自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解

n t
(cosd t +

1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +

1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
sin(d t r + ) = 0

1 1 2
0, e
n t r
0,
s1,2 = n s jn 1
此时s1,s2 为一对共 轭复根， 且位于复 平面的左 半部。
2
⑤特征根分析— = 1（临界阻尼）
s1,2 = n n 1 = n
2
此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
s1=s2=-n
⑥特征根分析— 1（过阻尼）
3.准确性 ess：
ess = 1 c() = 0
例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时 间减小到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确 定参数 Ko 和 KH 的取值。
10K 0 K 0G ( S ) 10K 0 0 . 2 s + 1 ( s ) = = = 10K H 1 + K H G( s) 0.2s + 1 + 10K H 1+ 0.2s + 1 0.2 = T * = 0.02 K H = 0 .9 1 + 10K H 10K 0 K 0 = 10 = K * = 10 1 + 10K H
10K 0 1 + 10K H = 0 .2 s +1 1 + 10K H
（2）一阶系统的单位脉冲响应 理想单位脉冲函数 r (t ) = (t ) ，则有 R(s) = 1 对于一阶系统
C ( s) 1 ( s ) = = R( s) Ts + 1
输出信号的拉氏变换式可以写成:
t 1 1 1 1 C ( s) = ( s) R( s) = c(t ) = L [ ]= e T Ts + 1 Ts + 1 T
T1 =
1
1 t T1
1 + e , (t 0) T1 / T2 一阶系统响应 1
T2 = 1

1 t T2
1
2
n ( 1)
n ( + 2 1)
二阶过阻尼系统 • 衰减项幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值 大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴 近，衰减速度慢； t 0 • 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调，但又不同于一阶系统； • 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。

或 = arccos
h(t ) = 1
1 1 2
e
nt
sin(d t + )
h(t )响应特征: h() = 1，h(0) = 0
C(t)
1+ 1 1 2
1+ e n t 1 2
包络线收敛速度 e nt arccos 振荡滞后角 2 1
Δ =5
c(t ) = A0 + Ae + A2e 1
s1t s2t
式中 A0 , A 1, A 2为由r(t)和初始条件确定的待定系数
①特征根分析— 1 （负阻尼） 0
s1,2 = n jn 1
此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
2
②特征根分析— 1（负阻尼）
t c() = 1
t T
dc(t ) dt
t =0
1 = e T

t =0
1 = T
可知一阶系统的时间常数
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0 2. 快速性ts：
t = 3T时，c(t ) = 0.95 [对应5%误差带 ] t = 4T时，c(t ) = 0.98 [对应2%误差带 ]
2
, T1 =
1
n ( + 2 1)
C(s) 1 = R(s) (T1s + 1)(T2 s + 1)
1 e 拉氏反变换： h(t ) = 1 + T2 / T1 1
1 t T1
1 + e T1 / T2 1

1 t T2
, (t 0)
1 h(t ) = 1 + e T2 / T1 c(t) 1
t
常数，跟踪误差等于常数T。
二、二阶系统的数学模型
R( s )
二阶系统的微分方程一般式为：
2
n2 s( s + 2 n )
C ( s)
d c(t ) dc(t ) 2 2 + 2 + c ( t ) = n n n r (t ) (n 0) 2 dt dt
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
= n为根的实部的模值；
d = n 1 为阻尼振荡角频率
2
2 n 1 c( s ) = 2 2 s + 2n s + n s
L[e
at
s+a cost ] = ( s + a) 2 + 2
s + n n 1 = 2 2 2 s ( s + n ) + d ( s + n )2 + d
c(t ) = css + ctt = (t T ) + Te
T
T越小，反应越快，则跟踪误差越小，输出信号滞后输入信号的时 t t 间也越短。 e(t ) = r (t ) c(t ) = t (t T ) Te T = T (1 e T ) 当t
时，
e() = lim e(t ) = T =
拉氏反变换得： c(t ) = 1 e
= 1
nt
[cos d t +
e
nt

1 2
(sin d t )]
1 1 2
2
nt
( 1 2 cosd t + sin d t )
= 1
1 1
e
sin(d t + )
= arctg
1 2
s1,2 = n n 1
2
此时s1,s2 为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。
三、二阶系统的单位阶跃响应
1、过阻尼
2
( 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2
1 1 s + 2n + n = ( s + )(s + ) = 0 T1 T2
T1 = 1
板书
n ( 1)
a L[ ate ] = 2 (s + a)
-at
h(t)= 1 e
nt
(1 + nt )
3.欠阻尼 (0 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2 n C ( s) = 2 2 R(s) s + 2n s + n
s1,2 = n jn 1 2
= jd
s1,2 = n n 1
2
此时s1,s2 为两个正 实根，且 位于复平 面的正实 轴上。
③特征根分析— = 0（零阻尼）
s1,2 = n n 1 = jn
2
此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。 S1,2= jn
④特征根分析— 0 1 （欠阻尼）
1 t T
t =0
c(0) = 1 e 0 = 0
c(T ) = 1 e 1 = 0.632
t =T
t = 2T
c(2T ) = 1 e 2 = 0.865
3 c ( 3 T ) = 1 e = 0.95 t = 3T
t = 4T c(4T ) = 1 e 4 = 0.982
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
1.误差ess = lim[r ( t ) c( t )] = 0
t
2.响应没有振荡 ％ = 0
3.调节时间ts
2.临界阻尼
( = 1) 二阶系统的单位阶跃响应