中科大-傅里叶光学Ch3【1】

第三章：标量衍射理论基础历史引言 数学预备知识 平面屏幕衍射的基尔霍夫理论 平面屏幕衍射的瑞利-索末非理论 瑞利-索末非理论推广到非单色波情形 在边界上的衍射 平面波的角谱1：历史引言光的波动理论形成 *惠更斯原理 *惠更斯——菲涅尔原理ndΣ QSΣ(波前)·θ r% dU ( p ) • p% U ( p) =% dU ( p ) ∫∫衍射:不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的偏离现像— Sommerfield标量衍射理论(傅立叶光学＼信息光学，波动光学，近场光学，激光光学）只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅和行为，而 假定任何别的有关分量也具有相同的行为，可以用同样 的方式来独立处理。

电场 \ 磁场 的各个分量通过麦氏方程耦合起来 , 并不能独 立的处理。

标量衍射理论的适用性和局限性 1、衍射孔径∑>λ 2、不要在太靠近孔径的地方观察衍射场 （傍轴条件） 比如：高分辨率光栅，使用标量衍射理论有其很 大的局限性 f=1/d，d越小越精细，则空间频率越高，场甚至 不能以辐射波的形式传播，以表面波的形式存在。

衍射理论的种类 1）惠－菲衍射理论 2）基尓霍夫衍射理论 3）瑞－索衍射理论 4）角谱衍射理论 5）边界衍射理论ＨＦ衍射理论v nv r21Q θdΣθ0% U ( p) =% dU ( p ) ∫∫ikr01v r01ΣSikr21% dU ( p ) •pikr01Ae % ( p ) = U (Q ) F (θ , θ ) e % dU dΣ = 0 r01 r21e F (θ 0 , θ ) dΣ r01ikr01% ( p ) = Ae U r21ikr21e ∫∫ F (θ 0 , θ ) r01 d Σ惠－菲原理的数学表达式2：数学预备知识２.１.单色平面波表示法和亥姆霍兹Helmholtz方程单色波（实数）U ( P,t ) = U ( P ) cos[2πν t + ϕ ( p )]单色波的复数表示% Re[U ( P )e − i 2πν t ]% U ( P ) = U ( P )e − iϕ ( p ) → 复振幅U ( P ) → 实振幅U ( P, t )满足标量波动方程1 ∂2 ∇ U ( P, t ) − 2 2 U ( P, t ) = 0 c ∂t2% U ( P)满足不含时的helmholtz方程% ( ∇ 2 + k 2 )U ( P ) = 0自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅必满足Ｈ.Ｅ.2.2 格林定理衍射、传播→不见源只见面→表－里⇒高斯定理→格林定理定义：令U(P)和G(P)为位置坐标的两个任意的复值函数，S为包围体积 定义 V的封闭曲面，若U、G以及它们的一阶和二阶偏微商都是单值的并 且在Ｓ内和Ｓ上连续，则有：∂U ∂G ∫ V ∫ (G∇ U − U ∇ G)dv = ∫ ∫ (G ∂n − U ∂n )ds ∫ S2 2∂ 表示在S上每一点沿向外的法线方向上的偏微商。

∂n空间一点上的复扰动U可借助格林定理这一数学关系式来计算应用格林定理注意：1、积分域V中,U \ G \ 及其一阶 \ 二阶导数 连续、单值，才能使用格林定理 2、曲面S为任意,S要人为地巧妙选择。

选巧 → 易，选不巧 → 难3、一般用U ( p)代表光扰动(复振幅), G ( p )称格林函数(点源产生的场)在 S 上内单值、连续 G ( p )应满足 : G点源产生的场,也是波动 ,满足 H .E . 可人为地巧妙选择应用G.L.来解决衍射问题面临两个选择：⎧ 封闭曲面S ⇒ 给解决方法留下余地 ⎨ ⎩格林函数G ( p)⎧ 基尔霍夫的G ( p) G ( p )的选择 ⇒ ⎨ ⎩瑞利-索末菲的G ( p )奇点→∞How to do ),010101)exp(cos(,)jkr jkr jk n r r ≅v v如何消除不自洽性？•Ads 21)]cos(,)02n r ds ≠v vλ两点源的球面波组成，波长相同1）在S1面上： % exp( jkr01 ) exp( jkr01 ) − =0 G（P ) = 1 − % r01 r01% ∂G− 1 exp( jkr01 ) v v v v % )( jk − 1 ) exp( jkr01 ) = cos( n , r01 )( jk − ) − cos( n , r01 % % ∂n r01 r01 r01 r01 v v v v v v % , cos( n , r ) = − cos( n , r ) % r01 = r01 01 01∂G− 1 exp( jkr01 ) v v = 2 cos( n , r01 )( jk − ) ∂n r01 r01r01 >> λ → k >> 1 λ∂G− v v exp( jkr01 ) = 2 jk cos( n , r01 ) r01 ∂n对G（P ) + 1 % exp( jkr01 ) exp( jkr01 ) exp( jkr01 ) + =2 G（P ) = + 1 % r01 r01 r01% ∂G+ 1 exp( jkr01 ) v v v v % )( jk − 1 ) exp( jkr01 ) = cos(n, r01 )( jk − ) + cos(n, r01 % % ∂n r01 r01 r01 r01 =01 已有：U ( P0 ) = 4π∂U ∂G ∫∫ ( ∂n G − U ∂n )ds ∑对G（P )：G（P ) ≡ 0， G ∴ − 1 − 1∂U =0 ∂n1 ∴ U ( P0 ) = 4π对G（P )：G + 1∂G ∫∫ ( −U ∂ n )ds ； 只 对 U 施 加 边 界 条 件 ∑∂G+ ∂G ≡ 0， −U ∴ =0 ∂n ∂n1 ∴ U ( P0 ) = 4π∂U ∂U ∫∫ G ∂ n ds ； 只 对 ∂ n 施 加 边 界 条 件 ∑瑞利-索末非衍射公式边界条件1、G− ( P ) : 只对U P）限制；U ∑内 = U 无屏，U ∑外 ≡ 0 （1 1exp( jkr01 ) 1 v v U ( P0 ) = ∫∫ U ( P1 ) r01 cos(n, r01 )ds jλ ∑∂U ∂U 2、 G + ( P1 ) : 只 对 限制； ∂n ∂n ∂U = ∂n ∂U ， ∂n 无屏(r01 >> λ )≡0∑外∑内2 U ( P0 ) = 4πexp( jkr01 ) ∂U ( P ) 1 ds ∫∫ r01 ∂n ∑若 孔 径 是 由 P2 上 的 点 源 照 明 U ( P1 ) = A exp( jkr21 )∂U ( P ) 1 exp( jkr21 ) v v 1 = A cos( n , r21 )( jk − ) ∂n r21 r21 v v exp( jkr21 ) = Ajk cos( n , r21 ) r21r211 ( r21 >> λ ↔ k >> ) r21A exp[ jk (r01 + r21 )] v v 1 G− ( P ) : U ( P0 ) = cos(n , r01 )ds ） 1 ∫∫ jλ ∑ r21r01− A exp[ jk (r01 + r21 )] v v cos(n , r21 )ds 2）G+ ( P ) : U ( P0 ) = 1 ∫∫ jλ ∑ r01r21瑞利-索末菲衍射公式R − S 理论的自洽性？∂U 1） 只 对 U 或 限制 → 可消除 ∂n 2） 可 恢 复 边 界 条 件边界条件 if : U ( P0 ) → A ⎯⎯⎯⎯ 0 →•Aexp( jkr01 ) 1 v v U ( P0 ) = ∫∫ U ( P1 ) r01 cos(n, r01 )ds jλ ∑v v v v P0 A → r01 ⊥ n ∴ cos( n , r01 ) = 0∴ U ( P0 A ) = 0可恢复v v v v exp[ jk (r21 + r01 )] cos(n, r01 ) − cos(n, r21 )) A [ ]ds K公式：U ( P0 ) = ∫∫ 2 jλ ∑ r21r01A exp[ jk (r01 + r21 )] v v ） 1 G− ( P ) : U ( P0 ) = cos(n , r01 )ds 1 ∫∫ jλ ∑ r21r01 R − S公式： − A exp[ jk (r01 + r21 )] v v 2）G+ ( P ) : U ( P0 ) = cos(n , r21 )ds 1 jλ ∫∫ r01r21 ∑可以看出唯一的差别在于倾斜因子上1） 2） → K 公式 + ⎯⎯惠-菲原理的再说明⎧1）K 公式 H − F 原理： 都是在点源照明 ∑ 推得的 ⎨ ⎩2）R − S公式1 H − F 对普遍照明也是适用的 ） 2）孔径衍射是一个线性系统对普遍的孔径照明情况成立: 因为任意的照明情况总可以分 解为（可能无穷多个）点源的集合，而由于波动方程的线性 性质，可对每一个点源应用这个定理。

性质∑ 上每个P点对P0的贡献为脉冲响应 1 即∑ 上单位振幅点源发出的子波在 P 处的场（线性传播系统的响应） 0 1 exp( jkr01 ) v v cos(n, r01 ) = h(P , P ) 0 1 jλ r01 ↔ “次波源”的场） (∑输入 U (P ) 1⎯⎯⎯→ 输出h( P , P ) 0 1U ( P0 )∑ 对P0的贡献是线性叠加积分:U ( P0 ) = ∫∫ U P）( P0 , P ) （ 1h 1∑线性传播系统的脉冲响应与“次波源的场”是一致的5：R-S理论推广到非单色波情形前面的所有情况： 假定波动是理想的单色波 ⇒ 非单色扰动照明这一更普遍的情形 非单色扰动11(,)(,)exp(2)U P t U P j t νπν−−∞=∫0。