∂P ∂Q = ∂y ∂x
（2） ）
1
例 1 求解 5x4 + 3xy2 − y 3 dx + 3x 2 y − 3xy2 + y 2 dy = 0 解
∂ ∂ 4 2 3 2 = 3 x 2 y − 3 xy 2 + y 2 5 x + 3 xy − y = 6 xy − 3 y ∵ ∂y ∂x
(
1 ∂P ∂Q 1 2 = − ⋅ 2 (1 − 2 xy ) = − , Q ∂y ∂x 2 x 2 y − x x 2 − ∫ dx 1 x = 2 所以该微分方程有积分因子: µ ( x ) = e 所以该微分方程有积分因子 x 以 µ ( x ) 乘以原方程的两侧 得方程 乘以原方程的两侧,得方程 得方程: ydx − xdy 3 dx + 2 ydy + =0 2 x y 是方程的一个特解 3 x + y 2 − = C , x = 0是方程的一个特解 . 两边积分得: 两边积分得 x 或 3x2 + xy2 − y = Cx
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因作用于AM 弧段上的外力相互平衡， 弧段上的外力相互平衡， 因作用于 把作用于此弧段上的外力沿铅直及 水平两方向分解， 水平两方向分解，得 T sinθ = ρgs , T cosθ = H 将两式相除得
1 tan θ = s , a
H a = ρg .
y M H A
它的积分因子。 它的积分因子。
3
积分因子为 当 P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = 0 为齐次方程时， 其积分因子为 齐次方程时 1 µ= xP( x, y) + yQ( x, y)
dy dy = xy 的通解。 例 3 求微分方程 y + x 的通解。 补充 dx dx 2 2 解 y dx + x − xy dy = 0
) (
)
(
)
(
)
所给方程是全微分方程。 ∴ 所给方程是全微分方程。 取 x0 = 0 、 y0 = 0 ，有
u( x , y ) = ∫ 5 x + 3 xy − y dx + ∫ y 2 dy
x 4 2 3 y 0 0
(
)
3 2 2 1 3 3 = x + x y − xy + y 2 3
5
所以， 所以，方程的通解为
∴ y' = 3 1 + x2 3 两端再积分得: y = x + 3 x + C 2 两端再积分得
x = 0
= 3, 得 C = 3 1
(
)
)
由y
= 1， 得 C2 = 1
3 于是所求的特解为 y = x + 3 x + 1 .
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悬链线的方程 将一均匀、 的方程（ 例 3 悬链线的方程（将一均匀、柔 绳索两端固定， 软的 绳索两端固定，绳索仅受重力作用 而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。 而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。 解 设绳索的最低点为 A，取 y 轴通过点 A、 ， 、 x 轴水平向右，且│OA│= 某个定值 。 轴水平向右， 设绳索曲线的方程为 y=y(x) , 在曲线上任取一点M (x，y), 在曲线上任取一点
H
y M A
O
• • •
T
θ
ρg s x
设A 到M 弧段长为 ， 弧段长为s， 绳索的线密度为ρ， 则该段绳索的重量为ρgs 绳索的线密度为 ， 则该段绳索的重量为 。 绳索在点A 处的张力沿水平方向向左，其大小设为H； 绳索在点 处的张力沿水平方向向左，其大小设为 ； 在点M 处的张力沿绳索斜向上, 并在M 点与绳索相切, 在点 处的张力沿绳索斜向上 并在 点与绳索相切 设其倾角为θ、大小为 设其倾角为 、大小为T 。
7
xdx + ydy =
1 d x2 + y2 2
(
)
例 5 求微分方程
(x
2
+ y 2 + y dx − xdy = 0 的通解。 补充 的通解。
)
解: 显然该方程不是全微分方程. 将原方程改写为: 显然该方程不是全微分方程 将原方程改写为
(x
2
+ y 2 dx + ( ydx − xdy ) = 0
p' = f ( x , p )
设其通解为
p = ϕ(x ,C 1 )
y' = ϕ ( x , C 1 )
则又得到一个一阶微分方程 两端积分便得原方程的通解为
y = ∫ ϕ ( x , C 1 )dx + C 2
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例2
求解初值问题: 求解初值问题
1 + x 2 y" = 2 xy' y x =0 = 1 , y' x = 0 = 3
1 xy
x = Ce y
(C = ±e )
C1
9
第七节
可降阶的高阶微分方程
y (n ) = f ( x )型的微分方程 一、
y''' = e 2 x − cos x的通解。 的通解。 例 1 求微分方程
解 对所给方程积分三次得 1 2x y' ' = e − sin x + C1 2 1 2x y ' = e + cos x + C1 x + C2 4 1 2x y = e + sin x + C 1 x 2 + C 2 x + C 3 8 这就是所求的通解。 这就是所求的通解。
)
ydx − xdy x = d arc tan 又 2 2 y x + y 1 , 取积分因子 µ ( x , y ) = 2 2 x + y
ydx − xdy dx + =0 2 2 x + y
则方程化为: 则方程化为
两边积分的方程的通解为: 两边积分的方程的通解为
2 2
1 1 = 取积分因子 µ = 2 2 xy + y x − xy yx 2
(
)
(
)
1 1 y 原方程化为全微分方程 2 dx + y − x dy = 0 x
y 1 y 取 x0 = 1 、y0 = 1 ∫1 2 dx + ∫1 − 1 dy = C 1 y x y 即得微分方程的通解为： 即得微分方程的通解为： − ln y = C x x
且其积分因子为: 且其积分因子为
∫G( x)dx µ( x) = e
5
2 2 例 4 求微分方程 (3 x + y )dx + (2 x y − x )dy = 0 的通解。 的通解。 ∂P 2 = 1; 解: P ( x , y ) = 3 x + y , 补充 ∂y ∂Q 2 Q (x , y ) = 2 x y − x , = 4 xy − 1 . ∂x 显然该方程不是全微分方程,但 显然该方程不是全微分方程 但
2 2
dx dy d ( xy ) + x y − = 0 x y 1 两边乘以积分因子 2 2 得 x y d ( xy ) dx dy + − =0 2 2 x y x y
两边积分得： 两边积分得： 即方程的通解为: 即方程的通解为
− 1 x + ln = C 1 xy y
x x + arctan = C y
8
的通解。 例 6 求微分方程 (1 + xy ) ydx + (1 − xy )xdy = 0 的通解。 补充 ∂P ∂Q ≠ , 它不是全微分方程。 重新组合得： 解 它不是全微分方程。 重新组合得： ∂y ∂x
( ydx + xdy ) + xy ( ydx − xdy ) = 0
x5 + 3 2 2 1 x y − xy 3 + y 3 = C . 2 3
2
注: 当条件
∂P ∂Q ≠ 不能满足时， 可引入积分因子 ∂y ∂x 不能满足时， 可引入积分因子
µP( x, y)dx + µQ( x, y)dy = 0
µ( x, y) ≠ 0，使
成为全微分方程。 成为全微分方程。 例 2 求解 xdy − ydx = 0
(
)
2 解 令 y ' = p ( x ), 代入方程得 1 + x p ′ = 2 xp
(
)
2x dp = dx 分离变量后， 分离变量后，有 2 p 1+ x ln p = ln 1 + x 2 + C 两边积分得
即 由 y'
p = y' = C 1 1 + x 2
x =0
(
(
) (C
)
1
= ±e C
6
熟记一些简单常用的二元函数的全微分， 熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如
dx ± dy = d ( x ± y ) ydx + xdy = d ( xy ) x ydx − xdy = d 2 y y − ydx + xdy y = d x2 x ydx − xdy x = d ln xy y ydx − xdy x = d arc tan 2 2 y x + y ydx − xdy 1 x − y = d ln 2 2 2 x + y x − y
4
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
(1)
1)微分方程 只有一个只依赖于 的积分因子的充要条件为 微分方程(1)只有一个只依赖于 的积分因子的充要条件为: 微分方程 只有一个只依赖于y的积分因子的充要条件为
1 ∂Q( x, y) ∂P( x, y) ∂x − ∂y = H( y) P( x, y)
且其积分因子为: 且其积分因子为
∫ H( y)dy µ( y) = e
2)微分方程 只有一个只依赖于 的积分因子的充要条件为 微分方程(1)只有一个只依赖于 的积分因子的充要条件为: 微分方程 只有一个只依赖于x
1 ∂P( x, y) ∂Q( x, y) ∂y − ∂x = G( x) Q( x, y)
设 P ( x , y ) 、Q( x , y ) 在区域 G 有连续的一阶偏导数。 有连续的一阶偏导数。 若 du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy ，则称方程
第五节 全微分方程
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
（1） ）
为全微分方程。 全微分方程。 若（1）是全微分方程，有 ）是全微分方程，