空间解析几何第四章课件

r
母线
v
准线
0
y
准线
x
二、柱面的方程
1 柱面的一般方程
Ⅰ 准线方程
C：F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0 0
Ⅱ 母线l 的方向数：X ,Y, Z
分析： M1 x1, y1, z1 S
M M
1 1
C l
r
v
F1 F2
x1, x1,
y1, y1,
z1 z1
0 0
M1
x
x1
y
CHAPTER 4 柱面，锥面，旋转 曲面与二次曲面
回忆：曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
0
.
x
y2 = – 4x
y
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
z
L:
2 y2 z2 4x 4z
y2
3z2
8x
12z
将 其 换 成一组射影柱面的交线
L： y2 = – 4x ( 消去z )
y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
.
y2+(z – 2)2 = 4
L y2 = – 4x
所以在 xo面z 上的投影为线段.
z
1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（2）同理在 yo面z 上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
思考题
1 证明方程(x z)2 ( y z a)2 a2 表示的曲面是柱面. 2 求与两球面(x a)2 ( y b)2 (z c)2 r2 , x2 y2 z2 r2 外切的圆柱面方程. 3 证明曲面 F( x y , y z , z x) 0 是一个柱面，它的母
y2 = – 4x ( 消去z )
0 x
y2 = – 4x
y
空间曲线作为射影柱面的交线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（空间曲线的画法）
y2+(z – 2)2 = 4
2 y2 z2 4x 4z
z
L:
y2
3z2
8x
12z
将 其 换 成一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
0
y
.
x
x2 y2 z2 1
例4 求曲线
z
1 2
在xoy坐标面上的投影.
解 : 消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xo面y 上的投影为
x2
y2
3 4,
z 0
x2 y2 z2 1
思考：曲线
z
1 2
在yoz坐标面上的
投影，和xoz面上的投影 是什么？
（1）因为曲线在平面 z 上1 ， 2
l mm nn l
线平行于直线 x y z .
l mn
P147-148
1,8(4)
z
z
z
y
o
O
y
x
o
yx
x
四、空间曲线的射影柱面
空间曲线
L
:
F G
x, x,
y, y,
z z
0, 0.
F1 F2
x, x,
y z
0,
0,
F1 F3
x, y,
y z
0, 0,
F2 F3
x, y,
z z
0, 0,
F1 x, y 0 叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面; F2 x, z 0 叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面;
三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行 于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
此定理讲叙,在三维空间
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y1
z
z1
t
X
Y
Z
F1 F2
x x
Xt, Xt,
y y
Yt, z Yt, z
Zt Zt
0 0
F x, y, z 0
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为
x2
y
2， z而2 母1 线垂直于平面
求这柱面的方程.
x y z 0
x ，y z 5
例2 已知圆柱面的轴为 x y 1， z点1 求这个圆柱面的方程. 1 2 2
F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.
F1
x, z
y
0
0,
叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线.
F2
x, z y
0
0,
叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线.
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
z
2 y2 z2 4x 4z
L:
y2
3z2
8x
12z
将 其 换 成一组射影柱面的交线
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
x z l3
x
y y
双曲柱面
x2 z2
z
a2 b2 1
o
y
x
抛物柱面 z
y 2 2 px
o
y x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 坐xO标y 面的交线分
别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面，
双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面.
《解析几何》
－Chapter 4
§1 柱面
cylinder
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
平面
圆柱面
x2 y2 a2
z
o
y
x
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 族平行直线所生成的曲面叫做定柱方面向（叫c做yli柱nd面er的）方，向，
定曲线叫做柱面的准线那（族di平re行ctr直ix）线，中的 每一条直线，都叫做柱面的母线.
r v
准线
母线
一、柱面的概念
r
准线
v
母线
一、柱面的概念
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 确定(两个）的，而柱面的准线不是惟一(无数个）的，每一条 与柱面的母线都相交的曲线都可以作z 为柱面的准线.
在P此1,圆2,1柱 面上，
二、柱面的方程
2 柱面的参数方程
r
准线参数方程为 r1 t f t, g,t,ht 母线的方向数为 X ,Y, Z
rr
r
r r1 t uv
z
M1
x f t Xu
y
g
t
Yu
M
z h t Zu
0
y
x
二、柱面的方程
例3 P84 例7
求以 轴z 为对称轴，半径为 的R圆柱面的参数方程.
课堂练习 P147 3 求过三条平行直线 l1 : x y z,l2 : x与1 y z 1
的圆柱面的方程
l3 : x 1 y 1 z 2
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2
z
1
a2 b2
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系
吗？
o
y
x
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的