完整版初中数学动点问题归纳

动点问题
题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或
其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点
3x??6y?P、QO BA、点出发，两点，动点年齐齐哈尔市）直线同时从与坐标轴分别交于20091、
（4y
Q OAA 1沿线段个单同时到达点，运动停止．点运动，速度为每秒B
O ABP→运动．位长度，点→沿路线B、A两点的坐标；1）直接写出（P
tt OPQ△Q SS之间的面积为的运动时间为与秒，（2）设点，求出x
Q
O
A 的函数关系式；48?SQ、O、P MP的求出点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，并直接写出以点（3）当时，5坐标．，6）（0）B0解：1、A（8，2
S=t＜3时，2、当0＜t S=3／8(8-t)t＜t＜8时，当3 B所有时间分段分类；）问按点提示：第（2P到拐点探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不，O、P、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点为边。

然后为对角线、OQ为边、OQ为对角线，③OP同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP 画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

年衡阳市）2、（2009，是⊙O
的直径，弦BC=2cm如图，AB o．∠ABC=60 的直径；1）求⊙O（与⊙O相切；延长线上一点，连结ABCD，当BD长为多少时，CD（2）若D是点出发沿的速度从BAB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从（3）若动点E以2cm/sA点出发沿着t)?t?2)(t(s0为直角三角形．为何值时，△BEF方向运动，设运动时间为BCEF，连结，当C
C C
F F
E A
B
A
B
A
D
O
E
B O O
1页共11 第页）3图（）2图（）1图（．
注意：第（3）问按直角位置分类讨论
0)a??33(y?a(x?1)2)，0(?2A D，经过点如图，重庆綦江）已知抛物线抛物线的顶点为，3、（2009xx CO BCOMADOM∥BD．过于点作射线轴正半轴上，，．过顶点连结平行于在轴的直线
交射线1）求该抛物线的解析式；（O)st(OMPP．问运动，设点运动的时间为出发，以每秒（2）若动点1从点个长度单位的速度沿射线tDAOP为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯
形？等腰梯形？当M y
DC
Q OOBOC?B个长度同时出发，分别以每秒，动点和点3（）若和动点1分别从点BOOC运动，
当其中一个点停止运动时另一个点也随个长度单位的速度沿和单位和2P
tt BCPQPQ)(s四边形，之停止运动．设它们的运动的时间为连接为何值时，，当A
Q
O
x
B PQ的面积最小？并求出最小值及此时的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°BCPQ 的面积最小。

当△OPQ面积最大时，四边形
特殊四边形边上动点二、Q ABCD°60?B?P同的边长为6．从初始时刻开始，点（2009年吉林省）如图所示，菱形厘米，、4、Q B?A?CPA秒的速度沿厘米/秒的速度沿厘米的方向运动，点/以时从2点出发，点1以QQQ DC?A?B?PPD运动的时间运动到、点时，的方向运动，当点两点同时停止运动，设、x APQ△yOABC△，（这里规定：与点和线段是面积为的三角形）重叠部
分为的面积为秒时，平方厘米．．．．C D
解答下列问题：
Q P秒；（1）点、从出发到相遇所用时间是P
B A Q
x APQ△Q P秒；2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是
（xy（3）求之间的函数关系式．与高相等的两个三角形面积比等----- ；提醒提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类。

于底边的比
的坐是菱形，点O是坐标原点，四边形ABCOA5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点3?轴于点H．y交轴于点M，AB边交标为（y），4，点C在x轴的正半轴上，直线AC）求直线AC的解析式；（1匀速运动，个单位／秒的速度向终点CA出发，沿折线ABC方向以2P
（2）连接BM，如图2，动点从点0?S tS与tS（之间的函数关系式（要求写出自变量秒，求），点P的运动时间为tPMB设△的面积为y 的取值范围）；
y A 互为余角，t为何值时，∠MPB与∠BCO下，当件）的（3）在（2条H B A H B
2 11 页共第页M M
x x C O C O
）1图（）2图（．
AC所夹锐角的正切值．并求此时直线OP与直线
B所用时间分段分类；）问按点P到拐点注意：第（2 运动过程中，ABM互余，画出点P 第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠
值。

ABM的两种情况，求出t ∠MPB=∠.
与AC夹角正切值利用OB⊥AC,再求OP3312)．动点D以每秒B(3C，2)，（(20096、年温州)如图，在平面直角坐标系中，点0A(，，0)，个单运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点0出发沿OC向终点C
于点，交ABBCAB向终点B运动．过点E作EF上位的速度从点A出发沿 t秒．F，连结DA、DF．设运动时间为 ABC的度数；(1)求∠ t为何值时，AB∥DF；(2)当 S．(3)设四边形AEFD的面积为的函数关系式；t①求S关于32)S<2．时，求m的取值范围(②若一抛物线y=x+mx经过动点E，当
写出答案即可OA
DE∥注意：发现特殊性，ABCO四边形在平面直角坐标系中，、（07黄冈）已知：如图，7y
是菱形，且B
开始以每的坐标是，点P从点C∠AOC=60°，点B3)(0,8P
Q移动，同时，点CB上向点B秒1个单位长度的速度在线段OA3）个单位长度的速度沿射线≤从点O开始以每秒a（1a≤A
D
C
8)t(0?t?D. 秒后，直线PQ于点交方向移动，设OB 的长；的度数及线段OA（1）求∠AOB Q 三点的抛物线的解析式；，AB，C（2）求经过43?3,OD?a的解析PQ求t的值及此时直线时，当）（3x
3O
式；OAB?a为顶点的三角形与，，P，QD（4）当为何值时，以O OAB?a. ，D不相似？请给出你的结论，并加以证明为顶点的三角形与相似？当为何值时，以O，P，Q O COABC，B，AOC ∥AB，在直角梯形088、（黄冈）已知：如图，为原点建立平面直角坐标系，中，以，，A(0，
4)(8CB0)(810)，，OBCPD三点的坐标分别为个从点出发，以每秒1，点为线段的中点，动点3页11 共页第
tOABD单位的速度，沿折线秒．的路线移动，移动的时间为BC的解析式；（1）求直线
2tOACOABOPDCP面积的2？（）若动点为何值时，四边形在线段的面积是梯形上移动，当7t SOS OABDOPD△P的从点，出发，沿折线设动点（3）的路线移动过程中，请直接写出与的
面积为t的取值范围；函数关系式，并指出自变量CQPDQ OAABP为矩形？请求出此（4）当动点上找到一点在线段，使四边形上移动时，能否在线段P的坐标；若不能，请说明理由．时动点B
B
y y D
D
C
C
x
O A
x O P A
xoy抛物线中,9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系（此题备用）41
210xy?x??Bx . 轴的交点为点A,与y与轴的交点为点918ACxBCCB．现有两动轴的平行线,交抛物线于点过点连结作,PP,Q,C个单位的速度沿以每秒两点同时出发,点点4分别从O BQCBOAA,以每秒1个单位的速度沿向终点移动移动,点向点DOCPQPQ,,点线段停止运动时,点相交于点也同时停止运动,FQExDEOACAED．设动点∥交,交射线于点过点轴于点作,tP,Q)
秒(单位:移动的时间为A,B,C;
(1)求三点的坐标和抛物线的顶点的坐标PQCAt; 四边形请写出计算过程为平行四边形(2)当?为何值时,9PQt△求出此定值, 若不是当0＜＜,时,请说明理由; F的面积是否总为定值?若
是,(3)2PQF△t为等腰三角形(4)当?为何值时,请写出解答过程．提示：第（3）问用相似比的代换， PF=OA（定值）。

得第（4）问按哪两边相等分类讨论
QF=PF. ②PQ=FQ,③①PQ=PF,三、直线上动点2x c?ax?bx?y yBA?0、a轴轴交于年湖南长沙）如图，二次函数8、（2009）的图象与（两点，与3)(0，C，3A0)(?C2x???4xCAC、BC，A、两点的坐标分别为时二次和，且当、相交于点．连结y函数的函数值相等．c，a，b）求实数的值；（1NM、BCBA、B其中一个点到点出发，均以每秒（2）若点1边运动，同时从个单位长度的速度分别沿tMNMNBMN△B点将沿翻折，当运动时间为达终点时，另一点也
随之停止运动．秒时，连结，tACPP恰好落在的坐标；边上的处，求的值及点Q，，BNQ y 为（3）在（2，使得以）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点角的三项点C P
N 4 11 共页第页M A
B
O x
Q ABC△的坐标；如果不存在，请说明理由．形与相似？如果存在，请求出点
2）问发现提示：第（CBA=60°CAB=30°,∠特殊角∠BNPM为菱形；特殊图形四边形，再判BNQ ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△第(3)问注意到△断是否在对称轴上。

1x1y?x?y轴交于A眉山）如图，已知直线与，与轴交于点9、（2009
212x c??x?bxy两、C轴交于B与直线交于点DA，抛物线、E两点，与20)。

点坐标为 (1，点，且B ⑴求该抛物线的解析式；。

P的坐标PP在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点⑵
动点|MC|AM?的坐标。

，使的值最大，求出点MM⑶在抛物线的对称轴上找一点为直径画圆与AEAE 为斜边时，以P2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①为直角顶点提示：第（为直角顶点时，作法同EP，③作AE垂线交x轴于点x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A ②；）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

第（3C、BABCDA在第一象点），
4，10），年兰州）如图①，正方形10、（2009（中，点8，0的坐标分别为（xQBCDAPABCDA轴正→匀速运动，同时动点动点限．→在正方形→的边上，从点出发沿以相同速度在DP点时，两点同时停止运动，设运动的半轴上运动，当点到达
t秒．时间为QPAB（长度单位）关于点在边当的横坐标上运动时，点(1)x Qt开始运动（秒）的函数图象如图②所示，请写出点运动时间P时的坐标及点运动速度；C(2)求正方形边长及顶点的坐标；PtOPQ点1(3)在（）中当的面积最大，并求此时为何值时，△的坐标；DCP、QABP 匀速运动当点保持原速度不变，→(4)如果点沿→→tOPPQ时，与的值；若不能，请说明理由．能否相等，若能，写出所有符合条件的5页11 共页第
BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。

注意：第（4）问按点P分别在AB、xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系1??????30,4C6,0B6,0A?AC的延长线于交BC，∥D作，延长AC到点D,使DECD=AB，,过点2E.
点（1）求D点的坐标；bykx??分成将四边形CDFE（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；bkx?y?到达PG 为y轴上一点，点从直线点，再沿GAy轴到达G与y轴的交点出发，先沿（3）设点按照上PG 点的位置，使A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）述要求到达A点所用的时间最短。

提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离
见“最短路线问和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°. 题”专题。

) 12、年上海市(2009 D
A
A
D
D A
P
P
P
∥AD，BC=3，已知∠ABC=90°，AB=2上的动点，点P为线段BDBC，Q
B C 上，且满足在射线ABQ C
B C
）（QB
ADPQ2
图1
图3
图?所示）1．（如图Q
ABPCQ PCB）当（1AD=2，且点的长；与点所示）重合时（如图2，求线段S3APQ△x Q yAB??ADQB、AP，其，且点在线段之间的距离为上时，设点82（）在图中，联结，．当2S PBC△x S SyPBC△的
函数解析式，并写出函数定义域；的面积，求关于表示的面积，表示△中APQ PBC△APQ△6页11 共页第
QPC?Q ABABAD?的大小．在线段所示）（3）当的延长线上时（如图3，求，且点找到运动始、
末两个位置变量的取值，2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作注意：第（重合，x获得最小值；BD时，点Q、B然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。

当PC⊥重合时，x获得最大值。

当P与D来判定SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA 第（3）问，灵活运用
P四点共圆也可求解。

、Q、C、两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B为，RP作BC的垂线PRRt△ABC如图，在中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过（08
宜昌）、13，其为一边作正方形PTEFRS上存在一点T，若以线段PT垂足，∠PRB的平分线与AB 相交于点S，在线段 AC上．F恰好分别在边BC，顶点E，是否相似，说明理由；（1）△ABC 与△SBR PA的长度之间的关系；2）请你探索线段TS与（的最小值和最大值．（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积yP3）设边AB＝1，当在边AB（
BB
TRRTSS
EE PP
AACCFF
13题)
) ((第第13题
提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。

此问与上题中求取值范围类似。

14、(2009年河北)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．．． B
E
Q
D
C
A
7 11 共页第页P
提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，
ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；
（４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时，
ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．
2c??bxy?ax0)(2，(1，0)BA2)，?C(00?a，、（2009年包头）已知二次函数，）的图象经过点（，15x m?x2?mD）与直线（．轴交于点1）求二次函数的解析式；（mx?2m?BD、E、EE为顶点的三角形与以在第四象限））上有一点（，使得（点（2）在直线mC、O、AE的代数式表示）；
为顶点的三角形相似，求点坐标（用含ABEFF为平行四边形？若存在，请）成立的条件下，
抛物线上是否存在一点，使得四边形（3）在（2mABEF的值及四边形的面积；若不存在，请
说明理由．求出提示：）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（2）问中两种情形
2AB=EF，对第（为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且第（3）问，四边形ABEF 分别
讨论。

抛物线上动点四、
2x3??ax?bxy－(，0)和点≠200916、（年湖北十堰市）如图①，已知抛物线0）与B轴交于点
A(1（a C．，与y轴交于点3，0) 求抛物线的解析式；(1)
x为等腰三角形？若存在，CMP，问在对称轴上是否存在点P(2) 设抛物线的对称轴与，使△轴交于点M
的坐标；若不存在，请说明理由．请直接写出所有符合条件的点P面积的最大值，并求此BOCECE，求四边形如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、(3)
点的坐标．时E
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积
8页11 共页第
xyABCDDA轴的年黄石市）正方形轴正半轴上，在如图所示的平面直角坐标系中，在在17、（20092x4??bxy?ax y1?OEBCE，ABF过，交负半轴上，，抛物线交轴负半轴于轴正半轴于A、D、F三点．
（1）求抛物线的解析式；
x QQ NBCF、DADM，于间的一点，过所在直线于点作平行于，交）（2轴的直线交边是抛物线上3AFQMS?S的形状；若，则判断四边形FQN△AFQM四边形2CBHDBPHPHAP?AP⊥P若存且，）
（3在射线使得上是否存在动点，在射线上是否存在动点，在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．
y
B E F O A
x
C
D
FA;
FA∥且NM＝2注意：第（）问，发现并利用好NM合适的图形，画出3 第（）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。

需分类讨论，先再证明
三年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

9页11 共页第
“坐标几何题”（动点问题）分析
07 8 090
）032中广东考题（0 10页11 共页第
11页11 共页第。