分位数回归方法及其应用课件

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分位数回归ppt课件

分位数回归估计与经典模型的最小二乘估计相比较，有许多优点。
当数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，最小二乘估计将不再具有优良性质，且稳健性非常差。分位数回归系数估计结果比OLS估计更稳健，而且，分位数回归对误差项并不要求很强的假设条件，因此对于非正态分布而言，分位数回归系数估计量则更加稳健。
i

n
i : Y i

上式可等价为：
min (Yi )
R
i1
一般的
uu I u 0

分位数回归的损失函数为：
其中， I Z 为示性函数，Z是指示关系式。当分位数为0.5时，就是最小一乘回归，即中位数回归。
普通最小二乘估计基本思想目的原理算法前提假设假设要求检验类型承载信息极端值异方差拟合曲线计算方法
分位数回归估计
设法使所构建的方程和样本之间的距同普通最小二乘估计方法离最短借助数学模型对客观世界所存在的事同普通最小二乘估计方法物间的不确定关系进行数量化描写以平均数为基准，求解最短距离最小二乘法独立、正态、同方差强假设参数检验描述平均的总体信息无法考虑极端值的影响影响大只能拟合一条曲线求偏导解行列式，算法完备以不同的分位数为基准，求解最短距离加权最小一乘法独立弱假设非参数检验充分体现整个分布的各部分信息可以充分考虑极端值的影响影响小可以拟合一簇曲线自助方法估计标准误差，多种算法求解目标函数
min ( yi )2
R
i 1 n

样本中位数回归是使误差绝对值之和最小，即
min | yi |
R

分位数回归分析

分位数回归分析简介分位数回归分析（Quantile Regression Analysis）是一种统计分析方法，用来研究因变量与一个或多个自变量之间关系的非线性问题。

相比于传统的OLS（Ordinary Least Squares）回归分析，分位数回归分析更加灵活，能够提供对不同分位数的因变量条件分布的估计。

分位数回归的定义在传统的OLS回归中，我们通过找到一条线性回归方程来描述自变量和因变量之间的关系。

但是，OLS回归假设因变量在各个条件上的分布是相同的，即在不同的自变量取值下，因变量的条件分布是相同的。

而在分位数回归中，我们允许因变量在不同条件下的分布产生变化，因此可以更准确地描述不同区间的因变量与自变量之间的关系。

分位数回归的目标是找到一组系数，用于描述自变量与因变量在给定分位数时的关系。

分位数回归通过最小化残差的绝对值之和来估计这组系数。

这种方法使得我们能够探索不同分位数下自变量和因变量之间的变化。

分位数回归的优势相比于OLS回归，分位数回归具有以下优势：1.非线性建模能力：分位数回归能够对因变量和自变量之间的非线性关系进行建模，从而更准确地描述实际数据的特征。

2.探索条件分布的能力：由于分位数回归允许因变量在不同条件下的分布变化，因此可以提供对不同分位数的条件分布的估计，进一步帮助我们理解数据的性质。

3.对异常值的鲁棒性：分位数回归对异常值更加鲁棒，因为它通过最小化残差的绝对值之和来估计系数，而不是最小二乘法中常用的最小化残差的平方和。

4.考虑不完全因果关系：分位数回归可以用来研究因变量对自变量的影响程度，考虑到因变量可能由其他未观测的变量影响，从而提供了一种更加全面的因果分析方法。

分位数回归的应用分位数回归广泛应用于各个领域，以下是一些常见的应用场景：1.收入和贫困研究：分位数回归可以用来研究不同收入水平下的贫困率变化，进一步探讨收入不平等的影响因素。

2.教育研究：分位数回归可以用来研究教育水平对工资收入的影响情况，从而分析教育对个体生活水平的提高程度。

分位数回归及其实例

分位数回归及其实例一、分位数回归的概念分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。

与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。

传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X 的影响过程。

普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。

如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M Ⅵ甩)。

但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。

最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。

为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。

它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。

因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。

分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。

中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。

一般线性回归模型可设定如下：()((0)),(0,1).x t t I t ρττ=-<∈在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下：01122(|)...k k E y x x x x αααα=++++其中u 为随机扰动项k αααα,...,,,210为待估解释变量系数。

分位数回归及其实例

LP )估计其最小加权绝对偏分位数回归及其实例一、分位数回归的概念分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数(例如四分位、十分位、百分位等)来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。

与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。

传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量 X 的影响过程。

普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。

如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE);如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M 切甩)。

最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。

为了弥补普通最dx--乘法(OLs)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression) 的思想。

它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。

因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量 X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。

分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。

中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。

一般线性回归模型可设定如下：x(t) t( I(t 0)), (0,1).在满足咼斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下: E(y|x) 01X12X 2...k Xk其中U 为随机扰动项0, 1, 2，…，k 为待估解释变量系数。

【实证方法】分位数回归（QuantileRegression）

【实证方法】分位数回归（QuantileRegression）
以前的回归分析中，主要考察解释变量x对被解释变量y的条件均值E（y|x）的影响，此种方式属于均值回归。

但是我们主要关心的是x对整个条件分布的y|x的影响，条件均值E（y|x）只是刻画了条件分布y|x的集中趋势的一个指标而已。

如果能够估计条件分布的重要重要条件分位数，如中位数、1/4分位数、3/4分位数，则可以对y|x得到全面的认识。

同时传统的条件均值回归分析，容易受到极端值的影响。

所以提出分位数回归，分位数回归采用残差加权平均作为最小化的目标函数，不容易受到极端值的影响，结果相对较为稳健，同时分位数回归还提供了关于条件分布y|x的全面信息。

Stata命令
分位数回归相关的命令：
（1）只做一个分位数回归
qreg y x1 x2 x3(默认中位数回归)
qreg y x1 x2 x3，q() (分位数回归)
（2）使用自助法，只做一个分位数回归
Set seed 10101
Bsqreg y x1 x2 x3，q() reps()
（3）使用自助法，做多个分位数回归
Sqreg y x1 x2 x3,q(0.1 0.5 0.9) reps()
检验系数是否相等
Test [q10=q50=q90]:x1 (4)图形比较
安装grqreg命令
Set seed 10101
Bsqreg y x1 x2 x3,reps() q() Grqreg ,cons ci ols olsci
例证。

第04章分位数回归模型

下式（目标函数）最小，
T
T
Q (1 )uˆ( )t uˆ( )t
uˆ( )t 0
uˆ( )t 0
T
T
(1 )(yt X βˆ ( ) )
( yt X βˆ ( ) )
t:yt X ˆ( )
t:yt X ˆ( )
ห้องสมุดไป่ตู้
(15.3)
其中 uˆ( )t 表示第分位数回归方程对应的残差。(0, 1)。第分位数的回归方程表达式是
2
相对于最小二乘估计，分位数回归模型具有四个方面的优势：
（1）分位数模型特别适合具有异方差性的模型。（2）对条件分布的刻画更加的细致，能给出条件分布的大体特征。每个分位点上的回归都赋予条件分布上某个特殊点（中央或尾部）一些特征；把不同的分位点上的分位数回归集中起来就能提供一个关于条件分布的更完整的统计特征描述。并且不同分位点下所给出的参数估计本身也可能有值得进一步探讨的意义。（3）分位数回归并不要求很强的分布假设，在扰动项非正态的情形下，分位数估计量可能比最小二乘估计量更为有效。（4）与最小二乘法通过使误差平方和最小得到参数的估计不同，分位数回归是通过使加权误差绝对值之和最小得到参
6
15.5 分位数回归模型的检验评价分位数回归函数好坏的统计量主要有 3 个，拟合优度、拟似然比检验和 Wald 检验。（1）拟合优度(Goodness-of-Fit) Koenker 和 Machado(1999)提出了分位数回归的拟合优度的概念。它与一般回归分析中的 R2 很类似。假设分位数回归直线为
即 F(y(τ))的反函数是 y(τ)。当 τ=0.5 时，y(τ) 是 y 的中位数。τ= 0.75 时，y(τ) 是 y 的第 3/4 分位数，τ= 0.25 时， y(τ) 是 y 的第 1/4 分位数。若 y 服从标准正态分布，y(0.5) = 0，y(0.95) =1.645，y(0.975) =1.960。

分位数回归(精选优秀)PPT

分回位归数分回析归的原参基理数本估思计想的就思是想使样本值以与平拟合均值数之为间的基距准离，最求短，解对最于短Y的距一离组随机样本以，不样本同均ห้องสมุดไป่ตู้值分回归位是数使为误差基平准方，和求最小解，最即
斜率对称性检验，即检验对于给定的X，Y的分布是否是对称的。
短距离
如果对一个随机变量进行函数h的单调转换（如指数或对数函数），分位数可通过对分位数函数进行同样的转换而得利。
分位数回归参数估计的思想
与LR估计量明显不同的QR估计量的特点在于，在QR中数据点到回归线距离的测量通过垂直距离的加权总和（没有平方）而求得，这里赋予拟合线之下的数据点的权重是1-τ,而赋予拟合线之上的数据点的权重则是τ.对于τ的每一个选择，都会产生各自不同的条件分位数的拟合函数，这一任务是为每一个可能的寻找适合的估计量。
非参数检验
原假设相当于对分位数回归估计施加了个约束（斜率中不包括常数项）。
如果对一个承随载机信变息量进行函数h的单描调述转平换均（如的指总数体或对信数息函数），分位数可通过对分充位分数体函现数进整行个同分样的布转的换各而部得利分。信息
样本分位数回归是使加权误差绝对值之和最小，即
将解释变量极矩端阵值和参数向量都分为无两法部分考，虑即极端值的影响
当
算法显著异于零时，约最束条小件二无乘效法，拒绝原假设。
加权最小一乘法
m一是、奇分数位，数前代回提表归假分的位设提数出回归个数。独立、正态、同方差
独立
换参言数之估，计如量假果按设照q是要τkY的求的大第小p分排位序数。，强那么假h设(q)是h(Y)的第p分位数。
弱假设
同时考虑多检个验分类位型数回归式称作系参列数分位检数验回归分析。

基于Eviews的分位数回归分析课件

基于Eviews的分位数回归分析
• 考察此最小化问题的一阶条件为：
0d( Fy)(1)d( Fy)
（4.7.4）
y
y
(1F()) (1)F()F()
• 即F() = ，也就是说F(Y)的第个分位数是上述优化问题的解。
基于Eviews的分位数回归分析
系数协方差的估计
• 1．独立同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法 • （1）Siddiqui 差商法 • （2）稀疏度的核密度估计量 • 2．独立但不同分布设定下协方差矩阵的直接估计方法 • 3．自举法（Bootstrap） • （1）X-Y自举法 • （2）残差自举方法 • （3）马尔可夫链边际自举法
• 1. 方法选择
• 为了使用分位数回归方法估计方程，在方程设定对话框的估计方法中选择“QREG”，打开分位数回归估计对话框：
•
图4.15 分位数回归
• “Quantile to estimate”后面输入值，可以输入0~1之间的任意数值，默认值是0.5，即进行中位数回归。
基于Eviews的分位数回归分析
0.24 （0.25）
ˆ2
0.62
0.93
0.74
0.46
（0.001）（0.00）（0.0002）（0.16）
0.13
0.08
0.11
0.13
ˆ3
（0.001）（0.08）（0.009）（0.03）
R2
0.99
0.96
0.97
0.96
注：括号内为弹性系数的t值； Quant20， Quant50， Quant80分别
基于Eviews的分位数回归分析
模型评价和检验
• 1．拟合优度

分位数回归及应用简介

分位数回归及应用简介分位数回归（Quantile Regression）是一种预测模型，与传统的最小二乘法回归（OLS regression）不同，它不仅可以估计数据的均值，还可以估计数据分布的其他分位数。

这种方法在处理不同分位数下的潜在差异时非常有用，因为它可以提供理解和预测在不同条件下的数据变化情况。

最小二乘法回归通过最小化预测值与实际值的平方差，给出一个数据分布的均值估计。

然而，由于数据的分布可能是非对称的，存在异常值或极端值，使用最小二乘法回归的均值估计可能不准确。

在这种情况下，分位数回归是一种更好的方法，因为它可以估计多个分位数，包括中位数（50%分位数）和极值（例如90%或95%分位数）。

分位数回归可以通过最小化损失函数来估计模型参数，常用的损失函数是加权绝对值损失函数。

这个损失函数对应的优化问题可以使用线性规划或非线性规划的方法求解。

通过计算不同分位数的估计结果，可以获得数据分布的详细信息。

分位数回归有一些应用的优势。

首先，它可以提供更全面的数据估计，对于非对称或含有异常值的数据分布具有更好的预测能力。

其次，分位数估计结果可以用来比较不同分位数处的特征变量对因变量的影响程度。

例如，在收入预测模型中，分位数回归可以帮助我们比较高收入人群和低收入人群对某个特征变量的影响程度。

此外，分位数回归还可以用于分析不同条件下的潜在差异，例如预测某个特征变量在不同行业、不同地区或不同时间段的变化情况。

分位数回归的应用非常广泛。

在经济学领域，它常被用于研究收入分布、贫富差距以及社会流动性等问题。

它还可以用于金融学中的风险评估和资产定价分析，其中分位数回归可以帮助我们理解极端事件的风险程度。

此外，分位数回归还可以在医学和社会科学领域中，用于研究不同群体或个体的特征与某个健康指标或社会指标的关系。

尽管分位数回归有许多优点，但也存在一些限制。

首先，分位数回归对于数据分布的假设较少，因此可以适用于各种类型的数据。

分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用

分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用随着金融市场的不断发展和创新，风险管理越来越成为金融业的重要组成部分。

预测金融市场中的风险价值是风险管理中的一个关键问题。

分位数回归方法作为一种有效的统计分析方法，被广泛用于金融市场风险价值预测。

分位数回归方法是一种将相关自变量与一个给定分位数下的因变量之间的关系进行估计的回归方法。

与传统的最小二乘法不同，分位数回归方法可以更好地描述因变量的分布。

它不仅可以提供关于因变量均值的信息，还能够给出关于不同分位数的信息。

在金融市场风险价值预测中，我们通常关心的是低分位数的预测，比如极端值。

分位数回归方法在金融市场风险价值预测中的应用主要有两个方面。

首先，它可以用来预测金融资产的风险价值。

金融资产的风险价值是指在给定置信水平下的最大可能亏损金额。

通过使用分位数回归方法，我们可以估计出金融资产在不同置信水平下的风险价值，从而更好地评估其风险水平。

其次，分位数回归方法可以用于预测金融市场的系统风险。

系统风险是指市场整体风险的水平。

通过将分位数回归方法与一些市场指标和经济变量结合起来，我们可以预测市场风险的变化趋势和可能的极端风险。

这对于投资者和投资机构来说是非常重要的，因为他们可以根据这些预测来制定更有效的风险管理策略。

在金融市场风险价值预测中，分位数回归方法具有一些优点。

首先，它可以捕捉到因变量的尾部分布，特别是极端值。

这对于金融市场中的极端风险的预测非常重要。

其次，分位数回归方法对于数据中存在的异方差性和非线性关系具有一定的鲁棒性。

这使得它对于金融市场数据的分析更为准确和可靠。

然而，分位数回归方法也存在一些限制。

首先，它对于样本数据的分布有一定的要求，特别是对于尾部分布。

如果数据的分布不满足一些基本假设，那么分位数回归的结果可能会失真。

其次，分位数回归方法在模型设定和结果解释方面相对复杂。

需要对数据进行合适的预处理和转换，以及对结果进行合理的解释和分析。

总之，分位数回归方法是一种有效的统计分析方法，已被广泛应用于金融市场风险价值预测。

计量分位数回归 eviews课件

（4.7.3）中条件关系式 z 为 yi y，当 yi y 时，I(yi y) = 1，否则
取值为0。 12
相应地，经验分位数为：
qN ( ) inf{ y : FN ( y) } ，0 1
（4.7.6）
式（4.7.3）可以等价地表示为下面的形式：
qN
(
)
arg
min
i:
yi
7
中位数是一个特殊的分位数，它表示一种分布的中心位置。中位数回归是分位数回归的一种特殊情况，其他分位数则可以用来描述一种分布的非中心位置。第p个百分位数表示因变量的数值低于这一百分位数的个数占总体的p%.因此，分位数可以指定分布中的任何一个位置。
8
4.7.1 分位数回归的基本思想和系数估计
V yi xiβ (1 ) yi xiβ
i: yi xiβ
i: yi xiβ
F(y)的分位数可以由最小化关于的目标函数得到，即：
q(
)
arg
min
y
y
dF
(
y)
(1
)
y
y
dF
(
y)
（4.7.3）
arg min ( y )dF ( y)
其中，argmin{}函数表示取函数最小值时的取值， (u) u( I(u < 0)) 称为检查函数（check function），依
假设随机变量 Y 的概率分布为：
F( y) Prob(Y y) Y 的分位数定义为满足 F(y) 的最小 y 值，即：
（4.7.1）
q( ) inf{ y : F( y) } ，0 1
（4.7.2）
9
图4.7.1 cs 变量的累积分布函数F(y) 图4.7.2 cs 变量的分位数分布函数q()

分位数回归及应用简介

分位数回归及应用简介分位数回归是一种在统计学和经济学中常用的回归分析方法，它与传统的平凡最小二乘回归分析相比，更加适用于处理非正态分布、异方差和异常值等问题。

本文将对分位数回归的基本原理进行介绍，并探讨其在实际应用中的一些例子。

一、基本原理分位数回归是指通过对数据进行分位数划分，将不同分位数的回归干系进行建模和分析的方法。

在传统的回归分析中，我们通常关注的是条件均值（条件期望）的回归干系，而分位数回归则可以揭示在不同条件下，数据的不同分位数的回归干系。

以简易的线性回归为例，我们通常会建立一个关于自变量和因变量的条件均值模型，即通过最小化猜测值与实际观测值之间的平方差，得到最佳拟合直线。

而在分位数回归中，我们可以通过最小化猜测值与实际观测值的分位差，得到在不同分位数条件下的最佳拟合直线。

这样做的好处是能够更好地理解数据的分布状况，以及对不同条件下的不确定性进行建模和猜测。

二、实际应用1. 收入差距探究分位数回归常被用于探究收入差距的影响因素。

以中国为例，我们可以通过对个人收入数据的分位数回归分析，得到不同分位数收入的影响因素和差异。

探究发现，教育水平、工作阅历和性别等因素对于不同收入分位数的影响程度是不同的。

通过分位数回归，我们可以更全面地洞察不同收入群体之间的差距和不对等现象。

2. 健康状况评估分位数回归也可以用于对健康状况评估的探究。

例如，我们可以通过分位数回归分析，探讨不同健康指标（如体重指数、血压等）与不同健康分位数（如50%、70%）的干系，从而对健康状况进行更精细的刻画和猜测。

探究发现，不同健康指标对不同健康分位数的影响具有显著差异，分位数回归可以援助揭示这些差异。

3. 风险评估在金融风险评估中，分位数回归也有重要应用。

通过分位数回归，我们可以建立基于市场因素、公司基本面等的风险模型，猜测不同风险分位数下的收益变化。

这对于投资组合的构建和风险管理具有重要意义。

探究表明，通过引入分位数回归，能够更准确地预估金融市场的风险暴露和收益猜测。

面板数据分位数回归及其经济应用

面板数据分位数回归及其经济应用面板数据分位数回归是一种多变量回归方法，在经济学中具有广泛的应用。

它通过使用面板数据集，考虑个体和时间的异质性，可以更准确地估计经济变量在不同分位数的变化。

面板数据是指对同一组个体（例如家庭、企业或国家）进行多个时间观察的数据集。

与传统的横截面数据或时间序列数据相比，面板数据具有更多的信息，可以提供更准确的估计结果。

面板数据分位数回归将这些数据应用到经济学研究中，以分析变量在不同分位数下的影响和变化。

面板数据分位数回归的基本思想是将依变量和解释变量的关系扩展到不同的分位数。

传统的回归模型通常使用一个条件的均值作为衡量标准，而忽略了分布的其他信息。

而面板数据分位数回归通过分析不同分位数下的条件均值，可以确定变量对于不同个体和时间的异质性的影响。

面板数据分位数回归在经济学中有许多重要的应用。

首先，它可以用于研究不同收入群体的收入差距。

通过将个体收入与其他解释变量的关系扩展到不同收入分位数，可以更好地理解收入分配的变化和影响因素。

这对于制定公共政策和减少贫困具有重要意义。

其次，面板数据分位数回归可以用于研究教育、健康和劳动力市场等领域的不平等问题。

通过分析不同分位数下的教育水平、健康状况和工资收入等变量，可以揭示不同个体和时间的异质性，并提供政策建议。

此外，面板数据分位数回归还可以用于分析企业和产业的效率和生产力的变化。

通过将生产率和利润等变量与其他解释变量在不同分位数下的关系进行比较，可以对企业和产业的差异进行深入研究，为企业管理和政策制定提供参考。

总之，面板数据分位数回归是一种重要的经济学方法，它能够更准确地分析经济变量在不同分位数下的变化。

它在研究收入差距、教育和健康不平等、企业效率等方面具有广泛的应用前景。

通过利用面板数据的丰富信息，我们可以更好地理解经济现象，为公共政策和管理决策提供科学依据。

分位数模型回归分析

分位数模型回归分析分位数模型（quantileregressionmodel，QRM）是一种统计模型，它允许分析师精确研究一组数据中不同分位数所受到的影响。

分位数模型在数据分析中被广泛应用，被用于分析各种个体和企业之间的关系，比如收入差距、产品价格和消费行为等。

分位数模型回归分析是一种回归分析方法，它利用QRM来更精确地研究数据。

本文将对分位数模型回归分析的基本概念、运用以及实例进行阐述，以增强对其理解和应用。

2.位数模型回归分析QRM Regression Analysis）分位数模型回归分析基于分位数模型，它是一种统计模型，可以根据观测值的位置（即观测值在一组数据中的分位数）来描述该观测值的变化规律。

常规的线性回归分析（linear regression analysis，LRA）则仅适用于均值，而QRM则允许分析师精确研究不同分位数所受到的影响，从而对数据的变动规律进行更加详尽的分析。

因此，QRM 可以帮助研究者更深入地分析不同分位数之间的关系。

3.位数模型回归分析的应用QRM回归分析在社会科学研究中有着广泛的应用。

例如，可以利用QRM来研究收入分配不均的问题，研究中国各个省市的收入分配情况。

此外，QRM回归分析可以用于研究企业的价格行为，分析其价格定价的影响因素，以及识别价格段等现象。

此外，研究者还可以利用QRM回归分析来描述消费者的消费行为，包括消费者对不同产品段的偏好，以及消费者在折扣促销中选择最佳折扣等。

4.位数模型回归分析实例为了说明分位数模型回归分析的应用，我们以某英文书籍零售商的价格定价为例，以探讨价格定价的影响因素以及最佳价格策略。

收集的原始数据包括：英文书籍的原价、折扣折扣以及销售量等。

基于QRM，研究者通过比较不同书籍的不同价格段销售量（如不同折扣段的销售量），可以对不同分位数的变化执行统计检验，并建立相应的回归模型，以发现不同价格段的消费者的偏好及其价格的影响因素，从而制定出最佳价格策略，即为消费者提供恰当折扣以提高销售量。

应用时间序列分位数回归

目錄一、為什麼需要分位數回歸二、總體分位數三、樣本分位數四、分位數回歸の估計方法五、分位數回歸模型の估計六、R軟件操作分位數回歸一、為什麼需要分位數回歸？1、一般の回歸模型著重考察x對yの條件期望E(y|x)の影響，如果y|x不是對稱分布，則E(y|x)難以反映條件分布の全貌。

如果能夠估計條件分布y|xの若幹重要の條件分位數，比如中位數等，能夠更加全面の描述被解釋變量條件分布の全貌，而不是僅僅分析被解釋變量の條件期望（均值）。

不同分位數下の回歸系數估計量常常不同，即解釋變量對不同水平被解釋變量の影響不同。

2、使用OLS 進行“均值回歸”，由於最小化の目標函數為殘差平方和，容易受極端值影響。

“分位數回歸”，使用殘差絕對值の加權平均作為最小化の目標函數，不易受極端值影響。

而且，分位數回歸對誤差項並不要求很強の假設條件，因此對於非正態分布而言，分位數回歸系數估計量則更加穩健。

二、總體分位數假設Y為連續型隨機變量，其累積分布函數為F y(·)。

Yの“總體q 分位數”，記為y q，滿足以下定義式：q = P (Y≤y q)= F y(y q)總體q分位數正好將總體分布分為兩部分，其中小於或等於y qの概率為q，而大於y qの概率為(1-q )。

如果q =1/ 2，則為中位數，正好將總體分為兩個相等の部分。

如果Fy(·)嚴格單調遞增，則有y q=F y-1 (q)對於回歸模型，記條件分布y | x の累積分布函數為F y | x (·)。

對於線性回歸模型，如果擾動項滿足同方差の假定，或擾動項の異方差形式為乘積形式，則y q (x)是xの線性函數。

第26章分位数回归

min

i:y q( yi ) i:y (1 q)( yi )
n n
i i
对求一阶导数可得
i:y q(1) i:y (1 q) 0
n n
i i
14
假设 y( k ) y( k 1) ，其中 y( k ) 为第 k 个最小观测值，则共有 k 个观测值满足“ yi ” ， (n k ) 个观测值满足“ yi ” ，故
(n k )q k (1 q ) 0
经整理可得
k nq
ˆ q ，即样本分位数。 k 必须是整数。故最优解 y[ nq ] y
为证明二阶条件满足，只要说明目标函数为凸函数即可。
15
定义函数 q () 为
q yi , 若 yi q ( yi ) (1 q ) y , 若 y i i
n
i i q i i q i q i q
ˆ n q yi xi i: y xˆ (1 q) yi xiˆq q
ˆ q 为样本 q 分位数，上式第二项的分子为 q 分位数回归其中， y
目标函数的最小值 (sum of weighted deviations about estimated quantiles) ，而分母为 “ sum of weighted deviations about raw quantiles” 。
7
根据定义，条件分位数函数 yq ( x ) 满足
q P y yq ( x )
(条件分位数的定义) (代入 y x u ) (移项) (代入 u x ) (两边同除以 x 0 ) (累积分布函数的定义)

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分位数回归方法及其应用
分位数回归参数的显著性检验方法
• 在分位数回归模型中，设 ()(1(),2(K)o)enker与
• 2.内点算法(Interior Point Method)：内点算法对于那些具有大量观察值和少量变量的数据集运算效率很高（见Portnoy and Koenker, 1997)。
• 3.平滑算法 (Smoothing Method)：平滑算法在理论上比较简单，它适合处理具有大量观察值以及很多变量的数据集 (见Chen, 2004) 。
分位数回归方法及其应用
分位数回归的思想
• How to “go further” ? • 分位数回归的思想最早是由Koenker and Bassett
(1978)提出的。它是对古典条件均值模型为基础的最小二乘的拓展。 • 普通最小二乘法是利用因变量的条件均值来建模，通过使残差平方和达到最小来获得回归参数的估计。 • 分位数回归则利用因变量的条件分位数来建模，通过最小化加权的残差绝对值之和来估计回归参数。它可以称之为“加权的最小一乘回归法”。
为 Q (|X =x)=x(，)通过求解得到参数估计值
n
• 对于任意的ˆ()argm i，n 估R p计 (yi称为xi第) 分位数
下的回归系数估计(0,。1)
i1
ˆ ( )
分位数回归方法及其应用
分位数回归参数的估计方法（点估计）
• 求解
ˆ()argm in 等价Rp 于n 求(y 解i以xi 下)个线性规划问题： i1
分位数回归（QR）方法及其应用
分位数回归方法及其应用
第一部分：方法介绍
主要包括分位数回归的概念，分位数回归系数的估计方法及其性质、分位数回归系数的检验方法、模型的拟合优度检验、分位数回归的优良性（与最小二乘法做比较）。
分位数回归方法及其应用
分位数回归（ QR）产生的根源
• Mosteller and Tukey’s (1977) remark：What the regression curve does is give a grand summary for the averages of the distributions corresponding to the set of xs. We could go further and compute several different regression curves corresponding to the various percentage points of the distributions and thus get a more complete picture of the set. Ordinarily this is not done, and so regression often gives a rather incomplete picture. Just as the mean gives an incomplete picture of a single distribution, so the regression curve gives a correspondingly incomplete picture for a set of distribution .
其中 e 为单位向量M 。a 目x { 前y 对z |X 上z 式= ( 的1 - 算) 法X 主e ,要z 有[如0 ,1 下]n 几} 种: z
分位数回归方法及其应用
• 1.单纯形算法(Simplex Method)：该算法估计出来的参数具有很好的稳定性，但是在处理大型数据时运算的速度会显著的降低（见Koenker and Orey， 1993)。
2. 秩得分法(Rank Score Method)，见Koenker(1994)。秩得分法算法比较简单，但是对于大型数据处理效率较慢。
3. 重复抽样法(Resampling method)，见He和Hu (2002)。该方法使用了MCMB(Markov Chain Marginal Bootstrap)算法，这种算法能够进行高效率的运算，大大节省了运算时间。重复抽样法能够克服直接法和秩得分法的缺陷，但是对于小样本时计算出的参数估计值不够稳定。
,，yn}样本均值
i 1
• 样本中位数是最小化残差绝对值和的解，即
F 1(1/2)argm iR ni 1yi
分位数回归方法及其应用
• 对于其他的第分位数,我们可以求解下式：
•
等价的m 表i示n 为 R ：p [i { i:y i }
y i ( 1 )y i]
i { i:y i }
分位数回归方法及其应用
分位数的概念
• 定义：设随机变量 Y 的分布函数为
F(y)P (Yy)
则 Y 的第分位数为
F 1()in f{y:F (y) }
其中中位数可以表示为F 1(1 / 2。)
分位数回归方法及其应用
分位数回归思想的数学公式化
•
对于是
Y
m 的i一n 组n (随yi机的样最)2本优解{。y1,y2,
• 其他方法: 如adaptive method 等。
分位数回归方法及其应用
分位数回归参数的估计方法（区间估计）
依据目前的文献，区间估计方法也可分为三种：
1.直接估计法(Direct Estimation Method)，见Koenker和Bassett (1982) 以及Koenker和Machado (1999)。该方法依据估计出来的回归分位系数的渐进正态性来计算置信区间。比较有代表性的是Sparsity算法，它是一种最直接且运算速度也最快的算法，但该算法得到的估计值对于随机项为独立同分布这一假设十分敏感。
min
R i1
(yi
)Leabharlann 其中 (z )z I [0 , )(z ) ( 1 )z I( ,0 )，(z ) 为I ( )
示性函数。
分位数回归方法及其应用
• 对于一般线性条件均值函数 E(Y|X=x)=x，通
过求解
n
ˆargminRp (yi xi)2
i1
得到参数估计值。而一般线性条件分位数函数