2020东城区初三数学一模试题及答案
2024年北京东城区九年级初三一模数学试卷和答案
东城区2023—2024学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学试卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID 号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在下列几何体中，俯视图是矩形的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024年2月29日，在国家统计局发布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》中，2023年全年完成造林面积400万公顷，其中人工造林面积133万公顷．将数字1330000用科学记数法表示应为（）A ．71.3310⨯B ．513.310⨯C ．61.3310⨯D ．70.1310⨯3．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -，()2,0C 为ABCD 的顶点，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()3,2-B ．()2,2C ．()3,2D ．()2,34．若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（）A ．a b <B ．11a b +<+C ．22a b <D ．a b>-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2P 在反比例函数k y x =（k 是常数，0k ≠）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（）A ．()2,0-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()1,2-6．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．AE BE =B ．90CBD ∠=︒C ．2COB D∠=∠D ．COB C ∠=∠7．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（）A ．12B ．13C ．16D ．198．2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热＋光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为248m ，则该正五边形的边长大约是（ ）（结果保留一位小数，参考数据：tan 360.7︒≈，tan 54 1.4︒≈ 6.5≈ 4.6≈）A ．5.2mB ．4.8mC ．3.7mD ．2.6m二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是______．10．因式分解：2218xy x -=______．11．方程323x x =-的解为______．12．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．13．为了解某校初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调查，结果如下表所示：锻炼时间x56x ≤<67x ≤<78x ≤<8x ≥学生人数1016195以此估计该校初三年级500名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有______人．14．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，DE BC ⊥于点E ，且DE DA =，连接DB ．若20C ∠=︒，则DBE ∠的度数为______°．15．阅读材料：如图，已知直线l 及直线l 外一点P ．按如下步骤作图：①在直线l 上任取两点A ，B ，作射线AP ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，交射线AP 于点C ；②连接BC ，分别以点B ，C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点Q ；③作直线PQ ．回答问题：（1）由步骤②得到的直线MN 是线段BC 的______；（2）若CPQ △与CAB △的面积分别为1S ，2S ，则12:S S ______．16．简单多面体的顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式．（1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表：名称图形顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）三棱锥446长方体8612五棱柱10715正八面体6812在简单多面体中，V ，F ，E 之间的数量关系是______；（2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边．小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共______个．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17()02cos30π12-︒+---．18．解不等式组：26516132x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．19．已知290x y --=，求代数式226344x y x xy y--+的值．20．如图，四边形ABCD 是菱形．延长BA 到点E ，使得AE AB =，延长DA 到点F ，使得AF AD =，连接BD ，DE ，EF ，FB ．（1）求证：四边形BDEF 是矩形；（2）若120ADC ∠=︒，2EF =，求BF 的长．21．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B 的位置，被遮挡部分的水平距离为BC 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A 的影子D 到点C 的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB 的长为x 米，BC 的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD 的长第一次1.00.615.8第二次 1.00.720.1（1）由第一次测量数据列出关于x ，y 的方程是______，由第二次测量数据列出关于x ，y 的方程是______；（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得10y =，则钟楼的高度约为______米．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠）的图象由函数13y x =的图象平移得到，且经过点()3,2A ，与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式及点B 的坐标；（2）当3x >-时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．23．某校初三年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：cm ），数据整理如下：a ．1班 168 171 172 174 174 176 177 1792班 168 170 171 174 176 176 178 183b ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5m n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值；（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；（3）1班的6位首发选手的身高分别为171，172，174，174，176，177．如果2班已经选出5位首发选手，身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则第六位选手的身高是______cm ．24．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，EAC CAB ∠=∠，直线CD AE ⊥于点D ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）当1tan 2F =，4CD =时，求BF 的长．25．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，击球点P 到球网AB 的水平距离 1.5m OB =．小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()20.2 2.5 2.35y x =--+．第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）的几组数据如下：水平距离x /m01234飞行高度y /m 1.1 1.6 1.92 1.9根据上述信息，回答下列问题：（1）直接写出击球点的高度；（2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y 与水平距离x 满足的函数关系式；（3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为1d ，2d ，则1d ______2d （填“＞”，“＜”或“＝”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线()210y ax bx a =++>上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x t =．（1）若点()2,1在该抛物线上，求t 的值；（2）当0t ≤时，对于22x >，都有12y y <，求1x 的取值范围．27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 是BC 边上的点，12DE BC =，连接AD ．过点D 作AD 的垂线，过点E 作BC 的垂线，两垂线交于点F ．连接AF 交BC 于点G ．（1）如图1，当点D 与点B 重合时，直接写出DAF ∠与BAC ∠之间的数量关系；（2）如图2，当点D 与点B 不重合（点D 在点E 的左侧）时，①补全图形；②DAF ∠与BAC ∠在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段BD ，DG ，CG 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知线段PQ 和直线1l ，2l ，线段PQ 关于直线1l ，2l 的“垂点距离”定义如下：过点P 作1PM l ⊥于点M ，过点Q 作2QN l ⊥于点N ，连接MN ，称MN 的长为线段PQ 关于直线1l 和2l 的“垂点距离”，记作d ．（1）已知点()2,1P ，()1,2Q ，则线段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 为______；（2）如图1，线段PQ 在直线3y x =-+上运动（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），若PQ =段PQ 关于x 轴和y 轴的“垂点距离”d 的最小值为______；（3）如图2，已知点(0,A ，A 的半径为1，直线y x b =+与A 交于P ，Q 两点（点P 的横坐标大于点Q 的横坐标），直接写出线段PQ 关于x 轴和直线y =的“垂点距离”d 的取值范围．。
北京市东城区2020年中考数学一模测试试卷(含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）1．2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%．总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为（）A．1.52125×105B．1.52125×104C．0.152125×105D．0.152125×1062．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．球D．圆柱3．如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）A．48°B．78°C．92°D．102°4．把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）25．点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣（a+1）B．﹣（a﹣1）C．a+1D．a﹣16．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP7．将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2．若S1＝S2，则a，b 满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b8．党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．201720182019年份人数地区东部30014747中部1112181西部1634916323（以上数据来源于国家统计局）根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是（）A．2018年中部地区农村贫困人口为597万人B．2017﹣2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C．2016﹣2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D．2017﹣2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．10．随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b＞4的概率是．11．若x2+x﹣3＝0，则代数式2（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）的值是．12．如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为．13．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为．14．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．15．甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：①乙队率先到达终点；②甲队比乙队多走了126米；③在47.8秒时，两队所走路程相等；④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．所有正确判断的序号是．16．从﹣1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数对M k＝{a k，b k）（其中k＝1，2，…，s，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数对），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j）（i≠j，1≤i≤s，1≤j≤s）都有a i+b i≠a j+b j，则s的最大值是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：|﹣|﹣（3﹣π）0+2cos60°+（）﹣1．18．解不等式组：．19．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．解分式方程：1﹣＝．解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x，…步骤1去括号，得2x+2﹣x﹣3＝3x，…步骤2移项，得2x﹣x﹣3x＝2﹣3，…步骤3合并同类项，得﹣2x＝﹣1，…步骤4解得x＝．…步骤5所以，原分式方程的解为x＝．…步骤620．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：BF＝DE；（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，求的值．22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．已知A（1，4），＝．（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．23．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB＝，求线段BP的长．24．人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普査等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：b．人口数量在2≤x＜4这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.73.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：d．如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：0～14岁人口比例15～59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26% e．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高＞50‰，最低＜20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．根据以上信息，回答下列问题：（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第位．（2）人口增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为千万人（保留小数点后一位）．（3）下列说法中合理的是．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．25．如图，P是线段AB上的一点，AB＝6cm，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕点O 顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ．小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度（单位：cm）的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7 AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00PQ 4.00 2.310.84 1.43 3.07 4.77 6.49AQ 4.00 3.08 2.23 1.57 1.40 1.85 2.63在AP，PQ，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PQ时，线段AP的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，橫、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y ＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．（1）依题意补全图1；（2）若DM＝1，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．28．在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中线弧．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧，直接写出△ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值；②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧的弧长l．（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
2020年北京市东城区中考数学一模试题有答案精析
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×1082．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣39．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=______．12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是______边形．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确______；这位同学作图的依据是______．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28．如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°．（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有______；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．2020年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：51 660 000用科学记数法表示应为5.166×107，故选A．2．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，∴抽出的数字是奇数的概率是．故选C．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．【解答】解：如图：∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEC中，，△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=58米，故选：B．7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），故选D．8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3【考点】配方法的应用．【分析】利用完全平方公式进行变形即可．【解答】解：2a2﹣4a﹣1，=2（a2﹣2a+1）﹣3，=2（a﹣1）2﹣3．故选：D．9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，根据题意得20×1.5+25x≤200，解得x≤6.8，所以x的最大整数值为6，所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．故选B．10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1．故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=a（b+c）（b﹣c）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是y=x﹣1（答案不唯一）．．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与y轴的交点确定答案即可．【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，∴设一次函数的解析式为y=x+b，∵经过点（0，﹣1），∴b=﹣1，∴解析式为y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72=5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可；【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，故答案为：70千米/时．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱+甲所有钱的=50元，据此可列方程组．【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意，可列方程组：，故答案为：．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确丁同学；这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．【考点】作图—复杂作图．【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，可得：AP=BP，则PA+PC=BC．故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1=+2﹣﹣1﹣2=﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，解不等式，得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，不等式组的解集在数轴上的表示如下：19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1，由x2﹣x﹣3=0，得到x2﹣x=3，则原式=﹣3+1=﹣2．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有=×，解得x=120，经检验：x=120是原方程的解，答：第二批鲜花每盒的进价是120元．22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k2的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）分两种情况考虑：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（3，1）代入到y=中，得1=，解得：k2=3．故反比例函数的解析式为y=．（2）符合题意有两种情况：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，﹣2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=x﹣2．②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=﹣x+2．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据题意当3≤n＜5时为“一般”可知一般档次人数为6+7，结合其所占百分比为26%，相除可得总人数；（2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为5、7的人数可得x的值，将总人数减去其余各项人数可得y的值；（3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得．【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，故被调查的学生数是13÷26%=50（人）；（2）被调查的学生中“良好”档次的人数为50×60%=30（人），∴x=30﹣（12+7）=11（人），y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）；（3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%，∴估计九年级400名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD==5，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=3，∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，解得：r=，∴OP==，∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，∴△DEP∽△OBP，∴，∴DE=．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是菱形；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD是筝形，求证：∠B=∠D，证明：如图1，连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D；（3）如图2，连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin∠EBC=，∴S△ABC=AB×CE=2，∵△ABC≌△ADC，∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=4．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．。
2020年北京市东城区中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共7小题，共14.0分）1.如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是()A. m+nB. m−nC. n−mD. |m+n|2. 6.数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|>|c|，b⋅c<0，则原点的位置()A. 点A的左侧B. 点A点B之间C. 点B点C之间D. 点C的右侧3.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于()A. π3B. 2π3C. 4π3D. 2π4.如图，把△ABC经过一定的变化得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x,y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A. (−x,y−2)B. (−x+2,y+2)C. (−x+2,−y)D. (−x,y+2)5.甲、乙两个工程队进行污水管道整修，已知乙比甲每天多修3km，甲整修6km的工作时间与乙整修8km的工作时间相等，求甲、乙两个工程队每天分别整修污水管道多少km？设甲每天整修xkm，则可列方程为()A. 6x−3=8xB. 6x=8x+3C. 6x+3=8xD. 6x=8x−36.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有正方体、圆锥、圆柱和球四个图案，现把它们正面朝下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是柱体的概率是()A. 1B. 12C. 14D. 347.如图1为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计)，A−F−G−J为高架，以O为圆心的圆盘B−C−D−E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB=CH=DI=EJ，AF=GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计)，点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，有甲、乙、丙、丁四车均以10m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出，若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交后的时间x(s)的对应关系如图2所示，则下列说法错误的是()A. 甲车在立交桥上共行驶10sB. 从I口出立交的车比从H口出立交的车多行驶30mC. 丙、丁两车均从J口出立交D. 从J口出立交的两辆车在立交桥行驶的路程相差60m二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）8.若式子√2x−5在实数范围内有意义，则x的取值为______．9.因式分解：2a2−8a+8=______．10. 一个多边形的边数是10，则这个多边形的内角和是______°. 11. 计算：1xy ÷(1y −1x )=______．12. 如图△ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AB 上两点，DE//AC ，BD =2，CD =1，∠BED =30°，则AE 的长为______．13. 将一次函数y =3x −1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为___________．14. 甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7；乙：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4经过计算，两人射击环数的平均数均为7，S 甲2=1.2，S 乙2=______，因为S 甲2______S 乙2，所以______的成绩更稳定．15. 已知⊙O 的半径是4，则该圆的内接正方形的边长是______ ． 三、计算题（本大题共3小题，共17.0分）16. 计算：4sin60°−|3−√12|+(12)−1−(2018−π)017. 解不等式组{3(x −1)≤5x +12x <9−x 4并写出它的所有整数解．18.已知抛物线y=mx2+(3−2m)x+m−2(m≠0)与x轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点Q的坐标．四、解答题（本大题共9小题，共51.0分）19.22.如图1，已知ΔABC中，点D在AB边上，DE//BC交边AC于点E，且DE平分∠ADC．(1)求证：DB=DC；(2)如图2，在BC边上取点F，使∠DFC=60∘，若BC=7，BF=2，求DF的长。
2020届北京市东城区九年级5月统一练习(一模)数学试题有答案
P NMFEDCB A北京市东城区第二学期统一练习（一）初三数学学校班级姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．数据显示：2016年我国预期. 全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高. 将数据1 314用科学记数法表示应为A．31.31410⨯B．41.31410⨯C．213.1410⨯D．40.131410⨯2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．a b＜B．a C．D．3．在一个布口袋里装有白、红、小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是A．12B．13C．14D．164．某健步走运动的爱好者用手机个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是A．1.2，1.3 B．1.3，1.3C．1.4，1.35 D．1.4，1.35. 如图，A线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于A．15°B．25°C．30°D．45°6．下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同A B C D7．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有A．1条B．2条C．3条D．4条P O E DC B A8. 如图，点A ，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a +b 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 某经销商销售一批一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元．这批电话手表至少有A ．103块B ．104块C ．105块D ． 106块10. 图1是某娱乐节环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是图1 图2A. A O DB. E A CC. A E DD. E A B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ab a -+= ．12．请你写出一个二次函数，其图○1开口向上；○2与y 轴的交点坐标为（0，1）. 此二次函数的解析式可以是 ．13. 若关于方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．15. 北京市2012-2016年常住人口增量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为 万人次，你的预估理由是 .16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.AD请回答：该作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--. 18. 解不等式122123x x ++-＞，并写出它的正整数解. 19．先化简，再求值： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭，其中22410x x +-=． 20．如图，在△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，求∠BAD 的度数．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线6y x=相交于点A （m ，3），B (-6，n )，与x 轴交于点C ．（1）求直线()0y kx b k =+≠的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且32ACP BOC S S =△△，求点P 的坐 标（直接写出结果）．22．列方程或方程组解应用题：在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中 （次） 罚球得分（分） 篮板 （个） 助攻（次） 个人总得分（分） 数据 38 27 11 6 3 4 33注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF =CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BF A =60°，BE =23，求平行四边形ABCD 的周长．F E OCBAD图1DCBA24.阅读下列材料：“共享单车”府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态.共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择.自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行.Quest Mobile 监测的M 型与O 型单车从2016年10月——2017年1月的月度用户使用情况如下表所示：根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据； （2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论.25. 如图，四边形ABC ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若DB 平分∠ADC ，AB =a ，AD ∶DE =4∶1，写出求DE 长的思路．26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质. 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.DCBADCBA DCBA（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；○1 ○2 ○3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）.27．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关 系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，l 与新图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．28. 在等腰△ABC 中， （1）如图1，若△ABC 为等边三段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将 线段AD 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE . ①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ； 思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ； ……请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1图2图329．设平面内一点到等边三角为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点. 在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，2)，B （﹣3，﹣1），C (3，﹣1). （1）已知点D （2，2），E （3，1），F （21-，﹣1）. 在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是 ； （2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO =30°.①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存在．．．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程） （3）如图2，点Q 为直线y =﹣1上一动点，⊙Q 的半径为21. 当Q 从点（﹣4，﹣1）出个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒.是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.图1图2北京市东城区第二学期统一练习（一） 初三数学参考答案及评分标准三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 170112sin 60π)()2-︒+-解：原式=12-- …………4分 1. …………5分 18. 解： 去分母得：3（x +1）＞2（2x +2）﹣6， …………1分去括号得：3x +3＞4x +4﹣6， …………2分 移项得：3x ﹣4x ＞4﹣6﹣3， …………3分 合并同类项得：﹣x ＞﹣5， 系数化为1得：x ＜5. …………4分故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个. …………5分 19. 解： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭ =22422x x x x x x -++⋅--+ =242x x x x ++-+ =4(2)x x +. …………3分∵ 22410x x +-=. ∴ 2122x x +=. …………4分 原式=8. …………5分F ECBAD20. 解：由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线．则AD =DC ．故∠C =∠DAC ．…………2分 ∵ ∠C =30°， ∴ ∠DAC =30°． …………3分 ∵ ∠B =55°， ∴ ∠BAC =95°． …………4分 ∴ ∠BAD =∠BAC ﹣∠CAD =65°． …………5分 21．解：（1）由题意可求：m =2，n =-1．将（2，3），B (-6，-1)带入y kx b =+，得32,16.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得 1,22.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 直线的解析式为122y x =+. …………3分 （2）（-2,0）或（-6,0）. …………5分22．解：设本场比赛中该运动员投中两分球x 个，三分球y 个. …………1分依题意有23633,11.x y x y ++=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得6,5.x y =⎧⎨=⎩…………4分 答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个． …………5分 23. 解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB =CD ，∠F AD =∠AFB. 又∵ AF 平分∠BAD ， ∴ ∠F AD =∠F AB . ∴ ∠AFB =∠FAB . ∴ AB =BF.∴ BF =CD . …………3分（2）解：由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点.在Rt △BEF 中，∠BFA =60°，BE =3 可求EF =2，BF =4.∴ 平行四边形ABCD 的周长为12. …………5分24. 解：（1）…………4分（2）答案不唯一． …………5分25. 解：（1）证明：连接OD .∵ OD =CD ，∴ ∠ODC =∠OCD . ∵ AC 为⊙O 的直径， ∴ ∠ADC =∠EDC=90°. ∵ 点F 为CE 的中点， ∴ DF =CF .∴ ∠FDC =∠FCD . ∴ ∠FDO =∠FCO . 又∵ AC ⊥CE ，∴ ∠FDO =∠FCO =90°. ∴ DF 是⊙O 的切线. …………2分（2）○1由DB 平分∠ADC ，AC 为⊙O 的直径，证明△ABC 是等腰直角三角形； ○2 由AB =a ，求出AC 2a ； ○3 由∠ACE=∠ADC =90°，∠CAE 是公共角，证明△ACD ∽△AEC ，得到2AC AD AE =⋅； ○4设DE 为x ，由AD ∶DE =4∶1，求出10DE =. …………5分 26．解：（1）○2. …………1分 （2）它是一个轴对称图形；相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等. …………3分已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）燕尾四边形ABCD 的面积为12243. …………5分27.解：EDCBA,60. ..AD DE ADE ADE ABC EAB DAC AB AC AE AD EAB DAC CD BE =∠=︒∴∴∠=∠==∴∴=Q Q ，△为等边三角形.△为等边三角形,，，△≌△EE（1）对称轴方程：2(2)12(2)m x m -+=-=+. …………1分（2）①∵直线l 与抛物线只有一个公共点,∴23n m =-+. …………3分② 依题可知：当237m -+=-时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点.∴5m =. …………5分（3）抛物线2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+的顶点坐标是(1,23)m -+.依题可得 20,23 1.m m +>⎧⎨-+≥⎩解得2,1.m m >-⎧⎨≤⎩ ∴ m 的取值范围是21m -<≤. …………7分28.解：（1）30°； …………1分 （2）思路1：如图，连接AE .…………5分 思路2：过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F .…………5分思路3：延长CB 至G ，使BG =CD.=60.,=60..===60,.,..ABC AC BC BAC DF AB DFC CDF AF BD ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADF DEB DF BE CD ∴=∠︒∴∠︒∴∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.===60,.,ABC AC BC BAC CD BG DG AC ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ∴=∠︒=∴=∠∠∠︒∴∠=∠=Q Q Q Q △为等边三角形,，又_.__._ …………5分（3）k (BE +BD )=AC . …………7分29.解：（1）E ,F ; …………2分（2）①解：依题意A （0，2），M （32，0）.可求得直线AM 的解析式为233+-=x y . 经验证E 在直线AM 上.因为OE =OA =2，∠MAO =60°，所以△OAE 为等边三角形，所以AE 边上的高长为3.当点P 在AE 上时，3≤OP ≤2.所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点.所以0≤m ≤3; …………4分 ②﹣334≤b ≤2; …………6分 （3）t =25425-4+或 …………8分。
2020年北京市东城区初三一模数学试卷及答案
东城区2020年第一次模拟检测初三数学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．如图，若数轴上的点A，B分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是A. 2B.3C. 4D. 52. 当函数()212y x=--的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是A．x＞0B．x＜1C．1x＞D．x为任意实数3．若实数a，b满足a b＞，则与实数a，b对应的点在数轴上的位置可以是4．如图，O是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A．πB．3π2C．2πD．3π5．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°6．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x个，那么可列方程为A．30456x x=+B．30456x x=-C．30456x x=-D．30456x x=+7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是A．15B．25C．12D．358．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心的一段弧，且错误!未指定书签。
2019-2020学年北京市东城区九年级5月统一练习(一模)数学试题有标准答案
PNMF EDCBA北京市东城区第二学期统一练习（一）初三数学学校班级姓名 考号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．数据显示：2016年我国预期. 全年城镇新增就业1 314万人，高校毕业生就业创业人数再创新高. 将数据1 314用科学记数法表示应为A ．31.31410⨯B ．41.31410⨯C ．213.1410⨯D ． 40.131410⨯ 2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a b ＜B ．a b ＞-C ．b a ＞D ．2a ＞-3．在一个布口袋里装有白、红、小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是 A ．12 B ．13 C ．14 D ．164．某健步走运动的爱好者用手机个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 A ．1.2，1.3 B ．1.3，1.3 C ．1.4，1.35 D ．1.4，1.35. 如图，A 线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM 等于 A ．15° B ．25° C ．30° D ．45°6．下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同A B C DPOEDCBA7．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8. 如图，点A ，B 的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，则a +b 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 某经销商销售一批一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了．．．5.5万元．这批电话手表至少有 A ．103块 B ．104块 C ．105块 D ． 106块10. 图1是某娱乐节环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是图1 图2A. A O DB. E A CC. A E DD. E A B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ab a -+= ．12．请你写出一个二次函数，其图○1开口向上；○2与y 轴的交点坐标为（0，1）. 此二次函数的解析式可以是 ．13. 若关于方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 15. 北京市2012-2016年常住人口增量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2017年北京市常住人口增量约为 万人次，你的预估理由是 .16．下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.请回答：该作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--. 18. 解不等式122123x x ++-＞，并写出它的正整数解. 19．先化简，再求值： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭，其中22410x x +-=． 已知：线段AB.求作：以AB 为直径的⊙O .BA作法：如图， （1） 分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径 作弧，两弧相交于点C ，D ；（2）作直线CD 交AB 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 长为半径作圆. 则⊙O 即为所求作的.FECBAD20．如图，在△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，求∠BAD 的度数．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线6y x=相交于点A （m ，3），B (-6，n )，与x 轴交于点C ．（1）求直线()0y kx b k =+≠的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且32ACP BOC S S =△△，求点P 的坐 标（直接写出结果）．22．列方程或方程组解应用题：在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中 （次） 罚球得分（分） 篮板 （个） 助攻（次） 个人总得分（分） 数据38271163433注：（1）表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球；（2）总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分．根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各几个．23．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的角平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BF =CD ；（2）连接BE ，若BE ⊥AF ，∠BFA =60°，BE =3ABCD 的周长．24.阅读下列材料：“共享单车”府合作，在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车共享的一种服务，是共享经济的一种新形态.共享单车的出现让更多的用户有了更好的代步选择.自行车也代替了一部分公共交通甚至打车的出行.Quest Mobile 监测的M 型与O 型单车从2016年10月——2017年1月的月度用户使用情况如下表所示：F EOCBAD 图1DCBA根据以上材料解答下列问题：（1）仔细阅读上表，将O 型单车总用户数用折线图表示出来，并在图中标明相应数据； （2）根据图表所提提供的数据，选择你所感兴趣的方面，写出一条你发现的结论.25. 如图，四边形ABC ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若DB 平分∠ADC ，AB =a ，AD ∶DE =4∶1，写出求DE 长的思路．26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.DCBADCBA DCBA（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；○1 ○2 ○3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD 的面积（直接写出结果）.27．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>． （1）求该二次函数的对称轴方程； （2）过动点C (0, n )作直线l ⊥y 轴.① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关 系；② 若抛物线与x 轴有两个交点，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，l 与新图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时，直线的图象恰好有三个公共点，求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围． 28. 在等腰△ABC 中，（1）如图1，若△ABC 为等边三段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接DE ，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将 线段AD 绕点D逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE .①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ； 思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ； ……请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD ，AC 三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1图2图329．设平面内一点到等边三角为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r ≤d ≤R 的点叫做等边三角形的中心关联点. 在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0，2)，B （﹣3，﹣1），C (3，﹣1). （1）已知点D （2，2），E （3，1），F （21-，﹣1）. 在D ，E ，F 中，是等边△ABC 的中心关联点的是 ； （2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO =30°.①若线段AM 上存在等边△ABC 的中心关联点P （m ，n ），求m 的取值范围；②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存在．．．等边△ABC 的中心关联点；（直接写出答案，不需过程） （3）如图2，点Q 为直线y =﹣1上一动点，⊙Q 的半径为21. 当Q 从点（﹣4，﹣1）出个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒.是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边△ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值；如果不存在，请说明理由.图1图2北京市东城区第二学期统一练习（一） 初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBDCBBACA题号1112 1314 15 16答案2(-1)a b答案不唯一如：21y x =+1k ＜6答案不唯一，合理就行垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义题8分） 17．计算：011122sin 60(2π)()2--︒+--解：原式=23312-+- …………4分 =31-. …………5分 18. 解： 去分母得：3（x +1）＞2（2x +2）﹣6，…………1分去括号得：3x +3＞4x +4﹣6， …………2分 移项得：3x ﹣4x ＞4﹣6﹣3，…………3分合并同类项得：﹣x ＞﹣5， 系数化为1得：x ＜5.…………4分故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个.…………5分19. 解： 224122x x x x x -+⎛⎫-÷- ⎪++⎝⎭ =22422x x x x x x -++⋅--+ =242x x x x ++-+ =4(2)x x +. …………3分∵ 22410x x +-=. ∴ 2122x x +=. …………4分 原式=8. …………5分20. 解：由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线．则AD =DC ．故∠C =∠DAC ．…………2分 ∵ ∠C =30°，∴ ∠DAC =30°． …………3分 ∵ ∠B =55°，∴ ∠BAC =95°． …………4分 ∴ ∠BAD =∠BAC ﹣∠CAD =65°． …………5分21．解：（1）由题意可求：m =2，n =-1．将（2，3），B (-6，-1)带入y kx b =+，得32,16.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得 1,22.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 直线的解析式为122y x =+. …………3分 （2）（-2,0）或（-6,0）. …………5分22．解：设本场比赛中该运动员投中两分球x 个，三分球y 个. …………1分依题意有23633,11.x y x y ++=⎧⎨+=⎩. …………3分 解得6,5.x y =⎧⎨=⎩ …………4分答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个． …………5分FECBA D23. 解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB =CD ，∠FAD =∠AFB. 又∵ AF 平分∠BAD ， ∴ ∠FAD =∠FAB . ∴ ∠AFB =∠FAB . ∴ AB =BF.∴ BF =CD . …………3分（2）解：由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点.在Rt △BEF 中，∠BFA =60°，BE =23 可求EF =2，BF =4.∴ 平行四边形ABCD 的周长为12. …………5分24. 解：（1）…………4分（2）答案不唯一． …………5分25. 解：（1）证明：连接OD .∵ OD =CD ， ∴ ∠ODC =∠OCD . ∵ AC 为⊙O 的直径， ∴ ∠ADC =∠EDC=90°. ∵ 点F 为CE 的中点， ∴ DF =CF . ∴ ∠FDC =∠FCD . ∴ ∠FDO =∠FCO . 又∵ AC ⊥CE ， ∴ ∠FDO =∠FCO =90°.∴ DF 是⊙O 的切线. …………2分（2）○1由DB 平分∠ADC ，AC 为⊙O 的直径，证明△ABC 是等腰直角三角形； ○2 由AB =a ，求出AC 2a ； ○3 由∠ACE=∠ADC =90°，∠CAE 是公共角，证明△ACD ∽△AEC ，得到2ACAD AE =⋅；○4设DE 为x ，由AD ∶DE =4∶1，求出10DE a =. …………5分 26．解：（1）○2. …………1分 （2）它是一个轴对称图形；相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等. …………3分已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）燕尾四边形ABCD的面积为…………5分 27.解：（1）对称轴方程：2(2)12(2)m x m -+=-=+. …………1分（2）①∵直线l 与抛物线只有一个公共点,∴23n m =-+. …………3分 ② 依题可知：当237m -+=-时，直线l 与新的图象恰好有三个公共点. ∴5m =. …………5分（3）抛物线2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+的顶点坐标是(1,23)m -+.依题可得 20,23 1.m m +>⎧⎨-+≥⎩解得2,1.m m >-⎧⎨≤⎩ ∴ m 的取值范围是21m -<≤. …………7分28.解：（1）30°； …………1分 （2）思路1：如图，连接AE .EDCBA,60. ..AD DE ADE ADE ABC EAB DAC AB AC AE AD EAB DAC CD BE =∠=︒∴∴∠=∠==∴∴=Q Q ，△为等边三角形.△为等边三角形,，，△≌△E…………5分思路2：过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F .…………5分思路3：延长CB 至G ，使BG =CD.…………5分（3）k (BE +BD )=AC . …………7分 29.解：（1）E ,F ; …………2分 （2）①解：依题意A （0，2），M （32，0）.可求得直线AM 的解析式为233+-=x y . 经验证E 在直线AM 上. 因为OE =OA =2，∠MAO =60°， 所以△OAE 为等边三角形， 所以AE 边上的高长为3.=60.,=60..===60,.,..ABC AC BC BAC DF AB DFC CDF AF BD ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADF DEB DF BE CD ∴=∠︒∴∠︒∴∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形，，∥△为等边三角形.又△≌△=60.,.===60,.,.,==60..ABC AC BC BAC CD BG DG AC ADE ACB ABC DAF EDB AD DE ADC DEG CD EG BG C G BGE BE BG CD ∴=∠︒=∴=∠∠∠︒∴∠=∠=∴∴==∠∠︒∴∴==Q Q Q Q △为等边三角形,，又△≌△△为等边三角形.当点P 在AE 上时，3≤OP ≤2.所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点. 所以0≤m ≤3; …………4分 ②﹣334≤b ≤2; …………6分 （3）t =25425-4 或 …………8分。
2020年北京市东城区中考数学一模试题及答案
东城区2019—2020学年度第二学期初三年级统一测试（一）初三数学2020．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个1．2019年上半年北京市实现地区生产总值15 212.5亿元，同比增长6.3%.总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展. 将数据15 212.5用科学计数法表示应为A．1.521 25×105B．1.521 25×104C．0.152 125×105D．0.152 125×1062．如图是某几何体的三视图,该几何体是A.长方体B.正方体球 D. 圆柱3．如图，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上.若148∠的度数是∠=︒，那么2A．48︒B．78︒C．92︒D．102︒4.将2a2﹣8分解因式，结果正确的是A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）25．点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,AC＝1,OA＝OB,若点C所表示的数为a,则点B所表示的数为A.－(a+1)B.－(a－1)C.a+1D.a－16．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作MN，交射线OB于点D，连接CD；(2) 分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是A ．CP ∥OBB ．CP = 2QC C ．∠AOP =∠BOPD ．CD ⊥OP7．将 4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2．若S 1＝53S 2，则a ，b 满足A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b8．党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础.以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分. 2017 2018 2019 东部 300 147 47 中部 1 112 181 西部1 634916323（以上数据来源于国家统计局）根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是 A. 2018年中部地区农村贫困人口为 597万人B. 2017-2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C. 2016-2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D. 2017-2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低二、填空题（本题共16分，每小题2分）921x -x 的取值范围是 ．10．随机从 1， 2， 3， 4中任取两个不同的数，分别记为a 和b ， 则 a +b ＞4的概率是_______． 11．若230x x +-=，则代数式2(x -2)(x +2)－x (x －1)的值是 ．12．如果一个正n 边形的每个内角为108︒，那么这个正n 边形的边数为 ．地区人数 年份13．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？ 设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，则可列二元一次方程组为 ．14．如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB ，BC 都相切．连接OC ，则tan ∠OCB ＝__________．15. 甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s （米）与时间 t （秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：○1乙队率先到达终点 ； ○2甲队比乙队多走了126米； ○3在47.8秒时，两队所走路程相等； ○4从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢. 所以正确判断的序号是 ．16．从-1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a k ，b k ）构成一个数对M K ={a k ，b k }（其中k =1，2…s ，且将{a k ，b k }与{b k ，a k }视为同一个数对），若满足：对于任意的M i ={a i ，b i }和M j ={a j ，b j }（i ≠j ，1≤i ≤s ，1≤j ≤s ）都有a i +b i ≠a j +b j ，则s 的最大值是 ．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()01133π2cos602----++（）.18．解不等式组： 263210.54x x x x -<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩，19．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果. 解分式方程：331221x x x x --=++．解：去分母，得 2x +2﹣（x ﹣3）＝3x . …………………步骤1去括号，得 2233x x x +--=. …………………步骤2移项，得 2323x x x --=-. …………………步骤3 合并同类项，得21x -=-. …………………步骤4解得 12x =. …………………步骤5 所以，原分式方程的解为12x =. …………………步骤620. 已知关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根.（1）求a 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a 的值及方程的另一个实数根.21． 如图，在菱形ABCD 中，BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F .（1）求证：BF =DE ；（2）分别延长BE 和AD ，交于点G ，若∠A =45°时，求DGAD 的值. 22．如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数my x=（m ≠0，x ＞0）的图象在第一象限交于点A ,B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．已知A （1，4），14CD CE =． （1）求m 的值和一次函数的解析式；（2）若点M 为反比例函数图象在A ,B 之间的动点，作射线OM 交直线AB 于点N ，当MN 长度最大时，直接写出点M 的坐标．23． 如图，直线l 与⊙O 相离，l OA ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5=OA .C 是直线l 上一点，连接CP 并延长，交⊙O 于点B ，且AC AB =.（1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若1tan 2ACB =∠，求线段BP 的长.24．人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总.人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及制定各项方针政策的制定都具有重要的意义.下面是关于人口统计数据的部分信息.a.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：b.人口数量在2≤x＜4这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.73.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9c.2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：0-14岁人口比例15-59岁人口比例60岁及以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%e.世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50‰,最低<20‰,2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点.根据以上信息，回答下列问题（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第___位.（2）人口增长率=人口出生率-人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有____个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为____千万人.(保留小数点后一位）（3）下列说法中合理的是________①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；② 随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力.25．如图，P 是线段AB 上的一点，AB =6cm ，O 是AB 外一定点．连接OP ，将OP 绕点O 顺时针旋转120°得OQ ，连接PQ ，AQ ．小明根据学习函数的经验，对线段AP ，PQ ，AQ 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P 在AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ，PQ ，AQ 的长度（单位：cm ）的几组值，如下表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 PQ 4.00 2.31 0.84 1.43 3.07 4.77 6.49 AQ4.003.082.231.571.401.852.63在AP ，PQ ，AQ 的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ=PQ 时，线段AP 的长度约为________cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y =ax 与抛物线y =ax 2 -2ax -1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W . (1) 求抛物线顶点坐标（用含a 的式子表示）；(2) 当a =21时，写出区域W 内的所有整点坐标； (3) 若区域W 内有3个整点，求a 的取值范围.27．如图，在正方形ABCD 中，AB =3， M 是CD 边上一动点（不与D 点重合），点D 与点E 关于AM 所在的直线对称，连接AE ，ME ，延长CB 到点F ，使得BF =DM ，连接EF ，AF .（1） 依题意补全图1； （2） 若DM =1，求线段EF 的长；（3） 当点M 在CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时tan ∠DAM 的值.28．在△ABC 中，CD 是△ABC 的中线，如果CD 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则CD 称为△ABC的中线弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，AC =1，D 是AB 的中点．①如图1，若=45A ︒∠，画出△ABC 的一条中线弧CD ，直接写出△ABC 的中线弧CD 所在圆的半径r 的最小值；②如图2，若60A ∠=，求出△ABC 的最长的中线弧CD 的弧长l ．图1 图2（2）在平面直角坐标系中，已知点A （2，2），B （4，0），C （0，0），在△ABC 中，D 是AB 的中点．求△ABC 的中线弧CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围．图1DM备用图DCBA东城区2019—2020学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学参考答案及评分标准 2020.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D CBACC二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9．12x ≥10．23 11． 5- 12．5 13．501030,2.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 14．35 15．○3○4 16．5 三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分） 17.解：原式=3112-++ -----------------4分=32+. -----------------5分18．解：由○1得，x ＞－6. --------------2分由○2得，x ≤13. --------------4分 ∴不等式的解集为－6＜x ≤13. ---------------5分19.解：错误的步骤是：第一步、第二步、第三步、第六步，理由略. --------------4分 正确的结果是1x =. ---------------5分 20.解：（1）∵关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，且a ≠0.即22-4(3)0a ⋅-＞，且a ≠0．∴a ＞13-且a ≠0. -----------------3分 （2）将1x =代入方程ax 2+2x －3＝0， 解得1a =.将1a =代入方程ax 2+2x －3＝0， 解方程得 121, 3.x x ==-∴ 方程的另一个根为 3.x =- -----------------5分21．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴ CB =CD .又∵ BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ， ∴ ∠BEC =∠DFC =90°. ∵ ∠C =∠C ， ∴ △BEC ≌△DFC . ∴ EC =FC .∴ BF =DE . -----------------------------------2分（2）设AD =2a ，∵∠A =45°，∴△DEG 和△BEC 都是等腰直角三角形. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴=DG DG DEAD BC CE=. 可求出,(21)CE a DE a ==-.∴=2-1DGAD.-----------------------------------5分 22.解：（1）将点A （4，1）代入m y x=, 得 4m = .∴反比例函数解析式为4y x=. ∵BE ⊥y 轴，AD ⊥y 轴， ∴∠CEB ＝∠CDA ＝90°. ∴△CDA ∽△CEB . ∴CD ADCE BE=. ∵14CD CE =， ∴BE ＝4AD . ∵A （1，4）， ∴AD ＝1. ∴BE ＝4. ∴x B ＝4. ∴y B =4x =1. ∴B （4，1）.将A （1，4），B （4，1）代入y ＝kx +b ，得， 4,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，k ＝﹣1，b ＝5.∴一次函数的解析式为 y ＝﹣x +5. ………………………………3分（2）当MN 长度最大时，点M 的坐标为（2，2）. ………………………………5分 23. 解：(1) 证明：如图，连结OB ，则OB OP =.∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠. AC AB =，ABC ACB ∠=∠∴.而l OA ⊥，即︒=∠90OAC . ︒=∠+∠∴90CPA ACB . 即︒=∠+∠90OBP ABP . ︒=∠∴90ABO ，AB OB ⊥∴，故AB 是⊙O 的切线. ………………………………2分（2）∵ 1tan 2ACB =∠， ∴ 在Rt △ACP 中，设AP =x ,AC =2x . ∵ 5=OA ， ∴ 5OP x =-. ∴ 5OB x =-. AC AB =， ∴2AB x =.∵︒=∠90ABO ， 由勾股定理，得222OB AB OA +=.即2225-)25x x +=（（）. 解得 2x =. ∴ AP =2.∴3OB OP ==. ∴4AB AC ==. ∴CP =过O 作PB OD ⊥于D ， 在ODP △和CAP △中，CPA OPD ∠=∠ ，=∠=∠90CAP ODP ∴ODP △∽CAP △.=PD OP ODPA CP CA∴=. 553=⋅=∴CP PA OP PD .5562==∴PD BP . ………………………………6分 24．解：（1）6； ----------------2分（2）2，3.8； ------------------4分（3）①② . -----------------6分25.解： (1)AP ，PQ ，AQ ； ------------------3分(2)如图所示：-----------------5分(3)线段AP 的长度约为3.07cm ．-----------------6分26．解：（1）y =ax 2 -2ax -1=2(1)1a x a ---.∴ 抛物线顶点坐标为（1， -a -1）. -----------------2分（2）当a =21时，画出直线y =21x 和抛物线2112y x x =--围成的封闭区域W . ∴ 区域W 内的所有整点坐标分别为(1,0)，(2,0)，(1,-1)，(3,1). -----------------4分（3）○10a ＞，当a =21时，区域W 内的所有整点有4个；当12a ＞时，区域W 内的所有整点多于3个；当1132a ＜＜时，区域W 内的所有整点有4个；当a =13时，区域W 内的所有整点有3个；当13a 0＜＜时，区域W 内的所有整点多于3个. ○20a ＜，当-10a ≤＜时，区域W 内的所有整点有0个；当32a -＜时，区域W 内的所有整点多于3个.∴ 区域W 内有3个整点，a 的取值范围是3-12a ≤<-. 综上，a 的取值范围是 a =31或3-12a ≤<-. -----------------6分 27. 解：（1）补全图形如图1所示. -----------------1分（2）如图2，连接BM ．∵点D 与点E 关于AM 所在的直线对称，∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∠D =∠ABF =90°.又∵DM = BF ， 图1 ∴△ADM ≌△ABF .∴AF =AM ，∠FAB =∠MAD ．∴∠FAB =∠MAE .∴∠FAB +∠BAE =∠BAE +∠MAE ．∴∠FAE =∠MAB ．∴△FAE ≌△MAB （SAS ）．∴EF =BM ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD =AB =3． 图2 ∵DM =1，∴CM =2．∴在Rt △BCM 中，BM =2213CM BC +=.∴EF =13. -----------------5分（3）当点M 在CD 边上运动时，若使△AEF 为等腰三角形，则tan ∠DAM=1或12. …………………………………7分28．（1）①如图（答案不唯一）中线弧CD 所在圆的半径r 的最小值为21． -----------------2分 ②当中线弧CD 所在圆与AC ，AB 都相切时，中线弧CD 的弧长l 最大．如图，此时中线弧CD 所在圆的圆心在BC 上，半径为33．所以最大弧长l 1202360=⨯=． -----------------3分 (2) △ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 在CD 的垂直平分线上． 如图，若中弧线CD 在CD 下方，当中弧线CD 所在圆与BC 相切时，可得圆心P 的坐标为（0,5）．所以△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 的纵坐标5≥t ．如图，若中弧线CD 在CD 上方，当中弧线CD 所在圆与AC 相切时，可得圆心P 的坐标为（25，25-）．所以△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 的纵坐标25-≤t ． 综上，△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心P 的纵坐标t 的取值范围为： 5≥t 或25-≤t ． ……………………………………………………7分。
03.2020东城初三数学一模试题答案
东城区2019—2020学年度第二学期初三年级统一测试（一）数学参考答案及评分标准 2020.5题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D CBACC9．12x ≥10．23 11． 5- 12．5 13．501030,2.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 14．315．○3○4 16．5 三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分） 17.解：原式=3112-++ -----------------4分 =32+. -----------------5分18．解：由○1得，x ＞－6. --------------2分由○2得，x ≤13. --------------4分 ∴不等式的解集为－6＜x ≤13. ---------------5分19.解：错误的步骤是：第一步、第二步、第三步、第六步，理由略. --------------4分 正确的结果是1x =. ---------------5分 20.解：（1）∵关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，且a ≠0.即22-4(3)0a ⋅-＞，且a ≠0．∴ a ＞13-且a ≠0. -----------------3分（2）将1x =代入方程ax 2+2x －3＝0， 解得1a =.将1a =代入方程ax 2+2x －3＝0， 解方程得 121, 3.x x ==-∴ 方程的另一个根为 3.x =- -----------------5分21．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴ CB =CD .又∵ BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ， ∴ ∠BEC =∠DFC =90°. ∵ ∠C =∠C ， ∴ △BEC ≌△DFC . ∴ EC =FC .∴ BF =DE . -----------------------------------2分 （2）设AD =2a ，∵∠A =45°，∴△DEG 和△BEC 都是等腰直角三角形. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴=DG DG DEAD BC CE=. 可求出,(21)CE a DE a ==-.∴=2-1DGAD.-----------------------------------5分 22.解：（1）将点A （4，1）代入m y x=, 得 4m = .∴反比例函数解析式为4y x=. ∵BE ⊥y 轴，AD ⊥y 轴， ∴∠CEB ＝∠CDA ＝90°. ∴△CDA ∽△CEB . ∴CD ADCE BE=. ∵14CD CE =， ∴BE ＝4AD . ∵A （1，4）， ∴AD ＝1. ∴BE ＝4. ∴x B ＝4. ∴y B =4x =1. ∴B （4，1）.将A （1，4），B （4，1）代入y ＝kx +b ， 得， 4,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，k ＝﹣1，b ＝5.∴一次函数的解析式为 y ＝﹣x +5. ………………………………3分（2）当MN 长度最大时，点M 的坐标为（2，2）. ………………………………5分 23. 解：(1) 证明：如图，连结OB ，则OB OP =.∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠. ΘAC AB =，ABC ACB ∠=∠∴.而l OA ⊥，即︒=∠90OAC . ︒=∠+∠∴90CPA ACB . 即︒=∠+∠90OBP ABP . ︒=∠∴90ABO ，AB OB ⊥∴，故AB 是⊙O 的切线. ………………………………2分（2）∵ 1tan 2ACB =∠， ∴ 在Rt △ACP 中，设AP =x ,AC =2x . ∵ 5=OA ， ∴ 5OP x =-. ∴ 5OB x =-. ΘAC AB =， ∴2AB x =.∵︒=∠90ABO ， 由勾股定理，得222OB AB OA +=.即2225-)25x x +=（（）. 解得 2x =. ∴ AP =2.∴3OB OP ==. ∴4AB AC ==. ∴CP =过O 作PB OD ⊥于D ， 在ODP △和CAP △中，CPA OPD ∠=∠Θ，=∠=∠90CAP ODP ∴ODP △∽CAP △.=PD OP OD PA CP CA∴=.553=⋅=∴CP PA OP PD . 5562==∴PD BP . ………………………………6分 24．解：（1）6； ----------------2分 （2）2，3.8； ------------------4分 （3）①② . -----------------6分25.解： (1)AP ，PQ ，AQ ； ------------------3分(2)如图所示：-----------------5分(3)线段AP 的长度约为3.07cm ．-----------------6分26．解：（1）y =ax 2 -2ax -1=2(1)1a x a ---.∴ 抛物线顶点坐标为（1， -a -1）. -----------------2分 （2）当a =21时，画出直线y =21x 和抛物线2112y x x =--围成的封闭区域W . ∴ 区域W 内的所有整点坐标分别为(1,0)，(2,0)，(1,-1)，(3,1). -----------------4分（3）○10a ＞，当a =21时，区域W 内的所有整点有4个；当12a ＞时，区域W 内的所有整点多于3个；当1132a ＜＜时，区域W 内的所有整点有4个；当a =13时，区域W 内的所有整点有3个；当13a 0＜＜时，区域W 内的所有整点多于3个.○20a ＜，当-10a ≤＜时，区域W 内的所有整点有0个；当32a -＜时，区域W 内的所有整点多于3个.∴ 区域W 内有3个整点，a 的取值范围是3-12a ≤<-. 综上，a 的取值范围是 a =31或3-12a ≤<-. -----------------6分 27. 解：（1）补全图形如图1所示. -----------------1分（2）如图2，连接BM ．∵点D 与点E 关于AM 所在的直线对称， ∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD =AB ，∠D =∠ABF =90°.又∵DM = BF ， 图1 ∴△ADM ≌△ABF .∴AF =AM ，∠FAB =∠MAD ． ∴∠FAB =∠MAE .∴∠FAB +∠BAE =∠BAE +∠MAE ． ∴∠FAE =∠MAB ．∴△FAE ≌△MAB （SAS ）． ∴EF =BM ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD =AB =3． 图2 ∵DM =1， ∴CM =2．∴在Rt △BCM 中，BM =2213CM BC +=.∴EF =13. -----------------5分（3）当点M 在CD 边上运动时，若使△AEF 为等腰三角形，则tan∠DAM=1或12. …………………………………7分28．（1）①如图（答案不唯一）中线弧»CD所在圆的半径r的最小值为21．-----------------2分②当中线弧»CD所在圆与AC，AB都相切时，中线弧»CD的弧长l最大．如图，此时中线弧»CD所在圆的圆心在BC上，半径为33．所以最大弧长l1203232ππ360=⨯=．-----------------3分(2) △ABC的中弧线»CD所在圆的圆心P在CD的垂直平分线上．如图，若中弧线»CD在CD下方，当中弧线»CD所在圆与BC相切时，可得圆心P的坐标为（0,5）．所以△ABC的中弧线»CD所在圆的圆心P的纵坐标5≥t．如图，若中弧线»CD在CD上方，当中弧线»CD所在圆与AC相切时，可得圆心P的坐标为（25，25-）．所以△ABC的中弧线»CD所在圆的圆心P的纵坐标25-≤t．综上，△ABC的中弧线»CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：5≥t或25-≤t．……………………………………………………7分。
2020年北京市东城区中考数学一模试卷-含详细解答
⏜2020 年北京市东城区中考数学一模试卷-含详解一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）1. 2019 年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%.总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为( )A. 1.52125 × 105B. 1.52125 × 104C. 0.152125 × 105D. 0.152125 × 106 2.如图是某几何体的三视图，该几何体是( )A. 长方体B. 正方体C. 球D. 圆柱3. 如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一 边上，若∠1 = 48°，那么∠2的度数是( )A. 48°B. 78°C. 92°D. 102° 4. 把2a 2 − 8分解因式，结果正确的是( )A. 2(a 2 − 4)B. 2(a − 2)2C. 2(a + 2)(a − 2)D. 2(a + 2)25.点 O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC = 1，OA = OB.若点 C 所表示的数为 a ，则点 B 所表示的数为( )A. −(a + 1)B. −(a − 1)C. a + 1D. a − 16.已知锐角∠AOB ，如图，(1)在射线 OA 上取一点 C ，以点 O 为圆心，OC 长为半径作MN ，交射线 OB 于点D ，连接 CD ；(2)分别以点 C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点 P ，连接 CP ，DP ； (3)作射线 OP 交 CD 于点 Q ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A. CP//OBC. ∠AOP = ∠BOPB. CP = 2QC D. CD ⊥ OP37.将4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2.若S1=5S2，则a，b满足()A.2a=5bB.2a=3bC.a=3bD.a=2b8.党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量(单位：万人)及分布情况绘制的统计图表的一部分．年份人数201720182019地区东部中部西部3001112163414791647181323(以上数据来源于国家统计局)根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是()A.2018年中部地区农村贫困人口为597万人B.2017−2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C.2016−2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D.2017−2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如果√2x−1在实数范围内有意义，那么x的取值范围是______．10.随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b>4的概率是______．11.若x2+x−3=0，则代数式2(x−2)(x+2)−x(x−1)的值是______．12.如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为______．13.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为______．14.如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB=______．15.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：①乙队率先到达终点；②甲队比乙队多走了126米；③在47.8秒时，两队所走路程相等；④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．所有正确判断的序号是______．16.从−1，0，2，3四个数中任取两个不同的数(记作ak ，bk)构成一个数对Mk={a k ,bk)(其中k=1，2，…，s，且将{ak,bk}与{bk,ak}视为同一个数对)，若满足：对于任意的Mi ={ai,bi}和Mj={aj,bj)(i≠j,1≤i≤s,1≤j≤s)都有ai+bi≠a j +bj，则s的最大值是______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17.已知，关于x的一元二次方程x2+(a−1)x−a=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．18.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，原方程的根也是整数．四、解答题（本大题共15小题，共90.0分）19.菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；(2)如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．20.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=√5，BD=2，求OE的长．21.为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：成绩x学校50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100甲乙461131315101422(说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格)b.甲校成绩在70≤x<80这一组的是：70707071727373737475767778c.甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲乙74.2n73.5768584根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中n的值；(2)在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是______校的学生(填“甲”或“乙”)，理由是______；(3)假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．22.计算：|−√3|−(3−π)0+2cos60°+(1)−1．22x−6<3x23.解不等式组：{x+2−x−1≥0．5424.观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．2x2=x1．解分式方程：1−x−33x解：去分母，得2x2−(x−3)=3x，…步骤1去括号，得2x2−x−3=3x，…步骤2移项，得2x−x−3x=2−3，…步骤3合并同类项，得−2x=−1，…步骤4解得x=1.…步骤52所以，原分式方程的解为x=1.…步骤6225.已知关于x的方程ax22x−3=0有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．26.如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．(1)求证：BF=DE；(2)分别延长BE和AD，交于点G，若∠A=45°，求DG的值．AD27.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=m(m≠0,x>0)的图象在第一象限内x交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E.已知A(1,4)，CD=1．CE4(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．28.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5.C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB=AC．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若tan∠ACB=1，求线段BP的长．229.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普査等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．a.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)的频数分布直方图(数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12)：b.人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9c.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)、出生率(单位：‰)、死亡率(单位：‰)的散点图：d.如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：0～14岁人口比例15～59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查第五次人口普查第六次人口普查40.4%22.89%16.6%54.1%66.78%70.14%5.5%10.33%13.26%e.世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50‰，最低< 20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．根据以上信息，回答下列问题：(1)2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第______位．(2)人口增长率=人口出生率−人口死亡率，我国大陆(不含港澳台)地区中人口在2018年出现负增长的地区有______个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为______千万人(保留小数点后一位)．(3)下列说法中合理的是______．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．30.如图，P是线段AB上的一点，AB=6cm，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ.小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度(单位：cm)的几组值，如表：AP PQ AQ 位置10.004.004.00位置21.002.313.08位置32.000.842.23位置43.001.431.57位置54.003.071.40位置65.004.771.85位置76.006.492.63在AP，PQ，AQ的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当AQ=PQ时，线段AP的长度约为______cm．⏜ C D ⏜ ⏜ ⏜31. 在平面直角坐标系 xOy 中，橫、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y = ax 与抛物线y = ax 2 − 2ax − 1(a ≠ 0)围成的封闭区域(不包含边界)为 W ． (1)求抛物线顶点坐标(用含 a 的式子表示)；(2)当a = 1时，写出区域 W 内的所有整点坐标；2(3)若区域 W 内有 3 个整点，求 a 的取值范围．32. 如图，在正方形 ABCD 中，AB = 3，M 是 CD 边上一动点(不与 D 点重合)，点 D与点 E 关于 AM 所在的直线对称，连接 AE ，ME ，延长 CB 到点 F ，使得BF = DM ，连接 EF ，AF ． (1)依题意补全图 1；(2)若DM = 1，求线段 EF 的长；(3)当点 M 在 CD 边上运动时，能使△ AEF 为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM 的值．33. 在△ ABC 中，CD △是ABC 的中线，如果CD 上的所有点都在△ ABC 的内部或边上，则称 ⏜ △为 ABC 的中线弧． (1)在Rt △ ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 1，D 是 AB 的中点．①如图 1，若∠A = 45°，画出△ ABC 的一条中线弧CD ，直接写出△ ABC 的中线弧 CD 所在圆的半径 r 的最小值；②如图 2，若∠A = 60°，求出△ ABC 的最长的中线弧CD 的弧长l ． (2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,2)，B(4,0)，C(0,0)△，在ABC 中，D 是 AB的中点．求△ABC的中线弧⏜所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．C D答案和解析1.【答案】B【解析】解：15212.5用科学记数法表示应为1.52125×104，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】D【解析】解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：D．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．3.【答案】D【解析】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．故选：D．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．4.【答案】C【解析】解：原式=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)，故选：C．原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．【解答】解：∵O为原点，AC=1，OA=OB，点C所表示的数为a，∴点A表示的数为a−1，∴点B表示的数为：−(a−1)，故选：B．6.【答案】A【解析】解：由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP，故C正确，不符合题意；23 3由作图(1)(2)可知：OC = OD ，CP = DP ，∴ OP 是 CD 的垂直平分线，∴ CD ⊥ OP ，故 D 正确，不符合题意；由作图(2)可知：CD = CP = PD ，∴△ CDP 是等边三角形，∵ CD ⊥ OP ，∴ CP = 2CQ ，故 B 正确，不符合题意；∵ ∠AOP = ∠BOP ，当OC = CP 时，∠AOP = ∠CPO ，∴ ∠CPO = ∠BOP ，∴ CP//OB ，故 A 错误，符合题意；故选：A ．由作图知OC = OD ，CD = CP = DP ，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线 的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．本题考查作图−基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：由题意得：S 2 = 1 ab × 4 = 2ab ，S 1 = (a + b)2 − 2ab = a 2 + b 2，∵ S 1 = 5 S 2，∴ 3a 2 + 3b 2 = 5 × 2ab ，∴ 3S 1 = 5S 2∴ 3a 2 − 10ab + 3b 2 = 0，∴ (3a − b)(a − 3b) = 0，∴ 3a = b(舍)，或a = 3b ．故选：C ．先用含有 a 、b 的代数式分别表示出S 1和S 2，再根据S 1 = 5 S 2得到关于 a 、b 的等式，整 理即可．本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关 键．8.【答案】C【解析】解：A 、2018 年中部地区农村贫困人口为：1660 − 147 − 916 = 597(万人). 故 A 的说法正确；B 、由统计表可知 B 选项说法正确；C 、∵ 4335 − 3046 = 1289，3046 − 1660 = 1386，1660 − 551 = 1109，∴ 1109 < 1289 < 1386，故 C 不正确，D、∵30047≈0.843，1112181≈0.837，1634323≈0.802，30011121634∴0.802<0.837<0.843，∴D说法正确．∴只有C推断不正确．故选：C．分别对照统计表和统计图分析或计算即可．本题考查了条形统计图及统计表，明确相关统计基础知识并会根据图表进行分析是解题的关键．9.【答案】x≥12【解析】解：由题意得：2x1≥0，解得：x≥1，2故答案为：x≥1．2根据二次根式有意义的条件可得2x1≥0，再解不等式即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．10.【答案】23【解析】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a+b>4的有8种结果，∴a+b>4的概率是8=2，123故答案为：2．3首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a+b>4的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．11.【答案】5【解析】解：原式=2(x24)x2+x=2x28x2+x=x2+x8，∵x2+x3=0，∴x2+x=3，则原式=38=5，故答案为：5．13.【答案】50x+10y=30tan30∘==3，先根据整式的混合运算法则化简原式，再将x2+x=3代入计算可得．本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及整体代入思想的运用．12.【答案】5【解析】解：由题意得，(n1)×180°=108°，n解得，n=5，故答案为：5．根据多边形的内角和公式列出算式，计算即可．本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．x+y=2x+y=2【解析】解：依题意得：50x+10y=30，x+y=2故答案是：50x+10y=30．设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．14.【答案】√35【解析】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC=∠OBA=1∠ABC=30°，2∴tan∠OBC=OD，BD∴BD=OD√3√33∴CD=BC BD=83=5，∴tan∠OCB=OD=√3．CD5故答案为√3．5根据切线长定理得出∠OBC=∠OBA=1∠ABC=30°，解直角三角形求得BD，即可求2得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．15.【答案】③④【解析】解：由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，故①错误；由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，故②错误；−由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为 174 米，故③正确；由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，故④正确． ∴正确判断的有：③④．故答案为：③④．根据函数图象所给的信息，逐一判断．本题考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出 函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．16.【答案】5【解析】解：∵ −1 + 1 = 0，−1 + 2 = 1，−1 + 3 = 2，0 + 2 = 2，0 + 3 = 3，2 + 3 = 5，∴ a i + b i 共有 5 个不同的值．又∵对于任意的M i = {a i , b i }和M j = {a j , b j )(i ≠ j,1 ≤ i ≤ s , 1 ≤ j ≤ s)都有a i + b i ≠ a j + b j ，∴ s 的最大值是 5．故答案为：5．找出a i + b i 的值，结合对于任意的M i = {a i , b i }和M j = {a j , b j )(i ≠ j,1 ≤ i ≤ s , 1 ≤ j ≤s)都有a i + b i ≠ a j + b j ，即可得出 s 的最大值．本题是一道考查数字的变化类的题型，找出a i + b i 共有几个不同的值是解题的关键． 17.【答案】(1)证明：∵ x 2 + (a − 1)x − a = 0是关于 x 的一元二次方程，∴△= (a − 1)2 + 4a = a 2 + 2a + 1 = (a + 1)2 ≥ 0，∴方程总有两个实数根；(2)解：由求根公式得，x = −(a−1)±(a +1) ， 2∴ x 1 = 1，x 2 = −a ，∵该方程有一个根是负数，∴ −a < 0，∴ a > 0．【解析】(1)根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；(2)利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程，熟记一元二次 方程的求根公式是解本题的关键．18.【答案】(1)证明：△= (m + 3)2 − 4(m + 1) = m 2 + 6m + 9 − 4m − 4 = m 2 + 2m + 5 = (m + 1)2 + 4，∵ (m + 1)2 ≥ 0，∴ (m + 1)2 + 4 > 0，则无论 m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；(2)解：关于 x 的一元二次方程x 2 + (m + 3)x + m + 1 = 0，利用公式法解得：x = −m−3±√(m+1) 2+4，2要使原方程的根是整数，必须使得(m + 1)2 + 4是完全平方数，设(m + 1)2 + 4 = a 2，变形得：(a + m + 1)(a − m − 1) = 4，∵ a + m + 1和a − m − 1的奇偶性相同，可得{a −a+m+1=2= 2.或{a −a+m+1=−2 −2.，解得：{m a=2−1.或{m a=−2−1.，将m=−1代入x=−m−3±√(m1)24，得x1=−2，x2=0符合题意，2∴当m=−1时，原方程的根是整数．【解析】(1)表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；(2)由(1)得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出解，要使原方程的根是整数，必须使得(m1)24是完全平方数，设(m1)24=a2，变形得：(am1)(a−m−1)=4，由a m1和a−m−1的奇偶性相同，列出方程组，求出方程组的解得到a与m的值，代入解中检验即可得到满足题意m的值．此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．19.【答案】证明：(1)连接AC，∵在菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°−∠B=120°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°−∠AEF=30°，∴∠CFE=180°−∠FEC−∠ECF=180°−30°−120°=30°，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=CF，∴BE=DF；(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD//BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF∠FAD=60°∠FAD，∠AFC=∠D∠FAD=60°∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在ABE△和ACF中，△∠B=∠ACF∠AEB=∠AFCAB=AC∴△ABE≌△ACF(AAS)，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．【解析】(1)首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；(2)首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．20.【答案】解：(1)∵AB//CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=1BD=1，2在Rt△AOB中，AB=√5，OB=1，∴OA=√AB2−OB2=2，∴OE=OA=2．【解析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DCA=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；(2)先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．21.【答案】解：(1)这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n=7273=72.5；2(2)甲；这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，故选甲；(3)在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为142=16．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为800×16=320．40【解析】【分析】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．(1)根据中位数的定义求解可得；(2)根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；(3)利用样本估计总体思想求解可得．22{，2x2=x1．【解答】解：(1)这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n=7273=72.5；2(2)甲；这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．(3)在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为142=16．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为800×16=320．4022.【答案】解：原式=√3−12×1=√3−112=√32．【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23.【答案】解：不等式组可以转化为：x>−6x≤13在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为−6<x≤13．【解析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交集，则不等式组无解．求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24.【答案】解：出错的步骤：步骤1：去分母时，方程两边同时乘2(x1)，等号右边应该是6x；步骤2：遇到负号去括号时要变号，等号左边−3改成3；步骤3：移项要变号，等号右边是3−2；步骤6：分式方程的根要检验．正确结果：1−x−33x2x2−(x−3)=6x2x2−x3=6x2x−x−6x=−2−3−5x=−5x=1检验：把x=1代入2(x1)≠0，所以原分式方程的解是x=1．0 0 0【解析】根据解分式方程的步骤来分析，记得验根．本题主要考查了解分式方程的步骤，尤其是最后的检验步骤，一定不能忘记，这也是 分式方程根整式方程的不同之处．25.【答案】解：(1) ∵关于 x 的方程ax 2 + 2x − 3 = 0有两个不相等的实数根，∴△> 0，且a ≠ 0，即22 − 4a ⋅ (−3) > 0，且a ≠ 0，∴ a > − 1且a ≠ 0； 3(2)将x = 1代入方程ax 2 + 2x − 3 = 0，解得：a = 1，把a = 1代入ax 2 + 2x − 3 = 0，得x 2 + 2x − 3 = 0，解方程得，x 1 = 1，x 2 = −3，∴ a 的值为 1，方程的另一个实数根为−3．【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax 2 + bx + c =0(a ≠ 0)的根的判别式是b 2 − 4ac > 0即可进行解答；(2)解方程即可得到结论．本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，(1)△当 > 时，方程有两个不相等的实数根；(2)△当 = 时，方程有两个相等的实 数根；(3)△当 < 时，方程没有实数根． 26.【答案】(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ CB = CD ，∵ BE ⊥ CD 于点 E ，DF ⊥ BC 于点 F ，∴ ∠BEC = ∠DFC = 90°，∵ ∠C = ∠C ，∴△ BEC≌△ DFC(AAS)，∴ EC = FC ，∴ BF = DE ；(2)解：∵ ∠A = 45°，四边形 ABCD 是菱形，∴ ∠C = ∠A = 45°，AG//BC ，∴ ∠CBG = ∠G = 45°，∴△ DEG △与 BEC 是等腰直角三角形，设BE = CE = a ，∴ BC = AD = √2a ，∵ ∠A = ∠G = 45°，∴ AB = BC ，∠ABG = 90°，∴ AG = 2a ，∴ DG = (2 − √2)a ，∴ DG = 2−√2 = √2 − 1．AD√2【解析】(1)根据菱形的性质得到CB = CD ，根据全等三角形的性质健康得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠C = ∠A = 45°，AG//BC ，推出△ DEG 与△ BEC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， 正确的识别图形是解题的关键．27.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y = m 得m = 1 × 4 = 4， x把A(1,4)，B(4,1)代入y = kx + b 得{ ，解得{ ，OM 的解析式为y = x 时，MN 的长度最大，然后解方程组{ x 得此时 M 点的坐标．∴反比例函数解析式为y = 4；x∵ BD ⊥ y 轴，AD ⊥ y 轴， ∴ AD//BE ，∴△ CDA∽△ CEB ，∴ CD = AD ，即 1 = 1，CEBEBE4∴ BE = 4，当x = 4时，y = 4 = 4 = 1，x4∴ B(4,1)，k + b = 4 k = −1 4k + b = 1 b = 5∴一次函数解析式为y = −x + 5；(2) ∵点 A 与点 B 关于直线y = x 对称，反比例函数y = − 4关于y = x 对称，x∴当 OM 的解析式为y = x 时，MN 的长度最大，解方程组{y = 4 x = 2 x = −2y = x 得{y = 2或{y = −2，∴此时 M 点的坐标为(2,2)．【解析】(1)先把 A 点坐标代入y = m 中求出 m 得到反比例函数解析式为y = 4；再证明xx△ CDA∽△ CEB ，利用相似比求出BE = 4，则利用反比例函数解析式确定 B 点坐标， 然后利用待定系数法求一次函数解析式；(2)利用点 A 与点 B 关于直线y = x 对称，反比例函数y = − 4关于y = x 对称可判断当xy = 4y = x本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐 标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无 解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质． 28.【答案】证明：(1)连接 OB ，则OP = OB ，∴ ∠OBP = ∠OPB = ∠CPA ， ∵ AB = AC ，∴ ∠ACB = ∠ABC ， ∵ OA ⊥ l ，∴ ∠OAC = 90°，∴ ∠ACB + ∠CPA = 90°， ∴ ∠ABP + ∠OBP = 90°，∴∠ABO=90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；(2)如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan∠ACB=AP=1，AC2∴设AP=x，AC=2x，∴AB=2x，OP=OB=5−x，∵AO2=OB2+AB2，∴25=(5−x)2+4x2，∴x=2，∴AP=2，AC=4∴OB=OP=3，∴CP=√AC2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP=∠ODP=90°，∠APC=∠OPD，∴△ACP∽△DOP，∴PD=OP=OD，PA CP CA∴PD=OP⋅PA=3√5，CP5∵OB=OP，OD⊥BP，∴BP=2PD=6√5．5【解析】(1)连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，∠OBP=∠OPB=∠CPA，由余角的性质可求∠ABO=90°，可得结论；(2)过点O作OD⊥BP于D，设AP=x，AC=2x，由勾股定理可求AP=2，AC=4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题关键．29.【答案】623.8①②【解析】解：(1)∵人口为0≤x<2千万人的有5的地区，又∵人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9，北京在第一位，∴我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．故答案为6．(2)由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最。
2020年北京市东城区中考一模数学试卷含答案解析
2020 年北京市东城区初三一模数学试卷、单选题（共 10 小题）1．数据显示， 2020年全国新建、改扩建校舍约为 51 660 000 平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据 51 660 000 用科学记数发表示应为（）A．B．C．D．考点：科学记数法和近似数、有效数字答案： A试题解析：科学记数法是一个数表示成a×10 的 n 次幂的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数，所以根据题意得 51 660 000=5.166 ×107．故选 A ．2．下列运算中，正确的是（）33 A． x·x =x2 3 5 B．（x ） =xC．222D． (x-y) =x+y考点：整式的运算答案： C试题解析：根据整式的运算公式正确，故选 A 。
A ．D．B．C．考点：概率及计算答案：C3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2， 3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）试题解析：五张卡片中有三张奇数，则概率为，故选 C4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是 13.2 秒，方差如下表所示则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲 B ．乙C．丙考点：极差、方差、标准差答案： B试题解析：方差越小发挥越稳定，则选 B 。
6．如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和 B的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长至 E，使 CE =CB，连接 ED. 若考点：全等三角形的判定全等三角形的性质答案： B试题解析：由题意可得△ABC ≌△ DEC（ SAS），则 ED=AB=58 ，故选 B。
7．在平面直角坐标系中，将点 A（-1，2）向右平移 3个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（）D．丁2=38 °时，∠ 1=（）D．62量出 DE=58 米，则 A，B 间的距离为（A． 29 米B．58米D．116米考点：平行线的判定及答案：A．（-4，-2）B．（2，2）C．（-2，2）考点：平面直角坐标系及点的坐标答案： D试题解析： A 点向右平移 3 个单位后得到 B（2,2,），B 点关于 X 轴的对称点为 C（2，-2）。
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东城区2017-2018学年度第一次模拟检测 初三数学学校______________班级______________姓名_____________考号____________考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题(本题共16分，每小题2分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1．如图，若数轴上的点A ，B 分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C ，则与点C 对应的实数是A. 2B. 3C. 4D. 52. 当函数()212y x =--的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是A ．x ＞0B ．x ＜1C ．1x ＞D ．x 为任意实数 3．若实数a ，b 满足a b ＞，则与实数a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是4．如图，O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是A ．πB ．3π2C ．2πD ．3π 5．点A （4，3）经过某种图形变化后得到点B （-3，4），这种图形变化可以是A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．绕原点逆时针旋转90°D ．绕原点顺时针旋转90°6． 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙 做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x 个，那么可列方程为A ．30456x x =+ B ．30456x x =- C ．30456x x =- D ．30456x x=+ 7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等. 如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是 中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB =CG =EF ；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且BC ，CD ，DE 所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10m/s 的速度行驶，从不同出口驶出. 其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x (s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误．．的是 A. 甲车在立交桥上共行驶8s B. 从F 口出比从G 口出多行驶40m C. 甲车从F 口出，乙车从G 口出 D. 立交桥总长为150m 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9有意义，则实数x 的取值范围是__________________.10．分解因式：24m n n -= ________________.11．若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为________________. 12. 化简代数式11+122xx x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，正确的结果为________________. 13． 含30°角的直角三角板与直线l 1，l 2的位置关系如图所示，已知l 1//l 2，∠1=60°. 以下三个结论中正确的是_____________（只填序号）.①2AC BC =; ②BCD △为正三角形; ③AD BD =14. 将直线y =x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为____________，这两条直线间的距离为____________. 15. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0. 甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：选手甲 290（冠军） 170（没获奖） 292（季军） 135（没获奖） 298（冠军） 300（冠军） 乙285（亚军）287（亚军）293（亚军）292（亚军）294（亚军）296（亚军）如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派____________（填“甲”或“乙”），理由是______________________________________． 16．已知正方形ABCD .求作：正方形ABCD 的外接圆. 作法：如图，（1）分别连接AC ，BD ，交于点O ;(2) 以点O 为圆心，OA 长为半径作O .O 即为所求作的圆.请回答：该作图的依据是_____________________________________.三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)17．计算：()212sin 60-π-2++1-33-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解.19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF . 20.已知关于x的一元二次方程()2320x m x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；(2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC .（1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长. 22. 已知函数()30y x x=＞的图象与一次函数()20y ax a =-≠的图象交于点A ()3,n . （1）求实数a 的值；(2) 设一次函数()20y ax a =-≠的图象与y 轴交于点B .若点C 在y 轴上，且=2ABC AOB S S △△，求点C 的坐标.23． 如图，AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，且点C 是BD 的中点.过点C 作 AD的垂线EF 交直线AD 于点E . （1）求证：EF 是O 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长. 24．随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大.相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下.(I)收集、整理数据请将表格补充完整： （II ）描述数据为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用 ___________(填“折线图”或“扇形图”)进行描述； （III ）分析数据、做出推测预计2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为___________，你的预估理由是 _________________________________________ .25. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ,点D ,E 分别为BC ，AB 的中点，连接AD .在线段AD 上任取一点P ,连接PB ,PE .若BC =4,AD =6，设PD =x （当点P 与点D 重合时，x 的值为0），PB +PE =y .小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变换而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）. （参考数据：2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数y 的最小值为-______________(保留一位小数)，此时点P 在图1中的位置为________________________. 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．x 0 12 3 4 5 6 y5.24.24.65.97.69.527. 已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的垂线，交 AD的延长线于点H ．（1）如图1，若60BAC ∠=︒①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．28．给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2， 22,22M ⎛ ⎝⎭，2222N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)2,0C 三点中, 是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 312⎫-⎪⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °； ②在第一象限内有一点E)3,m m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；③点F 在直线323y x =-+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 的横坐标F x 的取值范围．东城区2017-2018学年度第一次模拟检测初三数学试题参考答案及评分标准 2018.5一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDDCABC9. 1x ≥ 10. ()()22n m m +- 11. 8 12. 2x 13. ②③14. 2y x =+2 15. 答案不唯一 ，理由须 支撑推断结论 16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥，由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分 ∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分 19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m ∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分 （2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+，∴1=1x ，2=+2x m . ∵方程有一个根的平方等于4， ∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m . -------------------5分 21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ， ∴=AB DC ，AB DC ∥. ∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵=AB AC ， ∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形. ∴AD ⊥CE . ∵AD BC ∥， ∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC .根据勾股定理，求得=42BC 分 22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()30y x x=＞的图象上， ∴=1n ，点()3,1A .∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ， ∴ 321a -= .解得 1a =. ----------------------2分(2)易求得()0,2B -.如图，12AOB A S OB x =⋅△，1=2ABC A S BC x ⋅△∵=2ABC AOB S S △△， ∴=24BC OB =.∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分 23. （1）证明：连接OC . ∵CD CB = ∴∠1=∠3. ∵OA OC =， ∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2. ∴AE OC ∥. ∵AE EF ⊥， ∴OC EF ⊥. ∵ OC 是O 的半径，∴EF 是O 的切线. ----------------------2分（2）∵AB 为O 的直径，∴∠ACB =90°.根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4. ∵AE EF ⊥ ， ∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB . ∴AE ACAC AB=.∴445AE =. ∴165AE =. ----------------------5分 24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分(II)折线图； ----------------------3分(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分25.解：（1）4.5 . --------------------2分 （2）--------------------4分(3) 4.2，点P 是AD 与CE 的交点. --------------------6分 26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分(2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥ 解得2.3a ≥ （ii ）当0a ＜时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤ 解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分 27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分 ②作DE ⊥AC 交AC 于点E .Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD=2可得DE =1，AE 3. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.∴AC 31=.Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH 33+=； --------------4分 （2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC 证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .易证△ACH ≌△AFH .∴AC AF =,HC HF =.∴GH BC ∥.∵AB AD =，∴ ABD ADB ∠=∠.∴ AGH AHG ∠=∠ .∴ AG AH =.∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分28. 解：（1）C ； --------------2分（2）① 60°；② △MNE 是等边三角形，点E 的坐标为()31，；--------------5分③ 直线32y =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()23T ，0. ∴2OK =，23OT =.∴60OKT ∠=︒.作OG ⊥KT 于点G ,连接MG .∵()M 0，1，∴OM =1.∴M 为OK 中点 .∴ MG =MK =OM =1.∴∠MGO =∠MOG =30°，OG 3∴33.2G ⎫⎪⎪⎝⎭， ∵120MON ∠=︒,∴ 90GON ∠=︒. 又3OG 1ON =，∴30OGN ∠=︒.∴60MGN ∠=︒.∴G 是线段MN 关于点O 的关联点. 经验证，点)31E ，在直线32y =+上. 结合图象可知， 当点F 在线段GE 上时 ，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤，∴33F x ≤分 .。