§9.9.4棱锥及其性质(4)

棱锥及其性质

一、课题：棱锥及其性质

二、教学目标：1．了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；

2．能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题．

三、教学重点、难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质．

四、教学过程：

（一）复习：

1．多面体及棱柱的概念

（二）新课讲解：

1．棱锥的概念：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。 其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；

多边形叫棱锥的底面或底；

各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，

顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．

2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示。

如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -．

3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）

分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图）

4．棱锥的性质：

定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底

面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．

已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '，

求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2

2A B C D E ABCDE S SH S SH

''''''=． 解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，…

∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…

又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ，∴//A H AH ''， 得A B SA SH AB

SA SH ''''==，同理B C SH BC SH '''=，… ∴A B B C SH AB BC SH

'''''=== ，

因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22

22A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH

''''''''==． 5．正棱锥：

定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．

性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高

相等（叫正棱锥的斜高）．

（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、

侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形．（让学生观察思考后得出

结论，然后证明）

练习：1．课本60P 练习1,2．

2．判断下列结论是否正确，为什么？

（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，

（2）正四面体是四棱锥，

（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，

（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．

答：（1）错 ，（2）错，（3）错，（4）对．

（三）例题分析：

例1．已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面

的截面A B C '''∆的面积．

解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆

中，OM ．

∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心，

∴22tan60AB AM OM ==⋅= ，

222)ABC S AB l h ∆==-， 由棱锥截面性质得：2214

A B C ABC S h S h '''∆∆'==

，∴22)A B C S l h '''∆=-． 说明：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面．

例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为2

5cm ，求三

棱锥S ABC -的侧面积．

解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，

∴2214

S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SAC S S '''∆∆=， ∴14

S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++， 即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍，

所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．

说明：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的

高与原棱锥高的平方比．

六、小结：1．棱锥、正棱锥的概念，性质；

2．棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的

平方比．

七、作业：课本第63页 习题 第7，8，9，10题．