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高中数学精讲(4)双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ， 两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．2.双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．焦点在y 轴，标准方程是 。
思考：由双曲线的标准方程如何判定焦点的位置以及22,b a3. 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．例3：双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．1练习：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.3．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．双曲线的简单几何性质1.（1）双曲线22221x y a b-=的几何性质范围：x ： y ： 。
人教A版高中数学选修2-1课件【9】曲线与方程
8．方程 y＝ x2－2x＋1所表示的曲线是________．
解析：y＝ x－12＝|x－1|.
答案：以(1,0)为端点的两条射线
x 9．已知方程①x－y＝0；② x－ y＝0；③x －y ＝0；④y＝
2 2
1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线 C 的方程 的序号是__________．
∴
2， x＝± 2， y＝±
即
x＝2， y＝2，
或
x＝2， y＝－2
或
x＝－2， y＝2，
或
x＝－2， y＝－2.
答案：B
5．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( A．y2＝x 与 y＝ x B．y＝lgx2 与 y＝2lgx y＋1 C. ＝1 与 lg(y＋1)＝lg(x－2) x－2 D．x2＋y2＝1 与|y|＝ 1－x2
)
D．一个点和一条直线
解析：由 x2＋xy＝x，得 x(x＋y－1)＝0，即 x＝0 或 x＋y－1 ＝0.由此知方程 x2＋xy＝x 表示两条直线．
答案：C
4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0 表示的图形是( A．两个点 C．两条直线 B．四个点 D．四条直线
)
2 x －4＝0， 解析：由已知 2 y －4＝0，
解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限 的角平分线上，但其坐标不满足方程 x－ y＝0；③不正确．如 点(－1,1)满足方程 x2－y2＝0，但它不在曲线 C 上；④不正确．如 x 点(0,0)在曲线 C 上解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．方程(x＋y－1)· x2＋y2－4＝0 表示什么曲线？
x＋y－1＝0， 2 2 x ＋y ≥4，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案含解析
2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程
2
+
4 =1(x≠±1)
4
为
3
,则动点P的轨迹方程
.
分析 设出点P的坐标,将已知条件转化为斜率之积求解.
解析 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1).
设点 P 的坐标为(x,y),易知
化简得 x +3y
2
故动点 P
2
-1 +1 1
x≠±1,由题意得+1 ·-1 =-3,
线上.
规律方法 判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0).
点与曲线的位置关系
点的坐标特征
点P(x0,y0)在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)=0
点P(x0,y0)不在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)≠0
变式训练1
已知直线l:x+y+3=0,曲线C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),则点P与l,C的关系
如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个参
数t,以此量作为参数(如涉及旋转时,常用角度作为参数;涉及两直线互相垂
直时,常用斜率作为参数等),分别建立点P的横、纵坐标x,y与该参数t的函
数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的标准方程F(x,y)=0.
变式训练5
[提醒]轨迹与轨迹方程的区别:
轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹不但要求出轨迹方程,而且还要
说明方程的形状.
变式训练3
已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程
高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计
《曲线与方程》是高中数学的核 心内容之一，对于理解数学的本 质和解决实际问题具有重要意义
。
随着新课程改革的推进，高中数 学课程更加注重学生的主体性和
探究性学习。
《曲线与方程》课程目标
01
02
03
知识与技能
掌握曲线与方程的基本概 念、性质和应用，能够运 用所学知识解决相关问题 。
过程与方法
通过探究、合作、交流等 学习方式，培养学生的数 学思维和解决问题的能力 。
05
学生学情分析与应对策略
学生学情分析
知识基础
学生已掌握直线与方程的基本知识，对解析几何有初步认识。
认知能力
学生具备了一定的抽象思维和逻辑推理能力，但处理复杂问题的 能力有待提高。
学习态度
学生对数学的兴趣和重视程度参差不齐，需要激发其内在学习动 力。
针对不同层次学生的教学策略
针对基础薄弱的学生
资源分享
建立教学资源库，定期更新并分享优质课件 、教案、习题等教学资源。
经验交流
鼓励成员之间分享教学经验、教学方法和教 学心得，促进共同成长。
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成果展示
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THANKS
公开课可以激发教师的创新意识，推 动教学改革的深入进行。
02
教学内容与方法
教学内容梳理
曲线的基本概念
包括曲线的定义、分类和性质，以及 曲线在坐标系中的表示方法。
方程的基本概念
包括方程的定义、分类和解法，以及 方程与曲线之间的关系。
曲线与方程的对应关系
详细阐述如何通过方程来表示曲线， 以及如何通过曲线来求解方程。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.1曲线与方程课件 新人教A版选修2-1
错因剖析
将方程转化变形时漏掉阴影处,即忽略了根式应有
意义
【防范措施】 合理进行转化 将方程变形时,前后应保持等价,否则,变形后的方程表示 的曲线不是原方程代表的曲线.另外当方程中含有根式时,要注 意根式必须有意义.如本例含有根式,在化简时就容易忽视根式 必须有意义而导致错误.
(3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.
(
)
【解析】(1)错误,曲线的方程必须满足两个条件. (2)正确,根据曲线的方程和方程的曲线的概念,不满足方程 F(x,y)=0的点,显然不在曲线C上. (3)错误,以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上,如M(-4,6) 就不在线段AB上. 答案:(1)〓 (2)√ (3)〓
【拓展类型】曲线的交点问题 【备选例题】(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线 x2+y2=25上,则k的值是( A.1 B.-1 )
C.1或-1
2
D.以上都不对
2
(2)求直线y=x+ 3 与曲线y= 1 x2的交点.
【解析】(1)选C.联立得方程组 (-4k,-3k),代入圆的方程中. 即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=〒1.
【微思考】 (1)是否所有曲线都有相应的方程? 提示:不一定,有的曲线有方程,有的曲线就没有方程.如图,随 意画一条曲线,则求不出方程与之对应.
(2)怎样判断方程是曲线的方程? 提示:判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检 验曲线上点的坐标是否都适合方程,二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上.
f (x 0，y0 ) 0， (1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则 g(x 0，y0 ) 0.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1
• 当焦点在x轴上时，方程中的一次项就是x的
一次项，且符号指导了抛物线的开口方向，为 正时开口向右，为负时开口向左；当焦点在y轴 上时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号
指导了抛物线的开口方向，为正时开口向上， 为负时开口向下．
1．抛物线 x2＝ay 的准线方程是 y＝2，则实数 a 的值为( )
解析： (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其焦点为 p2，0，根据题意有p2＝3，故 p＝6，
因此，标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其准线方程为 x＝ －52，由题意有－p2＝－52，故 p＝5， 因此，标准方程为 y2＝10x.
合作探究 课堂互动
线方程．需注意p>0，焦点所在轴由标准方程
一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数
为负，焦点在负半轴．
• 1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其 焦点和准线方程． • (1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
解析： (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是
32，0，准线方程为 x＝－32.
5分
所以，抛物线方程为 x2＝－ay.
6分
将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 y＝－0.a64. 所以，点 E 到拱底 AB 的距离为a4－|y|＝a4－0.a64>3. 9 分 解得 a>12.21，∵a 取整数，∴a 的最小值为 13. 12 分
•
(1)本题是与抛物线有关的应用题，
解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程 y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|， ∴p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y. 故所求的抛物线的方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
高中数学 2.1.1曲线与方程
曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术 解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；。
【新人教B版】(新教材)2022版高中数学选择性必修第一册第二章平面解析几何4曲线与方程课件
2.4 曲线与方程
课标要求素养要求源自1.了解曲线上的点与方程的 课 解之间的一一对应关系. 1.数学抽象——能通过具体的实例理解“ 标 解 2.初步理解“曲线的方程” 曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 读 与“方程的曲线”的概念. 2.数学运算——能掌握求动点的轨迹方程
3.初步掌握根据已知条件求 的常见方法.
曲线方程的方法.
要点一 曲线的方程与方程的曲线
点的坐标
1. 如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”会出 现什么情况？你能举例说明吗？
要点二 动点的轨迹方程
直线
圆周
2. 求动点的轨迹方程与求其轨迹有何区别？ 提示 求动点的轨迹方程得出方程即可，而求动点的轨迹在得出方程后还要 指出方程的曲线是什么图形. 3. 求轨迹方程时，根据一个已知的平面图形建立的坐标系是唯一的吗？ 提示 不是唯一的，一般以得到的曲线方程最简单为标准.
ACD
探究点二 曲线的交点
解题感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方
程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题， 把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的 一部分，那么常用到数形结合的方法．
2
探究点三 求动点的轨迹方程
探究点一 曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用
例 D
A.
B.
C.
D.
B
解题感悟 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹 性；以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称 为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方 程．
人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的 关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假 若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球 表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体， 半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
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解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方 程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就 说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关 参数的值或范围问题.
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答案
探究点1 曲线与方程的概念应用 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用 例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解；
高中数学第二章圆锥曲线与方程2
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2．焦点在 x 轴上，顶点到焦点的距离为 4 的抛物线
的标准方程是( )
A．y2＝16x
B．y2＝8x
C．y2＝±8x
D．y2＝±16x
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[解析] 由已知p2＝4，∴p＝8，而抛物线开口是向左 还是向右无法确定，∴抛物线方程为 y2＝±16x.故选 D.
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④离心率 抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离之 比，叫做抛物线的________，用 e 表示，由定义可知，e ＝1.
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(2)注意三个结论 ①抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴， 一条准线，没有中心． ②抛物线 y2＝2px(p>0)上任意一点 P(x0，y0)的焦半 径为 x0＋p2. ③过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条 弦，称为抛物线的通径，通径长为 2p.
准线 ________ ________ ________ ________
性 范围 ________ ________ ________ ________
质 轴
____ ____ x轴
____
____
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
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[答案] 1．抛物线的轴 顶点 离心率 2．Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2 x＝ －p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
所以中点为 P(3,2)．
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方法二：设直线 y＝x－1 与抛物线 y2＝4x 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中点为 P(x0，y0)．则 y22＝4x2， y12＝4x1，y22－y21＝4x2－4x1，∴y2－xy21－yx21＋y1＝4.因为 xy22－－xy11＝kAB＝1，y2＋y1＝4，y0＝2，x0＝y0＋1＝3，故中 点为 P(3,2)．
【精品】高中数学 选修1-1 曲线与方程 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)基础
曲线与方程【学习目标】1.了解曲线与方程的对应关系；2.进一步体会数形结合的基本思想；3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）【学习策略】借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x （或y ）的取值范围.【要点梳理】要点一、曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上. 那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（）；（2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）. （3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言.（4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．要点二、坐标法与解析几何解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研究平面曲线的性质.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法.定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程(,)0f x y=表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点三、用直接法求曲线方程的步骤坐标法求曲线方程的一般步骤：①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).②写出动点P满足的几何条件.③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。
高中数学3-4曲线与方程湘教版选择性必修第一册
答案：B
解析：根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错，如曲线y＝ 1 − x2 表示的半圆的点的坐标都是方程x2＋y2＝1的解．
方法归纳
1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲 线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两 个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．
3.4 曲线与方程
新知初探•课前预习
题型探究•课堂解透
最新课程标准 (1)了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系． (2)理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念． (3)掌握求轨迹方程的方法．
ห้องสมุดไป่ตู้
新知初探•课前预习
教材要点 要点一 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点 的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f (x，y) ＝ 0的实数解建立了如 下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解❶； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点❷. 此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 要点二 坐标法 确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性 质．我们称这种研究几何的方法为坐标法．基于坐标法，我们将几何 问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想．
2．方程y＝ 9 − x2表示的曲线是( )
A．一条直线 B．圆
C．半圆
D．不表示任何图形
答案：C 解析：方程两边平方得方程x2＋y2＝9(y≥0)．
3．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2， 1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上 B．在直线l上，也在曲线C上 C．不在直线l上，也不在曲线C上 D．不在直线l上，但在曲线C上