中科大-傅里叶光学Ch3【1】

第三章：标量衍射理论基础
历史引言 数学预备知识 平面屏幕衍射的基尔霍夫理论 平面屏幕衍射的瑞利-索末非理论 瑞利-索末非理论推广到非单色波情形 在边界上的衍射 平面波的角谱

1：历史引言
光的波动理论形成 *惠更斯原理 *惠更斯——菲涅尔原理
n
dΣ Q
S
Σ(波前)
·
θ r
% dU ( p ) • p
% U ( p) =
% dU ( p ) ∫∫

衍射:不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的偏离现像
— Sommerfield
标量衍射理论(傅立叶光学＼信息光学，波动光学，近场光学，激光光学）
只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅和行为，而 假定任何别的有关分量也具有相同的行为，可以用同样 的方式来独立处理。 电场 \ 磁场 的各个分量通过麦氏方程耦合起来 , 并不能独 立的处理。

标量衍射理论的适用性和局限性 1、衍射孔径∑>λ 2、不要在太靠近孔径的地方观察衍射场 （傍轴条件） 比如：高分辨率光栅，使用标量衍射理论有其很 大的局限性 f=1/d，d越小越精细，则空间频率越高，场甚至 不能以辐射波的形式传播，以表面波的形式存在。

衍射理论的种类 1）惠－菲衍射理论 2）基尓霍夫衍射理论 3）瑞－索衍射理论 4）角谱衍射理论 5）边界衍射理论

ＨＦ衍射理论
v n
v r21
Q θ
dΣ
θ0
% U ( p) =
% dU ( p ) ∫∫
ikr01
v r01
Σ
S
ikr21
% dU ( p ) •p
ikr01
Ae % ( p ) = U (Q ) F (θ , θ ) e % dU dΣ = 0 r01 r21
e F (θ 0 , θ ) dΣ r01
ikr01
% ( p ) = Ae U r21
ikr21
e ∫∫ F (θ 0 , θ ) r01 d Σ
惠－菲原理的数学表达式

2：数学预备知识
２.１.单色平面波表示法和亥姆霍兹Helmholtz方程
单色波（实数）
U ( P,t ) = U ( P ) cos[2πν t + ϕ ( p )]
单色波的复数表示
% Re[U ( P )e − i 2πν t ]
% U ( P ) = U ( P )e − iϕ ( p ) → 复振幅
U ( P ) → 实振幅
U ( P, t )满足标量波动方程
1 ∂2 ∇ U ( P, t ) − 2 2 U ( P, t ) = 0 c ∂t
2
% U ( P)满足不含时的helmholtz方程
% ( ∇ 2 + k 2 )U ( P ) = 0
自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅必满足Ｈ.Ｅ.

2.2 格林定理
衍射、传播→不见源只见面→表－里⇒高斯定理→格林定理
定义：令U(P)和G(P)为位置坐标的两个任意的复值函数，S为包围体积 定义 V的封闭曲面，若U、G以及它们的一阶和二阶偏微商都是单值的并 且在Ｓ内和Ｓ上连续，则有：
∂U ∂G ∫ V ∫ (G∇ U − U ∇ G)dv = ∫ ∫ (G ∂n − U ∂n )ds ∫ S
2 2
∂ 表示在S上每一点沿向外的法线方向上的偏微商。 ∂n
空间一点上的复扰动U可借助格林定理这一数学关系式来计算

应用格林定理注意：
1、积分域V中,U \ G \ 及其一阶 \ 二阶导数 连续、单值，才能使用格林定理 2、曲面S为任意,S要人为地巧妙选择。 选巧 → 易，选不巧 → 难
3、一般用U ( p)代表光扰动(复振幅), G ( p )称格林函数(点源产生的场)
在 S 上内单值、连续 G ( p )应满足 : G点源产生的场,也是波动 ,满足 H .E . 可人为地巧妙选择

应用G.L.来解决衍射问题面临两个选择：
⎧ 封闭曲面S ⇒ 给解决方法留下余地 ⎨ ⎩格林函数G ( p)
⎧ 基尔霍夫的G ( p) G ( p )的选择 ⇒ ⎨ ⎩瑞利-索末菲的G ( p )

奇点

→∞How to do ),

010101

)exp(cos(,)jkr jkr jk n r r ≅v v

如何消除不自洽性？

•A

ds 21)]cos(,)02

n r ds ≠v v

λ两点源的球面波组成，波长相同

1）在S1面上： % exp( jkr01 ) exp( jkr01 ) − =0 G（P ) = 1 − % r01 r01
% ∂G− 1 exp( jkr01 ) v v v v % )( jk − 1 ) exp( jkr01 ) = cos( n , r01 )( jk − ) − cos( n , r01 % % ∂n r01 r01 r01 r01 v v v v v v % , cos( n , r ) = − cos( n , r ) % r01 = r01 01 01
∂G− 1 exp( jkr01 ) v v = 2 cos( n , r01 )( jk − ) ∂n r01 r01
r01 >> λ → k >> 1 λ
∂G− v v exp( jkr01 ) = 2 jk cos( n , r01 ) r01 ∂n

对G（P ) + 1 % exp( jkr01 ) exp( jkr01 ) exp( jkr01 ) + =2 G（P ) = + 1 % r01 r01 r01
% ∂G+ 1 exp( jkr01 ) v v v v % )( jk − 1 ) exp( jkr01 ) = cos(n, r01 )( jk − ) + cos(n, r01 % % ∂n r01 r01 r01 r01 =0
1 已有：U ( P0 ) = 4π
∂U ∂G ∫∫ ( ∂n G − U ∂n )ds ∑